Pengembangan Pendekatan Berbasis Kendala untuk Menyelesaikan Persoalan Sumber Tunggal Periode Ganda

PENGEMBANGAN PENDEKATAN BERBASIS
KENDALA UNTUK MENYELESAIKAN
PERSOALAN SUMBER TUNGGAL
PERIODE GANDA

TESIS

Oleh

INDRYANI
097021058/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

PENGEMBANGAN PENDEKATAN BERBASIS
KENDALA UNTUK MENYELESAIKAN

PERSOALAN SUMBER TUNGGAL
PERIODE GANDA

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara

Oleh

INDRYANI
097021058/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011


Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis

: PENGEMBANGAN PENDEKATAN BERBASIS
KENDALA UNTUK MENYELESAIKAN
PERSOALAN SUMBER TUNGGAL
PERIODE GANDA
Nama Mahasiswa : Indryani
Nomor Pokok
: 097021058
Program Studi
: Matematika

Menyetujui,
Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Herman Mawengkang )
Ketua


(Dr. Sutarman, M.Sc)
Anggota

Ketua Program Studi,

Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 15 Juni 2011

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada
Tanggal 15 Juni 2011

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua

:

Prof. Dr. Herman Mawengkang

Anggota

:

1. Dr. Sutarman, M.Sc
2. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
3. Drs. Suwarno Arriswoyo, M.Si

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Secara umum, masalah yang dihadapi perusahaan dalam distribusi logistik adalah
waktu produksi, lokasi persediaan, dan penempatan gudang untuk pelanggan.
Tesis ini akan membahas masalah sumber tunggal periode ganda dalam lingkungan

yang dinamis sehingga memungkinkan untuk menangani pola permintaan dinamis
dari pelanggan. Tujuannya untuk meminimumkan biaya dan meningkatkan efisiensi.
Masalah dirumuskan sebagai convex assignment problem yang mengandung general
assignment problem. Dari hasil penelitian diperoleh model persamaan deterministik untuk meminimumkan fungsi resiko pada persoalan sumber tunggal periode
ganda.
Kata kunci : Persoalan sumber tunggal periode ganda, General assignment
problem, Convex assignment problem

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

Generally, problems were faced by supplier in logistic distribution are timing of production, the location of inventories, and the assignment of costumers to warehouses.
This paper consider multi period single sourcing problem in dynamic environment
that allows to handle the dynamic demand patterns from costumers.The aim to
minimize costs and increase efficiency. The problem is formulated as convex assignment problems clearly contains general assignment problem. The result of the
research is deterministic equivalent model to minimize the risk function in multi
period single sourcing problem.
Keywords : Multi period single sourcing problem, General assignment problem,

Convex assignment problem

ii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR

Puji syukur tak berhingga penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT yang
telah memberi rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan
penyusunan tesis yang berjudul ”Pengembangan Pendekatan Berbasis Kendala untuk Menyelesaikan Persoalan Sumber Tunggal Periode Ganda”
Tujuan penulisan tesis ini adalah untuk memenuhi salah satu persyaratan
guna memperoleh gelar Magister Sains (MSi) pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera
Utara.
Selesainya penulisan tesis ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak, oleh
sebab itu sudah sepantasnya pada kesempatan ini penulis menyampaikan terima
kasih kepada:
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, MSc ( CTM ), Sp.A( K ) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara,
Bapak Prof. Dr. Ir. Rahim Matondang, MSIE selaku Direktur Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara,
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara dan dosen pembimbing tesis,

Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Pascasarjana
Matematika FMIPA USU dan dosen pembimbing tesis yang telah banyak memberi
bimbingan dan bantuan kepada penulis sejak awal penulisan hingga selesai tesis
ini,
Bapak Dr. Saib Suwilo, MSc dan Bapak Drs. Suwarno Arriswoyo, MSi selaku
Dosen Pembanding,
Suami tercinta Azhar Papilaya dan Ananda tersayang Faza Ariq Azhar dan seluruh
keluarga atas pengertian, bantuan dan dorongan selama penulis menyelesaikan
masa studi,

iii
Universitas Sumatera Utara

Seluruh dosen di magister matematika USU yang telah banyak membagi ilmu dan
pengalaman dan staf tata usaha yang telah banyak membantu,
Keluarga besar SMA Harapan 2 Medan dan SMA Negeri 1 Bintang Bayu, Serdang
Bedagai,
Rekan-rekan mahasiswa pasca sarjana matematika edukator untuk semua kebersamaan selama ini,
Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.
Akhirnya, penulis berharap agar apa yang telah Bapak dan Ibu sumbangkan

mendapatkan balasan dari Allah SWT. Dan, semoga tesis ini bermanfaat bagi
pengembangan ilmu pengetahuan. Amin.
Medan, Juni 2011
Penulis,

Indryani

iv
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP

Penulis lahir di Medan pada tanggal 14 April 1983 dari pasangan Bapak
Prabono (Alm) dan Sumiati, merupakan anak kedua dari tiga bersaudara. Penulis
menyelesaikan pendidikan di SD Negeri 106815di Marindal I, Deli Serdang pada
tahun 1995, di SMP Negeri 22 Medan pada tahun 1998,dan di SMA Negeri 5
Medan pada tahun 2001. Pendidikan Tinggi penulis diselesaikan pada tahun 2006
di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Medan dengan gelar
Sarjana Pendidikan (S.Pd).
Riwayat pekerjaan formal penulis dimulai pada tahun 2006 sebagai guru di

SMA Harapan 2 Medan dan SMK Panca Budi 2 Medan. Selanjutnya tahun 2009
memulai pengabdian sebagai pegawai negeri sipil di SMA Negeri 1 Bintang Bayu
Kabupaten Serdang Bedagai sampai sekarang.
Penulis menikah pada tahun 2007 dengan Azhar Papilaya dan dikaruniai seorang anak Faza Ariq Azhar pada tahun 2008. Pada tahun 2009 penulis mendapatkan beasiswa dari Pemerintah Provinsi Sumatera Utara dan Pemerintah Kota
Medan atas rekomendasi dari SMA Harapan 2 Medan untuk melanjutkan studi
pada Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara.

v
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK

i

ABSTRACT

ii


KATA PENGANTAR

iii

RIWAYAT HIDUP

v

DAFTAR ISI

vi

DAFTAR GAMBAR

viii

BAB 1 PENDAHULUAN

1


1.1 Latar Belakang Masalah

1

1.2 Perumusan Masalah

3

1.3 Tujuan Penelitian

3

1.4 Manfaat Penelitian

3

1.5 Metode Penelitian

4

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

5

BAB 3 MANAJEMEN RANTAI SUPLAI

9

3.1 Distribusi dalam Lingkungan yang Dinamis

9

3.2 Koordinasi dalam Rantai Suplai

10

3.3 Model Dinamis untuk Mengevaluasi Desain Jaringan Logistik

13

3.4 Kelas Konveks Masalah Penugasan Berkapasitas

13

BAB 4 GENERALIZED ASSIGNMENT PROBLEM (GAP)

15

4.1 Pendahuluan

15

4.2 Model

16

4.3 Solusi Metode

17
vi
Universitas Sumatera Utara

4.4 Relaksasi LP

17

BAB 5 MODEL MATEMATIKA UNTUK MPSSP

19

5.1 MPSSP

19

5.2 Convex Assignment Problem (Masalah Penugasan Cembung)

21

5.3 Model Persamaan Deterministik untuk Meminimumkan Fungsi
Resiko

26

BAB 6 KESIMPULAN

29

DAFTAR PUSTAKA

30

vii
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR GAMBAR

Nomor

Judul

Halaman

5.1

Jaringan produksi/ distribusi dan alokasinya (Ayuso, dkk. (2006)

19

5.2

Biaya persediaan

26

viii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Secara umum, masalah yang dihadapi perusahaan dalam distribusi logistik adalah
waktu produksi, lokasi persediaan, dan penempatan gudang untuk pelanggan.
Tesis ini akan membahas masalah sumber tunggal periode ganda dalam lingkungan
yang dinamis sehingga memungkinkan untuk menangani pola permintaan dinamis
dari pelanggan. Tujuannya untuk meminimumkan biaya dan meningkatkan efisiensi.
Masalah dirumuskan sebagai convex assignment problem yang mengandung general
assignment problem. Dari hasil penelitian diperoleh model persamaan deterministik untuk meminimumkan fungsi resiko pada persoalan sumber tunggal periode
ganda.
Kata kunci : Persoalan sumber tunggal periode ganda, General assignment
problem, Convex assignment problem

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

Generally, problems were faced by supplier in logistic distribution are timing of production, the location of inventories, and the assignment of costumers to warehouses.
This paper consider multi period single sourcing problem in dynamic environment
that allows to handle the dynamic demand patterns from costumers.The aim to
minimize costs and increase efficiency. The problem is formulated as convex assignment problems clearly contains general assignment problem. The result of the
research is deterministic equivalent model to minimize the risk function in multi
period single sourcing problem.
Keywords : Multi period single sourcing problem, General assignment problem,
Convex assignment problem

ii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah
Perusahaan mengantarkan produknya ke pelanggan menggunakan jaringan
distribusi logistik. Sebuah jaringan distribusi terdiri dari aliran produk dari produsen ke konsumen melalui titik-titik pemindahan, pusat distribusi (gudang), dan
pengecer. Peranan jaringan distribusi dan manajemennya merupakan hal yang
sangat penting bagi perusahaan untuk meningkatkan penjualan dan keuntungan.
Dinamika lingkungan di mana rantai pasokan berkembang dan tuntutan untuk memperpendek masa siklus distribusi produk mewajibkan perusahaan merancang ulang jaringan distribusi logistik (Romeijn dan Morales (2001)). Beberapa
masalah yang harus diperhatikan perusahaan adalah waktu produksi, lokasi persediaan, dan penempatan gudang untuk pelanggan. Keputusan yang diambil harus
memperhatikan semua faktor dan dikoordinasikan dengan semua rantai pasokan
demi terciptanya efisiensi. Koordinasi ini terutama diperlukan dalam lingkungan
yang dinamis di mana pengaturan jaringan distribusi logistik kadang berubah secara signifikan dari perencanaan awal.
Jaringan distribusi logistik diibaratkan terdiri dari satu set fasilitas, yang
masing-masing terdiri dari satu pabrik produksi dengan sebuah gudang yang terhubung, dan satu set pelanggan. Masing-masing pabrik dengan kapasitas yang sudah diketahui dan terbatas. Dan setiap pelanggan ditempatkan atau dihubungkan
ke fasilitas dengan perencanaan tertentu karena permintaan pelanggan biasanya
membentuk pola musiman. Karena setiap gudang dihubungkan dengan pabrik tertentu, diasumsikan bahwa biaya transportasi antara pabrik dan gudang termasuk
dalam biaya produksi, dan tidak ada transportasi antara sesama gudang. Keputusan yang dibuat harus memperhatikan i)Penempatan pelanggan untuk fasilitas
dan ii)lokasi dan ukuran persediaan. Kedua hal tersebut harus dapat diatur dalam
sebuah kebijakan di mana menempatkan pelanggan dengan fasilitas dengan memperhatikan lokasi dan jumlah persediaan harus dapat dioptimalkan sebagai fungsi
penempatan pelanggan (Romeijn dan Morales (2001)).
1
Universitas Sumatera Utara

2
Masalah logistik di atas merupakan masalah sumber tunggal periode ganda
(multi period single sourcing problem, MPSSP). MPPSP mampu menangani banyak variabel yang menjadi kendala atau pertimbangan dalam mengambil keputusan
misalnya transportasi, persediaan, permintaan pasar, harga, dan lain-lain sehingga
cocok untuk mengevaluasi kinerja jaringan distribusi logistik dalam lingkungan
yang dinamis.
Kebanyakan model yang diajukan selama ini mengandaikan lingkungan yang
statis seperti pada Geoffrion dan Graves (1974), Banders dkk. (1986), dan Fleischmann (1993). Tetapi model tersebut hanya berlaku untuk situasi yang terbatas
khususnya pola permintaan statis setiap saat. Keputusan produksi dan persediaan
tidak dapat didukung dengan menggunakan model yang statis karena biasanya
permintaan untuk sejumlah barang tertentu bersifat musiman. Sementara Duran
(1987) mempelajari model dinamis untuk perencanaan produksi, pembotolan, dan
distribusi bir, tetapi berfokus pada produksi, bukan dari proses dan distribusi.
Chan, Muriel dan Simchi-Levi (1998) mempelajari masalah distribusi dinamis tak
berkapasitas.
Ayuso, dkk (2006) menyajikan algoritma untuk menyelesaikan MPSSP di
bawah ketidakpastian dengan memperhatikan fungsi objektif resiko - rata-rata di
mana didalamnya termasuk fungsi rata-rata dan fungsi peluang kelebihan berbobot.
Resiko - rata-rata dari MPSSP memperhatikan penempatan setiap pelanggan ke
fasilitas tertentu di awal perencanaan.
Tesis ini akan membahas model yang dinamis sehingga memungkinkan untuk menangani pola permintaan dinamis dari pelanggan serta untuk mendukung
keputusan persediaan secara eksplisit. Kendala-kendala yang ada dalam masalah
jaringan distribusi logistik ditangani dengan baik dengan tujuan untuk meminimalkan biaya penempatan, penyediaan inventaris dan pemesanan yang belum terpenuhi. Biaya penempatan termasuk biaya produksi dan distribusi.
Untuk dapat menangani banyak varian dalam masalah sumber tunggal periode ganda maka dilakukan dengan pendekatan berbasis kendala agar kendalakendala yang ada dapat ditangani dan diperoleh hasil yang optimal. Dengan
menggunakan pendekatan solusi tunggal, diperkenalkan sebuah kelas umum dari

Universitas Sumatera Utara

3
masalah penugasan konvek, yang memiliki sifat yaitu fungsi objektif dan daerah
layak adalah konvek (cembung), dan keduanya terpisah dalam fasilitas. Kelas
dari masalah penugasan konvek jelas berisi masalah penugasan umum yang biasa
dikenal Generalized Assignment Problem (GAP). Salah satu varian dari masalah
sumber tunggal periode ganda akan dibahas secara rinci dalam tulisan ini. Dalam
varian ini setiap pabrik telah diketahui, terbatas, dan dalam waktu yang berbedabeda, berbagai kapasitas, setiap pelanggan perlu dilayani (ditempatkan) pada fasilitas yang unik melalui perencanaan yang baik, dan permintaan pelanggan menunjukkan pola musiman. Selain itu, akan ditambahkan pembahasan untuk meminimumkan fungsi resiko.

1.2 Perumusan Masalah
Dalam masalah sumber tunggal periode ganda yang merupakan bagian dari
masalah distribusi logistik, terdapat banyak kendala yang harus diperhatikan agar
dapat diperoleh hasil yang optimum dengan meminimumkan biaya yang dikeluarkan.
Rumusan masalah penelitian ini adalah apakah pengembangan pendekatan
berbasis kendala mampu menyelesaikan persoalan sumber tunggal periode ganda?

1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah mengembangkan pendekatan berbasis kendala
untuk menyelesaikan persoalan sumber tunggal periode ganda sehingga biaya yang
dikeluarkan menjadi minimum.

1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini membantu pengambilan keputusan yang tepat
pada masalah sumber tunggal periode ganda dengan mengembangkan pendekatan
berbasis kendala.

Universitas Sumatera Utara

4
1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian yang dilakukan adalah bersifat literatur dengan mengumpulkan informasi dari referensi buku dan jurnal, atau dari penelitian sejenis yang
pernah dilakukan sebelumnya.
Bahasan dalam penelitian ini meliputi :

1. General Assignment Problem
2. Convex Assignment Problem untuk MPSSP
3. Model persamaan deterministik untuk meminimalkan fungsi resiko

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA

Masalah sumber tunggal periode ganda (multi-period single-sourcing problem (MPSSP)) adalah masalah menemukan penempatan/penugasan yang tepat,
dari waktu ke waktu, dari pelanggan ke gudang sehingga setiap pelanggan dihubungkan dengan tepat satu gudang di setiap periode, sesuai dengan keterbatasan
kapasitas, sehingga total biaya transportasi dan persediaan diminimalkan (Romeijn
dan Morales (1998)).
MPSSP merupakan bagian dari masalah rantai suplai. Dalam MPSSP setiap
titik permintaan dipenuhi oleh tepat satu sumber dengan memperhatikan kapasitasnya. Jaringan distribusi dianggap terdiri dari seperangkat fasilitas produksi
dan penyimpanan, dan satu set pelanggan yang tidak mempunyai persediaan. Dengan memperhatikan kapasitas produksi, permintaan setiap pelanggan harus dihubungkan kepada fasilitas tunggal dalam setiap periode. Hal ini berhubungan
dengan penempatan pelanggan untuk fasilitas, serta lokasi, waktu, dan ukuran
persediaan.
Diasumsikan bahwa setiap pabrik telah memiliki kapasitas yang telah diketahui dan terbatas dalam waktu yang berbeda-beda. Karena itu diasumsikan
bahwa setiap gudang yang terhubung memiliki kapasitas pisik dan penyaluran yang
tidak terbatas. Dengan kata lain, diasumsikan bahwa kapasitas pisiknya cukup
untuk mampu menyimpan akumulasi produksi dari pabrik-pabrik yang terhubung,
bahkan jika pabrik memproduksi kapasitas penuh dalam setiap periode. Kapasitas
penyaluran dari gudang juga cukup besar untuk mampu memenuhi berbagai kombinasi pelanggan yang dihubungkan dengan gudang tersebut. Jadi, setiap pelanggan
perlu untuk ditempatkan ke fasilitas tertentu pada setiap periode. Romeijn dan
Morales (2003) membahas acyclic case, di mana persediaan awal dan akhir adalah
berubah-ubah, yang cocok untuk mengevaluasi strategi desain jaringan jangka panjang.
Untuk mengurangi efek di awal dan akhir studi, periode perencanaan dilihat sebagai salah satu masa depan yang khas, yang akan berulang. Ini mengarah
5
Universitas Sumatera Utara

6
ke model siklik, di mana awal dan persediaan akhir adalah sama. (Romeijn dan
Morales (2003)). Ferland, dkk. (1996) memperkenalkan kelas yang lebih umum
dari masalah penugasan, dan menunjukkan penerapan pemrograman berorientasi
objek dengan mengembangkan perangkat lunak berisi beberapa heuristik. Suatu
kerangka kerja disajikan untuk memecahkan masalah strategis penempatan pengecer ke fasilitas dalam masalah sumber tunggal periode ganda lingkungan produk
di bawah ketidakpastian dalam permintaan dari pengecer dan biaya produksi, persediaan, backlogging dan distribusi produk.
Ayuso, dkk (2006) membahas model Stochastic Integer Programming (SIP)
untuk meminimumkan fungsi resiko pada MPSSP. Tujuannya untuk meminimumkan fungsi yang terdiri dari biaya penempatan, penyediaan persediaan, dan backlogging dan fungsi berbobot dari fungsi peluang berlebihan dengan memperhatikan
kepuasan permintaan dari pengecer kapasitas produksi yang terbatas dari fasilitas.
Masalah penugasan adalah masalah yang berkaitan dengan pembagian atau
alokasi tugas yang optimal. Dalam arti apabila penugasan tersebut berkaitan
dengan keuntungan maka bagaimana alokasi tugas atau penugasan dapat memberikan keuntungan yang maksimum, Tapi sebaliknya jika penugasan tersebut berhubungan dengan biaya maka bagaimana alokasi tugas tersebut dapat meminimumkan biaya yang dikeluarkan.
Dalam GAP ada pekerjaan yang perlu diproses dan mesin-mesin yang memproses pekerjaan tersebut. Masing-masing mesin memiliki kapasitas, dan waktu
pemrosesan setiap pekerjaan bergatung kepada mesin yang memprosesnya. GAP
adalah masalah penempatan setiap pekerjaan ke tepat satu mesin, sehingga total
biaya pemrosesan pekerjaan menjadi minimum dan setiap mesin tidak melebihi
kapasitas kemampuannya (Romeijn dan Morales (1998).
GAP didefinisikan oleh Ross dan Soland(1995) diinspirasi oleh masalah nyata
yaitu penempatan pekerjaan pada jaringan komputer. Geofrion dan Graves (1974)
mengatur biaya penempatan pabrik di mana permintaan pelanggan harus dipuaskan
oleh satu pabrik tunggal.
GAP telah dipelajari secara luas dari sebuah sudut pandang algoritma. Beberapa algoritma dan heuristik yang berbeda telah disajikan dalam beberapa lite-

Universitas Sumatera Utara

7
ratur. Walaupun demikian, semua pendekatan memiliki kekuatan NP dari GAP
(Fisher, dkk(1986)). Ini berarti bahwa kebutuhan perhitungan dalam menyelesaikan masalah ini untuk mengoptimasi meningkat sangat cepat, walau kenaikannya tidak terlalu tinggi pada ukuran masalah. Selain itu, masalah keputusan yang
berhubungan dengan kelayakan dari GAP merupakan masalah NP yang komplit
(Martello dan Toth (1990)). Karena itu, untuk menguji apakah masalah misalnya
memiliki paling tidak tidak satu solusi layak adalah perhitungan yang sulit.
Masalah sumber tunggal (Single Sourcing problem (SSP)) adalah kasus khusus
dari GAP di mana permintaan merupakan agen yang bebas, misalnya aij = dj untuk setiap i = 1, . . . , m. SSP diinterpretasikan sebagai masalah transportasi khusus
di mana setiap titik permintaan harus dipenuhi oleh tepat satu sumber. Penempatan hal-hal yang dibutuhkan untuk pelaksanaan produksi dan pemeliharaan dilakukan dalam satu kawasan gudang dengan tujuan untuk meminimumkan biaya
pengangkutan. MPSSP adalah masalah di mana permintaan dan kapasitas dalam
waktu yang berbeda-beda dan kapasitas dapat dijalankan untuk periode yang akan
datang.
Masalah penugasan cembung adalah masalah program integer non linier yang
dapat diselesaikan untuk optimalitas misalnya dengan menggunakan algoritma
Branch and Bound. Salah satu faktor yang menentukan kinerja algoritma ini
adalah kualitas dari batas bawah digunakan untuk memahami node. Perumusan partisi yang ditetapkan untuk masalah tugas cembung terlihat lebih menarik
ketika memilih skema Branch and Bound. Ada alasan lain untuk memilih formulasi seperti ini kemungkinan menambahkan kendala yang sulit diekspresikan secara
analitik.
Sebuah Cabang standar dan skema Bound akan memerlukan semua kolom
yang tersedia, tetapi (dalam kasus terburuk) jumlah kolom (dan dengan demikian
jumlah variabel) dari program matematika (mathematical program(MP)) dapat
eksponensial dalam ukuran masalah. Hal ini membuat standar dan skema Cabang Bound cukup menarik untuk (MP). Namun, karena jumlah kendala dalam
(MP) relatif kecil sehubungan dengan jumlah variabel, hanya beberapa variabel
ketat akan memiliki nilai positif dalam solusi yang optimal dari LP (MP). Dengan
demikian, hanya sebagian kecil dari kolom yang relevan dalam optimalisasi LP

Universitas Sumatera Utara

8
(MP). Pada dasarnya, ini adalah filosofi di balik teknik Kolom Generasi (Gilmore
dan Gomory (1961)). Menggabungkan skema Branch and Bound dengan prosedur
generasi kolom menghasilkan apa yang disebut algoritma branch and price. Mereka
fokus pada peraturan percabangan dan beberapa masalah komputasi yang relevan
dalam pelaksanaan skema cabang dan harga.

Universitas Sumatera Utara

BAB 3
MANAJEMEN RANTAI SUPLAI

3.1 Distribusi dalam Lingkungan yang Dinamis
Manajemen rantai suplai merupakan bahasan yang menarik bagi perusahaan
maupun peneliti. Manajemen rantai suplai terdiri dari manajemen alat-alat, informasi dan aliran finansial dalam jaringan distribusi logistik yang tersusun atas vendor, pabrik, distributor dan pelanggan. Lingkungan di mana perusahaan saat ini
mengatur rantai suplainya terus berubah secara dinamis. Jadi perusahaan harus
mampu menemukan, mengambil manfaat dan kesempatan untuk meningkatkan
efisiensi dari jaringan distribusi logistik dalam lingkungan yang dinamis.
Di dalam bidang distribusi logistik sejumlah pengembangan telah berlangsung bertahun-tahun. Globalisasi dari rantai suplai menyebabkan batasan nasional
menjadi tidak begitu penting. Di Eropa terjadi peningkatan perhatian dengan pembayaran oleh perusahaan Eropa barat ke pasar di Eropa utara dan petani di Uni
Sovyet. Fakta bahwa batasan Eropa tidak tampak dalam Uni Eropa menjawab pertanyaan tentang realokasi terutama konsentrasi produksi. Menurut Kotabe(1992)
batasan nasional mengurangi arti dari batasan pisik dan psikologi dari bisnis internasional. Oleh karena itu, perusahaan mendorong perluasan rantai suplai melewati negara yang berbeda. Rantai suplai global mencoba mengambil keuntungan
dari karakter yang berbeda dari berbagai negara ketika mendesain strategi sumber daya dan produksi. Sebagai contoh, biaya tenaga kerja dan bahan baku lebih
rendah di negara berkembang sementara teknologi terbaru hanya ada di negara
maju. Rantai suplai global lebih kompleks dari rantai suplai domestik karena pada
aturan internasional aliran rantai suplai lebih sulit untuk dikoordinasi. Hal-hal
yang mempengaruhi pada rantai suplai global adalah pajak yang berbeda, batasan
perdagangan dan ongkos kirim.
Ada sifat dinamis pada aliran rantai suplai. Fisher (1997) mengenalkan konsep fungsional dan inovatif untuk membedakan produk. Produk fungsional adalah
produk yang secara fisik tanpa ada nilai tambah pada bentuk, contohnya kemasan
khusus, desain terbaru, dan lain-lain. Produk fungsional biasanya memiliki waktu
9
Universitas Sumatera Utara

10
bertahan yang cukup lama, permintaan yang stabil dan tetap, tetapi sering mengasilkan keuntungan yang kecil. Oleh karena itu, perusahaan mengenalkan inovasi pada model atau teknologi dengan tujuan menghasilkan keuntungan yang
kompetitif dari suplier lain yang menghasilkan produk sejenis, agar meningkatkan
pendapatan perusahaan. Sebagai konsekuensinya, perusahaan juga harus memulai memperpendek siklus penjualan produk inovatif karena perusahaan diharuskan
untuk mengenalkan inovasi baru agar tetap kompetitif. Pengembangan lain yang
dapat dilakukan adalah dengan berorientasi terhadap pelanggan. Rantai suplai
harus memuaskan permintaan pelanggan dengan produk yang sesuai dan pelayanan
yang berkelanjutan. Langkah pertama dalam mendesain dan mengontrol sebuah
rantai suplai yang efektif adalah menyelidiki sifat permintaan dari produk. Kecenderungan menghadapi siklus penjualan produk yang lebih singkat bagi produk
inovasi menyebabkan perubahan pola permintaan yang dinamis dan perusahaan
harus mempertimbangkan kembali secara berkelanjutan desain rantai suplai mereka
untuk memanfaatkan secara efektif semua kesempatan untuk menghasilkan keuntungan.
Satu cara menghasilkan keuntungan yang kompetitif adalah dengan mempertahankan jaringan distribusi logistik yang efektif. Jadi, logistik menjadi bagian
yang tak terpisahkan dari produk yang mengantarkannya ke pelanggan. Persaingan
mendorong pengembangan yang berkelanjutan dari tingkat pelayanan pelanggan
(Ballou(1992)).

3.2 Koordinasi dalam Rantai Suplai
Jaringan distribusi logistik sangat penting bagi perusahaan untuk dapat mengantarkan produknya ke pengguna. Sebuah jaringan distribusi terdiri dari produsen, penyedia layanan jasa, distributor, saluran penjualan seperti pedagang
eceran dan pelanggan. Hal tersebut termasuk cara untuk mendistribusikan produk
pada setiap level jaringan distribusi logistik, misalnya pilihan kebijakan persediaan,
atau transportasi yang digunakan.
Bramel dan Simchi-Levi (1997) manyatakan bahwa dalam pelaksanaan manajemen logistik, kecendrungan menggunakan aturan keputusan yang tepat di masa

Universitas Sumatera Utara

11
sebelumnya, atau yang secara intuitif terlihat bagus, masih sering diteliti. Karena
itu, bermanfaat untuk menggunakan pendekatan keilmuan untuk menjamin pelaksanaan rantai suplai yang bagus atau melihat kesempatan untuk memperbaiki
pelaksanaannya.Diperlukan waktu untuk menjalankan rantai suplai yang efektif
maupun mempertahankan atau meningkatkan tingkat layanan pelanggan.
Mendesain dan mengontrol sebuah jaringan distribusi logistik termasuk tingkat
yang berbeda dari pengambilan keputusan adalah keputusan yang tidak bebas satu
sama lain melainkan menunjukkan hubungan yang erat. Pada tingkat operasional,
keputusan harian seperti seperti penempatan produk yang dipesan pelanggan individu dengan truk, dan rute yang harus diambil. Pilihan dan biaya penghubungan
yang telah dijalankan pada level itu jelas tergantung pada pilihan yang dibuat pada
level taktis untuk waktu yang lebih lama. Biasanya keputusan taktis untuk jangka
waktu satu tahun. Contoh keputusan yang dibuat pada level ini adalah penempatan pelanggan ke gudang dan dan bagaimana gudang dapat disuplai oleh pabrik,
kebijakan persediaan yang digunakan, frekuensi pengangkutan ke pelanggan, dan
komposisi armada transportasi. Secara lebih jelas, bahasan tentang memainkan
aturan pada level operasional dapat mengatur pilihan tertentu dan membatasi hal
yang lain pada tingkat taktis. Contohnya, pilihan transportasi membutuhkan informasi yang detail tentang biaya transportasi tertentu yang tergantung pada keputusan pada tingkat operasional. Hal yang sama pada pilihan dan biaya penghubungan
yang telah dijalankan pada tingkat taktis jelas tergantung pada pilihan strategis
jangka panjang dengan memperhitungkan desain jaringan distribusi logistik yang
telah dibuat. Jangka waktu untuk keputusan strategis ini biasanya sekitar tiga
sampai lima tahun. Keputusan yang paling penting dibuat pada tingkat ini adalah
jumlah, lokasi dan ukuran produksi dari fasilitas (pabrik) dan pusat distribusi (gudang). Tetapi, bagaimana memainkan aturan pada tingkat taktis dapat mempengaruhi pilihan yang diambil pada tingkat strategis. Ketika mendesain gambaran
jaringan distribusi logistik dibutuhkan informasi yang lengkap tentang biaya transportasi terakhir dan hal-hal operasional yang disebutkan di atas.
Untuk menjamin pelaksanaan yang efisien dari rantai suplai, keputusan yang
memiliki dampak penting satu sama lain mesti dikoordinasikan. Misalnya perusahaan yakin daya tampungnya mahal (Bradley dan Arntzen (1999)). Hal ini

Universitas Sumatera Utara

12
menimbulkan dua akibat. Pertama, pembelian alat-alat produksi yang dibuat oleh
top manager, sementara jadwal produksi dan tingkat persediaan diputuskan oleh
tingkat yang lebih rendah di perusahaan. Oleh karena itu, koordinasi antara dua
keputusan ini sering menghadirkan batasan yang lebih luas. Kedua, peralatan yang
mahal sering digunakan untuk daya tampung yang penuh, yang menunjukkan persediaan yang lebih besar daripada keperluan untuk memenuhi permintaan dan
menyebabkan ketidakseimbangan antara kapasitas dan investasi persediaan.
Koordinasi tidak hanya diperlukan antara tingkat pembuat keputusan tetapi
juga antara tingkat yang berbeda dari rantai suplai, seperti pembelian, produksi
dan distribusi (Thomas dan Griffin (1996)). Dahulu, tingkatan yang diatur secara tidak bebas, ditahan oleh persediaan yang benar. Keputusan di tingkat yang
berbeda sering dipisahkan karena mengambil keputusan hanya pada satu tingkatan
sudah mampu menyelesaikan masalah secara keseluruhan. Contohnya, dari sisi
perhitungan hanya kiriman harian dari permintaan dari sekumpulan pelanggan
yang merupakan masalah besar. Memisahkan keputusan pada tingkatan yang
berbeda menyebabkan biaya yang lebih besar dan waktu pengiriman yang lebih
lama. Sekarang ini, persaingan di pasar memaksa perusahaan menjadi lebih efisien
dengan pengambilan keputusan dalam sebuah cara yang terintegrasi.
Model yang mengkoordinasikan paling sedikit dua tingkatan dari rantai suplai dapat mendeteksi kesempatan baru yang mungkin meningkatkan efisiensi dari
rantai suplai. Sebagai contoh, Chandra dan Fisher (1994) mengajukan dua solusi
pendekatan untuk menyelidiki pengaruh dari koordinasi produksi dan perencanaan
distribusi dengan mempertimbangkan pabrik tunggal, produk dan skenario waktu
yang bermacam-macam. Pabrik memproduksi dan menyimpan produk untuk sementara waktu. Setelah itu, produk tersebut dikirim ke pengecer atau pelanggan menggunakan truk. Salah satu pendekatan digunakan untuk menjadwal produksi dan membagi rute secara terpisah. Pendekatan ini dibandingkan dengan
dengan pendekatan terkoordinasi di mana kedua keputusan digabungkan dalam
satu model. Secara perhitungan, pendekatan yang terkoordinasi dapat menghemat 20% biaya.

Universitas Sumatera Utara

13
3.3 Model Dinamis untuk Mengevaluasi Desain Jaringan Logistik
Ketika kesempatan untuk meningkatkan desain jaringan distribusi logistik
ada, manajemen dapat menentukan alternatif untuk menentukan desain. Dengan
tujuan untuk mampu mengevaluasi dan membandingkan alternatif yang ada, variasi pelaksanaan kriteria (di bawah strategi operasi yang berlainan) perlu untuk
ditentukan.
Contoh produk di mana produksi dan distribusi dalam lingkungan yang dinamis, misalnya permintaan yang mengandung komponen musiman. Misalnya permintaan akan minuman ringan dan bir dipengaruhi oleh musim, dan biasanya permintaan tertinggi pada musim panas. Produksi sayur dan buah yang dihasilkan
pada musim-musim tertentu juga merupakan contoh keadaan yang dinamis dalam
pemenuhan permintaan pelanggan.
Kegunaan lain dari pendekatan dinamis dari masalah ini adalah kemampuan
untuk mengeksplisitkan model keputusan persediaan. Hal ini menjadikan mampu
untuk menggabungkan perkiraan biaya transportasi dan persediaan. Hal ini sesuai
untuk produk yang memiliki masa bertahan terbatas atau produk yang tidak bertahan lama. Masa penyimpanan produk juga mungkin terbatas. Kendala yang tidak
bertahan lama sangat mungkin dijadikan kontrol persediaan.

3.4

Kelas Konveks Masalah Penugasan Berkapasitas
Dalam masalah penugasan umum ada tugas yang perlu untuk diproses dan

agen yang dapat memproses tugas tersebut. Setiap agen menghadapi himpunan
kendala kapasitas dan biaya ketika memproses tugas. Jadi masalah bagaimana
menempatkan setiap tugas ke tepat satu agen, sehingga biaya total dari pemrosesan tugas adalah minimum dan setiap agen tidak melewati batasan kapasitasnya.
Dalam kelas konveks masalah penugasan berkapasitas, setiap batasan kapasitas linier dengan koefisien non negatif dan biaya diberikan oleh fungsi konveks. Masalah
ini dapat dirumuskan sebagai:
Pm

i=1 gi

(xi )

Universitas Sumatera Utara

14
Dengan
Ai xi ≤ bi

i = 1, . . . , m

Pm

i = 1, . . . , m

i=1

xi j = 1

Xij ∈ 0, 1

i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n

Di mana gi : Rn → R adalah fungsi konveks. Ai ∈ Mki×n adalah matriks non
negatif dan bi ∈ Rki adalah vektor non negatif. Selanjutnya matriks Ai disajikan
sebagai matriks kolom, misalnya Ai = (Ai1 |. . .| Ain ) di mana Aij ∈ Rki untuk setiap
j = 1, . . . , n. Batasan berhubungan dengan agen i, Aixi ≤ bi yang mendefinisikan
daerah layak dari masalah multi knapsack.
Masalah penugasan umum (General Assignment Problem (GAP)) adalah
satu contoh kelas dari masalah penugasan berkapasitas konveks (Ross dan Soland
(1995), di mana fungsi biaya gi berhubungan dengan agen i adalah linier di xi
dan hanya satu kendala kapasitas yang dihadapi oleh setiap agen misalnya ki =
1, . . . , m. GAP memodelkan situasi di mana sumber daya yang diperoleh pada agen
digunakan ketika memproses tugas. Gavish dan Pirkul (1991) mempelajari tentang
model yang lebih umum, Multi Resource General assignment problem (MRGAP)
di mana beberapa sumber daya didapat oleh agen. Hal ini tetap merupakan contoh masalah penugasan berkapasitas konveks di mana fungsi objektif adalah linier
seperti pada GAP dan setiap agen menghadapi sejumlah batasan kapasitas yang
sama misalnya ki = k untuk setiap i = 1, . . . , m. Mazzola dan Neebe (1986)
menyajikan prosedur branch and bound untuk situasi tertentu di mana setiap agen
harus memproses tepat satu tugas.

Universitas Sumatera Utara

BAB 4
GENERALIZED ASSIGNMENT PROBLEM (GAP)

4.1 Pendahuluan
Kompetisi di pasar dan dipersingkatnya masa distribusi produk adalah contoh
alasan yang memaksa perusahaan untuk secara berkesinambungan memperbaharui
pelaksanaan jaringan distribusi logistik mereka. Kesempatan baru untuk memperbaiki jalannya jaringan distribusi logistik mungkin tampak setelah memperkenalkan produk baru di pasar, menggabungkan beberapa perusahaan, merealokasi
permintaan, dan lain-lain. Mendesain kembali jaringan distribusi logistik sebuah
perusahaan termasuk mempertimbangkan kembali aliran produk dari produsen ke
konsumen, mungkin melalui pusat distribusi atau gudang, dan memperhatikan
produk pada tiap level jaringan distribusi logistik. Contoh keputusan yang berhubungan untuk dengan hal tersebut adalah memilih kebijakan tentang persediaan
di gudang, atau alat transportasi yang digunakan pada tingkat pertama yaitu jaringan distribusi logistik dari pabrik ke gudang maupun pada tingkat kedua yaitu
dari gudang ke pelanggan.
Membangun ukuran yang sesuai yang menghasilkan efisiensi pada jaringan
distribusi logistik adalah salah satu dari tugas utama ketika mengevaluasi kinerja
sebuah jaringan (Beamon(1998)). Ukuran yang biasa digunakan adalah total biaya termasuk biaya produksi, penyediaan persediaan dan transportasi. Dugaan
ini diukur oleh sebuah model yang memilih lokasi optimal dan ukuran produksi
dan persediaan, dan menentukan penempatan pelanggan ke fasilitas (pabrik atau
gudang), berdasarkan sejumlah kendala yang dihadapi yaitu kapasitas fasilitas,
penempatan, sumber daya atau produk yang tak bertahan lama, dan lain-lain.
Model berhubungan dengan dugaan total biaya dari sebuah model jaringan distribusi logistik yang diberikan yang mengandung struktur penempatan oleh alokasi
pelanggan ke fasilitas. Selain itu, penempatan tersebut dibatasi oleh kapasitas pada
fasilitas. Konsekuensinya, model penempatan berkapasitas yang mendukung akan
membantu menghadapi struktur yang lebih kompleks.

15
Universitas Sumatera Utara

16
GAP adalah model penugasan (penempatan) berkapasitas yang paling sederhana. GAP cocok ketika mengevaluasi biaya produksi, penanganan dan transportasi dari jaringan distribusi logistik di mana produksi dan penyimpanan mengambil tempat yang sama.

4.2 Model
Pada GAP ada tugas yang diproses dan agen yang memprosesnya. Sumber daya tunggal yang diperoleh agen digunakan ketika memproses tugas. Setiap
agen memiliki kapasitas yang diberikan akan sumber daya dan syarat-syarat atau
konsumsi sumber daya, di mana masing-masing tugas tergantung pada agen yang
memprosesnya. GAP adalah masalah penugasan di mana setiap tugas dihubungkan
dengan tepat satu agen sehingga biaya total pemrosesan tugas minimum dan setiap
agen tidak melebihi kapasitasnya. Masalah ini dapat dirumuskan sebagai masalah
program linier integer sebagai berikut:

Minimumkan:
dengan kendala
Xn

j=1

Xm

i=1

Xm Xn

aij xij ≤ bi

xij

xij ∈ {0, 1}

i=1

j=1

(4.1)

cij xij

i = 1, . . . , m

(4.2)

j = 1, . . . , m

(4.3)

i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n

(4.4)

Di mana koefisien biaya cij , koefisien persyaratan aij , dan parameter kapasitas bi semuanya skalar non negatif. Kendala (4.3) dikenal sebagai kendala semi
penugasan. Seperti disebutkan sebelumnya GAP adalah bagian CCAP di mana
fungsi biaya gi yang berhubungan dengan agen i adalah linier pada xi dan hanya
satu kendala kapasitas yang dihadapi oleh setiap agen i misalnya ki = 1 untuk
setiap i = 1, . . . , m.
Masalah sumber tunggal (Single Source Problem) adalah bagian khusus dari
GAP di mana syarat agen adalah bebas misalnya aij = dj untuk setiap i = 1, . . . , m.

Universitas Sumatera Utara

17
Sedangkan MPSSP adalah masalah di mana permintaan dan kapasitas berubahubah dan kapasitas dapat dijalankan untuk periode yang akan datang.

4.3 Solusi Metode
Batasan berbeda untuk GAP telah diajukan untuk dilekatkan pada skema
branch and bound. Ross dan Soland (1995) merelaksasi batasan kendala (4.2)
menjadi aij xij ≤ bi . Hal ini untuk menyederhanakan masalah minimisasi biaya di
mana setiap tugas ditempatkan ke agen layak yang paling murah pada solusi optimal. Secara umum, solusi ini menghilangkan batasan kapasitas untuk beberapa
agen. Oleh karena itu, beberapa tugas harus ditempatkan kembali untuk mengurangi kesalahan nilai objektif. Batasan diperbaiki dengan menambahkan kesalahan
minimum lanjutan untuk menghindari pelanggaran.
Karena kekuatan dari GAP, bilangan signifikan dari prosedur heuristik telah
diajukan. Pertama,digambarkan satu dasar dari relaksasi LP untuk GAP. Banders
dan Van Nunen (1983) membuktikan bilangan yang merupakan tugas yang tidak
layak misalnya satu penugasan untuk lebih dari satu agen, pada solusi optimal
untuk relaksasi LP kebanyakan pada bilangan agen yang digunakan untuk kapasitas
penuh. Mereka menyajikan sebuah heuristik yang menempatkan tugas yang tidak
layak pada solusi optimal untuk relaksasi LP dari GAP.
Cattrysse, dkk(1994) mengajukan sebuah heuristik berdasarkan formulasi
himpunan bagian dari GAP. Mereka menyelesaikan relaksasi LP dengan metode
penyesesuaian berganda dikombinasikan dengan sebuah metode subgradien. Mereka
mencari solusi utama dengan teknik reduksi.
Martello dan Toth (1981) menyajikan satu dari greedy heuristik untuk GAP
yang paling luas digunakan. Ditambahkan sebuah fase pencarian lokal untuk meningkatkan nilai objektif dengan solusi tertentu.

4.4 Relaksasi LP
Relaksasi LP dari GAP telah dibahas secara luas pada berbagai literatur.
Seperti disebutkan di atas, Banders dan Van Nunen (1983) menunjukkan bahwa

Universitas Sumatera Utara

18
sejumlah tugas yang tidak layak misalnya satu tugas ditempatkan untuk lebih
dari satu agen, pada solusi optimal di relaksasi LP adalah pada biasanya pada
bilangan agen yang digunakan untuk kapasitas penuh. Dyer dan Frieze (1992)
juga menunjukkan bahwa jumlah variabel pecahan biasanya sama dengan dua kali
jumlah agen. Dibuktikan bahwa hasil di mana monggolongkan tugas yang tidak
layak pada solusi optimal dari relaksasi LP pada GAP.
Relaksasi program linier (Linear programming relaxation(LPR)) dari GAP
adalah

Minimumkan:
dengan kendala
Xn

j=1

Xm

i=1

Xm Xn

aij xij ≤ bi

xij

xi j ≥ 0

i=1

j=1

(4.5)

cij xij

i = 1, . . . , m

(4.6)

j = 1, . . . , m

(4.7)

i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n

(4.8)

Dengan asumsi bahwa daerah layak dari LPR adalah tidak kosong.

Universitas Sumatera Utara

BAB 5
MODEL MATEMATIKA UNTUK MPSSP

5.1 MPSSP
Dalam Ayuso, dkk (2006) MPSSP adalah penempatan masing-masing pengecer ke setiap fasilitas tertentu pada permulaan perencanaan. Tujuannya untuk
meminimalkan biaya penempatan, perolehan inventaris dan pemesanan yang belum
terpenuhi dengan memperhatikan terpenuhinya permintaan perencanaan dan keterbatasan kapasitas produksi pada fasilitas.

Gambar 5.1 Jaringan produksi/ distribusi dan alokasinya (Ayuso, dkk. (2006)
Fasilitas digambarkan sebagai pabrik produksi dengan gudang yang terhubung.
Masing-masing pengecer harus dihubungkan ke fasilitas tertentu. Setiap pabrik
produksi dengan kapasitas yang terbatas dan sudah diketahui. Diasumsikan juga
bahwa gudang penyimpanan dengan kapasitas tidak terbatas sehingga mampu
menyimpan semua produksi walaupun pabrik memproduksi maksimal pada masingmasing periode. Kapasitas yang cukup besar pada gudang penyimpanan menjamin
19
Universitas Sumatera Utara

20
gudang dapat memenuhi permintaan pengecer yang dihubungkan dengannya. Penyimpanan produk hanya dilakukan pada fasilitas gudang karena pengecer misalnya restoran atau supermarket kecil tidak memiliki tempat penyimpanan yang
memadai. Tujuan untuk menghubungkan pengecer ke fasilitas adalah meminimalkan biaya total yang dikeluarkan.
Misalkan n adalah jumlah pelanggan, m adalah jumlah produksi dan penyimpanan fasilitas, dan T waktu perencanaan. Permintaan pelanggan j dalam
periode t adalah djt , dan kapasitas produksi pada fasilitas i dan dalam periode t
adalah bit. Biaya penempatan pelanggan j ke fasilitas i dalam periode t adalah
cijt , termasuk biaya transportasi. Dengan catatan bahwa biaya transportasi dapat
berubah-ubah sesuai fungsi permintaan dan jarak yang ditempuh. Biaya produksi
dan pengadaan inventaris pada fasilitas i dan periode t adalah ρit dan hit , yang
diasumsikan tidak negatif. Pertimbangan pelayanan pelanggan mungkin memerlukan beberapa atau semua pelanggan ditempatkan ke fasilitas yang sama dalam
masing-masing periode. Untuk menggabungkan kemungkinan ini dalam model,
dikenalkan himpunan S{1, . . . , n} yang merupakan bagian dari pelanggan (disebut
pelanggan tetap) yang perlu ditempatkan ke fasilitas yang sama pada semua periode. Misalkan D = {1, ρ, n}\S merupakan himpunan sisa dari pelanggan (disebut
pelanggan tidak tetap).
MPSSP diformulasikan sebagai berikut :
Minimumkan:
X T Xm

ρit yit +

T X
X
m Xn

cijt xijt +

X T Xm

hitIit

(5.1)

yit ≤ bit

i = 1, . . . , m; t = 1, . . . , T

(5.2)

Xn

djt xijt + Iit = yit + Ii,t−1

i = 1, . . . , m; t = 1, . . . , T

(5.3)

djt xijt = qit

i = 1, . . . , m; t = 1, . . . , T

(5.4)

t=1

i=1

t=1

i=1

j=1

t=1

i=1

Dengan

j=1

Xn

j=1

Universitas Sumatera Utara

21
m
X

i = 1, . . . , m; j ∈ S, t = 1, . . . , T

(5.5)

xijt = xij1

i = 1, . . . , m; t = 1, . . . , T

(5.6)

Ii0 = 0

i = 1, . . . , m

(5.7)

i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n; t = 1, . . . , T

(5.8)

xijt = 1

i=1

xijt ∈ {0, 1}, yit , Iit ≥ 0

Di mana xijt sama dengan 1 jika pelanggan j ditempatkan ke fasilitas i dalam
periode t, dan 0 jika selain itu. Yit adalah kuantitas produksi pada fasilitas i dalam
periode t, dan Iit adalah tingkat penyimpanan pada fasilitas i di akhir periode t.
Fungsi objektif P untuk meminimalkan total biaya produksi, penempatan
dan pengadaan inventaris. Produksi pada fasilitas i dalam periode t dibatasi oleh
(5.2), dan batasan (5.3) adalah persamaan penyeimbang kendala yang menjamin
bahwa permintaan produksi sesuai dengan kapasitas produksi q. Persamaan (5.5)
dan (5.6) menjamin bahwa setiap pelanggan ditempatkan dengan tepat ke satu fasilitas pada setiap periode. Persamaan (5.6) menjamin bahwa setiap pelanggan tetap
ditempatkan ke fasilitas yang sama melalui perencanaan. Persamaan (5.6) menentukan bahwa persediaan pada awal perencanaan sama dengan nol pada masingmasing fasilitas. Karena hit non negatif, persediaan pada akhir perencanaan, tenpa
mengurangi optimalitas, adalah sama dengan nol.

5.2

Convex Assignment Problem (Masalah Penugasan Cembung)
Romeijn dan Morales (2003) telah menunjukkan variasi lain pada MPSSP

bahwa variabel persediaan dapat dihilangkan pada biaya beban untuk memperlihatkan kecembungan pada fungsi objektif. Misalnya sebuah persamaan dengan
fungsi objektif cembung. Dalam hal ini, formulasi dari MPSSP adalah GAP dengan
fungsi objektif cembung.

Universitas Sumatera Utara

22
Proposisi 1 : Model 5.1 dapat dirumuskan sebagai
Minimumkan :
m X
T
n
X
X
i=1 j=1

Dengan batasan

t=1

!

cijt xij +

m
X

Hi

n
X
i=1

i=1

dj xij

!

Pt

T =1 biT
, i = 1, ..., m
dj xij 6mint=1,...,T Pt
j=1
T =1 σT

Xn

Xm

xij = 1

i=1

xij ∈ {0, 1}

(5.9)

(5.10)

j = 1, ..., n

(5.11)

i = 1, ..., m; j = 1, ..., n

(5.12)

Di mana Hi (u) adalah fungsi cembung yang diberikan oleh nilai optimum
dari masalah berikut :
Minimumkan
Dengan

PT

t=1 hit It

It − It−1 ≤ bit σtu,

t = 1, . . . , T

I0 = 0,
Tt ≥ 0

t = 1, . . . .T

Bukti : Misal F adalah daerah layak untuk (5.9). Dengan mendekomposisi (5.9)
diperoleh persamaan berikut:
min

(x,I)∈F

=

=

T P
m P
n
P

cijt xij +

t=1 i=1 j=1

min

x:∃I ′ (x,I)∈F

min

x:∃I ′ (x,I)∈F

t=1 i=1

m P
n
P



T
P

m P
n
P



T
P

i=1 j=1

i=1 j=1

T P
m
P



hit Iit

!

cijt xij + min

t=1



T P
m
P

(x,I)∈F t=1 i=1

!

hit Iit

!

cijt xij +H (x)

t=1

Di mana H(x) sama dengan

Universitas Sumatera Utara

23
Minimumkan

Pm PT
i=1

t=1 hit It

Iit − Ii,t−1 ≤ bitσ . . .

Dengan

I0 = 0,

Pn

j=1 dj xij ,

i = 1, . . . , m; t = 1, . . . , T
i = 1, . . . , m

It ≥ 0

i = 1, . . . , m; t = 1, . . . .T

Masalah ini terpisah pada i, sehingga untuk setiap i = 1, . . . , m hanya ter
P
m
P
P
n
gantung kepada nj=1 dj xij . Jadi, H(x) =
d
x
Hi
j=1 j ij . Selanjutnya akan
i=1

ditunjukkan daerah layak dari masalah yang didekomposisi sama dengan daerah

layak untuk (5.1). Anggap terdapat x sehingga ada tepat satu solusi layak (x, I)
untuk (5.9). Untuk setiap fasilitas i, jumlahkan batasan kapasitas pada setiap
periode, diperoleh :
 P
PT  P
T
n
σ
t. j=1 dj xij +Iu 6
t=1 (bit + Ii,t−1 )
t=1


T
P

t=1



T
P

t=1



σt .


n
P

dj xij +

n
P

Iu

t=1

j=1

σt .

T
P

dj xij + IiT 6

T
P

bit +

Ii,t−1

t=1

t=1
T
P

T
P

bit + Ii0

t=1

j=1

yang ekuivalen dengan
T  n
T
P
P
P
bit
dj xij + IiT 6
σt .
t=1

j=1

t=1

dan mengakibatkan
T  n
T
P
P
P
dj xij 6
bit
σt .
t=1

j=1

t=1

Pertidaksamaan sebelumnya menunjukkan bahwa x adalah layak untuk (5.1). Anggap
x solusi layak untuk (5.1), maka terdapat sebuah vektor y ∈ RmT
sehingga yit ≤ bit
T
P

t=1

yit =

T
P

t=1

σt

n
P

i = 1, . . . , m; t = 1, . . . , T dan
dj xij

i = 1, . . . , m

j=1

(Dengan catatan bahwa y dapat diinterpretasikan sebagai sebuah himpunan

tingkat produksi yang berkorespondensi dengan (x, I) pada formulasi (5.9)). Se-

Universitas Sumatera Utara

24
lanjutnya Iit didefinisikan sebagai

Iit =

XT

t=1

Yit −

XT

t=1

 Xn
σt .
dj xij

i = 1, . . . , mdant = 1, . . . , T (5.13)

j=1

dan Iittak negatif, (x, I) ∈ F
Ini berarti bahwa x adalah solusi layak untuk masalah yang didekomposisi.
Dengan memperhatikan fungsi Hi (u) memiliki nilai terbatas dan karena dualitas
LP diperoleh :
T

P
hit It : It − It − 1 ≤ bit − σt u, I0 ≥ 0, t = 1, . . . , T
Hi (u) = min
t=1

= max



T
P

(σtu − bit ) wt : w ∈ Wi

t=1





dimana Wi = min w ∈ RT : −wt + w − t + 1 ≥ hit , t = 1, . . . , T − 1; wt ≥ 0, t = 1, . . . , T .

Misalkan µ ∈ [0, 1] dan tentukan u, maka

T
P

max
((µu + (1 − µ) u ) σt − bit ) wt : w ∈ Wi
t=1



= max µ
≤ µ max

T
P

(σt u − bit) wt + (1 − µ)

t=1



T
P

T
P



(σt u − bit ) wt : w ∈ Wi

t=1

(σtu − bit) wt : w ∈ Wi

t=1



+ (1 − µ) max



T
P





(σtu − bit ) wt : w ∈ Wi

t=1

Yang menunjukkan kecembungan dari Hi (u).



Fungsi Hi menghitung biaya persediaan minimum yang dibutuhkan pada fasilitas i yang mampu memenuhi permintaan pelanggan yang dihubungkan kepadanya.
Nilai dari biaya persediaan pada masing-masing fasilitas hanya tergantung kepada
total permintaan pelanggan yang dihubungkan kepada fasilitas tersebut. Proposisi
berikut menunujukkan bahwa MPSSP memiliki masalah penugasan cembung.

gi (z) =

n
T
X
X
j=1

t=1

!

cijt zj + Hi

n
X
j=1

dj zj

!

(5.14)

Universitas Sumatera Utara

25
Dengan kendala kapasitas sama dengan
n

Xi = {z ∈ [0, 1] :

n
X

dj xij 6

min
t=1,...,T

j=1

Pt

T =1 biT
Pt
T =1 σT

(5.15)

Telah diketahui bahwa fungsi Hi adalah cembung. Sehingga mudah untuk
menunjukkan bahwa fungsi ini juga linier. Ini digambarkan dengan sebuah contoh
di mana index i akan ditahan untuk memudahkan.
Misalkan n = 1, T = 3, dan
σ = (1, 1, 1)T , h = (2, 2, 2)T ,
d1 = 25,
b = (50, 20, 10)T
Dalam kasus ini, H(z1) sama dengan nilai optimal dari :
Minimumkan : 2(I1 + I2 + I3)
Dengan :
I1 − I0 ≤ 50 − 25z1 ,
I2 − I1 ≤ 20 − 25z1 ,
I3 − I2 ≤ 10 − 25z1 ,
I0 = 0,
It ≥ 0,

t = 1, 2, 3.

Universitas Sumatera Utara

26

Gambar 5.2 Biaya persediaan
Gambar 2 menggambarkan nilai fungsi objektif optim