Kestabilan dari Model Dinamik Penyebaran Malaria - Diponegoro University | Institutional Repository (UNDIP-IR)

1 Kestabilan dari Model Dinamik Penyebaran Malaria

Renny Dwi Prastiwi, Widowati Jurusan Matematika FMIPA UNDIP

ABSTRAK

Pada paper ini dikemukakan model dinamik penyebaran malaria yang bergantung pada populasi manusia dan nyamuk. Model tersebut merupakan sistem persamaan differensial non linear dengan lima variabel tak bebas yaitu variabel jumlah manusia rentan, manusia terinfeksi, manusia kebal, nyamuk rentan, dan nyamuk terinfeksi per total masing – masing populasi. Selanjutnya dari model tersebut dicari solusi kasetimbangannya dan dianalisis kestabilannya. Hasil analisa menunjukkan bahwa model penyebaran malaria mempunyai enam titik kesetimbangan yang terdiri dari satu titik kesetimbangan bebas penyakit dan lima titik kesetimbangan endemik. Kestabilan ditentukan berdasarkan nilai eigen dari persamaan differensial non linear yang telah dilinearkan dengan menggunakan deret Taylor.

Kata kunci : model penyebaran malaria, titik kesetimbangan, nilai eigen, kestabilan ABSTRACT

In this paper we propose the dynamic model of the malaria spread which depend on human and mosquito populations. The form of the model is non linear differential equations system with five dependent variables i.e. succeptible humans, infectious humans, immune humans, succeptible mosquitos, and infectious mosquitos per each total populations. Further, from the model can be analyzed the stability of equilibrium. The result of analysis indicate that the spread of malaria model enable to have six equilibrium points which consist of one disease free equilibrium and five endemic equilibriums. Stability can be determined by the eigen values from non linear differential equations which have been linearized by using Taylor series.

Key words : the spread of malaria model, equilibrium point, eigen values, stability. 1. Pendahuluan

Malaria merupakan salah satu penyakit yang telah tersebar di beberapa wilayah di dunia [6]. Malaria disebabkan oleh parasit dari genus plasmodium. Ada empat jenis plasmodium yang dapat menyebabkan malaria, yaitu plasmodium falciparum dengan masa inkubasi 7-14 hari, plasmodium vivax dengan masa inkubasi 8-14 hari, plasmodium oval dengan masa inkubasi 8-14 hari, dan

plasmodium malaria dengan masa inkubasi 7-30 hari. Parasit-parasit tersebut ditularkan pada manusia melalui gigitan seekor nyamuk dari genus anopheles. Karena faktor penting pada penularan malaria adalah manusia dan nyamuk, maka dari kedua fator penting tersebut, dapat dibuat sebuah model penyebaran malaria yang bergantung pada populasi manusia dan nyamuk.

2 2. Model Penyebaran Malaria

Dalam rangka mengkonstruksi model penyebaran malaria, populasi manusia dan nyamuk akan dikelompokkan terlenih dahulu. Untuk populasi manusia terdapat empat kelompok yang terdiri dari kelas rentan (S_h), inkubasi (E_h), terinfeksi (I_h), dan kebal (R_h). Sedangkan populasi nyamuk hanya dibagi ke dalam tiga kelas, yaitu kelas rentan (S_v), inkubasi (

v

E ), dan terinfeksi (I_v). Pada populasi nyamuk tidak terdapat kelas kebal, karena periode infeksinya selalu berakhir dengan kematian. Dari kelas-kelas tersebut maka jumlah populasi manusia dapat dirumuskan dengan

h h h h

h S E I R

N = + + + , sedangkan

jumlah populasi nyamuk dirumuskan dengan N_v =S_v +E_v +I_v. Parameter – parameter lain yang digunakan antara lain kecepatan kelahiran per kapita untuk manusia dan nyamuk yang masing - masing adalah λ_hdan λ_v. Manusia dalam kelas kebal, kekebalannya akan semakin menurun dengan kecepatan β_h. Individu – individu dalam masa inkubasi akan menjadi terinfeksi dengan kecepatan v_h untuk manusia dan v_v untuk nyamuk. Individu – individu yang terinfeksi menjadi sembuh dan masuk ke dalam kelas rentan dengan kecepatan r_h, sedangkan individu yang terinfeksi menjadi sembuh dan masuk ke dalam kelas kebal dengan kecepatan α_h. Kecepatan kematian per kapita untuk populasi manusia dan nyamuk masing – masing dinyatakan dengan f_h(N_h) dan

) ( _v v N

f dengan f_h dan f_v diasumsikan

sebagai fungsi monoton naik. Individu – individu yang terinfeksi malaria meninggal dengan kecepatan γ_h.

Misal a_v adalah rata-rata jumlah gigitan per nyamuk per unit waktu, maka dengan melihat kembali kelas-kelas populasi manusia dan nyamuk, jumlah manusia terinfeksi per unit waktu dapat dirumuskan dengan

h h

v v vh _S

N I a c

   

 

. Sedangkan jumlah nyamuk terinfeksi per unit waktu dapat

dirumuskan dengan _v

h h v hv

S N

I a c

   

 

+

v h

h v hv

S N

R a c

  



dengan vh

c = penularan dari nyamuk yang terinfeksi ke manusia rentan hv

c = penularan dari manusia yang telah terinfeksi ke nyamuk rentan

hv c

~ = penularan dari manusia kebal yang telah terinfeksi ke nyamuk rentan

Dari parameter – parameter di atas , model penyebaran malaria dapat diformulasikan sebagai berikut

h h h h h h

h _{N R r I}

dt dS

+ +

=λ β

S N

I a c S N f

h v v vh h h

h 

  

  −

− ( ) ;

h h

v v vh h

S N

I a c dt dE

   

  =

h h h

h f N E

v ( ))

( +

− ;

h h h h h

h _{v E r} dt

dI

γ α + + −

= (

h h h N I f ( ))

3 h h h h h h h R N f I dt dR )) ( ( + −

=α β

− −

= v v v v v

v S N f N dt dS ) ( λ v h h v hv v h h v hv _S N R a c S N I a c       −       ~ ; +       = v h h v hv v _S N I a c dt dE v v v v v h h v

hv _{S v f N E}

N R a c )) ( ( ~ + −       ; v v v v v

v _{v E f N I} dt dI )) ( − = ; h h h h h h h h I N N f N dt dN γ

λ − −

= ( ) v v v v v v N N f N dt dN ) ( −

=λ (2.1)

sedangkan kecepatan kematian per kapita dirumuskan dengan

h h h h

h N N

f ( )=µ +µ₂ v v v v

v N N

f ( )=µ +µ₂

Untuk lebih memudahkan dalam menganalisa model, maka dilakukan pendefinisian variabel baru sebagai berikut , , , , h h h h h h h h N R R N I w N E v N S

u= = = =

v v v v v v N I z N E y N S

x= , = , =

sehingga

, 1

1 v u w R

R w v

u+ + + = ⇒ = − − −

y x y

z y

x+ + =1⇒ =1− −

Dengan pendefinisian parameter – parameter baru sebagai berikut

, , , v h v h

vt µ

β β µ λ λ µ

τ = = =

v h v h v h r r v v µ µ µ γ

γ = , = , =

, v h µ α α = v h µ µ ε = h h h v v v v v h v vh v h N N a c N N ) ( ) ( ) , ( 2 2 µ λ µ µ µ λ µ ξ − − = , , , , v v hv v hv v

v c a

c av c b a µ µ µ

λ _{= =}

= v v v e µ =

maka modelnya akan menjadi

uz wu rw R u d

du _{λ β γ ξ}

τ = (1− )+ + + −

2

) 1

( u R w

v d

dw _γ

τ = − − +

w v

r )

( + + + +

− α γ λ

R wR w d dR )

(β λ

γ α

τ = + − +

cxR bxw x a d dx − − − = (1 )

τ z e a x e d dz ) ( ) 1 ( − − + = τ (2.2)

4 3. Solusi Kesetimbangan Model

Misalkan (u*,w*,R*,x*,z*) adalah solusi kesetimbangan dari model, maka untuk mencarinya perlu diketahui bahwa kesetimbangan akan terpenuhi jika =0

dt dR

, =0

dt dw

, =0

dt dx

, =0

dt dz

,

0

=

dt du

. Dengan memasukkan syarat tersebut ke dalam persamaan (2.2) didapat

0

=

τ d dR

0 )

( + =

−

+ wR R

w γ β λ

α

w R

R ( )

)

(β+λ = α +γ

* *

* ( )

R R w

γ α

λ β

+ + =

(3.1)

0

=

τ d dw

2 * * *

) 1

( u R w

v − − +γ

0 )

( + + + + * =

− r α γ λ v w

dengan mensubstisuaikan persamaan (3.1), maka diperoleh

(

−

)

+

= *

*

1 R

u

(

) (

(

) (

)

)

(

R

)

v

R M

R R

2 *

* *

*

γ α

γ α λ

β γ λ β

+

+ −

+ +

(3.2)

0

=

τ d dx

0 )

1

( −x* −bx*w−cx*R* = a

dengan mensubstisuaikan persamaan (3.1), maka diperoleh

(

)

{

}

* *2

* *

R c R c b b a a

R a

x

γ α

λ β γ

α + + α+ γ+ + +

=

(3.3)

0

=

τ d dz

(

1−x*

)

−

(

a+e

)

z* =0 e

dengan mensubstisuaikan persamaan (3.2), maka diperoleh

×      

+ =

e a

e z*

(

)

(

)

(

)

(

)

_

  

+ +

+ + +

+ + +

2 * *

* *

R c R a b

c a

R R c b

c

γ γ

λ β α α

γ λ β α

(3.4) Karena u*,w*,x*,z* adalah persamaan yang mengandung R*, maka terlebih dahulu akan dicari nilai R* dengan mensubstitusikan persamaan (3.1) sampai (3.4) ke dalam persamaan

uz wu rw R u d

du

ξ γ β

λ

τ = (1− )+ + + −

sehingga nilai R* didefinisikan sebagai solusi polinomial berderajat 6 sebagai berikut

2 * 2 3 * 3 4 * 4 5 * 5 *

(A R A R A R A R

R + + +

0 )

0 *

1 + =

+AR A

dengan

ξ γ4 2 5 acDF v

A = ,

) ( )(

( (

3

4 =γ v Ac β +λ −B+aβ β +λ

A

ξ αv) AD(c aF)

a + +

+

) ) ) 2 ( ) (

(B a β λ 2 a α γ v ξ

cDF − + + −

+

) ( (

)( (

(

2

3 =γ A β+λ A −B+aβ β +λ

A

) ( )) (

( (

) α γ β λ

α + − + + +

+a v v B c a a

)) ) (

)

(aβγ −cαλ +aα cα +aγ v

+ + − +

+_D(_A2 _AF(_{B a}(β λ)2)

v E RF

a c

A(2 α+ (2 α+γ − γ))

2

) ( 2

( β λ

α − +

+cF v B a

) )) ) 3

(α γ v ξ

a −

+

) ( (

( )( (

(

2 =aγ A β +λ − A B+aλ β +λ

A

))

v aα

−

+ +

− +

−

+aγv( 2B a(β2 λ2 2αv))) ) ) ( 2 ( 2

( A2 +AF B−a β+λ 2 D

5

v F a

aF c

A(( + )α −3 (−1+ )γ)

+

) )) 3

( γ ξ

αv B a v

cF −

+ ,

) ( (

) ( ( (

2

1 =α − aAγ β+λ v B+aλ β +λ

A

))

v aα

−

v F aA

ABF A

D( 2 + −3 (−1+ )γ

+

) )

2 ξ

αγv acF

− ,

ξ

α3 (1 )

0 aAD v F

A = − ,

)) (

(α + β +λ

=v c b

A ,

)) (

(α + β +λ

=a v M B

) )

( )(

( v r M

a

D β λ α γ λ

ξ + + + +

= ,

λ γ

α + + + +

= r v

M ,

) )(

)( )(

(

)) ( (

λ γ α λ λ β

λ β α ξ

+ + + + + +

+ + =

r v e

a a

b c ev F

Maka jelas terdapat 6 solusi kesetimbangan dengan salah satu akarnya bernilai R* =0. Ketika R* =0

, maka E₀ :(u*,w*,R*,x*,z*)=(1, 0, 0, 1, 0) disebut Disease Free Equilibrium (DFE), yaitu kondisi dimana setiap individu dalam populasi tersebut belum terjangkit penyakit. Dan ketika R* ≠0, maka titik kesetimbangannya disebut kesetimbangan endemik.

4. Analisis Kestabilan

Kestabilan dari solusi setimbang

dapat dicari dengan linearisasi

persamaan (2.1) di titik

* * * * *

, , ,

,w R x z

u dengan menggunakan

ekspansi Taylor. Persamaan differensial non linear (2.1) jika dilinierisasi menjadi persamaan (4.1) sebagai berikut

R w u r u z w

dt

du _{= γ −λ−ξ + +γ +β}

) (

)

( * * *

+(0)x+(−ξu*)z,

R v w M w u

v dt dw

) ( ) 2

( )

(− + *− + −

= γ

z x (0) ) 0

( +

+ ,

+ +

+

= u R w

dt dR

) (

) 0

( α γ *

z x R

w ) (0) (0)

(γ * −β −λ + + ,

R cx w bx u

dt dx

) ( ) ( ) 0

( + − * + − *

=

z x x

a

) 0 ( )

(− _* +

+ ,

x e R w u

dt dz

) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0

( + + + −

=

z e

a )

( +

− , (4.1) dengan

* *

* a bw cR

x a

+ + =

)

(α + +γ + +λ

= r v

M

Jika JE adalah matriks Jacobian dari persamaan (4.1), I adalah matriks identitas, maka persamaan karakteristik nilai eigen dapat dicari dengan

0

=

− I

JE ζ . Persamaan karakteristik nilai eigen dari persamaan (4.1) adalah

5 4 3 3 2 4 1 5

a a

a

a + + +

+ ζ ζ ζ

ζ

dengan

3 2 1 *

1 B B B

x a e a

a = + + + + +

   

  _{+ +} +

+

= _{* *}

2 ( )

x a e a e a x

a a

) (

)

(B₁+B₂ +B₃ +B₁ B₂ +B₃ )

( _{4 5}

3

2B v B B

B + +

+

6

) 3 2 1 ( ) (

*

3 a e B B B

x a

a = + + + +

) (

( 1 2 3

* B B B

x a e

a  +

  

  _{+ +} +

)) ( _{4 5}

3

2B v B B

B + +

+

) (

)

( _{2 3 4 5 3 4}

1 B B vB v B B B

B + + +β

+

3 2 3 2 1 *

4 (a e)(B (B B ) B B

x a

a = + + +

   

  _{+ +} +

+

+ ( 4 5)) _*

x a e a B

B v

)) (

) (

(B₁ B₂B₃ +vB₄ +v B₅B₃ +βB₄ b

x evu* * ξ

−

) (

)((

( _{1 2 3 4}

*

5 a e B B B vB

x a

a = + +

)

4 3 5B B

vB +β

+

)

( _{4 3}

* *

bB cB x

evu +

−ξ

dengan B_i,i=1,...,5 fungsi – fungsi dari solusi R* yang diberikan oleh persamaan (3.1) sampai (3.4) sebagai berikut

,

* *

1 z w

B =λ+ξ −γ

, 2 * *

2 M w

B = − γ

,

*

3 w

B =β +λ−γ

*

4 R

B =α +γ ,

*

5 r u

B = +γ .

Dari nilai eigen tersebut dapat ditentukan kestabilan dari titik – titik kesetimbangan dengan menggunakan teori teori kestabilan. Jika semua nilai eigennya adalah bilangan real negatif atau komplek konjugat dengan bagian real negatif, maka titik kesetimbangan nya stabil asimtotik. Jika semua nilai eigennya sama dengan nol atau murni imajiner, maka titik kesetimbangannya stabil tetapi tidak asimtotik. Dan jika salah satu atau semua nilai eigennya adalah bilangan real positif atau komplek konjugat dengan bagian real positif, maka titik kesetimbangannya tidak stabil.

5. Studi Kasus

Pada bagian ini diberikan studi kasus dengan data sekunder yang diambil dari Dinas Kesehatan Kota Semarang tahun 2007. Sedangkan data jumlah penduduk Semarang tahun 2007 diambil dari Badan Pusat Statistik Semarang. Dari data diketahui jumlah kelahiran selama tahun 2007 = 22838, sedangkan jumlah penduduk tahun 2007 = 1454594. maka diperoleh angka kelahiran

0157006 ,

0 1000 1454594

22838 _{× =}

=

λ .

Jumlah penderita malaria sebanyak 34. maka laju individu dalam masa inkubasi

menjadi terinfeksi(v) =

12 34

= 2,8333, dengan rata – rata periode inkubasinya selama 12 hari. Laju individu terinfeksi menjadi sembuh dan masuk ke dalam kelas kebal(α) sebesar =

10 34

= 3,4, dengan rata – rata periode infeksinya selama 10 hari. Dari 34 penderita, ada satu penderita yang dalam 43 hari setelah sembuh kembali terinfeksi malaria. Maka laju individu dalam kelas kebal menurun kekebalannya dan kembali terinfeksi (β) =

43 1

7 dengan periode kekebalan 43 hari. Dari

34 kasus malaria tersebut, semuanya merupakan kasus impor, dimana individu yang terinfeksi digigit oleh nyamuk di luar kota semarang. Di kota semarang belum ditemukan nyamuk anopheles, dan bukan merupakan daerah endemis malaria. Maka angka kelahiran nyamuk bernilai nol. Dari data tersebut akan dibuat modelnya, kemudian dianalisis titik kesetimbangan dan kestabilannya.

a. Model penyebaran malaria

uz wu rw R u d

du

ξ γ β

λ

τ = (1− )+ + + −

=0,0157006(1−u)+0,0233R

w v r

w R u v d dw

) (

) 1

( − − + 2− + + + +

= γ α γ λ

τ

= 2,8333

(

1−u−R

)

−

(

3,4+0,0157006+2,8333

)

w =2,8333−2,8333u

w

R 6,249

8333 ,

2 −

−

(5.1)

R wR

w d

dR

)

(β λ

γ α

τ = + − +

= 3,4w−(0,0233+0,0157006)R

= 3,4w−0,039R cxR bxw x

a d dx

− − − = (1 )

τ

= 0(1−x)−0xw−0xR

= 0

z e a x e d dz

) ( ) 1

( − − +

=

τ

= 0(1−x)−0z

= 0

b. Solusi Kesetimbangan

Solusi kesetimbangan dari model di atas dapat dirumuskan sebagai berikut

* *

* ( )

R R w

γ α

λ β

+ + =

=

4 , 3

) 0157006 ,

0 0233 , 0

( + R*

= 0,01147R*

(

−

)

+

= *

*

1 R u

(

)

(

(

) (

)

)

(

R

)

v

R M

R R

2 *

* *

*

γ α

γ α λ

β γ λ β

+

+ −

+ +

= 1−R* −0,8286R* = 1−1,8286R*

0

* =

x

0

* ₌

z

Karena u*dan w* adalah persamaan yang mengandung R*, maka terlebih dahulu akan dicari nilai R* dengan mensubstitusikan persamaan *

u dan *

w

di atas ke dalam persamaan

* *

* *

) 1

( u R rw wu

d du

γ β

λ

τ = − + + +

* *

z u ξ

−

0 )

1

( −u +βR*+rw*+γw*u* −ξu*z* = λ

)) 8286 , 1 1 ( 1 ( 0157006 ,

0 − −

0 0233 ,

0 * =

+ R

0 0233 , 0 02871 ,

0 R* + R* =

0

* ₌

R

maka titik kesetimbangannya adalah

(

1,0,0,0,0

)

) , , , ,

(u* w* R* x* z* = c. Analisis Kestabilan

Bentuk persamaan differensial non linear (3.8) yang dilinierisasi adalah

R u

dt du

0233 , 0 ) 0157006 ,

0

(− +

= ,

w u

dt dw

) 429 , 6 ( ) 8333 , 2

(− + −

=

R

) 8333 , 2 (−

8

R w

dt dR

) 039 , 0 ( ) 4 , 3

( + −

= ,

(5.2)

0

=

dt dx

,

0

=

dt dz

,

Jika JE adalah matriks Jacobian dari persamaan (5.2), I adalah matriks identitas, maka persamaan karakteristik nilai eigen dapat dicari dengan

0

=

− I

JE ζ . Persamaan karakteristik nilai eigen dari persamaan (5.2) adalah

3 2

985502481 ,

9 3796379871 ,

0 ζ − ζ

−

5 4

4837006 ,

6 ζ −ζ

−

maka akar – akar persamaannya adalah

0

1 =

ζ 0

2 =

ζ

2 0390006094 ,

0

3 =−

ζ

416506190 ,

2

4 =−

ζ

028193800 ,

4

5 =−

ζ

Karena semua akarnya merupakan bilangan riil ≤0, maka menurut teori kestabilan, titik kesetimbangan

(

1,0,0,1,0

)

stabil tetapi tidak asimtotik. Untuk menggambarkan kondisi stabil tersebut dapat dilakukan dengan menentukan solusi dari sistem persamaan tersebut terlebih dahulu. Solusi sistem persamaan (5.2) berbentuk

t t

t

e C e C e C

u 1 2 3

3 3 2

2 1

1

ζ ζ

ζ _{σ σ}

σ + +

=

t t

e C e

C 4 5

5 5 4

4

ζ

ζ _σ

σ +

+

t t

t

e C e C e C

w 1 2 3

3 3 2

2 1

1

ζ ζ

ζ _{σ σ}

σ + +

=

t t

e C e

C 4 5

5 5 4

4

ζ

ζ _σ

σ +

+

t t

t

e C e C e C

R 1 2 3

3 3 2

2 1

1

ζ ζ

ζ _{σ σ}

σ + +

=

t t

e C e

C 4 5

5 5 4

4

ζ

ζ _σ

σ +

+

t t

t

e C e C e C

x 1 2 3

3 3 2

2 1

1

ζ ζ

ζ _{σ σ}

σ + +

=

t t

e C e

C 4 5

5 5 4

4

ζ

ζ _σ

σ +

+

t t

t

e C e C e C

z 1 2 3

3 3 2

2 1

1

ζ ζ

ζ _{σ σ}

σ + +

=

t t

e C e

C 4 5

5 5 4

4

ζ

ζ _σ

σ +

+

dimana ζ adalah nilai eigen dan σ adalah vector eigen yang diperoleh dengan menggunakan perhitungan

ζσ

σ =

JE

Dengan menggunakan metode matriks, solusi persamaan (5.2) adalah

+ +

+

= −

) ( 0,03900060942

3 2

1 C C e

C u

) (

)

( 2,416506190 ₅ 4,028193800

4

−

− ₊

e C e

C

2 1 0,0077294

0077294 ,

0 C C

w= +

) (

05163027 ,

72 ₃ −0,03900060942

+ C e

) (

1 0000001777 ,

0 2,416506190

4

−

+ C e

) (

0526761 ,

202 ₅ −4,028193800

+ C e

) 673845 ,

0 ( ) 673845 ,

0

( ₂

1 C

C

R = +

t

e

C₃(−103,0388665) −0,03900060942

+

t e

C 2,416506190

4( 1,000000404)

−

− +

t

e

C₅(−172,2100086) −4,028193800

+ 0

=

x 0

=

z

Gambar untuk solusi tersebut ditunjukkan pada gambar 5.2 berikut

9 Dari gambar tersebut dapat dilihat

bahwa individu – individu pada kelas rentan cenderung stabil, sedangkan individu pada kelas terinfeksi dan kelas kebal akan menuju ke titik

kesetimbangannya. Sedangkan nyamuk pada kelas rentan dan terinfeksi tidak ada, karena populasi nyamuk Anopheles di Semarang tidak ada.

6. Penutup

Model penyebaran malaria berupa sistem persamaan differensial non linear dengan lima variabel tak bebas yaitu variabel jumlah manusia rentan, manusia terinfeksi, manusia kebal, nyamuk rentan, dan nyamuk terinfeksi per total masing – masing populasi. Model penyebaran malaria memungkinkan mempunyai enam titik kesetimbangan yang dibagi menjadi dua macam yaitu DFE dan kesetimbangan endemik, dimana tiap titik

kesetimbangan tersebut dianalisis kestabilannya dengan menggunakan teori kestabilan. Jika semua nilai eigennya negatif maka titik kesetimbangannya stabil asimtotik. Jika nilai eigennya sama dengan nol atau murni imajinet maka titik kesetimbangannya stabil tetapi tidak asimtotik. Jika salah satu atau semua nilai eigennya positif maka titik kesetimbangannya tidak stabil.

7. Daftar Pustaka

[1]. Baex, Andy, ”Malaria”,

http://www.indonesiaindonesia.co m/f/7597-malaria/,diakses tanggal 11 Mei 2008

[2]. Boyce,W & Diprima, R, 1992. Elementary Differential Equation & Boundary Value Problem, Canada : John Wiley & Sons, Inc [3]. Cronin, Jane, 1994. Differential

Equations : Introduction and Qualitatif Theory, New York : Marcel Dekker. Inc

[4]. Finizio & Ladas, 1982. Ordinary Differential Equations With ModernApplications, New York : Wards Worth Inc

[5]. Nagle & Edward, 1986. Fundamentals of Differential Equation, second edition, California : Benyamin / Cummings Publishing Company Inc

[6]. Ngawa, Gideon A & William S. Shu , “A Mathematical Model For Endemic Malaria With Variable

Human And

Mosquitopopulations”,

http://www.ictp.trieste.it/pub_off

[7]. Ross, Stephley L, 1984. Differential Equation, Canada : John Wiley & Sons, Inc

4 3. Solusi Kesetimbangan Model

Misalkan (u*,w*,R*,x*,z*) adalah solusi kesetimbangan dari model, maka untuk mencarinya perlu diketahui bahwa kesetimbangan akan terpenuhi jika =0

dt dR

, =0 dt dw

, =0 dt dx

, =0 dt dz

,

0 = dt du

. Dengan memasukkan syarat tersebut ke dalam persamaan (2.2) didapat

0 = τ d dR

0 )

( + =

−

+ wR R

w γ β λ

α

w R

R ( )

)

(β+λ = α +γ *

*

* ( )

R R w

γ α

λ β

+ + =

(3.1) 0

= τ d dw

2 * * *

) 1

( u R w

v − − +γ

0 )

( + + + + * =

− r α γ λ v w

dengan mensubstisuaikan persamaan (3.1), maka diperoleh

(

−

)

+

= *

*

1 R

u

(

) (

(

) (

)

)

(

R

)

v

R M

R R

2 *

* *

*

γ α

γ α λ

β γ λ β

+

+ −

+ +

(3.2) 0

= τ d dx

0 )

1

( −x* −bx*w−cx*R* = a

dengan mensubstisuaikan persamaan (3.1), maka diperoleh

(

)

{

}

* *2

* *

R c R c b b a a

R a

x

γ α

λ β γ

α + + α+ γ+ +

+ =

(3.3) 0

= τ d dz

(

1−x*

)

−

(

a+e

)

z* =0

e

dengan mensubstisuaikan persamaan (3.2), maka diperoleh

×      

+ =

e a

e z*

(

)

(

)

(

)

(

)

_

  

+ +

+ + +

+ + +

2 * *

* *

R c R a b

c a

R R c b

c

γ γ

λ β α α

γ λ β α

(3.4) Karena u*,w*,x*,z* adalah persamaan yang mengandung R*, maka terlebih dahulu akan dicari nilai R* dengan mensubstitusikan persamaan (3.1) sampai (3.4) ke dalam persamaan

uz wu rw R u d

du

ξ γ β

λ

τ = (1− )+ + + −

sehingga nilai R* didefinisikan sebagai solusi polinomial berderajat 6 sebagai berikut

2 * 2 3 * 3 4 * 4 5 * 5 *

(A R A R A R A R

R + + +

0 ) 0 *

1 + =

+AR A dengan

ξ γ4 2 5 acDF v

A = ,

) ( )(

( ( 3

4 =γ v Ac β +λ −B+aβ β +λ

A

ξ αv) AD(c aF)

a + +

+

) ) ) 2 ( ) (

(B a β λ 2 a α γ v ξ

cDF − + + −

+

) ( (

)( (

( 2

3 =γ A β+λ A −B+aβ β +λ A

) ( )) (

( (

) α γ β λ

α + − + + +

+a v v B c a a )) ) (

)

(aβγ −cαλ +aα cα +aγ v + + − +

+_D(_A2 _AF(_{B a}(β λ)2) v E RF

a c

A(2 α+ (2 α+γ − γ)) 2 ) ( 2

( β λ

α − +

+cF v B a

) )) ) 3 (α γ v ξ a −

+

) ( (

( )( (

(

2 =aγ A β +λ − A B+aλ β +λ

A

)) v aα −

+ +

− +

−

+aγv( 2B a(β2 λ2 2αv))) ) ) ( 2 ( 2

( A2 +AF B−a β+λ 2 D

5 v

F a

aF c

A(( + )α −3 (−1+ )γ) +

) )) 3

( γ ξ

αv B a v

cF −

+ ,

) ( (

) ( ( ( 2

1 =α − aAγ β+λ v B+aλ β +λ

A

)) v aα −

v F aA

ABF A

D( 2 + −3 (−1+ )γ

+

) ) 2 ξ αγv acF

− ,

ξ α3 (1 ) 0 aAD v F

A = − ,

)) (

(α + β +λ =v c b

A ,

)) (

(α + β +λ =a v M B

) )

( )(

( v r M

a

D β λ α γ λ

ξ + + + +

= ,

λ γ

α + + + +

= r v

M ,

) )(

)( )(

(

)) ( (

λ γ α λ λ β

λ β α ξ

+ + + + + +

+ + =

r v e

a a

b c ev F

Maka jelas terdapat 6 solusi kesetimbangan dengan salah satu akarnya bernilai R* =0. Ketika R* =0 , maka E₀ :(u*,w*,R*,x*,z*)=(1, 0, 0, 1, 0) disebut Disease Free Equilibrium

(DFE), yaitu kondisi dimana setiap individu dalam populasi tersebut belum terjangkit penyakit. Dan ketika R* ≠0, maka titik kesetimbangannya disebut kesetimbangan endemik.

4. Analisis Kestabilan

Kestabilan dari solusi setimbang dapat dicari dengan linearisasi persamaan (2.1) di titik

* * * * *

, , ,

,w R x z

u dengan menggunakan

ekspansi Taylor. Persamaan differensial non linear (2.1) jika dilinierisasi menjadi persamaan (4.1) sebagai berikut

R w u r u z w

dt

du _{= γ −λ−ξ + +γ +β} ) (

)

( * * *

+(0)x+(−ξu*)z,

R v w M w u

v dt dw

) ( ) 2

( )

(− + *− + −

= γ

z x (0) ) 0 ( +

+ ,

+ +

+

= u R w

dt dR

) (

) 0

( α γ *

z x R

w ) (0) (0)

(γ * −β −λ + + , R cx w bx u

dt dx

) ( ) ( ) 0

( + − * + − * =

z x x

a

) 0 ( ) (− _* +

+ ,

x e R w u

dt dz

) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0

( + + + −

=

z e a ) ( +

− , (4.1) dengan

* * * a bw cR x

a

+ + =

) (α + +γ + +λ

= r v

M

Jika JE adalah matriks Jacobian dari persamaan (4.1), I adalah matriks identitas, maka persamaan karakteristik nilai eigen dapat dicari dengan

0 = − I

JE ζ . Persamaan karakteristik nilai eigen dari persamaan (4.1) adalah

5 4 3 3 2 4 1 5

a a

a

a + + +

+ ζ ζ ζ

ζ dengan

3 2 1 *

1 B B B

x a e a

a = + + + + +

   

  _{+ +} +

+

= _{* *}

2 ( )

x a e a e a x

a a

) (

)

(B₁+B₂ +B₃ +B₁ B₂ +B₃

)

( _{4 5}

3

2B v B B

B + +

+

6 )

3 2 1 ( ) ( *

3 a e B B B

x a

a = + + + +

) (

( 1 2 3 * B B B x

a e

a  +

  

  _{+ +} +

)) ( _{4 5} 3

2B v B B

B + +

+

) (

)

( _{2 3 4 5 3 4}

1 B B vB v B B B

B + + +β

+

3 2 3 2 1 *

4 (a e)(B (B B ) B B x

a

a = + + +

   

  _{+ +} +

+

+ ( 4 5)) _*

x a e a B

B v

)) (

) (

(B₁ B₂B₃ +vB₄ +v B₅B₃ +βB₄ b

x evu* *

ξ −

) (

)((

( _{1 2 3 4}

*

5 a e B B B vB x

a

a = + +

) 4 3 5B B

vB +β

+

) ( _{4 3} *

*

bB cB x

evu +

−ξ

dengan B_i,i=1,...,5 fungsi – fungsi dari solusi R* yang diberikan oleh persamaan (3.1) sampai (3.4) sebagai berikut

, * *

1 z w

B =λ+ξ −γ

, 2 * *

2 M w

B = − γ

, *

3 w

B =β +λ−γ

*

4 R

B =α +γ ,

* 5 r u B = +γ .

Dari nilai eigen tersebut dapat ditentukan kestabilan dari titik – titik kesetimbangan dengan menggunakan teori teori kestabilan. Jika semua nilai eigennya adalah bilangan real negatif atau komplek konjugat dengan bagian real negatif, maka titik kesetimbangan nya stabil asimtotik. Jika semua nilai eigennya sama dengan nol atau murni imajiner, maka titik kesetimbangannya stabil tetapi tidak asimtotik. Dan jika salah satu atau semua nilai eigennya adalah bilangan real positif atau komplek konjugat dengan bagian real positif, maka titik kesetimbangannya tidak stabil.

5. Studi Kasus

Pada bagian ini diberikan studi kasus dengan data sekunder yang diambil dari Dinas Kesehatan Kota Semarang tahun 2007. Sedangkan data jumlah penduduk Semarang tahun 2007 diambil dari Badan Pusat Statistik Semarang. Dari data diketahui jumlah kelahiran selama tahun 2007 = 22838, sedangkan jumlah penduduk tahun 2007 = 1454594. maka diperoleh angka kelahiran

0157006 ,

0 1000 1454594

22838 _{× =} =

λ .

Jumlah penderita malaria sebanyak 34. maka laju individu dalam masa inkubasi

menjadi terinfeksi(v) = 12 34

= 2,8333, dengan rata – rata periode inkubasinya selama 12 hari. Laju individu terinfeksi menjadi sembuh dan masuk ke dalam kelas kebal(α) sebesar =

10 34

= 3,4, dengan rata – rata periode infeksinya selama 10 hari. Dari 34 penderita, ada satu penderita yang dalam 43 hari setelah sembuh kembali terinfeksi malaria. Maka laju individu dalam kelas kebal menurun kekebalannya dan kembali terinfeksi (β) =

43 1

7 dengan periode kekebalan 43 hari. Dari

34 kasus malaria tersebut, semuanya merupakan kasus impor, dimana individu yang terinfeksi digigit oleh nyamuk di luar kota semarang. Di kota semarang belum ditemukan nyamuk anopheles, dan bukan merupakan daerah endemis malaria. Maka angka kelahiran nyamuk bernilai nol. Dari data tersebut akan dibuat modelnya, kemudian dianalisis titik kesetimbangan dan kestabilannya.

a. Model penyebaran malaria uz wu rw R u d

du

ξ γ β

λ

τ = (1− )+ + + − =0,0157006(1−u)+0,0233R

w v r

w R u v d dw

) (

) 1

( − − + 2− + + + +

= γ α γ λ

τ

= 2,8333

(

1−u−R

)

−

(

3,4+0,0157006+2,8333

)

w

=2,8333−2,8333u w R 6,249 8333

,

2 −

−

(5.1) R

wR w d

dR

) (β λ γ

α

τ = + − +

= 3,4w−(0,0233+0,0157006)R = 3,4w−0,039R

cxR bxw x

a d dx

− − − = (1 ) τ

= 0(1−x)−0xw−0xR = 0

z e a x e d dz

) ( ) 1

( − − + =

τ

= 0(1−x)−0z = 0

b. Solusi Kesetimbangan

Solusi kesetimbangan dari model di atas dapat dirumuskan sebagai berikut

* *

* ( )

R R w

γ α

λ β

+ + = =

4 , 3

) 0157006 ,

0 0233 , 0

( + R*

= 0,01147R*

(

−

)

+

= *

*

1 R

u

(

)

(

(

) (

)

)

(

R

)

v

R M

R R

2 *

* *

*

γ α

γ α λ

β γ λ β

+

+ −

+ +

= 1−R* −0,8286R*

= 1−1,8286R*

0 * = x

0 * ₌ z

Karena u*dan w* adalah persamaan yang mengandung R*, maka terlebih dahulu akan dicari nilai R* dengan mensubstitusikan persamaan *

u dan * w di atas ke dalam persamaan

* *

* *

) 1

( u R rw wu

d du

γ β

λ

τ = − + + +

* *

z u

ξ −

0 )

1

( −u +βR*+rw*+γw*u* −ξu*z* =

λ

)) 8286 , 1 1 ( 1 ( 0157006 ,

0 − −

0 0233 ,

0 * =

+ R

0 0233 , 0 02871 ,

0 R* + R* =

0 * ₌ R

maka titik kesetimbangannya adalah

(

1,0,0,0,0

)

) , , , ,

(u* w* R* x* z* =

c. Analisis Kestabilan

Bentuk persamaan differensial non linear (3.8) yang dilinierisasi adalah

R u

dt du

0233 , 0 ) 0157006 ,

0

(− +

= ,

w u

dt dw

) 429 , 6 ( ) 8333 , 2

(− + −

=

R ) 8333 , 2 (−

8 R

w dt

dR

) 039 , 0 ( ) 4 , 3

( + −

= ,

(5.2) 0

= dt dx

, 0 = dt dz

,

Jika JE adalah matriks Jacobian dari persamaan (5.2), I adalah matriks identitas, maka persamaan karakteristik nilai eigen dapat dicari dengan

0 = − I

JE ζ . Persamaan karakteristik nilai eigen dari persamaan (5.2) adalah

3 2

985502481 ,

9 3796379871 ,

0 ζ − ζ

−

5 4 4837006 ,

6 ζ −ζ

−

maka akar – akar persamaannya adalah

0 1 = ζ

0 2 = ζ

2 0390006094 ,

0 3 =− ζ

416506190 ,

2 4 =− ζ

028193800 ,

4 5 =− ζ

Karena semua akarnya merupakan bilangan riil ≤0, maka menurut teori kestabilan, titik kesetimbangan

(

1,0,0,1,0

)

stabil tetapi tidak asimtotik. Untuk menggambarkan kondisi stabil tersebut dapat dilakukan dengan menentukan solusi dari sistem persamaan tersebut terlebih dahulu. Solusi sistem persamaan (5.2) berbentuk

t t

t

e C e C e C

u 1 2 3

3 3 2

2 1

1

ζ ζ

ζ _{σ σ}

σ + +

=

t t

e C e

C 4 5

5 5 4

4

ζ

ζ _σ

σ +

+

t t

t

e C e C e C

w 1 2 3

3 3 2

2 1

1

ζ ζ

ζ _{σ σ}

σ + +

=

t t

e C e

C 4 5

5 5 4

4

ζ

ζ _σ

σ +

+

t t

t

e C e C e C

R 1 2 3

3 3 2

2 1

1

ζ ζ

ζ _{σ σ}

σ + +

=

t t

e C e

C 4 5

5 5 4

4

ζ

ζ _σ

σ +

+

t t

t

e C e C e C

x 1 2 3

3 3 2

2 1

1

ζ ζ

ζ _{σ σ}

σ + +

=

t t

e C e

C 4 5

5 5 4

4

ζ

ζ _σ

σ +

+

t t

t

e C e C e C

z 1 2 3

3 3 2

2 1

1

ζ ζ

ζ _{σ σ}

σ + +

=

t t

e C e

C 4 5

5 5 4

4

ζ

ζ _σ

σ +

+

dimana ζ adalah nilai eigen dan σ adalah vector eigen yang diperoleh dengan menggunakan perhitungan

ζσ σ = JE

Dengan menggunakan metode matriks, solusi persamaan (5.2) adalah

+ +

+

= −

) ( 0,03900060942 3

2

1 C C e C

u

) (

)

( 2,416506190 ₅ 4,028193800 4

−

− ₊

e C e

C

2 1 0,0077294 0077294

,

0 C C

w= +

) (

05163027 ,

72 ₃ −0,03900060942

+ C e

) (

1 0000001777 ,

0 2,416506190 4

−

+ C e

) (

0526761 ,

202 ₅ −4,028193800

+ C e

) 673845 ,

0 ( ) 673845 ,

0

( ₂

1 C

C

R = +

t

e

C₃(−103,0388665) −0,03900060942 +

t e

C 2,416506190 4( 1,000000404)

− −

+

t

e

C₅(−172,2100086) −4,028193800 +

0 =

x

0 =

z

Gambar untuk solusi tersebut ditunjukkan pada gambar 5.2 berikut

9 Dari gambar tersebut dapat dilihat

bahwa individu – individu pada kelas rentan cenderung stabil, sedangkan individu pada kelas terinfeksi dan kelas kebal akan menuju ke titik

kesetimbangannya. Sedangkan nyamuk pada kelas rentan dan terinfeksi tidak ada, karena populasi nyamuk Anopheles di Semarang tidak ada.

6. Penutup

Model penyebaran malaria berupa sistem persamaan differensial non linear dengan lima variabel tak bebas yaitu variabel jumlah manusia rentan, manusia terinfeksi, manusia kebal, nyamuk rentan, dan nyamuk terinfeksi per total masing – masing populasi. Model penyebaran malaria memungkinkan mempunyai enam titik kesetimbangan yang dibagi menjadi dua macam yaitu DFE dan kesetimbangan endemik, dimana tiap titik

kesetimbangan tersebut dianalisis kestabilannya dengan menggunakan teori kestabilan. Jika semua nilai eigennya negatif maka titik kesetimbangannya stabil asimtotik. Jika nilai eigennya sama dengan nol atau murni imajinet maka titik kesetimbangannya stabil tetapi tidak asimtotik. Jika salah satu atau semua nilai eigennya positif maka titik kesetimbangannya tidak stabil.

7. Daftar Pustaka

[1]. Baex, Andy, ”Malaria”,

http://www.indonesiaindonesia.co m/f/7597-malaria/,diakses tanggal 11 Mei 2008

[2]. Boyce,W & Diprima, R, 1992.

Elementary Differential Equation & Boundary Value Problem, Canada : John Wiley & Sons, Inc [3]. Cronin, Jane, 1994. Differential

Equations : Introduction and Qualitatif Theory, New York : Marcel Dekker. Inc

[4]. Finizio & Ladas, 1982. Ordinary

Differential Equations With

ModernApplications, New York : Wards Worth Inc

[5]. Nagle & Edward, 1986.

Fundamentals of Differential

Equation, second edition,

California : Benyamin / Cummings Publishing Company Inc

[6]. Ngawa, Gideon A & William S. Shu , “A Mathematical Model For Endemic Malaria With Variable

Human And

Mosquitopopulations”,

http://www.ictp.trieste.it/pub_off

[7]. Ross, Stephley L, 1984. Differential Equation, Canada : John Wiley & Sons, Inc