Metode Berbasis Kendala Aktif Dalam Menyelesaikan Persoalan Lokasi Fasilitas Berkapasitas.
METODE BERBASIS KENDALA AKTIF DALAM MENYELESAIKAN PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS
TESIS
Oleh LISBET MARBUN
097021060/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
METODE BERBASIS KENDALA AKTIF DALAM MENYELESAIKAN PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS
TESIS Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
LISBET MARBUN 097021060/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi
: METODE BERBASIS KENDALA AKTIF DALAM MENYELESAIKAN PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS
: Lisbet Marbun : 097021060 : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) Ketua
(Dr. Sutarman, M.Sc) Anggota
Ketua Program Studi,
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 14 Juni 2011
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada Tanggal 14 Juni 2011
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : 1. Dr. Sutarman, M.Sc
2. Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si 3. Drs. Sawaluddin, MIT
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Kendala aktif meliputi semua batasan persamaan dan semua ketidaksamaan yang berada pada titik persamaan, inilah definisi yang digunakan di sini. Definisi ini berarti bahwa semua ketidaksamaan dimasukkan di antara batasan aktif, Hal ini memenuhi variabel yang mempengaruhi batasan aktif di titik LP relaksasi optimum. Salah satu asumsi Capacitated Facility Location Problem (CFLP ) atau masalah lokasi fasilitas berkapasitas adalah permintaan diketahui dan tetap. Model solusi yang disajikan dalam penelitian ini dalam rangka untuk untuk menggambarkan penggunaan formulasi CFLP dalam memenuhi permasalahan distribusi obat-obatan pada situasi tanggap darurat yang diakibatkan bencana. Kata kunci : Kendala aktif, Model masalah lokasi fasilitas berkapasitas
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT Active Constraint covers all equation definitions and all inequalities that it is at equation, this is definition that used here. Definition this means that any inequality to active definition, This condition fulfills variable that influence active definition in LP optimum relaxation. One of assumption Capacitated Facility Location Problem (CFLP ) or problem of facility location is request is known and fixed. Solution model that presented in this research in attempt to to depict the usage of formulation CFLP in fulfilling problems of drugs distribution at situation listen carefully emergency that resulted disaster. Keywords : Active constraint, Model of facility location problem,
ii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Dengan rendah hati penulis ucapkan segala puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan studi Program Magister Matematika pada FMIPA USU. Tesis ini merupakan salah satu syarat penyelesaian studi pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimaksih yang sebesar - besarnya kepada :
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H. M.Sc. (CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara yang memberi kesempatan kepada penulis untuk menempuh pendidikan di Universitas Sumatera Utara. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang juga menjadi pembimbing tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Ir. Abdul Rahim Matondang, MSIE selaku Direktur Pascasarjana Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara, yang juga menjadi pembimbing tesis ini.
Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU.
Bapak Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si, dan Bapak Drs.Sawaluddin, MIT, selaku penguji tesis ini.
Bapak/Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA USU; Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Prof. Dr. Tulus, M.Si, Drs. Marwan Harahap, M.Eng, Drs. Open Darnius, M.Sc, Drs. Marihat Situmorang, M.Kom, Drs. Suwarno Arriswoyo, M.Si dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si, yang telah membekali ilmu pengetahuan kepada penulis selama perkuliahan hingga selesai.
iii
Universitas Sumatera Utara
Ibu Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan administrasi selama mengikuti pendidikan.
Ucapan terima kasih yang tak terhingga penulis ucapkan kepada suami tercinta T. Pardede, SE dan anak-anak Ku tersayang Lian, Atan, Yola dan Kevin. Keluarga besar Ku; Inong, Among dan adik yang turut mendukung lewat doa. Tak lupa sahabat Ku, mahasiswa program studi Magister Matematika SPs USU tahun 2009. Semoga persahabatan selama dalam perkuliahan ini dapat memotivasi semangat dan panggilan kita sebagai pendidik.
Akhir kata penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun demi kesempurnaan tesis ini.
Medan, 14 Juni 2011 Penulis,
Lisbet Marbun
iv
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP Lisbet Marbun anak pertama dari delapan bersaudara dari pasangan R. Marbun dan P. br. Siagian, dilahirkan di Bakara pada tanggal 8 Juni 1965. Menamatkan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 48 Jalan Sidamanik Pematang Siantar pada tahun 1977, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Negeri-3 Jalan Sidamanik Pematang Siantar pada tahun 1981, Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Swasta Pelita Pematang Siantar pada tahun 1984. Tahun 1984, penulis memasuki Perguruan Tinggi Universitas Nomensen Pematang Siantar pada Fakultas Keguruan Ilmu Pendidikan program studi D-3 Matematika dan lulus tahun 1987. Sejak tahun 1988 penulis bekerja sebagai Guru. Pada tanggal 23 Februari 1990 penulis menikah dengan Tarida Pardede, SE. Pada tahun 1998, penulis menyelesaikan studi S-1 di Universitas Negeri Medan. Tahun 2009 penulis mengikuti pendidikan Program Studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara. Judul Tesis: ”Metode Berbasis Kendala Aktif Dalam Menyelesaikan Persoalan Lokasi Fasilitas Berkapasitas”
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Rumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian 1.5 Metode Penelitian BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Kendala Aktif 2.2 Lokasi Fasilitas Berkapasitas 2.3 Berbagai Metode Penyelesaian CFLP BAB 3 LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS 3.1 Masalah Lokasi Fasilitas Berkapasitas 3.2 Metode Berbasis Kendala Aktif BAB 4 PEMBAHASAN 4.1 Analisis Eksperimen
vi
Halaman i ii
iii v vi viii ix 1
1 2 3 3 3 4
4 5 7 8
8 15 21
21
Universitas Sumatera Utara
4.2 Hasil Perhitungan BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan 5.2 Saran DAFTAR PUSTAKA
22 27
27 28 29
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
4.1 Model deterministik menggunakan A locate - Allocation Heuristic 23
4.2 Model Deterministik menggunakan prosedur Simulated Annealing (SA)
23
4.3 Pemenuhan dari chance constrained model (CCM)
24
4.4 Perbandingan pemenuhan dari CCM
25
4.5 Perbandingan kinerja CCM dengan DM
25
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
1.1 Alur tahapan penelitian
3.1 Rantai pasokan dinamis
4.1 Lokasi titik permintaan dalam los angeles country
Halaman 3 13 22
ix
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Kendala aktif meliputi semua batasan persamaan dan semua ketidaksamaan yang berada pada titik persamaan, inilah definisi yang digunakan di sini. Definisi ini berarti bahwa semua ketidaksamaan dimasukkan di antara batasan aktif, Hal ini memenuhi variabel yang mempengaruhi batasan aktif di titik LP relaksasi optimum. Salah satu asumsi Capacitated Facility Location Problem (CFLP ) atau masalah lokasi fasilitas berkapasitas adalah permintaan diketahui dan tetap. Model solusi yang disajikan dalam penelitian ini dalam rangka untuk untuk menggambarkan penggunaan formulasi CFLP dalam memenuhi permasalahan distribusi obat-obatan pada situasi tanggap darurat yang diakibatkan bencana. Kata kunci : Kendala aktif, Model masalah lokasi fasilitas berkapasitas
i
ABSTRACT Active Constraint covers all equation definitions and all inequalities that it is at equation, this is definition that used here. Definition this means that any inequality to active definition, This condition fulfills variable that influence active definition in LP optimum relaxation. One of assumption Capacitated Facility Location Problem (CFLP ) or problem of facility location is request is known and fixed. Solution model that presented in this research in attempt to to depict the usage of formulation CFLP in fulfilling problems of drugs distribution at situation listen carefully emergency that resulted disaster. Keywords : Active constraint, Model of facility location problem,
ii
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kejadian darurat bencana alam seperti gempa bumi, banjir dan lainnya dapat terjadi tanpa peringatan dan tanda-tanda sebelumnya. Situasi bencana alam adalah situasi yang tidak dapat dipastikan kapan datang atau kapan terjadi. Bila terjadi bencana seperti gempa bumi, banjir, penyakit flu burung atau penyakit lainnya yang mengancam di banyak wilayah, akan memunculkan persoalan baru misalnya; permintaan obat, permintaan makanan dan sebagainya. Dari berbagai permintaan tersebut tentu diperlukan upaya untuk mendistribusi secara tepat untuk mengurangi korban yang diakibatkan bencana. Upaya yang dilakukan biasanya dengan mengumpulkan para penduduk yang terkena dampak bencana, pada lokasi tertentu dengan tujuan mengurangi waktu dan jarak pendistribusian bahan yang dibutuhkan. Masalah ini merupakan model matematika yaitu masalah optimasi.
Menurut May dan Tung (1992), masalah optimisasi dapat diformulasikan dalam model yang dinyatakan dalam variabel keputusan. Setiap masalah optimisasi mempunyai 2 (dua) bagian yang utama; fungsi tujuan dan satu kumpulan kendala. Fungsi tujuan menyatakan kriteria kinerja sistemnya. Kendala (constraint) menerangkan sistem atau proses yang akan direncanakan atau dalam kendala kesamaan dan ketidaksamaan. Kendala Aktif merupakan kendala yang memiliki solusi optimal atau kendala yang membentuk titik ekstrim.
Tinjauan literatur yang disebutkan dalam tesis ini meneliti persoalan lokasi fasilitas berkapasitas dengan berbagai metode antara lain menggunakan Backlogging probability model, Aggregate capacity, dan lain sebagainya. Dalam tinjauan sementara yang dilakukan oleh penulis tentang metode yang digunakan para peneliti, pada umumnya semua memiliki kelebihan namun hasil temuan penulis pada dasarnya merujuk pada pengembangan pemrograman linear.
Jia et al. (2006) dalam penelitiannya, menyatakan pentingnya pemilihan lokasi yang tepat. Lokasi-lokasi fasilitas yang akan dibuka diharapkan dapat me-
1
2
layani seluruh titik permintaan dengan efisien dan efektif. Pengambilan keputusan untuk menentukan lokasi fasilitas sangat diperlukan. Dari berbagai persoalan lokasi fasilitas yang dikemukakan oleh peneliti terdahulu, penulis sangat tertarik meninjau persoalan lokasi fasilitas pada situasi bencana. Sehubungan dengan hal tersebut penulis memilih judul penelitian pada tesis ini ”Metode Berbasis Kendala Aktif Dalam Menyelesaikan Persoalan Lokasi Fasilitas Berkapasitas”. Metode berbasis kendala aktif dalam masalah ini mencakup penggunaan Model Relaksasi Lagrangean, Deterministic Model, Chance Constrained Model, A locate-Alocate Heuristic. Kelebihan metode berbasis kendala aktif terletak pada pertimbangan permintaan pada setiap fasilitas yang dibuka berhubungan dengan lokasi fasilitas berkapasitas.
Dalam model Relaksasi Lagrangean, keputusan yang diambil dengan menetapkan kriteria lokasi fasilitas terbuka dan tidak terbuka. Dalam Deterministic Model, keputusan yang diambil mempertimbangkan lokasi dan ukuran populasi, untuk memaksimalkan cakupan. Keputusan yang diambil melalui Chance Constrained Model mempertimbangkan ketidakpastian permintaan. Dalam model A locate-Alocate Heuristic, keputusan yang diambil mempertimbangkan persediaan pada setiap lokasi fasilitas sangat mempengaruhi, karena itu dalam membuka lokasi fasilitas diperlukan upaya untuk menentukan lokasi fasilitas yang berkinerja maksimal atau berkapasitas. Metode berbasis kendala aktif dalam tesis ini, hanya merupakan sistem yang mempertimbangkan kendala dalam penentuan lokasi fasilitas berkapasitas. Keputusan yang tepat dalam menentukan lokasi fasilitas berkapasitas atau yang mampu melayani setiap permintaan dengan tepat dipengaruhi oleh jarak dan waktu.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang dikemukakan sebelumnya, maka rumusan masalah dalam tesis ini adalah:
1. Jarak dan waktu adalah faktor penentu dalam menyelesaikan persoalan lokasi fasilitas berkapasitas
3 2. Bagaimana penyelesaian persaoalan lokasi fasilitas berkapasitas dengan metode
berbasis kendala aktif. 1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk meninjau model solusi lokasi fasilitas berkapasitas yang digunakan pada persoalan distribusi yang efektif dan efisien untuk memenuhi permintaan yang diakibatkan bencana. 1.4 Manfaat Penelitian
Model yang disajikan dalam tesis ini memungkinkan alternatif dalam pengambilan keputusan yang berhubungan dengan penentuan lokasi fasilitas terbaik, sehingga dapat menjangkau permintaan pada situasi darurat bencana. 1.5 Metode Penelitian
Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah tinjauan literatur yang relevan dengan masalah yang diteliti, dengan tahapan penulisan seperti tergambar dalam diagram berikut:
Gambar 1.1 Alur tahapan penelitian
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Kendala Aktif
Secara umum Chinneck (2006) mendefinisikan, kendala aktif meliputi semua batasan persamaan dan semua ketidaksamaan yang berada pada titik persamaan. Definisi ini berarti bahwa semua ketidaksamaan dimasukkan di antara kendala aktif, Hal ini berhubungan dengan variabel nonbasis. Titik optimum akan menghasilkan solusi. Bila diselidiki lebih lanjut akan didapatkan daerah dimana titik uji itu berada dan sebaliknya, Hal ini memenuhi bahwa variabel sebahagian besar mempengaruhi kendala aktif di titik LP relaksasi optimum. Variabel kandidat mempunyai kendala aktif dengan cara memperhatikan dua komponen:
(i) Berapa banyak pengaruh variabel di dalam satu batasan tertentu,
(ii) Banyak batasan yang mungkin dipengaruhi oleh satu variabel tunggal.
Pengaruh suatu variabel di dalam satu kendala aktif meliputi; munculnya satu variabel kandidat dalam satu batasan, nilai koefisien dari satu variabel kandidat dalam satu batasan, nilai semua koefisien dari variabel kandidat baru. Ukuran berapa banyak kendala aktif dipengaruhi; evaluasi dari setiap kendala aktif, koefisien baru variabel kandidat baru, atau invers dari jumlah variabel atau jumlah variabel kandidat.
Menurut May dan Tung (1992), masalah optimisasi diformulasikan dalam variabel keputusan. Setiap masalah optimisasi mempunyai 2 (dua) bagian yang utama yaitu fungsi tujuan dan satu kumpulan kendala. Fungsi tujuan menyatakan kriteria kinerja sistemnya. Kendala (constraint) menerangkan sistem atau proses yang akan direncanakan atau dianalisa dengan bentuk kendala kesamaan dan ketidaksamaan. Kendala aktif merupakan kendala yang membentuk titik ekstrim. Kendala tidak aktif adalah kendala yang tidak membentuk titik ekstrim.
Jika suatu kendala tidak menentukan bagian dari batas daerah yang layak (feasible) dinamakan kendala berlebihan (Redundansi). Sebuah solusi layak dari su-
4
5
atu masalah optimisasi merupakan himpunan nilai-nilai variabel keputusan yang secara bersamaan memenuhi kendalanya. Daerah solusi layak (feasible region) dinyatakan oleh kendala-kendala yang ada. Solusi optimal merupakan himpunan nilai-nilai variabel keputusan yang memenuhi kendala.
2.2 Lokasi Fasilitas Berkapasitas
Facility Location Problem (FLP), diperkenalkan oleh (Balinski, 1965) dalam menempatkan satu fasilitas baru sedemikian sehingga biaya dapat diminimumkan. Capacitated Facility Location Problem (CFLP) adalah satu jenis dari FLP, yang meliputi kapasitas untuk fasilitas. Yang dipertimbangankan pada CFLP adalah mencari lokasi terbaik dari fasilitas. CFLP mempertimbangkan lokasi fasilitas potensial dalam menetapkan biaya untuk menempatkan satu fasilitas, fasilitas itu dibatasi pada satu kapasitas terhadap jumlah fasilitas untuk dibuka. Pendekatan dalam menyelesaikan masalah CFLP adalah penggunaan Relaksasi Lagrangean.
Beberapa literatur yang membahas Facility Location Problems yaitu (Balinski dan Spielberg, 1969), (ReVelle et al., 1970), (Guignard dan Spielberg, 1979), (Cornuejols, 1991) atau (Krarup dan Pruzan, 1983). Hasil FLP nya berfokus pada permasalahan keputusan mengenai lokasi fasilitas untuk meminimumkan total biaya dalam melayani klien. Krarup dan Pruzan (1983) menyajikan pengalamannya dalam menggunakan FLP untuk mengambil keputusan pada permasalahan mengenai jumlah, ukuran, desain, lokasi, dan pola layanan. Dasar perumusan FLP ada pada analisa sensitivitas. FLP, mempertimbangkan situasi dimana satu komoditas disuplai dan menyeleksi dari satu set lokasi ke lokasi potensial untuk melayani permintaan klien. Terdapat biaya-biaya tetap yaitu biaya membuka lokasi dan biaya transportasi dalam mensuplai komoditas dari lokasi potensial atau lokasi fasilitas berkapasitas kepada klien.
Kejadian seperti serangan bio-teroris, atau bencana alam seperti gempa bumi, dapat datang tanpa peringatan. Situasi seperti ini menyebabkan permintaan terhadap obat-obatan dalam jumlah besar. Untuk tujuan minimasi resiko dan pengurangan waktu respon, penting untuk menentukan lokasi pendistribusian atau pasokan medis dapat dengan cepat didistribusikan. Keputusan untuk menentukan
6
dan membuka lokasi fasilitas di seluruh wilayah bencana memainkan peranan penting dalam mengurangi korban. Pertimbangan penting dalam memilih lokasi fasilitas ini adalah cakupan wilayah permintaan, seperti yang dikemukakan Jia et al. (2006).
Dalam keadaan darurat yang luar biasa seperti serangan Anthrax di daerah perkotaan besar, diperlukan upaya pemasokan dari lokasi persediaan ke daerah bencana. Agar hal ini dapat terlaksana diperlukan strategi sebagai keputusan yang perlu dibuat seperti lokasi fasilitas yang akan dibuka dan jumlah persediaan untuk disimpan pada setiap fasilitas. Namun demikian, keputusan yang diambil sangat dipengaruhi oleh ketidakpastian yang terkait dengan lokasi darurat dan jumlah orang yang terkena dampak bencana. Tingkat cakupan dapat dianggap sebagai fungsi jarak antara titik permintaan dan fasilitas terbuka, seperti dikemukakan oleh Berman et al. (2003) dengan model peluruhan bertahap.
Berman et al. (2009) menyatakan bahwa keputusan untuk menentukan cakupan fasilitas, selain jumlah dan lokasi fasilitas, juga diperlukan informasi jumlah titik permintaan dengan tujuan meminimalkan biaya.
Salah satu model dikembangkan oleh Toregas et al. (1971). Pada penelitiannya menyajikan masalah potensi fasilitas dalam jarak atau waktu tertentu dari setiap titik permintaan. Pemecahan masalah diajukan dengan menggunakan linear programming bidang teknik. Rawls dan Turnquist (2006) menyajikan model dua tahap optimasi stokastik untuk mencari fasilitas dan memberikan pasokan berdasarkan situasi darurat. Penelitiannya mengembangkan program integer campuran untuk mengatasi ketidakpastian dalam kapasitas jaringan transportasi.
Berman dan Gavious (2007) menyajikan model lokasi kompetitif dalam menemukan lokasi fasilitas yang mengandung sumber daya yang diperlukan untuk merespon serangan teroris. Penelitiannya mempertimbangkan situasi terburuk, dimana teroris mengetahui lokasi fasilitas. Jia et al. (2006) menyajikan lokasi fasilitas dan alokasi titik permintaan terbuka berdasarkan kendala jarak. Mengingat ketidakpastian yang terkait dengan darurat yang luar biasa, diperlukan secara akurat jumlah persediaan yang perlu ditempatkan di setiap tempat fasilitas potensial. Oleh karena itu, untuk membantu keputusan yang tepat dan berlaku untuk jangka
7
waktu yang panjang, model fasilitas lokasi harus mempertimbangkan ketidakpastian yang terkait dengan permintaan dan jarak.
Snyder (2006) memberikan kajian mendalam dengan menggunakan pendekatan model mini-mize. Louveaux dan Peeters (1992) menyajikan versi stokastik masalah P-median untuk memilih fasilitas. Berman dan Drezner (2008) menyajikan masalah ketidakpastian dengan meminimalkan biaya yang diharapkan dapat melayani semua titik permintaan. Snyder dan Daskin (2004) memberikan pembahasan tentang lokasi fasilitas. Dalam aplikasi yang disajikan, pemodelan lokasi fasilitas mempertimbangkan ketidakpastian sangat penting. Rawls dan Turnquist (2006) menyatakan, pasokan pada tiap fasilitas tergantung pada permintaan dan hal ini merupakan masalah lokasi fasilitas berkapasitas.
2.3 Berbagai Metode Penyelesaian CFLP
a. Backlogging probability model Fransisco (2000) memberi asumsi masalah lokasi fasilitas berkapasitas (CFLP) merupakan permintaan yang diketahui dan tetap. Hal ini terjadi pada saat mengambil keputusan strategis seperti lokasi fasilitas dan penugasan pelayanan setiap permintaan. Penelitiannya mengajukan sistem manufaktur untuk mendapatkan model backlogging probability.
b. Aggregate capacity Jean (1991) dalam penelitiannya mengajukan aggregate capacity untuk persoalan lokasi fasilitas. Masalah lokasi fasilitas dengan satu batasan kumpulan kapasitas atau aggregate capacity membandingkan kekuatan relaksasi dengan semuan permintaan dalam satu kumpulan batasan kapasitas.
BAB 3 LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS
3.1 Masalah Lokasi Fasilitas Berkapasitas
Penentuan lokasi fasilitas berkapasitas pada dasarnya merujuk pada pemrograman linear karena menyangkut persoalan optimasi. Pemahaman yang baik tentang pemrograman linear sangat mendukung dalam penyelesaian persoalan optimasi. Masalah Linear Programming (LP) atau Pemrograman Linear memperhatikan penggunaan atau alokasi yang efisien dari sumberdaya yang terbatas untuk mencapai tujuan yang diinginkan. Masalah ini memperkenalkan sejumlah solusi untuk memenuhi kondisi dari setiap masalah. Pemilihan suatu solusi meliputi pemecahan masalah terbaik untuk suatu masalah pada tujuan yang dinyatakan secara tidak langsung didalam statement dari masalah tersebut. Suatu solusi yang memuaskan semua kondisi dari tujuan yang telah ditetapkan dinamakan solusi optimum.
Djannaty dan Rostamy (2006), meneliti masalah pencakupan dan pempartisian pada aplikasi penjadwalan penerbangan, bis, lokasi pabrik, circuit switching atau pengalihan sirkuit dan penyeimbangan rangkaian pengambilan informasi. Dalam penelitiannya dikemukakan, misalkan M = {1, 2, 3, . . . m} adalah himpunan dari m bilangan bulat dan misalkan s menotasikan suatu himpunan dari n himpunan bagian dari M.
Dengan demikian:
N = {1, 2, 3, . . . n},
s = {s1, s2, s3} dimana sj ⊆ M, j ∈ N (1 = 1, · · · m, j = 1, · · · , n)
1, dan misalkan; aij =
0,
i ∈ sj, jika dipilih i ∈/ sj jika tidak dipilih
n
min cjxj,
j=1
dengan batasan aijxj ≥ 1(i = 1, . . . , m)
8
9
xj ∈ {0, 1}(j = 1, . . . , n)
Variabel keputusan xj mengindikasikan apakah sj dipilih atau tidak dan cj adalah biaya yang terkait dengan pemilihan sj. Masalah bisa ditafsirkan sebagai penentuan biaya minimum dengan memilih himpunan bagian dari s.
Sebagai ilustrasi, suatu perusahaan akan mendeterminasi bentuk kombinasi dari sumberdaya yang dimiliki untuk kemungkinan menghasilkan produk dimana tidak hanya memenuhi rencana produk tetapi juga memaksimumkan keuntungan. Hal ini mempunyai kondisi dasar seperti, ketersediaan sumberdaya yang terbatas dan persyaratan rencana produksi, serta tujuan yang diinginkan oleh perusahaan untuk memaksimumkan keuntungannya.
Pernyataan di atas dapat dituliskan dengan model matematika sebagai berikut:
a. Fungsi tujuan : z = cx1 + c2x2 + . . . + cnxn
Fungsi kendala : a11x11 + a21x21 + · · · + an1xn1 ≥ b1 a12x12 + a22x22 + · · · + an2xn2 ≥ b2 ... ... ... ... ... a1mx1m + a2mx2m + · · · + anmxnm ≥ bm
b. Asumsi
:x1, x2, . . . , xn ≥ 0
Model di atas dapat dijelaskan sebagai berikut:
z = nilai fungsi tujuan. xj = banyaknya kegiatan j, (j = 1, 2, . . . n), berarti terdapat n variabel keputusan. cj = cost coefficients. Pada masalah maksimasi cj menunjukkan keuntungan atau pene-
rimaan per unit, pada kasus minimasi cj menunjukkan biaya per unit. bi = Jumlah sumber daya ke-i(i = 1, 2, . . . m) yang tersedia untuk dialokasikan kesetiap
unit, berarti terdapat m jenis sumber daya. aij = Jumlah sumber daya i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit j.
Berdasarkan uraian di atas dapat disusun bentuk umum model program linear berikut:
10
Maksimumkan (minimumkan)
Zj =
n j=1
cj
xj
Dengan kendala,
n
aijxij(≤, =, ≥)bi
j=1
Untuk semua i(i = 1, 2, 3, . . . m), bi ≥ 0 dan Xj ≥ 0
Penyelesaian program linear memerlukan asumsi-asumsi tertentu yang harus dipenuhi. Menurut Dantzig (1963), asumsi yang harus dipenuhi adalah:
a) Jika vektor x = (x1, x2, . . . , xn) bernilai positif dan faktor pembatas AX = b juga bernilai positif, maka pemecahan problem linear yaitu solusi layak (feasibel solution) dapat diperoleh.
b) Problem linear dapat diselesaikan dengan baik, kalau koefisien aij tidak bernilai negatif; atau dengan kata lain semua koefisien adalah positif.
c) Semua faktor pembatas merupakan fungsi linear atau F (x) = linear function atau aijxij = b1
d) Dengan demikian maka fungsi tujuannya juga merupakan fungsi linear, jadi: cjxj = F (x) fungsi linear
Rumusan pernyataan di atas, dapat disimpulkan tiga hal sebagai berikut:
1. Bahwa dalam program linear harus ada fungsi tujuan (yang dinyatakan dengan persamaan garis lurus fungsi z yaitu sesuatu yang dimaksimumkan atau diminimumkan; c adalah cost coefficient dan x adalah aktivitas.
2. Bahwa dalam program linear harus ada kendala yang dinyatakan dengan persamaan garis lurus, dimana a = koefisien input-output dan b = jumlah sumberdaya yang tersedia.
3. Bahwa semua nilai x adalah positif atau sama dengan nol. Atau dengan kata lain, tidak boleh ada nilai x yang negatif. Dengan demikian besarnya nilai koefisien input-output tidak boleh negatif.
Setiap problem program linear mempunyai ciri:
11
a. Solusi optimum tidak akan terjadi, bila didapatkan hubungan dengan nilainilai negatif dari variabel x
b. Suatu solusi nonnegatif menghasilkan nilai finite pada objective function
dengan kendala:
Facility Location Problem (FLP) membahas masalah menemukan satu fasilitas baru sedemikian rupa sehingga biaya diminimalkan. Krarup dan Pruzan
(1983) mengemukakan masalah lokasi fasilitas mempertimbangkan situasi dimana
komoditasnya dipasok dan dipilih dari satu lokasi potensial, untuk memenuhi per-
mintaan klien. Ada biaya tetap untuk pembukaan fasilitas dan biaya transportasi untuk memasok komoditi atau produk dari lokasi potensial untuk klien. Keputusan yang diambil berusaha untuk mengkombinasi biaya minimum dalam hal membuka
lokasi fasilitas. CFLP mempertimbangkan situasi dimana fasilitas memiliki kapa-
sitas yang disajikan dalam unit permintaan dan juga mengasumsikan bahwa setiap
klien dapat dilayani dari lokasi berbeda. Oleh Sridharan (1995), CFLP dirumuskan
sebagai:
mn
n
min cijcij + fjyj
i=1j=1
j=1
dengan kendala:
m
aixij ≤ bj
i=1 m
xij=1
j=1
Xij − yj ≤
Xij ∈ {0, 1}
yj ∈ {0, 1}
∀i
∀i ∀i, ∀j ∀i, ∀j ∀j
(3.1)
(3.2) (3.3) (3.4) (3.5)
12
Fungsi tujuan adalah meminimumkan biaya membuka fasilitas dan biaya membangun fasilitas. Kendala (3.1) disebut sebagai kapasitas kendala atau kendala fasilitas. Kendala (3.2) memastikan bahwa permintaan pelanggan dilayani oleh fasilitas tertentu yang tidak melebihi kapasitasnya. Kendala (3.3) disebut sebagai kendala permintaan atau kendala pelanggan. Kendala (3.4) memastikan bahwa setiap pelanggan dihubungkan dengan tepat satu fasilitas. Kendala (3.5) memastikan bahwa tugas yang dibuat hanya untuk membuka fasilitas.
Diberbagai kegiatan yang menghasilkan nilai dalam bentuk produk dan jasa, Stadtler dan Kilger (2002) mengemukakan dalam rantai pasokan, berbagai jenis keputusan harus dibuat dan terkoordinasi. Keputusan ini diklasifikasikan ke dalam tingkat strategis dan operasional sesuai dengan jangka waktu. Sebuah keputusan strategis yang berkaitan dengan struktur distribusi dari rantai suplai termasuk lokasi sarana dan mengalokasikan pelanggan, disebut masalah lokasi fasilitas. Pada tingkat operasional, keputusan pada arus transportasi dan tingkat persediaan dilakukan dengan mempertimbangkan pelanggan, biaya transportasi, biaya persediaan dan faktor lainnya. Gambar 3.1 menunjukkan distribusi dari rantai suplai yang diulang selama dua periode waktu. Tanda panah menunjukkan jalur transportasi yang tersedia untuk produk yang berbeda dari rantai suplai. Dalam Gambar 3.1, relokasi fasilitas bertahap serta perluasan kapasitas dan pengurangan dapat terjadi sepanjang waktu.
Behmardi dan Lee (2008) menyajikan sifat kompleks dari masalah lokasi fasilitas dinamis, sebagian besar penelitiannya mempertimbangkan beberapa asumsi untuk menyederhanakan masalah. Salah satu asumsi dalam studi yang dilakukan adalah relokasi dan rekonfigurasi fasilitas berkapasitas. Relokasi fasilitas atau mengubah kapasitas akan membutuhkan waktu dan sumber daya, yang menyebabkan tidak tersedianya fasilitas atau kapasitas penuh. Behmardi dan Lee (2008) menggambarkan masalah lokasi fasilitas sebagai berikut:
13
Gambar 3.1 Rantai pasokan dinamis
Ketidaktersediaan dari konfigurasi ulang dapat menyebabkan beberapa permintaan yang tidak terpenuhi. Hal ini menyebabkan kekurangan biaya dan ketidaktersediaan kapasitas yang tergantung pada waktu dan akan berbeda di setiap lokasi fasilitas.
Penentuan lokasi fasilitas berhubungan dengan persoalan transportasi. Hal ini membuat penulis perlu mendalami teori dasar aplikasi pemrograman linear pada persoalan transportasi. Persoalan transportasi dapat dinyatakan dalam contoh pengangkutan beberapa m lokasi sebagai lokasi asal mula barang yang diangkut ke tempat lain. Sebagai ilustrasi dapat ditunjukkan n lokasi tujuan dimana semua komoditas (barang) harus diangkut dengan lokasi m sebagai tempat asal, dengan biaya transportasi untuk satu unit barang dari tempat asal i menuju tujuan j yang dinyatakan dengan cij, untuk cij untuk i = 1, 2, 3, . . . , m dan j = 1, 2, 3, . . . , n. Terdapat juga unit barang ai, yang tersedia pada tempat asal, i. Untuk i = 1, 2, 3, . . . , m dan juga tempat tujuan j yang membutuhkan bj unit barang dengan j = 1, 2, 3, . . . , n. Dengan demikian persoalan transportasi membutuhkan uraian strategi pengangkutan untuk berapa banyak unit barang yang harus diangkut dari tempat asal i ke tempat tujuan j untuk semua ij dengan meminimumkan total biaya transportasi dengan mempertimbangkan semua keterbatasan dan kebutuhan tempat tujuan. Demikian juga nilai optimal jumlah variabel yang harus diuraikan
14
melalui mxn sebagai pernyataan setiap barang dari tempat asal yang akan diangkut menuju ke setiap lokasi tujuan. Dalam hal ini, xij = jumlah unit barang yang akan diangkut dari tempat asal i ke tempat lokasi tujuan j. Dengan demikian formulasinya dapat dinyatakan dengan:
Fungsi Objektif:
mn
z = min
cij cij
i=1j=1
dengan kendala:
n
xij ≤ ai, untuki = 1, 2, 3, . . . m
j=1
m
xij ≥ bi, untukj = 1, 2, 3, . . . n
i=1
dan xij ≥ 0
Keterangan:
cij = biaya transportasi dari asal i ke tujuan j xij = jumlah unit barang asal i ke tujuan j ai = jumlah unit barang yang tersedia dari asal i bj = jumlah unit barang yang dibutuhkan tujuan j
Persoalan dapat dinyatakan mempunyai solusi optimal bila suplai paling sedikit sama dengan permintaan, yaitu:
mn
ai ≥ bj
i=1 j=1
Formula ini menyatakan jumlah unit barang yang tersedia di i melebihi jumlah unit barang yang dibutuhkan di j. Selanjutnya dinyatakan juga komoditas yang ada dan yang akan diangkut tidak dalam bagian-bagian yang terpisah dan dapat diangkut dari berbagai tempat asal menuju berbagai tempat lokasi fasilitas. Barang yang akan diangkut dapat berupa orang, peralatan medis dan obatobatan atau komoditas lain. Fokusnya adalah bagaimana menempatkan gudang dan mendistribusikan komoditas kepada pelanggan.
15
Masalah lokasi fasilitas berkapasitas terdiri dari pemilihan beberapa fasilitas untuk tetap terbuka di antara satu sekumpulan lokasi potensial untuk meminimumkan biaya melayani klien. Setiap fasilitas mempunyai satu kapasitas layanan yang ditentukan. Biaya distribusi terdiri dari dua macam: biaya permintaan dari setiap klien, dan biaya membuka fasilitas. Satu masalah dirumuskan, dimana fasilitas harus terbuka sedemikian rupa sehingga bersama-sama, dapat melayani keseluruhan permintaan pelanggan. Oleh karena itu, pembuat keputusan memastikan keseluruhan kapasitas tersedia.
3.2 Metode Berbasis Kendala Aktif
Metode berbasis kendala aktif dalam persoalan lokasi fasilitas berkapasitas dalam penelitian ini dilakukan dengan menggunakan model relaksasi lagrangean, model determenistik, model batasan ketidakpastian serta pencarian dan pengalokasian lokasi. Kendala-kendala yang ada antara lain, permintaan yang tidak pasti sesuai dengan kebutuhan, ketersediaan bahan, pengangkutan, lokasi, jarak pendistribusian, dan waktu. Keseluruhan kendala yang sangat mempengaruhi adalah jarak dan waktu, karena sangat mempengaruhi biaya. Hal ini dimungkinkan diselesaikan dengan model.
a. Relaksasi lagrangean Masalah lokasi fasilitas dengan batasan kapasitas dirumuskan di bawah: v(P ) = min i j cijxij + j fiyj Fungsi tujuan meminimumkan biaya melayani klien dengan kendala: (D) j xij = 1 untuk semua i dan j (T) j sjyj ≥ i di (N) 0 ≤ xij ≤ yi ≤ 1 untuk semua i dan j (I) yj integer untuk semua j Keterangan:
cij = biaya transportasi unit barang dari i ke j xij = jumlah unit barang dari i ke j
16
fi = biaya tetap mengoperasikan fasilitas j yi = jumlah fasilitas j
Dalam perumusan ini, i = 1, . . . , m indeks klien dan j = 1, . . . , n lokasi dimana fasilitas terletak atau mungkin keduanya, yaitu sekumpulan klien dan sekumpulan lokasi terbatas; cij adalah layanan biaya yang terjadi jika semua klien i permintaan bertemu dari fasilitas j serta fj adalah biaya tetap mengoperasikan fasilitas j; di > 0 adalah permintaan klien i, dan sj > 0 adalah kapasitas dari fasilitas j, jika itu terbuka. Keputusan yang dibuat direpresentasikan oleh variabel yj dan xij, yakni yj = 1 jika fasilitas j adalah terbuka dan 0 jika tidak, dan xij adalah permintaan klien i yang dapat dipenuhi oleh fasilitas j. Kendala (D) menunjukkan bahwa permintaan dari setiap klien dipenuhi, (T) adalah batasan kapasitas, (N) adalah batasan permintaan dan fasilitas (I) merepresentasikan integer.
Biarkan w ≥ 0 menjadi pengali untuk batasan (T) sehingga masalah lokasi fasilitas P berkenaan dengan (T) menjadi:
V (PT ) =mw≥ax0 v(PT W ) Dimana untuk satu nilai w diberikan, didefinisikan sebagai:
v(PT w) = min i dengan kendala:
j cij cij +
j fj yj − w
j sjyj − i di
(D) j Xij = 1 untuk semua i dan j (N)0 ≤ Xij ≤ yj ≤ 1 untuk semua i dan j
(I) yj integer untuk semua j
b. Model deterministik
Di bawah ini, disajikan suatu model deterministik atau Deterministic Model (DM). Dalam hal ini, diasumsikan permintaan yang timbul dari setiap lokasi telah diketahui, dan persediaan obat-obatan sudah mencukupi untuk memenuhi permintaan dan disimpan pada lokasi fasilitas. Model ini menunjukkan lokasi dan intensitas atau ukuran populasi diketahui sebelumnya. Cakupan model deterministik diberikan di bawah ini:
17
DM:max
tij
i∈I ,j ∈J
dengan kendala:
xj = N
j∈J
tij ≤ sj ∀j ∈ J
i∈t
sj ≤ S
j∈J
sj ≤ βxj ∀j ∈ J
tij ≤ fkDi ∀i ∈ J k ∈ 1, 2, 3, . . . , K
fk−1
TESIS
Oleh LISBET MARBUN
097021060/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
METODE BERBASIS KENDALA AKTIF DALAM MENYELESAIKAN PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS
TESIS Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
LISBET MARBUN 097021060/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi
: METODE BERBASIS KENDALA AKTIF DALAM MENYELESAIKAN PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS
: Lisbet Marbun : 097021060 : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) Ketua
(Dr. Sutarman, M.Sc) Anggota
Ketua Program Studi,
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 14 Juni 2011
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada Tanggal 14 Juni 2011
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : 1. Dr. Sutarman, M.Sc
2. Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si 3. Drs. Sawaluddin, MIT
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Kendala aktif meliputi semua batasan persamaan dan semua ketidaksamaan yang berada pada titik persamaan, inilah definisi yang digunakan di sini. Definisi ini berarti bahwa semua ketidaksamaan dimasukkan di antara batasan aktif, Hal ini memenuhi variabel yang mempengaruhi batasan aktif di titik LP relaksasi optimum. Salah satu asumsi Capacitated Facility Location Problem (CFLP ) atau masalah lokasi fasilitas berkapasitas adalah permintaan diketahui dan tetap. Model solusi yang disajikan dalam penelitian ini dalam rangka untuk untuk menggambarkan penggunaan formulasi CFLP dalam memenuhi permasalahan distribusi obat-obatan pada situasi tanggap darurat yang diakibatkan bencana. Kata kunci : Kendala aktif, Model masalah lokasi fasilitas berkapasitas
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT Active Constraint covers all equation definitions and all inequalities that it is at equation, this is definition that used here. Definition this means that any inequality to active definition, This condition fulfills variable that influence active definition in LP optimum relaxation. One of assumption Capacitated Facility Location Problem (CFLP ) or problem of facility location is request is known and fixed. Solution model that presented in this research in attempt to to depict the usage of formulation CFLP in fulfilling problems of drugs distribution at situation listen carefully emergency that resulted disaster. Keywords : Active constraint, Model of facility location problem,
ii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Dengan rendah hati penulis ucapkan segala puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan studi Program Magister Matematika pada FMIPA USU. Tesis ini merupakan salah satu syarat penyelesaian studi pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimaksih yang sebesar - besarnya kepada :
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H. M.Sc. (CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara yang memberi kesempatan kepada penulis untuk menempuh pendidikan di Universitas Sumatera Utara. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang juga menjadi pembimbing tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Ir. Abdul Rahim Matondang, MSIE selaku Direktur Pascasarjana Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara, yang juga menjadi pembimbing tesis ini.
Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU.
Bapak Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si, dan Bapak Drs.Sawaluddin, MIT, selaku penguji tesis ini.
Bapak/Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA USU; Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Prof. Dr. Tulus, M.Si, Drs. Marwan Harahap, M.Eng, Drs. Open Darnius, M.Sc, Drs. Marihat Situmorang, M.Kom, Drs. Suwarno Arriswoyo, M.Si dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si, yang telah membekali ilmu pengetahuan kepada penulis selama perkuliahan hingga selesai.
iii
Universitas Sumatera Utara
Ibu Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan administrasi selama mengikuti pendidikan.
Ucapan terima kasih yang tak terhingga penulis ucapkan kepada suami tercinta T. Pardede, SE dan anak-anak Ku tersayang Lian, Atan, Yola dan Kevin. Keluarga besar Ku; Inong, Among dan adik yang turut mendukung lewat doa. Tak lupa sahabat Ku, mahasiswa program studi Magister Matematika SPs USU tahun 2009. Semoga persahabatan selama dalam perkuliahan ini dapat memotivasi semangat dan panggilan kita sebagai pendidik.
Akhir kata penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun demi kesempurnaan tesis ini.
Medan, 14 Juni 2011 Penulis,
Lisbet Marbun
iv
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP Lisbet Marbun anak pertama dari delapan bersaudara dari pasangan R. Marbun dan P. br. Siagian, dilahirkan di Bakara pada tanggal 8 Juni 1965. Menamatkan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 48 Jalan Sidamanik Pematang Siantar pada tahun 1977, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Negeri-3 Jalan Sidamanik Pematang Siantar pada tahun 1981, Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Swasta Pelita Pematang Siantar pada tahun 1984. Tahun 1984, penulis memasuki Perguruan Tinggi Universitas Nomensen Pematang Siantar pada Fakultas Keguruan Ilmu Pendidikan program studi D-3 Matematika dan lulus tahun 1987. Sejak tahun 1988 penulis bekerja sebagai Guru. Pada tanggal 23 Februari 1990 penulis menikah dengan Tarida Pardede, SE. Pada tahun 1998, penulis menyelesaikan studi S-1 di Universitas Negeri Medan. Tahun 2009 penulis mengikuti pendidikan Program Studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara. Judul Tesis: ”Metode Berbasis Kendala Aktif Dalam Menyelesaikan Persoalan Lokasi Fasilitas Berkapasitas”
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Rumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian 1.5 Metode Penelitian BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Kendala Aktif 2.2 Lokasi Fasilitas Berkapasitas 2.3 Berbagai Metode Penyelesaian CFLP BAB 3 LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS 3.1 Masalah Lokasi Fasilitas Berkapasitas 3.2 Metode Berbasis Kendala Aktif BAB 4 PEMBAHASAN 4.1 Analisis Eksperimen
vi
Halaman i ii
iii v vi viii ix 1
1 2 3 3 3 4
4 5 7 8
8 15 21
21
Universitas Sumatera Utara
4.2 Hasil Perhitungan BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan 5.2 Saran DAFTAR PUSTAKA
22 27
27 28 29
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
4.1 Model deterministik menggunakan A locate - Allocation Heuristic 23
4.2 Model Deterministik menggunakan prosedur Simulated Annealing (SA)
23
4.3 Pemenuhan dari chance constrained model (CCM)
24
4.4 Perbandingan pemenuhan dari CCM
25
4.5 Perbandingan kinerja CCM dengan DM
25
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
1.1 Alur tahapan penelitian
3.1 Rantai pasokan dinamis
4.1 Lokasi titik permintaan dalam los angeles country
Halaman 3 13 22
ix
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Kendala aktif meliputi semua batasan persamaan dan semua ketidaksamaan yang berada pada titik persamaan, inilah definisi yang digunakan di sini. Definisi ini berarti bahwa semua ketidaksamaan dimasukkan di antara batasan aktif, Hal ini memenuhi variabel yang mempengaruhi batasan aktif di titik LP relaksasi optimum. Salah satu asumsi Capacitated Facility Location Problem (CFLP ) atau masalah lokasi fasilitas berkapasitas adalah permintaan diketahui dan tetap. Model solusi yang disajikan dalam penelitian ini dalam rangka untuk untuk menggambarkan penggunaan formulasi CFLP dalam memenuhi permasalahan distribusi obat-obatan pada situasi tanggap darurat yang diakibatkan bencana. Kata kunci : Kendala aktif, Model masalah lokasi fasilitas berkapasitas
i
ABSTRACT Active Constraint covers all equation definitions and all inequalities that it is at equation, this is definition that used here. Definition this means that any inequality to active definition, This condition fulfills variable that influence active definition in LP optimum relaxation. One of assumption Capacitated Facility Location Problem (CFLP ) or problem of facility location is request is known and fixed. Solution model that presented in this research in attempt to to depict the usage of formulation CFLP in fulfilling problems of drugs distribution at situation listen carefully emergency that resulted disaster. Keywords : Active constraint, Model of facility location problem,
ii
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kejadian darurat bencana alam seperti gempa bumi, banjir dan lainnya dapat terjadi tanpa peringatan dan tanda-tanda sebelumnya. Situasi bencana alam adalah situasi yang tidak dapat dipastikan kapan datang atau kapan terjadi. Bila terjadi bencana seperti gempa bumi, banjir, penyakit flu burung atau penyakit lainnya yang mengancam di banyak wilayah, akan memunculkan persoalan baru misalnya; permintaan obat, permintaan makanan dan sebagainya. Dari berbagai permintaan tersebut tentu diperlukan upaya untuk mendistribusi secara tepat untuk mengurangi korban yang diakibatkan bencana. Upaya yang dilakukan biasanya dengan mengumpulkan para penduduk yang terkena dampak bencana, pada lokasi tertentu dengan tujuan mengurangi waktu dan jarak pendistribusian bahan yang dibutuhkan. Masalah ini merupakan model matematika yaitu masalah optimasi.
Menurut May dan Tung (1992), masalah optimisasi dapat diformulasikan dalam model yang dinyatakan dalam variabel keputusan. Setiap masalah optimisasi mempunyai 2 (dua) bagian yang utama; fungsi tujuan dan satu kumpulan kendala. Fungsi tujuan menyatakan kriteria kinerja sistemnya. Kendala (constraint) menerangkan sistem atau proses yang akan direncanakan atau dalam kendala kesamaan dan ketidaksamaan. Kendala Aktif merupakan kendala yang memiliki solusi optimal atau kendala yang membentuk titik ekstrim.
Tinjauan literatur yang disebutkan dalam tesis ini meneliti persoalan lokasi fasilitas berkapasitas dengan berbagai metode antara lain menggunakan Backlogging probability model, Aggregate capacity, dan lain sebagainya. Dalam tinjauan sementara yang dilakukan oleh penulis tentang metode yang digunakan para peneliti, pada umumnya semua memiliki kelebihan namun hasil temuan penulis pada dasarnya merujuk pada pengembangan pemrograman linear.
Jia et al. (2006) dalam penelitiannya, menyatakan pentingnya pemilihan lokasi yang tepat. Lokasi-lokasi fasilitas yang akan dibuka diharapkan dapat me-
1
2
layani seluruh titik permintaan dengan efisien dan efektif. Pengambilan keputusan untuk menentukan lokasi fasilitas sangat diperlukan. Dari berbagai persoalan lokasi fasilitas yang dikemukakan oleh peneliti terdahulu, penulis sangat tertarik meninjau persoalan lokasi fasilitas pada situasi bencana. Sehubungan dengan hal tersebut penulis memilih judul penelitian pada tesis ini ”Metode Berbasis Kendala Aktif Dalam Menyelesaikan Persoalan Lokasi Fasilitas Berkapasitas”. Metode berbasis kendala aktif dalam masalah ini mencakup penggunaan Model Relaksasi Lagrangean, Deterministic Model, Chance Constrained Model, A locate-Alocate Heuristic. Kelebihan metode berbasis kendala aktif terletak pada pertimbangan permintaan pada setiap fasilitas yang dibuka berhubungan dengan lokasi fasilitas berkapasitas.
Dalam model Relaksasi Lagrangean, keputusan yang diambil dengan menetapkan kriteria lokasi fasilitas terbuka dan tidak terbuka. Dalam Deterministic Model, keputusan yang diambil mempertimbangkan lokasi dan ukuran populasi, untuk memaksimalkan cakupan. Keputusan yang diambil melalui Chance Constrained Model mempertimbangkan ketidakpastian permintaan. Dalam model A locate-Alocate Heuristic, keputusan yang diambil mempertimbangkan persediaan pada setiap lokasi fasilitas sangat mempengaruhi, karena itu dalam membuka lokasi fasilitas diperlukan upaya untuk menentukan lokasi fasilitas yang berkinerja maksimal atau berkapasitas. Metode berbasis kendala aktif dalam tesis ini, hanya merupakan sistem yang mempertimbangkan kendala dalam penentuan lokasi fasilitas berkapasitas. Keputusan yang tepat dalam menentukan lokasi fasilitas berkapasitas atau yang mampu melayani setiap permintaan dengan tepat dipengaruhi oleh jarak dan waktu.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang dikemukakan sebelumnya, maka rumusan masalah dalam tesis ini adalah:
1. Jarak dan waktu adalah faktor penentu dalam menyelesaikan persoalan lokasi fasilitas berkapasitas
3 2. Bagaimana penyelesaian persaoalan lokasi fasilitas berkapasitas dengan metode
berbasis kendala aktif. 1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk meninjau model solusi lokasi fasilitas berkapasitas yang digunakan pada persoalan distribusi yang efektif dan efisien untuk memenuhi permintaan yang diakibatkan bencana. 1.4 Manfaat Penelitian
Model yang disajikan dalam tesis ini memungkinkan alternatif dalam pengambilan keputusan yang berhubungan dengan penentuan lokasi fasilitas terbaik, sehingga dapat menjangkau permintaan pada situasi darurat bencana. 1.5 Metode Penelitian
Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah tinjauan literatur yang relevan dengan masalah yang diteliti, dengan tahapan penulisan seperti tergambar dalam diagram berikut:
Gambar 1.1 Alur tahapan penelitian
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Kendala Aktif
Secara umum Chinneck (2006) mendefinisikan, kendala aktif meliputi semua batasan persamaan dan semua ketidaksamaan yang berada pada titik persamaan. Definisi ini berarti bahwa semua ketidaksamaan dimasukkan di antara kendala aktif, Hal ini berhubungan dengan variabel nonbasis. Titik optimum akan menghasilkan solusi. Bila diselidiki lebih lanjut akan didapatkan daerah dimana titik uji itu berada dan sebaliknya, Hal ini memenuhi bahwa variabel sebahagian besar mempengaruhi kendala aktif di titik LP relaksasi optimum. Variabel kandidat mempunyai kendala aktif dengan cara memperhatikan dua komponen:
(i) Berapa banyak pengaruh variabel di dalam satu batasan tertentu,
(ii) Banyak batasan yang mungkin dipengaruhi oleh satu variabel tunggal.
Pengaruh suatu variabel di dalam satu kendala aktif meliputi; munculnya satu variabel kandidat dalam satu batasan, nilai koefisien dari satu variabel kandidat dalam satu batasan, nilai semua koefisien dari variabel kandidat baru. Ukuran berapa banyak kendala aktif dipengaruhi; evaluasi dari setiap kendala aktif, koefisien baru variabel kandidat baru, atau invers dari jumlah variabel atau jumlah variabel kandidat.
Menurut May dan Tung (1992), masalah optimisasi diformulasikan dalam variabel keputusan. Setiap masalah optimisasi mempunyai 2 (dua) bagian yang utama yaitu fungsi tujuan dan satu kumpulan kendala. Fungsi tujuan menyatakan kriteria kinerja sistemnya. Kendala (constraint) menerangkan sistem atau proses yang akan direncanakan atau dianalisa dengan bentuk kendala kesamaan dan ketidaksamaan. Kendala aktif merupakan kendala yang membentuk titik ekstrim. Kendala tidak aktif adalah kendala yang tidak membentuk titik ekstrim.
Jika suatu kendala tidak menentukan bagian dari batas daerah yang layak (feasible) dinamakan kendala berlebihan (Redundansi). Sebuah solusi layak dari su-
4
5
atu masalah optimisasi merupakan himpunan nilai-nilai variabel keputusan yang secara bersamaan memenuhi kendalanya. Daerah solusi layak (feasible region) dinyatakan oleh kendala-kendala yang ada. Solusi optimal merupakan himpunan nilai-nilai variabel keputusan yang memenuhi kendala.
2.2 Lokasi Fasilitas Berkapasitas
Facility Location Problem (FLP), diperkenalkan oleh (Balinski, 1965) dalam menempatkan satu fasilitas baru sedemikian sehingga biaya dapat diminimumkan. Capacitated Facility Location Problem (CFLP) adalah satu jenis dari FLP, yang meliputi kapasitas untuk fasilitas. Yang dipertimbangankan pada CFLP adalah mencari lokasi terbaik dari fasilitas. CFLP mempertimbangkan lokasi fasilitas potensial dalam menetapkan biaya untuk menempatkan satu fasilitas, fasilitas itu dibatasi pada satu kapasitas terhadap jumlah fasilitas untuk dibuka. Pendekatan dalam menyelesaikan masalah CFLP adalah penggunaan Relaksasi Lagrangean.
Beberapa literatur yang membahas Facility Location Problems yaitu (Balinski dan Spielberg, 1969), (ReVelle et al., 1970), (Guignard dan Spielberg, 1979), (Cornuejols, 1991) atau (Krarup dan Pruzan, 1983). Hasil FLP nya berfokus pada permasalahan keputusan mengenai lokasi fasilitas untuk meminimumkan total biaya dalam melayani klien. Krarup dan Pruzan (1983) menyajikan pengalamannya dalam menggunakan FLP untuk mengambil keputusan pada permasalahan mengenai jumlah, ukuran, desain, lokasi, dan pola layanan. Dasar perumusan FLP ada pada analisa sensitivitas. FLP, mempertimbangkan situasi dimana satu komoditas disuplai dan menyeleksi dari satu set lokasi ke lokasi potensial untuk melayani permintaan klien. Terdapat biaya-biaya tetap yaitu biaya membuka lokasi dan biaya transportasi dalam mensuplai komoditas dari lokasi potensial atau lokasi fasilitas berkapasitas kepada klien.
Kejadian seperti serangan bio-teroris, atau bencana alam seperti gempa bumi, dapat datang tanpa peringatan. Situasi seperti ini menyebabkan permintaan terhadap obat-obatan dalam jumlah besar. Untuk tujuan minimasi resiko dan pengurangan waktu respon, penting untuk menentukan lokasi pendistribusian atau pasokan medis dapat dengan cepat didistribusikan. Keputusan untuk menentukan
6
dan membuka lokasi fasilitas di seluruh wilayah bencana memainkan peranan penting dalam mengurangi korban. Pertimbangan penting dalam memilih lokasi fasilitas ini adalah cakupan wilayah permintaan, seperti yang dikemukakan Jia et al. (2006).
Dalam keadaan darurat yang luar biasa seperti serangan Anthrax di daerah perkotaan besar, diperlukan upaya pemasokan dari lokasi persediaan ke daerah bencana. Agar hal ini dapat terlaksana diperlukan strategi sebagai keputusan yang perlu dibuat seperti lokasi fasilitas yang akan dibuka dan jumlah persediaan untuk disimpan pada setiap fasilitas. Namun demikian, keputusan yang diambil sangat dipengaruhi oleh ketidakpastian yang terkait dengan lokasi darurat dan jumlah orang yang terkena dampak bencana. Tingkat cakupan dapat dianggap sebagai fungsi jarak antara titik permintaan dan fasilitas terbuka, seperti dikemukakan oleh Berman et al. (2003) dengan model peluruhan bertahap.
Berman et al. (2009) menyatakan bahwa keputusan untuk menentukan cakupan fasilitas, selain jumlah dan lokasi fasilitas, juga diperlukan informasi jumlah titik permintaan dengan tujuan meminimalkan biaya.
Salah satu model dikembangkan oleh Toregas et al. (1971). Pada penelitiannya menyajikan masalah potensi fasilitas dalam jarak atau waktu tertentu dari setiap titik permintaan. Pemecahan masalah diajukan dengan menggunakan linear programming bidang teknik. Rawls dan Turnquist (2006) menyajikan model dua tahap optimasi stokastik untuk mencari fasilitas dan memberikan pasokan berdasarkan situasi darurat. Penelitiannya mengembangkan program integer campuran untuk mengatasi ketidakpastian dalam kapasitas jaringan transportasi.
Berman dan Gavious (2007) menyajikan model lokasi kompetitif dalam menemukan lokasi fasilitas yang mengandung sumber daya yang diperlukan untuk merespon serangan teroris. Penelitiannya mempertimbangkan situasi terburuk, dimana teroris mengetahui lokasi fasilitas. Jia et al. (2006) menyajikan lokasi fasilitas dan alokasi titik permintaan terbuka berdasarkan kendala jarak. Mengingat ketidakpastian yang terkait dengan darurat yang luar biasa, diperlukan secara akurat jumlah persediaan yang perlu ditempatkan di setiap tempat fasilitas potensial. Oleh karena itu, untuk membantu keputusan yang tepat dan berlaku untuk jangka
7
waktu yang panjang, model fasilitas lokasi harus mempertimbangkan ketidakpastian yang terkait dengan permintaan dan jarak.
Snyder (2006) memberikan kajian mendalam dengan menggunakan pendekatan model mini-mize. Louveaux dan Peeters (1992) menyajikan versi stokastik masalah P-median untuk memilih fasilitas. Berman dan Drezner (2008) menyajikan masalah ketidakpastian dengan meminimalkan biaya yang diharapkan dapat melayani semua titik permintaan. Snyder dan Daskin (2004) memberikan pembahasan tentang lokasi fasilitas. Dalam aplikasi yang disajikan, pemodelan lokasi fasilitas mempertimbangkan ketidakpastian sangat penting. Rawls dan Turnquist (2006) menyatakan, pasokan pada tiap fasilitas tergantung pada permintaan dan hal ini merupakan masalah lokasi fasilitas berkapasitas.
2.3 Berbagai Metode Penyelesaian CFLP
a. Backlogging probability model Fransisco (2000) memberi asumsi masalah lokasi fasilitas berkapasitas (CFLP) merupakan permintaan yang diketahui dan tetap. Hal ini terjadi pada saat mengambil keputusan strategis seperti lokasi fasilitas dan penugasan pelayanan setiap permintaan. Penelitiannya mengajukan sistem manufaktur untuk mendapatkan model backlogging probability.
b. Aggregate capacity Jean (1991) dalam penelitiannya mengajukan aggregate capacity untuk persoalan lokasi fasilitas. Masalah lokasi fasilitas dengan satu batasan kumpulan kapasitas atau aggregate capacity membandingkan kekuatan relaksasi dengan semuan permintaan dalam satu kumpulan batasan kapasitas.
BAB 3 LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS
3.1 Masalah Lokasi Fasilitas Berkapasitas
Penentuan lokasi fasilitas berkapasitas pada dasarnya merujuk pada pemrograman linear karena menyangkut persoalan optimasi. Pemahaman yang baik tentang pemrograman linear sangat mendukung dalam penyelesaian persoalan optimasi. Masalah Linear Programming (LP) atau Pemrograman Linear memperhatikan penggunaan atau alokasi yang efisien dari sumberdaya yang terbatas untuk mencapai tujuan yang diinginkan. Masalah ini memperkenalkan sejumlah solusi untuk memenuhi kondisi dari setiap masalah. Pemilihan suatu solusi meliputi pemecahan masalah terbaik untuk suatu masalah pada tujuan yang dinyatakan secara tidak langsung didalam statement dari masalah tersebut. Suatu solusi yang memuaskan semua kondisi dari tujuan yang telah ditetapkan dinamakan solusi optimum.
Djannaty dan Rostamy (2006), meneliti masalah pencakupan dan pempartisian pada aplikasi penjadwalan penerbangan, bis, lokasi pabrik, circuit switching atau pengalihan sirkuit dan penyeimbangan rangkaian pengambilan informasi. Dalam penelitiannya dikemukakan, misalkan M = {1, 2, 3, . . . m} adalah himpunan dari m bilangan bulat dan misalkan s menotasikan suatu himpunan dari n himpunan bagian dari M.
Dengan demikian:
N = {1, 2, 3, . . . n},
s = {s1, s2, s3} dimana sj ⊆ M, j ∈ N (1 = 1, · · · m, j = 1, · · · , n)
1, dan misalkan; aij =
0,
i ∈ sj, jika dipilih i ∈/ sj jika tidak dipilih
n
min cjxj,
j=1
dengan batasan aijxj ≥ 1(i = 1, . . . , m)
8
9
xj ∈ {0, 1}(j = 1, . . . , n)
Variabel keputusan xj mengindikasikan apakah sj dipilih atau tidak dan cj adalah biaya yang terkait dengan pemilihan sj. Masalah bisa ditafsirkan sebagai penentuan biaya minimum dengan memilih himpunan bagian dari s.
Sebagai ilustrasi, suatu perusahaan akan mendeterminasi bentuk kombinasi dari sumberdaya yang dimiliki untuk kemungkinan menghasilkan produk dimana tidak hanya memenuhi rencana produk tetapi juga memaksimumkan keuntungan. Hal ini mempunyai kondisi dasar seperti, ketersediaan sumberdaya yang terbatas dan persyaratan rencana produksi, serta tujuan yang diinginkan oleh perusahaan untuk memaksimumkan keuntungannya.
Pernyataan di atas dapat dituliskan dengan model matematika sebagai berikut:
a. Fungsi tujuan : z = cx1 + c2x2 + . . . + cnxn
Fungsi kendala : a11x11 + a21x21 + · · · + an1xn1 ≥ b1 a12x12 + a22x22 + · · · + an2xn2 ≥ b2 ... ... ... ... ... a1mx1m + a2mx2m + · · · + anmxnm ≥ bm
b. Asumsi
:x1, x2, . . . , xn ≥ 0
Model di atas dapat dijelaskan sebagai berikut:
z = nilai fungsi tujuan. xj = banyaknya kegiatan j, (j = 1, 2, . . . n), berarti terdapat n variabel keputusan. cj = cost coefficients. Pada masalah maksimasi cj menunjukkan keuntungan atau pene-
rimaan per unit, pada kasus minimasi cj menunjukkan biaya per unit. bi = Jumlah sumber daya ke-i(i = 1, 2, . . . m) yang tersedia untuk dialokasikan kesetiap
unit, berarti terdapat m jenis sumber daya. aij = Jumlah sumber daya i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit j.
Berdasarkan uraian di atas dapat disusun bentuk umum model program linear berikut:
10
Maksimumkan (minimumkan)
Zj =
n j=1
cj
xj
Dengan kendala,
n
aijxij(≤, =, ≥)bi
j=1
Untuk semua i(i = 1, 2, 3, . . . m), bi ≥ 0 dan Xj ≥ 0
Penyelesaian program linear memerlukan asumsi-asumsi tertentu yang harus dipenuhi. Menurut Dantzig (1963), asumsi yang harus dipenuhi adalah:
a) Jika vektor x = (x1, x2, . . . , xn) bernilai positif dan faktor pembatas AX = b juga bernilai positif, maka pemecahan problem linear yaitu solusi layak (feasibel solution) dapat diperoleh.
b) Problem linear dapat diselesaikan dengan baik, kalau koefisien aij tidak bernilai negatif; atau dengan kata lain semua koefisien adalah positif.
c) Semua faktor pembatas merupakan fungsi linear atau F (x) = linear function atau aijxij = b1
d) Dengan demikian maka fungsi tujuannya juga merupakan fungsi linear, jadi: cjxj = F (x) fungsi linear
Rumusan pernyataan di atas, dapat disimpulkan tiga hal sebagai berikut:
1. Bahwa dalam program linear harus ada fungsi tujuan (yang dinyatakan dengan persamaan garis lurus fungsi z yaitu sesuatu yang dimaksimumkan atau diminimumkan; c adalah cost coefficient dan x adalah aktivitas.
2. Bahwa dalam program linear harus ada kendala yang dinyatakan dengan persamaan garis lurus, dimana a = koefisien input-output dan b = jumlah sumberdaya yang tersedia.
3. Bahwa semua nilai x adalah positif atau sama dengan nol. Atau dengan kata lain, tidak boleh ada nilai x yang negatif. Dengan demikian besarnya nilai koefisien input-output tidak boleh negatif.
Setiap problem program linear mempunyai ciri:
11
a. Solusi optimum tidak akan terjadi, bila didapatkan hubungan dengan nilainilai negatif dari variabel x
b. Suatu solusi nonnegatif menghasilkan nilai finite pada objective function
dengan kendala:
Facility Location Problem (FLP) membahas masalah menemukan satu fasilitas baru sedemikian rupa sehingga biaya diminimalkan. Krarup dan Pruzan
(1983) mengemukakan masalah lokasi fasilitas mempertimbangkan situasi dimana
komoditasnya dipasok dan dipilih dari satu lokasi potensial, untuk memenuhi per-
mintaan klien. Ada biaya tetap untuk pembukaan fasilitas dan biaya transportasi untuk memasok komoditi atau produk dari lokasi potensial untuk klien. Keputusan yang diambil berusaha untuk mengkombinasi biaya minimum dalam hal membuka
lokasi fasilitas. CFLP mempertimbangkan situasi dimana fasilitas memiliki kapa-
sitas yang disajikan dalam unit permintaan dan juga mengasumsikan bahwa setiap
klien dapat dilayani dari lokasi berbeda. Oleh Sridharan (1995), CFLP dirumuskan
sebagai:
mn
n
min cijcij + fjyj
i=1j=1
j=1
dengan kendala:
m
aixij ≤ bj
i=1 m
xij=1
j=1
Xij − yj ≤
Xij ∈ {0, 1}
yj ∈ {0, 1}
∀i
∀i ∀i, ∀j ∀i, ∀j ∀j
(3.1)
(3.2) (3.3) (3.4) (3.5)
12
Fungsi tujuan adalah meminimumkan biaya membuka fasilitas dan biaya membangun fasilitas. Kendala (3.1) disebut sebagai kapasitas kendala atau kendala fasilitas. Kendala (3.2) memastikan bahwa permintaan pelanggan dilayani oleh fasilitas tertentu yang tidak melebihi kapasitasnya. Kendala (3.3) disebut sebagai kendala permintaan atau kendala pelanggan. Kendala (3.4) memastikan bahwa setiap pelanggan dihubungkan dengan tepat satu fasilitas. Kendala (3.5) memastikan bahwa tugas yang dibuat hanya untuk membuka fasilitas.
Diberbagai kegiatan yang menghasilkan nilai dalam bentuk produk dan jasa, Stadtler dan Kilger (2002) mengemukakan dalam rantai pasokan, berbagai jenis keputusan harus dibuat dan terkoordinasi. Keputusan ini diklasifikasikan ke dalam tingkat strategis dan operasional sesuai dengan jangka waktu. Sebuah keputusan strategis yang berkaitan dengan struktur distribusi dari rantai suplai termasuk lokasi sarana dan mengalokasikan pelanggan, disebut masalah lokasi fasilitas. Pada tingkat operasional, keputusan pada arus transportasi dan tingkat persediaan dilakukan dengan mempertimbangkan pelanggan, biaya transportasi, biaya persediaan dan faktor lainnya. Gambar 3.1 menunjukkan distribusi dari rantai suplai yang diulang selama dua periode waktu. Tanda panah menunjukkan jalur transportasi yang tersedia untuk produk yang berbeda dari rantai suplai. Dalam Gambar 3.1, relokasi fasilitas bertahap serta perluasan kapasitas dan pengurangan dapat terjadi sepanjang waktu.
Behmardi dan Lee (2008) menyajikan sifat kompleks dari masalah lokasi fasilitas dinamis, sebagian besar penelitiannya mempertimbangkan beberapa asumsi untuk menyederhanakan masalah. Salah satu asumsi dalam studi yang dilakukan adalah relokasi dan rekonfigurasi fasilitas berkapasitas. Relokasi fasilitas atau mengubah kapasitas akan membutuhkan waktu dan sumber daya, yang menyebabkan tidak tersedianya fasilitas atau kapasitas penuh. Behmardi dan Lee (2008) menggambarkan masalah lokasi fasilitas sebagai berikut:
13
Gambar 3.1 Rantai pasokan dinamis
Ketidaktersediaan dari konfigurasi ulang dapat menyebabkan beberapa permintaan yang tidak terpenuhi. Hal ini menyebabkan kekurangan biaya dan ketidaktersediaan kapasitas yang tergantung pada waktu dan akan berbeda di setiap lokasi fasilitas.
Penentuan lokasi fasilitas berhubungan dengan persoalan transportasi. Hal ini membuat penulis perlu mendalami teori dasar aplikasi pemrograman linear pada persoalan transportasi. Persoalan transportasi dapat dinyatakan dalam contoh pengangkutan beberapa m lokasi sebagai lokasi asal mula barang yang diangkut ke tempat lain. Sebagai ilustrasi dapat ditunjukkan n lokasi tujuan dimana semua komoditas (barang) harus diangkut dengan lokasi m sebagai tempat asal, dengan biaya transportasi untuk satu unit barang dari tempat asal i menuju tujuan j yang dinyatakan dengan cij, untuk cij untuk i = 1, 2, 3, . . . , m dan j = 1, 2, 3, . . . , n. Terdapat juga unit barang ai, yang tersedia pada tempat asal, i. Untuk i = 1, 2, 3, . . . , m dan juga tempat tujuan j yang membutuhkan bj unit barang dengan j = 1, 2, 3, . . . , n. Dengan demikian persoalan transportasi membutuhkan uraian strategi pengangkutan untuk berapa banyak unit barang yang harus diangkut dari tempat asal i ke tempat tujuan j untuk semua ij dengan meminimumkan total biaya transportasi dengan mempertimbangkan semua keterbatasan dan kebutuhan tempat tujuan. Demikian juga nilai optimal jumlah variabel yang harus diuraikan
14
melalui mxn sebagai pernyataan setiap barang dari tempat asal yang akan diangkut menuju ke setiap lokasi tujuan. Dalam hal ini, xij = jumlah unit barang yang akan diangkut dari tempat asal i ke tempat lokasi tujuan j. Dengan demikian formulasinya dapat dinyatakan dengan:
Fungsi Objektif:
mn
z = min
cij cij
i=1j=1
dengan kendala:
n
xij ≤ ai, untuki = 1, 2, 3, . . . m
j=1
m
xij ≥ bi, untukj = 1, 2, 3, . . . n
i=1
dan xij ≥ 0
Keterangan:
cij = biaya transportasi dari asal i ke tujuan j xij = jumlah unit barang asal i ke tujuan j ai = jumlah unit barang yang tersedia dari asal i bj = jumlah unit barang yang dibutuhkan tujuan j
Persoalan dapat dinyatakan mempunyai solusi optimal bila suplai paling sedikit sama dengan permintaan, yaitu:
mn
ai ≥ bj
i=1 j=1
Formula ini menyatakan jumlah unit barang yang tersedia di i melebihi jumlah unit barang yang dibutuhkan di j. Selanjutnya dinyatakan juga komoditas yang ada dan yang akan diangkut tidak dalam bagian-bagian yang terpisah dan dapat diangkut dari berbagai tempat asal menuju berbagai tempat lokasi fasilitas. Barang yang akan diangkut dapat berupa orang, peralatan medis dan obatobatan atau komoditas lain. Fokusnya adalah bagaimana menempatkan gudang dan mendistribusikan komoditas kepada pelanggan.
15
Masalah lokasi fasilitas berkapasitas terdiri dari pemilihan beberapa fasilitas untuk tetap terbuka di antara satu sekumpulan lokasi potensial untuk meminimumkan biaya melayani klien. Setiap fasilitas mempunyai satu kapasitas layanan yang ditentukan. Biaya distribusi terdiri dari dua macam: biaya permintaan dari setiap klien, dan biaya membuka fasilitas. Satu masalah dirumuskan, dimana fasilitas harus terbuka sedemikian rupa sehingga bersama-sama, dapat melayani keseluruhan permintaan pelanggan. Oleh karena itu, pembuat keputusan memastikan keseluruhan kapasitas tersedia.
3.2 Metode Berbasis Kendala Aktif
Metode berbasis kendala aktif dalam persoalan lokasi fasilitas berkapasitas dalam penelitian ini dilakukan dengan menggunakan model relaksasi lagrangean, model determenistik, model batasan ketidakpastian serta pencarian dan pengalokasian lokasi. Kendala-kendala yang ada antara lain, permintaan yang tidak pasti sesuai dengan kebutuhan, ketersediaan bahan, pengangkutan, lokasi, jarak pendistribusian, dan waktu. Keseluruhan kendala yang sangat mempengaruhi adalah jarak dan waktu, karena sangat mempengaruhi biaya. Hal ini dimungkinkan diselesaikan dengan model.
a. Relaksasi lagrangean Masalah lokasi fasilitas dengan batasan kapasitas dirumuskan di bawah: v(P ) = min i j cijxij + j fiyj Fungsi tujuan meminimumkan biaya melayani klien dengan kendala: (D) j xij = 1 untuk semua i dan j (T) j sjyj ≥ i di (N) 0 ≤ xij ≤ yi ≤ 1 untuk semua i dan j (I) yj integer untuk semua j Keterangan:
cij = biaya transportasi unit barang dari i ke j xij = jumlah unit barang dari i ke j
16
fi = biaya tetap mengoperasikan fasilitas j yi = jumlah fasilitas j
Dalam perumusan ini, i = 1, . . . , m indeks klien dan j = 1, . . . , n lokasi dimana fasilitas terletak atau mungkin keduanya, yaitu sekumpulan klien dan sekumpulan lokasi terbatas; cij adalah layanan biaya yang terjadi jika semua klien i permintaan bertemu dari fasilitas j serta fj adalah biaya tetap mengoperasikan fasilitas j; di > 0 adalah permintaan klien i, dan sj > 0 adalah kapasitas dari fasilitas j, jika itu terbuka. Keputusan yang dibuat direpresentasikan oleh variabel yj dan xij, yakni yj = 1 jika fasilitas j adalah terbuka dan 0 jika tidak, dan xij adalah permintaan klien i yang dapat dipenuhi oleh fasilitas j. Kendala (D) menunjukkan bahwa permintaan dari setiap klien dipenuhi, (T) adalah batasan kapasitas, (N) adalah batasan permintaan dan fasilitas (I) merepresentasikan integer.
Biarkan w ≥ 0 menjadi pengali untuk batasan (T) sehingga masalah lokasi fasilitas P berkenaan dengan (T) menjadi:
V (PT ) =mw≥ax0 v(PT W ) Dimana untuk satu nilai w diberikan, didefinisikan sebagai:
v(PT w) = min i dengan kendala:
j cij cij +
j fj yj − w
j sjyj − i di
(D) j Xij = 1 untuk semua i dan j (N)0 ≤ Xij ≤ yj ≤ 1 untuk semua i dan j
(I) yj integer untuk semua j
b. Model deterministik
Di bawah ini, disajikan suatu model deterministik atau Deterministic Model (DM). Dalam hal ini, diasumsikan permintaan yang timbul dari setiap lokasi telah diketahui, dan persediaan obat-obatan sudah mencukupi untuk memenuhi permintaan dan disimpan pada lokasi fasilitas. Model ini menunjukkan lokasi dan intensitas atau ukuran populasi diketahui sebelumnya. Cakupan model deterministik diberikan di bawah ini:
17
DM:max
tij
i∈I ,j ∈J
dengan kendala:
xj = N
j∈J
tij ≤ sj ∀j ∈ J
i∈t
sj ≤ S
j∈J
sj ≤ βxj ∀j ∈ J
tij ≤ fkDi ∀i ∈ J k ∈ 1, 2, 3, . . . , K
fk−1