Solusi Layak Dalam Persoalan Lokasi Fasilitas Berkapasitas
SOLUSI LAYAK DALAM PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS
TESIS
Oleh
ASLI SIRAIT 107021020/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara
SOLUSI LAYAK DALAM PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana
Universitas Sumatera Utara
Oleh ASLI SIRAIT 107021020/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara
Judul
: SOLUSI LAYAK DALAM PERSOALAN LOKASI
FASILITAS BERKAPASITAS
Nama
: Asli Sirait
Nomor Pokok : 107021020/MT
Program Studi : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
Prof. Dr. Herman Mawengkang Ketua
Dr. Sutarman, M.Sc Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
Prof. Dr. Herman Mawengkang Dr. Sutarman, M.Sc
Tanggal lulus: 11 Agustus 2012
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada: Tanggal: 11 Agustus 2012
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : 1. Dr. Sutarman, M.Sc
2. Dr. Saib Susilo, M.Sc 3. Prof. Dr. Tulus, M.Si
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Dalam tesis ini akan dibahas tentang persoalan lokasi fasilitas berkapasitas yang dikenal dalam kombinatorial dengan aplikasi dalam distribusi dan perencanaan, seperti menentukan suatu lokasi dari beberapa pilihan tempat yang potensial dimana fasilitas terbatas untuk melayani permintaan pelanggan. Kata kunci: Lokasi fasilitas berkapasitas, Program linier integer campuran.
i Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT This thesis will address about Capacitated Facility Location Problem wellknown combinatorial with application in distribution and production planning, such as selecting a location from several potential places where the facility is limited to serve customer demand. Keyword: Capacitated Facility Location, Mixed Linier Integer Program.
ii Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Dengan segala kerendahan hati dan penuh suka cita, penulis mengucapkan puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala anugrah dan berkat-Nya yang diberikan sehigga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir yang berjudul Solusi Layak Dalam Persoalan Lokasi Fasilitas Berkapasitas sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar magister pada Program Pasca Sarjana Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Penghargaan dan ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada pihakpihak yang telah membantu dan memberikan kontribusi sehingga selesainya tesis ini kepada: Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, sebagai Pembimbing I dan Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan bimbingan, motivasi dan pengarahan serta kontribusi kepada penulis sehingga selesainya tesis ini. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc sebagai Pembimbing II dan Dekan FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Sumatera Utara dan telah memberikan bimbingan dan arahan untuk sempurnanya tesis ini. Bapak Dr. Saib Susilo, M.Sc sebagai penguji dan sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan saran dan bantuan sehingga selesainya tesis ini. Bapak Prof. Dr. Tulus, MSi selaku penguji dan Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak membantu dan memberikan arahan penulis demi selesainya tesis ini. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmu kepada penulis selama perkuliahan berlangsung. Ibu Misisani,S.Si, Staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah bayak membantu untuk selesainya studi
iii Universitas Sumatera Utara
ini. Rekan-rekan Dosen Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau yang telah bahu membahu, senasib sepenanggungan dalam mencapai cita-cita untuk meningkatkan mutu dan layanan kepada mahasiswa. Bapak Rektor Universitas Riau dan Dekan FMIPA Universitas Riau serta Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau yang telah memberikan bantuan, rekomendasi, izin belajar serta motivasi kepada penulis dalam menyelesaikan perkuliahan ini. Suami tercinta B. Tambunan, Anakanda dr. Lenny Tambunan, Siswiny Tambunan SST,SE, Renold Tambunan ST, Juanda Tobing ST serta Benaya Tobing sebagai cucu tersayang yang telah memberikan dorongan dan semangat kepada penulis dalam menyelesaikan perkuliahan ini.
Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya.
FMIPA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Agustus 2012
Penulis
iv Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP Asli Sirait dilahirkan di Parongil pada tanggal 10 juli 1957 dari pasangan Bapak A. Sirait dan Ibu T. br Manurung dan merupakan anak ke-empat dari tujuh bersaudara, penulis menamatkan SD tahun 1968 di SD Negeri 3 Parongil, menamatkan SMP Negeri Parongil tahun 1971 dan SMA Negeri 1 Pekanbaru tahun 1974. Pada tahun 1974 melanjutkan pendidikan ke Jurusan Matematika di FIPIA Universitas Riau dan menyelesaikan Program Sarjana Muda dengan gelar BSc, pada tahun 1979. Serta melajutkan program sarjana lengkap atau Strata satu pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Pekanbaru tahun 1981 dan menyelesaikannya pada tahun 1984. Pada tahun 1980 penulis diterima sebagai calon pegawai negeri sipil dan ditugaskan sebagai tenaga administrasi di FMIPA Universitas Riau, dan pada tahun 1986 penulis dimutasikan dari tenaga administrasi menjadi tenga pengajar atau sebagai dosen di FMIPA Universitas Riau, dan pada tahun 2011 penulis mendapat kesempatan untuk melanjutkan pendidikan pada Program Magister Matematika di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
v Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i ii iii v vi
BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 2 3 3 3
BAB 2 MODEL PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS . 4
2.1 Pengertian Lokasi Fasilitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Model Persoalan Lokasi Fasilitas Berkapasitas . . . . . . . . . . .
4 4
BAB 3 PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS . . . . . . . . 10
3.1 Persoalan Lokasi Fasilitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Relaksasi Lagrangean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 13
BAB 4 METODE PENYELESAIAN PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.1 Dasar Pendekatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Metode Derivasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 17
vi Universitas Sumatera Utara
4.3 Pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23 23 24
vii Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Dalam tesis ini akan dibahas tentang persoalan lokasi fasilitas berkapasitas yang dikenal dalam kombinatorial dengan aplikasi dalam distribusi dan perencanaan, seperti menentukan suatu lokasi dari beberapa pilihan tempat yang potensial dimana fasilitas terbatas untuk melayani permintaan pelanggan. Kata kunci: Lokasi fasilitas berkapasitas, Program linier integer campuran.
i Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT This thesis will address about Capacitated Facility Location Problem wellknown combinatorial with application in distribution and production planning, such as selecting a location from several potential places where the facility is limited to serve customer demand. Keyword: Capacitated Facility Location, Mixed Linier Integer Program.
ii Universitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Persoalan Fasilitas Lokasi Berkapasitas (The Capacitated Facility Location Problem disingkat dengan CFLP) adalah persoalan yang dikenal dalam optimasi kombinatorial yang diaplikasikan dalam menentukan pembukaan fasilitas dari suatu himpunan atau set tempat atau lokasi yang potensial, sehingga pelanggan dapat meminimalkan biaya operasional dan transportasi. Dalam hal ini perlu dilakukan pembatasan yang memenuhi permintaan dari masing-masing pelanggan, dan tiap fasilitas tidak dapat memasok melebihi kapasitas dari fasilitas yang dibuka.
Aplikasi dari CFLP juga meliputi perencanaan, distribusi, lokasi dan area di dalam perencanaan produksi (Pochet and Wosly, 1988), dan dalam disain jaringan telekomunikasi dikembangkan oleh (Kochman dan Mc Callerm, 1981), serta oleh Mirzain (1981) dan Boffey (1989).
Banyak heuristic dan algoritma pendekatan yang tepat untuk menyelesaikan CFLP yang telah diusulkan dalam literatur. Metode penyelesaian heuristik dan algoritma pendekatan telah diusulkan oleh Kuehn dan Hamburger (1983), kemudian metode tabu search untuk masalah p-median dan CFLP dengan satu sumber dikemukakan oleh Rolland dengan kawan-kawan (1996). Berbagai pendekatan heuristik dan solusi yang tepat untuk CFLP, salah satunya adalah dengan menggunakan relaksasi Langrangean yang mana permintaan terbatas dengan atau
1 Universitas Sumatera Utara
tanpa penambahan jumlah kapasitas.
Persoalan fasilitas lokasi berkapasitas adalah suatu himpunan yang terdiri m dan n unsur dengan m adalah tempat atau lokasi yang potensial dengan fasilitas yang memadai dan n adalah pelanggan yang permintaannya dapat dipenuhi dari fasilitas yang tersedia.
Misalkan himpunan J = {1, 2, 3, . . . m} adalah himpunan semua fasilitas dengan i ∈ J mempunyai kapasitas ai, dan K = {1, 2, 3, . . . n} adalah himpunan semua pelanggan dan setiap j ∈ K mempunyai permintaan bj. Biaya pembukaan fasilitas i adalah fi dan cij adalah biaya transportasi dari fasilitas i ke pelanggan j, serta xj memperesentasikan jumlah aliran dari fasilitas i ke pelanggan j. Aliran dari fasilitas i ke pelanggan j disebut dengan arc (i, j) dan variable yi yang didefinisikan sebagai berikut: yi = 1 jika fasilitas dibuka dan yi = 0 jika fasilitas ditutup. Bentuk formulasi dari CFLP diatas dapat ditulis dengan :
Z = min
ckjxkj + fjyj
k∈K j∈J
j∈J
Z merupakan fungsi tujuan yang mempunyai kendala permintaan dari setiap
pelanggan dan kendala jumlah pasokan dari fasilitas kesemua pelanggan.
Dalam penelitian ini akan dibahas model dan metode tentang masalah fasilitas lokasi berkapasitas.
1.2 Perumusan Masalah
Menetukan lokasi yang tepat dan potensial merupakan hal yang sangat penting karena faktor biaya ditetukan oleh tempat dan fasilitas, jadi lokasi yang tepat
2 Universitas Sumatera Utara
dapat memberikan total biaya yang minimum. Dalam masalah CFLP adalah meminimumkan fungsi tujuan sehingga jumlah biaya yang diperlukan minimum. 1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk membahas tentang persoalan fasilitas lokasi berkapasitas atau persoalan program linier integer campuran. 1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk memperbanyak literatur tentang persoalan lokasi fasilitas berkapasitas. 1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian ini dilakukan bersifat studi literatur kepustakaan dengan mengumpulkan dan menelusuri beberapa buku teks dan beberapa jurnal yang yang terkait dengan persoalan fasilitas lokasi berkapasitas dengan mempelajari materi tentang model dari persoalan fasilitas lokasi berkapasitas dan metodametoda yang berkaitan yaitu: dasar pendekatan, metoda derivasi dan pivoting.
3 Universitas Sumatera Utara
BAB 2 MODEL PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS
2.1 Pengertian Lokasi Fasilitas
Pemilihan suatu lokasi merupakan hal yang sangat penting, karena faktor biaya dipengaruhi oleh fasilitas yang akan di tempatkan dan biaya juga mempengaruhi untuk menentukan lokasi dimana secara ekonomis dalam membiayai, produksi, transportasi dan distribusi serta biaya memasok kebutuhan untuk melayani permintaan dari pelanggan. Jadi untuk menempatkan suatu lokasi fasilitas merupakan suatu keputusan yang tepat agar dapat meminimalkan biaya, jika masingmasing fasilitas terbatas untuk melayani pelanggan maka persoalannya menjadi persoalan lokasi fasilitas berkapasitas, jika masing-masing fasilitas tidak terbatas untuk melayani pelanggan maka persoalannya menjadi persoalan lokasi tak berkapasitas (uncapacitated facility location problem disingkat dengan UFLP).
2.2 Model Persoalan Lokasi Fasilitas Berkapasitas
Dalam persoalan program linear penyelesaian optimal dapat berupa bilangan real yang berarti bisa bilangan bulat atau bilangan pecahan. Jika pada penyelesaian pecahan dilakukan pembulatan ke bilangan bulat terdekat maka hasil yang diperoleh bisa tidak sesuai dengan hasil yang akan diharapkan. Diberbagai persoalan banyak memerlukan penyelesaian yang bulat sehingga dicari model penyelesaian dari suatu persoalan sedemikian hingga memperoleh penyelesaian optimum yang bulat atau penyelesaian integer yang optimum.
Program integer merupakan pengembangan dari program linear, dalam per4 Universitas Sumatera Utara
soalan integer programming jika modelnya mengharapkan semua variabelnya bernilai integer maka disebut pure integer. Jika nilai variabel-variabel tertentu bernilai integer artinya varibelnya tidak semuanya bulat maka programnya disebut dengan program linear integer campuran atau Mixed Integer Linear Program (MILP). Biasanya persoalan lokasi fasilitas berkapasitas atau Capacitated Facility Location Problem (CFLP) disebut juga sebagai program linear integer campuran yang mempunyai model sebagai berikut :
Dengan kendala :
Z = min
Ckjxkj + fjyj
k∈K j∈J
j∈J
(2.2.1)
xkj = 1, ∀ k ∈ K
j∈J
dkxkj ≤ sjyj, ∀ j ∈ J
k∈K
sjyj ≥ dk
j∈J
xkj − yi ≤ 0, ∀ k ∈ K, ∀ j ∈ J
0 ≤ xkj ≤ 1, 0 ≤ yj ≤ 1, ∀ k ∈ K, ∀ j ∈ J
yj ∈ {0, 1} , ∀ j ∈ J
(2.2.2) (2.2.3) (2.2.4) (2.2.5) (2.2.6) (2.2.7)
Dimana : Z adalah fungsi tujuan J adalah himpunan semua lokasi fasilitas yang potensial K adalah himpunan semua pelanggan Ckj adalah biaya persediaan dan permintaan dk dari pelanggan ks′ dari fasilitas j fj adalah biaya operasi fasilitas j , dan kapasitas Cj jika dibuka
5 Universitas Sumatera Utara
yj =
0 Jika fasilitas j ditutup 1 Jika fasilitas j dibuka
xkj adalah biaya permintaan pelanggan ks′ dari fasilitas j
Dan kendala persamaan (2.2.2) merupakan kendala permintaan kendala persamaan (2.2.3) merupakan kendala kapasitas kendala persamaan (2.2.4) merupakan kendala kapasitas secara keseluruhan kendala persamaan (2.2.5) merupakan penambahan batas implisit
Dengan asumsi :
Ckj ≥ 0, ∀ k ∈ K dan j ∈ J fj ≥ 0, ∀ j ∈ J sj > 0, ∀ j ∈ J dk ≥ 0, ∀ k ∈ K
sj > d(K) = dk
j∈J k∈K
(2.2.8) (2.2.9) (2.2.10) (2.2.11) (2.2.12)
Dengan menerapkan relaksasi lagrangean kedalam permasalahan CFLP dengan mengabaikan kendala (2.2.2), maka model relaksasi lagrangean adalah :
ZD(η) = ηk + min
(Ckj − ηk)xkj + fjyj
x,y
k∈K
k∈K j∈J
j∈J
Dengan kendala :
(2.2.13)
dkxkj ≤ sjyj, ∀ j ∈ J
k∈K
sjyj ≥ d(K)
j∈J
6
(2.2.14) (2.2.15)
Universitas Sumatera Utara
xkj − yj ≤ 0, ∀ k ∈ K, ∀ j ∈ J 0 ≤ xkj ≤ 1, ∀ k ∈ K, ∀ j ∈ J 0 ≤ yj ≤ 1, ∀ j ∈ J yj ∈ {0, 1} , ∀ j ∈ J
(2.2.16) (2.2.17) (2.2.18) (2.2.19)
Jika kendala persamaan (2.2.2) diganti dengan pengali ηk dengan k ∈ K maka pengali lagrangean optimal yaitu ηopt dapat ditentukan dari interval ηmin, ηmax Dimana :
ηkmin = min {Ckj, j ∈ J \ {j(k)}} ≥ 0
Ckj (k)
=
min
j∈J
Ckj
ηkmax
=
max
j∈J
Ckj
Didefinisikan bahwa :
(2.2.20) (2.2.21) (2.2.22)
Vj
=
max
x
(ηk − Ckj)xkj
dkxkj ≤ sj, 0 ≤ xkj ≤ 1, ∀ k ∈ K
k∈K
k∈K
(2.2.23)
Jika persamaan (2.2.23) direduksi ke dalam persamaan (2.2.13) diperoleh :
Dimana :
ZD(η) = η0 + ηk
k∈K
(2.2.24)
η0 = min
(fj − vj)yj sjyj ≥ d(K), yj ∈ {0, 1} , ∀ k ∈ K
j∈J j∈J
(2.2.25)
Jadi lagrangean dari persamaan (2.2.13) adalah maksimum dari fungsi lagrangean
ZD(η) pada himpunan ηmin, ηmax , selanjutnya :
Misalkan :
7 Universitas Sumatera Utara
{yt, t ∈ T y} adalah himpunan semua solusi yang feasibel untuk persamaan (2.2.25) dan xtj : t ∈ Tjx adalah himpunan semua solusi yang feasibel untuk persamaan (2.2.23)
Dan untuk semua t ∈ T y dan t ∈ Tjx didefinisikan :
Ft = fjyjt
j∈J
(2.2.26)
Ctj =
Ckj xkt j
k∈K
(2.2.27)
Dengan menggunakan persamaan (2.2.23) dan (2.2.25) maka persamaan (2.2.13)
dapat ditulis menjadi :
Dengan kendala :
ZD = max η0 + ηk
k∈K
(2.2.28)
η0 + yjtvj ≤ Ft, ∀ t ∈ T y
j∈J
xkt jηk − vj ≤ Ctj, ∀ j ∈ J, ∀ t ∈ Tjx
k∈K
uj ≥ 0, ∀ j ∈ J
ηkmin ≤ ηk ≤ ηkmax, ∀ k ∈ K
η0 ∈ R
(2.2.29) (2.2.30) (2.2.31) (2.2.32) (2.2.33)
Mengambil dua kali program master ganda diperoleh program master prima yang bentuknya adalah :
ZD = Ftαt +
Ctjβtj +
ηkmaxpk − ηkminpk
t∈T y
j∈J t∈Tjx
k∈K
(2.2.34)
8 Universitas Sumatera Utara
Dengan batasan :
αt = 1
t∈T y
yjtαt − βtj ≥ 0, ∀ j ∈ J
t∈T y
t∈Tjx
xkt j βtj
+
pk
−
p
k
≥
1,
∀k∈K
j∈J t∈Tjx
αt ≥ 0, ∀ t ∈ T y
βtj ≥ 0, ∀ j ∈ J, ∀ t ∈ Tjx
pk,
p
k
≥
0,
∀k∈K
Dimana :
αt adalah variabel rangkap dari persamaan (2.2.22)
βtj adalah variabel rangkap dari persamaan (2.2.23)
pk
dan
p
k
adalah variabel rangkap dari persamaan (2.2.25)
(2.2.35) (2.2.36) (2.2.37) (2.2.38) (2.2.39) (2.2.40)
9 Universitas Sumatera Utara
BAB 3 PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS
3.1 Persoalan Lokasi Fasilitas
CFLP telah dipelajari secara ekstensif dan banyak algoritma-algoritma yang eksak dan metoda heuristik yang telah dikembangkan untuk menyelesaikan CFLP. Kuehn dan Huamburger (1963) mengembangkan metoda heuristic yang pertama untuk persoalan lokasi fasilitas tidak berkapasitas (Uncapacitated Facility Location Problem disingkat dengan UFLP), yang kemudian dikembangkan oleh Jacobsen (1983) untuk CFLP. Metoda heuristik yang dikembangkan ini terdiri dari dua phase yaitu :
a. Phase pertama disebut dengan ADD yaitu semua fasilitas ditutup, dan fasilitas yang menyebabkan pengurangan total biaya maksimum dibuka, phase pertama ini berakhir bila tidak ada fasilitas yang dapat diberikan untuk mengurangi total biaya.
b. Phase kedua adalah phase prosedur pencarian lokal dimana fasilitas terbuka dan tertutup untuk mengurangi total biaya.
Feldman et. all (1966) mengusulkan strategi yang berbeda untuk phase pertama yang dinamai dengan DROP dan diperluas untuk CFLP oleh Jacobsen (1983). Didalam DROP semua fasilitas awalnya dibuka, dan fasilitas ditutup jika hasil dalam pengurangan maksimum dalam total biaya, phase ini berakhir ketika menutup fasilitas telah mengakibatkan pengurangan total biaya.
10 Universitas Sumatera Utara
Relaksasi Lagrangean telah diterapkan ke beberapa persoalan fasilitas lokasi. Beasly (1993) mempresentasekan kerangka kerja untuk menggunakan metoda Lagrangean heuristic untuk memecahkan persoalan fasilitas yang berbeda dan untuk CFLP dengan mengurangi beberapa kendala dan solusi dari persoalan kendala adalah trivial.
Metoda Lagrangean heuristic ini menggunakan kendala pengganti untuk mengakselerasi kekorvergenan pada metoda sub gradian. Brahma dan Chudak (2001) menggunakan metoda Lagrangean heuristic menyelesaikan persoalan CFLP untuk memaksimalkan fungsi tujuan, algoritma yang digunakan adalah algoritma dari perluasan metoda subgradian yang bertujuan untuk menghasilkan solusi yang layak.
Beberapa algoritma yang tepat berdasarkan pada cabang dan batas yang telah disepakati, perbedaan diantara algoritma-algoritma ini adalah pada tipe relaksasi, metode penyelesaian relaksasi dan strategi adalah untuk memperbaiki batas bawah, Sa (1969) mengganti variable yi dengan:
1 ai j∈J xij untuk mempersempit persoalan menjadi pesoalan transportasi.
Geoffrion and McBride (1978) menggunakan relaksasi Lagrangean untuk merelaksasi suatu kendala dan Nauss (1998) menggunakan relaksasi yang sama serta menggunakan ketaksamaan i∈I aiyi ≥ j∈J bj dalam rangka memperoleh batas yang tepat. Beasly (1983) telah menggunakan relaksasi Lagrangean terlebih dahulu untuk menentukan suatu fasilitas dibuka atau ditutup.
11 Universitas Sumatera Utara
Misalkan I dipartisi menjadi dua himpunan bagian yaitu I0 sebagai himpunan fasilitas tertutup dan I1 sebagai himpunan fasilitas terbuka yang didefinisikan sebagai berikut :
I0 = {i ∈ I, yi = 0} I1 = {i ∈ I, yi = 1}
Misalkan A adalah total kapasitas dari semua fasilitas terbuka dari sebuah partisi dan B adalah total permintaan dari semua pelanggan yang dinotasikan sebagai berikut :
A=
ai
i∈I
B=
bj
j∈J
Solusi yang berkaitan dengan partisi diatas adalah layak jika dan hanya jika A ≥ B. Prosedur Tabu Search Heuristik adalah prosedur mencari himpunan solusi yang layak.
Beberapa peneliti telah menggunakan dan menerapkan meta heuristic tabu
search pada berbagai persoalan dalam persoalan kombinatorial, dan dalam per-
soalan lokasi fasilitas berkapasitas juga telah diperluas dan dikembagkan ke dalam
persoalan lokasi fasilitas yang lebih kompleks. Prosedur tabu search heuristik
terdiri dari siklus pencarian , setiap siklus pencarian terdiri dari fungsi diversi-
fikasi. Proses pencarian utama dan fungsi diversifikasi ditentukan dan komponen-
komponen dari prosedur tabu search heuristik dirinci selangkah demi selangkah
deskripsi yang diberikan.
12 Universitas Sumatera Utara
3.2 Relaksasi Lagrangean
Relaksasi lagrangean adalah suatu teknik yang dapat menghilangkan suatu kendala sehingga secara eksplisit dapat memodifikasi fungsi objektif untuk menghindari solusi yang infisibel. Tinjau suatu integer linear programing sebagai berikut:
max {Cx : Ax ≤ b dan A′x ≤ b′}, x adalah bilangan bulat.
Dengan x adalah vektor berukuran n × 1 dan b adalah vektor berukuran m × 1, dan A adalah matriks berukuran m × n serta A′ adalah matriks berukuran p × n, matriks A dan A′ merupakan matriks kendala. Dengan mengabaikan A′x = b′ diperoleh
Q = {x ∈ Rn|Ax ≤ b} , x ≥ 0 dan bilangan bulat
(3.2.1)
Dengan asumsi bahwa fungsi objektif dapat dioptimalkan lewat Q yaitu
max Ctx : A′x ≤ b′, x ∈ Q
Pandang untuk sebarang vector λ ≥ 0 maka :
LR(x) = max Ct + λt(b′ − A′x)|x ∈ Q
(3.2.2)
Persamaan (3.2.2) disebut sebagai relaksasi lagrange dari persamaan (3.2.1) dan λ disebut sebagai pengali lagrangean. Facility Location Problem (FLP) merupakan persoalan dalam menempatkan suatu fasilitas sedemikian sehingga biaya dapat diminimumkan, Capacitated Fa-
13 Universitas Sumatera Utara
cility Location Problem (CFLP) adalah satu jenis dari FLP yang meliputi kapasitas untuk fasilitas . CFLP mempertimbangkan lokasi fasilitas yang potensial dalam menetapkan biaya, relaksasi Lagrangean adalah salah satu pendekatan dalam menyelesaaikan persoalan CFLP.
14 Universitas Sumatera Utara
BAB 4
METODE PENYELESAIAN PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS
4.1 Dasar Pendekatan
Persoalan lokasi fasilitas berkapasitas (Capacitated Facility Location Problem atau CFLP) juga disebut sebagai persoalan linier integer campuran (Mixed Integer Linier Program disingkat dengan MILP).
Tinjau masalah MILP dengan formulasi berikut :
Minimumkan P = ctx
(4.1.1)
Dengan kendala :
Ax ≤ b x≥0 xj adalah integer, j ∈ J
(4.1.2) (4.1.3) (4.1.4)
Dimana A adalam matriks berukuran m × n yang disebut juga sebagai matriks kendala, x dan c adalah vektor berukuran n × 1 serta b adalah vektor berukuran m × 1.
Komponen dasar optimal dari vektor yang feasibel (xB)k pada penyelesaian MILP dapat ditulis dalam bentuk:
(xB)k = βk − αk1(xN )1 − · · · − αkj(xN )j − · · · − αkn − m(xN )n − m (4.1.5)
Jika (xB)k adalah suatu integer dan diasumsikan bahwa βk bukan integer, maka 15 Universitas Sumatera Utara
partisi βk kedalam integer dan campuran yang didefinisikan sebagai berikut :
βk = [βk] + fk, 0 ≤ fk ≤ 1
(4.1.6)
Andaikan (xB)k naik menuju ke integer yang paling dekat yaitu ([β] + 1). Berdasarkan pada penyelesaian sub optimal dapat menambahkan variabel non basic
(xN )j∗, sebagai batas atasnya nol dengan αkj∗ yang dituju sebagai salah satu vektor dari αj∗ yang negatif. Misalkan ∆j∗ bergerak pada non variabel (xN )j∗ sehingga nilai numerik dari (xB)k adalah integer, maka berdasarkan persamaan (4.1.5) ∆j∗ dapat dituliskan dengan:
∆f ∗
=
1 − fk −αkj∗
(4.1.7)
Selanjutnya subsitusikan persamaan (4.1.6) ke persamaan (4.1.7) untuk (xN )j∗ dan subsitusikan kedalam partisi βk pada persamaan (4.1.6) diperoleh :
(xB)k = [β] + 1
Jadi (xB)k adalah integer.
Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa variabel non basic mempunyai peranan penting pada kaidah integrasi yang berkaitan dengan variabel basic. Oleh karena itu hasil ini diperlukan untuk mengkonfirmasi bahwa harus variabel integer digunakan untuk proses integrasi.
Teorema 4.1.1 Misalkan masalah MILP pada persamaan (4.1.1) sampai dengan persamaan (4.1.4) mempunyai solusi yang optimal maka beberapa variabel non basic (xN )j dengan j = 1, 2, , . . . , n, menjadi variabel non integer.
16 Universitas Sumatera Utara
Bukti : Penyelesaian persoalan merupakan kelanjutan dari variabel slack misalnya variabel non integer kecuali untuk kendala persamaan, jika diasumsikan vektor variabel basic xB terdiri dari semua variabel slack maka semua variabel integer menjadi vektor non basic xN yang nilainya integer.
4.2 Metode Derivasi
Suatu komponen lain (xB)i=k dari vektor xB menjadi nilai numerik dari skalar (xN )j∗ naik pada ∆j∗, akibatnya jika suatu elemen dari vektor αj∗ yaitu elemen αj∗ untuk i = k adalah positif maka elemen dari xB akan menurun menuju nol. Namun komponen vektor x tidak harus menuju nol karena pembatasan non negatif. Oleh karena itu suatu rumusan disebut uji rasio minimum diperlukan untuk melihat pergerakan maksimum dari variabel non basic (xN )j∗ sedemikian rupa sehingga semua komponen x feasibel.
Uji rasio ini meliputi dua kasus yaitu :
1. Suatu variabel basic (xB)i=k menurun menuju nol atau batas bawah. 2. Variabel basic (xB)k bertambah atu naik menuju suatu integer.
Keterkaitan kasus (1) dan (2) diformulasikan bahwa :
θ1
= min
|i=j|αj∗ >0
βj αj∗
θ2 = ∆j∗
(4.2.1)
Banyaknya vektor non basic (xN )j∗ yang keluar dari batas nol sehingga 17 Universitas Sumatera Utara
vektor x yang tersisa adalah feasibel bergantung kepada uji rasio θ∗ yang difor-
mulasikan dengan :
θ∗ = min(θ1, θ2)
(4.2.2)
Jika θ∗ = θ1 maka salah satu dari variabel basic (xB)i=k akan mencapai batas bawah sebelum (xB)k menjadi integer. Jika θ∗ = θ2 nilai numerik dari variabel basic (xB)k akan menjadi integer.
Dalam kasus variabel non basic tertentu, (xN )j∗ yang berkaitan dengan elemen positif dari vektor αj′ diformulasikan dengan :
∆f ′
=
fk αkj
(4.2.3)
Satu satunya faktor yang diperlukan untuk menentukan elemen dari vektor α
dinyatakan dalam bentuk :
αj = B−1aj
(4.2.4)
dimana j = 1, 2, . . . , n − m.
Untuk memperoleh elemen-elemen dari vektor αj yaitu dengan menjabarkan kolom matriks [B]−1. Andaikan diperlukan nilai dari αkj∗ maka misalkan vkT sebagai vektor kolom ke k dari [B]−1 maka diperoleh :
vkT = ekT B−1
(4.2.5)
Sehingga nilai numerik αkj∗ diperoleh
αkj∗ = vkT aj∗
(4.2.6)
Mengurangi vektor biaya dj digunakan untuk mengukur kemerosotan fungsi tujuan yang disebabkan oleh pelepasan variabel non basic, kemerosotan nilai fungsi
18 Universitas Sumatera Utara
tujuan karena pembebasan variabel non basic (xN )j∗ mengakibatkan variabel ba-
sic (xB)k dapat diukur dengan rasio:
dk αkj∗
Dimana nilai |a| adalah nilai absolut dari a.
(4.2.7)
Untuk memaksimalkan penyelesaian yang optimal digunakan strategi yaitu
strategi yang menentukan variabel non basic yang mungkin naik atau bertambah
dari batas nol yaitu :
min dk , dengan j = 1, 2, . . . , n − m j αkj∗
(4.2.8)
Dari strategi aktif constraint dan partisi pada kendala yang berkaitan de-
ngan variabel-variabel basic (B), super basic (S) dan non basic (N ) maka per-
samaan (4.1.2) matriks A dapat dinyatakan sebagai A = (B S N ), dengan matriks
B adalah matriks bujur sangkar yang tak singular yang elemen-elemennya beru-
pa koefisien variabel basic, matriks N berupa koefisien variabel nonbasic serta S
berupa koefisien variabel super basic. Misalkan x dapat dinyatakan sebagai: xB
x = xN xS
Dimana : xB adalah vektor variabel basic xN adalah vektor variabel non basic xS adalah vector variabel super basic
Maka Ax = B dapat ditulis menjadi :
BSN I
xB xN =
xS
b bN
(4.2.9)
19 Universitas Sumatera Utara
Atau :
BxB + SxS + N xN = b xN = bN
(4.2.10) (4.2.11)
Karena matriks basis B adalah matriks bujursangkar dan non singular artinya bahwa matriks B mempunyai invers yaitu B−1 sehingga persamaan (4.2.10) bila dikalikan dengan B−1 diperoleh :
Dimana :
xB = β − W xS − αxN
(4.2.12)
β = B−1b W = B−1S α = B−1N
(4.2.13) (4.2.14) (4.2.15)
Sehingga fungsi objektif pada persamaan (4.1.1) dapat ditulis menjadi :
Dengan kendala :
P = CBt xB + CNt + CSt
BxB + SxS + N xN = b xN = bN
Dengan mensubsitusikan persaman (4.2.12) formulasi P menjadi :
P = CBt (β − W xS − αxN ) + CNt xN + CSt xS = CBt (β + (CNt − α)xN + (CSt − W )xS 20 Universitas Sumatera Utara
Teorema 4.2.1 Misalkan masalah MINLP mempunyai batasan penyelesaian yang kontinu maka dapat diperoleh non integer yi didalam variabel basic yang optimum.
Bukti : a. Jika variabelnya merupakan variabel non basic maka variabel non basic adalah terbatas dan mempunyai nilai integer.
b. Jika yi adalah super basic, ini memungkinkan untuk menjadikan yi menjadi menjadi basic dan termasuk dalam non basic yang terbatas dan menggantinya atau memasukkan kedalam super basic.
Jika uji rasio yang dinyatakan dalam persamaan (4.1.2) tidak dapat digunakan sebagai alat untuk menjamin solusi integer optimal di wilayah yang feasibel maka digunakan uji kelayakan Minos untuk memeriksa apakah solusi integer adalah layak atau tidak layak.
4.3 Pivoting
Misalkan posisi variabel (xB)k dimasukkan (integerized ) dan variabel non basic (cN )j∗ dilepaskan dari batasan dari nol, pandang pergerakan maksimum dari (xN )j∗ memenuhi :
θ∗ = ∆j∗ Sehingga nilai (xB)k adalah integer mengekploitasi cara mengubah basis di dalam Minos dengan pergerakan (xN )j∗ ke dalam B yaitu menggantikan (xB)k dan nilai integer (xB)k kedalam S untuk mempertahankan solusi integer. Karena masih ada variabel basic pada batasnya mengakibatkan suatu kemerosotan solusi maka pro-
21 Universitas Sumatera Utara
ses integrezing berlanjut dengan suatu himpunan baru yaitu [B, S] dan berakhir ketika semua variabel integer menjadi super basic.
Teorema 4.3.1 Suatu solusi sub optimal ada di MILP dan MINLP dimana semua variabel integernya adalah super basic.
Bukti : 1. Jika semua variabel integer ada di N maka variabel integernya terbatas. 2. Jika suatu variabel interger adalah basic kemunkinannya adalah: a. Pertukaran variabel integer dengan super basic adalah kontinu. b. Membuat dan membawa variabel superbasic kedalam batas non basic untuk menggantinya ke dalam basis yang mengakibatkan solusi merosot. Hal yang dapat terjadi yaitu suatu variabel basic (xB)i=k yang berbeda
dapat mencapai batas sebelum (xB)k menjadi integer. Jika θ∗ = ∆1 berarti pergerakan variabel basic (xB)i ke dalam N dan po-
sisinya di vektor variabel basic digantikan oleh non basic (xN )j∗. Berarti (xB)k masih menjadi variabel non-interger basic dengan nilai baru.
22 Universitas Sumatera Utara
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Persoalan lokasi fasilitas berkapasitas adalah persoalan menentukan suatu lokasi yang feasibel, yang juga merupakan persoalan program linier integer campuran. Dengan memilih tepat suatu lokasi pada himpunan lokasi yang feasibel dengan kapasitas yang memadai dan memilih aliran yang tepat dari lokasi ke pelanggan dapat meminimalkan biaya. Jika jumlah atau total dari semua fasilitas yang dibuka dapat melayani total semua permintaan dari pelanggan maka solusi dari persoalan lokasi fasilitas berkapasitas dikatakan merupakan solusi layak. 5.2 Saran Untuk menyelesaikan persoalan lokasi fasilitas berkapasitas disarankan dengan menggunakan komputasi.
23 Universitas Sumatera Utara
DAFTAR PUSTAKA
Aardal,K. 1998. Capacitatede Facility Location: Separation Algorithm and computational experience. Matematical Programming, 81, 149-175
Aardal, K., Pochet, Y., and Woshley, L.A.1995. Capacitated Facility Location: Valid inequalities dan facets. Mathematics of Operations Research, 20, 552582.
Abrams, Zoe., Konemann, Jochen., Meyerson, Adam., and Mungala, Kamesh., Facility Location with Interference. Stanford University.
Barahona, F. and Chudak, F. (2001). Near-optimal solutions to large scale facility location problems, Technical Report, www.ifor.math.ethz.ch/ staff/chudak
Beasley, J. E. (1988). An algorithm for solving large capacitated warehouse location problems. European Journal of Operational Research, 33, 314-325.
Boffey, T. B. (1989). Location problems arising in computer networks. The Journal of the Operational Research Society, 40(4), 347-354.
Christofides, N. and Beasley, J. E. (1983). Extensions to a Lagrangean relaxation approach for the capacitated warehouse location problem. European Journal of Operational Research, 12, 19-28.
Cornuejols, G., Sridharan, R. and Thizy, J. M. (1991).”A comparison of heuristics and relaxations for the capacitated plant location problem,” European Journal of Operational Research, 50, 280-297
Chudak, F. 1998. Improved approximation algorithms for the uncapacitated facility location. In Proceedings of the 6th IPCO Confrence, 180-194
Chudak, F., Williamson, D.P. 1999. Improved approximation algorithms for capacitated facility location problems. In proceeding of the 7th IPCO Confrence, 99-113
Charikar, Moses., Guha, Sudipto. 2004. Improved Combinatorial Algorithm for.Facility Location Problems. Stanford University.
Domschke, W. and Drexl, A. (1985). ADD-heuristics’ starting procedures for capacitated plant location models. European Journal of OperationalResearch, 21, 47-53.
Feldman, E., Lehrer, F. A. and Ray, T. L. (1966). ”Warehouse location under continuous economies of scale,” Management Science, 12, 670-684
Geoffrion, A. M. and McBride, R. (1978). ”Lagrangian relaxation applied to capacitated facility location problems,” AIIE Transactions, 10, 40-47.
Jacobsen, S. K. (1983). ”Heuristics for the capacitated plant location model,” European Journal of Operational Research, 12, 253-261
Kochmann, G. A. and McCallum, C. J. (1981). Facility location models for planning a transatlantic communications network. European Journal of Operational Research, 6, 205-211.
24 Universitas Sumatera Utara
Klose, A. and Drexl, A. (2002b). A partitioning and column generation approach for the capacitated facility location problem. Technical report, University of St. Gallen.
Korupolu, M. R., Plaxton, C. G., and Rajaraman, R. (1998). Analysis of a local search heuristic for facility location problems. Technical Report 98-30, DIMACS, Rutgers University
Kuehn, A. A. and Hamburger, M. J. (1963). A heuristic program for locating warehouses. Management Science, 9, 643-666
Levi, Retsef., Shmoys, D.B., Swamy, Chaitanya., LP-based Approximation Algorithms for Capacitated Fscility Location.
Leung, J. M. Y. and Magnanti, T. L. (1989). ”Valid inequalities and facets of the capacitated plant location problem,” Mathematical Programming, 44, 271291.
Lorena, L. A. N. and Senne, E. L. F. (1999). ”Improving traditional subgradient scheme for Lagrangean relaxation: an application to location problems,” International Journal of Mathematical Algorithms, 1, 133-151.
Mirzaian, A. (1985). Lagrangian relaxation for the star-star concentrator location problem: Approximation algorithm and bounds. Networks, 15, 1-20.
Nauss, R. M. (1978). ”An improved algorithm for the capacitated facility location problem,” Journal of the Operational Research Society, 29, 1195-1201.
Sun, M.(2008). A Tabu Search Heuristic Procedure for the Capacitated Facility Location Problem. Working Paper Series. 061, The University of Texas at San Antonio, College of Business.
Sun, M.(2005) ”A Tabu search heuristic procedure for the uncapacitated location problem,” in C. Rego and B. Alidaee (eds), Metaheuristic Optimization via Memory and Evolution; Tabu Search and Scatter Search, Kluwer Academic Publishers, Boston, MA, 191-211.
25 Universitas Sumatera Utara
TESIS
Oleh
ASLI SIRAIT 107021020/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara
SOLUSI LAYAK DALAM PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana
Universitas Sumatera Utara
Oleh ASLI SIRAIT 107021020/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara
Judul
: SOLUSI LAYAK DALAM PERSOALAN LOKASI
FASILITAS BERKAPASITAS
Nama
: Asli Sirait
Nomor Pokok : 107021020/MT
Program Studi : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
Prof. Dr. Herman Mawengkang Ketua
Dr. Sutarman, M.Sc Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
Prof. Dr. Herman Mawengkang Dr. Sutarman, M.Sc
Tanggal lulus: 11 Agustus 2012
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada: Tanggal: 11 Agustus 2012
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : 1. Dr. Sutarman, M.Sc
2. Dr. Saib Susilo, M.Sc 3. Prof. Dr. Tulus, M.Si
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Dalam tesis ini akan dibahas tentang persoalan lokasi fasilitas berkapasitas yang dikenal dalam kombinatorial dengan aplikasi dalam distribusi dan perencanaan, seperti menentukan suatu lokasi dari beberapa pilihan tempat yang potensial dimana fasilitas terbatas untuk melayani permintaan pelanggan. Kata kunci: Lokasi fasilitas berkapasitas, Program linier integer campuran.
i Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT This thesis will address about Capacitated Facility Location Problem wellknown combinatorial with application in distribution and production planning, such as selecting a location from several potential places where the facility is limited to serve customer demand. Keyword: Capacitated Facility Location, Mixed Linier Integer Program.
ii Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Dengan segala kerendahan hati dan penuh suka cita, penulis mengucapkan puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala anugrah dan berkat-Nya yang diberikan sehigga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir yang berjudul Solusi Layak Dalam Persoalan Lokasi Fasilitas Berkapasitas sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar magister pada Program Pasca Sarjana Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Penghargaan dan ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada pihakpihak yang telah membantu dan memberikan kontribusi sehingga selesainya tesis ini kepada: Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, sebagai Pembimbing I dan Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan bimbingan, motivasi dan pengarahan serta kontribusi kepada penulis sehingga selesainya tesis ini. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc sebagai Pembimbing II dan Dekan FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Sumatera Utara dan telah memberikan bimbingan dan arahan untuk sempurnanya tesis ini. Bapak Dr. Saib Susilo, M.Sc sebagai penguji dan sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan saran dan bantuan sehingga selesainya tesis ini. Bapak Prof. Dr. Tulus, MSi selaku penguji dan Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak membantu dan memberikan arahan penulis demi selesainya tesis ini. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmu kepada penulis selama perkuliahan berlangsung. Ibu Misisani,S.Si, Staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah bayak membantu untuk selesainya studi
iii Universitas Sumatera Utara
ini. Rekan-rekan Dosen Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau yang telah bahu membahu, senasib sepenanggungan dalam mencapai cita-cita untuk meningkatkan mutu dan layanan kepada mahasiswa. Bapak Rektor Universitas Riau dan Dekan FMIPA Universitas Riau serta Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau yang telah memberikan bantuan, rekomendasi, izin belajar serta motivasi kepada penulis dalam menyelesaikan perkuliahan ini. Suami tercinta B. Tambunan, Anakanda dr. Lenny Tambunan, Siswiny Tambunan SST,SE, Renold Tambunan ST, Juanda Tobing ST serta Benaya Tobing sebagai cucu tersayang yang telah memberikan dorongan dan semangat kepada penulis dalam menyelesaikan perkuliahan ini.
Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya.
FMIPA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Agustus 2012
Penulis
iv Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP Asli Sirait dilahirkan di Parongil pada tanggal 10 juli 1957 dari pasangan Bapak A. Sirait dan Ibu T. br Manurung dan merupakan anak ke-empat dari tujuh bersaudara, penulis menamatkan SD tahun 1968 di SD Negeri 3 Parongil, menamatkan SMP Negeri Parongil tahun 1971 dan SMA Negeri 1 Pekanbaru tahun 1974. Pada tahun 1974 melanjutkan pendidikan ke Jurusan Matematika di FIPIA Universitas Riau dan menyelesaikan Program Sarjana Muda dengan gelar BSc, pada tahun 1979. Serta melajutkan program sarjana lengkap atau Strata satu pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Pekanbaru tahun 1981 dan menyelesaikannya pada tahun 1984. Pada tahun 1980 penulis diterima sebagai calon pegawai negeri sipil dan ditugaskan sebagai tenaga administrasi di FMIPA Universitas Riau, dan pada tahun 1986 penulis dimutasikan dari tenaga administrasi menjadi tenga pengajar atau sebagai dosen di FMIPA Universitas Riau, dan pada tahun 2011 penulis mendapat kesempatan untuk melanjutkan pendidikan pada Program Magister Matematika di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
v Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i ii iii v vi
BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 2 3 3 3
BAB 2 MODEL PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS . 4
2.1 Pengertian Lokasi Fasilitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Model Persoalan Lokasi Fasilitas Berkapasitas . . . . . . . . . . .
4 4
BAB 3 PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS . . . . . . . . 10
3.1 Persoalan Lokasi Fasilitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Relaksasi Lagrangean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 13
BAB 4 METODE PENYELESAIAN PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.1 Dasar Pendekatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Metode Derivasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 17
vi Universitas Sumatera Utara
4.3 Pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23 23 24
vii Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Dalam tesis ini akan dibahas tentang persoalan lokasi fasilitas berkapasitas yang dikenal dalam kombinatorial dengan aplikasi dalam distribusi dan perencanaan, seperti menentukan suatu lokasi dari beberapa pilihan tempat yang potensial dimana fasilitas terbatas untuk melayani permintaan pelanggan. Kata kunci: Lokasi fasilitas berkapasitas, Program linier integer campuran.
i Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT This thesis will address about Capacitated Facility Location Problem wellknown combinatorial with application in distribution and production planning, such as selecting a location from several potential places where the facility is limited to serve customer demand. Keyword: Capacitated Facility Location, Mixed Linier Integer Program.
ii Universitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Persoalan Fasilitas Lokasi Berkapasitas (The Capacitated Facility Location Problem disingkat dengan CFLP) adalah persoalan yang dikenal dalam optimasi kombinatorial yang diaplikasikan dalam menentukan pembukaan fasilitas dari suatu himpunan atau set tempat atau lokasi yang potensial, sehingga pelanggan dapat meminimalkan biaya operasional dan transportasi. Dalam hal ini perlu dilakukan pembatasan yang memenuhi permintaan dari masing-masing pelanggan, dan tiap fasilitas tidak dapat memasok melebihi kapasitas dari fasilitas yang dibuka.
Aplikasi dari CFLP juga meliputi perencanaan, distribusi, lokasi dan area di dalam perencanaan produksi (Pochet and Wosly, 1988), dan dalam disain jaringan telekomunikasi dikembangkan oleh (Kochman dan Mc Callerm, 1981), serta oleh Mirzain (1981) dan Boffey (1989).
Banyak heuristic dan algoritma pendekatan yang tepat untuk menyelesaikan CFLP yang telah diusulkan dalam literatur. Metode penyelesaian heuristik dan algoritma pendekatan telah diusulkan oleh Kuehn dan Hamburger (1983), kemudian metode tabu search untuk masalah p-median dan CFLP dengan satu sumber dikemukakan oleh Rolland dengan kawan-kawan (1996). Berbagai pendekatan heuristik dan solusi yang tepat untuk CFLP, salah satunya adalah dengan menggunakan relaksasi Langrangean yang mana permintaan terbatas dengan atau
1 Universitas Sumatera Utara
tanpa penambahan jumlah kapasitas.
Persoalan fasilitas lokasi berkapasitas adalah suatu himpunan yang terdiri m dan n unsur dengan m adalah tempat atau lokasi yang potensial dengan fasilitas yang memadai dan n adalah pelanggan yang permintaannya dapat dipenuhi dari fasilitas yang tersedia.
Misalkan himpunan J = {1, 2, 3, . . . m} adalah himpunan semua fasilitas dengan i ∈ J mempunyai kapasitas ai, dan K = {1, 2, 3, . . . n} adalah himpunan semua pelanggan dan setiap j ∈ K mempunyai permintaan bj. Biaya pembukaan fasilitas i adalah fi dan cij adalah biaya transportasi dari fasilitas i ke pelanggan j, serta xj memperesentasikan jumlah aliran dari fasilitas i ke pelanggan j. Aliran dari fasilitas i ke pelanggan j disebut dengan arc (i, j) dan variable yi yang didefinisikan sebagai berikut: yi = 1 jika fasilitas dibuka dan yi = 0 jika fasilitas ditutup. Bentuk formulasi dari CFLP diatas dapat ditulis dengan :
Z = min
ckjxkj + fjyj
k∈K j∈J
j∈J
Z merupakan fungsi tujuan yang mempunyai kendala permintaan dari setiap
pelanggan dan kendala jumlah pasokan dari fasilitas kesemua pelanggan.
Dalam penelitian ini akan dibahas model dan metode tentang masalah fasilitas lokasi berkapasitas.
1.2 Perumusan Masalah
Menetukan lokasi yang tepat dan potensial merupakan hal yang sangat penting karena faktor biaya ditetukan oleh tempat dan fasilitas, jadi lokasi yang tepat
2 Universitas Sumatera Utara
dapat memberikan total biaya yang minimum. Dalam masalah CFLP adalah meminimumkan fungsi tujuan sehingga jumlah biaya yang diperlukan minimum. 1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk membahas tentang persoalan fasilitas lokasi berkapasitas atau persoalan program linier integer campuran. 1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk memperbanyak literatur tentang persoalan lokasi fasilitas berkapasitas. 1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian ini dilakukan bersifat studi literatur kepustakaan dengan mengumpulkan dan menelusuri beberapa buku teks dan beberapa jurnal yang yang terkait dengan persoalan fasilitas lokasi berkapasitas dengan mempelajari materi tentang model dari persoalan fasilitas lokasi berkapasitas dan metodametoda yang berkaitan yaitu: dasar pendekatan, metoda derivasi dan pivoting.
3 Universitas Sumatera Utara
BAB 2 MODEL PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS
2.1 Pengertian Lokasi Fasilitas
Pemilihan suatu lokasi merupakan hal yang sangat penting, karena faktor biaya dipengaruhi oleh fasilitas yang akan di tempatkan dan biaya juga mempengaruhi untuk menentukan lokasi dimana secara ekonomis dalam membiayai, produksi, transportasi dan distribusi serta biaya memasok kebutuhan untuk melayani permintaan dari pelanggan. Jadi untuk menempatkan suatu lokasi fasilitas merupakan suatu keputusan yang tepat agar dapat meminimalkan biaya, jika masingmasing fasilitas terbatas untuk melayani pelanggan maka persoalannya menjadi persoalan lokasi fasilitas berkapasitas, jika masing-masing fasilitas tidak terbatas untuk melayani pelanggan maka persoalannya menjadi persoalan lokasi tak berkapasitas (uncapacitated facility location problem disingkat dengan UFLP).
2.2 Model Persoalan Lokasi Fasilitas Berkapasitas
Dalam persoalan program linear penyelesaian optimal dapat berupa bilangan real yang berarti bisa bilangan bulat atau bilangan pecahan. Jika pada penyelesaian pecahan dilakukan pembulatan ke bilangan bulat terdekat maka hasil yang diperoleh bisa tidak sesuai dengan hasil yang akan diharapkan. Diberbagai persoalan banyak memerlukan penyelesaian yang bulat sehingga dicari model penyelesaian dari suatu persoalan sedemikian hingga memperoleh penyelesaian optimum yang bulat atau penyelesaian integer yang optimum.
Program integer merupakan pengembangan dari program linear, dalam per4 Universitas Sumatera Utara
soalan integer programming jika modelnya mengharapkan semua variabelnya bernilai integer maka disebut pure integer. Jika nilai variabel-variabel tertentu bernilai integer artinya varibelnya tidak semuanya bulat maka programnya disebut dengan program linear integer campuran atau Mixed Integer Linear Program (MILP). Biasanya persoalan lokasi fasilitas berkapasitas atau Capacitated Facility Location Problem (CFLP) disebut juga sebagai program linear integer campuran yang mempunyai model sebagai berikut :
Dengan kendala :
Z = min
Ckjxkj + fjyj
k∈K j∈J
j∈J
(2.2.1)
xkj = 1, ∀ k ∈ K
j∈J
dkxkj ≤ sjyj, ∀ j ∈ J
k∈K
sjyj ≥ dk
j∈J
xkj − yi ≤ 0, ∀ k ∈ K, ∀ j ∈ J
0 ≤ xkj ≤ 1, 0 ≤ yj ≤ 1, ∀ k ∈ K, ∀ j ∈ J
yj ∈ {0, 1} , ∀ j ∈ J
(2.2.2) (2.2.3) (2.2.4) (2.2.5) (2.2.6) (2.2.7)
Dimana : Z adalah fungsi tujuan J adalah himpunan semua lokasi fasilitas yang potensial K adalah himpunan semua pelanggan Ckj adalah biaya persediaan dan permintaan dk dari pelanggan ks′ dari fasilitas j fj adalah biaya operasi fasilitas j , dan kapasitas Cj jika dibuka
5 Universitas Sumatera Utara
yj =
0 Jika fasilitas j ditutup 1 Jika fasilitas j dibuka
xkj adalah biaya permintaan pelanggan ks′ dari fasilitas j
Dan kendala persamaan (2.2.2) merupakan kendala permintaan kendala persamaan (2.2.3) merupakan kendala kapasitas kendala persamaan (2.2.4) merupakan kendala kapasitas secara keseluruhan kendala persamaan (2.2.5) merupakan penambahan batas implisit
Dengan asumsi :
Ckj ≥ 0, ∀ k ∈ K dan j ∈ J fj ≥ 0, ∀ j ∈ J sj > 0, ∀ j ∈ J dk ≥ 0, ∀ k ∈ K
sj > d(K) = dk
j∈J k∈K
(2.2.8) (2.2.9) (2.2.10) (2.2.11) (2.2.12)
Dengan menerapkan relaksasi lagrangean kedalam permasalahan CFLP dengan mengabaikan kendala (2.2.2), maka model relaksasi lagrangean adalah :
ZD(η) = ηk + min
(Ckj − ηk)xkj + fjyj
x,y
k∈K
k∈K j∈J
j∈J
Dengan kendala :
(2.2.13)
dkxkj ≤ sjyj, ∀ j ∈ J
k∈K
sjyj ≥ d(K)
j∈J
6
(2.2.14) (2.2.15)
Universitas Sumatera Utara
xkj − yj ≤ 0, ∀ k ∈ K, ∀ j ∈ J 0 ≤ xkj ≤ 1, ∀ k ∈ K, ∀ j ∈ J 0 ≤ yj ≤ 1, ∀ j ∈ J yj ∈ {0, 1} , ∀ j ∈ J
(2.2.16) (2.2.17) (2.2.18) (2.2.19)
Jika kendala persamaan (2.2.2) diganti dengan pengali ηk dengan k ∈ K maka pengali lagrangean optimal yaitu ηopt dapat ditentukan dari interval ηmin, ηmax Dimana :
ηkmin = min {Ckj, j ∈ J \ {j(k)}} ≥ 0
Ckj (k)
=
min
j∈J
Ckj
ηkmax
=
max
j∈J
Ckj
Didefinisikan bahwa :
(2.2.20) (2.2.21) (2.2.22)
Vj
=
max
x
(ηk − Ckj)xkj
dkxkj ≤ sj, 0 ≤ xkj ≤ 1, ∀ k ∈ K
k∈K
k∈K
(2.2.23)
Jika persamaan (2.2.23) direduksi ke dalam persamaan (2.2.13) diperoleh :
Dimana :
ZD(η) = η0 + ηk
k∈K
(2.2.24)
η0 = min
(fj − vj)yj sjyj ≥ d(K), yj ∈ {0, 1} , ∀ k ∈ K
j∈J j∈J
(2.2.25)
Jadi lagrangean dari persamaan (2.2.13) adalah maksimum dari fungsi lagrangean
ZD(η) pada himpunan ηmin, ηmax , selanjutnya :
Misalkan :
7 Universitas Sumatera Utara
{yt, t ∈ T y} adalah himpunan semua solusi yang feasibel untuk persamaan (2.2.25) dan xtj : t ∈ Tjx adalah himpunan semua solusi yang feasibel untuk persamaan (2.2.23)
Dan untuk semua t ∈ T y dan t ∈ Tjx didefinisikan :
Ft = fjyjt
j∈J
(2.2.26)
Ctj =
Ckj xkt j
k∈K
(2.2.27)
Dengan menggunakan persamaan (2.2.23) dan (2.2.25) maka persamaan (2.2.13)
dapat ditulis menjadi :
Dengan kendala :
ZD = max η0 + ηk
k∈K
(2.2.28)
η0 + yjtvj ≤ Ft, ∀ t ∈ T y
j∈J
xkt jηk − vj ≤ Ctj, ∀ j ∈ J, ∀ t ∈ Tjx
k∈K
uj ≥ 0, ∀ j ∈ J
ηkmin ≤ ηk ≤ ηkmax, ∀ k ∈ K
η0 ∈ R
(2.2.29) (2.2.30) (2.2.31) (2.2.32) (2.2.33)
Mengambil dua kali program master ganda diperoleh program master prima yang bentuknya adalah :
ZD = Ftαt +
Ctjβtj +
ηkmaxpk − ηkminpk
t∈T y
j∈J t∈Tjx
k∈K
(2.2.34)
8 Universitas Sumatera Utara
Dengan batasan :
αt = 1
t∈T y
yjtαt − βtj ≥ 0, ∀ j ∈ J
t∈T y
t∈Tjx
xkt j βtj
+
pk
−
p
k
≥
1,
∀k∈K
j∈J t∈Tjx
αt ≥ 0, ∀ t ∈ T y
βtj ≥ 0, ∀ j ∈ J, ∀ t ∈ Tjx
pk,
p
k
≥
0,
∀k∈K
Dimana :
αt adalah variabel rangkap dari persamaan (2.2.22)
βtj adalah variabel rangkap dari persamaan (2.2.23)
pk
dan
p
k
adalah variabel rangkap dari persamaan (2.2.25)
(2.2.35) (2.2.36) (2.2.37) (2.2.38) (2.2.39) (2.2.40)
9 Universitas Sumatera Utara
BAB 3 PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS
3.1 Persoalan Lokasi Fasilitas
CFLP telah dipelajari secara ekstensif dan banyak algoritma-algoritma yang eksak dan metoda heuristik yang telah dikembangkan untuk menyelesaikan CFLP. Kuehn dan Huamburger (1963) mengembangkan metoda heuristic yang pertama untuk persoalan lokasi fasilitas tidak berkapasitas (Uncapacitated Facility Location Problem disingkat dengan UFLP), yang kemudian dikembangkan oleh Jacobsen (1983) untuk CFLP. Metoda heuristik yang dikembangkan ini terdiri dari dua phase yaitu :
a. Phase pertama disebut dengan ADD yaitu semua fasilitas ditutup, dan fasilitas yang menyebabkan pengurangan total biaya maksimum dibuka, phase pertama ini berakhir bila tidak ada fasilitas yang dapat diberikan untuk mengurangi total biaya.
b. Phase kedua adalah phase prosedur pencarian lokal dimana fasilitas terbuka dan tertutup untuk mengurangi total biaya.
Feldman et. all (1966) mengusulkan strategi yang berbeda untuk phase pertama yang dinamai dengan DROP dan diperluas untuk CFLP oleh Jacobsen (1983). Didalam DROP semua fasilitas awalnya dibuka, dan fasilitas ditutup jika hasil dalam pengurangan maksimum dalam total biaya, phase ini berakhir ketika menutup fasilitas telah mengakibatkan pengurangan total biaya.
10 Universitas Sumatera Utara
Relaksasi Lagrangean telah diterapkan ke beberapa persoalan fasilitas lokasi. Beasly (1993) mempresentasekan kerangka kerja untuk menggunakan metoda Lagrangean heuristic untuk memecahkan persoalan fasilitas yang berbeda dan untuk CFLP dengan mengurangi beberapa kendala dan solusi dari persoalan kendala adalah trivial.
Metoda Lagrangean heuristic ini menggunakan kendala pengganti untuk mengakselerasi kekorvergenan pada metoda sub gradian. Brahma dan Chudak (2001) menggunakan metoda Lagrangean heuristic menyelesaikan persoalan CFLP untuk memaksimalkan fungsi tujuan, algoritma yang digunakan adalah algoritma dari perluasan metoda subgradian yang bertujuan untuk menghasilkan solusi yang layak.
Beberapa algoritma yang tepat berdasarkan pada cabang dan batas yang telah disepakati, perbedaan diantara algoritma-algoritma ini adalah pada tipe relaksasi, metode penyelesaian relaksasi dan strategi adalah untuk memperbaiki batas bawah, Sa (1969) mengganti variable yi dengan:
1 ai j∈J xij untuk mempersempit persoalan menjadi pesoalan transportasi.
Geoffrion and McBride (1978) menggunakan relaksasi Lagrangean untuk merelaksasi suatu kendala dan Nauss (1998) menggunakan relaksasi yang sama serta menggunakan ketaksamaan i∈I aiyi ≥ j∈J bj dalam rangka memperoleh batas yang tepat. Beasly (1983) telah menggunakan relaksasi Lagrangean terlebih dahulu untuk menentukan suatu fasilitas dibuka atau ditutup.
11 Universitas Sumatera Utara
Misalkan I dipartisi menjadi dua himpunan bagian yaitu I0 sebagai himpunan fasilitas tertutup dan I1 sebagai himpunan fasilitas terbuka yang didefinisikan sebagai berikut :
I0 = {i ∈ I, yi = 0} I1 = {i ∈ I, yi = 1}
Misalkan A adalah total kapasitas dari semua fasilitas terbuka dari sebuah partisi dan B adalah total permintaan dari semua pelanggan yang dinotasikan sebagai berikut :
A=
ai
i∈I
B=
bj
j∈J
Solusi yang berkaitan dengan partisi diatas adalah layak jika dan hanya jika A ≥ B. Prosedur Tabu Search Heuristik adalah prosedur mencari himpunan solusi yang layak.
Beberapa peneliti telah menggunakan dan menerapkan meta heuristic tabu
search pada berbagai persoalan dalam persoalan kombinatorial, dan dalam per-
soalan lokasi fasilitas berkapasitas juga telah diperluas dan dikembagkan ke dalam
persoalan lokasi fasilitas yang lebih kompleks. Prosedur tabu search heuristik
terdiri dari siklus pencarian , setiap siklus pencarian terdiri dari fungsi diversi-
fikasi. Proses pencarian utama dan fungsi diversifikasi ditentukan dan komponen-
komponen dari prosedur tabu search heuristik dirinci selangkah demi selangkah
deskripsi yang diberikan.
12 Universitas Sumatera Utara
3.2 Relaksasi Lagrangean
Relaksasi lagrangean adalah suatu teknik yang dapat menghilangkan suatu kendala sehingga secara eksplisit dapat memodifikasi fungsi objektif untuk menghindari solusi yang infisibel. Tinjau suatu integer linear programing sebagai berikut:
max {Cx : Ax ≤ b dan A′x ≤ b′}, x adalah bilangan bulat.
Dengan x adalah vektor berukuran n × 1 dan b adalah vektor berukuran m × 1, dan A adalah matriks berukuran m × n serta A′ adalah matriks berukuran p × n, matriks A dan A′ merupakan matriks kendala. Dengan mengabaikan A′x = b′ diperoleh
Q = {x ∈ Rn|Ax ≤ b} , x ≥ 0 dan bilangan bulat
(3.2.1)
Dengan asumsi bahwa fungsi objektif dapat dioptimalkan lewat Q yaitu
max Ctx : A′x ≤ b′, x ∈ Q
Pandang untuk sebarang vector λ ≥ 0 maka :
LR(x) = max Ct + λt(b′ − A′x)|x ∈ Q
(3.2.2)
Persamaan (3.2.2) disebut sebagai relaksasi lagrange dari persamaan (3.2.1) dan λ disebut sebagai pengali lagrangean. Facility Location Problem (FLP) merupakan persoalan dalam menempatkan suatu fasilitas sedemikian sehingga biaya dapat diminimumkan, Capacitated Fa-
13 Universitas Sumatera Utara
cility Location Problem (CFLP) adalah satu jenis dari FLP yang meliputi kapasitas untuk fasilitas . CFLP mempertimbangkan lokasi fasilitas yang potensial dalam menetapkan biaya, relaksasi Lagrangean adalah salah satu pendekatan dalam menyelesaaikan persoalan CFLP.
14 Universitas Sumatera Utara
BAB 4
METODE PENYELESAIAN PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS
4.1 Dasar Pendekatan
Persoalan lokasi fasilitas berkapasitas (Capacitated Facility Location Problem atau CFLP) juga disebut sebagai persoalan linier integer campuran (Mixed Integer Linier Program disingkat dengan MILP).
Tinjau masalah MILP dengan formulasi berikut :
Minimumkan P = ctx
(4.1.1)
Dengan kendala :
Ax ≤ b x≥0 xj adalah integer, j ∈ J
(4.1.2) (4.1.3) (4.1.4)
Dimana A adalam matriks berukuran m × n yang disebut juga sebagai matriks kendala, x dan c adalah vektor berukuran n × 1 serta b adalah vektor berukuran m × 1.
Komponen dasar optimal dari vektor yang feasibel (xB)k pada penyelesaian MILP dapat ditulis dalam bentuk:
(xB)k = βk − αk1(xN )1 − · · · − αkj(xN )j − · · · − αkn − m(xN )n − m (4.1.5)
Jika (xB)k adalah suatu integer dan diasumsikan bahwa βk bukan integer, maka 15 Universitas Sumatera Utara
partisi βk kedalam integer dan campuran yang didefinisikan sebagai berikut :
βk = [βk] + fk, 0 ≤ fk ≤ 1
(4.1.6)
Andaikan (xB)k naik menuju ke integer yang paling dekat yaitu ([β] + 1). Berdasarkan pada penyelesaian sub optimal dapat menambahkan variabel non basic
(xN )j∗, sebagai batas atasnya nol dengan αkj∗ yang dituju sebagai salah satu vektor dari αj∗ yang negatif. Misalkan ∆j∗ bergerak pada non variabel (xN )j∗ sehingga nilai numerik dari (xB)k adalah integer, maka berdasarkan persamaan (4.1.5) ∆j∗ dapat dituliskan dengan:
∆f ∗
=
1 − fk −αkj∗
(4.1.7)
Selanjutnya subsitusikan persamaan (4.1.6) ke persamaan (4.1.7) untuk (xN )j∗ dan subsitusikan kedalam partisi βk pada persamaan (4.1.6) diperoleh :
(xB)k = [β] + 1
Jadi (xB)k adalah integer.
Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa variabel non basic mempunyai peranan penting pada kaidah integrasi yang berkaitan dengan variabel basic. Oleh karena itu hasil ini diperlukan untuk mengkonfirmasi bahwa harus variabel integer digunakan untuk proses integrasi.
Teorema 4.1.1 Misalkan masalah MILP pada persamaan (4.1.1) sampai dengan persamaan (4.1.4) mempunyai solusi yang optimal maka beberapa variabel non basic (xN )j dengan j = 1, 2, , . . . , n, menjadi variabel non integer.
16 Universitas Sumatera Utara
Bukti : Penyelesaian persoalan merupakan kelanjutan dari variabel slack misalnya variabel non integer kecuali untuk kendala persamaan, jika diasumsikan vektor variabel basic xB terdiri dari semua variabel slack maka semua variabel integer menjadi vektor non basic xN yang nilainya integer.
4.2 Metode Derivasi
Suatu komponen lain (xB)i=k dari vektor xB menjadi nilai numerik dari skalar (xN )j∗ naik pada ∆j∗, akibatnya jika suatu elemen dari vektor αj∗ yaitu elemen αj∗ untuk i = k adalah positif maka elemen dari xB akan menurun menuju nol. Namun komponen vektor x tidak harus menuju nol karena pembatasan non negatif. Oleh karena itu suatu rumusan disebut uji rasio minimum diperlukan untuk melihat pergerakan maksimum dari variabel non basic (xN )j∗ sedemikian rupa sehingga semua komponen x feasibel.
Uji rasio ini meliputi dua kasus yaitu :
1. Suatu variabel basic (xB)i=k menurun menuju nol atau batas bawah. 2. Variabel basic (xB)k bertambah atu naik menuju suatu integer.
Keterkaitan kasus (1) dan (2) diformulasikan bahwa :
θ1
= min
|i=j|αj∗ >0
βj αj∗
θ2 = ∆j∗
(4.2.1)
Banyaknya vektor non basic (xN )j∗ yang keluar dari batas nol sehingga 17 Universitas Sumatera Utara
vektor x yang tersisa adalah feasibel bergantung kepada uji rasio θ∗ yang difor-
mulasikan dengan :
θ∗ = min(θ1, θ2)
(4.2.2)
Jika θ∗ = θ1 maka salah satu dari variabel basic (xB)i=k akan mencapai batas bawah sebelum (xB)k menjadi integer. Jika θ∗ = θ2 nilai numerik dari variabel basic (xB)k akan menjadi integer.
Dalam kasus variabel non basic tertentu, (xN )j∗ yang berkaitan dengan elemen positif dari vektor αj′ diformulasikan dengan :
∆f ′
=
fk αkj
(4.2.3)
Satu satunya faktor yang diperlukan untuk menentukan elemen dari vektor α
dinyatakan dalam bentuk :
αj = B−1aj
(4.2.4)
dimana j = 1, 2, . . . , n − m.
Untuk memperoleh elemen-elemen dari vektor αj yaitu dengan menjabarkan kolom matriks [B]−1. Andaikan diperlukan nilai dari αkj∗ maka misalkan vkT sebagai vektor kolom ke k dari [B]−1 maka diperoleh :
vkT = ekT B−1
(4.2.5)
Sehingga nilai numerik αkj∗ diperoleh
αkj∗ = vkT aj∗
(4.2.6)
Mengurangi vektor biaya dj digunakan untuk mengukur kemerosotan fungsi tujuan yang disebabkan oleh pelepasan variabel non basic, kemerosotan nilai fungsi
18 Universitas Sumatera Utara
tujuan karena pembebasan variabel non basic (xN )j∗ mengakibatkan variabel ba-
sic (xB)k dapat diukur dengan rasio:
dk αkj∗
Dimana nilai |a| adalah nilai absolut dari a.
(4.2.7)
Untuk memaksimalkan penyelesaian yang optimal digunakan strategi yaitu
strategi yang menentukan variabel non basic yang mungkin naik atau bertambah
dari batas nol yaitu :
min dk , dengan j = 1, 2, . . . , n − m j αkj∗
(4.2.8)
Dari strategi aktif constraint dan partisi pada kendala yang berkaitan de-
ngan variabel-variabel basic (B), super basic (S) dan non basic (N ) maka per-
samaan (4.1.2) matriks A dapat dinyatakan sebagai A = (B S N ), dengan matriks
B adalah matriks bujur sangkar yang tak singular yang elemen-elemennya beru-
pa koefisien variabel basic, matriks N berupa koefisien variabel nonbasic serta S
berupa koefisien variabel super basic. Misalkan x dapat dinyatakan sebagai: xB
x = xN xS
Dimana : xB adalah vektor variabel basic xN adalah vektor variabel non basic xS adalah vector variabel super basic
Maka Ax = B dapat ditulis menjadi :
BSN I
xB xN =
xS
b bN
(4.2.9)
19 Universitas Sumatera Utara
Atau :
BxB + SxS + N xN = b xN = bN
(4.2.10) (4.2.11)
Karena matriks basis B adalah matriks bujursangkar dan non singular artinya bahwa matriks B mempunyai invers yaitu B−1 sehingga persamaan (4.2.10) bila dikalikan dengan B−1 diperoleh :
Dimana :
xB = β − W xS − αxN
(4.2.12)
β = B−1b W = B−1S α = B−1N
(4.2.13) (4.2.14) (4.2.15)
Sehingga fungsi objektif pada persamaan (4.1.1) dapat ditulis menjadi :
Dengan kendala :
P = CBt xB + CNt + CSt
BxB + SxS + N xN = b xN = bN
Dengan mensubsitusikan persaman (4.2.12) formulasi P menjadi :
P = CBt (β − W xS − αxN ) + CNt xN + CSt xS = CBt (β + (CNt − α)xN + (CSt − W )xS 20 Universitas Sumatera Utara
Teorema 4.2.1 Misalkan masalah MINLP mempunyai batasan penyelesaian yang kontinu maka dapat diperoleh non integer yi didalam variabel basic yang optimum.
Bukti : a. Jika variabelnya merupakan variabel non basic maka variabel non basic adalah terbatas dan mempunyai nilai integer.
b. Jika yi adalah super basic, ini memungkinkan untuk menjadikan yi menjadi menjadi basic dan termasuk dalam non basic yang terbatas dan menggantinya atau memasukkan kedalam super basic.
Jika uji rasio yang dinyatakan dalam persamaan (4.1.2) tidak dapat digunakan sebagai alat untuk menjamin solusi integer optimal di wilayah yang feasibel maka digunakan uji kelayakan Minos untuk memeriksa apakah solusi integer adalah layak atau tidak layak.
4.3 Pivoting
Misalkan posisi variabel (xB)k dimasukkan (integerized ) dan variabel non basic (cN )j∗ dilepaskan dari batasan dari nol, pandang pergerakan maksimum dari (xN )j∗ memenuhi :
θ∗ = ∆j∗ Sehingga nilai (xB)k adalah integer mengekploitasi cara mengubah basis di dalam Minos dengan pergerakan (xN )j∗ ke dalam B yaitu menggantikan (xB)k dan nilai integer (xB)k kedalam S untuk mempertahankan solusi integer. Karena masih ada variabel basic pada batasnya mengakibatkan suatu kemerosotan solusi maka pro-
21 Universitas Sumatera Utara
ses integrezing berlanjut dengan suatu himpunan baru yaitu [B, S] dan berakhir ketika semua variabel integer menjadi super basic.
Teorema 4.3.1 Suatu solusi sub optimal ada di MILP dan MINLP dimana semua variabel integernya adalah super basic.
Bukti : 1. Jika semua variabel integer ada di N maka variabel integernya terbatas. 2. Jika suatu variabel interger adalah basic kemunkinannya adalah: a. Pertukaran variabel integer dengan super basic adalah kontinu. b. Membuat dan membawa variabel superbasic kedalam batas non basic untuk menggantinya ke dalam basis yang mengakibatkan solusi merosot. Hal yang dapat terjadi yaitu suatu variabel basic (xB)i=k yang berbeda
dapat mencapai batas sebelum (xB)k menjadi integer. Jika θ∗ = ∆1 berarti pergerakan variabel basic (xB)i ke dalam N dan po-
sisinya di vektor variabel basic digantikan oleh non basic (xN )j∗. Berarti (xB)k masih menjadi variabel non-interger basic dengan nilai baru.
22 Universitas Sumatera Utara
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Persoalan lokasi fasilitas berkapasitas adalah persoalan menentukan suatu lokasi yang feasibel, yang juga merupakan persoalan program linier integer campuran. Dengan memilih tepat suatu lokasi pada himpunan lokasi yang feasibel dengan kapasitas yang memadai dan memilih aliran yang tepat dari lokasi ke pelanggan dapat meminimalkan biaya. Jika jumlah atau total dari semua fasilitas yang dibuka dapat melayani total semua permintaan dari pelanggan maka solusi dari persoalan lokasi fasilitas berkapasitas dikatakan merupakan solusi layak. 5.2 Saran Untuk menyelesaikan persoalan lokasi fasilitas berkapasitas disarankan dengan menggunakan komputasi.
23 Universitas Sumatera Utara
DAFTAR PUSTAKA
Aardal,K. 1998. Capacitatede Facility Location: Separation Algorithm and computational experience. Matematical Programming, 81, 149-175
Aardal, K., Pochet, Y., and Woshley, L.A.1995. Capacitated Facility Location: Valid inequalities dan facets. Mathematics of Operations Research, 20, 552582.
Abrams, Zoe., Konemann, Jochen., Meyerson, Adam., and Mungala, Kamesh., Facility Location with Interference. Stanford University.
Barahona, F. and Chudak, F. (2001). Near-optimal solutions to large scale facility location problems, Technical Report, www.ifor.math.ethz.ch/ staff/chudak
Beasley, J. E. (1988). An algorithm for solving large capacitated warehouse location problems. European Journal of Operational Research, 33, 314-325.
Boffey, T. B. (1989). Location problems arising in computer networks. The Journal of the Operational Research Society, 40(4), 347-354.
Christofides, N. and Beasley, J. E. (1983). Extensions to a Lagrangean relaxation approach for the capacitated warehouse location problem. European Journal of Operational Research, 12, 19-28.
Cornuejols, G., Sridharan, R. and Thizy, J. M. (1991).”A comparison of heuristics and relaxations for the capacitated plant location problem,” European Journal of Operational Research, 50, 280-297
Chudak, F. 1998. Improved approximation algorithms for the uncapacitated facility location. In Proceedings of the 6th IPCO Confrence, 180-194
Chudak, F., Williamson, D.P. 1999. Improved approximation algorithms for capacitated facility location problems. In proceeding of the 7th IPCO Confrence, 99-113
Charikar, Moses., Guha, Sudipto. 2004. Improved Combinatorial Algorithm for.Facility Location Problems. Stanford University.
Domschke, W. and Drexl, A. (1985). ADD-heuristics’ starting procedures for capacitated plant location models. European Journal of OperationalResearch, 21, 47-53.
Feldman, E., Lehrer, F. A. and Ray, T. L. (1966). ”Warehouse location under continuous economies of scale,” Management Science, 12, 670-684
Geoffrion, A. M. and McBride, R. (1978). ”Lagrangian relaxation applied to capacitated facility location problems,” AIIE Transactions, 10, 40-47.
Jacobsen, S. K. (1983). ”Heuristics for the capacitated plant location model,” European Journal of Operational Research, 12, 253-261
Kochmann, G. A. and McCallum, C. J. (1981). Facility location models for planning a transatlantic communications network. European Journal of Operational Research, 6, 205-211.
24 Universitas Sumatera Utara
Klose, A. and Drexl, A. (2002b). A partitioning and column generation approach for the capacitated facility location problem. Technical report, University of St. Gallen.
Korupolu, M. R., Plaxton, C. G., and Rajaraman, R. (1998). Analysis of a local search heuristic for facility location problems. Technical Report 98-30, DIMACS, Rutgers University
Kuehn, A. A. and Hamburger, M. J. (1963). A heuristic program for locating warehouses. Management Science, 9, 643-666
Levi, Retsef., Shmoys, D.B., Swamy, Chaitanya., LP-based Approximation Algorithms for Capacitated Fscility Location.
Leung, J. M. Y. and Magnanti, T. L. (1989). ”Valid inequalities and facets of the capacitated plant location problem,” Mathematical Programming, 44, 271291.
Lorena, L. A. N. and Senne, E. L. F. (1999). ”Improving traditional subgradient scheme for Lagrangean relaxation: an application to location problems,” International Journal of Mathematical Algorithms, 1, 133-151.
Mirzaian, A. (1985). Lagrangian relaxation for the star-star concentrator location problem: Approximation algorithm and bounds. Networks, 15, 1-20.
Nauss, R. M. (1978). ”An improved algorithm for the capacitated facility location problem,” Journal of the Operational Research Society, 29, 1195-1201.
Sun, M.(2008). A Tabu Search Heuristic Procedure for the Capacitated Facility Location Problem. Working Paper Series. 061, The University of Texas at San Antonio, College of Business.
Sun, M.(2005) ”A Tabu search heuristic procedure for the uncapacitated location problem,” in C. Rego and B. Alidaee (eds), Metaheuristic Optimization via Memory and Evolution; Tabu Search and Scatter Search, Kluwer Academic Publishers, Boston, MA, 191-211.
25 Universitas Sumatera Utara