Analisis kestabilan model dinamik mutualistik

ANALISIS KESTABILAN MODEL DINAMIK MUTIJALISTIK

ADE AFIATI

JURUSAN MATEMATIICA
FAICULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2001

RINGKASAN
ADE AFIATI. Analisis Kestabilan Model Di~mrnikMutualistik. (Analysis of Stability on Dy?amical
il.l~rtualis1icModel). Dibinibi~igoleh I G. P. PURNABA. dan ALI KUSNANTO.
Suatu ko~ilwiitasterdiri dari beberapa populasi yang saling berinteraksi, salah sahuiya adalali interaksi
~l~utualistik.Interaksi ini mengasumsikan ballwa kehadiran populasi spesies tertentu dapat meningkalkan
laju pertu~nbuhanpopulasi dari spesies yang lain. Salah satu model matematika yang banyak digunakan
R. M.,
uniuk nlengga~nbarkanintemksi dwispesies nlutwlistik ini adalah model Lolka-Vulferra
1976bl. Berdasarkan asunlsinya, maka laju pertumbullan kedua populasi spesies dapat rneningkat tanpe
batas nlelebil~idaya dukung lingkungannya w a y , R. M., 197Gbl. Melihat kondisi tersebut, Heithaus, et.
al. (1982) ~nenibuatsuatu model mduk interaksi tiga spesies yaitu dengan menanbalrkan predator sebagai

spesies ketiga pada sistenl dwispesies ~~iutualistik
dan nuenganggap perlunya suatu jruninan dari kriteria
kestabilan mate~natika agar sister11 tersebut stabil, sehingga populasi spesies dapat hidup bersana
(koeksis).
Pada tulisrui ini akan dibalms suatu konsep matematika yang berguna uniuk ~nengetahuikondisi
kestabilru~pada beberapa model dinamik antan due spesies dan tiga spesies. Pernbahasan tersebut
disa.jikan dalam bentuk studi kasus untuk interaksi anlara semut pekerja dengan bunga violet (mnutualis~nc
Fakulratif) dan hewan pengerat sebagai predator yang melnangsa bunga violet.
Analisis kestabilan siste~npada kedua model yaitu untuk interaksi dua spesies mutualistik (tanpa
predator) dru~ interaksi tiga spesies (kehadiran predator) dijamin jika dan hanya jika interaksi
intraspesifiknya lebih dominanlerat daripada interaksi interspesifiknya. Jaminan ini diperoleh dengan
memanfaatkan suatu konsep matematika yaitu kondisi kestabilan sistem dinamik, kriteria kestabilan
Rotlth-Hunvilz dan orbit kestabilan. Hasil analisis menunju&kan bahwa predator sanggup nlenjadi
pengendali untuk mengatur dan menjaga laju pertumbuhan kedua populasi spesies agar stabil sellingga
keduanya dapat ludup bersania (koeksis). Kedua model dapat dikatakan sebagai niodel yang realistis
tergantung pada kondisi dan days dukung alan~itu sendiri.

ANALISIS KESTABILAN MODEL DINAMIK MUTUALISTIK

ADE AFIATI

Skripsi
Sebagai salah satu s p r a t ulituk memperoleli gelar
Sajana Sains
pada
Program Studi Mate~natika

JURUSAN MATEMATTKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN JLMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2001

Judul

:

Analisis Kestabilan Model Dinamik Mutualistik

Nama

:

Ade Afiati

NRP

:

GO5495017

c-yjDr. Ir. 1 G. Putu Purnaba. DEA.
Penlbi~ubillgI

Drs. ~ l u l ( u s ~ a - 4 1 .
G1binlbing I1

Peilulis dilalurkan di Pandeglang, Banten pada tanggal 30 September 1977 dari pasangan Wawan
Alwani dan Juminah sebagai anak ke dua dari tiga bersaudara.
Tallun 1989 penulis lulus dari SD Negeri IV Pani~nbang. Tallun 1992 penulis lulus dari SMP Negeri 1

Cigeulis, kemudianmelanjutkan pendidikan ke SMU Negeri 2 Serang dan lulus tal11m 1995.
Peilulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk
IPB (USMI). Peuulis menlilih Prograrn Studi Maten~atika,Jumsan Matematika, Fakultas Maternatika d m
Illnu Pengetal~uanAlau~.

Allrantdulillail, puji diul syukur pe~lulis1)anjatkiul kepada Allah SWT atas segala nilanat dm ralunatN!a.

selungga penulisa~lskripsi ilu dapat diselesaikan. Penulisan ini dilakukan sejak bulan Maret 1999,

dcngan judul skripsi ':417alisis Ke.slabila17Adadel Dinarrrilc M~rt~alistili".
Tcrinla kasih penulis ucapkan kepada seurua pihak yang telah lnembantu penyelesaian s k p s i ini,
anlilra lain : Bapak Dr. Ir. I G. Pulu Punlaba. DEA dan Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si selaku dosen
pembiinhiog. Bapak Ir. Toni Bakhtkdtiar. M.Sc atas bni~tuandan smlx-sarannya serta Bapak Ir. I Wayan
Msngku. M.Sc d m W.M. Post atas kirimiul buku dan jumal-jumal pendukung.

Ungkapm teri~uakasih

.iugi~pe~lulisslunpaikan kepada Bapak; Miunah. Tetell, Adi atas segala doa, dukungan muoral dan kasih
ss!.;lng yang tidak pemah putus. Selaiu itu terinla kasih penulis ucapkarl pada leman-tenlan antan lain :

011i(pi11jam;ui konlpulenlya). T'Alie, Yuni, Syarifah, IIUI~,warga Barcela, anak-anak Mate~natika'32,
Adik-adik Matenlatika '33 (doa d a l semangatnj~a).Iyok, Subadri, Buhari, anak-anak Fismada Serang
(doa dan persallabatm), serta semua pillak yang tidak dapat penulis sebudtan salu persatu.
Sen~ogaskripsi ini dapat benuanfaat.
Bogor, Januari 2001

Ade .4/iati

DAFTAR IS1

...
DAFTAR GAMBAR ....................................................................................................................\XI

I

PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ............................................................................................................. I
1.2 Tujuan ...........................................................................................................................
1

I1

TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Model Dinzuik Mutualistik untuk Interaksi Multispesie
2.2 Vektor Eigen &1 Nilni Eige~
2.3 Kestlbilall Sisteul Diuanuk Dua Dinlens'
2.4 Kriteria Kestabilan Roulli - H t ~ w i ! ~
2.5 Bidang Fase ..............................................................................................................

1
2
2
4
4

PEMODELAN
3.1 Model Dinal~likuntuk Interaksi Dwispesies Mulualistik.
3.2 Model Dinamik u l u k Interaksi Dwispesies Mutualistik
dengal Kehadiml Predator ............................................................................................

5

I11

1V ANALISIS MODEL
4.1 Analisis Model Di~ralnikuntuk I~lteraksiDwispesies Mutualistik
4.1.1
Penelltual lltik Tet
4.1.2
Konstruksi Matriks
4.13
Alralisis Kestabilau
4.1.4
Orbit dan Kestabilan Sisten

4.2 Analisis Model Dinanuk lmtuk Interaksi antara Dwispesies Mutualistik
dengan Kehadiran Spesies Predator
4.2.1
PeneutuanTitik Tetap
4.2.2

Konstruksi Matriks
4.2.3
Analisis Kestabilan
4.2.4. Orbit dan Kestabilan Sistem

DAFTAR GAMBAR

I.

2.

Orbit kestabilal untuk n~odeldinamik dwispesies mutualistik
pada kot~disialla22- al,a2i > 0 ..............................................................................................

8

Orbit kestabilan untuk nlodel dina~uikdwispesies l~tutualistik
pada kondisi allazz- a12u2,2 0 ..............................................................................................

S

3.

Orbit kestabilan untuk iuteraksi altar2 x, . x2 dmx3
jika diproyeksikan pada bidang - xlx2 .................................................................................... 14

4.

Orbit kestabilal ulltuk interaksi anlara x, . x2 danx,,
jika diproyeksikan pada bidmg - xlx3...............................................................

5.

Orbit kestabilan untuk interaksi antara xl ,x, dan x3,
. . .
j ~ k adtproyeksikan pada bidang - x2x3......................................................................................

6.

Orbit lestabila~untuk interaksi antara xl , x2 dan x3,

jika diproyeksikan pada bidang - x,xzx3.........................................

14

I PENDAHULUAN
predator dapat meninlbulkan stabilitas pada sisteln
1.1 Latar Bel:~ltaog
Suatu k o ~ ~ ~ u n iterdiri
t a s dari beberapa populasi dwispesies n~utualistik. Oleh karei~aitu diperlukan
yaug saling berintemksi pa& tiugkat yang suatu j a n u n a ~dari kriteria kestabilan n~atematika
ben,ariasi. Sale11 satu interi~ksi populasi yalrg agar populasi spesies tersebut dapat ludup bersanra
terjadi di d a l m ekosistem adalah interaksi (koeksis).
Pada tulisan ini akan dibal~as suatu konsep
nu~ltualistikyaitu l~ubungan timbal balik altar&
spesies berbeda yang saling menguntungkan. nlateu~atika yang berguna untuk mengetallui
Model d i ~ u l i i kmutualistik mengasurnsikai bbal~wa kondisi kestabilai sistem pada beberapa model
k e l ~ a d i m ~populasi spesies teaentu dapat diiianik mutualistik yaitu interaksi altara dua
~~leningkatkanlaju pertl~mbuhan populasi dari spesies dan tinga spesies. Pembahasan tersebut
disajikan dalam dua bentuk studi kasus ulituk
spesies yang lain.

Pci~.jehsan mengenai interaksi tersebut interaksi berikut :
tlitul~jukkan dengal ~nenggunakan
n~odel 1) Intenksi anlara semut pekerja dengal buunga
violet ( ~ ~ ~ u t t ~ a/aktillalifi
lis~~re
matematika yailg dikelubangkan ole11 beberapa
l~eneliti.Salal~satu model nlaten~atikayang paling 2) Interaksi aitara sen~utpekerja dill1 bmlga violet
sebagai dua spesies mutualis dengan kehadiran
sederluu~a dan ba~y'ak digunakan ul~tuk
liewan pengerat sebagai spesies predator.
mengganbarkan il~teraksidwispesies n~utualistik
adalali model Lufko-Volter~~a
[May, R. M., 1976bl.
Sebagian alli ekologi inenga~ggap niodel 1.2 Tujuan
Tujuan penulisan k a v a ilmiah ini adalal~:
terscbut celldenlug k u m ~ g realistis, kare~ra
berdasarkall asumsinya, ~uaka laju pertul~~buhan 1. Mempelajari rliodel dinamik mnutualistik.
populasi kedua spesies dapat meningkat tanpa 2. Menganalisis kondisi kestabilan pada kedua
niodel dinanuk tersebut.
batas ruelebihi daya dukung lingkungannya [May,
R. M.? 1976bl. Melil~atkondisi tersebut Heithaus, 3. Menunjukkan bahwa kestabila~pada kedua
111odel dijamin jika dan hanya jika interaksi
et, al. (1982) men~buatsuatu model untuk interaksi
intraspesifiknya lebih dorninan daripada
tiga spesies yaitu deng 0
Nilai eigen yang diperoleli real dan berbeda
(h, t h2). Solusi ummi yang diperoleh adalah :
x(t) = cIvleAlt+c2v2eL2'
dengan hl dan h, adalah nilai eigen dari ~nalriks
Jacobi. Vektor v, dan v2 adalal~vektor eigen yang
bersesuaiai deugan nilai eige~i.
Pada kasus ini kestabilm titik tetap me~~ipu~iyai
3 sifat, yailu :
I. Kedua nilai eige~ilega at if (1.1 < 0 dan 7, < 0)
dilna~raT < 0 dan 6 > 0. Dari solusi tersebut
diperoleh lim x(t) = m , selimgga titik tetap
I-,-

bersiiat stabil.
2. Kedua nilai eigen bemilai positif (XI > 0 dan
h, > 0) dimana T > 0 dan 6>0. Dari solusi
tersebut
diperoleh
lim x(t) = m
yang
I-)-

menunjukkan baliwa x(t) akan bemilbali
dengan bertanbalnya t, seliingga titik tetap
bersifat tak stabil.
3. Kedua nilai eigen berlainai ta~ida (1, < 0
> 0) d i i a n a T < 0 dan 6 < 0. Dari
dan
solusi tersebut diperoleh lim ~ ( r =) 0 , karerla

,->*

h, < 0

dan lim x ( f ) = m karena ir.> 0,
I-,m

selii~igga x(t) akan menuju 1101 sepanjaug
vektor v, tak lungga sepanjang vektor v2:
sehingga ~ne~nbentuksuatu asin1101 pada
bidang vl dan v2. Titik tetap tersebut be~tipe
sadel tak stabil.
KASUS 2. (-c2 - 46) = 0
Nilai eigen yang diperoleh adalali nilai eigen
real ganda (h, = h, =h = ~ 1 2 dengan
)
bentuk solusi
yang dapat dituliskan kembali sebagai belikut :
111
x(t) = (c, +c,t)e
Pada kasus ini kestabilau titik tetap m e ~ ~ ~ p u ~ i y a i
2 sifaf altara lain :
1. Kedua nilai eigen negatif (XI < 0 dan i, < 0)
n~aka dari solusi diperoleli lim x(t) = 0 ,
1--1-

selingga titik tetap tersebut bersifat stabil.
Kedua
~iilaieigen bemilai positii (7.1 > 0 dan
2.
h2 > 0). Dari solusi diperoleh lim r(r) = m ,
,-,m

seldngga titik tetap tersebut bersifat tak stabil.

b. Kasus 2, jika a > 0 ,nlaka r(tl pada persanam
KASUS 3. ( z 2 -46) < 0
(12) bertambah jika t bertamball. Sedangkan
Pada kasus ini diperoleli nilai eigen konjugasi
jika p > 0, inaka 00) pada (15) akan berkurang.
korr~pleks. Misalkan nilai eigen matriks J adalali
Hal ini berati anh gerak orbit searall jarunl
A,.? = a i - i P ( a t 0 , P F O), dengan a dan P
jam
ru~enjaulutitik asal. U11tuk P < 0, wah
adalah bilangan real dm P > 0. Sistem-sisten~
gerak
orbit akan beriawanan dengau kondisi di
yaug n~e~llpuuyainilai eigen a f iP , &pat
atas. Bentuk orbit terhadap titik asal
d i l a m b a ~ g k adengan
~~
~nerupakantitik tetap bertipe spiral tak stabil.
c. Kasus 3, jika a = 0, nilai r(f) tidak berubah
sepa~~jalg
waktu dan 0(f) akan naik jika P < 0
dan turun jika p > 0. Karena r(r) tetap, maka
gerak orbit i~~elu~be~ttuk
suatu lingkam dengiul
tiitk asal sebagai pusat. Titik tetap tersebut
bersilat stabil netmi.
Dalaru bent\& koordi~~at
polar (r,B), x dan y dapal
di~lyatakandalam bentuk x=rcos(@ dany= rsin(@
schiugga diperoleh r2= x2 +y2 dan tan 8 =-Y
X

Tu1n111au r2 terl~adapwaktu (t) addall:
2 r r r = 2 x x ' + 2 j y ' ~ r r ' = x ' + yy'
(11)
Ke~uudialjika persamaan (10) disubstitusikan ke
&lam persamaa~(I 1), maka diperoleh
rrr=x(a ) = a,.'
r(t) = r(0)ea'
T u r u ~ ~ tail
a n (0)terlladap waktu adalall
xy'-yx'
sec2 ((8) 0' =
atail
xZ
r2sec2((8)8'=xy'-y2
Kellludiul substitusikan persanlaan (10)
r2sec2 (8) = r 2 ke bentuk persanlaan
selliugga diperoleh
, ~ Q ' = - p ( x 2 + y 2 ) = . pr2
0, = - p
~(t=
) -pt+ao
dengan B o adalall nilai 0 u11tuk t = 0.

(12)

(13)
dul
(13),

(14)
(15)

Solusi di atas meru~pu~lyai
beberapa kasus yang
tergailtung pada nilai a dan P, antan lain:
a. Kasus 1, j i b a < 0, n1ah r(?pada persanlaau
(12) berkurang jika t bertambah. Sedangkal
t)(r) pada (15) akan berkurang jika P > 0,
sehingga orbit akan bergerak searall jarun~jam
rllenuju titik asal. Jika 0 < 0, maka aral~gerak
orbit berlawanan dengan kondisi di atas.
Dalanl hal ini titik asal merupakan titik tetap
bersifat spiral stabil.

Berdasarkm c a n orbit ~u~endekati/n~e~ljadu
titik
tetap, terdapat beberapa tipe titik tetap :
a. Jika orbit-orbit mendekatil nlenjaulu titik tetap
nlelalui garis-garis lurus, maka tipe titik tetap
adalah siit~pulsejati.
titik tetap
b. Jika orbit-orbit mendekatil rne~ijaul~i
~nelaluigaris-garis lengkung, maka tipe titik
tetap adalall sintpul taksejati.
c. Jika orbit-orbit mendekati dari salu arah, dan
nlenjaul~yadari arah laiu, maka tipe titik
tetap adalalipelana (saddie point)
d. Jika orbit-orbit nlendekati/11lenjaulu titik tetap
secara spiral, 111aka tipe titik tetap adalall
spiral.
Berdasarkan uraial di alas maka dapat
disin~pulka~~bahwa kestabilan titik tetap
rnenlpunyai tiga perilaku :
1. Stabiljika :
a.Tiap nilai eigen real adalah negatif ( h i < 0
unluk setiap i).
b.Tiap kou~ponennilai eigen ko~npleksadalali
lebih kecil atau sama deugan nol, Re (hi) < 0
untuk setiap i.
2. Takstabil jika :
a. Tiap nilai eigeu real adalal~positif ( h i > 0
untuk setiap i).
b. Tiap konlponen nilai eigen ko~npleksadaIal1
lebih besar dari nol, Re (hi) > 0 untuk
setiap i.
3. Sadeljika :
Perkalian dua bud1 nilai e i g e ~real
~ se~nbarang
adalah negatif (h,h,.) < 0 untuk i clan j
sen~bara~g.Titik tetap sadel ini bersifat tak
stabil.

Teol.ema (Kontlisi Roritll - Hlmviti)
Misalkan a ] , s.....,nk b i l a n g a n - b l real,
Senlua nilai eigen dari
n, = 0 jika j z k.
persaruaan karakteristik :
p(i.)=h" +a,?!^' +...+a ,.? " 2 +a,_,h+a, = O
(16)
mcn~pu~~yai
bagian real negatiijika dan hanya jika
untnk setiap i = I,?, ...,k, detenllinan dari nlatriks
L
!

aj

aj

...

0

0

...

a1r-1

adalal~positif.

Kestabilan sislem persanlaan d'ierensial di atas
diperolell dari :
a. Jika B > 0 dm C > 0, rnaka siabil.
b. Jika B < 0 dill1 C > 0: tnaka tak stabil.
c. Jika C < 0 , ~nakasadel @elai?a)iak srabil.
d. Jika B = 0 dan C > 0, makaptisat (ce~~tre).
Bukti : [Indarya~d,L., 19991
U~itukkasus interaksi tiga spesies ( k 3 ) kondisi
kestabilan disajikan &lam teorema beriltut :
Teorema Kestabil~~n[Fisher, S.D., 19901
Misalkan A. B &an C bilangrul real. Bagian real
dari setiap nilai eigen persanlaan kardkterislik
x3 AX^ + B ~ + c = o
(1s)
adalal~r~egatif jika dan l~anyajika A,Bdan C
positif &ax AB > C.
Bukti : Wndengan, A. J., 19991.

Menun~tkondisi Rouill- Hunvia pada teorelila
di atas uutnb suatu k disebutkan bahwa titik tetap
4 stabil jika dan Iianya jika (untuk k = 2,3,4)

2.5 Bidang Fase [Hasibuan, K. M., 19891
Perhatikan sistem persanyaan ditferensial
berikut ini:

...

U~llukkasus interaksi dua spesies (h-;2) kondisi
kestabilan disajikan dalan~teorenva berikut :
Teul.ema Kestabilnn [Fisher, S. D., 19901
Misalkcu~x = Ax adalah suatu sisten~persarnaan
diferensial dengan A niaRiks berukuran 2x2.
Misallwl pula persamaan karakteristik dari nvatriks
.4 diberikan oleh :
h2+~h+C=0
(17)

Solusi sisten~ persaniaan dinerensial (19)
~ilen~bentuk
suatu kurva berdimensi 3 (t,x,y), karena
secara eksplisit t tidak ada &lam siste~ntersebut
maka setiap solusi sistem (19) untuk to i < t,,
g u y s titik-titik x(t), y(t) mernbentuk suatu kurva
di bidang (x,y). Kurva ini disebut orbit (travelilori)
solusi persamaan tersebut. Sedangkm bidang (x, y)
disebut bidangfase solusi tersebut. Dengan kata
lain orbit solusi suatu siste~npersamaan differensid
addall lintasan yang dilakukan ole11 solusi di
bidang (x,
y).

II1 PEMODELAN
3.1 Model
Dioamilc
u11tu1c
Interaksi
Dwispcsies Mutu;~listik
Kasus ini diaplikasikan secara nyata untuk
iuteraltsi antam selnut pekej a dan bunga violet
[Heithaus, et.al, 19801. Bunga violet merupakan
tluralnan lterbaceous (tanaman yang batanguya
men~ilikibanyak kandungan air). Binga tersebut
~uenghasilkan benih yang di dalanmya
n~engandungelaiosornes yaitu zat yang diperlukan

sebagai swnber makanan oleh senlut peke~ja.
Sen~ut pekeja membantu pertumbuhan bunga
violet dengan cam memindallkan benih-benih
tersebut ke dalam sarangnya. Setelall elaiosornes
pada benih dimakan, b e d l yang u t d ~dipindalhn
pada tumpukan sampal~yang mempakan tempat
yang sangat subur untuk perkecambalm.
Model ini mengasumsikan bal~wa interaksi
setiap spesies mendapat keuntungan karena

berinteraksi dengal spesies yang lain, tetapi I~ubungan n~utualistik dengan bunga violet,
kelangsungan hidup suatu populasi tidak sedangkan predator hewan pengerat hmya
berganlung pada interaksi itu ( ~ ~ ~ u t u a l i s ~nlelnangsa
i~e
bungs violet.
Interaksi di alas
Sedangkan, interaksi altar spesies dir~yatakan dalam bentuk persanlaan lagistik
fnX.ol!atfi.
!rang sama dapat i~~enunukan
kaju pertlll~~bulxu~berikut :
kedua populasi spesies, karena kedua spesies yang
salna di dalam populasi berkonlpetisi untnk
nle~tdapatkankenntungan d a i spesies 'lain yaug
berbeda. Model tersebut dapat dinyatakan dalaiu
bentulc persamaan logistik berikut :

dengan,

- = Laju pertu~ilbuhanpopulasisen~ut pekerja
dt

c/.xl
-n'r

- Laju pertumnbulrm~ populasi seiulut pekerja
per s a t w l waktu I.

fix2
-- - Laju pertun~buhanpopulasi bunga violet
d,
per saluan waktn I.
xi = Kerapatm populasi sernut pekerja
,r2 = Kerapatan populasi be nil^ violet
a l l = Besarnya laju penumnan pexlun~buhan
semut pekerja akibat bertan~balmya satu
individu senut pekerja di dalain populasi.
a i 2 = Besarnya laju peningkatan pertunlbuhau
senlut pekerja akibat bertarnbalmya satu
individu benih violet di d a l m populasi.
a?, = Besarnya laju peningkatan penumbulm
benih violet akibat bertanlbahnya satu
individn senlut pekej a di dalan~populasi
n22 = Besarnya laju penurunan penun~buhan
benih violet akibat bertan~bahnya satu
individu be11i11violet di dalan~populasi
r l = Laju perlumbnl~anintrinsik senlut pekerja
r2 = Laju pertunlbuhal ii~trinsikbenil1 violet
3.2 Model Dinamik ~ ~ n t ulnteralzsi
li
Dwispesies

Mutualistili dengan Keliadiran Hewan
Pengernt sebngai Predator
Kasus ini diaplikasikan secan nyata pada dua
spesies muh~alisdan satu spesies predator yaitu
senlut pekerja, bunga violet dengar1 11ewan
pengerat (rodent) yang nxernpakan predator pada
benih bimga violet [Heitllaus, et.al., 19821. Model
ini mengasu~nsikanbal~wasetiiut pekeja iile~uiliki

per satuan waktu t

-dx2 - Laju pelturnbuhan populasi bunga ~ i o l e t
dl

per s a t d l waktu I
dx

-L=
Laju pertulnbuhan populasi hewan pengerat
dt

per satuw~waMn I.
x, = Kerapat'm populasi senlut pekeja.
x2 = Kenpatan populasi bunga violet.
x, = Kerapatan populasi Ilewan pengerat.
a l l = Besarnya laju peinuunan penunbul~an

senlut pekerja akibat berlan~balmya satu
individu senlut pekerja di dalanl populasi.
a,, = Besarnya laju peningkatan permn~bulm
seinut pekerja akibat bertanlbalmya satu
individu bunga violet di dalam populasi.
a,, = Besarnya laju peningkatan p e m b u l a n
bunga violet akibat bertambalmya satu
individu semut pekerja di dalam populasi.
a,, = Besarnya laju penumnan pertun~buha~
bunga violet akibat bertarnbalmya satu
individu bunga violet di dalam populasi.
a,; = Besarnya laju penurnran bunga violet &bat
bertainbalmya satu individu l ~ e ~ v pengent
an
di dalam populasi.
a,, = Besarnya laju peningkatan p e m b u h a n
hewan pengerat akibat bertambalmya satu
individu bunga violet di dalanl populasi.
rl = Laju pertumbulian intrinsik semut pekerja.
r, = Laju pertunlbuhan intrinsik bunga ~iolet.
r3 = Laju pertwnbulian inhlsikhewan pengerat.

IV ANALISIS MODEL
Ada lima tahap yaug dilakukan untuk
n~enganalisiskondisi kestabilan pada kedua model
tersebut antara lain :
I . Menentukan titik tetap.
2. Me~~gkonstruksi
rnatriks ko~~~u~~itasiJacobi
dan
mengevaluasinya di titik tetap-titik tetap yang
telal~ diperoleh.
Matriks
ko~nunitas
~llenyatakanefek dari spesies k e j terhadap
spesies ke-i di sekitar titik tetap.
3
Menentukan Nlai eigen
lmengandisis
kondisi kestabila~.
-1. Menentukan orbit kestabikui.
5. Menalsirkan secara ekologis.
4.1 Analisis Model Dinan~ilcuntulc hiter:llcsi

D~vispesiesMutualistik
4.1.1 P e e c n t n ; ~Titilc
~ ~ Tetnp

J.,

=

1"" I;]
"21

Titik tetap dari persanean (20) dapat diperoleh dengan,
dengall ~llenentukan dxl/dl=O dan dr2/di;I0.
a I 1 - -011 iaz2'l+ ai2r2)
Dengiu~memilih xi clan x2 yang memne~~ul~i
kedua
persaniaali tersebut, maka diperolel~enlpat titik
a11a22- a12a2~
tetap sebagai berikut :
I. Pilih xi = 0 d m xz = 0 sehingga diperoleli titik
tetap TI (0,0)
2. Pilili rl-allxl+a12x2 = 0 dan x2 = 0 ~uaka
diperoleh titik tetap Tz (rl/all, 0)
3. Pilih xl = 0 dan rz+a21x1-a22xZ
= 0 nmka
diperoleh titik tetap T, ( 0 , r2/az2)
4. Pilih rl-alixli-al,~2
= 0 d a l r2+a21xl-a22x2
=O
maka aka1 diperolel~titik tetap T, yaitu :

_

4.1.2 I 0 d m alz,a2,2 0, selungga mengakibatkan
h, > 0 &I 1,' < 0. Dari llasil tersebut 111aka dapat
disimnpulkan ballwa jika h l datl 1,2 bilalgar~real,
dengal landa berbeda rnaka tipe titik tetap T3
rncmpaka~sadel yang bersifat lid& stabil.
I 0. Diketallui rl darl r2 bemilai
positif (0 0 d m 6 > 0 sudall terpenulu.
jika alla22-a1,a21

4.1.4 Orbit dim Kestabilan Sistem
Orbit dari suatu nod el dapat diperoleh dengan
bamltuan s o h a r e Locbij: Model tersebut
Kcstabili~mrtli Titik Tetal~I; (0,O)
melnpunyai dua tipe perilaku dinarluk yang
Nilai eigen diperoleh dari persalli1;ui (28) rllungkin terjadi, yaitu :
!.aitu : ?.I = r~ dan ?L? = r~
1) all@,- a12ql> 0 d m 2) all%'- a12az1S 0.
Agar sistem di titik tetap TIstabil. mnaka llan~s
Untuk kondisi peaama, nilai-~ulaip~wametenlya
diyenuhi syarat hl < 0 &an ?,> < 0. Diketal~ui ditentukan sebagai berikut :
ballwa rl d m ,
i positif ( 0 < PI < 1 . 0 < r2 0 &an a,, a,,
2 0; selungga diperolel~orbit berikut (lihat ganlbar 1) :
mengakibakan h1 > 0 dim ?*> 0 @ilanga~real
Selanjutnya, gallbar 1 dapat dianalisis ballwa
dengar1tanda s a ~ ~ a ) .
tipe titik tetap TIn~erupakansi~npulyang bersiiat
Dari hasil tersebut dapat disinlpulkan bahwa tidak stabil karena orbit mnenjauhi titik asal, artinya
lipe titik telap TI (0,0) mempakal sinlpul yarlg rne~lggambarkan kedua spesies (spesies sernut
tidab stabil.
pekerja dan bulga violet) akan selalu tulnbuh dan
tidak pernah nlengalami kepunahan. Tipe titik
~ 0, karena semua sistem bergerak menuju titik tersebut.
a,,, azl t 0 r l ~ e n g ~ b a t k ahln < 0 d m 1 2 > 0. Pada kor~disiini kedua spesies dapat ludup bersama
Berdasarkan teorenla kestabilan jika 21, h2 (koeksis) dan bertahm ludup dalam jangka waktu
bilangm real, berbeda dengan tanda berlawanal tertentu, dengal syarat interaksi intra~pesi~knya
maka titik tetap T2 adalal~pelana (sadel) yang (interaksi antar spesies itu sendiri) 11arus lebih crat
dibandingm dengan interaksi
interspesifik
bersifat tidak stabil.
(interaksi dengan spesies yang lain).

tetap (Y, ,&, F3) diperoleh dengan menentukan
dxl/dt = 0, dr2/dt= 0 dan dxddt = 0, yaitu :

Galnbar 1. Orbit kestabilan untuk model dinalnik
dwispesies nlutualistik pada kondisi
al1a22- a12a21> 0.

-

Sistern persaniaan (32) (34) n~engl~asilkan
Sedangkan untuk kondisi kedua, yaitu : a, laz2- enarn titik tetap, yaitu :
a12a?lS 0 (interaksi interspesifiknya lebih domi~ian 1. Titik tetap Fl = (0, 0, 0) adalall solusi trivial
untuk persamaan (32) - (34), diperoleh dengan
dibandingkan dengan interaksi inmpesifiknya).
memilihq
=a,?, = O d m & = O .
Nilai-nilai pzametemya dipilih sebagai berikut :
a l l = 1, a), = 2, a2, =2, a,, =1, rl = 0.8 dan r, =
1'
diperolel~ dengan
0.8.
Orbit tersebut mengganlbarkan perilaku 2. Ti& tetap F, (-,O,O),
all
dinauik yang tidak stabil, karena orbit bergerak
memilih Y2 = 0 dan Y3 = 0.
nienjauhi titik tetap Tq (ganlbar 2).
3. Titik tetap F, ( 0 0 ) diperoleh dengan
a22
memilih 2, = 0 dan 2, = 0
r

a3?r2- azZr3

'32

'~3~32

4. Titik tetap F, ( 0 , L ,
dengan menlilih
5. Tit& tetap
Ga~nbar2. Orbit kestabilan untnk model diiaxnik
dwispesies n~ntualistik pada kondis?
a11a22- a12a21 < 0.
Pada kondisi tersebut kedua populasi spesies
iile~ilperoleh keuntungan yang berlebihan,
seliingga laju p e m b u l m meningkat tanpa batas
&an dapat menimbulkan peledakan populasi pada
kedua spesies. Hasil ini digambarkan sebagai
keuntungan mutual yang besar-besm. way, R.
M., 19761.
4.2

Analisis Model Dinamik 11ntuk lnteraksi
antara Dwispesies Mutualistik dengan
Kehadiran Spesies Predator

rl = 0 .

diperoleh dengan menliliil F3 = 0 .
6. Titik tetap F6 (.TI, q,F3) adalah titik tetap
dengan semua komponennya tidak no]. Untuk
menentukan titik tetap F b , terlebih
dahulu
selesaikan
persamaan
(Y4), sehingga

Kemudian dengan mensubstitusikan Y,
persamaan (32), maka akan diperoleh :

-

XI

4.2.1
Penentuan Titil; Tetap
Perhatikan kembali persamaan (21). Titik

) .diperoleli

= '3zrl

ke

+'lzr3
a11a32

Selanjutnya dengan mensubstitusikan jE, dan
F2 ke persamaan (33) akan diperoleh :

Evaluasi matriks N,(35) pada titik tetap-ti(ik
tetap yang telah diperoleh, selungga diperoleh
matriks komunitas sebagai benkut :

Sehingga titik tetap F6adalal, :

(36)

Diasulnsikill~ titik tetap
positif.

(.TI, .T2,.T3)benulai

4.2.2 Konstrvksi Matriks Komunitas
Misalkan persanuan (21) diuyatakan dalam
bentuk berikut :
dx1
--F(x,,xz,x,)
dt

Dengan ~nelakukan pelinearan pada sisten~
persunaan (21) maka diperoleh matriks kon~nnilas
sebagai berikut :

a31

a32

dengan,
(35)

dengan,

a,, =al2.?,;

a13

a,, =rl - (2a11a2, -al*a,l )r1 -alla1*r2
a11a22 -a12a21

=0

a,, = a z l <

a,, = r, +azl% -2az2% -a2,jE3
-

a?, = -az3X2
a,, = 0; a,

a,, = 0
= a,,?,

-

a,, = -r, +a,,x,

Selur~ggadari 11asil di atas, dapat dibentuk
mei~jaciin~atrikskon~unitasyang lebih sederlma,
yaitu :

Sehingga dari hasil di atas, dapat dibeutuk
lnenjadi matriks komunitas yang lebih sederhana,
yaitu :

4.2.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap

'Kondisi kestabilan dari setiap ekuilibriuln Fl,
F2, F3, F4, Fs dan F, dapat dianalisis berdasarkan
tanda dari nilai eigen yang diperolel~ dengan
inengevaluasi niatriks N; di titik tetap tersebut.
Nilai eigen dapat diperoleh dengan menentukan
persamaan karakteristik berikut :

Berikut ini persamaan karaklerisrik untuk masing-masing tilik tetap F I ,Fz, F,, F4,Fs dan Fa yaitu
1. ~ ( h ) = d e t ( ~ , - h l ) = [ r , - ~ ] [ ~ - h ] [ - ~ - h ] = ~

a ?,3 -[r, +%>(al2- a Z 2 ) ] h 2+ [ a 2 3 a 3 2 ~ ++22?20i
F3

012

+

+ a 1 2 X 2 ) ] ~ ~ - [ a 2 j ~ ; 2 ~ ~ 3+a12%?1=0
(ri

~ + Bh ~ +~c = o

(46)

dengan,

A = - [ r, + z2(ai2-

5. Qi(h) = del

( ~ j-?.I)
i ~

)]

= [- aiiXI- h][-

?;'+[(a,,?, +a,,-)+(,i

-

"

- h][(-lj+ uj?x2)- A ] -

[(-lj

+

- h][0iP~i][c1211]=
0

-

-as2x2 ) ] h Z + [ ( a l I a 2 2 i I ~ z ) + +a22%)(r3
(~~,~
-a32%)]).

- [ ( n l l a z 2 ~(
,,
~i-a32..l)]=o
)
ohJ+~h2+~h+C=~
dengan.
A = [ r 3+ a l i ~+,i,(a2, -a,? )]

~ = [ ( a ~ ~ a ~ ~ ~ +a22X2)(r3
~ j t 2 ) +
-a3,z2)]
( a ~ ~ ~ ~
C = a l l a , 2 , j ~ i-2a l l a , 2 a 3 2 Y , ( ~ )=2 a I I a z 2 z I X 2 (-a3?y2)=O
r3

~ ? ? + A ~ ~ + B ~ + C = O
dengan,

A

= a l l % +aZ2%

Iicstxbilaa di Titik Tet;~pF,
Dengan menentukan persan~aan karakteristik
(43) diperoleh ~lilaieigen :
h , =r,, h, =,; h3 = - l ; .
Agar sistern di titik FI stabil ~uakallanls dipendii
syarat h l 0 dan < 0.
Dari hasil tersebut dapat disinrpulkan baliura
tipe titik tetap fi adalall sadel yang tidak stabil.

Selanjumya &an diperiksa kondisi berik~~t
:
1. A > 0 , -r,>.\(a,,-a,,)
karenaO 0,
dm X, > 0 , nlal,aA > 0 tidak terpenulti..
2. C > 0, tidak mungltin terpenulu, karena
diketaliui senlua llilai parametenlya positif
2, ,x, > 0 , Xj > 0 , r1 > 0, n12> 0. a2, > 0,
ajz> 0 sehingga C < 0.
3. Untuk kondisi AB > C tidak perlu diperiksa.
karena kondisi A > 0, C > 0 sudah tidak
n~ungkin nienlel~ulu syarat kondisi RoutllHunvitz.
De11ga1denukial titik temp F4lnenlpakan titik
tetap yang bersifat tidak stabil.
Kest:~bilandi Titik Tetap F5
Nilai eigen untuk nlatriks konlunitas Fj adalall
dengal mmentukan det (N,-XI) = 0 , sehingga
diperoleh persanlaan karakteristik (47). Kondisi
kestabilan dari persanlam (47) akan diketahui
dengan menggunakal kriteria Rorttll - Ifl~nsitz,
yaitn i;i titik tetap stabil, jika dar~h a n p jika :
. 1 > 0 , C > O dan A B - C > O

I a3,r2 I a,,. Dari l~asiltersebut
&pat disinlpiilka~bahwa tipe titik tetap Fj adalall
satlel yang bersifat tidak stabil.
Selanjutnya &an diperiksa kondisi berikut :
I 0 , k a r e n a 0 ' < r 3 < 1 , a ~ ~ , a , , > _ 0 , a 3 , > 0 ,
da11 berdasarkan asurnsi XI > 0 dan ?, > 0 ,
tersebut &an diketallui dengall menggt~nakan
kondisi Roctt!~ - If~tnvifz,yaitu :
rnaka A > 0 &an terpenulli jika a,? > a;?.
FI titik tetap stabil, jika d a i lra~yajika nlemenuhi 2. Sedangkan untuk kondisi C > 0 tidal, n~ungkin
syarat berikut :
terpenulu, karena jika .Y2 disubstitusikal ke
persmaan di atas, nlaka aka1 diperoleh C = 0.
3. Untuk kondisi AB > C tidak perlu diperiksa,
karena kondisi C > 0 sudall tidak nlungkin
~nenlenuhisyarat kondisi Routh- Ifzo?ritz.
Dengan detnikian titik tetap FS~nerupakantitik
tetap yang bersifat tidak stabil.

Kest;~I)il;~n
tli Titili Tet;111ITr,
~ ~ ~tetill)
.
FA
Mem1111t koudisi Ro111h - N I I I . I I : titk
.
aka11 stabil jilw d m har~yajika persalnalul (4s)
~nemenubisyarat berikut :

C = alla23a32.r~x2~3
-- -

.

. I >O. C>O dan .dB-C>O.
tlcngiln.

Selar~jnlnyaaka] diperiksa kondisi berikut irli
1. A > 0, karena berdasarkan asumsi
?, > 0, X2 > 0 , dan all, nz2 2 0, uiaka
2.

I:. = a l .TI +a??.Y2
U=41(allnll?l - r ~ ~ ~ n+nl;n;,.7;)
~~.T~

3.

kondisi tersebut sudall terper~utli.
C > 0, kareua F1 > 0 , % > 0 ,?, > 0 dan
all 2 0, 022 2 0, a12 0, a2, > 0, a23 > 0,
s,> 0, maka ko~rdisitersebut sudah terpe~mhi.
Sela~ljutl~ya
aka1 diperiksa kondisi AB- C > 0.

Menurut koltdisi Ro~~tli-Nu~?~~ilz,
kestabila~l Locbij: Nilai-ldlai parameteruya ditentukan scsuai
dengal syarat kestabilan pada kondisi (49), yaitu
sistem di titik tetap F6 dijilllliu jika dan fianya jika
meme~~~tlri
syarat (49). Kolldisi tersebut dapat r l = r z = r 3 = 0 . 8 , all=O.S, a t 2 = 0 . 5 , a 2 1 = 0 . 6 , a 2 2
dilafsirhul secara ekologis baltwa interaksi altar =o.s,a2~=0.S,a,,=0.8.
tidak dapat
spesies itu sertdiri (inWdspesifiWselj-reg~(Iatio~~) Karena software Locbf
wtuk
3
dimensi,
maka
menlproyeksikau
orbit
diralnbalr deligal efek negatif dari kehadirau
predator pada spesies ke-2 @unga violet), ltanls a~alisisorbit kestabilan untuk interaksi antara dua
lebil~ dominauerat
dihmdingkan
dengan spesies rnutualis (semut pekerja-bunga violet)
kcuntongan yaltg diperoleh &bat berinteraksi dengal satu spesies predator (hewan pengerat)
pada persarllam (21) diproyeksikan pa& dua
dcrlga~lspesies yang lair1 (interspesifik).
bidang, yaitu :
4.2.4
Orbit clan Kestabilan Sistem
Ber~kut illi diberikm ilustrasi orbit wtuk 1) Orbit kestabila~ sistern jika diproyeksikan
pada bidang xlx2 (lillat gambar 3).
sistem persamam (21) dengat bantuan software

-

perilaku di~iarnikpang slabil, terlil~atbd~n-asemua
orbit bergerak nlenuju ke sato titik tetap ~ a i t uF,.

Gambar 3 . Orbit kcstabilan mtuk iuteraksi altar2
xl, x? 'dengall x3, jika diproyeksikan
pada b i d a ~ g- x,x2.

Seda~~gkau
orbit pada proyeksi bida~g- xlx,x3
dapat diperoleh dengau banluan sofi\$farc.\lap/d,'
Relense 5.1.

2) Orbit kestabilan sistcnl jilia diproyeksik;~~~
pada bidang - xlx3 (lillat ganlbar 4).

Gali~bar6. Orbit kestabilan untuk interaksi antwa
x,, x2 dengal x3, jika diprol-eksikan
pada bidang - xlx2x3.
Ga~nbar4. Orbit kestabilan ur~tukinteraksi arltara
xi, x, dengan x3, jika diproyeksikan
pada b i d a ~ g- x,.r,

Dari hasil orbit tersebut mengisyaralkan bahwa
tipe titik tetap i l l e ~ p ~ k spiral
a n yang stabil. artinya
bahwa sistem lersebtd inemnpui~yai idlai eigen
kompleks konjugasi. Kondisi ini secan nyata
3) Orbit kestabilm sistein j i b diproyeksikau mengganbarkan bduva kehadiran predator (hewan
pada bidill~g- x2x3(lihat ganlbar 5).
pengerat) sebagai spesies ketiga pa& interaksi
antar dua spesies lnutualis sangat berpengaruh
terlradap kestabilan sistem. Icetiga spesies dapat
Iudup bersarua (koeksis) d m dengal &!.a dukung
a l a n yang tersedia, kenlungkinan terjadinya
peledakan ataupun kepu~~allan
populasi spesies
F6 stabil
sangat kecil.
Predator pada sistem tersebut
berperax sebagi~i mekanislne pengendali y a w
berfungsi untuk mengatnr laju perturnbullan dari
kedua pop1:lasi spesies n~utualisdan hasilnya dapat
rnelnbawa sistem menuju ke keadaau ideal.
Kondisi kestabilan sisteiem dijani11 jika dan
Gautbar 5. Orbit kestabilan lu11uk interaksi altars hanya jika interaksi a11tar spesies itu sendiri
xi, x, dengal x3, jika diproyeksikar~ (intraspesifik1seIf-~egulalion)ditan~bab dengal
pada bidang - x2x3.
eEek negatif dari kehadiran predator yang
nlenlangsa spesies ke-2 (bunga violet), h s lebib
Walaupul~ orbit digalnbarkan ke dalanl 3 dominderat dibaldingkan dengan kemlh~ngan
b~dangyang berbeda, tetapi dari ketiga gallbar di yang diperoleh akibat berintemksi dengan spesies
alas. mer~unjukkanhubu:~ganyang saling berkaitan yang lain (interspesifik).
satu salna laimlya. Ketiga orbit n~engganlbarkan

@y&

Icondisi kestabilal dai ketiga iuodel tersebut,
inasing-masing diberikau ole11 titik tetap-titik temp
berikut :

I.

Model
di~ta~nik dwispesies ~llutualistik
fakultatif (20)_ stabil asimtotik di titik tetap

(

a l l r ~+at2r2
alla2,-alzalt

-azlrt + a t t >

3'

=

a12a,tij - alla,,rj + al aj2r2+ a,a11a23a32

Dari titik ekuilibriu~u tersebut, kondisi
kestabilal pada siste~ndijanun jika da11 hanya
n~e~llenul~i
kondisi berikut :

Q I , ~ -, a~l , a z l

(023a32F2Xj)
( a l l < ) ' +alln22Fl.?2)

Kondisi kestabilan a s i ~ ~ ~ t o tdijlu~li~l
ik
jika
dan
11a1lp jika
i~~ernent~lu s p r a t
a,,a,, -a1,a,, > 0 , artli~ya bahwa kedl~a
popi~lasidapat lidup bersanla (koeksis) dalaiu
jangka waktu tertentu, dengan syarat interaksi
intraspesifik~lya h m ~ s lebill erat/domi~ran
dibandingku~dengm iillteraksi interspesifik.

2.

>n12a?.1

Kondisi tersebut dapat ditafsirkan secara
ekologis ballvza interaksi altar spesies itu sendin
(intraspesifrWsel/-regulatio~z) ditamnbal~ dengal
efek ~ ~ e g a t i fdari keliadira~ predator yang
lnenlangsa spesies ke-2 @unga violet), h a u s lebih
dominaderat dibandingkan dengm keuntungrm
yang diperoleh akibat berinteraksi dengan spesies
Model dilra111ik ~lliltu;tlistik u11tuk iilteraksi yang laill (interspesifik).
dwispesies ~ll~~tualistik
dengan kehadir;~~
Dari kedua nlodel di~cullik
spesies predator (21), 111encapai kondisi dapat disimptilkan bal~waked
stabil di titik tetap F, (?, .F2. Fj) , yaitu :
inodel yang realistis, terganlung
daya dukung a l a n itu se~ldiri.

DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 1987. Al/abar Linear Ele~,re~zter. May, R M 197Gb. Model for
populations. IN Theoritical
Terjemahm Padur Silabatl. Erl;ulgga, Jakarta.
andApplicatio~z.
Fisher, S. D. 1990. Coiirples l/ariables. Edisi
ke-2. Wadsword1 & Brooks/ColeBooks & Post, W. M, et. ;11,. 1986. Positive Feedback in
natural systems. Bionratheniatics. 1599-125.
Soflware, California.
Hasibuan, K.M. 1989. Penrodelmi A.falei~raliltn Rindengan, A. J. 1999. Aialisis kestabilan dua
pemalgsa satu malgsa. Skripsi.
Jumsan
cii dalani Biologi Populasi. PAU Ilillu Hayat
Matenialika FMIPA IPB, Bogor.
IPB, Bogor.
Heithaus, et. al. 1980. Models of some Ant- Travis, C. C, et. at.,. 1981. Evolution of
~nutualisrllbetween species, hal. 183-199. Di
Plant 111utualism. Anrericaii ~Valuralist.
dalam S. N. Buserberg & K. L. Cooke
116:347-361.
@enyu~~ti~ig),
Differeiztial Equalfoils and
Applicatioizs irz Ecology, Epider,rics and
Ind;~ryani,L. 1999. Blfurkasi lokal pada titik
Populatioiz Problerrr. Academic Press. San
tetap
non-luperbolik.
Skripsi.
Julusan
Francisco.
Maten~atikaFMIPA IPB, Bogor.
May, R M. 1973a. Stabilily and Corriplexily irr
Model Ecosysle~ns.. Prillceton Univesity Press,
Princeton.

Tu, N. V. 1994.
Dynanjical Syslenr A)?
Iiztroduction with A,pplication in Economic and
Biology. S p h g e r - Verlag, Heidelberg.

ANALISIS KESTABILAN MODEL DINAMIK MUTIJALISTIK

ADE AFIATI

JURUSAN MATEMATIICA
FAICULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2001

I PENDAHULUAN
predator dapat meninlbulkan stabilitas pada sisteln
1.1 Latar Bel:~ltaog
Suatu k o ~ ~ ~ u n iterdiri
t a s dari beberapa populasi dwispesies n~utualistik. Oleh karei~aitu diperlukan
yaug saling berintemksi pa& tiugkat yang suatu j a n u n a ~dari kriteria kestabilan n~atematika
ben,ariasi. Sale11 satu interi~ksi populasi yalrg agar populasi spesies tersebut dapat ludup bersanra
terjadi di d a l m ekosistem adalah interaksi (koeksis).
Pada tulisan ini akan dibal~as suatu konsep
nu~ltualistikyaitu l~ubungan timbal balik altar&
spesies berbeda yang saling menguntungkan. nlateu~atika yang berguna untuk mengetallui
Model d i ~ u l i i kmutualistik mengasurnsikai bbal~wa kondisi kestabilai sistem pada beberapa model
k e l ~ a d i m ~populasi spesies teaentu dapat diiianik mutualistik yaitu interaksi altara dua
~~leningkatkanlaju pertl~mbuhan populasi dari spesies dan tinga spesies. Pembahasan tersebut
disajikan dalam dua bentuk studi kasus ulituk
spesies yang lain.
Pci~.jehsan mengenai interaksi tersebut interaksi berikut :
tlitul~jukkan dengal ~nenggunakan
n~odel 1) Intenksi anlara semut pekerja dengal buunga
violet ( ~ ~ ~ u t t ~ a/aktillalifi
lis~~re
matematika yailg dikelubangkan ole11 beberapa
l~eneliti.Salal~satu model nlaten~atikayang paling 2) Interaksi aitara sen~utpekerja dill1 bmlga violet
sebagai dua spesies mutualis dengan kehadiran
sederluu~a dan ba~y'ak digunakan ul~tuk
liewan pengerat sebagai spesies predator.
mengganbarkan il~teraksidwispesies n~utualistik
adalali model Lufko-Volter~~a
[May, R. M., 1976bl.
Sebagian alli ekologi inenga~ggap niodel 1.2 Tujuan
Tujuan penulisan k a v a ilmiah ini adalal~:
terscbut celldenlug k u m ~ g realistis, kare~ra
berdasarkall asumsinya, ~uaka laju pertul~~buhan 1. Mempelajari rliodel dinamik mnutualistik.
populasi kedua spesies dapat meningkat tanpa 2. Menganalisis kondisi kestabilan pada kedua
niodel dinanuk tersebut.
batas ruelebihi daya dukung lingkungannya [May,
R. M.? 1976bl. Melil~atkondisi tersebut Heithaus, 3. Menunjukkan bahwa kestabila~pada kedua
111odel dijamin jika dan hanya jika interaksi
et, al. (1982) men~buatsuatu model untuk interaksi
intraspesifiknya lebih dorninan daripada
tiga spesies yaitu deng