Suatu Pendekatan Layak Sekitar Untuk Menyelesaikan Persoalan Letak Lokasi DEPO

SUATU PENDEKATAN LAYAK SEKITAR UNTUK MENYELESAIKAN PERSOALAN LETAK LOKASI DEPO
TESIS
OLEH
ROLAN PANE 107021019/MT
PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara

SUATU PENDEKATAN LAYAK SEKITAR UNTUK MENYELESAIKAN PERSOALAN LETAK LOKASI DEPO
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains Dalam
Program Studi Magister Matematika Pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
OLEH
ROLAN PANE
107021019/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara

Judul

: Suatu Pendekatan Layak Sekitar Untuk Menyelesaikan

Persoalan Letak Lokasi DEPO

Nama

: Rolan Pane

NIM

: 107021019

Program Studi : Matematika

Menyetujui Komisi Pembimbing,

Dr. Sutarman, Msc Ketua

Dr. Saib Suwilo, Msc Anggota

Ketua Program Studi

Dekan

Prof. Dr. Herman Mawengkang, MSc Tanggal lulus : 11 Agustus 2012
iii

Dr. Sutarman, MSc
Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada tanggal 11 Agustus 2012
PANITIA PENGUJI TESIS : Ketua : Dr. Sutarman, MSc Angota : 1. Dr. Saib Suwilo, MSc
2. Prof. Dr. Herman Mawengkang, MSc 3. Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, Msi
iv
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Dalam tesis ini dibahas suatu persoalan kombinatorial yaitu persoalan penempatan letak lokasi depo yang didasarkan pada peroalan rute dan telekomunikasi, untuk persoalan yang sederhana bisa diselesaikan dengan metode Branch and Bound, tetapi untuk persoalan dengan skala besar (sangat sulit), metode ini tidak begitu efisien.
Kombinasi eksak dan pendekatan metode Heuristik dapat digunakan untuk memperoleh penyelesaian yang dekat ke optimal. Kata kunci : Rute, Lokasi, Heuristik, Integer Progamming.
v
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT In this thesis, a combinatoric problem is discussed, that is a problem of locating depos by considering route and telecommunication network. The exact Branch and Bound method can be used to slve a simple problem. However, for a large scale problem the exact method is no longer efficient.
Combinning the exact and heuristic approach method can be used to get the near optimal solution for the large problems. Keywords: Routing, Location, Heuristic, Integer Progamming.
vi
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat allah SWT yang telah memberikan kesempatan dan kekuatan kepada Penulis untuk menyelesaikan tugas akhir yang berjudul Suatu Pendekatan Layak Sekitar Untuk Menyelesaikan Persoalan Letak Lokasi DEPO sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister pada Program Pascasarjana Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Penghargaan dan ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada pihakpihak yang telah membantu dan memberikan kontribusi sehingga selesainya tesis ini, yaitu:
1. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan motivasi dan pengarahan serta kontribusi sehingga selesainya tesis ini.
2. Bapak Dr. Sutarman, MSc, sebagai Pembimbing I dan Bapak Dr. Saib Suwilo sebagai Pembimbing II yang telah membimbing dan memberikan arahan untuk kesempurnaan tesis ini.
3. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, MSc, dan Bapak Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, MSc selaku Tim Penguji yang telah membimbing dan memberikan arahan untuk kesempurnaan tesis ini.
4. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan materi perkuliahan dan pembekalan selama perkuliahan sehingga selesainya tesis ini.
5. Ibu Misiani, S. Si, staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang banyak membantu bidang administrasi.
6. Rekan-rekan Dosen Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau yang telah bahu membahu, senasib sepenanggungan dalam menggapai cita-cita untuk meningkatkan mutu dan layanan kepada mahasiswa.
vii
Universitas Sumatera Utara

7. Bapak Rektor Universitas Riau dan rekan FMIPA Universitas Riau yang telah memberikan bantuan dan rekomendasi, izin belajar serta motivasi kepada kami dalam menyelesaikan perkuliahan ini.
8. Kepada Isteri tercinta Desmaini, SPd, serta Ananda Apriliani Pane, Leonardo Pane, S.H, Tripuspa Rini yang telah memberikan dorongan dan semangat kepada penulis dalam menyelesaikan perkuliahan ini.

Semoga Yang Maha Kuasa berkenan membalasnya dan pahala setimpal dan semoga tesis ini dapat memberikan kontribusi kepada pihak yang memerlukannya.
viii
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP Rolan Pane dilahirkan di Sipirok tanggal 26 Maret 1956, anak kedelapan dari 8 bersaudara. Menamatkan SD tahun 1969 di SD Negeri 3 Sipirok, SMP Negeri 104 Sipirok tahun 1972 dan SMA Negeri 1 di Sipirok tahun 1975.
Melanjutkan pendidikan ke jurusan Matematika FIPIA Universitas Riau dan menyelesaikan Gelar Sarjana Muda (Gelar BSc) tahun 1980 serta melanjutkan Sarjana Lengkap Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau tahun 1981 dan menyelesaikan tahun 1985.
Tahun 1983 penulis diterima sebagai Tenaga Administrasi di FMIPA Universitas Riau sampai tahun 1985, kemudian sejak Oktober 1985, diangkat jadi staf pengajar di FMIPA Universitas Riau.
Tahun 2011 Penulis dengan izin Belajar dari Rektor Universitas Riau melanjutkan Pendidikan ke Program Studi Magister FMIPA Universitas Sumatra Utara Medan.
ix
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
LEMBAR PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1. PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Metodologi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. PROGRAM INTEGER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1 Program Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Program Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Metode Solusi Dalam Integer Progamming Pendekatan Pem-
bulatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4 Pendekatan Grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5 Pendekatan Gomory (Cutting Plane Algorithm) . . . . . . 14 2.6 Kendala Gomory Dalam Pure Integer Progamming . . . . 14 2.7 Metode Branch dan Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3. VEHICLE ROUTING PROBLEM . . . . . . . . . . . . . 23
x
Universitas Sumatera Utara

3.1 Penempatan Fasilitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Pendekatan Pada Penempatan Fasilitas . . . . . . . . . . . 24 3.3 Vehicle Routing Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4 Vehicle Routing and Scheduling . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.1 Methods for Routing and Scheduling . . . . . . . . 30 3.5 Penyelesaian Vehicle Routing Problems . . . . . . . . . . . 31 4. MODEL MATEMATIKA PCLP dan PENYELESAIANNYA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.1 Model Matematika PCLP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Metode Pendekatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3 Menguatkan Model LP-Relaksasi . . . . . . . . . . . . . . 38 5. KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

xi
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Dalam tesis ini dibahas suatu persoalan kombinatorial yaitu persoalan penempatan letak lokasi depo yang didasarkan pada peroalan rute dan telekomunikasi, untuk persoalan yang sederhana bisa diselesaikan dengan metode Branch and Bound, tetapi untuk persoalan dengan skala besar (sangat sulit), metode ini tidak begitu efisien.
Kombinasi eksak dan pendekatan metode Heuristik dapat digunakan untuk memperoleh penyelesaian yang dekat ke optimal. Kata kunci : Rute, Lokasi, Heuristik, Integer Progamming.
v
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT In this thesis, a combinatoric problem is discussed, that is a problem of locating depos by considering route and telecommunication network. The exact Branch and Bound method can be used to slve a simple problem. However, for a large scale problem the exact method is no longer efficient.
Combinning the exact and heuristic approach method can be used to get the near optimal solution for the large problems. Keywords: Routing, Location, Heuristic, Integer Progamming.
vi
Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Sebuah tekhnologi baru dalam Telekomunikasi merupakan tantangan pada permasalahan desain jaringan. Pada tesis ini, akan ditampilkan permasalahan baru yang berhubungan dengan desain akses jaringan lokal Global System for Mobile communications (GSM). Jaringan GSM merupakan jaringan selular, tiap cell dilayani oleh Base Transceiver Station (BTS), sama halnya seperti stasiun radio. Beberapa BTS terhubung oleh Base Station Controller (BSC), baik secara langsung atapun melalui BTS lainya. BSC mengatur jaringan radio dan bertanggung jawab pada pengaturan pemanggilan dan penyerahan. Mobile Switching Centers (MSC) merupakan otak dari jaringan selular. Di satu sisi tiap MSC terhubung oleh kelompok BSC dan menuju kabel telepon dengan lainnya. Saat telepon selular diinisialisasi dengan panggilan, MSC merutekannya ke controller yang tepat (bagian ini menggunakan jaringan selular yang sama) atau ke jaringan kabel telepon. Saat ini arsitektur GSM, jaringan akses local meliputi BSC dan BTS ini menyajikan bentuk bintang atau pohon. Meskipun struktur ring berdasar fiber optik yang menawarkan fitur baru dan menarik dan yang sekarang akan digunakan. Tesis ini mengusulkan sebuah pendekatan untuk memecahkan masalah kombinatorial yang muncul dalam konteks perjalanan telekomunikasi.
1
Universitas Sumatera Utara

Dalam hal ini akan ditampilkan Plant-Cycle Location Problem (PCLP), berhubungan dengan Capacitated Facility Location Problem (CFLP) (lihat Cornuegols et al 1990). Ditentukan dua set lokasi, satu diasosiasikan ke pelanggan dan yang lainnya diasosiasikan ke penempatan yang berpotensial (memainkan aturan BSC pada konteks telekomunikasi). Jarak koneksi diantara dua lokasi diasumsikan menjadi diketahui dan simetris. Pembukaan tiap penempatan potensial diberikan biaya yang diketahui. Selain itu, tiap penempatan yang berpotensi memiliki kapasitas yang membatasi jumlah pelanggan yang dilayani. Sebagai CFLP, PCLP terdiri dari memilih penempatan yang dibuka dan menugaskan pelanggan untuk membuka penempatan yang meminimalkan biaya. Penemuan ini berkaitan dengan CFLP yang ada pada PCLP, pelanggan ditugaskan untuk menempati dan harus dilayani dengan siklus, sedangkan biaya solusi juga termasuk biaya rute. Bentuk siklus merupakan topologi yang menarik dalam telekomunikasi karena saat membandingkan dengan tiga bentuk, siklus menjamin hubungan dan juga menyediakan kegagalan untuk bertahan.
PCLP melihat kumpulan disjoint siklus meliputi semua pelanggan, tiap satu siklus berisi satu penempatan yang pasti, dan meminimalkan penjumlahan total.
• Biaya pembukaan penempatan yang terseleksi
• Biaya jumlah penempatan
• Biaya rute Masalah berdasarkan kapasitas yang menghambat batas jumlah pelanggan
2
Universitas Sumatera Utara

yang bisa dilayani oleh penempatan terbuka. Dalam kasus yang umum, permintaan yang berbeda bisa diasosiasikan ke tiap pelanggan dan hambatan akan membatasi permintaan total yang disajikan oleh tiap penempatan. Namun, penambahan ini tidak ditampilkan pada aplikasi yang mendukung PCLP (lihat Billionnet, Elloumi dan Grouz Djerbi 2002).
Saat hanya ada satu penempatan dan tidak ada biaya tugas, PCLP yang tak tertampung mengubah bentuk lain menjadi Traveling Salesman Problem (TSP). Di samping itu, PCLP mengubah bentuk lain menjadi Vehicle Routing Poblem (VRP) dimana semua penempatan memiliki lokasi yang sama. Oleh karena itu, PCLP adalah persoalan yang sangat sulit dan memiliki beberapa aplikasi pada konteks rute (lihat contoh Toth dan Vigo 2001 untuk survey). Pada saat tertentu, beberapa pekerjaan pada desain optimal struktur ring pada telekomunikasi telah dibuat di beberapa tahun terakhir. Makalah oleh Billionent, Elloumi dan Grous djerbi 2002 menunjukkan tujuan nyata dari pekerjaan tersebut. Makalah ini fokus pada pengembangan metode solusi eksak dan heuristik bagi Synchronous Digital Hierarchy Network Design Problem (SDHNDP), dimana jumlah dan jenis ring harus dipilih. SDHNDP terhubung oleh Warehouse Location-Routing Problem (WLRP) yang dikenalkan oleh Perl dan Daskin tahun 1985, dimana kendaraan berbeda yang tersedia ditiap Depo dan beberapa diantara mereka harus diseleksi untuk melayani pelanggan (jadi generalisasi ini kemudian dikenal dengan Multi Depot Vehicle Routing Problem karena lokasi depot harus ditentukan). WLRP adalah masalah lokasi rute
3
Universitas Sumatera Utara

yang rumit yang merupakan pendekatan heuristik (lihat Hansen et al). Belakangan ini, Albareda, D’iaz and Fern’andes 2002 menunjukan ekstensi dari PCLP dimana pelanggan dihubungkan dengan permintaan yang sesuai yang menampilkan heuristic tabu search dan lower bound untuk memecahkan kasus sampai 10 penempatan dan 30 pelanggan, disini juga diselesaikan kasus secara optimal sampai 5 penempatan dan 10 pelanggan. Pada tesis ini diajukan modul program linear integer 0-1 untuk persoalan tersebut.
1.2 Rumusan Masalah Untuk menyelesaikan persoalan penempatan lokasi bisa digunakan metode Branch and Bound, tetapi untuk persoalan dengan skala besar (yang sangat sulit) metode ini tidak bisa menghasilkan penyelesaian yang optimal, maka pada tesis ini diajukan gabungan metode eksak dan metode heuristik yang diharapkan dapat menghasilkan penyelesaian yang optimal.
1.3 Tujuan Penelitian Adapun yang menjadi tujuan dari penelitian ini adalah bagaimana menyelesaikan permasalahan kombinatorial (persoalan penempatan lokasi) dengan menggunakan metode pendekatan layak sekitar, sehingga didapat hasil yang optimum.
4
Universitas Sumatera Utara

1.4 Manfaat Penelitian Penelitian ini memberikan sumbangan pengetahuan terkait tentang persoalan kombinatorial. 1.5 Metodologi Penelitian Metode penelitian ini bersifat studi literatur. Dimana untuk mencari hasil yang optimum dari permasalahan letak lokasi Depo digunakan beberapa teori pendukung yang berkaitan dengan permasalahan antara lain :

1. Teori-teori yang berkaitan dengan PCLP dan CFLP 2. Teori-teori masalah Rute, Lokasi, Heuristik dan Integer Programing
5
Universitas Sumatera Utara

BAB 2 PROGRAM INTEGER
2.1 Program Linear Program linear merupakan metode matematika untuk mengalokasikan sumber daya yang biasanya terbatas supaya mencapai hasil yang optimal, misalnya memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. Oleh karena itu progam linear banyak dipergunakan dalam menyelesaikan masalah-maslah, antara lain ekonomi dan industri.
Para pengambil keputusan sering menghadapi masalah dalam menentukan alokasi sumber daya yang terbatas karena mereka menginginkan hasil yang seoptimal mungkin. Dengan menggunakan model program linear, para pengambil keputusan dapat memprediksi hasil yang akan diperoleh.
Bentuk umum model program linear adalah: Max(min)Z = cjxj.
Kendala aijxj(≤, =, ≥)bi, (i = 1, 2, ..., m), xj ≥ 0, (j = 1, 2, ..., m).
6
Universitas Sumatera Utara

Di mana xj : banyaknya kegiatan j (j = 1, 2, ..., n), Z : nilai fungsi tujuan, cj : sumber per-unit kegiatan, untuk masalah memaksimalkan cj menunjukkan
keuntungan per-unit per-kegiatan, sedangkan untuk kasus meminimalkancj menunjukkan biaya per-unit per-kegiatan, b : besarnya sumber daya i (i = 1, 2, ..., m), aij : banyaknya sumber daya i yang dipakai sumber daya j.
2.2 Program Integer
Pada masalah Program Linear penyelesaian optimalnya dapat berupa bilangan real yang berarti penyelesaian bisa berupa bilangan pecahan. Untuk penyelesaian yang berbentuk pecahan jika mengalami pembulatan ke integer terdekat maka hasil yang diperoleh bisa menyimpang jauh dari yang diharapkan. Akan tetapi banyak permasalahan di kehidupan nyata yang memerlukan penyelesaian variabel keputusannya berupa integer sehingga harus dicari model penyelesaian masalah sehingga diperoleh penyelesaian integer yang optimum.
Program Integer merupakan pengembangan dari Program Linear di mana beberapa atau semua variabel keputusannya harus berupa integer. Jika hanya sebagian variabel keputusannya merupakan integer maka disebut Program Integer campuran ( mixed Integer Progamming ). Jika semua variabel keputusannya bernilai integer disebut Program Integer murni ( pure Integer Progamming ).
7
Universitas Sumatera Utara

Sedangkan Program Integer 0-1 merupakan bentuk Program Integer di mana semua variabel keputusannya harus bernilai integer 0 atau 1 (binary).
Bentuk umum model Program Integer adalah:

Kendala

Max(min)Z = cjxj.

aijxj(≤, =, ≥)bi, (i = 1, 2, ..., m), xj ≥ 0, (j = 1, 2, ..., m),
xj bernilai integer untuk beberapa atau semua j.
Bentuk umum model Program Integer 0-1 adalah:

Kendala

Max(min)Z = cjxj.

aijxj(≤, =, ≥)bi, (i = 1, 2, ..., m), xj = 0 atau xj = 1, (j = 1, 2, ..., n).

2.3 Metode Solusi Dalam Integer Progamming Pendekatan Pembulatan
Suatu metode yang sederhana dan kadang-kadang praktis untuk menyelesaikan integer progamming adalah dengan membulatkan hasil variabel keputusan yang diperoleh melalui LP. Pendekatan ini mudah dan praktis dalam hal usaha,

8
Universitas Sumatera Utara

waktu dan biaya yang diperlukan untuk memperoleh suatu solusi. Bahkan, pendekatan pembulatan dapat merupakan cara yang sangat efektif untuk masalah integer progamming yang besar dimana biaya-biaya hitungan sangat tinggi atau untuk masalah nilai-nilai solusi variabel keputusan sangat besar. Contohnya, pembulatan nilai solusi jumlah pensil yang harus diproduksi dari 14.250,2 menjadi 14.250,0 semestinya dapat diterima. Namun demikian sebab utama kegagalan pendekatan ini adalah bahwa solusi yang diperoleh mungkin bukan solusi integer optimum yang sesungguhnya.
Dengan kata lain, solusi pembulatan dapat lebih jelek dibanding solusi integer optimum yang sesungguhnya atau mungkin merupakan solusi tak layak. Ini membawa konsekuensi besar jika jumlah produk-produk seperti pesawat angkut komersial atau kapal perang yang harus diproduksi dibulatkan ke bilangan bulat terdekat.
Tiga masalah berikut disajikan untuk mengilustrasikan prosedur pembulatan: Masalah 1

Maksimumkan Dengan syarat

Z = 100X1 + 90X2 10X1 + 7X2 ≤ 70 5X1 + 10X2 ≤ 50 X1 + X2 ≥ 0

9
Universitas Sumatera Utara

Masalah 2

Minimumkan

Z = 200X1 + 400X2

Dengan syarat

10X1 + 25X2 ≥ 100

3X1 + 2X2 ≥ 12

X1 + X2 ≤ 0

Masalah 3

Maksimumkan Dengan syarat

Z = 80X1 + 100X2 4X1 + 2X2 ≤ 12 X1 + 5X2 ≤ 15 X1 + X2 ≤ 0

Perbandingan antara solusi dengan metode simpleks tanpa pembatasan bilangan bulat, pembulatan ke bilangan bulat terdekat dan solusi integer optimum yang sesungguhnya untuk ketiga masalah tersebut adalah:

10
Universitas Sumatera Utara

Masalah Solusi dengan metode Dengan pembulatan Bulat optimum

simpleks

terdekat

sesungguhnya

1 X1 = 5, 38 X2 = 2, 31 Z = 746, 15

X1 = 5 X2 = 2 Z = 680

X1 = 7 X2 = 0 Z = 700

2 X1 = 1, 82

X1 = 2

X1 = 3, X2 = 3

X2 = 3, 27

X2 = 3

X1 = 5, X2 = 2

Z = 1.672, 73

Z = tak layak

Z = 1.800

3 X1 = 2, 14 X2 = 1, 71 Z = 343

X1 = 2 X2 = 2 Z = tak layak

X1 = 0 X2 = 3 Z = 300

Masalah pertama adalah masalah maksimasi, dimana solusi pembulatan menghasilkan keuntungan 680, hanya lebih kecil 20 dibanding yang dihasilkan solusi bulat optimum 700. Masalah kedua adalah masalah minimasi dimana solusi pembulatan adalah tak layak. Ini menunjukan bahwa meskipun pendekatan adalah sederhana, namun kadang-kadang menyebabkan solusi tak layak. Untuk mencegah ketidaklayakan, nilai solusi simpleks dalam masalah minimasi harus dibulatkan ke atas. Misalnya, pada masalah kedua jika solusi dibulatkan ke atas diperoleh X1 = 2 dan X2 = 4 dan merupakan solusi layak. Sebaliknya, pada masalah maksimasi nilai solusi simpleks semestinya dibulatkan ke bawah.
Pada msalah ketiga, solusi pembulatan juga tak layak. Namun, seperti dalam masalah minimasi, jika solusi simpleknya X1 = 2, 14 dan X2 = 1, 71 dibulatkan ke bawah menjadi X1 = 2 dan X2 = 1, maka solusinya menjadi

11
Universitas Sumatera Utara

layak. Ini dapat dibuktikan dengan meneliti masing-masing kendala model dengan nilai variabel keputusan yang telah dibulatkan kebawah.
Suatu metode yang serupa dengan pendekatan pembulatan adalah prosedur coba-coba (trial and eror ). Dengan menggunakan cara ini, pengambil keputusan mengamati solusi integer dan memilih solusi yang mengoptimumkan nilai fungsi tujuan. Metode ini sangat tidak efektif jika masalahnya melibatkan sejumlah besar kendala dan variabel. Terlebih lagi, memeriksa kelayakan setiap solusi yang dibulatkan banyak memakan waktu.

2.4 Pendekatan Grafik

Masalah Integer Progamming yang melibatkan hanya dua variabel dapat diselesaikan secara grafik. Pendekatan ini identik dengan metode grafik LP dalam semua aspek, kecuali bahwa solusi optimum harus memenuhi persyaratan bilangan bulat. Mungkin pendekatan termdah untuk menyelesaikan masalah integer progamming dua dimensi adalah menggunakan kertas grafik dan mengambarkan sekumpulan titik-titik integer dalam ruang solusi layak. Masalah berikut akan diselesaikan dengan pendekatan grafik.

Maksimumkan Dengan syarat

Z = 100X1 + 90X2 10X1 + 7X2 ≤ 70 5X1 + 10X2 ≤ 50 X1 ; X2 ≥ non negatif integer

12
Universitas Sumatera Utara

Model ini serupa dengan model LP biasa. Perbedaannya hanya pada kendala terakhir yang mengharapkan bahwa variabel terjadi pada nilai non negatif integer.
Solusi grafik masalah ini ditunjukkan pada gambar di bawah ini:
X2

10 10X1 + 7X2 = 70

5 C

Z = 746, 15
Z = 700 B

A 5X1 + 10X2 = 50

0

7 10

X1

Ruang solusi layak adalah OABC. Solusi optimum masalah LP ditunjukkan pada titik B, dengan X1 = 5, 38 dan X2 = 2, 31 serta Z = 746, 15. Untuk mencari solusi integer optimum masalah ini, garis Z (slope = -9/10) digeser secara sejajar dari titik B menuju titik asal. Solusi integer optimum adalah titik integer pertama yang bersinggungan dengan garis Z. Titik itu adalah A, dengan X1 = 7 dan X2 = 0 serta Z = 700.

13
Universitas Sumatera Utara

2.5 Pendekatan Gomory (Cutting Plane Algorithm)
Suatu prosedur sistematik untuk memperoleh solusi integer optimum terhadap pure integer progamming pertama kali dikemukakan oleh R.E. Gomory. Ia kemudian memperluas prosedur ini untuk menangani kasus yang lebih sulit yaitu mixed integer progamming.
Langkah-langkah prosedur Gomory diringkas seperti berikut: 1. Selesaikan masalah integer progamming dengan menggunakan metode
simpleks. Jika masalah sederhana, ia dapat diselesaikan dengan pendekatan grafik, sehingga pendekatan Gomory kurang efisien. 2. Periksa solusi optimum. Jika semua variabel basis memiliki nilai integer, solusi optimum integer telah diperoleh dan proses solusi telah berakhir. Jika satu atau lebih variabel basis masih memiliki nilai pecah, teruskan ke tahap 3. 3. Buatlah suatu skala Gomory (suatu bidang pemotong atau cutting plane) dan cari solusi optimum melalui prosedur dual simpleks. Kembali ke tahap 2.
2.6 Kendala Gomory Dalam Pure Integer Progamming
Tabel optimum masalah LP di bawah ini merupakan tabel solusi optimum kontinyu
14
Universitas Sumatera Utara

Basis X1 Xm w1 wn Solusi

Z 0 . . . 0 c1··· cn

b0

X1 1 . . . 0 a11··· a1n b1

Xm 0 1 am1 amn b1

• Variabel Xi (i = 1, ..., m) menunjukan variabel basis. • Variabel Xj (j = 1, ..., n) adalah variabel non bebas. Perhatikan persamaan ke i dimana variabel X1 diasumsikan bernilai non integer
Xi = bi − aijwj dimana b non integer
Kemudian pisahkan bi dan aij menjadi bagian yang bulat dan bagian pecah non negatif seperti berikut:
bi = bi + fi jadi fi = bi − bi, dimana 0 ≤ fi ≤ 1 aij = aij + fij jadi fij = aij − aij, dimana 0 ≤ fij ≤ 1
2.7 Metode Branch dan Bound
Metode Branch and Bound merupakan kode komputer standar untuk integer progamming, dan penerapan-penerapan dalam praktek tampaknya menyarankan bahwa metode ini lebih efisien dibanding dengan pendekatan Gomory. Teknik ini dapat diterapkan baik untuk masalah pure maupun mixed integer progamming.

15
Universitas Sumatera Utara

Langkah-langkah metode Branch and Bound untuk masalah maksimasi dapat dilakukan seperti berikut:
1. Selesaikan masalah LP dengan metode simpleks biasa tanpa pembatasan bilangan bulat.
2. Teliti solusi optimumnya. Jika variabel basis yang diharapkan bulat adalah bulat, solusi optimum bulat telah tercapai. Jika satu atau lebih variabel basis yang diharapkan bulat ternyata tidak bulat, lanjutkan ke langkah 3.
3. Nilai solusi pecah yang layak dicabangkan ke dalam sub-sub masalah. Tujuannya adalah untuk menghilangkan solusi kontinyu yang tidak memenuhi persyaratan bulat dalam masalah itu. Pencabangan itu dilakukan melalui kendala-kendala mutually exclusive yang perlu untuk memenuhi persyaratan bulat dengan jaminan tidak ada solusi bulat layak yang tidak diikut sertakan.
4. Untuk setiap sub-masalah, nilai solusi optimum kontinyu fungsi tujuan ditetapkan sebagai batas atas. Solusi bulat terbaik menjadi batas bawah (pada awalnya, ini adalah solusi kontinyu yang dibulatkan ke bawah). Sub-sub masalah yang memiliki batas atas kurang dari batas bawah yang ada, tidak diikut sertakan pada analisa selanjutnya. Suatu solusi bulat layak dalah sama baik atau lebih baik dari batas atas untuk setiap sub masalah yang dicari. Jika solusi yang demikian terjadi, suatu sub masalah dengan batas atas terbaik dipilih untuk dicabangkan. Kembali
16
Universitas Sumatera Utara

ke langkah 3.

Untuk memperoleh gambaran yang lebih jelas tentang metode Branch and Bound, perhatikan contoh masalah berikut:

Maksimumkan Dengan syarat

Z = 3X1 + 5X2 2X1 + 4X2 ≤ 25 X1 ≤ 8 2X2 ≤ 10 X1; X2 non negatif integer

Solusi optimum kontinyu masalah ini adalah X1 = 8, X2 = 2, 26 dan Z = 35, 25.
Solusi ini menunjukan batas awal. Batas bawah adalah solusi yang dibulatkan ke bawah X1 = 8, X2 = 2 dan Z = 34. Dalam metode Branch and Bound, masalah itu dibagi ke dalam dua bagian untuk mencari nilai solusi bulat yang mungkin bagi X1 dan X2. Untuk melakukan ini, variabel dengan nilai solusi pecah yang memiliki bagian pecah terbesar dipilih. Karena pada solusi ini hanya X2 yang memiliki bagian pecahan, ia dipilih. Untuk menghilangkan bagian pecah dari nilai X2 = 2, 25, dua kendala baru dbuat. Kendala-kendala ini mewakili dua bagian baru dari masalah itu. Dalam hal ini, dua nilai bulat terdekat terhadap 2,25 adalah 2 dan 3. Sehingga diperoleh dua masalah baru melalui dua kendala mutually exclusive, X2 ≤ 2 dan X2 ≥ 3, yang akan diuraikan berikut ini sebagai bagian dari A dan B. Kendala-kendala ini secara

17
Universitas Sumatera Utara

efektif menghilangkan semua nilai pecah yang mungkin bagi X2, antara 2 dan 3. Pengaruhnya mereka mengurangi ruang solusi layak sedemikian rupa sehingga angka solusi bulat yang diealuasi pada masalah ini makin sedikit.
Bagian A

Maksimumkan Dengan syarat

Z = 3X1 + 5X2 2X1 + 4X2 ≤ 25 X1 ≤ 8 2X2 ≤ 10 (berlebih) X2 ≤ 2 X1; X2 ≥ 0

Bagian B

Maksimumkan Dengan syarat

Z = 3X1 + 5X2 2X1 + 4X2 ≤ 25 X1 ≤ 8 2X2 ≤ 10 X2 ≤ 3 X1; X2 ≥ 0

Bagian A dan B diselesaikan tanpa pembatasan bilangan bulat dengan metode simpleks. Solusi grafik kedua bagian itu ditunjukkan pada gambar dibawah ini. Solusi simpleknya adalah:

18
Universitas Sumatera Utara

Bagian A : X1 = 8, X2 = 2, dan Z = 34, Bagian B : X1 = 6, 5, X2 = 3, dan Z = 34, 5.
Bagian A menghasilkan suatu solusi yang semuanya bulat. Untuk bagian A batas atas dan bawah adalah Z = 34. Solusi pecah bagian B membenarkan pencarian lebih lanjut karena menghasilkan nilai fungsi tujuan yang lebih besar dari batas atas bagian A. Sangat mungkin bahwa pencarian lebih lanjut dapat menghasilkan suatu solusi yang semuanya bulat dengan nilai fungsi tujuan melebihi batas atas bagian A = 34.
Bagian B dicabangkan ke dalam dua sub bagian, b1 dan b2, pertama dengan kendala X1 ≤ 6 dan yang lain dengan X2 ≥ 7. Kedua sub-masalah dinyatakan sebagai berikut: Sub bagian B1

Maksimumkan Dengan syarat

Z = 3X1 + 5X2 2X1 + 4X2 ≤ 25 X1 ≤ 8 (berlebih) 2X2 ≤ 10 X2 ≥ 3 X1 ≤ 6 X1; X2 ≥ 0

19
Universitas Sumatera Utara

Sub bagian B2

Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2

Dengan syarat

2X1 + 4X2 ≤ 25

X1 ≤ 8

2X2 ≤ 10

X2 ≥ 3

X1 ≥ 7

X1; X2 ≥ 0

Solusi simpleksnya adalah : Sub-bagian B1 : X1 = 6, X2 = 3, 25 dan Z = 34, 25, Sub-bagian B2 : tidak layak.
Karena sub-bagian B1 menghasilkan nilai fungsi tujuan yang lebih besar dari 34 (batas atas bagian A), maka harus dicabangkan lagi ke dalam dua sub masalah, dengan kendala X2 ≤ 3 dan X2 ≥ 4. Kedua kendala sub masalah diberi nama bagian B1a dan B1b.

20
Universitas Sumatera Utara

Bagian B1a

Maksimumkan Dengan syarat

Z = 3X1 + 5X2 2X1 + 4X2 ≤ 25 2X2 ≤ 10 (berlebih) X2 ≤ 3 X2 ≥ 3 X1 ≤ 6 X1; X2 ≥ 0

Bagian B1b

Maksimumkan Dengan syarat

Z = 3X1 + 5X2 2X1 + 4X2 ≤ 25 2X2 ≤ 10 X2 ≥ 3 (berlebih) X2 ≥ 4 X1 ≤ 6 X1; X2 ≥ 0

Solusi optimum dengan metode simpleks adalah : Sub-bagian B1a : X1 = 6, X2 = 3 dan Z = 33, Sub-bagian B1b : X1 = 4, 25, X2 = 4 dan Z = 33, 5.
Kedua solusi itu memiliki batas atas ( Z = 33 dan Z = 33, 5 ) yang lebih
21
Universitas Sumatera Utara

buruk dibanding dengan solusi yang dihasilkan oleh bagian A. Karena itu, solusi

bulat optimum adalah X1 = 8, X2 = 2 dan Z = 34 yang dihasilkan oleh bagian

A.

Jika pencarian telah diselesaikan, solusi bulat dengan fungsi tujuan tertinggi

(dalam masalah maksimasi) dipilih sebagai solusi optimum.

Hasil perhitungan diatas dapat digambarkan pada gambar berikut:

X2 ≤ 2

Solusi bulat optimum

X1 = 8 X2 = 2 Z = 34

X ≤3

Inferior

0 X1 ≤ 6

X1 = 8 X2 ≥ 3

X2 = 2, 25

Z = 35, 25

1

2
X2 ≥ 4
X1 = 6 X2 = 3, 25 Z = 34, 25

Inferior

X1 = 6, 5 X2 = 35 Z = 34, 5

X1 ≥ 7 Tak layak

22
Universitas Sumatera Utara

BAB 3
VEHICLE ROUTING PROBLEM
3.1 Penempatan Fasilitas
Hampir setiap sektor swasta dan publik dihadapi pada tugas mencari fasilitas. Untuk pertimbangan Verter dan Dincer (1995); jenis pekerjaan semakin penting karena dunia sedang berkembang menuju global. Oleh karena itu, Depo ditempatkan di negara dan wilayah yang berbeda. Berbagai model telah dikembangkan untuk menganalisis penempatan fasilitas depo sebagai keputusan untuk mengoptimalkan satu atau lebih tujuan, sesuai dengan fisik, struktural, dan kebijakan yang tebatas implementasi pemerintah, insentif dalam berbagai statis atau deterministik pasangan. J. Rarick, S. Revelle C. (1998) berpendapat karena modal yang besar pada pengeluaran, penempatan fasilitas dilaksanakan dalam jangka panjang. Akibatnya, mungkin ada ketidakpastian parameter dari penempatan lokasi.
Penempatan fasilitas depo memiliki peran penting karena pemilihan lokasi secara langsung berhubungan dengan sistem gambar, pengontrolan inventaris dan penanganannya, nasabah dan suplayer. Sebuah lokasi yang baik memberikan keuntungan strategis terhadap persaingan. Untuk memberikan pelayanan kepada nasabah yang berpotensi lebih baik dengan jangka pendek yang dinyatakan oleh Jayarman dan Vaidyanathan (1998) sebagai penempatan berbagai outlet perusahaan dapat meningkatkan aksesibilitasnya sehingga meningkatkan
23
Universitas Sumatera Utara

pelayanan bagi nasabah. Kumral M (2004) mengatakan bahwa penentuan penempatan fasilitas adalah fenomena yang biasa ditemukan di daerah penelitian. Penempatan fasilitas berarti penempatan fasilitas yang direncanakan berkaitan dengan fasilitas lainnya menurut beberapa kendala. Ada beberapa metode kuantitatif dan kualitatif yang diterapkan untuk permasalahan penempatan fasilitas yang dijelaskan oleh Chen dan Sha (2011).
3.2 Pendekatan Pada Penempatan Fasilitas
Masalah klasik pada penempatan telah dibahas selama bertahun-tahun, seperti yang diprakarsai oleh Weber (1909), bagaimanapun, model yang bisa diterapkan hanya pada tahun 1960 ditelaah ulang dengan kemampuan komputasi otomatis oleh Laporte dan Revelle (1996). Banyak metode dapat diterapkan dalam permasalah penempatan fasilitas depo. Salah satunya adalah metode metrik k-median yang digunakan oleh Arya, N. Et al. (2004). Ia menyatakan kesenjangan lokalitas dari prosedur pencarian lokal untuk minimalisasi permasalahan sebagai rasio maksimum sebagai solusi optimal (diperoleh dengan menggunakan prosedur ini) untuk pengoptimalan global.
Jungthirapanich dan Benyamin (1995) menjelaskan ringkasan kronologis penelitian studi antara tahun 1875-1990 di lokasi industri umum, menyatakan secara tidak langsung bahwa, sering di masa lalu, sejumlah faktor kuantitatif seperti transportasi dan biaya kerja diambil ketika perusahaan membuat keputusan penempatan, tetapi pada saat ini terjadi perluasan metoda yang mana
24
Universitas Sumatera Utara

faktor kualitatif dan kuantitatif telah berkembang dengan jelas. Biaya adalah konsep utama dalam penempatan keputusan internasional dan mungkin ada trade-off antara berbagai jenis biaya. Atthirawong dan MacCarthy (2003) menyatakan faktor penempatan biasanya mempengaruhi penempatan keputusan internasional.
Masalah penempatan fasilitas meliputi berbagai formulasi, yang mana dalam kisaran kompleksitas dari jenis model komoditas deterministik linier tunggal yang sederhana menjadi multi komoditas nonlinier versi stokastik yang disarankan oleh Jayaraman danVaidyanathan (1998). Hoffman dan J Schniederjans (1994) menyatakan bahwa untuk strategi ekspansi global pada perusahaan penempatan fasilitas memiliki peran penting. Akan tetapi hanya sedikit jurnal yang membahas untuk membantu perusahaan untuk menggunakan strategi ini.
Menurut Jayaraman, Vaidyanathan (1998) model matematika memiliki banyak keuntungan untuk membantu desain metodologi yang saling berhubungan. Model matematika tersebut menjawab pertanyaan berapa banyak fasilitas harus diletakkan, di mana penempatan untuk fasilitas tersebut dan bagaimana pengaruh faktor penempatan pada pemilihan ini.
Menurut Chuang (2002), QFD digunakkan untuk faktor penempatan fasilitas. Kriteria Lokasi dan faktor pertimbangan lainnya memiliki nilai dan model berisi persyaratan penempatan (persyaratan kualitas yang mereka harapkan), kriteria penempatan (karakteristik Kualitas yang mereka harapkan), pentingnya bobot kebutuhan, pentingnya tingkat kriteria penempatan dan derajat normal-
25
Universitas Sumatera Utara

isasi kriteria penempatan. Semua ini yang berhubungan dalam sebuah matriks. Tujuannya adalah apakah persyaratan penempatan dan kriteria penempatan memuaskan.
3.3 Vehicle Routing Problems
Logistik mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap biaya dan keputusan suatu perusahaan, logistik juga berpengaruh untuk menghasilkan level pelayanan kepada konsumen yang berbeda-beda. Tujuan akhir manajemen logistik adalah mendapatkan sejumlah barang atau jasa yang tepat pada tempat dan waktu yang tepat, serta kondisi yang diinginkan dengan memberikan kontribusi terbesar bagi perusahaan.
Untuk mencapai tujuan akhir manajemen logistik, diperlukanlah suatu sistem distribusi produk yang :
• Memastikan bahwa produk yang tersedia pada waktu dan jumlah yang tepat sesuai permintaan konsumen.
• Memiliki kualitas yang terjamin.
• Memperhatikan tingkat keselamatan dalam pendistribusiannya.
Suatu perusahaan harus dapat mengoptimalkan sistem distribusinya agar dapat bersaing dengan perusahaan sejenis lainnya. Salah satu caranya adalah dengan pengoptimalan transportasi. Salah satu permasalahan dalam transportasi adalah Vehicle Routing Problems (VRP) yaitu merancang m set rute
26
Universitas Sumatera Utara

kendaraan dengan biaya rendah dimana tiap kendaraan barawal dan berakhir di depot, setiap konsumen hanya dilayani sekali oleh sebuah kendaraan, serta total permintaan yang dibawa tidak melebihi kapasitas kendaraan. Transportasi ini memberikan kontribusi biaya 1/3 sampai 2/3 dari total biaya distribusi.
Vehicle routing problrms (VRP), pertama kali dikenalkan oleh Dantzig dan Ramser pada tahun 1959. VRP ini memegang peranan penting pada manajemen distribusi dan telah menjadi salah satu permasalahan dalam optimalisasi kombinasi yang dipelajari secara secara luas. VRP merupakan manajemen distribusi barang yang memperhatikan pelayanan, periode waktu tertentu, sekelompok konsumen dengan sejumlah kendaraan yang berlokasi pada satu atau lebih depot yang dijalankan oleh sekelompok pengendara menggunakan road network yang sesuai. Solusi dari sebuah VRP yaitu menentukan sejumlah rute, yang masing-masing dilayani oleh suatu kendaraan yang berasal dan berakhir pada depotnya, sehingga kebutuhan pelanggan terpenuhi, semua permasalahan operasional terselesaikan dan biaya transportasi secara umum diminimalkan.
Karakteristik konsumen dalam VRP :
• Menempatkan road graph dimana konsumen berada.
• Adanya demand dalam berbagai tipe dan harus diantarkan ke tempat konsumen.
• Terdapat periode waktu (time window ) dimana konsumen dapat dilayani.
27
Universitas Sumatera Utara

• Waktu yang dibutuhkan untuk mengantarkan barang ke lokasi konsumen (loading time), hal tersebut dapat berhubungan dengan jenis kendaraan.
• Sekelompok kendaraan tersedia digunakan untuk melayani konsumen. Terdapat 4 tujuan umum VRP, yaitu : • Meminimalkan biaya transportasi global, terkait dengan jarak dan biaya
tetap yang berhubungan dengan kendaraan. • Meminimalkan jumlah kendaraan (atau pengemudi) yang dibutuhkan un-
tuk melayani semua konsumen. • Menyeimbangkan rute, untuk waktu perjalanan dan muatan kendaraan. • Meminimalkan penalti akibat service yang kurang memuaskan dari kon-
sumen. Menurut Toth dan Vigo (2002) ditemukan variasi permasalahan utama VRP yaitu : • Setiap kendaraan memiliki kapasitas yang terbatas (capacitaced VRP -
CVRP) • Setiap konsumen harus dikirimi barang dalam waktu tertentu (VRP with
time windows-VRPTW) • Vendor menggunakan banyak depot untuk mengirimi konsumen (multiple
depot VRP -MDVRP)
28
Universitas Sumatera Utara

• Konsumen dapat mengembalikan barang-barang kembali ke depot (VRP with pick up and delivering-VRPPD)
• Konsumen dilayani dengan menggunakan kendaraan yang berbeda-beda (split-delivery VRP-SDVRP)
• Beberapa besaran (seperti jumlah konsumen, jumlah permintaan, waktu melayani dan waktu perjalanan)
• Pengiriman dilakukan dalam periode waktu tertentu (periodic VRP-PVRP)
3.4 Vehicle Routing and Scheduling
Vehicle routing and scheduling merupakan perluasan dari vehicle routing problem. Beberapa batasan yang realistis yang termasuk didalamnya adalah sebagai berikut :
1. Dalam setiap titik pemberhentian, ada sejumlah volume yang diambil dan dikirim.
2. Beragam kendaraan kemungkinan digunakan, disebabkan karena beragam batasan kapasitas pengangkutan.
3. Maksimum total waktu kerja operator kendaraan untuk melakukan pengiriman sebelum periode istirahat selama kurang lebih 8 jam.
4. Titik pemberhentian (konsumen) hanya memperbolehkan pengiriman dan/atau pengambilan produk pada waktu tertentu (disebut : time windows).
29
Universitas Sumatera Utara

5. Pengambilan hanya boleh dilakukan setelah dilakukan pengiriman.
6. Operator kendaraan diperbolehkan istirahat atau makan siang pada waktu tertentu.
Beberapa batasan diatas menambah kompleksitas masalah rute ini dan mempersulit kita dalam pemilihan solusi yang optimal. Solusi yang paling optimal dapat diperoleh dengan cara menerapkan beberapa panduan untuk menghasilkan routing dan scheduling yang baik atau beberapa prosedur logical heuristic dengan pertimbangan kendaraan memulai perjalanan dari pabrik (depot), menuju ke beberapa titik pemberhentian (stop) untuk melakukan pengiriman, dan kembali ke pabrik (depot) pada hari yang sama.
3.4.1 Methods for Routing and Scheduling
Permasalahan untuk mendapatkan hasil solusi yang optimal dari pemecahan VRP (Vehicle Routing Problems) menjadi bertambah jika terdapat penambahan kendala (constraint) pada kasus yang harus diselesaikan. Kendala-kendala tersebut antara lain batasan waktu (time windows), jenis kendaraan angkut yang berbeda-beda kapasitas angkutnya, total waktu maksimum operator kendaraan melakukan pengiriman, hambatan-hambatan diperjalanan, waktu istirahat operator kendaraan ketika melakukan pengiriman dan lain sebagainya. Dari banyak pendekatan untuk memecahkan masalah VRP terdapat dua metode yang paling umum digunakan yaitu sweep method dan savings method. Kedua metode tersebut merupakan tekhnik pemecahan VRP secara heuristic.
30
Universitas Sumatera Utara

3.5 Penyelesaian Vehicle Routing Problems
Pada dasarnya, terdapat 3 macam penyelesaian VRP :
1. Solusi eksak Pada solusi eksak dilakukan pendekatan dengan menghitung setiap solusi yang mungkin sampai satu terbaik dapat diperoleh. Branch and Bound dan Branch and Cut merupakan contoh dari penyelesaian eksak.
2. Heuristik Metode Heuristik memberikan suatu cara untuk menyelesaikan permasalahan optimasi yang lebih sulit dan dengan kualitas dan waktu penyelesaian yang lebih cepat daripada solusi eksak. Contoh metode heuristik antara lain: Saving Based.
3. Sweep Method Sweep method adalah metode yang sederhana dalam perhitungannya, bahkan untuk memecahkan masalah dengan ukuran yang cukup besar. Keakuratan metode ini rata-rata kesalahan perhitungannya adalah sebesar 10 persen. Keakuratan metode ini adalah pada cara pembuatan jalur rutenya. Prosesnya terdiri dari dua tahap, pertama titik pemberhentian ditentukan untuk kendaraan yang ada. Tahap kedua adalah menentukan urutan titik pemberhentian pada rute. Karena melibatkan dua tahapan proses maka total waktu dalam suatu rute dan batasan waktu tidak dapat ditangani
31
Universitas Sumatera Utara

dengan baik oleh metode ini. Metode ini termasuk di dalam metode cluster atau pengelompokan, yang mana pengelompokan awal dilakukan dengan menggabungkan perhentianperhentian yang setiap kelompok mengakomodasi volume masing-masing perhentian. Volume total perhentian dari satu cluster mungkin akan melebihi kapasitas kendaraan karenanya beberapa perhentian dipindahkan ke kendaraan yang kapasitasnya belum penuh. Relokasi seperti ini dilakukan dengan menggunakan metode transportasi linear progamming. Yang menarik dari metode ini adalah perhentian dikelompokkan berdasarkan kedekatan dan logikanya akan menghasilkan jarak total yang rendah. Ketika volume cluster melebihi kapasitas kendaraan relokasi perhentian ke cluster lain dilakukan untuk mendapatkan keseimbangan optimum diantara cluster. Karena pengelompokkan terpisah dari pengurutan (sequencing), kendala waktu tidak dapat diselesaikan menggunakan metode ini.
32
Universitas Sumatera Utara

BAB 4
MODEL MATEMATIKA PCLP dan PENYELESAIANNYA
4.1 Model Matematika PCLP
Persoalan memodelkan PCLP merupakan kebutuhan untuk mengenalkan beberapa notasi. Misalkan V = I ∪ J merupakan set lokasi, dimana I mewakili lokasi pelanggan dan J merupakan lokasi penempatan potensial. E merupakan edge yang terhubung tidak langsung ke semua pasangan lokasi yang mungkin pada V dan G ( V , E ) sebuah graph yang didefinisikan PCLP. Tiap lokasi penempatan yang potensial j ∈ J memiliki biaya sosiasi fj, dapat melayani sebagian besar pelanggan qj. Dihubungkan ke tiap pelanggan i ∈ I dan tiap depot yang potensial j ∈ J terdapat biaya tugas dij, dan terhubung ke tiap edge e ∈ E terdapat biaya rute ce.
PCLP dapat diformulasikan secara sistematis dengan menentukan variabel. Pada tiap penempatan j ∈ J. yj merupakan variabel biner yang mengambil nilai 1 jika penempatan j terbuka pada persamaan dan 0 jika sebaliknya. Tiap edge e ∈ E memiliki variabel integer yang terhubung xe mengambil nilai 2 jika 1 dengan verteksnya merupakan penempatan dan lainnya merupakan pelanggan dan mereka hanya titik pada siklus nilai 1 jika edge e merupakan bagian dari siklus yang mengunjungi pelanggan lainnya disamping nilai ekstrimya, dan nilai 0 jika sebaliknya. Untuk tiap i ∈ I dan tiap j ∈ J sebuah variabel zij mengambil nilai 1 jika pelanggan i ∈ I terhubung ke penempatan j ∈ J dan nilai 0 jika
33
Universitas Sumatera Utara

sebaliknya. Untuk menyederhanakan notasi, digunakan E1 untuk menotasikan semua
edge yang menghubungkan pelanggan, sebagai contoh E1 : = {[i, i] : i ∈ I, i ∈ I} dan kami mengansumsikan bahwa E\E1 hanya berisi edge yang menghubungkan satu pelanggan dengan satu penempatan yang potensial, sebagai tambahan, tiap vertek S ⊂ V kami mendefinisikan:
δ(S) := {[u, v] ∈ E : u ∈ S, v ∈ S} E(S) := {[u, v] ∈ E : u ∈ S, v ∈ S} Dan v ∈ V lainnya kami menuliskan δ(v) sebagai pengganti δ ({v}). Selain itu, tiap kami tulis sebagai pengganti x(F ) sebagai pengganti e∈F Xe.
34
Universitas Sumatera Utara

Kemudian model seperti dibawah ini:

Minimalkan fjyj + cexe +

dij zij

j∈J e∈E i∈I j∈J

Merujuk ke : zij = 1
j∈J

untuk semua i ∈ I

zij ≤ qjyj
i∈I

untuk semua j ∈ J

x(δ(i)) = 2

untuk semua i ∈ I

(4.1) (4.2) (4.3) (4.4)

x(δ(i)) = 2yj

untuk semua j ∈ J

(4.5)

x(δ(S)) ≥ 2 zij untuk semua S ⊂ V, i ∈ S ∩ I
j ∈J \S

xij ≤ 2zij

untuk semua i ∈ I, j ∈ J

xii′ + zij + zi′j′ ≤ 2 untuk semua i, i′ ∈ I, j, j′ ∈ J

(4.6)
(4.7) (4.8)

yj ∈ {0, 1}

untuk semua j ∈ J

(4.9)

zij ∈ {0, 1}

untuk semua i ∈ I, j ∈ J

(4.10)

xij ∈ {0, 1}

untuk semua[i, j] ∈ EI

(4.11)

xij ∈ {0, 1, 2}

untuk semua [i, j] ∈ E\EI

(4.12)

Kendala (4.2) melaksanakan tiap jumlah pelanggan i ditentukan dengan tepat pada penempatan j. Kapasitas pada kendala (4.2) membatasi qj jumlah pelanggan yang satu penempatan j ∈ J dapat dilayani dan mencegah pelanggan ditentukan pada penempatan tak tebuka. Perhatikan bahwa jika qj ≥ |I| untuk semua j ∈ J, kami mendapatkan versi tak berkapasitas dari PCLP. Kendala (4.4) dan (4.5) merupakan derajat kendala dan memastikan bahwa derajat tiap pelanggan adalah 2 dan bahwa derajat tiap penempatan yang potensial adalah

35

Universitas Sumatera Utara

2 jika dan hanya jika berasal dari siklus tersebut. Kendala (4.6), serupa dengan kendala eliminasi kunjungan pada TSP lihat [M.W. Padberg, G. Rinaldi 1991], yang merupakan kendala terhubung. Dalam hal ini bisa dinyatakan bahwa tiap verteks S ⊂ V harus terhubung pada komplemennya sedikitnya 2 edge kapan saja terdapat pasangan verteks i dan j seperti i yang merupakan pelanggan pada S, j merupakan penempatan yang tidak pada S, dan i ditunjuk ke j. Kendala (4.7) menyatakan bahwa pelanggan I dalah tidak ditunjuk pada penempatan j kemudian edge [i, j] tidak bisa dirutekan. Kendala (4.8) menyatakan bahwa jika pelanggan i dan i′ ditunjuk ke penempatan j dan j′ yang berbeda, kemudian mereka tidak dapat berada pada satu siklus yang sama. Terakhir, kendala (4.9)-(4.12) adalah persamaan integral bagi jenis variabel yang berbeda.
4.2 Metode Pendekatan
Meskipun pendekatan brand-and-bound dengan mudah diadopsi, untuk beberapa kelas dari masalah berskala besar seperti prosedur yang mungkin akan mahal saat dilakukan komputasi. Kami telah mengadopsi pendekatan dari pemeriksaan masalah penurunan beberapa variabel bilangan bulat yang konstan dan hanya sedikit subset yang berbeda pada langkah diskrit.
Ini mungkin diimplementasikan dalam struktur program dengan penilaian semua variabel bilangan bulat pada batasnya pada solusi yang kontinu sebagai nonbasic dan menyelesaikan masalah penurunan dengan mempertahankannya sebagai nonbasic. Prosedur yang diringkas sebagai berikut:
36
Universitas Sumatera Utara

1. Langkah Pertama, menyelesaikan masalah yang mengabaikan syarat integral.
2. Langkah Kedua, menghasilkan solusi kelayakan bilangan bulat (sub-optimal ) menggunakan pembulatan heuristik dari solusi kontinu.
3. Langkah Ketiga, membagi himpunan I dari variabel bilangan bulat menjadi himpunan I1 pada batas-batasnya yang nonbasic pada solusi yang kontinu dan himpunan I2. I = I1 + I2.
4. Langkah Keempat, melakukan pencarian pada fungsi objektif, mempertahankan variabel nonbasic I1 dan memungkinkan perubahan diskrit pada nilai variabel I2.
5. Langkah Kelima, pada solusi yang diperoleh pada Langkah Keempat, periksa harga penurunan dari variabel I1. Jika ada yang harus dilepaskan dari batas-batasnya, tambahkan mereka ke himpunan I2 dan ulangi dari langkah Keempat, jika tidak, maka berhenti.
Ringkasan diatas memberikan struktur pengembangan strategi khusus untuk masalah kelas tertentu. Sebagai contoh, pembulatan heuristik pada Langkah 2 dapat disesuaikan dengan kendala-kendala yang sesuai dengan sifatnya, dan langkah 5 dapat melakukan penambahan satu variabel sekaligus kehimpunan I2.
Pada level praktis, implementasi dari prosedur membutuhkan pilihan dari beberapa level toleransi pada batas-batas variabel dan juga ketidaklayakan bi-
37
Universitas Sumatera Utara

langan bulatnya. Pencarian pada langkah 4 dipengaruhi oleh beberapa pertimbangan, seperti langkah diskrit pada variabel bilangan bulat super-basic yang hanya muncul jika semua bilangan bulat basic tersisa dalam toleransi khusus dari kelayakan bilangan bula