Solusi Analitik Persamaan Konduksi Kalor Satu Dimensi Non Homogen Menggunakan Metode Fungsi Green Dan Separasi Variabel

  LAMPIRAN I Alfabet Yunani

  Eta Η

  Mu Μ

  Psi Ψ

  Lambda Λ

  Chi Χ

  Kappa Κ

  Φ ,

  Iota Ι phi

  Upsilon Υ

  Theta Θ

  Tau Τ

  Sigma Σ

  Alpha Α

  Zeta Ζ

  Rho Ρ

  Epsilon Ε

  Pi Π

  Delta Δ

  Omicron Ο

  Gamma Γ

  Xi Ξ

  Beta Β

  Nu Ν

  Omega Ω

  LAMPIRAN II Metode Pemisahan Variabel untuk Persamaan Kalor Satu Dimensi Homogen dan Mensubsitusikan Solusinya pada Persamaan Kalor Non Homogen untuk Memeperoleh Q(x,t)

  Temperatur batang konduktor pada posisi x dan waktu t melalui persamaan T (x,t) = X(x) (t), maka diperoleh :

  = 0 −

  Maka

  1

  1 =

  Catatan : X dan T harus dimisalkan dengan suatu konstanta pangkat dua dengan tanda ( - ). Jadi diperoleh :

  1. Untuk mencari nilai X

  1 =

  −l

  1 l = 0

• l = 0

  Untuk mendapatkan hasil persamaan karakteristik maka selalu pemisahan dinyatakan dengan bentuk eksponensial. Misal :

  = = = ; ;

  Jadi, persamaan karakteistik dapat diubah menjadi :

• l = 0 Maka :

m e e = 0 ^{2 mx mx} +

  mx

  e di antara kedua suku dihilangkan, maka diperoleh :

  2

• m l = 0 persamaan karakteristik

  2

  m = - m 1,2 = √− m 1,2 =

  √−1√ m =

  1,2

  ± i √ m 1,2 = ± i Maka didapat nilai X yaitu :

• Diketahui bahwa:
• = cos = cos

  ( ) =

  − Maka penyelesaian dari X(x) dapat ditulis:

  ) + (cos ( ) = (cos − )

• ( ) = ( + )cos ( − )
• ( )

  ( ) = ( )cos Dengan:

• = = dan

  ( − ) Dengan menggunakan syarat batas

  a. Untuk T ( 0, t ) = 0 0 = D

  3 cos 0 + D 4 sin 0

  0 = D

  3 + 0

  D

  3 = 0

  b. Untuk T ( L, t ) = 0 0 = D

  3 cos L + D 4 sin L

  Agar solusi tidak trivial D

  4

  ≠ 0, maka persamaan di atas harus memenuhi Sin L = 0, di mana berarti

  L = n  , dengan n = 1, 2, 3, . . .

  = Hal ini juga berarti :

  = Maka solusi X yang tidak trivial adalah :

  ( ) =

  2. Untuk mencari nilai T

  1 =

  −

  1 = 0

• = 0 a
• = =

  ; Maka _{mt mt} me = 0 a e

• m + a = 0 persamaan karakteristik m = - a Maka didapat nilai

  T yaitu

  a

  ( ) = dengan m =

  −α Maka didapat nilai T yaitu

  ( ) = Fungsi Kalor untuk satu dimensi : T(x,t) = X(x) T(t) T

  ( , ) = Misalkan D

  4 . B 1 = E, maka

  T ( , ) =

  Misalkan :

  a

  ( ) = Sehingga ( , ) dapat ditulis menjadi :

  T ( )

  ( , ) = Persamaan di atas disubsitusikan pada persamaan kalor non homogen

  T( , ) T( , ) =

  − ( , ) T

  ( ) =

  (∗) T

  = ( )

  T =

  − ( ) (∗∗) Subsitusikan (*) dan (**) ke persamaan kalor satu dimensi non homogen

  ( )

• ( , ) = ( ) ( )

  ( , ) = ( )

  LAMPIRAN III Menentukan P n (t) dengan Menggunakan Metode Integrasi serta Melibatkan Deret Fourier Sinus dan Syarat Awal

  ( ) ( , ) = ( ) ( )

• Dari persamaan (i) misalkan :

  ( ) ( ) = ( ) ( )

• Sehingga persamaan (5) menjadi :

  ( , ) = ( ) ( )

  Karena pada persamaan (iii) merupakan deret Fourier sinus pada interval  x  L, maka

  2 ( ) =

  ( , )

  ,

  2 ( ) =

  ( , ) Pada (ii) membentuk persamaan diferensial linear orde satu, yang bentuk umumnya adalah

• ∫ ( )

  ( ) = ( )

  Dengan faktor integrasinya , maka persamaan di atas menjadi :

  ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )

• Maka dengan faktor integrasi :

  ( ) ( ) =

  ∫ ( )

  = Kemudian kedua ruas dikalikan dengan faktor integrasi sehingga diperoleh : ( )

  a

• Pada persamaan di atas merupakan turunan yang berbentuk :

  ( ) = ( )

  ( ) ( ) = ( )

• Sehingga persamaannya menjadi :

  ( ) = ( ) ( ) = ( )

  ( ) = ( ) =

  ( ) − (0) ( ) ( ) − (0) = ( )

  ( ) (0) + ∫

  ( ) = ( ) = (0) ( )

• Pada persamaan di atas terdapat P n (0) yang belum diketahui, untuk itu digunakan syarat awal

  (∗)

  ( , 0 ) = ( )

  T ( , 0) = ( ) = (0)

  Maka

  2 ( )

  (0) =

  2 (0) = ( )

  (∗∗) Subsitusikan (**) ke (*), sehingga diperoleh

  2

  ( )

  ( ) = ( ) sin ( )

  LAMPIRAN IV Contoh Penyelesaian Persamaan Kalor Satu Dimensi Non Homogen Dengan Menggunakan Metode Fungsi Green

  T T ( , ) ( , )

  =

  3 − 0 < < p, > 0

  T ( , 0) = ( ) 0 ≤ ≤ p

  Dari persamaan di atas diketahui bahwa

  3 ( , ) =

  Misalkan solusi dari persamaan kalor satu dimensi yang homogen adalah ( , ) Maka fungsi v harus menjadi solusi dari masalah berikut

  ( , ) ( , ) =

  − 0 0 < < p, > 0 ( ) (0, ) = (p, ) = 0 ≥ 0

  ( , 0) = ( ) − p 0 ≤ ≤ p Dengan menggunakan seperasi variabel diperoleh

  = dan ( ) = sin , ≥ 1 Maka solusi v yang dinyatakan dalam deret fourier adalah

  ( , ) = ( ) Persamaan tersebut disubsitusikan ke persamaan (a)

  ( , ) ( , ) ( )

  = sin =

• Berarti:

  3 ( )

  − ( )

  ( ) ≠ 3, ≥ 1

  ( ) =

• = 3

Dari persamaan (b) misalkan : ( )

• Sehingga diperoleh persamaan

  ( ) = ( )( ) ( )

  ( , ) = ( )

  a. Karena pada persamaan di atas merupakan deret Fourier sinus pada interval  x  L, maka

  p

  2 ( ) = ( , ) p

  , p

  2 ( ) = ( , ) p

  p

  2

  3 ( ) = ) p ( n = 3, maka

  p

  2 ( ) = 3 ) p (

  p

  2

  1

  6 ( ) = )

  ( 1 − p

  2

  1

  6 −

  ( ) = p

  6

  1

  6 − 0

  ( ) = p p −

  6 ( ) =

  b. Persamaan (c) dapat didefinisikan dengan menggunakan faktor integrasi dan deret fourier, sehingga diperoleh: ( ) = (0) ( )

  ( ) = (0)

• ( ) = (0)
• 1

  ( ) = (0)

• ( − 1)

  Jika n = 3, maka

  1 ( ) = (0)

• 8

  1 ( ) = (0) ( − 1)

• 8

  1 ( ) = (0) ( − )

• 8

  Saat t=0, maka (0)

  ( ) − p = ( ,0) = Maka diperoleh

  T ( , 0) =

  (0)

• p = ( ) Maka diperoleh

  1 T ( ) +

  − (0) ( , ) = p +

  8