Model SIRS-SI Penyebaran Penyakit Malaria dengan Pengobatan, Vaksinasi, dan Penyemprotan

MODEL SIRS-SI PENYEBARAN PENYAKIT MALARIA
DENGAN PENGOBATAN, VAKSINASI,
DAN PENYEMPROTAN

RANDITA GUSTIAN PUTRI

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Model SIRS-SI
Penyebaran Penyakit Malaria dengan Pengobatan, Vaksinasi, dan Penyemprotan
adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum
diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.
Bogor, September 2014
Randita Gustian Putri
NIM G551130366

RINGKASAN
RANDITA GUSTIAN PUTRI. Model SIRS-SI Penyebaran Penyakit Malaria
dengan Pengobatan, Vaksinasi, dan Penyemprotan. Dibimbing oleh
JAHARUDDIN dan TONI BAHKTIAR.
Malaria merupakan penyakit menular yang disebabkan oleh parasit yang
dikenal dengan Plasmodium. Pembawa parasit Plasmodium adalah nyamuk
Anopheles betina yang menyebabkan rusaknya sel-sel darah merah pada manusia
dan hewan melalui gigitannya. Malaria juga dapat ditularkan melalui transfusi
darah, pemakaian jarum suntik, maupun bawaan. Malaria merupakan penyakit
mematikan. Untuk itu, diperlukan perlakuan pencegahan untuk mengendalikan
baik tingkat infeksi maupun tingkat penyebaran penyakit ini.
Dalam penelitian ini, dibahas sebuah model penyebaran penyakit malaria
tipe SIR (Susceptible-Infected-Recovered) – SI (Susceptible-Infected). Modifikasi
model dilakukan dengan menambahkan asumsi bahwa manusia yang pulih dapat
rentan kembali terkena malaria akibat hilangnya kekebalan tubuh. Selain itu,

modifikasi model juga dilakukan dengan pemberian perlakuan pada manusia dan
nyamuk. Perlakuan yang diberikan adalah pengobatan dan vaksinasi pada
manusia serta penyemprotan pada nyamuk. Dalam model ini, populasi manusia
dibagi menjadi tiga kelas, yaitu rentan, terinfeksi, dan pulih. Sedangkan populasi
nyamuk dibagi menjadi dua kelas, yaitu rentan dan terinfeksi. Manusia pada kelas
rentan dapat berpindah ke kelas terinfeksi akibat gigitan nyamuk terinfeksi atau
penularan dari manusia terinfeksi melalui transfusi darah dan kongenital. Manusia
di kelas rentan juga dapat langsung berpindah ke kelas pulih karena vaksinasi.
Manusia pada kelas terinfeksi dapat berpindah ke kelas pulih karena perlakuan
pengobatan yang diberikan. Manusia di kelas pulih dapat kembali ke kelas rentan
akibat hilangnya kekebalan tubuh. Nyamuk pada kelas rentan dapat berpindah ke
kelas terinfeksi akibat menggigit manusia terinfeksi. Nyamuk di kelas rentan dan
kelas terinfeksi dapat mati akibat penyemprotan.
Tujuan dari penelitian ini adalah mengonstruksi model tipe SIRS-SI,
melakukan analisis kestabilan pada model, melihat pengaruh perlakuan terhadap
dinamika populasi manusia dan populasi nyamuk, dan mendeskripsikan
penggunaan metode homotopi untuk memperoleh pendekatan solusi dari model.
Terdapat dua titik tetap pada model: titik tetap tanpa penyakit dan titik
tetap endemik. Simulasi numerik menunjukkan bahwa perlakuan yang diberikan
memberikan pengaruh terhadap dinamika populasi manusia dan nyamuk yang

ditunjukkan dengan bilangan reproduksi dasar. Bilangan reproduksi dasar
merupakan nilai harapan banyaknya individu terinfeksi tiap satuan waktu. Infeksi
ini terjadi pada populasi rentan yang diakibatkan oleh satu individu terinfeksi.
Secara umum, jika efektivitas penggunaan perlakuan ditingkatkan, maka
menyebabkan menurunnya bilangan reproduksi dasar. Itu artinya, jumlah individu
yang terinfeksi semakin berkurang, sehingga penyakit tidak akan menyebar dan
dalam jangka waktu tertentu penyakit akan menghilang dari populasi tersebut.
Dalam penelitian ini, digunakan pula analisis metode homotopi sebagai
teknik lain untuk memperoleh pendekatan penyelesaian dari model. Penyelesaian
homotopi ditampilkan hingga orde ke-10 dengan variabel bebas dan parameter
bantu ℎ = −1. Penyelesaian dari metode ini dibandingkan dengan penyelesaian

numerik. Diperoleh bahwa antara penyelesaian homotopi dan penyelesaian
numerik memiliki absolute error yang cukup kecil hingga = 9 . Itu artinya,
metode homotopi merupakan metode pendekatan penyelesaian yang cukup baik.

Kata kunci: homotopi, malaria, perlakuan, simulasi, SIRS-SI

SUMMARY
RANDITA GUSTIAN PUTRI. SIRS-SI Model of Malaria Spread with Drug

Treatment, Vaccination, and Mosquito Spraying. Supervised by JAHARUDDIN
and TONI BAHKTIAR.
Malaria is an infectious disease caused by a parasite known as plasmodium.
Carrier of plasmodium parasite is the female anopheles mosquito that causes the
destruction of red blood cells in humans and animals through bites. Malaria also
can be transmitted through blood transfusion, sharing needles, or congenital.
Malaria is a deadly disease. Therefore, preventive treatment is necessary to
control the rate of infection and the rate of incidence of this disease.
This study discussed the spread of malaria in the framework of an SIR
(Susceptible-Infected-Recovered) – SI (Susceptible-Infected) model. Modification
of the model is done by considering the assumption that humans belong to
recovered class have possibility to be susceptible due to loss of immunity.
Moreover, modifications are also performed with treatments given to humans and
mosquitoes. The treatments are drug treatment and vaccination to humans and
spraying to mosquitoes. In this model, the human population is divided into three
classes, namely susceptible, infected, and recovered classes. The mosquito
population is divided into two classes, namely susceptible and infected classes.
Human in susceptible class can moved into infected class by an infected mosquito
bite or can be transmitted from infected human through blood transfusion and
congenital. Human in susceptible class also can move into recovered class due to

vaccination. Human in infected class can moved into recovered class due to drug
treatment. Human in recovered class can moved into susceptible class due to loss
of immunity. Mosquito in susceptible class can moved into infected class for
biting infected human. Mosquito in susceptible and infected classes can die
because of spraying.
The purpose of this study are to construct of SIRS-SI model, to analyze the
stability on the model, to show the treatments effect on the dynamics of human
and mosquito populations, and to describe the use of the homotopy analysis
method in providing an approximate solution of the model.
There are two fixed points on the model: disease free and endemic
equilibriums. Numerical simulation shows that treatments affect the dynamics of
human and mosquito population characterized by a basic reproduction number.
Basic reproduction number is denoted by the expectation value of the number of
infections per unit time. This infection occurs in a susceptible population
produced by one infected individual. In general, if the effectiveness of the use of
treatment is increased, then it decreases the basic reproduction number. That
means, the number of infected individuals is reduced, so that the disease will not
spread and within a certain period of disease will disappear from the population.
In this study, it is also performed homotopy analysis method as an
alternate technique in deriving an approximate solution of the model. Solution of

the homotopy is carried out up to 10-th order with independent variable and
auxiliary parameter ℎ = −1. The solution of this method is compared with the
numerical solution. It is shown that, between the solution of homotopy and

numeric have quite small absolute error up to
method can approximate the solution quite well.

= 9. It means that homotopy

Keywords: homotopy, malaria, treatment, simulation, SIRS-SI

© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2014
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

MODEL SIRS-SI PENYEBARAN PENYAKIT MALARIA
DENGAN PENGOBATAN, VAKSINASI,
DAN PENYEMPROTAN

RANDITA GUSTIAN PUTRI

Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

Penguji Luar dalam Ujian Tesis : Dr Ir Hadi Sumarno, MS

Judul Tesis : Model SIRS-SI Penyebaran Penyakit Malaria dengan Pengobatan,
Vaksinasi, dan Penyemprotan
Nama
: Randita Gustian Putri
NIM
: G551130366

Disetujui oleh
Komisi Pembimbing

Dr Jaharuddin, MS
Ketua

Dr Toni Bakhtiar, MSc
Anggota

Diketahui oleh

Ketua Program Studi
Matematika Terapan

Dekan Sekolah Pascasarjana

Dr Jaharuddin, MS

Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr

Tanggal Ujian: 26 Agustus 2014

Tanggal Lulus:

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu wa ta’ ala atas
segala karunia-Nya sehingga tesis ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih
ialah model matematika pada penyakit malaria, dengan judul Model SIRS-SI
Penyebaran Penyakit Malaria dengan Pengobata, Vaksinasi dan Penyemprotan.
Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister
Sains pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut
Pertanian Bogor. Penulis menyampaikan terima kasih kepada:
1. Bapak Ranu dan Ibu Lestari selaku orang tua serta Allif Ralestyo Laksono

selaku adik penulis.
2. Dr. Jaharuddin, MS selaku ketua komisi pembimbing sekaligus Ketua
Program Studi Pascasarjana Matematika Terapan Institut Pertanian Bogor.
3. Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc selaku anggota komisi pembimbing sekaligus Ketua
Departemen Matematika Institut Pertanian Bogor.
4. Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS selaku penguji luar komisi pembimbing.
5. Lestari Dwi Asih dan Windiani Erliana, M.Si sebagai partner penulis dalam
Program Sinergi 2012-2014.
6. Seluruh mahasiswa Departemen Matematika khususnya teman-teman
angkatan 2009 di program studi S1 Matematika dan angkatan 2012 di
program studi S2 Matematika Terapan.
7. Seluruh keluarga yang selalu memberikan dorongan dan mendoakan untuk
keberhasilan studi bagi penulis.
8. Sahabat-sahabat yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak
membantu penulias dalam penyelesaian tesis ini.
Semoga segala bantuan, bimbingan, dan motivasi yang telah diberikan kepada
penulis senantiasa mendapat balasan dari Allah Subhanahu wa ta’ ala.
Akhirnya, semoga penulisan tesis ini dapat memperkaya pengalaman belajar
dan wawasan kita semua.

Bogor, September 2014
Randita Gustian Putri

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian

1
1
2

2 TINJAUAN PUSTAKA
Sistem Persamaan Diferensial Biasa
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Pelinearan
Titik Tetap
Kestabilan Titik Tetap
Bilangan Reproduksi Dasar
Metode Homotopi

2
2
3
3
3
4
4
4

3 MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT MALARIA
Penelitian Sebelumnya
Modifikasi Model

6
6
7

4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Penentuan Titik Tetap
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Penentuan Bilangan Reproduksi Dasar
Simulasi
Metode Analisis Homotopi
Aplikasi Metode Homotopi

9
9
10
12
12
18
20

4 SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Saran

21
21
22

DAFTAR PUSTAKA

22

LAMPIRAN

24

RIWAYAT HIDUP

48

DAFTAR TABEL
1 Parameter pada model malaria tipe SIR-SI dan tipe SIRS-SI
2 Nilai parameter pada model malaria tipe SIRS-SI
3 Hasil simulasi efektivitas pengobatan pada manusia terhadap bilangan
reproduksi dasar
4 Hasil simulasi efektivitas vaksinasi pada manusia terhadap bilangan
reproduksi dasar
5 Hasil simulasi efektivitas penyemprotan pada nyamuk terhadap
bilangan reproduksi dasar

8
13
14
15
17

DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Diagram kompartemen penyakit malaria tipe SIR-SI
Diagram kompartemen penyakit malaria tipe SIRS-SI
Dinamika populasi manusia karena pengobatan pada manusia
Dinamika populasi nyamuk karena pengobatan pada manusia
Dinamika populasi manusia karena vaksinasi pada manusia
Dinamika populasi nyamuk karena vaksinasi pada manusia
Dinamika populasi manusia karena penyemprotan pada nyamuk
Dinamika populasi nyamuk karena penyemprotan pada nyamuk
Kurva h hingga orde ke-10
Penyelesaian HAM dan NUM terhadap populasi manusia dan populasi
nyamuk hingga orde ke-10 dengan ℎ = −1

7
8
14
15
16
16
17
18
20
21

DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

Penentuan titik tetap
Penentuan matriks Jacobi
Penentuan matriks Jacobi untuk titik tetap tanpa penyakit
Penentuan nilai eigen
Penentuan bilangan reproduksi dasar
Simulasi efektivitas pengobatan pada manusia
Simulasi efektivitas vaksinasi pada manusia
Simulasi efektivitas penyemprotan pada nyamuk
Penurunan persamaan (4.8)
Penurunan persamaan (4.9)
Program untuk Gambar 9
Program untuk Gambar 10

24
30
31
32
33
34
35
36
37
39
44
46

1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Malaria merupakan penyakit menular yang disebabkan oleh parasit yang
dikenal dengan Plasmodium. Perantara atau pembawa parasit Plasmodium ini
adalah nyamuk Anopheles betina yang menyebabkan rusaknya sel-sel darah
merah pada manusia dan hewan melalui gigitannya. Malaria dapat ditularkan
melalui transfusi darah, pemakaian jarum suntik, maupun bawaan. Malaria
merupakan penyakit mematikan. Di Indonesia, kelompok yang berisiko tinggi
terkena malaria adalah bayi, anak balita, dan ibu hamil. Berdasarkan API
(Annual Parasite Incidence), Indonesia bagian timur termasuk dalam wilayah
risiko malaria tinggi, Kalimantan, Sulawesi, dan Sumatera termasuk dalam
wilayah risiko malaria sedang, serta Jawa-Bali termasuk dalam wilayah risiko
malaria rendah (Ditjen PP 2011). Pada tahun 2012, WHO menyatakan bahwa
sekitar 3.4 milyar penduduk di dunia berisiko terkena malaria dengan 80% di
antaranya merupakan penduduk benua Afrika dan Asia (WHO 2013).
Banyak peneliti yang telah mengembangkan model matematika dari
transmisi penyakit malaria. Laarabi et al. (2012) memformulasikan model SIR
dengan tingkat infeksi taklinear dan melihat akibat dari vaksinasi terhadap
populasi manusia. Dalam model ini diasumsikan bahwa vaksinasi di waktu yang
tepat dapat mangakibatkan manusia rentan yang memperoleh vaksinasi dapat
langsung berpindah ke manusia pulih. Agusto et al. (2012) mengaplikasikan
kontrol optimum dengan penggunaan treatment sebagai variabel kontrol pada
sistem transmisi penyakit malaria. Abdullahi et al. (2013) mengembangkan
model penyebaran penyakit malaria dengan mempertimbangkan adanya
penularan dari manusia ke manusia melalui transfusi darah dan melalui ibu
hamil yang terinfeksi malaria.
Dalam penelitian ini dibahas sebuah model penyebaran penyakit malaria
dengan efektivitas penggunaan obat-obatan yang diperkenalkan oleh Abdullahi
et al. (2013). Model ini merupakan model SIR-SI. Modifikasi model dilakukan
dengan menambahkan asumsi bahwa manusia yang pulih dapat rentan kembali
terkena malaria akibat hilangnya kekebalan tubuh (Mandal et al. 2011),
sehingga model ini disebut SIRS-SI. Selain itu, modifikasi model juga
dilakukan dengan penambahan parameter pencegahan malaria yaitu vaksinasi
pada manusia (Schwartz et al. 2012) dan penyemprotan pada nyamuk
(Ratovonjato et al. 2014). Selanjutnya, dilakukan analisis kestabilan pada model
dan melihat dinamika populasi dengan adanya treatment pencegahan malaria.
Model SIRS-SI ini juga akan diselesaikan menggunakan metode homotopi
kemudian dibandingkan galatnya dengan penyelesaian numerik.
Banyak metode dikembangkan untuk menyelesaikan model populasi
SIR-SI, di antaranya oleh Abdullahi et al. (2013) yang menggunakan metode

2
analisis kestabilan pada model penyebaran penyakit malaria dan Khan et al.
(2013) yang menggunakan metode homotopi perturbasi pada model epidemik
leptospirosis. Metode homotopi merupakan suatu pendekatan penyelesaian
analitik dari masalah persamaan diferensial yang tak linear. Dalam metode ini,
didefinisikan suatu operator linear dan operator taklinear yang didasarkan pada
suatu bentuk persamaan diferensial. Kelebihan metode homotopi dibandingkan
metode pendekatan penyelesaian analitik yang lain yaitu terdapat parameter
bantu pada fungsi homotopi yang dapat mengontrol kekonvergenan dari
penyelesaiannya dan kebebasan dalam pemilihan pendekatan awal (Liao 2004).
Penerapan dari metode homotopi yang telah digunakan oleh para peneliti antara
lain Jaharuddin (2014) pada model populasi spesies tunggal pada lingkungan
yang tercemar, Paparao (2013) pada model ekologi tiga populasi, dan Padma
(2013) pada model kualitas air.
Tujuan Penelitian
Berdasarkan uraian latar belakang di atas, maka penelitian ini bertujuan
untuk
1 Mengonstruksi model penyakit malaria tipe SIRS-SI.
2 Melakukan analisis kestabilan pada model.
3 Melakukan simulasi numerik terhadap model untuk melihat pengaruh
treatment pencegahan dan penanganan malaria terhadap dinamika populasi
manusia dan nyamuk.
4 Menggunakan metode homotopi untuk menyelesaikan model.

2 TINJAUAN PUSTAKA
Sistem Persamaan Diferensial Biasa
Sistem Persamaan Diferensial Biasa Taklinear
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa (PDB) dinyatakan
sebagai
dengan
�=

�1 ( )
�2 ( )

�=

dan

,� ,

,� =

(2.1)

, �1 , �2 , … , � )
2 ( , �1 , �2 , … , � )
1(

.

� ( )
( , �1 , �2 , … , � )
Fungsi
, � adalah fungsi taklinear dalam �1 , �2 , … , � . Sistem persamaan
(2.1) disebut sistem persamaan diferensial biasa taklinear (Tu 1994).
Sistem Persamaan Diferensial Biasa Mandiri
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa (PDB) dinyatakan
sebagai

3
�=

� ,� ∈ ℝ

(2.2)

dengan f merupakan fungsi kontinu bernilai real dari �. Sistem persamaan (2.2)
disebut sistem persamaan diferensial biasa mandiri (autonomous) karena tidak
memuat t secara eksplisit di dalamnya (Tu 1994).
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Diberikan matriks koefisien konstan � berukuran
×
dan sistem
persamaan diferensial biasa homogen � = ��, � � = �� , � ∈ ℝ . Suatu
vektor taknol � di dalam ℝ disebut vektor eigen dari � jika untuk suatu skalar
berlaku
��=

�.

(2.3)

� = �,

(2.4)

Nilai skalar disebut nilai eigen dari �.
Untuk mencari nilai dari �, maka sistem persamaan (2.3) dapat ditulis
�−

dengan
adalah matriks identitas. Sistem persamaan (2.4) mempunyai
penyelesaian taknol jika dan hanya jika
det � −

= �.

(2.5)

Persamaan (2.5) merupakan persamaan karakteristik matriks � (Leon 1998).
Pelinearan

Misalkan diberikan sistem persamaa diferensial biasa tak linear sebagai
berikut :
�=

� ,� ∈ ℝ .

(2.6)

Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor di sekitar titik tetap �, maka sistem
persamaan (2.6) dapat ditulis sebagai
dengan

�= �+

adalah matriks Jacobi.

=

(�)
�

1

�1
2

� =�

=

�1

� ,

(2.7)

2

�2
2

�2

1

…

⋱
…

�

2

�

,

�1
�2
� �=�
dengan
(�) adalah suku berorde tinggi yang bersifat lim�→0 � = � .
Bentuk � pada sistem persamaan (2.7) disebut pelinearan sistem persamaan
(2.6) (Tu 1994).
Titik Tetap
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa seperti pada sistem
(2.2). Titik � disebut titik tetap jika � = �. Titik tetap disebut juga titik kritis
atau titik kesetimbangan atau titik ekulibrium (Tu 1994). Untuk selanjutnya
digunakan istilah titik tetap.

4
Kestabilan Titik Tetap
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa sebarang � =
� , � ∈ ℝ dengan � sebagai titik tetap. Kestabilan titik tetap � dapat
ditentukan dengan memperhatikan nilai-nilai eigen, yaitu , = 1,2, … , , yang
diperoleh dari persamaan karakteristik. Secara umum, kestabilan titik tetap
mempunyai perilaku sebagai berikut :
1 Stabil, jika :
a Re
< 0, untuk setiap i, atau
b terdapat Re
= 0, untuk sebarang j dan Re
< 0 untuk setiap
≠ .
2 Tidak stabil, jika terdapat paling sedikit satu i sehingga Re
> 0.
(Tu 1994).
Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar ( 0 ) merupakan nilai harapan terjadinya infeksi
per satuan waktu. Infeksi ini terjadi pada suatu populasi yang seluruhnya rentan
yang dihasilkan oleh satu jenis individu yang sudah terinfeksi. 0 dalam
penelitian ini ditentukan dengan menggunakan metode yang dikenalkan oleh
van den Driessche dan Watmough (2008) yaitu mengonstruksi suatu matriks
yang berasal dari subpopulasi-subpopulasi yang menyebabkan infeksi saja.
Matriks tersebut dikenal dengan the next generation matrix. Nilai 0
merupakan nilai eigen tak negatif terbesar dari matriks ini.
Kondisi yang memungkinkan dari bilangan reproduksi dasar menurut van
den Driessche dan Watmough (2008) adalah
1 Jika 0 < 1, maka jumlah individu yang terinfeksi akan menurun pada setiap
generasi, sehingga penyakit tidak akan menyebar.
2 Jika 0 > 1, maka jumlah individu yang terinfeksi akan meningkat pada
setiap generasi, sehingga penyakit akan menyebar.
Metode Homotopi
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode homotopi. Misalkan
diberikan persamaan diferensial berikut:
(2.8)
�
= 0,
dengan � operator turunan, t variabel bebas, dan u(t) fungsi yang akan
ditentukan penyelesaiannya. Selanjutnya, didefinisikan pula suatu operator ℒ
yang memenuhi
(2.9)
ℒ
= 0, bila = 0.
Didefinisikan suatu fungsi homotopi sebagai berikut:
ℋ

,

;

= 1−

ℒ

,

−

0

+ �

,

,

(2.10)

dengan fungsi yang akan ditentukan yang bergantung pada t dan parameter q.
Fungsi u0(t) merupakan pendekatan awal dari penyelesaian persamaan (2.8) dan
q  [0,1] suatu parameter. Berdasarkan persamaan (2.10), untuk q = 0 dan q = 1
masing-masing memberikan persamaan berikut:
ℋ
,0 ;0 = ℒ
,0 − 0
dan

5
ℋ
,1 ;1 = �
,1 .
Menurut persamaan (2.8) sampai (2.10) diperoleh bahwa fungsi
,0 =
dan
, 1 = ( ) masing-masing merupakan penyelesaian dari
0
persamaan
ℋ
, 0 ; 0 = 0 dan ℋ
, 1 ; 1 = 0.
Dengan demikian peningkatan nilai q dari 0 sampai 1 menyatakan perubahan
nilai ℋ
, ; dari ℒ
, − 0
ke �
,
. Dalam topologi hal
ini disebut deformasi.
Perluasan metode homotopi lebih lanjut dapat dituliskan dalam bentuk
persamaan deformasi orde nol berikut :
(2.11)
1− ℒ
, − 0
= ℎ� �
, ,
dengan 0
adalah pendekatan awal, ℎ dan �
masing-masing merupakan
parameter bantu dan fungsi bantu. Jika q = 0 dan q = 1, maka dari persamaan
(2.11) akan diperoleh
,0 = 0
dan
, 1 = ( ). Selanjutnya, karena
parameter q bernilai dari 0 sampai 1, maka
, memetakan dari penduga
awal 0
ke penyelesaian eksak ( ) . Dengan menggunakan konsep deret
Taylor terhadap q di sekitar q = 0, t,q dapat diuraikan menjadi
+∞

t,q =

t,0 +
n=1

Misalkan dinotasikan
un t =
Karena

t,0 =

t,q

qn .
=0

1  n t,q
n!  qn

0 ( ), maka

t,q =

1
!

.
q=0

+∞
0(

un t qn .

)+
n=1

Karena

t,1 =

, maka pada saat q = 1 diperoleh
+∞

( )=

0(

)+

un t .

(2.12)

n=1

Kemudian dengan menurunkan persamaan (2.11) terhadap q hingga n kali serta
dievaluasi pada q = 0 dan dibagi dengan n! akan diperoleh bentuk persamaan
orde ke-n berikut:
(2.13)
ℒ
−
= ℎ�
−1 , ,
−1
dengan
, 1 , … , n ( ))
−1 = ( 0
1  n-1 �[ t,q ]
Rn un-1,t =
n-1 !
 qn-1
q=0

0, n ≤ 1
n =
.
1, n > 1
Penyelesaian dari metode homotopi yaitu pada persamaan (2.12) dengan
pendekatan un (t), n = 1,2,3,… diperoleh dari persamaan (2.13).

6

3 MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN
PENYAKIT MALARIA
Penelitian Sebelumnya
Abdullahi et al. (2013) merumuskan model penyebaran penyakit malaria
tipe SIR-SI. Pada model ini, populasi manusia dibagi menjadi tiga kelas, yaitu
manusia rentan (susceptible) ℎ , manusia terinfeksi (infected) ℎ , dan manusia
pulih (recovered) ℎ , sedangkan populasi nyamuk dibagi menjadi dua kelas,
yaitu nyamuk rentan (susceptible)
dan nyamuk terinfeksi (infected) .
Individu yang lahir dan bermigrasi pada kelas rentan ℎ memiliki laju
konstan sebesar ℎ . Manusia yang berada di kelas rentan dapat berpindah ke
kelas terinfeksi ℎ akibat transfusi darah dengan laju 1 atau akibat gigitan
nyamuk terinfeksi dengan laju 2 . Manusia yang berada di kelas rentan dapat
mati dengan laju kematian sebesar ℎ . Lahirnya bayi yang terinfeksi malaria
akibat bawaan pada kelas terinfeksi ℎ memiliki laju sebesar . Manusia yang
berada di kelas terinfeksi dapat berpindah ke kelas pulih
karena
ℎ
penggunaan obat-obatan anti-malaria dengan laju
. Manusia di kelas
terinfeksi dapat mati dengan laju kematian ℎ dan mati akibat malaria dengan
laju . Manusia di kelas pulih ℎ dapat mati dengan laju ℎ .
Nyamuk yang lahir dan bermigrasi pada kelas rentan
memiliki laju
konstan sebesar
. Nyamuk di kelas rentan dapat berpindah ke kelas terinfeksi
karena menggigit manusia terinfeksi dengan laju 3 atau dapat mati
dengan laju kematian sebesar
. Selanjutnya, nyamuk di kelas terinfeksi dapat
mati dengan laju kematian sebesar
.
Persamaan dinamika sistem tersebut diformulasikan sebagai berikut
ℎ

=

ℎ

=

ℎ

=
=
=

ℎ

−

ℎ

+

ℎ

−

−

3 ℎ

1 ℎ

+

1 ℎ
ℎ

ℎ,

3 ℎ

−

+

2

+

ℎ

2

+

ℎ

−

ℎ,
ℎ

+

,
.

Keterangan parameter disajikan pada Tabel 1.

+

ℎ,

(3.1)

7
Secara skematis, pola penyebaran penyakit malaria tipe SIRS-SI digambarkan
dalam diagram kompartemen pada Gambar 1.
ℎ

ℎ
ℎ

2

1

3

ℎ

ℎ

ℎ
ℎ

Manusia
Nyamuk
Gambar 1 Diagram kompartemen penyakit malaria tipe SIR-SI

Modifikasi Model
Model SIR-SI yang dirumuskan oleh Abdullahi et al. (2013) selanjutnya
dimodifikasi dengan menambahkan asumsi bahwa manusia yang telah pulih
dapat rentan kembali terkena malaria akibat hilangnya laju kekebalan tubuh
dengan laju � (Mandal et al., 2011), sehingga model ini selanjutnya disebut
SIRS-SI. Definisi kelas rentan pada model ini merupakan manusia yang belum
tergigit nyamuk dan telah tergigit nyamuk namun parasit hanya berada di dalam
darah. Vaksinasi yang diberikan dapat membuat manusia rentan yang telah
tergigit dapat langsung berpindah ke manusia pulih. Kelas terinfeksi merupakan
manusia yang telah tergigit nyamuk dan parasit telah berada di hati. Manusia
yang telah pulih atau sembuh dari malaria karena perlakuan yang diberikan
didifinisikan ke dalam kelas pulih. Modifikasi model juga dilakukan dengan
menambahkan asumsi bahwa manusia pada kelas rentan ( ℎ ) dapat berpindah
ke kelas pulih ℎ karena adanya vaksinasi dengan laju (Schwartz et al.
2012) serta nyamuk pada kelas rentan
dan kelas terinfeksi
dapat mati
karena penyemprotan dengan laju � (Ratovonjato et al. 2014).
Persamaan dinamika sistem tersebut diformulasikan sebagai berikut
ℎ

=

ℎ

+�

ℎ

−

1 ℎ

+

2

ℎ

−

+

ℎ

ℎ,

8
ℎ
ℎ

=
=
=
=

ℎ

+
ℎ

−

3 ℎ

−(

1 ℎ
ℎ

+

+ �)

3 ℎ

ℎ

+

−(

ℎ

2

+
+�

+ �)

ℎ,

−

ℎ

+

+

ℎ,

(3.2)

,

.

Keterangan parameter disajikan pada Tabel 1.
Secara skematis, pola penyebaran penyakit malaria dapat digambarkan
dalam diagram kompartemen pada Gambar 2.
ℎ

ℎ
ℎ

�

1

2
3

�

ℎ

ℎ

ℎ
ℎ

�

Manusia
Nyamuk
Gambar 2 Diagram kompartemen penyakit malaria tipe SIRS-SI
Tabel 1 Parameter pada model malaria tipe SIR-SI dan tipe SIRS-SI
Variabel
Keterangan
Satuan
Laju kelahiran dan migrasi manusia
orang/waktu
ℎ
Laju kelahiran dan migrasi nyamuk
orang/waktu
Laju konstan kematian manusia secara alami
1/waktu
ℎ
Laju konstan kematian nyamuk secara alami
1/waktu
Rata-rata banyaknya transfusi darah tiap satuan 1/orang × waktu
waktu
Rata-rata banyaknya gigitan nyamuk terinfeksi 1/nyamuk × waktu
pada manusia rentan tiap satuan waktu
Rata-rata banyaknya gigitan nyamuk rentan pada 1/orang × waktu
manusia terinfeksi tiap satuan waktu
Peluang terjadinya transmisi penyakit dari
tanpa satuan
1
manusia terinfeksi ke manusia rentan
Peluang terjadinya transmisi penyakit dari
tanpa satuan
2

9
nyamuk terinfeksi ke manusia rentan
Peluang terjadinya tranmisi penyakit dari manusia
terinfeksi ke nyamuk rentan
Efektivitas penyemprotan pada nyamuk
Laju konstan hilangnya kekebalan tubuh pada
manusia setelah pulih
Efektivitas vaksinasi pada manusia
Laju bayi yang lahir dari ibu yang terinfeksi
malaria
Efektivitas pengobatan pada manusia
Laju kematian manusia akibat malaria
Laju pemulihan

3

�
�

tanpa satuan
1/waktu
1/waktu
1/waktu
1/waktu
tanpa satuan
1/waktu
1/waktu

4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Penentuan Titik Tetap
Pada sub-bab ini akan dicari titik tetap berdasarkan persamaan (3.2). Titik
tetap diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan
ℎ

ℎ

=

ℎ

=

=

=

= 0.

Sistem (3.2) memiliki dua jenis titik tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit
(disease-free equilibrium) �
dan titik tetap endemik (endemic equilibrium)
� . Dengan menggunakan software berbasis fungsional, diperoleh titik tetap
�
�

dengan

∗
ℎ

=

ℎ

ℎ

dan titik tetap �
dengan

∗∗
ℎ

∗∗
ℎ

∗∗
ℎ

dengan

=
=
=

+�
+�+
ℎ

�

1 ℎ
ℎ

+
ℎ

∗∗ ∗∗
ℎ , ℎ ,

ℎ, ℎ ,

∗∗

∗∗

+

2

ℎ

+�

+
ℎ +�
∗∗
ℎ ,

−

ℎ

∗∗

∗∗

∗
ℎ

ℎ,

2
∗∗

+

,

,

ℎ, ℎ,

ℎ

ℎ,

,

dan

,

∗∗
ℎ
∗∗

ℎ

∗∗

1

+
ℎ

∗∗

∗∗

=

ℎ

−

ℎ

,

,

∗ ∗
ℎ,

ℎ

+�+

∗∗ ∗∗
ℎ , ℎ ,

=

+

∗
ℎ , 0,

=

(4.1)

,0 ,

∗

,

ℎ

∗∗ ∗∗ ∗∗
,
ℎ ,
∗∗

=

∗∗

=

=

+�

,
∗∗
3 ℎ
∗∗
3 ℎ

dapat dilihat pada Lampiran 1.

+

+�

∗∗

.

+�

,

(4.2)

10
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Pada bagian ini, dilakukan analisis untuk melihat sifat kestabilan pada titik
tetap. Untuk selanjutnya hanya dilakukan analisis kestabilan untuk titik tetap
tanpa penyakit � , sedangkan untuk titik tetap � tidak dilakukan analisis
ketabilan karena bentuknya yang sangat kompleks.
Penentuan Matriks Jacobi
Misalkan diberikan sistem (3.2) didefinisikan sebagai fungsi berikut
�=

� , � ∈ ℝ5 ,

(4.3)

dengan � ∈ ℝ adalah variabel-variabel yang terdapat pada sistem (3.2).
Matriks Jacobi dari sistem (3.2) didefinisikan sebagai
0 15
11
12
13
0
0 25
21
22
0 ,
= 31 32 33 0
0
0
0
42
44
0
0
55
52
54
dengan
5

11
13
21
25
32
42
52
55

=− 1 ℎ−
= �,
= 1ℎ+
= 2 ℎ,
= ,
=− 3 ,
= 3 ,
=−
− �.

2

,

2

−

ℎ

− ,

12
15
22
31
32
44
54

= − 1 ℎ,
= − 2 ℎ,
= + 1 ℎ− 1−
= ,
= − ℎ − �,
=− 3 ℎ−
− �,
= 3 ℎ,

−

,

Penentuan matriks Jacobi dapat dilihat pada Lampiran 2.

Penentuan Matriks Jacobi untuk Titik Tetap Tanpa Penyakit
Sifat kestabilan titik tetap �
,
= ℎ ∗ , 0, ℎ ∗ , ∗ , 0
ℎ, ℎ, ℎ,
dapat dilakukan dengan melakukan pelinearan pada sistem persamaan
diferensial (4.3) di sekitar � , sehingga diperoleh matriks Jacobi untuk titik
tetap tanpa penyakit sebagai berikut
0 15
11
12
13
0 22 0
0 25
0 ,
= 31 32 33 0
0
0
0
42
44
0
0
0
55
52
dengan
11

13

22
31
33

=−

= �,
=

ℎ

+

= ,
=−

ℎ

− ,

ℎ

12

15

+�
−
+�+ ℎ

1 ℎ

− �,

ℎ

ℎ

−

−

,

25
32
42

−

ℎ +�
,
+
�
+ ℎ
ℎ
− 2 ℎ ℎ +�
=
,
+�+ ℎ
ℎ
2 ℎ
ℎ +�
=
,
+�+ ℎ
ℎ
= ,
− 3
=
,
+�

=

1 ℎ

11
44
55

=−
=−

− �,

52

− �.

=

3

+�

,

Penentuan matriks Jacobi untuk titik tetap tanpa penyakit dapat dilihat pada
Lampiran 3.
Penentuan Nilai Eigen
Menurut Tu (1994), titik tetap �
bersifat stabil jika dan hanya jika
setiap nilai eigen dari matriks � bernilai negatif dan tidak stabil jika dan
hanya jika ada minimal satu nilai eigen dari matriks � yang taknegatif.
Berdasarkan matriks | � − | diperoleh lima nilai eigen berikut :
− �,
1 = 44 = −
2
1 −
1 −4 2
,
2 =
2
2
1 +
1 −4 2
=
,
3
2
2
3 −
3 −4 4
,
=
4
2
2
3 +
3 −4 4
,
=
5
2
dengan
1 = 11 + 33 = − ℎ − − ℎ − �,
− ℎ −� −� ,
2 = 11 33 − 13 31 = − ℎ −
+
�
1 ℎ
ℎ
+
− ℎ− −
−
− �,
3 = 22 + 55 =
+
�
+ ℎ
ℎ
4 = 22 55 − 25 52
1 ℎ
ℎ +�
− ℎ− −
− −�
=
+
+�+ ℎ
ℎ
2 ℎ
3
ℎ +�
−
,
+�
+�+ ℎ
ℎ
Sistem akan stabil jika semua nilai eigen bernilai negatif.
 Untuk nilai eigen 2 ,

1 < 0, karena semua parameter bernilai positif,
2
2

2 bernilai negatif, jika
1 − 4 2 > 0 atau 1 > 4 2 ,
Jika dua kondisi tersebut terpenuhi , maka mengakibatkan 2 < 0.
 Untuk nilai eigen 3 ,
2

3 bernilai negatif, jika
1 − 4 2 < − 1,
2
2

3 bernilai negatif, jika
1 − 4 2 > 0 atau 1 > 4 2 ,
.Jika dua kondisi tersebut terpenuhi, maka mengakibatkan 3 < 0.
 Untuk nilai eigen 4 ,
1 ℎ ℎ +�

< ℎ+ +
+
+ �,
3 < 0, jika +
ℎ

+� + ℎ

2
2

4 bernilai negatif, jika
3 − 4 4 > 0 atau 3 > 4 4 ,
Jika dua kondisi tersebut terpenuhi, maka mengakibatkan 4 < 0.

12


Untuk nilai eigen 5 ,

3 < 0, jika +

ℎ +�

1 ℎ

ℎ

+� + ℎ

<

ℎ

+

+

+

+ �,

2
2

5 bernilai negatif, jika
3 − 4 4 > 0 atau 3 > 4 4 ,
2

5 bernilai negatif, jika
3 − 4 4 < − 3,
Jika tiga kondisi tersebut terpenuhi, maka mengakibatkan 5 < 0.
Penentuan nilai eigen dapat dilihat pada Lampiran 4.

Penentuan Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar dinotasikan dengan 0 adalah nilai harapan
banyaknya infeksi tiap satuan waktu. Infeksi ini terjadi pada suatu populasi
rentan yang dihasilkan oleh satu individu terinfeksi.
Untuk menentukan bilangan reproduksi dasar digunakan pendekatan the
next generation matrix. Berdasarkan persamaan (3.2), maka diperoleh matriks �
dan � sebagai berikut
1 ℎ
2 ℎ
ℎ +�
ℎ +�
+�+ ℎ
+�+ ℎ
ℎ
ℎ
,
�=
3
0
+�
dan
− + ℎ+ +
0
�=
.
0
+�
Bilangan reproduksi dasar 0 merupakan nilai eigen positif terbesar dari
matriks = �� −1 , yaitu
2 +4
1 +
1
2 3
,
0 =
2
dengan
1 ℎ
ℎ +�
,
1 =
+ � + ℎ (− + ℎ + + )
ℎ
2 ℎ
ℎ +�
,
2 =
+� ℎ +�+ ℎ
3

=

3

+ � (− +

ℎ

+

+

.
)

(4.4)

Penentuan bilangan reproduksi dapat dilihat pada Lampiran 5.
Kondisi yang memungkinkan dari bilangan reproduksi dasar menurut van
den Driessche & Watmough (2008) adalah
1. Jika 0 < 1, maka jumlah individu yang terinfeksi akan menurun pada setiap
generasi, sehingga penyakit tidak akan menyebar.
2. Jika 0 > 1, maka jumlah individu yang terinfeksi akan meningkat pada
setiap generasi, sehingga penyakit akan menyebar.
Simulasi

0

Pada bagian simulasi ini, diamati dinamika populasi dalam kondisi ketika
< 1. Dalam hal ini, 0 merupakan bilangan reproduksi yang didefinisikan

13
pada persamaan (4.4). Simulasi ini diperlukan untuk menunjukkan pengaruh
pengobatan dan vaksinasi pada manusia serta penyemprotan pada nyamuk
terhadap dinamika populasi manusia dan populasi nyamuk.
Nilai Parameter
Pemilihan parameter didasarkan pada studi yang dilakukan oleh berbagai
sumber terpercaya. Beberapa nilai parameter seperti yang menyangkut populasi,
didasarkan pada asumsi tentang situasi penyakit yang paling umum. Nilai-nilai
parameter yang diambil sehingga diperoleh 0 < 1 disajikan pada Tabel 2.
Tabel 2 Nilai Parameter pada model malaria tipe SIRS-SI
Variabel
ℎ
ℎ

1
2
3

�
�

Nilai Parameter

Satuan

Sumber

0.027
0.13
0.0004
0.04
0.038
0.13
0.022
0.02
0.010
0.072
[0,1]
1/730
[0,1]
0.005
[0,1]
0.05
0.611

orang/hari
nyamuk/hari
1/hari
1/hari
1/manusia × hari
1/nyamuk × hari
1/manusia × hari
tanpa satuan
tanpa satuan
tanpa satuan
tanpa satuan
1/hari
tanpa satuan
1/hari
tanpa satuan
1/hari
1/hari

Agusto et al. (2012)
Asumsi
Agusto et al. (2012)
Agusto et al. (2012)
Asumsi
Chitnis et al.(2005)
Asumsi
Asumsi
Chitnis et al.(2005)
Chitnis et al.(2005)
Asumsi
Agusto et al. (2012)
Asumsi
Asumsi
Asumsi
Agusto et al. (2012)
Laarabi et al.(2012)

Dengan linearisasi dan perhitungan terhadap sistem (3.2) di sekitar titik
tetap, diperoleh matriks Jacobian dan nilai eigen untuk titik tetap tanpa penyakit.
Selanjutnya dapat disimpulkan bahwa titik tetap tanpa penyakit memiliki sifat
stabil karena semua nilai eigen bernilai negatif pada kondisi 0 < 1. Simulasi
dilakukan dengan menggunakan nilai parameter pada Tabel 2. Nilai awal
populasi manusia rentan ( ℎ ) adalah 40, populasi manusia terinfeksi ℎ adalah
2, populasi manusia pulih ℎ adalah 0, populasi nyamuk rentan
adalah
500, dan populasi nyamuk terinfeksi
adalah 10. Simulasi ini diperlukan
untuk menunjukkan pengaruh treatment yang diberikan.
Simulasi Efektivitas Pengobatan pada Manusia
Simulasi ini dilakukan untuk menunjukkan efektivitas dari pengobatan
pada manusia terhadap populasi manusia dan populasi nyamuk. Dalam hal ini,
akan ditunjukkan bahwa peningkatan atau penurunan nilai parameter dapat

14
mengubah bilangan reproduksi dasar 0 yang didefinisikan pada persamaan
(4.4). Terdapat tiga nilai yang diamati, diambil pada selang 0.10,0.30
dengan langkah 0.10. Nilai-nilai parameter lain dapat dilihat pada Tabel 2.
Adapun perubahan nilai parameter yang menyebabkan terjadinya perubahan
0 dapat dilihat pada Tabel 3.
Tabel 3 Hasil simulasi efektivitas pengobatan pada manusia terhadap bilangan
reproduksi dasar
Bilangan reproduksi dasar

Parameter
= 0.10
= 0.20
= 0.30

0
0
0

= 0.646
= 0.454
= 0.361

Pada populasi manusia sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 3, jika
efektivitas pengobatan pada manusia diperbesar, maka menyebabkan semakin
berkurangnya jumlah manusia di kelas terinfeksi dan semakin bertambahnya
jumlah manusia di kelas pulih. Sedangkan jumlah manusia di kelas rentan
mengalami penurunan.

= 0.10

= 0.20

= 0.30

Gambar 3 Dinamika populasi manusia karena pengobatan pada manusia
Pengobatan yang diberikan kepada manusia memberikan dampak pada
populasi nyamuk sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 4. Jika efektivitas
pengobatan pada manusia diperbesar, maka menyebabkan menurunnya jumlah
nyamuk di kelas terinfeksi dan menyebabkan bertambahnya jumlah nyamuk di
kelas rentan. Hal ini dikarenakan peningkatan efektivitas pengobatan pada
manusia menyebabkan penurunan pada jumlah manusia di kelas terinfeksi,

15
sehingga mengakibatkan penurunan pula pada jumlah nyamuk di kelas
terinfeksi.

= 0.10

= 0.20

= 0.30

Gambar 4 Dinamika populasi nyamuk karena pengobatan pada manusia
Bertambah atau berkurangnya jumlah manusia dan nyamuk di tiap kelas
cenderung tidak sama untuk setiap kenaikan efektivitas pengobatan pada
manusia. Maksimum jumlah manusia dan jumlah nyamuk di kelas terinfeksi
terjadi pada saat = 25 hari. Pada saat = 25 hari, dengan efektivitas sebesar
20%, dapat menurunkan persentase manusia terinfeksi sebesar 23.81% dari
total populasi manusia dan dapat menurunkan persentase nyamuk terinfeksi
sebesar 5.88% dari total populasi nyamuk.
Program simulasi dapat dilihat pada Lampiran 6.
Simulasi Efektivitas Vaksinasi pada Manusia
Dalam hal ini, dilakukan simulasi untuk menunjukkan efektivitas dari
vaksinasi terhadap populasi manusia dan populasi nyamuk. Diasumsikan
manusia terinfeksi diberikan pengobatan pada manusia sebesar 10% . Akan
ditunjukkan bahwa peningkatan atau penurunan nilai parameter
dapat
mengubah bilangan reproduksi dasar 0 yang didefinisikan pada persamaan
(4.4). Perubahan nilai parameter yang menyebabkan terjadinya perubahan 0
dapat dilihat pada Tabel 4.
Tabel 4 Hasil simulasi efektivitas vaksinasi pada manusia terhadap bilangan
reproduksi dasar
Parameter
= 0.10
= 0.20
= 0.30

Bilangan reproduksi dasar
0
0
0

= 0.047
= 0.039
= 0.027

Gambar 5 menjelaskan bahwa jika efektivitas vaksinasi diperbesar dan
nilai parameter yang lain tetap, maka jumlah manusia pada kelas rentan semakin
berkurang dan jumlah manusia pada kelas pulih semakin bertambah. Hal ini
secara tidak langsung menyebabkan penurunan jumlah manusia pada kelas
terinfeksi.

16

= 0.10

= 0.20

= 0.30

Gambar 5 Dinamika populasi manusia karena vaksinasi pada manusia
Jika efektivitas vaksinasi diperbesar dan nilai parameter yang lain tetap,
maka secara tidak langsung menyebabkan jumlah nyamuk pada kelas terinfeksi
semakin berkurang sebagaimana yang dapat dilihat pada Gambar 6. Hal ini
dikarenakan peningkatan efektivitas penggunaan vaksin menyebabkan semakin
berkurangnya jumlah manusia di kelas terinfeksi.

= 0.10

= 0.20

= 0.30

Gambar 6 Dinamika populasi nyamuk karena vaksinasi pada manusia
Jumlah manusia dan nyamuk di tiap kelas berbeda untuk setiap kenaikan
efektivitas vaksinasi pada manusia. Pada saat = 15 hari, dengan efektivitas
sebesar 20%, dapat menurunkan persentase jumlah manusia di kelas rentan
sebesar 14.29% dan meningkatkan persentase jumlah manusia di kelas pulih
sebesar 21.43% dari total populasi manusia. Vaksinasi yang diberikan pada
manusia memberikan pengaruh terhadap berkurangnya jumlah nyamuk di kelas

17
terinfeksi. Persentase jumlah nyamuk di kelas terinfeksi berkurang sebesar
1,57% dari total populasi nyamuk saat = 15.
Program simulasi dapat dilihat pada Lampiran 7.
Simulasi Efektivitas Penyemprotan pada Nyamuk
Efektivitas dari penggunaan spraying terhadap populasi manusia dan
populasi nyamuk ditunjukkan pada simulasi ini. Diasumsikan manusia terinfeksi
diberikan pengobatan sebesar 10% . Perubahan bilangan reproduksi dasar
0 dipengaruhi dengan peningkatan atau penurunan nilai parameter � dengan
nilai � yang diamati, diambil pada selang 0.10,0.30 . Nilai-nilai parameter lain
dapat dilihat pada Tabel 2. Perubahan nilai parameter � yang menyebabkan
terjadinya perubahan 0 dapat dilihat pada Tabel 5.
Tabel 5

Hasil simulasi efektivitas penyemprotan pada nyamuk terhadap
bilangan reproduksi dasar
Parameter �

Bilangan reproduksi dasar

� = 0.10
� = 0.20
� = 0.30

0
0
0

= 0.499
= 0.488
= 0.485

Penyemprotan pada nyamuk mengakibatkan perubahan pada populasi
manusia di tiap-tiap kelas yang ditunjukkan dalam Gambar 7. Jika efektivitas
penyemprotan pada nyamuk diperbesar dan nilai parameter yang lain tetap,
maka jumlah manusia di kelas rentan semakin bertambah, jumlah manusia di
kelas terinfeksi semakin berkurang sedangkan jumlah manusia di kelas pulih
semakin berkurang pula.

� = 0.10

� = 0.20

� = 0.30

Gambar 7 Dinamika populasi manusia karena penyemprotan pada nyamuk

18
Berdasarkan Gambar 8 dapat dijelaskan bahwa jika efektivitas
penyemprotan pada nyamuk diperbesar, maka menyebabkan jumlah nyamuk di
kelas rentan dan jumlah nyamuk di kelas terinfeksi semakin berkurang.

� = 0.10

� = 0.20

� = 0.30

Gambar 8 Dinamika populasi nyamuk karena penyemprotan pada nyamuk
Persentase jumlah nyamuk di kelas rentan berkurang sebesar 19.8% dan
persentase jumlah nyamuk di kelas terinfeksi pun berkurang sebesar 1.78% dari
total populasi nyamuk pada saat = 10 dengan efektivitas peenyemprotan pada
nyamuk sebesar 20%. Penyemprotan pada nyamuk juga memberikan dampak
pada menurunnya persentase jumlah manusia di kelas terinfeksi sebesar 4.76%
dari total populasi manusia.
Program simulasi dapat dilihat pada Lampiran 8.
Metode Analisis Homotopi
Berikut ini akan dibahas penggunaan metode homotopi yang telah
diuraikan sebelumnya untuk menyelesaikan model malaria tipe SIRS-SI.
Berdasarkan persamaan (3.2), maka didefinisikan suatu operator linear
ℒ1 , ℒ2 , ℒ3 , ℒ 4 , ℒ 5 dan operator nonlinear �1 , �2 , �3 , �4 , �5 sebagai berikut
� ;
ℒ � ;
, = 1,2,3,4,5,
=
�1 �1 =

�2 �2 =

�3 �3 =
�4 �4 =

�5 �5 =

�1

�2

�3

�4

�5

−

ℎ

− ��3 +

− �2 −
−

−

−

�2 + (
+

3 �2 �4

3

+(

1 �2

ℎ

1 �2

+

+

2 �5

2 �5

�1 +

+ �)�3 − �1 ,

�2 +

+ � �4 ,

+ �)�5 ,

�1 +
ℎ

+

+

+

ℎ

�1 ,

�2 ,

(4.5)

dengan q  [0,1] merupakan suatu parameter, � ;
adalah fungsi yang
bergantung pada dan q.
Berdasarkan persamaan (4.5), maka dikonstruksikan persamaan deformasi
orde ke-nol berikut
(4.6)
1 − ℒ � , − � ,0
= ℎ � � , , = 1,2,3,4,5.

19
Jika q = 0 dan q = 1, maka berdasarkan persamaan (4.6) diperoleh
� , 0 = � ,0 ; � , 1 = �
, = 1,2,3,4,5.
Menggunakan konsep deret Taylor, � , dapat diuraikan menjadi
+∞

�

dengan

= � ,0

,

+

=1

�,

, = 1,2,3,4,5,

1 � ,
| =0 , = 1,2,3,4,5.
!
Jika q = 1, persamaan (4.7) menjadi
�,

(4.7)

=

+∞

�

= � ,0

+
=1

�,

, = 1,2,3,4,5,

Kemudian, ditentukan persamaan orde ke-n sebagai berikut
ℒ �,
− � , −1
= ℎ , � , −1 , = 1,2,3,4,5,

(4.8)

(Penurunan dapat dilihat pada Lampiran 9)

dengan
1,

�1,

=

−1

=0
2,

=
+

3,

4,

5,

−1

�1, �5,

�2,
ℎ

�3,

=

�4,

=

�5,

=

−

1−

ℎ

+

−1−

−1

− �2,

−1

−

+

−1
−1

�2,

−

−1

−1 ,

�2,

−

− σ �3,
+
−

−1

1

3

=0

�1,

−1
=0

+(

1−

−1

ℎ

−1

−1

=0

=

0 = 500, �5,0

=

−1

− �1,

�4, �2,

−1−

+ �)�5,

+(

0 = 10.

Solusi untuk orde ke-n dari persamaan (4.8) adalah
�,

�,

=

+ℎ

−1

−

−1−

(Penurunan dapat dilihat pada Lampiran 10)
dan
�1,0
= ℎ 0 = 40, �2,0
= ℎ 0 = 2,
�4,0

�1, �2,

−1 ,

�1, �2,

3

−1−

1

=0

+ �)�3,

ℎ

+

�4, �2,

+

−1

,

�,

−1

2

=0

−1 ,

+

+

�1, �5,

+ � �4,

2

−1−

−1 ,

(4.9)

−1 ,

�3,0

−1

−1−

.

=

ℎ

0 =0
(4.10)
(4.11)

dengan
= 0 untuk ≤ 1 dan
= 1 untuk > 1. Dengan demikian apabila
diberikan masalah taklinear dengan persamaan diferensial pada persamaan (3.2),
maka dengan metode homotopi diperoleh penyelesaian pendekatan masalah tak
linear tersebut sebagai berikut
10

�

=
=0

� , ( ),

(4.12)

20
dengan
�1
=
�4
=

ℎ

�2
�5

,
,

=
=

ℎ

,
.

�3

=

ℎ

Aplikasi Metode Homotopi

Berdasarkan uraian pada bagian analisis metode homotopi, berikut ini
prosedur untuk menentukan penyelesaian dari sistem (3.2) :
1 Misalkan didefinisikan operator linear dan operator nonlinear pada persamaan
(4.5).
2 Menentukan persamaan orde ke-n pada persamaan (4.8).
3 Misalkan diberikan pendekatan awal persamaan (4.10).
4 Menentukan pendekatan penyelesaian homotopi untuk orde ke-n pada
persamaan (4.11) dengan , � , −1 didefinisikan pada persamaan (4.9).
5 Menentukan penyelesaian sistem (3.2) dari persamaan (4.12).
Berdasarkan prosedur di atas, penyelesaian metode homotopi yang
diperoleh bergantung pada variabel bantu h dan variabel waktu t. Oleh karena
itu, diperlukan pemilihan variabel bantu h yang tepat agar menghasilkan
penyelesaian pendekatan analitik yang sesuai. Pemilihan variabel bantu h
diperoleh dengan cara penyelesaian homotopi diturunkan dua kali terhadap q
kemudian dievaluasi pada saat q = 0. Kurva yang saling bersinggungan disuatu
selang h akan menjadi nilai h yang diambil dalam penyelesaian metode
homotopi.

Gambar 9 Kurva ℎ hingga orde ke-10

Berdasarkan Gambar 10, kelima kurva bersinggungan pada selang h yaitu
−1.8 ≤ ℎ ≤ 0.3. Berdasarkan selang ini, dapat dipilih suatu nilai h sehingga
diperoleh penyelesaian dengan absolute error yang kecil bila dibandingkan
dengan suatu penyelesaian numerik. Dalam hal ini, dipilih ℎ = −1. Dengan
pemilihan ℎ = −1, maka diperoleh penyelesaian homotopi sebagai fungsi dari t.
Dengan demikian diperoleh penyelesaian homotopi hingga orde ke-10
�1 =
�2 =
�3 =

ℎ

ℎ

ℎ

= �1,1
= �2,1
= �3,1

+ �1,2
+ �2,2
+ �3,2

+ �1,3
+ �2,3
+ �3,3

+
+
+

+ �1,10
+ �2,10
+ �3,10

,
,
,

21
�4 =
�5 =

= �4,1
= �5,1

+ �4,2
+ �5,2

+ �4,3
+ �5,3

+
+

+ �4,10
+ �5,10

,
.

Penyelesaian homotopi hingga orde ke-10 merupakan penyelesaian
pendekatan analitik dari model SIRS-SI. Penyelesaian tersebut diperoleh secara
eksplisit sebagai fungsi dari . Dalam hal ini, penyelesaian numerik yang
diperoleh menggunakan software berbasis fungsional dianggap sebagai
penyelesaian eksak dari model taklinear tersebut. Selanjutnya, dilakukan
perbandingan kurva untuk melihat absolute error dari penyelesaian homotopi
dan penyelesaian numerik.

ℎ

ℎ

ℎ

HAM

NUM

Gambar 10 Penyelesaian HAM dan NUM terhadap populasi manusia dan
ℎ
populasi nyamuk hingga orde ke-10 dengan ℎ = −1.

Gambar 10 menunjukkan bahwa penyelesaian menggunakan metode
homotopi (HAM) dan penyelesaian numerik (NUM) memiliki absolute error
yang kecil. Terlihat pada jarak kedua kurva penyelesaian yang cukup dekat.
Artinya metode homotopi merupakan metode yang cukup baik digunakan untuk
menyelesaikan suatu model taklinear.

5 SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Pada model penyebaran penyakit malaria tipe SIRS-SI ini terdapat dua
titik tetap yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik. Simulasi
dilakukan untuk melihat perilaku sistem di sekitar titik tetap. Simulasi yang
dilakukan menunjukkan bahwa perlakuan yang diberikan memiliki pengaruh
terhadap dinamika populasi manusia dan nyamuk yang ditunjukkan dengan
bilangan reproduksi dasar. Secara umum, jika efektivitas penggunaan perlakuan
ditingkatkan, maka menyebabkan menurunnya bilangan reproduksi dasar. Itu
artinya, jumlah individu yang terinfeksi semakin berkurang, sehingga penyakit

22
tidak akan menyebar dan dalam jangka waktu tertentu penyakit akan
menghilang dari populasi tersebut.
Dalam penelitian ini, digunakan pula metode homotopi untuk
memperoleh pendekatan penyelesaian secara analitik dari model. Dalam metode
homotopi didefinisikan suatu fungsi homotopi dengan parameter bantu ℎ yang
dapat mengontrol daerah kekonvergenan penyelesaian homotopi. Penyelesaian
homotopi diperoleh secara eksplisit sebagai fungsi dari hingga orde ke-10 dan
parameter bantu ℎ = −1. Penyelesaian dari metode ini dibandingkan dengan
penyelesaian numerik. Diperoleh bahwa antara penyelesaian homotopi dan
penyelesaian numerik memiliki absolute error yang cukup kecil hingga = 9.
Itu artinya, metode homotopi merupakan metode pendekatan penyelesaian
masalah persamaan diferensial taklinear yang cukup baik.
Saran
Pada penelitian ini, di dalam model hanya digunakan tiga perlakuan untuk
penyakit malaria yaitu pengobatan dan vaksinasi pada manusia dan
penyemprotan pada nyamuk. Perlu dikaji lebih lanjut untuk perlakuan
pencegahan yang lain seperti pemakaian lotion anti-nyamuk dan pemakaian
kelambu.

DAFTAR PUSTAKA
Abdullahi MB, Hasan YA, Abdullah FA. 2013. A mathematical model of
malaria and the effectiveness of drugs. Ap