Model Pengendalian Epidemi dengan Vaksinasi dan Pengobatan
VOLUME 2/NO.1/2014
ISN : 2337-392X
PROSIDING
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA,
STATISTIKA, PENDIDIKAN MATEMATIKA,
DAN KOMPUTASI
Peranan Matematika dan Statistika dalam
Menyikapi Perubahan Iklim
http://seminar.mipa.uns.ac.id
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sebelas Maret Surakarta
Jl. Ir. Sutami 36 A Solo - Jawa Tengah
ISSN: 2337-392X
Tim Prosiding
Editor
Purnami Widyaningsih, Respatiwulan, Sri Kuntari,
Nughthoh Arfawi Kurdhi, Putranto Hadi Utomo, dan Bowo Winarno
Tim Teknis
Hamdani Citra Pradana, Ibnu Paxibrata, Ahmad Dimyathi,
Eka Ferawati, Meta Ilafiani, Dwi Ardian Syah,
dan Yosef Ronaldo Lete B.
Layout & Cover
Ahmad Dimyathi
ii
ISSN: 2337-392X
Tim Reviewer
Drs. H. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc., Ph.D.
Dr. Sri Subanti, M.Si.
Dr. Dewi Retno Sari Saputro, MKom.
Drs. Muslich, M.Si.
Dra. Mania Roswitha, M.Si.
Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc.
Drs. Pangadi, M.Si.
Drs. Sutrima, M.Si.
Drs. Sugiyanto, M.Si.
Dra Etik Zukhronah, M.Si.
Dra Respatiwulan, M.Si.
Dra. Sri Sulistijowati H., M.Si.
Irwan Susanto, DEA
Winita Wulandari, M.Si.
Sri Kuntari, M.Si.
Titin Sri Martini, M.Kom.
Ira Kurniawati, M.Pd.
iii
ISSN: 2337-392X
Steering Committee
Prof. Drs.Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc., Ph.D.
Prof. Dr. Budi Murtiyasa, M.Kom.
Prof. Dr. Dedi Rosadi, M.Sc.
Prof. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.
Prof. Dr. Budi Nurani, M.S.
Dr. Titin Siswantining, DEA
Dr. Mardiyana, M.Si.
Dr. Sutikno, M.Si.
iv
ISSN: 2337-392X
KATA PENGANTAR
Puji syukur dipanjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa sehingga
prosiding seminar nasional Statistika, Pendidikan Matematika dan
Komputasi ini dapat diselesaikan.
Prosiding ini bertujuan mendokumentasikan dan mengkomunikasikan hasil presentasi paper pada seminar nasional dan terdiri atas 95
paper dari para pemakalah yang berasal dari 30 perguruan
tinggi/politeknik dan institusi terkait. Paper tersebut telah dipresentasikan
di seminar nasional pada tanggal 18 Oktober 2014. Paper didistribusikan
dalam 7 kategori yang meliputi kategori Aljabar 14%, Analisis 9%,
Kombinatorik 8%, Matematika Terapan 14%, Komputasi 7%, Statistika
Terapan 27%, dan Pendidikan Matematika 19%.
Terima kasih disampaikan kepada pemakalah yang telah
berpartisipasi pada desiminasi hasil kajian/penelitian yang dimuat pada
prosiding ini. Terimakasih juga disampaikan kepada tim reviewer, tim
prosiding, dan steering committee.
Semoga prosiding ini bermanfaat.
Surakarta, 28 Oktober 2014
v
ISSN: 2337-392X
DAFTAR ISI
Halaman
Halaman Judul …………………………………………………..………..
i
Tim Prosiding …………………………………………………..………….
ii
Tim Reviewer …………………………………………………..………….
iii
Steering Committee …………………………………………………..……
iv
Kata Pengantar ……………………………………….................................
v
Daftar Isi …………………………………………………..……………….
vi
BIDANG ALJABAR
Bentuk-Bentuk Ideal pada Semiring (Dnxn(Z+), +, )
1 Dian Winda Setyawati ……………………………………………………..
1
Penentuan Lintasan Kapasitas Interval Maksimum dengan Pendekatan
2 Aljabar Max-Min Interval
M. Andy Rudhito dan D. Arif Budi Prasetyo ...…………………………….
8
3 Karakterisasi Aljabar Pada Graf Bipartit
Soleha, Dian W. Setyawati …………………………………………..……….
Semigrup Bentuk Bilinear Terurut Parsial Reguler Lengkap dalam Batasan
4 Quasi-Ideal Fuzzy
Karyati, Dhoriva Urwatul Wutsqa …………………………………...
5
Syarat Perlu dan Cukup Ring Lokal Komutatif Agar Ring Matriksnya
Bersih Kuat (-Regular Kuat)
Anas Yoga Nugroho, Budi Surodjo ………………………………………..
6 Sifat-sifat Modul Komultiplikasi Bertingkat
Putri Widi Susanti, Indah Emilia Wijayanti ………………………………..
Ideal dari Ring Polinomial F2n[x] mod(xn-1) untuk Kontrol Kesalahan
7 dalam Aplikasi Komputer
Komar Baihaqi dan Iis Herisman ………………………………….………
18
26
34
42
49
9 Submodul Hampir Prima
Dyana Patty, Sri Wahyuni ….………….………………….……………….
55
Subgrup Normal suatu Grup Perkalian dari Ring Pembagian yang Radikal
atas Subring Pembagian Sejati
Juli Loisiana Butarbutar dan Budi Surodjo ………………………………..
64
Sifat dan Karakterisasi Submodul Prima Lemah S(N)
Rosi Widia Asiani, Sri Wahyuni …………………………………………..
73
Modul Distributif dan Multiplikasi
Lina Dwi Khusnawati, Indah Emilia Wijayanti ……………………………
83
vi
ISSN: 2337-392X
Penjadwalan Keberangkatan Kereta Api di Jawa Timur dengan
Menggunakan Model Petrinet dan Aljabar Max-plus
Ahmad Afif, Subiono ………………………………………………………
\
92
Optimalisasi Norm Daerah Hasil dari Himpunan Bayangan Matriks Aljabar
Maks-Plus dengan Sebagian Elemen Ditentukan
Antin Utami Dewi, Siswanto, dan Respatiwulan …………………………… 107
Himpunan Bayangan Bilangan Bulat Matriks Dua Kolom dalam Aljabar
Maks-Plus
Nafi Nur Khasana, Siswanto, dan Purnami Widyaningsih .………………
112
BIDANG ANALISIS
Ruang 2-Norma Selisih
Sadjidon, Mahmud Yunus, dan Sunarsini …….………………………..
120
Teorema Titik Tetap Pemetaan Kontraktif pada Ruang C[a,b]-Metrik (ℓp ,
dC[a,b])
Sunarsini, Sadjidon, Mahmud Yunus ……………..………………………..
124
Generalisasi Ruang Barisan Yang Dibangkitkan Oleh Fungsi Orlicz
Nur Khusnussa’adah dan Supaman ………………..……………………..
132
Gerakan Kurva Parameterisasi Pada Ruang Euclidean
Iis Herisman dan Komar Baihaqi …….…………………………………..
141
Penggunaan Metode Transformasi Diferensial Fraksional dalam
Penyelesaian Masalah Sturm-Liouville Fraksional untuk Persamaan Bessel
Fraksional
Marifatun, Sutrima, dan Isnandar Slamet……….………………………..
148
Konsep Topologi Pada Ruang C[a,b]
Muslich ……….…………………………………………………………….. 155
Kekompakan Terkait Koleksi Terindeks Kontinu dan Ruang Topologis
Produk
Hadrian Andradi, Atok Zulijanto
……….…………………………………………………..
162
A Problem On Measures In Infinite Dimensional Spaces
Herry Pribawanto Suryawan ..……………………………………………..
171
Masalah Syarat Batas Sturm-Liouville Singular Fraksional untuk
Persamaan Bessel
Nisa Karunia, Sutrima, Sri Sulistijowati H ………………………………
179
BIDANG KOMBINATORIK
Pelabelan Selimut (a,d)-H-Anti Ajaib Super pada Graf Buku
Frety Kurnita Sari, Mania Roswitha, dan Putranto Hadi Utomo ………….
vii
187
ISSN: 2337-392X
Digraf Eksentrik Dari Graf Hasil Korona Graf Path Dengan Graf Path
Putranto Hadi Utomo, Sri Kuntari, Tri Atmojo Kusmayadi ………………
193
Super (a, d)-H-Antimagic Covering On Union Of Stars Graph
Dwi Suraningsih, Mania Roswitha, Sri Kuntari ……………………………
198
Dimensi Metrik pada Graf Umbrella
Hamdani Citra Pradana dan Tri Atmojo Kusmayadi ……………………… 202
Dimensi Metrik pada Graf Closed Helm
Deddy Rahmadi dan Tri Atmojo Kusmayadi . ……………………………..
210
Pelabelan Selimut (a,b)-Cs+2-Anti Ajaib Super pada Graf Generalized
Jahangir
Anna Amandha, Mania Roswitha, dan Bowo Winarno …………………
215
Super (a,d)-H-Antimagic Total Labeling On Sun Graph
Marwah Wulan Mulia, Mania Roswitha, and Putranto Hadi Utomo
……
223
Maksimum dan Minimum Pelabelan pada Graf Flower
Tri Endah Puspitosari, Mania Roswitha, Sri Kuntari …………...………..
231
BIDANG MATEMATIKA TERAPAN
2
Penghitungan Volume Konstruksi dengan Potongan Melintang
Mutia Lina Dewi …………………………………………………………...
238
4
Pola Pengubinan Parabolis
Theresia Veni Dwi Lestari dan Yuliana Pebri Heriawati ………………….. 247
5
Analisis Kestabilan Model Mangsa Pemangsa Hutchinson dengan Waktu
Tunda dan Pemanenan Konstan
Ali Kusnanto, Lilis Saodah, Jaharuddin …………………………………..
6
257
Susceptible Infected Zombie Removed (SIZR) Model with Quarantine and
Antivirus
Lilik Prasetiyo Pratama, Purnami Widyaningsih, and Sutanto ……………. 264
Model Endemik Susceptible Exposed Infected Recovered Susceptible
7 (SEIRS) pada Penyakit Influenza
Edwin Kristianto dan Purnami Widyaningsih ……………………………...
272
Churn Phenomenon Pengguna Kartu Seluler dengan Model Predator-Prey
Rizza Muamar As-Shidiq, Sutanto, dan Purnami Widyaningsih …………
279
Pemodelan Permainan Flow Colors dengan Integer Programming
Irfan Chahyadi, Amril Aman, dan Farida Hanum ………………………..
283
Optimasi Dividen Perusahaan Asuransi dengan Besarnya Klaim
Berdistribusi Eksponensial
Ali Shodiqin, Supandi, Ahmad Nashir T …………………………………..
292
9
viii
ISSN: 2337-392X
Permasalahan Kontrol Optimal Dalam Pemodelan Penyebaran Penyakit
Rubono Setiawan …………………………………………………………..
300
Model Pengoptimuman Dispatching Bus pada Transportasi Perkotaan:
Studi Kasus pada Beberapa Koridor Trans Jakarta
Farida Hanum, Amril Aman, Toni Bakhtiar, Irfan Chahyadi ……………..
306
Model Pengendalian Epidemi dengan Vaksinasi dan Pengobatan
Toni Bachtiar dan Farida Hanum ………………………………………..
315
How Realistic The Well-Known Lotka-Volterra Predator-Prey Equations
Are
Sudi Mungkasi ……………………………………………………………..
323
Aplikasi Kekongruenan Modulo pada Algoritma Freund dalam
Penjadwalan Turnamen Round Robin
Esthi Putri Hapsari, Ira Kurniawati ……………………………………..
334
BIDANG KOMPUTASI
Aplikasi Algoritma Enkripsi Citra Digital Berbasis Chaos Menggunakan
Three Logistic Map
Suryadi MT, Dhian Widya …………………………………………………
344
Implementasi Jaringan Syaraf Tiruan Untuk Mengklasifikasi Kualitas Citra
Ikan
Muhammad Jumnahdi ………………………………………………….….
352
Sistem Pengkonversi Dokumen eKTP/SIM Menjadi Suatu Tabel
Nurul Hidayat, Ikhwan Muhammad Iqbal, dan Muhammad Mushonnif
Junaidi ……………………………………………………………………...
360
Kriptografi Kurva Eliptik Elgamal Untuk Proses Enkripsi-Dekripsi Citra
Digital Berwarna
Daryono Budi Utomo, Dian Winda Setyawati dan Gestihayu Romadhoni F.R
373
Penerapan Assosiation Rule dengan Algoritma Apriori untuk Mengetahui
Pola Hubungan Tingkat Pendidikan Orang Tua terhadap Indeks Prestasi
Kumulatif Mahasiswa
Kuswari Hernawati ………………………………………………………... 384
Perancangan Sistem Pakar Fuzzy Untuk Pengenalan Dini Potensi
Terserang Stroke
Alvida Mustika R., M Isa Irawan dan Harmuda Pandiangan ……………..
394
Miniatur Sistem Portal Semiotomatis Berbasis Sidik Jari pada Area
Perpakiran
Nurul Hidayat, Ikhwan Muhammad Iqbal, dan Devy Indria Safitri ……….
405
ix
ISSN: 2337-392X
BIDANG STATISTIKA
1
Uji Van Der Waerden Sebagai Alternatif Analisis Ragam Satu Arah
Tanti Nawangsari…………………………………………………………..
2
Analisis Faktor-Faktor Yang Mempengaruhi Keberhasilan Mahasiswa
Politeknik (Studi Kasus Mahasiswa Polban)
Euis Sartika……………………………………………………………...….. 425
3
Distribusi Prior Dirichlet yang Diperumum sebagai Prior Sekawan dalam
Analisis Bayesian
Feri Handayani, Dewi Retno Sari Saputro …………...……………………
5
Pemodelan Curah Hujan Dengan Metode Robust Kriging Di Kabupaten
Sukoharjo
Citra Panindah Sari, Dewi Retno Sari S, dan Muslich ……………………
6
7
417
439
444
Premi Tunggal Bersih Asuransi Jiwa Endowment Unit Link Dengan
Metode Annual Ratchet
Ari Cahyani, Sri Subanti, Yuliana Susanti………………………….………. 453
Uji Siegel-Tukey untuk Pengujian Efektifitas Obat Depresan pada Dua
Sampel Independen
David Pratama dan Getut Pramesti ……………………..…………………
462
8
Aplikasi Almost Stochastic Dominance dalam Evaluasi Hasil Produksi Padi
di Indonesia
Kurnia Hari Kusuma, Isnandar Slamet, dan Sri Kuntari ………………….. 470
9
Pendeteksian Krisis Keuangan Di Indonesia Berdasarkan Indikator Nilai
Tukar Riil
Dewi Retnosari, Sugiyanto, Tri Atmojo …………………………………....
Pendekatan Cross-Validation untuk Pendugaan Data Tidak Lengkap pada
Pemodelan AMMI Hasil Penelitian Kuantitatif
Gusti Ngurah Adhi Wibawa dan Agusrawati…………………………………
11
12
13
15
475
483
Aplikasi Regresi Nonparametrik Menggunakan Estimator Triangle pada
Data Meteo Vertical dan Ozon Vertikal, Tanggal 30 Januari 2013
Nanang Widodo, Tony Subiakto, Dian Yudha R, Lalu Husnan W ……….
493
Pemodelan Indeks Harga Saham Gabungan dan Penentuan Rank
Correlation dengan Menggunakan Copula
Ika Syattwa Bramantya, Retno Budiarti, dan I Gusti Putu Purnaba ……..
502
Identifikasi Perubahan Iklim di Sentra Produksi Padi Jawa Timur dengan
Pendekatan Extreme Value Theory
Sutikno dan Yustika Desi Wulan Sari ……………………………………..
513
Analisis Data Radiasi Surya dengan Pendekatan Regresi Nonparametrik
Menggunakan Estimator Kernel Cosinus
Nanang Widodo, Noer Abdillah S.N.S.N, Dian Yudha Risdianto …………
523
x
ISSN: 2337-392X
16
17
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Pengujian Hipotesis pada Regresi Poisson Multivariate dengan Kovariansi
Merupakan Fungsi dari Variabel Bebas
Triyanto, Purhadi, Bambang Widjanarko Otok, dan Santi Wulan Purnami
Perbandingan Metode Ordinary Least Squares (OLS), Seemingly
Unrelated Regression (SUR) dan Bayesian SUR pada Pemodelan PDRB
Sektor Utama di Jawa Timur
Santosa, AB, Iriawan, N, Setiawan, Dohki, M ……………………………
533
544
Studi Model Antrian M/G/1: Pendekatan Baru
Isnandar Slamet ……………………………………………………………
557
Pengaruh Pertumbuhan Ekonomi dan Konsumsi Energi Terhadap Emisi
CO2 di Indonesia: Pendekatan Model Vector Autoregressive (VAR)
Fitri Kartiasih ……………………………………………………...……….
567
Estimasi Parameter Model Epidemi Susceptible Infected Susceptible (SIS)
dengan Proses Kelahiran dan Kematian
Pratiwi Rahayu Ningtyas, Respatiwulan, dan Siswanto .………….………
578
Pendeteksian Krisis Keuangan di Indonesia Berdasarkan Indikator Harga
Saham
Tri Marlina, Sugiyanto, dan Santosa Budi Wiyono ……………………….
584
Pemilihan Model Terbaik untuk Meramalkan Kejadian Banjir di
Kecamatan Rancaekek, Kabupaten Bandung
Gumgum Darmawan, Restu Arisanti, Triyani Hendrawati, Ade Supriatna
592
Model Markov Switching Autoregressive (MSAR) dan Aplikasinya pada
Nilai Tukar Rupiah terhadap Yen
Desy Kurniasari, Sugiyanto, dan Sutanto ……………………………….
602
Pendeteksian Krisis Keuangan di Indonesia Berdasarkan Indikator
Pertumbuhan Kredit Domestik
Pitaningsih, Sugiyanto, dan Purnami Widyaningsih ………………………
608
Pemilihan Model Terbaik untuk Meramalkan Kejadian Banjir di Bandung
dan Sekitarnya
Gumgum Darmawan, Triyani Hendrawati, Restu Arisanti ………………
615
Model Probit Spasial
Yuanita Kusuma Wardani, Dewi Retno Sari Saputro ……………………… 623
Peramalan Jumlah Pengunjung Pariwisata di Kabupaten Boyolali dengan
Perbandingan Metode Terbaik
Indiawati Ayik Imaya, Sri Subanti …………………………………..……...
628
Pemodelan Banyaknya Penderita Demam Berdarah Dengue (DBD) dengan
Regresi Kriging di Kabupaten Sukoharjo
Sylviana Yusriati, Dewi Retno Sari Saputro, Sri Kuntari ………………….
638
xi
ISSN: 2337-392X
Ekspektasi Durasi Model Epidemi Susceptible Infected (SI)
Sri Kuntari, Respatiwulan, Intan Permatasari …………………………….
646
BIDANG PENDIDIKAN
3
Konsep Pembelajaran Integratif dengan Matematika Sebagai Bahasa
Komunikasi dalam Menyongsong Kurikulum 2013
Surya Rosa Putra, Darmaji, Soleha, Suhud Wahyudi, …………………….
653
4
Penerapan Pendidikan Lingkungan Hidup Berbasis Pendidikan Karakter
dalam Pembelajaran Matematika
Urip Tisngati ………………………………………………………………. 664
5
Studi Respon Siswa dalam Menyelesaikan Masalah Matematika
Berdasarkan Taksonomi SOLO (Structure of Observed Learned Outcome)
Herlin Widia, Urip Tisngati, Hari Purnomo Susanto ……………………..
7
8
10
11
13
14
677
Desain Model Discovery Learning pada Mata Kuliah Persamaan
Diferensial
Rita Pramujiyanti Khotimah, Masduki ……………………………………..
684
Efektivitas Pembelajaran Berbasis Media Tutorial Interaktif Materi
Geometri
Joko Purnomo, Agung Handayanto, Rina Dwi Setyawati …………………
693
Pengembangan Modul Pembelajaran Matematika Menggunakan
Pendekatan Problem Based Learning (PBL) Pada Materi Peluang Kelas
VII SMP
Putri Nurika Anggraini, Imam Sujadi, Yemi Kuswardi ……………………
703
Pengembangan Bahan Ajar Dalam Pembelajaran Geometri Analitik Untuk
Meningkatkan Kemandirian Mahasiswa
Sugiyono\, Himmawati Puji Lestari …………………..…………………… 711
Pengembangan Strategi Pembelajaran Info Search Berbasis PMR untuk
Meningkatkan Pemahaman Mata Kuliah Statistika Dasar 2
Joko Sungkono, Yuliana, M. Wahid Syaifuddin …………………………… 724
Analisis Miskonsepsi Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika
Pada Mata Kuliah Kalkulus I
Sintha Sih Dewanti …………………………………..………………..……. 731
Kemampuan Berpikir Logis Mahasiswa yang Bergaya Kognitif Reflektif
vs Impulsif
Warli ……………………………………………………………………….
742
Model Pembelajaran Berbasis Mobile
Yayu Laila Sulastri, Luki Luqmanul Hakim ………………………………
753
xii
ISSN: 2337-392X
Profil Gaya Belajar Myers-Briggs Tipe Sensing-Intuition dan Strateginya
Dalam Pemecahan Masalah Matematika
Rini Dwi Astuti, Urip Tisngati, Hari Purnomo Susanto ………………….. 760
Penggunaan Permainan Matematika Berbasis Lingkungan Hidup untuk
Menningkatkan Minat dan Keterampilan Matematis Peserta Didik
Rita Yuliastuti ……………………………………………………………..
772
Tingkat Pemahaman Peserta PLPG Matematika Rayon 138 Yogyakarta
Tahun 2014 Terhadap Pendekatan Saintifik Pada Kurikulum 2013
Berdasarkan Kuesioner Awal dan Akhir Pelatihan
Beni Utomo, V. Fitri Rianasari dan M. Andy Rudhito …………………..
784
Pengembangan Perangkat Pembelajaran Matematika Melalui Pendekatan
RME dengan CD Interaktif Berbasis Pendidikan Karakter Materi Soal
Cerita Kelas III
Sri Surtini, Ismartoyo, dan Sri Kadarwati ……………………………….
791
E-Learning Readiness Score Sebagai Pedoman Implementasi E-Learning
Nur Hadi Waryanto ………………………………………………………..
805
Pengembangan Lembar Kerja Siswa (LKS) Matematika Realistik di SMP
Berbasis Online Interaktif
Riawan Yudi Purwoko, Endro Purnomo …………………………………..
817
IbM APE Matematika Bagi TK Pinggiran Di Kota Malang
Kristina Widjajanti, Mutia Lina Dewi …………………………………….
826
xiii
MODEL PENGENDALIAN EPIDEMI DENGAN VAKSINASI DAN
PENGOBATAN
Toni Bakhtiar dan Farida Hanum
Departemen Matematika, Institut Pertanian Bogor
Abstrak. Tulisan ini membahas strategi pengendalian epidemi melalui vaksinasi dan pengobatan. Model umum epidemi dinyatakan dalam model kompartemental SIR. Vaksinasi dan pengobatan diterapkan secara sendiri-sendiri maupun secara simultan dengan fungsional objektif
meminimumkan jumlah individu terinfeksi sekaligus meminimumkan biaya pengendalian. Prinsip maksimum Pontryagin diterapkan untuk menurunkan sistem persamaan diferensial sebagai
kondisi yang harus dipenuhi variabel kontrol optimum. Metode Runge-Kutta orde-4 kemudian
digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial tersebut. Sebuah contoh ilustratif
dikemukakan untuk melihat pengaruh efektivitas kontrol terhadap tingkat infeksi.
Kata kunci: model kontrol optimum, prinsip maksimum Pontryagin, model epidemi SIR, metode Runge-Kutta.
1. Model SIR
Dalam pemodelan matematik penyebaran penyakit menular, seperti halnya di hampir
semua masalah pemodelan secara umumu, selalu dijumpai adanya trade-off antara model
sederhana yang mengabaikan banyak detil dan dibangun untuk menjelaskan interksi kualitatif secara umum, dan model kompleks yang detil dan disusun untuk menggambarkan
situasi yang khusus. Model kompleks umumnya sangat sulit atau bahkan tidak mungkin
diselesaikan secara analitik sehingga kontribusi secara teori sangat terbatas. Namun demikian di situasi yang sangat khusus, penggunaan model sederhana tidak cukup menjelaskan
sehingga penghitungan numerik menjadi pendekatan yang diharapkan.
Model SIR merupakan model sederhana berbentuk sistem persamaan diferensial biasa yang menggambarkan dinamika keadaan individu dalam populasi. Variabel dalam
sistem dinyatakan dalam bentuk kompartemen sesuai dengan nama model, yaitu kompartemen individu rentan (susceptible) dan dilambangkan dengan S, kompartemen individu
terinfeksi (infected ) dan dilambangkan dengan I, serta kompartemen individu sembuh (removed ) dan dilambangkan dengan R. Model matematik yang menyertainya menjelaskan
pergerakan masuk dan keluar antarkompartemen. Pergerakan tersebut meliputi kelahiran,
kematian, penyebaran penyakit, dan penyembuhan. Transisi antarkompartemen terjadi
menurut laju (turunan terhadap waktu), yang dalam kasus paling sederhana diasumsikan
konstan, seperti laju kelahiran, laju kematian, dan laju penyembuhan.
Pemodelan SIR di bidang epidemiologi pertama kali dilakukan oleh Kermack dan McKendrick [9]. Setelah itu, karena kesederhanaannya, model SIR mengalami perkembangan
yang pesat dalam hal penerapannya di berbagai kasus penyebaran penyakit menular seperti kolera [20], influenza H1N1 [3, 6, 7], campak [14], leptospirosis [16], AIDS [17], rabies
[4], cacar [12], dan penyakit menular yang disebabkan oleh vektor [15]. Berbagai varian
perkembangan model SIR diajukan untuk membuatnya lebih realistis dan mampu menggambarkan situasi yang lebih khusus, seperti model diskret [3], model dengan waktu tunda
315
Model Pengendalian Epidemi. . .
[7, 16] dan time scales [14], model dengan sumber daya terbatas [8], model dengan saturasi
[10, 11], serta model dengan tambahan kompartemen [4].
Tujuan dari tulisan ini ialah menganalisis efektivitas vaksinasi dan pengobatan dalam
mengendalikan epidemi. Model umum SIR digunakan untuk menggambarkan interaksi antarkompartemen pada populasi yang terkena epidemi. Pada bab selanjutnya akan
diketengahkan model SIR tanpa kontrol serta model SIR dengan satu dan dua kontrol.
2. Model tanpa Kontrol
Untuk memodelkan epidemi, populasi dibagi menjadi tiga kompartemen, yaitu S, I,
dan R. Banyaknya individu dalam populasi pada saat t yang rentan dan belum terkena
penyakit, terinfeksi dan dapat menyebarkan penyakit ke individu rentan melalui kontak,
dan sembuh tanpa kemungkinan terinfeksi lagi, berturut-turut dilambangkan dengan S(t),
I(t), dan R(t). Dinamika interaksi antarkompartemen mengikuti sistem persamaan diferensial berikut:
SI
dS
= Λ − µS − β ,
(2.1)
dt
N
SI
dI
= β
− (µ + d + r)I,
(2.2)
dt
N
dR
= rI − µR,
(2.3)
dt
dengan nilai-nilai awal S(0) = S0 > 0, I(0) = I0 > 0, dan R(0) = R0 > 0. Pada model di
atas, Λ adalah laju kelahiran yang menunjukkan besarnya penambahan individu rentan
baru ke dalam populasi, µ adalah laju kematian alami, d merupakan laju kematian karena adanya penyakit (disease induced mortality rate), r adalah laju penyembuhan sendiri
menuju kekebalan (self recovery rate), β merupakan laju kontak efektif yang merupakan
komposit dari laju kontak dan besarnya peluang terjadinya penularan akibat kontak, dan
N merupakan populasi total, yaitu N (t) = S(t) + I(t) + R(t).
Model (2.1)–(2.3) memiliki dua titik kesetimbangan, yaitu titik tetap bebas penyakit
∗ ∗
∗
T1 ( Λ
µ , 0, 0 dan titik tetap epidemik T2 (S , I , R ), dengan
(µ + d + r)N
,
(2.4)
β
Λβ − (µ + d + r)N µ
I∗ =
,
(2.5)
β(µ + d + r)
rΛβ − (µ + d + r)N rµ
.
(2.6)
R∗ =
βµ(µ + d + r)
Jika diasumsikan Λ = µN maka keberadaan T2 di kuadran pertama dijamin asalkan
β > µ + d + r. Dengan menggunakan metode next generation matrix [5] dapat diperoleh
bilangan reproduksi dasar R0 sebagai berikut:
β
R0 =
.
(2.7)
µ+d+r
Titik tetap bebas penyakit bersifat stabil jika R0 < 0 dan bersifat takstabil jika R0 > 0.
S∗ =
3. Model dengan Kontrol
Teori kontrol optimum [19] merupakan metode yang dapat digunakan untuk menentukan nilai ekstremum suatu fungsional objektif yang melibatkan variabel dinamik. Proses
memaksimumkan atau meminimumkan dilakukan dengan menyesuaikan peubah kontrol
sehingga nilai maksimum atau minimum tercapai. Peubah kontrol yang menghasilkan
Seminar Nasional Matematika 2014
316
Prosiding
Model Pengendalian Epidemi. . .
Gambar 1. Model SIR dengan dua peubah kontrol.
nilai ekstremum disebut sebagai kontrol optimum. Peubah kontrol biasanya merupakan fungsi dari waktu dan dapat digunakan dalam berbagai situasi permodelan. Dalam
tulisan ini, dua peubah kontrol akan digunakan, yaitu vaksinasi dan pengobatan, yang
secara berturut-turut dilambangkan dengan u1 dan u2 . Dalam hal ini, u1 (t) dan u2 (t)
dapat dipandang sebagai besarnya dosis vaksinasi dan pengobatan yang digunakan dan
diasumsikan terbatas. Vaksinasi diterapkan kepada individu rentan sedangkan pengobatan
ditujukan kepada individu terinfeksi seperti pada Gambar 1.
Model epidemi dengan pengendalian seperti pada Gambar 1 dituliskan sebagai berikut:
dS
dt
dI
dt
dR
dt
= Λ − µS − β
= β
SI
− u1 S,
N
SI
− (µ + d + r)I − u2 I,
N
= rI − µR + u1 S + u2 I,
(3.1)
(3.2)
(3.3)
dengan a1 ≤ u1 ≤ b1 dan a2 ≤ u2 ≤ b2 untuk bilangan-bilangan real taknegatif a1 , b1 , a2 ,
dan b2 . Kontrol-kontrol optimum u∗1 dan u∗2 dicari sedemikian sehingga meminimumkan
fungsional objektif berikut:
J :=
∫
T
(I(t) + 12 A1 u21 (t) + 12 A2 u22 (t)) dt.
(3.4)
0
Dari (3.4) dapat dilihat bahwa tujuan pengendalian epidemi ialah meminimumkan banyaknya individu yang terinfeksi penyakit sekaligus meminimumkan biaya pengendalian
sampai periode T , dengan A1 dan A2 dapat dipandang sebagai bobot yang menunjukkan
tingkat kepentingan relatif [2] ataukah biaya struktural [6].
4. Kontrol Optimum
Ada tiga situasi yang akan dianalisis berkaitan dengan penerapan kontrol, yaitu (i)
vaksinasi merupakan satu-satunya kontrol yang diterapkan, yaitu u1 ̸= 0 dan u2 = 0, (ii)
pengobatan merupakan satu-satunya kontrol yang diterapkan, yaitu u1 = 0 dan u2 ̸= 0,
dan (iii) vaksinasi dan pengobatan diterapkan bersama-sama, yaitu u1 ̸= 0 dan u2 ̸= 0.
Prinsip maksimum Pontryagin [19] digunakan untuk menurunkan kondisi-kondisi yang
harus dipenuhi oleh kontrol optimum.
Seminar Nasional Matematika 2014
317
Prosiding
Model Pengendalian Epidemi. . .
Secara umum fungsi hamilton H didefinisikan berdasarkan model (3.1)–(3.3) dan fungsional objektif (3.4) sebagai berikut:
(
)
SI
2
2
1
1
H = I + 2 A1 u1 + 2 A2 u2 + p1 Λ − µS − β
− u1 S
N
)
(
SI
− (µ + d + r)I − u2 I
+ p2 β
N
+ p3 (rI − µR + u1 S + u2 I) ,
(4.1)
dengan p1 (t), p2 (t), dan p3 (t) merupakan fungsi-fungsi adjoin yang dapat ditentukan melalui proses pengoptimuman. Syarat perlu optimalitas menurut prinsip maksimum Pontryagin diberikan oleh:
∂H
∂ui
dxi
dt
dpi
dt
= 0,
i = 1, 2,
(4.2)
∂H
, i = 1, 2, 3, xi ∈ {S, I, R},
∂pi
∂H
= −
, i = 1, 2, 3, xi ∈ {S, I, R},
∂xi
=
(4.3)
(4.4)
dan syarat transversalitas. Jika diinginkan titik-titik akhir S(T ), I(T ), dan R(t) bebas
maka syarat transversalitas p1 (T ) = p2 (T ) = p3 (T ) = 0 harus dipenuhi.
4.1. Model Epidemi dengan Vaksinasi. Di bagian ini diasumsikan u1 ̸= 0 dan u2 = 0,
sehingga vaksinasi merupakan satu-satunya jalur intervensi model. Kondisi (4.2) memberikan
(p1 − p3 )S
.
u∗1 =
A1
Karena a1 ≤ u1 ≤ b1 maka dituliskan
; A11 (p1 − p3 )S < a1
a1
1
(p1 − p3 )S ; a1 ≤ A11 (p1 − p3 )S ≤ b1 .
u∗1 =
A1
b1
; A11 (p1 − p3 )S > b1
Bentuk di atas dapat dituliskan dalam notasi yang lebih ringkas sebagai berikut:
}}
{
{
.
u∗1 (t) = min b1 , max a1 , A11 (p1 (t) − p3 (t))S(t)
(4.5)
Kondisi (4.3) tentu saja memberikan model (3.1)–(3.3), sedangkan (4.4) bersama-sama
asumsi titik akhir bebas memberikan sistem persamaan diferensial berikut:
dp1
dt
dp2
dt
dp3
dt
= µp1 + β
= β
I
(p1 − p2 ) + u1 (p1 − p3 ),
N
p1 (T ) = 0,
S
(p1 − p2 ) + (µ + d + r)p2 − rp3 − 1,
N
= µp3 ,
p3 (T ) = 0.
p2 (T ) = 0,
(4.6)
(4.7)
(4.8)
Kontrol optimum u∗1 diperoleh dengan cara menyelesaikan sistem persamaan diferensial
(3.1)–(3.3), (4.6)–(4.7), dan (4.5) secara simultan.
Seminar Nasional Matematika 2014
318
Prosiding
Model Pengendalian Epidemi. . .
4.2. Model Epidemi dengan Pengobatan. Di bagian ini diasumsikan u1 = 0 dan
u2 ̸= 0, sehingga pengobatan merupakan satu-satunya jalur intervensi model. Dapat
diverifikasi dengan mudah bahwa jika a2 ≤ u2 ≤ b2 kondisi (4.2) memberikan kontrol
optimum berikut:
}}
{
{
.
(4.9)
u∗2 (t) = min b2 , max a2 , A12 (p2 (t) − p3 (t))I(t)
Kondisi (4.4) bersama-sama asumsi titik akhir bebas memberikan sistem persamaan adjoin
berikut:
I
dp1
= µp1 + β (p1 − p2 ), p1 (T ) = 0,
(4.10)
dt
N
S
dp2
= β (p1 − p2 ) + (µ + d + r)p2 + u2 (p2 − p3 ) − rp3 , p2 (T ) = 0, (4.11)
dt
N
dp3
= µp3 , p3 (T ) = 0.
(4.12)
dt
4.3. Model Epidemi dengan Vaksinasi dan Pengobatan. Jika vaksinasi dan pengobatan dilakukan pada waktu yang sama, yaitu u1 ̸= 0 dan u2 ̸= 0, maka diperoleh
kontrol-kontrol optimum (4.5) dan (4.9), serta sistem persamaan adjoin berikut:
dp1
dt
dp2
dt
dp3
dt
= µp1 + β
= β
I
(p1 − p2 ) + u1 (p1 − p3 ),
N
p1 (T ) = 0,
S
(p1 − p2 ) + (µ + d + r)p2 + u2 (p2 − p3 ) − rp3 − 1,
N
= µp3 ,
p3 (T ) = 0.
(4.13)
p2 (T ) = 0, (4.14)
(4.15)
5. Penyelesaian Numerik
Di bab ini akan diperlihatkan efektivitas penerapan kontrol terhadap penyebaran penyakit. Nilai-nilai parameter berikut digunakan untuk menghitung penyelesaian numerik:
Λ = 237, µ = 3.86 × 10−5 , d = 0.5 × 10−2 , r = 0.25, β = 0.46, S0 = 6 × 106 , I0 = 11,
R0 = 10, a1 = a2 = 0, b1 = 0.01, b2 = 0.03, A1 = 108 , A2 = 2A1 , dan T = 200.
Penyelesaian nuemrik diperoleh dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde-4. Pada kasus tanpa kontrol, sistem persamaan adjoin tidak ada sehingga algoritme iteratif maju
(forward in time) dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem (3.1)–(3.3) dengan kondisi batas di awal waktu. Pada kasus dengan kontrol, sistem persamaan adjoin memiliki
kondisi batas di akhir waktu. Hal ini memberikan masalah tersendiri dalam pembuatan
penyelesai iteratif karena dari enam persamaan diferensial yang akan diselesaiakan, tiga
persamaan memiliki syarat nilai awal sehingga harus diselesaikan secara maju dan tiga
persamaan lainnya memiliki syarat nilai akhir sehingga harus diselesaiakan secara mundur (backward in time). Untuk kebutuhan ini dibuat program komputer bersifat iteratif
untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial dengan tahapan sebagai berikut:
(1) Tetapkan tebakan awal bagi peubah kontrol.
(2) Selesaikan masalah nilai awal (3.1)–(3.3) secara maju.
(3) Selesaiakan sistem persamaan adjoin secara mundur dengan menggunakan informasi yang diperoleh di langkah sebelumnya.
(4) Hitung peubah kontrol baru dengan menggunakan (4.5) dan/atau (4.9).
(5) Perbarui nilai kontrol dengan rata-rata nilai kontrol lama dan baru.
(6) Lakukan iterasi sampai mencapai batas toleransi yang ditetapkan.
Gambar 2 menunjukkan bahwa tanpa intervensi banyaknya individu terinfeksi akan
mencapai puncaknya pada hari ke-63 sejumlah 730 ribu jiwa. Strategi vaksinasi terbukti
Seminar Nasional Matematika 2014
319
Prosiding
Model Pengendalian Epidemi. . .
5
10
x 10
5
0
0
50
100
150
200
50
100
150
200
50
100
150
200
4000
2000
0
0
5
10
x 10
5
0
0
Gambar 2. Banyaknya individu terinfeksi: tanpa kontrol (atas), dengan vaksinasi (tengah), dengan
pengobatan (bawah)
6
5
6
x 10
5
6
x 10
5
4.5
4.5
4
4
4
3.5
3.5
3.5
4.5
3
3
3
2.5
2.5
2.5
2
2
2
1.5
1.5
1.5
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0
0
100
200
0
x 10
0
100
200
0
0
100
200
Gambar 3. Banyaknya individu rentan (kiri) dan sembuh (kanan) masing-masing dengan kontrol
vaksinasi, pengobatan, dan keduanya. Banyaknya individu tanpa kontrol dilukiskan oleh garis
penuh.
dapat mengurangi banyaknya individu terinfeksi hingga menjadi 2300 jiwa (99 persen)
dengan puncak infeksi terjadi pada hari ke-60. Sementara itu strategi pengobatan hanya
mampu menurunkan sekitar 10 persen. Meski banyaknya individu terinfeksi berkurang,
kedua strategi pengendalian membuat banyaknya individu rentan bertambah sedangkan
banyaknya individu sembuh berkurang seperti terlihat pada Gambar 3. Gambar 4 memberikan informasi bahwa program vaksinasi harus dilaksanakan dengan tingkat maksimum
sampai hari ke-48 setelah itu terus diturunkan hingga akhir periode. Sementara itu program pengobatan dilaksanakan dengan tingkat 77 persen pada hari ke-63. Jika vaksinasi
dan pengobatan diterapkan bersama-sama maka program vaksinasi harus dilaksanakan
100 persen sementara pengobatan hanya berperan 2.3 persen.
6. Simpulan dan Saran
Tulisan ini membahas penerapan vaksinasi dan pengobatan sebagai bentuk intervensi
terhadap model epidemik berbentuk SIR. Dengan menerapkan program intervensi secara
Seminar Nasional Matematika 2014
320
Prosiding
Model Pengendalian Epidemi. . .
0.01
0.025
0.01
0.009
0.009
0.008
0.02
0.008
0.007
0.007
0.006
0.015
0.006
0.005
0.005
0.004
0.01
0.004
0.003
0.003
0.002
0.005
0.002
0.001
0
0.001
0
100
200
0
0
100
200
0
0
100
200
Gambar 4. Kontrol optimum dengan vaksinasi (kiri), pengobatan (tengah), dan keduanya (kanan).
5
1.118
x 10
1.117
1.116
J
1.115
1.114
1.113
1.112
1.111
1.11
0
0.2
0.4
β
0.6
0.8
1
Gambar 5. Hubungan antara laju kontak efektif β dan fungsional objektif J.
sendiri-sendiri maupun bersamaan diperlihatkan bahwa program vaksinasi lebih efektif daripada program pengobatan dalam mengurangi banyaknya individu yang terinfeksi hingga
99 persen dari situasi ketika program pengendalian tidak diterapkan.
Telaah menarik dapat dilakukan dengan melihat pengaruh perubahan parameter model
terhada fungsional objektif optimum. Gambar 5 menunjukkan bahwa semakin sering
terjadi kontak antara individu terinfeksi dan individu rentan yang ditunjukkan oleh β
yang makin besar, maka dibutuhkan upaya pengendalian yang lebih intensif. Akibatnya
fungsional objektif J sebagai performance index juga meningkat. Namun besarnya J
cenderung konstan ketika β ∈ [0.3, 1].
Seminar Nasional Matematika 2014
321
Prosiding
Model Pengendalian Epidemi. . .
Daftar Pustaka
[1] Alkama, M., M. Elhia, Z. Rachik, M. Rachik, dan E. Labriji. 2014. Free terminal time optimal control
problem of an SIR epidemic model with vaccination. International Journal of Science and Research,
vol. 3, no. 5: 227–230.
[2] Bakare, E.A., A. Nwagwo, dan E. Danso-Addo. 2014. Optimal control analysis of an SIR epidemic
model with constant recruitment. International Journal of Applied Mathematical Research, vol. 3, no.
3: 273–285.
[3] Balatif, O., M. Elhia, J. Bouyaghroumni, dan M. Rachik. 2014. Optimal control strategy for a discrete
SIR epidemic model. International Journal of Applied Mathematics and Modeling, vol.2, no. 2: 1–8.
[4] Clayton, T., S. Duke-Sylvester, L.J. Gross, S. Lenhart dan L.A. Real. 2010. Optimal control of a
rabies epidemic model with a birth pulse, Journal of Biological Dynamics, vol. 4, no. 1: 43–58.
[5] Driessche, P.v.d. dan J. Watmough. 2002. Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria
for compartmental models of disease transmission. Mathematical Biosciences, vol. 180: 29–48.
[6] Elhia, M., O. Balatif, J. Bouyaghroumni, E. Labriji, dan M. Rachik. 2012. Optimal control applied
to the spread of influenza A (H1N1). Applied Mathematical Sciences, vol. 6, no. 82: 4057–4065.
[7] Elhia, M., M. Rachik, dan E. Benlahmar. 2013. Optimal control of an SIR model with delay in state
and control variables. ISRN Biomathematics. vol. 2013, Article ID 403549, 7 halaman.
[8] Hansen, E. dan T. Day. 2011. Optimal control of epidemics with limited resources. J. Math. Biol.,
vol. 62: 423–451.
[9] Kermack, W.O. dan A.G. McKendrick. 1927. A contribution to the mathematical theory of epidemics.
Proc. Royal Soc. London, vol. 115: 700–721.
[10] Laarabi, L., E.H. Labriji, M. Rachik, dan A. Kaddar. 2012. Optimal control of an epidemic model
with a saturated incidence rate. Nonlinear Analysis: Modelling and Control, vol. 17, no. 4: 448–459.
[11] Laarabi, H., M. Rachik, O.E. Kahlaoui, dan E.H. Labriji. 2013. Optimal vaccination strategies of an
SIR epidemic model with a saturated treatment. Universal Journal of Applied Mathematics, vol. 1,
no. 3: 185–191.
[12] Lawot, N. 2006. Mathematical modeling of smallpox with optimal intervention policy. M.Sc. Thesis.
Department of Mathematics, College of Sciences, the University of Central Florida, Orlando, Florida.
[13] Nainggolan, J., S. Supian, A.K. Supriatna, dan N. Anggriani. 2012. Kontrol optimal vaksinasi model
epidemiologi tipe SIR. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, Jurusan
Pendidikan Matematika FMIPA UNY.
[14] Owuor, O.N., M. Johannes, dan M.S. Kibet. 2013. Optimal vaccination strategies in an SIR epidemic
model with time scales. Applied Mathematics, vol. 4: 1–14.
[15] Ozair, M., A.A. Lashari, I.H. Jung, dan K.O. Okosun. 2012. Stability analysis and optimal control of
a vector-borne disease with nonlinear incidence. Discrete Dynamics in Nature and Society, vol. 2012,
Article ID 595487, 21 halaman.
[16] Saddiq, S.F., M.A. Khan, S. Islam, G. Zaman, N. Khalid, S.I.A. Shah, dan Z. Haq. 2013. Optimal
control of an epidemic model of leptospirosis with time delay. Life Science Journal, vol. 10(3s): 292–
298
[17] Shonkwiler, R.W. dan J. Herod. 2009. Mathematical Biology. An Introduction with Maple and Matlab.
2nd Edition. New York: Springer.
[18] Ullah, R., G. Zaman, dan S. Islam. 2013. Stability analysis of a general SIR epidemic model. VFAST
Transactions on Mathematics, vol. 1, no. 1: 16–20.
[19] Vinter, R. 2010. Optimal Control. New York: Birkhäuser.
[20] Wang, J. dan C. Modnak. 2011. Modeling Cholera Dynamics with Controls. Canadian Applied Mathematics Quarterly, vol. 19, no. 3: 255–273.
[21] Yusuf, T.T. dan F. Benyah. 2012. Optimal control of vaccination and treatment for an SIR epidemiological model. World Journal of Modelling and Simulation, vol. 8, no. 3: 194–204.
E-mail : tonibakhtiar@yahoo.com, faridahanum00@yahoo.com
Seminar Nasional Matematika 2014
322
Prosiding
ISN : 2337-392X
PROSIDING
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA,
STATISTIKA, PENDIDIKAN MATEMATIKA,
DAN KOMPUTASI
Peranan Matematika dan Statistika dalam
Menyikapi Perubahan Iklim
http://seminar.mipa.uns.ac.id
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sebelas Maret Surakarta
Jl. Ir. Sutami 36 A Solo - Jawa Tengah
ISSN: 2337-392X
Tim Prosiding
Editor
Purnami Widyaningsih, Respatiwulan, Sri Kuntari,
Nughthoh Arfawi Kurdhi, Putranto Hadi Utomo, dan Bowo Winarno
Tim Teknis
Hamdani Citra Pradana, Ibnu Paxibrata, Ahmad Dimyathi,
Eka Ferawati, Meta Ilafiani, Dwi Ardian Syah,
dan Yosef Ronaldo Lete B.
Layout & Cover
Ahmad Dimyathi
ii
ISSN: 2337-392X
Tim Reviewer
Drs. H. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc., Ph.D.
Dr. Sri Subanti, M.Si.
Dr. Dewi Retno Sari Saputro, MKom.
Drs. Muslich, M.Si.
Dra. Mania Roswitha, M.Si.
Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc.
Drs. Pangadi, M.Si.
Drs. Sutrima, M.Si.
Drs. Sugiyanto, M.Si.
Dra Etik Zukhronah, M.Si.
Dra Respatiwulan, M.Si.
Dra. Sri Sulistijowati H., M.Si.
Irwan Susanto, DEA
Winita Wulandari, M.Si.
Sri Kuntari, M.Si.
Titin Sri Martini, M.Kom.
Ira Kurniawati, M.Pd.
iii
ISSN: 2337-392X
Steering Committee
Prof. Drs.Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc., Ph.D.
Prof. Dr. Budi Murtiyasa, M.Kom.
Prof. Dr. Dedi Rosadi, M.Sc.
Prof. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.
Prof. Dr. Budi Nurani, M.S.
Dr. Titin Siswantining, DEA
Dr. Mardiyana, M.Si.
Dr. Sutikno, M.Si.
iv
ISSN: 2337-392X
KATA PENGANTAR
Puji syukur dipanjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa sehingga
prosiding seminar nasional Statistika, Pendidikan Matematika dan
Komputasi ini dapat diselesaikan.
Prosiding ini bertujuan mendokumentasikan dan mengkomunikasikan hasil presentasi paper pada seminar nasional dan terdiri atas 95
paper dari para pemakalah yang berasal dari 30 perguruan
tinggi/politeknik dan institusi terkait. Paper tersebut telah dipresentasikan
di seminar nasional pada tanggal 18 Oktober 2014. Paper didistribusikan
dalam 7 kategori yang meliputi kategori Aljabar 14%, Analisis 9%,
Kombinatorik 8%, Matematika Terapan 14%, Komputasi 7%, Statistika
Terapan 27%, dan Pendidikan Matematika 19%.
Terima kasih disampaikan kepada pemakalah yang telah
berpartisipasi pada desiminasi hasil kajian/penelitian yang dimuat pada
prosiding ini. Terimakasih juga disampaikan kepada tim reviewer, tim
prosiding, dan steering committee.
Semoga prosiding ini bermanfaat.
Surakarta, 28 Oktober 2014
v
ISSN: 2337-392X
DAFTAR ISI
Halaman
Halaman Judul …………………………………………………..………..
i
Tim Prosiding …………………………………………………..………….
ii
Tim Reviewer …………………………………………………..………….
iii
Steering Committee …………………………………………………..……
iv
Kata Pengantar ……………………………………….................................
v
Daftar Isi …………………………………………………..……………….
vi
BIDANG ALJABAR
Bentuk-Bentuk Ideal pada Semiring (Dnxn(Z+), +, )
1 Dian Winda Setyawati ……………………………………………………..
1
Penentuan Lintasan Kapasitas Interval Maksimum dengan Pendekatan
2 Aljabar Max-Min Interval
M. Andy Rudhito dan D. Arif Budi Prasetyo ...…………………………….
8
3 Karakterisasi Aljabar Pada Graf Bipartit
Soleha, Dian W. Setyawati …………………………………………..……….
Semigrup Bentuk Bilinear Terurut Parsial Reguler Lengkap dalam Batasan
4 Quasi-Ideal Fuzzy
Karyati, Dhoriva Urwatul Wutsqa …………………………………...
5
Syarat Perlu dan Cukup Ring Lokal Komutatif Agar Ring Matriksnya
Bersih Kuat (-Regular Kuat)
Anas Yoga Nugroho, Budi Surodjo ………………………………………..
6 Sifat-sifat Modul Komultiplikasi Bertingkat
Putri Widi Susanti, Indah Emilia Wijayanti ………………………………..
Ideal dari Ring Polinomial F2n[x] mod(xn-1) untuk Kontrol Kesalahan
7 dalam Aplikasi Komputer
Komar Baihaqi dan Iis Herisman ………………………………….………
18
26
34
42
49
9 Submodul Hampir Prima
Dyana Patty, Sri Wahyuni ….………….………………….……………….
55
Subgrup Normal suatu Grup Perkalian dari Ring Pembagian yang Radikal
atas Subring Pembagian Sejati
Juli Loisiana Butarbutar dan Budi Surodjo ………………………………..
64
Sifat dan Karakterisasi Submodul Prima Lemah S(N)
Rosi Widia Asiani, Sri Wahyuni …………………………………………..
73
Modul Distributif dan Multiplikasi
Lina Dwi Khusnawati, Indah Emilia Wijayanti ……………………………
83
vi
ISSN: 2337-392X
Penjadwalan Keberangkatan Kereta Api di Jawa Timur dengan
Menggunakan Model Petrinet dan Aljabar Max-plus
Ahmad Afif, Subiono ………………………………………………………
\
92
Optimalisasi Norm Daerah Hasil dari Himpunan Bayangan Matriks Aljabar
Maks-Plus dengan Sebagian Elemen Ditentukan
Antin Utami Dewi, Siswanto, dan Respatiwulan …………………………… 107
Himpunan Bayangan Bilangan Bulat Matriks Dua Kolom dalam Aljabar
Maks-Plus
Nafi Nur Khasana, Siswanto, dan Purnami Widyaningsih .………………
112
BIDANG ANALISIS
Ruang 2-Norma Selisih
Sadjidon, Mahmud Yunus, dan Sunarsini …….………………………..
120
Teorema Titik Tetap Pemetaan Kontraktif pada Ruang C[a,b]-Metrik (ℓp ,
dC[a,b])
Sunarsini, Sadjidon, Mahmud Yunus ……………..………………………..
124
Generalisasi Ruang Barisan Yang Dibangkitkan Oleh Fungsi Orlicz
Nur Khusnussa’adah dan Supaman ………………..……………………..
132
Gerakan Kurva Parameterisasi Pada Ruang Euclidean
Iis Herisman dan Komar Baihaqi …….…………………………………..
141
Penggunaan Metode Transformasi Diferensial Fraksional dalam
Penyelesaian Masalah Sturm-Liouville Fraksional untuk Persamaan Bessel
Fraksional
Marifatun, Sutrima, dan Isnandar Slamet……….………………………..
148
Konsep Topologi Pada Ruang C[a,b]
Muslich ……….…………………………………………………………….. 155
Kekompakan Terkait Koleksi Terindeks Kontinu dan Ruang Topologis
Produk
Hadrian Andradi, Atok Zulijanto
……….…………………………………………………..
162
A Problem On Measures In Infinite Dimensional Spaces
Herry Pribawanto Suryawan ..……………………………………………..
171
Masalah Syarat Batas Sturm-Liouville Singular Fraksional untuk
Persamaan Bessel
Nisa Karunia, Sutrima, Sri Sulistijowati H ………………………………
179
BIDANG KOMBINATORIK
Pelabelan Selimut (a,d)-H-Anti Ajaib Super pada Graf Buku
Frety Kurnita Sari, Mania Roswitha, dan Putranto Hadi Utomo ………….
vii
187
ISSN: 2337-392X
Digraf Eksentrik Dari Graf Hasil Korona Graf Path Dengan Graf Path
Putranto Hadi Utomo, Sri Kuntari, Tri Atmojo Kusmayadi ………………
193
Super (a, d)-H-Antimagic Covering On Union Of Stars Graph
Dwi Suraningsih, Mania Roswitha, Sri Kuntari ……………………………
198
Dimensi Metrik pada Graf Umbrella
Hamdani Citra Pradana dan Tri Atmojo Kusmayadi ……………………… 202
Dimensi Metrik pada Graf Closed Helm
Deddy Rahmadi dan Tri Atmojo Kusmayadi . ……………………………..
210
Pelabelan Selimut (a,b)-Cs+2-Anti Ajaib Super pada Graf Generalized
Jahangir
Anna Amandha, Mania Roswitha, dan Bowo Winarno …………………
215
Super (a,d)-H-Antimagic Total Labeling On Sun Graph
Marwah Wulan Mulia, Mania Roswitha, and Putranto Hadi Utomo
……
223
Maksimum dan Minimum Pelabelan pada Graf Flower
Tri Endah Puspitosari, Mania Roswitha, Sri Kuntari …………...………..
231
BIDANG MATEMATIKA TERAPAN
2
Penghitungan Volume Konstruksi dengan Potongan Melintang
Mutia Lina Dewi …………………………………………………………...
238
4
Pola Pengubinan Parabolis
Theresia Veni Dwi Lestari dan Yuliana Pebri Heriawati ………………….. 247
5
Analisis Kestabilan Model Mangsa Pemangsa Hutchinson dengan Waktu
Tunda dan Pemanenan Konstan
Ali Kusnanto, Lilis Saodah, Jaharuddin …………………………………..
6
257
Susceptible Infected Zombie Removed (SIZR) Model with Quarantine and
Antivirus
Lilik Prasetiyo Pratama, Purnami Widyaningsih, and Sutanto ……………. 264
Model Endemik Susceptible Exposed Infected Recovered Susceptible
7 (SEIRS) pada Penyakit Influenza
Edwin Kristianto dan Purnami Widyaningsih ……………………………...
272
Churn Phenomenon Pengguna Kartu Seluler dengan Model Predator-Prey
Rizza Muamar As-Shidiq, Sutanto, dan Purnami Widyaningsih …………
279
Pemodelan Permainan Flow Colors dengan Integer Programming
Irfan Chahyadi, Amril Aman, dan Farida Hanum ………………………..
283
Optimasi Dividen Perusahaan Asuransi dengan Besarnya Klaim
Berdistribusi Eksponensial
Ali Shodiqin, Supandi, Ahmad Nashir T …………………………………..
292
9
viii
ISSN: 2337-392X
Permasalahan Kontrol Optimal Dalam Pemodelan Penyebaran Penyakit
Rubono Setiawan …………………………………………………………..
300
Model Pengoptimuman Dispatching Bus pada Transportasi Perkotaan:
Studi Kasus pada Beberapa Koridor Trans Jakarta
Farida Hanum, Amril Aman, Toni Bakhtiar, Irfan Chahyadi ……………..
306
Model Pengendalian Epidemi dengan Vaksinasi dan Pengobatan
Toni Bachtiar dan Farida Hanum ………………………………………..
315
How Realistic The Well-Known Lotka-Volterra Predator-Prey Equations
Are
Sudi Mungkasi ……………………………………………………………..
323
Aplikasi Kekongruenan Modulo pada Algoritma Freund dalam
Penjadwalan Turnamen Round Robin
Esthi Putri Hapsari, Ira Kurniawati ……………………………………..
334
BIDANG KOMPUTASI
Aplikasi Algoritma Enkripsi Citra Digital Berbasis Chaos Menggunakan
Three Logistic Map
Suryadi MT, Dhian Widya …………………………………………………
344
Implementasi Jaringan Syaraf Tiruan Untuk Mengklasifikasi Kualitas Citra
Ikan
Muhammad Jumnahdi ………………………………………………….….
352
Sistem Pengkonversi Dokumen eKTP/SIM Menjadi Suatu Tabel
Nurul Hidayat, Ikhwan Muhammad Iqbal, dan Muhammad Mushonnif
Junaidi ……………………………………………………………………...
360
Kriptografi Kurva Eliptik Elgamal Untuk Proses Enkripsi-Dekripsi Citra
Digital Berwarna
Daryono Budi Utomo, Dian Winda Setyawati dan Gestihayu Romadhoni F.R
373
Penerapan Assosiation Rule dengan Algoritma Apriori untuk Mengetahui
Pola Hubungan Tingkat Pendidikan Orang Tua terhadap Indeks Prestasi
Kumulatif Mahasiswa
Kuswari Hernawati ………………………………………………………... 384
Perancangan Sistem Pakar Fuzzy Untuk Pengenalan Dini Potensi
Terserang Stroke
Alvida Mustika R., M Isa Irawan dan Harmuda Pandiangan ……………..
394
Miniatur Sistem Portal Semiotomatis Berbasis Sidik Jari pada Area
Perpakiran
Nurul Hidayat, Ikhwan Muhammad Iqbal, dan Devy Indria Safitri ……….
405
ix
ISSN: 2337-392X
BIDANG STATISTIKA
1
Uji Van Der Waerden Sebagai Alternatif Analisis Ragam Satu Arah
Tanti Nawangsari…………………………………………………………..
2
Analisis Faktor-Faktor Yang Mempengaruhi Keberhasilan Mahasiswa
Politeknik (Studi Kasus Mahasiswa Polban)
Euis Sartika……………………………………………………………...….. 425
3
Distribusi Prior Dirichlet yang Diperumum sebagai Prior Sekawan dalam
Analisis Bayesian
Feri Handayani, Dewi Retno Sari Saputro …………...……………………
5
Pemodelan Curah Hujan Dengan Metode Robust Kriging Di Kabupaten
Sukoharjo
Citra Panindah Sari, Dewi Retno Sari S, dan Muslich ……………………
6
7
417
439
444
Premi Tunggal Bersih Asuransi Jiwa Endowment Unit Link Dengan
Metode Annual Ratchet
Ari Cahyani, Sri Subanti, Yuliana Susanti………………………….………. 453
Uji Siegel-Tukey untuk Pengujian Efektifitas Obat Depresan pada Dua
Sampel Independen
David Pratama dan Getut Pramesti ……………………..…………………
462
8
Aplikasi Almost Stochastic Dominance dalam Evaluasi Hasil Produksi Padi
di Indonesia
Kurnia Hari Kusuma, Isnandar Slamet, dan Sri Kuntari ………………….. 470
9
Pendeteksian Krisis Keuangan Di Indonesia Berdasarkan Indikator Nilai
Tukar Riil
Dewi Retnosari, Sugiyanto, Tri Atmojo …………………………………....
Pendekatan Cross-Validation untuk Pendugaan Data Tidak Lengkap pada
Pemodelan AMMI Hasil Penelitian Kuantitatif
Gusti Ngurah Adhi Wibawa dan Agusrawati…………………………………
11
12
13
15
475
483
Aplikasi Regresi Nonparametrik Menggunakan Estimator Triangle pada
Data Meteo Vertical dan Ozon Vertikal, Tanggal 30 Januari 2013
Nanang Widodo, Tony Subiakto, Dian Yudha R, Lalu Husnan W ……….
493
Pemodelan Indeks Harga Saham Gabungan dan Penentuan Rank
Correlation dengan Menggunakan Copula
Ika Syattwa Bramantya, Retno Budiarti, dan I Gusti Putu Purnaba ……..
502
Identifikasi Perubahan Iklim di Sentra Produksi Padi Jawa Timur dengan
Pendekatan Extreme Value Theory
Sutikno dan Yustika Desi Wulan Sari ……………………………………..
513
Analisis Data Radiasi Surya dengan Pendekatan Regresi Nonparametrik
Menggunakan Estimator Kernel Cosinus
Nanang Widodo, Noer Abdillah S.N.S.N, Dian Yudha Risdianto …………
523
x
ISSN: 2337-392X
16
17
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Pengujian Hipotesis pada Regresi Poisson Multivariate dengan Kovariansi
Merupakan Fungsi dari Variabel Bebas
Triyanto, Purhadi, Bambang Widjanarko Otok, dan Santi Wulan Purnami
Perbandingan Metode Ordinary Least Squares (OLS), Seemingly
Unrelated Regression (SUR) dan Bayesian SUR pada Pemodelan PDRB
Sektor Utama di Jawa Timur
Santosa, AB, Iriawan, N, Setiawan, Dohki, M ……………………………
533
544
Studi Model Antrian M/G/1: Pendekatan Baru
Isnandar Slamet ……………………………………………………………
557
Pengaruh Pertumbuhan Ekonomi dan Konsumsi Energi Terhadap Emisi
CO2 di Indonesia: Pendekatan Model Vector Autoregressive (VAR)
Fitri Kartiasih ……………………………………………………...……….
567
Estimasi Parameter Model Epidemi Susceptible Infected Susceptible (SIS)
dengan Proses Kelahiran dan Kematian
Pratiwi Rahayu Ningtyas, Respatiwulan, dan Siswanto .………….………
578
Pendeteksian Krisis Keuangan di Indonesia Berdasarkan Indikator Harga
Saham
Tri Marlina, Sugiyanto, dan Santosa Budi Wiyono ……………………….
584
Pemilihan Model Terbaik untuk Meramalkan Kejadian Banjir di
Kecamatan Rancaekek, Kabupaten Bandung
Gumgum Darmawan, Restu Arisanti, Triyani Hendrawati, Ade Supriatna
592
Model Markov Switching Autoregressive (MSAR) dan Aplikasinya pada
Nilai Tukar Rupiah terhadap Yen
Desy Kurniasari, Sugiyanto, dan Sutanto ……………………………….
602
Pendeteksian Krisis Keuangan di Indonesia Berdasarkan Indikator
Pertumbuhan Kredit Domestik
Pitaningsih, Sugiyanto, dan Purnami Widyaningsih ………………………
608
Pemilihan Model Terbaik untuk Meramalkan Kejadian Banjir di Bandung
dan Sekitarnya
Gumgum Darmawan, Triyani Hendrawati, Restu Arisanti ………………
615
Model Probit Spasial
Yuanita Kusuma Wardani, Dewi Retno Sari Saputro ……………………… 623
Peramalan Jumlah Pengunjung Pariwisata di Kabupaten Boyolali dengan
Perbandingan Metode Terbaik
Indiawati Ayik Imaya, Sri Subanti …………………………………..……...
628
Pemodelan Banyaknya Penderita Demam Berdarah Dengue (DBD) dengan
Regresi Kriging di Kabupaten Sukoharjo
Sylviana Yusriati, Dewi Retno Sari Saputro, Sri Kuntari ………………….
638
xi
ISSN: 2337-392X
Ekspektasi Durasi Model Epidemi Susceptible Infected (SI)
Sri Kuntari, Respatiwulan, Intan Permatasari …………………………….
646
BIDANG PENDIDIKAN
3
Konsep Pembelajaran Integratif dengan Matematika Sebagai Bahasa
Komunikasi dalam Menyongsong Kurikulum 2013
Surya Rosa Putra, Darmaji, Soleha, Suhud Wahyudi, …………………….
653
4
Penerapan Pendidikan Lingkungan Hidup Berbasis Pendidikan Karakter
dalam Pembelajaran Matematika
Urip Tisngati ………………………………………………………………. 664
5
Studi Respon Siswa dalam Menyelesaikan Masalah Matematika
Berdasarkan Taksonomi SOLO (Structure of Observed Learned Outcome)
Herlin Widia, Urip Tisngati, Hari Purnomo Susanto ……………………..
7
8
10
11
13
14
677
Desain Model Discovery Learning pada Mata Kuliah Persamaan
Diferensial
Rita Pramujiyanti Khotimah, Masduki ……………………………………..
684
Efektivitas Pembelajaran Berbasis Media Tutorial Interaktif Materi
Geometri
Joko Purnomo, Agung Handayanto, Rina Dwi Setyawati …………………
693
Pengembangan Modul Pembelajaran Matematika Menggunakan
Pendekatan Problem Based Learning (PBL) Pada Materi Peluang Kelas
VII SMP
Putri Nurika Anggraini, Imam Sujadi, Yemi Kuswardi ……………………
703
Pengembangan Bahan Ajar Dalam Pembelajaran Geometri Analitik Untuk
Meningkatkan Kemandirian Mahasiswa
Sugiyono\, Himmawati Puji Lestari …………………..…………………… 711
Pengembangan Strategi Pembelajaran Info Search Berbasis PMR untuk
Meningkatkan Pemahaman Mata Kuliah Statistika Dasar 2
Joko Sungkono, Yuliana, M. Wahid Syaifuddin …………………………… 724
Analisis Miskonsepsi Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika
Pada Mata Kuliah Kalkulus I
Sintha Sih Dewanti …………………………………..………………..……. 731
Kemampuan Berpikir Logis Mahasiswa yang Bergaya Kognitif Reflektif
vs Impulsif
Warli ……………………………………………………………………….
742
Model Pembelajaran Berbasis Mobile
Yayu Laila Sulastri, Luki Luqmanul Hakim ………………………………
753
xii
ISSN: 2337-392X
Profil Gaya Belajar Myers-Briggs Tipe Sensing-Intuition dan Strateginya
Dalam Pemecahan Masalah Matematika
Rini Dwi Astuti, Urip Tisngati, Hari Purnomo Susanto ………………….. 760
Penggunaan Permainan Matematika Berbasis Lingkungan Hidup untuk
Menningkatkan Minat dan Keterampilan Matematis Peserta Didik
Rita Yuliastuti ……………………………………………………………..
772
Tingkat Pemahaman Peserta PLPG Matematika Rayon 138 Yogyakarta
Tahun 2014 Terhadap Pendekatan Saintifik Pada Kurikulum 2013
Berdasarkan Kuesioner Awal dan Akhir Pelatihan
Beni Utomo, V. Fitri Rianasari dan M. Andy Rudhito …………………..
784
Pengembangan Perangkat Pembelajaran Matematika Melalui Pendekatan
RME dengan CD Interaktif Berbasis Pendidikan Karakter Materi Soal
Cerita Kelas III
Sri Surtini, Ismartoyo, dan Sri Kadarwati ……………………………….
791
E-Learning Readiness Score Sebagai Pedoman Implementasi E-Learning
Nur Hadi Waryanto ………………………………………………………..
805
Pengembangan Lembar Kerja Siswa (LKS) Matematika Realistik di SMP
Berbasis Online Interaktif
Riawan Yudi Purwoko, Endro Purnomo …………………………………..
817
IbM APE Matematika Bagi TK Pinggiran Di Kota Malang
Kristina Widjajanti, Mutia Lina Dewi …………………………………….
826
xiii
MODEL PENGENDALIAN EPIDEMI DENGAN VAKSINASI DAN
PENGOBATAN
Toni Bakhtiar dan Farida Hanum
Departemen Matematika, Institut Pertanian Bogor
Abstrak. Tulisan ini membahas strategi pengendalian epidemi melalui vaksinasi dan pengobatan. Model umum epidemi dinyatakan dalam model kompartemental SIR. Vaksinasi dan pengobatan diterapkan secara sendiri-sendiri maupun secara simultan dengan fungsional objektif
meminimumkan jumlah individu terinfeksi sekaligus meminimumkan biaya pengendalian. Prinsip maksimum Pontryagin diterapkan untuk menurunkan sistem persamaan diferensial sebagai
kondisi yang harus dipenuhi variabel kontrol optimum. Metode Runge-Kutta orde-4 kemudian
digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial tersebut. Sebuah contoh ilustratif
dikemukakan untuk melihat pengaruh efektivitas kontrol terhadap tingkat infeksi.
Kata kunci: model kontrol optimum, prinsip maksimum Pontryagin, model epidemi SIR, metode Runge-Kutta.
1. Model SIR
Dalam pemodelan matematik penyebaran penyakit menular, seperti halnya di hampir
semua masalah pemodelan secara umumu, selalu dijumpai adanya trade-off antara model
sederhana yang mengabaikan banyak detil dan dibangun untuk menjelaskan interksi kualitatif secara umum, dan model kompleks yang detil dan disusun untuk menggambarkan
situasi yang khusus. Model kompleks umumnya sangat sulit atau bahkan tidak mungkin
diselesaikan secara analitik sehingga kontribusi secara teori sangat terbatas. Namun demikian di situasi yang sangat khusus, penggunaan model sederhana tidak cukup menjelaskan
sehingga penghitungan numerik menjadi pendekatan yang diharapkan.
Model SIR merupakan model sederhana berbentuk sistem persamaan diferensial biasa yang menggambarkan dinamika keadaan individu dalam populasi. Variabel dalam
sistem dinyatakan dalam bentuk kompartemen sesuai dengan nama model, yaitu kompartemen individu rentan (susceptible) dan dilambangkan dengan S, kompartemen individu
terinfeksi (infected ) dan dilambangkan dengan I, serta kompartemen individu sembuh (removed ) dan dilambangkan dengan R. Model matematik yang menyertainya menjelaskan
pergerakan masuk dan keluar antarkompartemen. Pergerakan tersebut meliputi kelahiran,
kematian, penyebaran penyakit, dan penyembuhan. Transisi antarkompartemen terjadi
menurut laju (turunan terhadap waktu), yang dalam kasus paling sederhana diasumsikan
konstan, seperti laju kelahiran, laju kematian, dan laju penyembuhan.
Pemodelan SIR di bidang epidemiologi pertama kali dilakukan oleh Kermack dan McKendrick [9]. Setelah itu, karena kesederhanaannya, model SIR mengalami perkembangan
yang pesat dalam hal penerapannya di berbagai kasus penyebaran penyakit menular seperti kolera [20], influenza H1N1 [3, 6, 7], campak [14], leptospirosis [16], AIDS [17], rabies
[4], cacar [12], dan penyakit menular yang disebabkan oleh vektor [15]. Berbagai varian
perkembangan model SIR diajukan untuk membuatnya lebih realistis dan mampu menggambarkan situasi yang lebih khusus, seperti model diskret [3], model dengan waktu tunda
315
Model Pengendalian Epidemi. . .
[7, 16] dan time scales [14], model dengan sumber daya terbatas [8], model dengan saturasi
[10, 11], serta model dengan tambahan kompartemen [4].
Tujuan dari tulisan ini ialah menganalisis efektivitas vaksinasi dan pengobatan dalam
mengendalikan epidemi. Model umum SIR digunakan untuk menggambarkan interaksi antarkompartemen pada populasi yang terkena epidemi. Pada bab selanjutnya akan
diketengahkan model SIR tanpa kontrol serta model SIR dengan satu dan dua kontrol.
2. Model tanpa Kontrol
Untuk memodelkan epidemi, populasi dibagi menjadi tiga kompartemen, yaitu S, I,
dan R. Banyaknya individu dalam populasi pada saat t yang rentan dan belum terkena
penyakit, terinfeksi dan dapat menyebarkan penyakit ke individu rentan melalui kontak,
dan sembuh tanpa kemungkinan terinfeksi lagi, berturut-turut dilambangkan dengan S(t),
I(t), dan R(t). Dinamika interaksi antarkompartemen mengikuti sistem persamaan diferensial berikut:
SI
dS
= Λ − µS − β ,
(2.1)
dt
N
SI
dI
= β
− (µ + d + r)I,
(2.2)
dt
N
dR
= rI − µR,
(2.3)
dt
dengan nilai-nilai awal S(0) = S0 > 0, I(0) = I0 > 0, dan R(0) = R0 > 0. Pada model di
atas, Λ adalah laju kelahiran yang menunjukkan besarnya penambahan individu rentan
baru ke dalam populasi, µ adalah laju kematian alami, d merupakan laju kematian karena adanya penyakit (disease induced mortality rate), r adalah laju penyembuhan sendiri
menuju kekebalan (self recovery rate), β merupakan laju kontak efektif yang merupakan
komposit dari laju kontak dan besarnya peluang terjadinya penularan akibat kontak, dan
N merupakan populasi total, yaitu N (t) = S(t) + I(t) + R(t).
Model (2.1)–(2.3) memiliki dua titik kesetimbangan, yaitu titik tetap bebas penyakit
∗ ∗
∗
T1 ( Λ
µ , 0, 0 dan titik tetap epidemik T2 (S , I , R ), dengan
(µ + d + r)N
,
(2.4)
β
Λβ − (µ + d + r)N µ
I∗ =
,
(2.5)
β(µ + d + r)
rΛβ − (µ + d + r)N rµ
.
(2.6)
R∗ =
βµ(µ + d + r)
Jika diasumsikan Λ = µN maka keberadaan T2 di kuadran pertama dijamin asalkan
β > µ + d + r. Dengan menggunakan metode next generation matrix [5] dapat diperoleh
bilangan reproduksi dasar R0 sebagai berikut:
β
R0 =
.
(2.7)
µ+d+r
Titik tetap bebas penyakit bersifat stabil jika R0 < 0 dan bersifat takstabil jika R0 > 0.
S∗ =
3. Model dengan Kontrol
Teori kontrol optimum [19] merupakan metode yang dapat digunakan untuk menentukan nilai ekstremum suatu fungsional objektif yang melibatkan variabel dinamik. Proses
memaksimumkan atau meminimumkan dilakukan dengan menyesuaikan peubah kontrol
sehingga nilai maksimum atau minimum tercapai. Peubah kontrol yang menghasilkan
Seminar Nasional Matematika 2014
316
Prosiding
Model Pengendalian Epidemi. . .
Gambar 1. Model SIR dengan dua peubah kontrol.
nilai ekstremum disebut sebagai kontrol optimum. Peubah kontrol biasanya merupakan fungsi dari waktu dan dapat digunakan dalam berbagai situasi permodelan. Dalam
tulisan ini, dua peubah kontrol akan digunakan, yaitu vaksinasi dan pengobatan, yang
secara berturut-turut dilambangkan dengan u1 dan u2 . Dalam hal ini, u1 (t) dan u2 (t)
dapat dipandang sebagai besarnya dosis vaksinasi dan pengobatan yang digunakan dan
diasumsikan terbatas. Vaksinasi diterapkan kepada individu rentan sedangkan pengobatan
ditujukan kepada individu terinfeksi seperti pada Gambar 1.
Model epidemi dengan pengendalian seperti pada Gambar 1 dituliskan sebagai berikut:
dS
dt
dI
dt
dR
dt
= Λ − µS − β
= β
SI
− u1 S,
N
SI
− (µ + d + r)I − u2 I,
N
= rI − µR + u1 S + u2 I,
(3.1)
(3.2)
(3.3)
dengan a1 ≤ u1 ≤ b1 dan a2 ≤ u2 ≤ b2 untuk bilangan-bilangan real taknegatif a1 , b1 , a2 ,
dan b2 . Kontrol-kontrol optimum u∗1 dan u∗2 dicari sedemikian sehingga meminimumkan
fungsional objektif berikut:
J :=
∫
T
(I(t) + 12 A1 u21 (t) + 12 A2 u22 (t)) dt.
(3.4)
0
Dari (3.4) dapat dilihat bahwa tujuan pengendalian epidemi ialah meminimumkan banyaknya individu yang terinfeksi penyakit sekaligus meminimumkan biaya pengendalian
sampai periode T , dengan A1 dan A2 dapat dipandang sebagai bobot yang menunjukkan
tingkat kepentingan relatif [2] ataukah biaya struktural [6].
4. Kontrol Optimum
Ada tiga situasi yang akan dianalisis berkaitan dengan penerapan kontrol, yaitu (i)
vaksinasi merupakan satu-satunya kontrol yang diterapkan, yaitu u1 ̸= 0 dan u2 = 0, (ii)
pengobatan merupakan satu-satunya kontrol yang diterapkan, yaitu u1 = 0 dan u2 ̸= 0,
dan (iii) vaksinasi dan pengobatan diterapkan bersama-sama, yaitu u1 ̸= 0 dan u2 ̸= 0.
Prinsip maksimum Pontryagin [19] digunakan untuk menurunkan kondisi-kondisi yang
harus dipenuhi oleh kontrol optimum.
Seminar Nasional Matematika 2014
317
Prosiding
Model Pengendalian Epidemi. . .
Secara umum fungsi hamilton H didefinisikan berdasarkan model (3.1)–(3.3) dan fungsional objektif (3.4) sebagai berikut:
(
)
SI
2
2
1
1
H = I + 2 A1 u1 + 2 A2 u2 + p1 Λ − µS − β
− u1 S
N
)
(
SI
− (µ + d + r)I − u2 I
+ p2 β
N
+ p3 (rI − µR + u1 S + u2 I) ,
(4.1)
dengan p1 (t), p2 (t), dan p3 (t) merupakan fungsi-fungsi adjoin yang dapat ditentukan melalui proses pengoptimuman. Syarat perlu optimalitas menurut prinsip maksimum Pontryagin diberikan oleh:
∂H
∂ui
dxi
dt
dpi
dt
= 0,
i = 1, 2,
(4.2)
∂H
, i = 1, 2, 3, xi ∈ {S, I, R},
∂pi
∂H
= −
, i = 1, 2, 3, xi ∈ {S, I, R},
∂xi
=
(4.3)
(4.4)
dan syarat transversalitas. Jika diinginkan titik-titik akhir S(T ), I(T ), dan R(t) bebas
maka syarat transversalitas p1 (T ) = p2 (T ) = p3 (T ) = 0 harus dipenuhi.
4.1. Model Epidemi dengan Vaksinasi. Di bagian ini diasumsikan u1 ̸= 0 dan u2 = 0,
sehingga vaksinasi merupakan satu-satunya jalur intervensi model. Kondisi (4.2) memberikan
(p1 − p3 )S
.
u∗1 =
A1
Karena a1 ≤ u1 ≤ b1 maka dituliskan
; A11 (p1 − p3 )S < a1
a1
1
(p1 − p3 )S ; a1 ≤ A11 (p1 − p3 )S ≤ b1 .
u∗1 =
A1
b1
; A11 (p1 − p3 )S > b1
Bentuk di atas dapat dituliskan dalam notasi yang lebih ringkas sebagai berikut:
}}
{
{
.
u∗1 (t) = min b1 , max a1 , A11 (p1 (t) − p3 (t))S(t)
(4.5)
Kondisi (4.3) tentu saja memberikan model (3.1)–(3.3), sedangkan (4.4) bersama-sama
asumsi titik akhir bebas memberikan sistem persamaan diferensial berikut:
dp1
dt
dp2
dt
dp3
dt
= µp1 + β
= β
I
(p1 − p2 ) + u1 (p1 − p3 ),
N
p1 (T ) = 0,
S
(p1 − p2 ) + (µ + d + r)p2 − rp3 − 1,
N
= µp3 ,
p3 (T ) = 0.
p2 (T ) = 0,
(4.6)
(4.7)
(4.8)
Kontrol optimum u∗1 diperoleh dengan cara menyelesaikan sistem persamaan diferensial
(3.1)–(3.3), (4.6)–(4.7), dan (4.5) secara simultan.
Seminar Nasional Matematika 2014
318
Prosiding
Model Pengendalian Epidemi. . .
4.2. Model Epidemi dengan Pengobatan. Di bagian ini diasumsikan u1 = 0 dan
u2 ̸= 0, sehingga pengobatan merupakan satu-satunya jalur intervensi model. Dapat
diverifikasi dengan mudah bahwa jika a2 ≤ u2 ≤ b2 kondisi (4.2) memberikan kontrol
optimum berikut:
}}
{
{
.
(4.9)
u∗2 (t) = min b2 , max a2 , A12 (p2 (t) − p3 (t))I(t)
Kondisi (4.4) bersama-sama asumsi titik akhir bebas memberikan sistem persamaan adjoin
berikut:
I
dp1
= µp1 + β (p1 − p2 ), p1 (T ) = 0,
(4.10)
dt
N
S
dp2
= β (p1 − p2 ) + (µ + d + r)p2 + u2 (p2 − p3 ) − rp3 , p2 (T ) = 0, (4.11)
dt
N
dp3
= µp3 , p3 (T ) = 0.
(4.12)
dt
4.3. Model Epidemi dengan Vaksinasi dan Pengobatan. Jika vaksinasi dan pengobatan dilakukan pada waktu yang sama, yaitu u1 ̸= 0 dan u2 ̸= 0, maka diperoleh
kontrol-kontrol optimum (4.5) dan (4.9), serta sistem persamaan adjoin berikut:
dp1
dt
dp2
dt
dp3
dt
= µp1 + β
= β
I
(p1 − p2 ) + u1 (p1 − p3 ),
N
p1 (T ) = 0,
S
(p1 − p2 ) + (µ + d + r)p2 + u2 (p2 − p3 ) − rp3 − 1,
N
= µp3 ,
p3 (T ) = 0.
(4.13)
p2 (T ) = 0, (4.14)
(4.15)
5. Penyelesaian Numerik
Di bab ini akan diperlihatkan efektivitas penerapan kontrol terhadap penyebaran penyakit. Nilai-nilai parameter berikut digunakan untuk menghitung penyelesaian numerik:
Λ = 237, µ = 3.86 × 10−5 , d = 0.5 × 10−2 , r = 0.25, β = 0.46, S0 = 6 × 106 , I0 = 11,
R0 = 10, a1 = a2 = 0, b1 = 0.01, b2 = 0.03, A1 = 108 , A2 = 2A1 , dan T = 200.
Penyelesaian nuemrik diperoleh dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde-4. Pada kasus tanpa kontrol, sistem persamaan adjoin tidak ada sehingga algoritme iteratif maju
(forward in time) dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem (3.1)–(3.3) dengan kondisi batas di awal waktu. Pada kasus dengan kontrol, sistem persamaan adjoin memiliki
kondisi batas di akhir waktu. Hal ini memberikan masalah tersendiri dalam pembuatan
penyelesai iteratif karena dari enam persamaan diferensial yang akan diselesaiakan, tiga
persamaan memiliki syarat nilai awal sehingga harus diselesaikan secara maju dan tiga
persamaan lainnya memiliki syarat nilai akhir sehingga harus diselesaiakan secara mundur (backward in time). Untuk kebutuhan ini dibuat program komputer bersifat iteratif
untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial dengan tahapan sebagai berikut:
(1) Tetapkan tebakan awal bagi peubah kontrol.
(2) Selesaikan masalah nilai awal (3.1)–(3.3) secara maju.
(3) Selesaiakan sistem persamaan adjoin secara mundur dengan menggunakan informasi yang diperoleh di langkah sebelumnya.
(4) Hitung peubah kontrol baru dengan menggunakan (4.5) dan/atau (4.9).
(5) Perbarui nilai kontrol dengan rata-rata nilai kontrol lama dan baru.
(6) Lakukan iterasi sampai mencapai batas toleransi yang ditetapkan.
Gambar 2 menunjukkan bahwa tanpa intervensi banyaknya individu terinfeksi akan
mencapai puncaknya pada hari ke-63 sejumlah 730 ribu jiwa. Strategi vaksinasi terbukti
Seminar Nasional Matematika 2014
319
Prosiding
Model Pengendalian Epidemi. . .
5
10
x 10
5
0
0
50
100
150
200
50
100
150
200
50
100
150
200
4000
2000
0
0
5
10
x 10
5
0
0
Gambar 2. Banyaknya individu terinfeksi: tanpa kontrol (atas), dengan vaksinasi (tengah), dengan
pengobatan (bawah)
6
5
6
x 10
5
6
x 10
5
4.5
4.5
4
4
4
3.5
3.5
3.5
4.5
3
3
3
2.5
2.5
2.5
2
2
2
1.5
1.5
1.5
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0
0
100
200
0
x 10
0
100
200
0
0
100
200
Gambar 3. Banyaknya individu rentan (kiri) dan sembuh (kanan) masing-masing dengan kontrol
vaksinasi, pengobatan, dan keduanya. Banyaknya individu tanpa kontrol dilukiskan oleh garis
penuh.
dapat mengurangi banyaknya individu terinfeksi hingga menjadi 2300 jiwa (99 persen)
dengan puncak infeksi terjadi pada hari ke-60. Sementara itu strategi pengobatan hanya
mampu menurunkan sekitar 10 persen. Meski banyaknya individu terinfeksi berkurang,
kedua strategi pengendalian membuat banyaknya individu rentan bertambah sedangkan
banyaknya individu sembuh berkurang seperti terlihat pada Gambar 3. Gambar 4 memberikan informasi bahwa program vaksinasi harus dilaksanakan dengan tingkat maksimum
sampai hari ke-48 setelah itu terus diturunkan hingga akhir periode. Sementara itu program pengobatan dilaksanakan dengan tingkat 77 persen pada hari ke-63. Jika vaksinasi
dan pengobatan diterapkan bersama-sama maka program vaksinasi harus dilaksanakan
100 persen sementara pengobatan hanya berperan 2.3 persen.
6. Simpulan dan Saran
Tulisan ini membahas penerapan vaksinasi dan pengobatan sebagai bentuk intervensi
terhadap model epidemik berbentuk SIR. Dengan menerapkan program intervensi secara
Seminar Nasional Matematika 2014
320
Prosiding
Model Pengendalian Epidemi. . .
0.01
0.025
0.01
0.009
0.009
0.008
0.02
0.008
0.007
0.007
0.006
0.015
0.006
0.005
0.005
0.004
0.01
0.004
0.003
0.003
0.002
0.005
0.002
0.001
0
0.001
0
100
200
0
0
100
200
0
0
100
200
Gambar 4. Kontrol optimum dengan vaksinasi (kiri), pengobatan (tengah), dan keduanya (kanan).
5
1.118
x 10
1.117
1.116
J
1.115
1.114
1.113
1.112
1.111
1.11
0
0.2
0.4
β
0.6
0.8
1
Gambar 5. Hubungan antara laju kontak efektif β dan fungsional objektif J.
sendiri-sendiri maupun bersamaan diperlihatkan bahwa program vaksinasi lebih efektif daripada program pengobatan dalam mengurangi banyaknya individu yang terinfeksi hingga
99 persen dari situasi ketika program pengendalian tidak diterapkan.
Telaah menarik dapat dilakukan dengan melihat pengaruh perubahan parameter model
terhada fungsional objektif optimum. Gambar 5 menunjukkan bahwa semakin sering
terjadi kontak antara individu terinfeksi dan individu rentan yang ditunjukkan oleh β
yang makin besar, maka dibutuhkan upaya pengendalian yang lebih intensif. Akibatnya
fungsional objektif J sebagai performance index juga meningkat. Namun besarnya J
cenderung konstan ketika β ∈ [0.3, 1].
Seminar Nasional Matematika 2014
321
Prosiding
Model Pengendalian Epidemi. . .
Daftar Pustaka
[1] Alkama, M., M. Elhia, Z. Rachik, M. Rachik, dan E. Labriji. 2014. Free terminal time optimal control
problem of an SIR epidemic model with vaccination. International Journal of Science and Research,
vol. 3, no. 5: 227–230.
[2] Bakare, E.A., A. Nwagwo, dan E. Danso-Addo. 2014. Optimal control analysis of an SIR epidemic
model with constant recruitment. International Journal of Applied Mathematical Research, vol. 3, no.
3: 273–285.
[3] Balatif, O., M. Elhia, J. Bouyaghroumni, dan M. Rachik. 2014. Optimal control strategy for a discrete
SIR epidemic model. International Journal of Applied Mathematics and Modeling, vol.2, no. 2: 1–8.
[4] Clayton, T., S. Duke-Sylvester, L.J. Gross, S. Lenhart dan L.A. Real. 2010. Optimal control of a
rabies epidemic model with a birth pulse, Journal of Biological Dynamics, vol. 4, no. 1: 43–58.
[5] Driessche, P.v.d. dan J. Watmough. 2002. Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria
for compartmental models of disease transmission. Mathematical Biosciences, vol. 180: 29–48.
[6] Elhia, M., O. Balatif, J. Bouyaghroumni, E. Labriji, dan M. Rachik. 2012. Optimal control applied
to the spread of influenza A (H1N1). Applied Mathematical Sciences, vol. 6, no. 82: 4057–4065.
[7] Elhia, M., M. Rachik, dan E. Benlahmar. 2013. Optimal control of an SIR model with delay in state
and control variables. ISRN Biomathematics. vol. 2013, Article ID 403549, 7 halaman.
[8] Hansen, E. dan T. Day. 2011. Optimal control of epidemics with limited resources. J. Math. Biol.,
vol. 62: 423–451.
[9] Kermack, W.O. dan A.G. McKendrick. 1927. A contribution to the mathematical theory of epidemics.
Proc. Royal Soc. London, vol. 115: 700–721.
[10] Laarabi, L., E.H. Labriji, M. Rachik, dan A. Kaddar. 2012. Optimal control of an epidemic model
with a saturated incidence rate. Nonlinear Analysis: Modelling and Control, vol. 17, no. 4: 448–459.
[11] Laarabi, H., M. Rachik, O.E. Kahlaoui, dan E.H. Labriji. 2013. Optimal vaccination strategies of an
SIR epidemic model with a saturated treatment. Universal Journal of Applied Mathematics, vol. 1,
no. 3: 185–191.
[12] Lawot, N. 2006. Mathematical modeling of smallpox with optimal intervention policy. M.Sc. Thesis.
Department of Mathematics, College of Sciences, the University of Central Florida, Orlando, Florida.
[13] Nainggolan, J., S. Supian, A.K. Supriatna, dan N. Anggriani. 2012. Kontrol optimal vaksinasi model
epidemiologi tipe SIR. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, Jurusan
Pendidikan Matematika FMIPA UNY.
[14] Owuor, O.N., M. Johannes, dan M.S. Kibet. 2013. Optimal vaccination strategies in an SIR epidemic
model with time scales. Applied Mathematics, vol. 4: 1–14.
[15] Ozair, M., A.A. Lashari, I.H. Jung, dan K.O. Okosun. 2012. Stability analysis and optimal control of
a vector-borne disease with nonlinear incidence. Discrete Dynamics in Nature and Society, vol. 2012,
Article ID 595487, 21 halaman.
[16] Saddiq, S.F., M.A. Khan, S. Islam, G. Zaman, N. Khalid, S.I.A. Shah, dan Z. Haq. 2013. Optimal
control of an epidemic model of leptospirosis with time delay. Life Science Journal, vol. 10(3s): 292–
298
[17] Shonkwiler, R.W. dan J. Herod. 2009. Mathematical Biology. An Introduction with Maple and Matlab.
2nd Edition. New York: Springer.
[18] Ullah, R., G. Zaman, dan S. Islam. 2013. Stability analysis of a general SIR epidemic model. VFAST
Transactions on Mathematics, vol. 1, no. 1: 16–20.
[19] Vinter, R. 2010. Optimal Control. New York: Birkhäuser.
[20] Wang, J. dan C. Modnak. 2011. Modeling Cholera Dynamics with Controls. Canadian Applied Mathematics Quarterly, vol. 19, no. 3: 255–273.
[21] Yusuf, T.T. dan F. Benyah. 2012. Optimal control of vaccination and treatment for an SIR epidemiological model. World Journal of Modelling and Simulation, vol. 8, no. 3: 194–204.
E-mail : tonibakhtiar@yahoo.com, faridahanum00@yahoo.com
Seminar Nasional Matematika 2014
322
Prosiding