Metode Untuk Menyelesaikan Masalah m-Ring Star Berkapasitas
METODE UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH
m-RING STAR BERKAPASITAS
TESIS
Oleh
KHAIRUNISA SIREGAR
077021005/MT
SEKOLAH PASCASARJANA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2009
METODE UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH
m-RING STAR BERKAPASITAS
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana
Universitas Sumatera Utara
Oleh
KHAIRUNISA SIREGAR
077021005/MT
SEKOLAH PASCASARJANA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2009
Judul Tesis
: METODE UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH
m-RING STAR BERKAPASITAS
Nama Mahasiswa : Khairunisa Siregar
Nomor Pokok
: 077021015
Program Studi
: Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
Ketua
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Anggota
Ketua Program Studi
Direktur
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B,M.Sc)
Tanggal lulus: 29 Mei 2009
Telah diuji pada
Tanggal: 29 Mei 2009
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
: Dr. Saib Suwilo, M.Sc
Anggota
: 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang
2. Dr. Tulus, M.Si
3. Drs. Sawaluddin, MIT
ABSTRAK
Masalah m-Ring Star Dengan Kapasitas (m-RSK) adalah masalah desain jaringan,
dengan merancang suatu himpunan ring yang lewat melalui pusat depot dan
melalui beberapa titik transisi dan titik pelanggan. Digunakan Graph untuk
mendesain sruktur m-ring star. Banyaknya pelanggan pada ring atau terhubung
pada ring dibatasi oleh banyaknya fiber dikabel. Jumlah total dari titik pelanggan terkunjung atau dihubungkan ke ring terbatas (≤ Q). Tujuannya adalah
untuk meminimalkan biaya pemindahan dan biaya rute jaringan. Tulisan ini
mempresentasikan dan membahas dua formulasi matematika yaitu formulasi arus
dua komoditas dan formulasi dua- indek. Dipaparkan pula metode yang lain untuk menyelesaikan masalah m-Ring Star yaitu dengan metode Branch and Price.
Cara kerjanya dicoba atas sekelompok besar kasus, termasuk kasus dunia nyata
dan kinerja yang baik dari pendekatan yang diajukan ternyata terbukti.
Kata kunci : m-Ring Star, depot, pelanggan, Branch and Price.
i
ABSTRACT
The Capacitated m-Ring Star Problem is the problem of network design, by designing a set of ring that pass trough a central depot and trough some transition
point and customer point.Graph is used to design the m-Ring Star structure. The
number of customers on the ring or connect to the ring is limited by the numberof
the fiberin the cable. The total amount of customersis connected to the limited
ring (≤ Q). It is used to minimize the finance route. The writing is presented
and discussed two mathematics formulation,is two commoditas current formula
and two indeksformula. It is also explain another method. To solve the m-Ring
Star problem is by using Branch And Price method. The way of doing it by trying
based a great cases group, include the real world case, and the good network from
the approach that is tought, really approve.
Keywords : m-Ring Star, depot, customer, Branch and Price.
ii
KATA PENGANTAR
Sebagai umat beragama tak bosan-bosannya penulis bersyukur kehadirat
ALLAH SWT, sehingga dapat menyelesaikan tesis ini sebagai tugas akhir pada
Sekolah Pascasarjana Program Studi Magister Matemetika Universitas Sumatera
Utara dengan judul ”Metode untuk menyelesaikan masalah m-Ring Star Berkapasitas”. Tesis ini merupakan persyaratan tugas akhir pada Program Studi Matematika SPs Universitas Sumatera Utara. Pada kesempatan yang baik ini, penulis
menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada :
Kepala Bappeda Propinsi Sumatera Utara beserta stafnya yang memberikan
beasiswa kepada penulis,Kepala Dinas Pendidikan Kota Medan yang telah memberi izin mengikuti perkuliahan Program Pasca Sarjana di Universitas Sumatera
utara.
Prof.dr.Chairuddin P.Lubis, DTM&H, Sp.A(K) selaku Rektor Universitas
Sumatera Utara.
Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa B, M.S selaku Direktur Sekolah Pascasarjana
Universitas Sumatera Utara beserta stafnya yang memberikan kesempatan kepada
penulis untuk mengikuti perkuliahan pada angkatan ke III Program Edukator
Tahun 2007.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Matematika
SPs USU dan juga sebagai anggota komisi pembimbing yang penuh keikhlasan
dan tak pernah bosan memberikan bimbingan kepada penulis sehingga penulisan
tesis ini dapat dirampungkan.
iii
Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Matematika SPs USU
dan ketua komisi pembimbing, yang berkat bantuan dan motivasi beliau darima
masa perkuliahan hingga sampai pada penyelesaian tesis ini.
Dr. Tulus, M.Si selaku pembanding yang banyak memberikan saran dan masukan kepada penulis sehingga penulisan tesis ini menjadi lebih sempurna.
Drs. Sawaluddin, MIT selaku pembanding yang juga begitu banyak memberikan saran dan masukan selama penulisan tesis hingga tesis ini dapat diselesaikan.
Dra. Mardiningsih, M.Si, salah satu staf pengajar pada SPs Program Studi
Matematika yang selalu meluangkan waktu dan tempatnya untuk membantu
penulis dalam menyelasaikan tesis ini.
Prof. Dr.Iryanto, M.Si, Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Dr. Sutarman, M.Sc, Drs. Marwan Harahap, M.Eng, Drs. Open Darnius, M.Sc,
Drs.Suwarno Arismoyo, M.Si selaku staf pengajar pada SPs Program Studi
Matematika atas bimbingan dan motivasi selama masa perkuliahan.
Bunda Dra. Hj. Rebekka Girsang selaku Kepala SMAN 1 Medan yang telah
memberikan kesempatan dan semangat kepada penulis sejak awal perkuliahan
hingga selesai masa perkuliahan.
Kepada orang tua penulis (Alm) H.Muhammad Ridwan Siregar dan
Hj. Hindun; Mertua (Alm) H.Hamzah Nasution dan Hj.Sudihernani atas
dukungan serta doanya sehingga penulis dapat menyelesaikan studi pada Sekolah
SPs USU.
iv
Suami tercinta Irwansyahrial, S.Pd yang banyak menghabiskan waktu,
tenaga, kesabaran dan memberikan semangat pada penulis hingga penulis dapat menyelesaikan perkuliahan dan penulisan tesis ini. Putra tercinta Khairi
Al-Maftuh yang selalu rela ditinggalkan ibundanya untuk menyelesaikan perkuliahan hingga penulisan tesis ini.
Dra. Roslinawati Harahap, sebagai kakak dan juga sahabat yang selalu
bersama selama perkuliahan hingga penyelesaian tesis ini.
Khususnya kepda abang, kakak dan adik-adikku yang telah turut membantu
perkuliahan dan penulisan tesis ini hingga selesai. Semoga kesehatan dan berkah
dilimpahkan oleh ALLAH SWT kepada mereka.
Kiranya tesis ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang telah turut membantu perkuliahan dan penulisan tesis ini hingga selesai, amin.
Medan,
Mei 2009
Penulis,
Khairunisa Siregar
v
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ABSTRACT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Rumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5 Metodologi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
BAB 3 PENGERTIAN PERSOALAN M-RING STAR BERKAPASITAS
6
3.1 Graph
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Definisi Graph
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Pengelompokan Graph
6
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.3.1 Graph Sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.3.2 Graph Tak Sederhana . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.4 Graph Berbobot
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
8
3.5 Program Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BAB 4 PEMBAHASAN
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.1 Formulasi Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.2 Formulasi Dua-Indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.3 Formula Dua Arus Komoditas . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.4 Metode Branch and Price (Generasi Kolom) . . . . . . . .
25
4.5 Model Pemisahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.6 Pembatasan yang Berbeda pada Himpunan Bagian . . . . .
30
4.7 Pembatasan yang Identik pada Himpunan Bagian . . . . .
31
4.8 Pencabangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.9 Himpunan Problema Master Pemisahan . . . . . . . . . .
32
4.10 Batasan yang Identik pada Himpunan Bagian . . . . . . .
34
4.11 Batasan yang Berbeda pada Himpunan Bagian . . . . . . .
35
BAB 5 KESIMPULAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
viii
DAFTAR TABEL
Nomor
4.1
Judul
Halaman
Penyajian Submatriks dalam Pasangan Calon Pencabangan . .
ix
33
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
3.1
Simple Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.2
Representasi Grafis Undirected Graph . . . . . . . . . . . .
8
3.3
Graph Tidak Sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.4
Graph Berbobot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.5
Graph Berarah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.6
Adjacent Edge
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.7
Graph Bipartisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.8
m-Ring Star Berkapasitas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4.1
m-Ring Star Berkapasitas dengan 5 Pelanggan . . . . . . . .
21
x
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teknologi baru dibidang telekomunikasi memberikan tantangan masalah desain jaringan(Gourdin, Labbe dan Yaman, 2002). Tesis ini menampilkan masalah
baru yang diberi nama m-Ring Star berkapasitas (mRSK) yang terdiri dari perancangan suatu himpunan cycle (ring) yang masing-masing mencakup pertukaran
komunikasi (pusat depot), sejumlah tertentu pelanggan dan titik yang mungkin
lainnya yang disebut titik transisi yang dapat digunakan untuk menghemat biaya
routing.
Dengan menggunakan teknologi terkini, setiap ring disusun atas seutas kabel
yang berisi sekumpulan kabel optik. Setiap pelanggan mendapat dua kabel, yang
pertama digunakan untuk komunikasi yang searah jarum jam dan yang kedua
untuk komunikasi yang berlawanan dengan arah jarum jam
Biaya total penggunaan jaringan optik bergantung pada bebarapa hal misalnya kabel, peralatan yang dibutuhkan untuk komunikasi dan perbaikan. Perusahaan telekomunikasi berusaha untuk mengurangi biaya semaksimal mungkin.
Tidak semua pelanggan berada didalam ring . Ada juga pelanggan yang berada
diluar ring yaitu jika jarak pelanggan dengan ring relatif kecil (± 200 m). maka
jaringan akan menambahkan ring kecil dipinggiran ring utama kearah pelanggan
tersebut. Artinya kabel tersebut berada diperpotongan pinggiran ring, lalu kepelanggan dan kembali lagi ke ring diperpotongan yang sama kemudian kembali
1
2
lagi mengikuti ring tersebut. susunan atas beberapa gabungan ring yang masingmasing mengandung pertukaran komunikasi beberapa pelanggan dan beberapa
titik transisi ditambah korelasi pendek dengan pelanggan diluar pelanggan dinamakan struktur ring star. Dalam hal ini , jumlah dari pengguna ring ke ring
yang lain yang terhubung dibatasi oleh jumlah kabel yakni seratus kabel dapat
melayani 50 pengguna. Perhitungan ini setara dengan masalah terkapasitasi dimana kebanyakan struktur m-ring star harus di desain. Pada bagian selanjutnya akan diberikan deskripsi tentang m-ring star berkapasitas dan hal-hal yang
erat kaitannya dengan masalah m-ring star berkapasitas tersebut. Salah satu cabang Matematika yang cukup penting dan sangat luas penerapannya di banyak
bidang ilmu adalah Teori Graph.Salah satunya adalah bidang jaringan telekomunikasi.Graph disini merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungannya dengan objek-objek tersebut.Pada pembicaraan Graph selanjutnya akan digunakan
verteks sebagai titik dan edge atau arc sebagai potongan garis lurus atau garis
lengkung.
Dipaparkan 2 formula matematika, yaitu formulasi dua indeks dan formulasi
dua arus komoditas, perhitungan batas m-ring star berkapasitas dan dipaparkan
pula Metode Branch And Price.
1.2 Rumusan Masalah
Adapun permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana mendesain
jaringan agar biaya koneksi dan biaya rute dapat diminimalkan.
3
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk meminimalkan biaya pemindahan dan biaya rute jaringan.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangan secara teoritis khususnya pada perusahaan jaringan telekomunikasi dan umumnya pada bidang Matematika.
1.5 Metodologi Penelitian
Dalam penelitian ini akan dibahas:
1. Penjelaskan defenisi formal dari m-RSK.
2. Dipaparkan dua formula matematika
3. Metode Branch and Price
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Beasley dan Nascimento [1996] mendefenisikan masalah Alokasi Routing
Kendaraan (MARP).Masalah ini merupakan generalisasi dari m-RSK dimana
pelanggan bisa tidak menerima layanan asalkan denda dibayar dalam fungsi tujuan.
Lee at al [1998] mengkaji masalah lain yang berhubungan dengan m-RSK,
yaitu masalah Ring Star Steiner. Ini terdiri dari penentuan biaya minimum ring
dengan hanya menggunakan titik titik pelanggan dan sedemikian sehingga pelanggan terhubung tepat dengan satu titik pada lingkaran.
Beberapa penulis mengkaji scenario dimana sebagai pengganti cycle, struktur seperti path atau tree haruslah diidentifikasi dan node-node yang tidak berada pada struktur ini haruslah dialokasikan pada struktur.Klasifikasi masalah ini
bias ditemukan dalam Labbe et al [2002]. Referensi untuk lain yang mengkaji
telekomunikasi dan aspek alokasi-alokasi dapat ditemukan dalam Labbe at al
[2004,2005]. Masalah ”ring Star” diperkenalkan dimana mengandung desain dari
sebuah cycle sederhana dengan meminimkan biaya secara objektif yang terdiri
dari dua biaya yaitu biaya rute yang berhubungan dengan jarak dari cycle dan
biaya pemindahan untuk setiap titik dalam cycle ke titik lain pada cycle. Masalah
yang sama adalah masalah ”cycle median” yang terdiri dari penentuan simple cycle yang meminimkan biaya rute dengan memenuhi batas atas total biaya alokasi
titik-titik yang tidak dikunjungi. Dalam model Integer Linier Programming untuk
dua masalah dipresentasikan dengan ketaksamaan.
4
5
Lee et al [1998] memandang masalah lain yang berhubungan dengan mRSK
yaitu masalah ”Steiner ring star”. Masalah ini terdiri dari biaya cycle minimal
menggunakan titik yang tidak berpelanggan dan pelanggan hanya dihubungkan
dengan satu titik pada cycle. Masalah ini muncul dalam desain jaringan pelayanan
data digital dimana tujuannya adalah untuk menghubungkan terminal ke konektor
titik per titik.
Dikembangkan logaritma ”Branch and Price” yang menyalesaikan contoh
dengan |V | + |w| ≤ 100.
Xu at al [1999] mengusulkan algoritma tabu untuk masalah ini dan mencobanya ke contoh lain dengan |V | ≤ 300 dan |W | ≤ 300.
Lucena [1986] menggunakan pendekatan dua arus homoditas untuk TSP
mendapatkan formula baru untuk MRKK, dan batas bawah didasari oleh LPrelaxation. Sebelumnya Baldaci hadjicrustatinon dan Mingozzi [2003, 2004] menggunakan pendekatan dua arus komoditas, untuk mendesain algoritma.
Gouveia [1995] memperkenalkan dan mempelajari formula 1 arus komoditas
yang menginginkan koneksi yang didasari VRP tujuan lain adalah untuk mengembangkan hasil untuk m-RSK dan asses untuk pertama kali, keefektifan untuk formula kedua ini adalah ketika digunakan pada jaringan yang sama.
BAB 3
PENGERTIAN PERSOALAN M-RING STAR BERKAPASITAS
Bagian ini menjelaskan defenisi formal dari m-ring star berkapasitas sebagai
suatu masalah optimisasi dalam teori graph. digunakan graph gabungan, dimana
titik transisi dan pusat depot diasosiasikan dengan node, sementara sambungan
antara node adalah edge atau arc berbobot.
Berikut akan diberikan tentang pengertian Graph, definisi Graph, pengelompokan Graph, graph Biparti dan Graph Berbobot.
3.1 Graph
Suatu graph terdiri dari dua bilangan yaitu titik dan garis. Titik pada suatu
graph disebut verteks dan garis yang menghubungkan dua titik disebut edge atau
arc (untuk garis berarah). Secara formal suatu graph G didefinisikan sebagai
berikut:
3.2 Definisi Graph
Graph didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dinotasikan
dengan G = (V, E) dimana : V adalah himpunan titik, simpul, verteks ataupun
node dari G yaitu
V = {v1, v2, v3, . . . , vn}
6
7
E adalah himpunan rusuk, edges atau sisi dari G
E = {e1, e2, e3, . . . , em}
3.3 Pengelompokan Graph
Graph dikelompokkan menurut ada tidaknya edgesnya yang parallel atau
loop, jumlah verteksnya, berdasarkan ada tidaknya hubungannya dengan graph
yang lain. Berdasarkan hal ini diperkenalkan beberapa graph antara lain:
3.3.1 Graph Sederhana
Graph yang tidak mempunyai parallel edges atau edge ganda dan atau loop
dinamakan graph sederhana atau simple graph.
Contoh graph sederhana dapat dilihat pada Gambar 3.1 berikut ini.
2t
3t
t
t
1
4
Gambar 3.1 Simple Graph
Definisi 1 Suatu graph sederhana G adalah suatu pasangan terurut (V, E), dimana V adalah suatu himpunan berhingga yang tak kosong yang elemen-elemennya
disebut verteks dan E adalah suatu himpunan yang menghubungkan dua elemen
subset dari V yang disebut edge.
8
Andaikan V = {v − 1, v2, v3 , . . . , vn } dan
E = {(v1, v2), (v1, v3 ), (v2, v4), (v2, v3), (v2, v5), (v3, v4 ), (v4, v5)}.
Maka G = (V, E) adalah graph sederhana yang dinyatakan secara geometri pada
Gambar 3.2.
1t
t
t
2
3
t
4
t
2
Gambar 3.2 Representasi Grafis Undirected Graph
3.3.2 Graph Tak Sederhana
Graph yang mempunyai edge ganda dan atau loop dinamakan graph tak
sederhana atau unsimple graph.
t
t
t
t
t
t
Gambar 3.3 Graph Tidak Sederhana
3.4 Graph Berbobot
Graph berbobot atau graph berlabel adalah graph yang setiap edgesnya
diberi sebuah nilai (bobot). Bobot pada tiap edge dapat menyatakan biaya transportasi dari suatu kota ke kota lainnya atau jarak antara dua tempat atau waktu
9
tempuh antara dua tempat dan lain-lainnya. Berikut ini adalah contoh graph
berbobot
At
6
11
t
D
2
B t
3
3
tC
5
Gambar 3.4 Graph Berbobot
Jika pada suatu semua edgenya diberikan arah maka graph seperti ini dinamakan Graph Berarah (Directed graph) atau lebih sering disebut Digraph
dan diberi notasi D (pada graph biasa diberi notasi G). Pada Digraph edge atau
sisinya disebut arc. Suatu Graph berarah D terdiri dari suatu himpunan verteksverteks V dan s himpunan arc-arc A yang terdiri pasangan terurut dari vertek
yang dinyatakan dengan (u, v) yang disebut dengan sisi berarah (arc). Suatu
graph berarah atau digraph dituliskan dengan D = (V, A).
Berikut ini adalah gambar graph berarah.
t
A
z
tC
K
U
t
B
Gambar 3.5 Graph Berarah
10
Definisi 2 Suatu edge ek dimana k = 1, 2, 3, . . . , n dikatakan incident dengan
suau verteks vi dimana i = 1, 2, 3, . . . , m yaitu jika dan hanya jika ek adalah
penghubung antara vi dengan suatu verteks yang lain.
Dengan demikian berdasarkan definisi incident ini jelaslah bahwa suatu edge
harus incident dengan dua buah verteks yang sama dan boleh juga berbeda. Dua
buah verteks dikatakan adjacent,jika kedua verteks tersebut merupakan ujung dari
sebuah edge yang sama,yang biasa disebut sebagai adjacent verteks.
Bila dua buah edge incident (non parallel) terhadap suatu verteks terikat,maka
kedua edge yang demikian disebut sebagai adjacent edge.
Contoh Gambar 3.6 e2, e3 , e1 adalah edge yang incident dengan v2, v3 dan
v4 adalah dua buah verteks yang adjacent. e2 dan e6 merupakan dua edge yang
adjacent.
d(v1) = 3
Definisi 3 Suatu graph H disebut subgraph dari graph G, jika semua verteks dan
edge dalam H termuat didalam G, serta setiap edge yang memuat verteks-verteks
ujung yang sama di dalam H juga akan mempunyai verteks-verteks ujung yang
sama dalam G.
11
t
e1
e2
v3 t
tv1
e6
e3
e4
t
e5
tv2
v4
Gambar 3.6 Adjacent Edge
Definisi 4 Sebuah graph dikatakan bipartisi jika verteks V nya dapat dipartisi
kedalam dua himpunan bagian M dan N sedemikian sehingga setiap edge dari G
menghubungkan sebuah verteks dari M ke sebuah verteks dari N .
Dengan sebuah graph bipartisi lengkap, dapat diartikan bahwa setiap verteks
dari M dihubungkan ke setiap verteks dari N .Graph ini dinyatakan dengan Km,n
dimana m adalah jumlah verteks di M dan n adalah jumlah verteks N dan untuk
standarisasi di asumsikan m ≤ n.
Sebagai contoh, Gambar 3.7. menggambarkan graph bipartisi lengkap K2,3 .
Untuk menggambarkan sebuah graph lengkap, tempatkan jumlah verteks yang
sesuai dalam dua kolom parallel dan hubungkan verteks-verteks dalam satu kelompok dengan semua verteks verteks di kolom lainnya.
12
t
t
t
t
t
Gambar 3.7 Graph Bipartisi
m-ring star mendesain:
i. Susunan titik yang tidak teratur sebanyak m melewati pusat depot.
ii. Susunan hubungan langsung dari satu pelanggan dan satu titik. Jumlah
pelanggan yang dihubungkan ke ring akan dibatasi oleh Q (kapasitas dari
ring) lebih tepatnya : misalkan gabungan graph G = (V, E ∪ A) dimana
V = {0, n + 1}∪ adalah susunan titik. Dimana V merupakan titik trasnsit
dan pusat depot yang disebut m. Objeknya adalah meminimalkan biaya
ring dan biaya pelanggan.
(min : cost ring + cost customer )
E = {(i, j) : i, j ∈ V, i 6= j} adalah ujung dari garis dan A adalah susunan
ring. Susunan titik dibatasi oleh dua subset dimana U mengandung sebuah
titik untuk setiap pelanggan dan W mengandung sebuah titik untuk setiap
titik transit, yang juga diberi nama titik steiner. Titik O mewakili depot
dan titik n + 1 adalah salinan dari titik O yang diperkenalkan untuk mempermudah persentasi (disini akan dilambangkan ring sebagai jarak dari titik
O ke titik n + 1). Untuk setiap pelanggan i ∈ U misal Ci ⊂ V adalah
bagian dari titik, dimana pelanggan i bisa terhubung. Diasumsikan bahwa
13
i ∈ Ci untuk semua pelanggan U dan pelanggan itu akan terhubung dengan
sendirinya jika ia berada didalam ring.
Susunan A mewakili koneksi yang mungkin antara satu titik dengan pelanggan sehingga A = {(i, j) : i ∈ U, j ∈ Ci }. Susunan E adalah susunan yang
mungkin dari garis ring. Setiap garis e = {i, j} ∈ E dihubungkan dengan biaya rute yang tidak negatif, (i, j) ∈ A dihubungkan dengan biaya
koneksi yag tidak negatif (dengan dij = 0 untuk setiap U diberikan bagan
E ⊂ E, V (E 0) ditandai sebagai susunan titik untuk paling tidak satu garis
pada E 0 . dapat dikatakan bahwa pelanggan i ditunjukan untuk ring R.
Apakah hal itu dihubungkan oleh rute simple atau dihubungkan dengan
satu titik dari ring.
Ring sangat menguntungkan bila pelanggan yang terdaftar tidak melebihi
kapasitas (Q) 100 kabel dapat melayani 50 pelanggan jumlah total dari titik
pelanggan terkunjung atau yang dihubungkan ke ring terbatas (≤ Q). Biaya
R adalah jumlah dari biaya rute dari garis di E ditambah jumlah biaya dari
koneksi yang ada di ring A. Jumlah ring sebesar m dalam jaringan diketahui dan
diberikan sebagai kuantitas masukan.
14
Gambar 3.8 m-Ring Star Berkapasitas
Gambar 3.8 menunjukkan solusi dari m-RSK yang sesuai dimana n = 25
dan m = 3.|V | = 12|W | = 13 dan Q = 6. Dari gambar tersebut titik transisi dilambangkan dengan ring kanan dan pelanggan dengan segitiga, pertukaran lokasi
pengiriman berita dilambangkan dengan dua persegi hitam, garis yang tidak putus dilambangkan untuk garis rute dan garis putus-putus sebagai ring koneksi.
3.5
Program Integer
Program Integer merupakan pengembangan dari Program Linier yang menye-
lesaikan problema dengan persyaratan bahwa peubah keputusan mengambil nilai
bilangan bulat. Oleh karena itu, aproksimasi pertama terhadap pemecahan se-
15
barang Program Integer dapat dicapai dengan mengabaikan persyaratan bilangan
bulat dan memecahkan program liniernya dengan menggunakan berbagai teknik
pemecahan program linier.
Bentuk umum dari Program Integer adalah
Maks / Min z = cx
d.p Ax(≥, =, ≤)b
: b ∈ Rm
x ≥ 0 dan bulat; c, x ∈ Rm
dengan
z adalah fungsi tujuan
c adalah vektor baris koefisien fungsi tujuan
x adalah vektor kolom peubah keputusan
b adalah vektor kolom konstanta kendala (right hand side) dan
A adalah matriks koefisien teknologi berdimensi m × n
Terdapat tiga tipe Program Integer yaitu:
1. Problema Program Integer murni (pure), dimana semua peubah keputusan
harus mengambil bilangan bulat.
2. Problema Program Integer campuran (mixed), dimana tidak semua peubah
keputusan harus bernilai bulat.
3. Problema Program Integer 0-1 ,dimana peubah keputusan mengambil nilai
0 atau 1, disebut juga binary Integer Programming.
16
Ada beberapa metode untuk menyelesaikan problema Program Integer:
1. Branch and Bound (Row Generation) disebut juga teknik Pencabangan dan
Pembatasan dengan prosedur algoritmanya dilakukan penambahan baris.
2. Branch and Price (Column Generation) atau taknik pencabangan dan penghargaan merupakan pengembangan dari metode Branch and Bound yang
akan menghasilkan penyelesaian bulat secara lebih cepat dan efisien.
3. Irisan Bidang.
4. Implisit Enumerasi,biasanya digunakan untuk menyelesaikan problema Program Integer 0-1.
5. Pencarian bilangan bulat n-titik terdekat, biasanya digunakan untuk menyelesaikan problem Program Integer campuran.
6. Heuristik (trial and error), biasanya digunakan untuk tujuan khusus.
BAB 4
PEMBAHASAN
4.1 Formulasi Matematika
Dua formulasi matematika untuk m-RSK dipresentasikan dalam bagian ini.
Formulasi pertama didasarkan pada formulasi dua indeks, sementara formulasi
kedua didasarkan pada formulasi aliran dua komoditas.
Untuk S ⊆ V didefinisikan δ(S) = {{i, j} :∈ S, j 6∈}. Jika S = {i}, cukup
ditulis δ(i) sebagai pengganti δ({i}). Selain itu, untuk S ⊆ V, U (S) menotasikan
himpunan pelanggan-pelanggan dalam himpunan node S (yaitu U (S) = S ∩ U ).
4.2 Formulasi Dua-Indeks
Bagian ini mempresentasikan formulasi programming matematik yang diilhami oleh model untuk masalah routing standart [Toth dan vigo]. Untuk setiap
e ∈ E, misalnya xe adalah variabel biner bernilai 1 jika dan hanya jika e termasuk
dalam ring yang membentuk penyelesaian. Untuk selanjutnya, jika e menghubungkan kedua node i dan j maka {i, j} dan e akan digunakan saling tertukar
untuk menotasikan edge yang sama. Untuk setiap arc (i, j) ∈ A, misalkan Zi,j
adalah variable biner yang sama dengan 1 jika pelanggan i dialokasikan ke node
j.
Selanjutnya untuk menyederhanakan notasi, akan diperluas penjumlahan
hingga iasangan (i, j) 6∈ A dengan mengasumsikan bahwa dalam hal ini suku17
18
suku yang dijumlahkan sama dengan nol. Jika pelanggan i dikunjungi oleh ring,
maka ia dialokasikan ke dirinya sendiri,yaitu zii = 1. Tambahan lagi untuk j ∈ W ,
misalkan Wj adalah variable biner yang sama dengan 1 jika dan hanya jika node
steiner j berada pada ring. m-RSK dapat dirumuskan sebagai integer program
berikut:
(LP-F1) min
X
+
X
dij zij
(4.1)
xe = m
(4.2)
xe = m
(4.3)
∀i ∈ U
(4.4)
∀i ∈ W
(4.5)
zij = 1 ∀I ∈ U
(4.6)
∀S ⊆ V : S 6= ∅
(4.7)
e{0, 1} ∀e ∈ E
(4.8)
zij ∈ {0, 1} ∀(I, j) ∈ A
(4.9)
e∈E
s.t
(i,j)∈A
X
e∈δ
X
X
e∈δ(n+1
xe = 2zii
e∈δ(i)
X
j∈V
X
e∈δ(s)
xe ≥
2 XX
Zij
Q
i∈U j∈S
wi ∈ (0, 1)
∀i ∈ W
(4.10)
Batasan (4.2) dan (4.3) menyatakan bahwa m-ring harus meninggalkan node
0 dan harus masuk node n + 1. Batasan (4.4) dan (4.5) adalah batasan degree
yang menetapkan bahwa degree dari setiap node i ∈ V sama dengan 2 jika node
i ini termasuk dalam suatu ring. Karena (4.4) dan (4.5) adalah salah satu dari
kedua persamaan (4.2) dan (4.3) adalah berlebih dan karenanya tidak dapat dicoret, tetapi keduanya ditinggalkan untuk menyederhanakan presentasi. Batasan
(4.6) menyatakan bahwa pelanggan i ∈ U ada pada ring (zij = 1) untuk suatu
19
j ∈ ci . Untuk pengamatan terakhir, jika i dialokasikan kepada j maka batasan
(4.7) pada S = {j} mengimplikasikan bahwa x(δ(j)) > 0 dan karenanya j adalah
suatu node ada suatu ring. Ketaksamaan (4.7) adalah batasan kapasitas ring
pecahan.Batasan-batasan ini di dalam integralitas variable x dan z, meneteapkan
bahwa untuk himpunan bagian node-node S tertentu, dibutuhkan setidaknya seP P
banyak | i∈u j∈s Zij /Q| ring untuk mengunjungi pelanggan-pelanggan yang dialokasikan kepada node-node dalam S. Batasan (4.7) serupa dengan ketaksamaan
kapasitas pecahan dari masalah Routing Kendaraan Dengan Kapasitas(MRKK).
Misalnya Naddef dan Rinaldi [1995] dimana permintaan qj dari pelanggan j dalam
P
MRKK diganti dengan i∈u zij . Akan tetapi ada perbedaan kuat antara kedua
masalah karena pada MRKK ruas kanan ketaksamaan ini adalah konstanta. Lebih
tepatnya, misalkan Q adalah kapasitas kendaraan untuk MRKK.Ketaksamaan kapasitas pecahan adalah
X
xe ≥
e∈δ(s)
2 X
qj ,
Q j∈S
∀S ⊆ V : S 6= ∅
(4.11)
Untuk suatu himpunan S tertentu bahwa jumlah genap edge dalam dan ruas
kanan dari (4.11) adalah konstanta, sehingga dapat ditulis ketaksamaan yang
lebih kuat yaitu batasan kapasitas bulat sebagai berikut:
i
hP P
z
X
ij
i∈U
j∈S
S ⊆ V : S 6= ∅
xe ≥ 2
Q
(4.12)
e∈d
Secara analog dapat diperoleh untuk m-RSK versi bulat dari ketaksamaan ring
pecahan adalah:
X
e∈δ(s)
xe ≥ 2
hP
i∈U
P
j∈S
Q
zij
i
S ⊆ V : S 6= ∅
Ketaksamaan-ketaksamaan tersebut adalah non linier.
(4.13)
20
Pada bagian 4 dipresentasikan aproksimasi linier untuk mengangkat ruas
kanan ketaksamaan-ketaksamaan ini, dan untuk menguatkan pelonggaran linier.
Bahwa penyelesaian layak dari (4.1)-(4.10) bisa memuat subtour biaya nol yang
hanya terdiri dari node-node steiner. Sehingga bisa dengan mudah mencoretnya
tanpa kehilangan persyaratan Mrsk. Sebagai alternatif, batasan-batasan berikut
menghindari subtour sedemikian sehingga ditetapkan suatu sambungan dengan
P
depot:
e∈sigma(s) xe ≥ 2wk , ∀S ⊆ W dan ∀k ∈ S Rumus (4.1)-(4.10) dapat
diperluas untuk memodelkan VRAP. Misalkan wi untuk setiap i ∈ U , adalah
variabel baru yang bernilai 1 jika pelanggan i dilayani dan bernilai 0 jika tidak
dilayani. Yang perlu diganti hanya ruas kanan dari (4.6) dengan wi dan menamP
bahkan pada fungsi tujuan suku i∈U pi wi dimana pi adalah penalti karena tidak
melayani i. Perluasan ini tidak dibahas lebih lanjut dalam tulisan ini karena
menyimpang dari masalah nyata. Tetapi bisa menjadi dasar dalam pengembangan
algoritma untuk VRAP.
4.3 Formula Dua Arus Komoditas
Formulasi dua arus komoditas m-RSK menggunakan model graph yang
mengasosiasikan setiap edge {i, j} ∈ E dengan dua arc yang berlawanan dan
dengan dua variabel arus yang bersesuaian yij dan yji . Kedua Arc mempunyai
biaya yang sama cij ditetapkan bahwa dalam penyelesaian Mrsk layak total arus
pada setiap edge dari ring tepat sama dengan Q. Variabel y mengidentifikasi setiap ring melalui dua path arus. Pada path pertama yang bergerak dari node 0 ke
node n + 1, arus yij menyatakan jumlah pemakai yang dilayani oleh ring setelah
mengunjungi node i. Pada path yang berlawanan yang bergerak dari node n+1 ke
21
node 0, variable yij menyatakan jumlah potensial pelanggan yang dapat dilayani
pada path maju dari 0 ke j. Dengan demikian total arus yang keluar dari node
n + 1 sama dengan mQ. Setiap node pada ring yang mempunyai v pelanggan
yang dialokasikan menyerap v unit aliran yang datang dari node 0 dan unit aliran
yang datang dari node n + 1. Pada gambar 3.9 diperlihatkan lima pelanggan ring
dalam gambar 3.8 dan kedua path arus (0, 22, 24, 17, 11, n + 1) dan (n + 1, 11,
17, 24, 22, 0).
Gambar 4.1 m-Ring Star Berkapasitas dengan 5 Pelanggan
(LP-F2) min
X
1 X
cij (yij + yji +
dij zij
Q
{i,j}∈E
(i,j)∈A
X
s.t.
y0j = |U |
(4.14)
(4.15)
j∈V 0
X
yn+1j = mQ
(4.16)
j∈V 0
X
X
j∈V 0
yj,n+1 = 0
(4.17)
yj0 = mQ − |U |
(4.18)
j∈V 0
22
X
(yji + yij ) = 2Qzjj
j∈U
(4.19)
∀j ∈ W
(4.20)
∀i ∈ U
(4.21)
∀j ∈ V
(4.22)
yij + yji ∈ {0, Q} ∀{I, j} ∈ E
(4.23)
yij ≥ 0,
∀i, j ∈ V
(4.24)
zij ∈ {0, 1} ∀(i, j) ∈ A
(4.25)
wj ∈ {0, 1} j ∈ W
(4.26)
j∈V
X
j∈V
X
j∈V
(Yji + yij ) = 2Qwj ,
X
zij = 1,
j∈V 0
(yij − yji ) = 2
X
zij
i∈U
Formulasi dua arus komoditas m-RSK adalah sebagai berikut :
Persamaan (4.16) menetapkan bahwa arus keluar node 0 sama dengan jumlah pelanggan, sementara persamaan (4.17) menetapkan bahwa arus keluar pada
node n + 1 sama denga total kapasitas dari ke m ring. Persamaan (4.18) mengindikasikan bahwa tidak ada arus masuk node n + 1 sementara persamaan (4.19)
menetapkan bahwa arus yang masuk node 0 sama dengan kapasitas residual ring.
Diharuskan bahwa Q unit arus melalui setiap edge pada ring, maka untuk setiap
node ring total arus yang masuk dan keluar dari node haruslah sama dengan 2Q.
Ini ditetapkan oleh persamaan (4.20) dan (4.21). Persamaan (4.22) menjamin
bahwa setiap pelanggan dialokasikan kepada satu node.Persamaan (4.23) adalah
batasan konservasi arus yang memperhitungkan bahwa setiap pelanggan menerima satu unit arus dari node 0 dan satu unit arus dari node n +1. Batasan (4.24)
menetapkan persyaratan biner bahwa edge e = {i, j} ∈ E haruslah dikunjungi
atau tidak oleh ring, yang dengan demikian menjelaskan fungsi tujuan (4.15).
23
Misalkan LP-F1 dan LP-F2 adalah relaksasi linier programming masingmasing dari formula F1 dn F2 (dengan batasan (4.24) disubstitusi dengan yij +
yji ≤ Q untuk semua {i, j} ∈ E).
Teorema 1 Diberikan suatu penyelesaian layak (z ∗ , w∗ , y ∗) dari LP-F2 terdapat
vektor x∗ sedemikian sehingga (x∗ , z ∗, w∗ ) adalah penyelesaian layak dari LP-F1
terdapat vektor y ∗ sedemikian sehingga (z ∗ , w∗ , y ∗) adalah penyelesaian dari LPF2. Kedua penyelesaian yang bersesuaian mempunyai nilai fungsi tujuan yang
sama.
Bukti : diberikan suatu penyelesaian (z ∗, w∗ , y ∗) dari LP-F2 vektor x∗ij = (yij∗ +
∗
)/Q adalah sedemikian rupa sehingga (z ∗ , w∗, y ∗) adalah penyelesaian dari LPyji
F1. Tentu saja dengan menjumlahkan persamaan (4.16) dan (4.19) diperoleh
persamaan (4.2), sementara dengan menjumlahkan (4.17) dan (4.18) diperoleh
(4.3). Persamaan (4.4) dan (4.5) segera diperoleh dari (4.20) dan (4.21), batasan
kapasitas ring pecahan (4.7) dapat diperoleh dari (4.23) sebagai : diberikan himpunan bagian node S dimulai dengan menambahkan (4.23) untuk semua j ∈ S
yang dengan demikian diperoleh rumus
X X
j∈S i∈V /S
(yij − yji = 2
XX
zij
j∈S e∈U
Dengan mengamati bahwa yij + yji ≥ yij − yji dan dengan mengingat bahwa
variable yij dan yji diasosiasikan dengan edge yang sama {i, j}. Persamaan diatas
P P
P P
menghasilkan j∈S i∈V \S (yij +yji ≥ 2 j∈S e∈U zij dan (4.7) segera diperoleh.
Di lain pihak diberikan vector penyelesaian (x∗ , z ∗, w∗ ) dari LP-F1, dimungkinkan memproleh penyelesaian dari LP-F2 dengan mempertahankan z ∗ dan w∗
24
dan dengan menghitung arus y ∗ yang tepat sebagai berikut misalkan G∗ = (V ∗, E ∗ )
adalah graph pendukung yang di asosiasikan dengan penyelesaian (x∗, z ∗ , w∗ )
yaitu V ∗ = {0, n + 1} ∪ Vˆ ∗ dimana Vˆ ∗ = {i ∈ U : zii∗ > 0} dan E ∗ = {{i, j} ∈
E : x∗i,j > 0}. Diasosiasikan setiap edge {i, j} dengan kapasitas Qx∗ij dan setiap
P
node j dengan permintaan arus i∈U zij∗ > 0. Dicari arus min-biaya katakanlah y 1 yang berasal dari source 0 dengan menetapkan setiap edge {i, j} ”slack”
2
yji
= Qx∗{i,j} − yij1 . Dengan memasukkan arus keseluruhan y ∗ = y 1 + y 2 segera
∗
≤ Q, ∀{i, j} ∈ E. Diberikan satu node j ∈ V 0 dapat ditulis
diperoleh yij∗ + yji
P
P
∗
∗
1
1
1
i∈V yij − yji = 2
i∈V (yij − yji = 2. Karena konservasi arus untuk y ruas kanan
P
persamaan ini sama dengan 2 i∈V zij∗ , karenanya (4.23) berlaku arus memenuhi
(4.16) dengan konstruksi, karenanya (4.19) segera diperoleh menurut definisi dari
y 2 . Bahwa tidak ada arus y 1 masuk node n +1 dalam penyelesaian arus min biaya
optimal, tentu saja n + 1 hanyalah merupakan copy dari node 0 dan setiap arus
pada path dari 0 ke n + 1 dapat di eliminasi begitu saja tanpa mempengaruhi
persyaratan arus pada node sink. Kesamaan kedua nilai fungsi tujuan segera
diperoleh dengan konstruksi x∗ .
Hasil serupa diperoleh Gouveia [1995] untuk VRP permintaan unit (dengan
menggunakan formulasi arus dua komoditas) dan oleh Baladacci, Hadjiconstantinou dan Mingozzi [2004] MRKK. Letcford dan Salazar [18] membuktikan ekuivalensi antara formulasi satu komoditas dan formulasi dua komoditas untuk CVRP.
Akibat 1 MODEL F1 DAN F2 menyatakan penyelesaian yang sama dari mRSK
Bukti : ini segera diperoleh berdasarkan teorema 1 diatas, identitas Qx(i,j) =
yij + yji dan batasan integralitas (4.8) dan (4.24).
25
Sebagai konsekuensi dari teorema 1 pengguna formulasi LP-F1 atau formulasi LP-F2 tidak memberikan keuntungan apapun (dalam hal kualitas batas
bawah) pada algoritma berbasis linier programming. Akan tetapi karena kedua
model berbeda dalam jumlah variable dan batasan, kinerja perhitungan mungkin
berbeda. Khususnya LP-F1, mempunyai 2|U | + |W | + 2 kesamaan plus jumlah
eksponensial batasan (4.7), sementara LP-F2 hanya mempunyai 3|U | + 2|W | + 4
kesamaan, tetapi |E| lebih banyak variable daripada LP-F1.
4.4 Metode Branch and Price (Generasi Kolom)
Berikut ini akan direpresentasikan pula metode Branch and Price (Generasi
Kolom) untuk masalah m-Ring Star Berkapasitas. Bentuk umum generasi kolom
P dapat dituliskan:
max c(x)
Ax ≤ b
(4.27)
x ∈ S, x bilangan bulat
fungsi c(x) tidak perlu linier, meskipun dalam saat perhitungan nantinya perlu
melonggarkan masalah dengan mengabaikan Ax ≤ b secara relatif agar mudah
untuk menyelesaikannya.
Ide dasar generasi kolom adalah himpunan
S ∗ = {x ∈ S; x integer }
yang diwakilkan oleh vektor himpunan berhingga. Khususnya, jika S terbatas
maka S ∗ juga merupakan himpunan titik-titik berhingga, yaitu S ∗ = {y1, y2, . . . , yn }.
26
Selain itu, jika x biner, maka S ∗ merupakan titik 1.246.614 dari kulit konveks
(convex hull), yang dinotasikan dengan conv(S ∗).
Jika S tidak terbatas, hasil klasik Minkowski dan Weyl menetapkan bahwa
conv(S ∗ ) adalah suatu polyhedron dan diwakilkan oleh kombinasi konveks dari
himpunan titik-titik berhingga dan kombinasi linier dari himpunan sinar (rays)
berhingga. Kemudian, generasi kolom untuk program bilangan bulat masih mungkin saat S tidak terbatas, meskipun demikian, disini diasumsikan bahwa S terbatas.
Andaikan S ∗ = {y1, y2 , . . . , yp}, setiap titik y ∈ S ∗ dapat diwakilkan dengan
y=
X
yk λk
1≤k≤p
Dengan kendala konveksitas
X
yk = 1
1≤k≤p
λk ∈ {0, 1} k = 1, 2, . . . , p
misalkan ck = c(yk ) dan ak = Ayk , maka diperoleh bentuk generasi kolom P yaitu:
max
X
ck λk
1≤k≤p
X
ak λk ≤ b
1≤k≤p
X
(4.28)
λk = 1
1≤k≤p
λk ∈ {0, 1} k = 1, 2, . . . , p
dengan catata bahwa bentuk generasi kolom P merupakan masalah program linier
bilangan bulat dimana formula awalnya dapat berupa fungsi tujuan non linier.
27
Kelinierannya dalam hal ini mungkin karena dalam persamaan:
X
y=
yk λk
1≤k≤p
P
diperoleh y = yk untuk setiap k saat
λk = 1 dan λk ∈ {0, 1}.
1≤k≤p
Ini tidak dapat dilakukan jika S tidak terbatas, sehingga dalam keadaanini formula awal harus memiliki fungsi tujuan yang linier atau faktor lain harus digunakan untuk mencapai kelinierannya.
S
Jika S dapat disusun, misalnya S =
Sj , maka setiap himpunan
1≤j≤n
Sj∗ = {xj ∈ Sj : xj integer }
dapat diwakilkan sebagai
j
Sj∗ = {y1j , y2j , . . . , ypj
}
Sekarang misalkan cik = c(ykj ) dan ajk = Aykj ini menghasilkan bentuk generasi
kolom P dengan kendala konveksitas terpisah untuk setiap Sj yaitu:
max
X
X
cjk λjk
1≤j≤n 1≤k≤pj
X
X
ajk λjk ≤ b
1≤j≤n 1≤k≤pj
X
(4.29)
λjk = 1, j = 1, . . . , n
1≤k≤pj
λjk ∈ {0, 1} j = 1, . . . , n, k = 1, 2, . . . , pj
Jika himpunan bagian dalam susunan tersebut identik, misalnya Sj = S =
{y1 , y2, . . . , yp} untuk j = 1, . . . , n maka ini dapat diwakilkan oleh suatu sub
P
himpunan S dengan λk = j λjk dan kendala konveksitas diganti oleh kendala
P
λk = n dimana λk ≥ 0 dan integer. Hasil dalam
konveksitas tambahan
1≤k≤p
28
generasi kolom ini berbentuk
max
X
ck λk
1≤k≤p
X
ak λk ≤ b
1≤k≤p
X
(4.30)
λk = n
1≤k≤p
λk ≥ 0 dan bilangan bulat
k = 1, 2, . . . , p
Dalam beberapa rumusan, kendala konveksitas ditulis dalam bentuk pertidaksamaan
X
λk ≥ 1
1≤k≤p
Umumnya bila y = 0 ∈ S ∗ dan C(0) = 0 maka y = 0 dapat dihilangkan dari
formulasinya. Dalam hal ini himpunan bagian kendala konveksitas tambahan
yang identik dapat diabaikan secara bersamaan ketika n tidak ditetapkan sebagai
bagian dari input.
Perbedaan mendasar antara bentuk P dan generasi kolom adalah bahwa S ∗
telah diganti dengan himpunan dari titik-titik yang berhingga. Tampak bahwa
penyelesaian pemecahan pada program linier yang dikendorkan dari bentuk generasi kolom dengan jika dan hanya jika dapat diwakilkan oleh kombinasi konveks
dari titik ekstrim conv(S ∗ ). Secara khusus, Geoffrian [1974] telah menunjukkan
bahwa polyhedron conv(S) tidak memiliki semua titik ekstrim yang bulat, maka
program linier dapat dikendorkan dari bentuk generasi kolom P akan diperketat
dari P itu untuk beberapa fungsi tujuan.
Meskipun demikian, karena bentuk generasi kolom lebih sering mengandung
kolom yang sangat besar, karena itu penting mengerjakan dengan versi batasan
29
yang hanya mengandung kolom himpunan bagian dan hanya menambah kolom
tambahan yang sesuai yang dibutuhkan. Bentuk generasi kolom disebut problema
master dan saat tidak mengandung kolom disebut problema master terbatas. Generasi kolom dilakukan dengan memecahkan masalah penghargaan dari bentuk
max{dx : x ∈ S ∗ } atau max{dx : x ∈ conv(S ∗ )} dimana d ditentukan dari
variabel dual yang optimal pada program linier yang dikendorkan dari problema
master terbatas.
4.5 Model Pemisahan
Banyak algoritma pencabangan dan penghargaan yang diketahui telah dikembangkan untuk formulasi dasar dari himpunan pemisahan. Dalam masalah himpunan pemisahan umumnya memiliki daerah himpunan dari elemen-elemen dan
peraturan untuk menggenerasi himpunan bagian yang layak dan menguntungkan
dan diharapkan dapat menemukan bagian dari keuntungan maksimum dari pemisahan di sekitar himpunan ke dalam himpunan bagian yang layak. Misalkan zij = 1
jika elemen i dalam himpunan bagian j dan 0 untuk lainnya dan andaikan zj
dinotasikan sebagai vektor karakteristik dari himpunan bagian j, yaitu sebuah
vektor dengan masuknya zij untuk setiap elemen i. Masalah pemisahan secara
umum berbentuk:
max
X
c(zj )
1≤j≤n
X
zij = 1,
i = 1, . . . , m
(4.31)
1≤j≤n
zj ∈ S, z biner
dimana m adalah jumlah dari elemen dalam daerah himpunan (ground set), n
30
adalah jumlah himpunan bagian dan S adalah himpunan dari himpunan bagian
yang layak.
4.6 Pembatasan yang Berbeda pada Himpunan Bagian
Pertama kali dianggap bahwa himpunan bagian yang layak mempunyai
syarat yang berbeda yang diberikan oleh:
Sj = {zj : Dj Zj ≤ dj , zj biner },
j = 1, . . . , n
(4.32)
Maka masalah P berbentuk
max
X
cj (zj )
1≤j≤n
X
zij = 1,
i = 1, . . . , m
(4.33)
1≤j≤n
Dj zj ≤ dj ,
j = 1, . . . , n
z biner
Dan generasi kolom berbentuk
max
X
X
(ckj ykj )λjk
1≤j≤n 1≤k≤pj
X
X
j j
yik
λk = 1
i = 1, . . . , m
1≤j≤n 1≤k≤pj
X
λjk
≤1
(4.34)
j = 1, . . . , n
1≤k≤pj
λjk ∈ {0, 1} j = 1, . . . , n, k = 1, 2, . . . , pj
dimana Cjk = cj (ykj ) dan {ykj }, 1 ≤ k ≤ pj adalah titik-titik s∗j dengan elemen
j
yik
= 1, . . . , m.
31
Maka dipilih suatu kendala konveksitas sebagai sebuah pertidaksamaan,
dalam banyak aplikasi, sehingga tidak dapat memberikan anggota pada himpunan
bagian yang diberikan.
4.7 Pembatasan yang Identik pada Himpunan Bagian
Jika diasumsikan bahwa himpunan bagian layak memiliki syarat yang sama
maka persamaan diganti oleh himpunan bagian dari persamaan
S = {zj , Dzj ≤ d, zj biner }
(4.35)
Maka masalah P adalah:
max
X
c(zj )
1≤j≤n
X
zij = 1,
i = 1, . . . , m
(4.36)
1≤j≤n
Dzj ≤ d,
j = 1, . . . , n
z biner
Dan bentuk generasi kolom adalah
X
max
ck λk
1≤k≤p
X
yik λk = 1,
i = 1, . . . , m
(4.37)
1≤k≤p
λk ∈ {0, 1} k = 1, 2, . . . , p
dimana ck = c(yk ). Disini dipilih untuk mengabaikan kendala konveksitas tambahan karena biasanya dalam penerapannya n tidak ditetapkan.
Keuntungan utama dari problema master untuk maslah ini dengan peraturan himpunan bagian yang identik adalah beberapa penghilangan dari sifat
32
kesimetrian P yang menyebabkan bentuk pencabangan dan pembatasan sangat
sedikit. Ini berarti bahwa penyelesaian pada P atau program linier yang dikendorkan memiliki sejumlah eksponensial dari perwakilannya sebagai fungsi dari
sejumlah himpunan bagian. Oleh karena itu pencabangan pada variabel zij memindahkan solusi pemecahan yang mungkin akan menghasilkan solusi pemecahan
dengan zik sama dengan nilai zij yang lama. Dan sebaliknya, sekurang-kurangnya
zij adalah pemecahan untuk semua j. Rumusan penghilangan problema master
ini simetri dan oleh karena itu banyak diterima pada peraturan pencabangan yang
berarti kemajuan dalam memperbaiki batasan program linier dalam tree/pohon.
4.8 Pencabangan
Program linier yang dikendorkan diselesaikan oleh generasi kolom tidak perlu
bulat dan pemakaian prosedur standar pencabangan dan pembatasan pada problema master terbatas dengan kolom yang ada tidak akan menjamin solusi akan
optimal atau layak. Setelah pencabangan mungkin terdapat kol;om yang akan mengeluarkan harga yang baik tapi tidak terdapat dalam problema master. Karena
itu, untuk menemukan solusi optimal, dilakukanlah penggenerasian kolom setelah
pencabangan.
4.9 Himpunan Problema Master Pemisahan
Ryan dan Foster [1981] mengusulkan sebuah strategi pencabangan untuk
himpunan problema master pemishan yang didasarkan pada Proposisi 1. Walaupun tidak mempertimbangkan generasi kolom, strategi ini dapat menghasilkan
33
prosedur pencabangan yang berguna untuk masalah ini.
Proposisi 1 Jika Y matriks 0-1 dan penyelesaian dasar pada Y λ = 1 adalah
pecahan; yaitu sedikitnya 1 dari komponen λ adalah pecahan, maka terdapat 2
baris r dan s dari problema master sedemikian hingga
X
0<
λk < 1
k:yrk =1,yrk =1
Bukti :
Anggap variabel pecahan λk0 . Andaikan baris r adalah sebarang baris dengan
P
yrk0 = 1. Karena 1≤k≤p yrk λk = 1 dan λk0 adalah pecahan, harus ada beberapa
kolom basis k” lainnya dengan o < λk” < 1 dan yrk” = 1, seperti yang diilustrasikan oleh submatriks pada tabel 1:
Tabel 4.1 Penyajian Submatriks dalam Pasangan Calon Pencabangan
r
s
k0
1
0
k”
1
1
Karena tidak ada kolom duplikat dalam basis, maka harus ada sebuah baris
s sehingga ysk0 = 1 atau ysk” = 1, tetapi tidak keduanya. hal ini membawa pada
beberapa deretan relasi/hubungan sebagai berikut:
X
yrk λk
1=
1≤k≤p
=
X
λk
k:yrk
>
X
λk
k:yrk =1,ysk =1
dimana pertidaksamaan itu dihasilkan dari fakta bahwa penjumlahan terakhir
termasuk salah satu λk0 atau λk” tapi tidak keduanya.
34
Pasangan r dan s memberikan kendala pada pasangan pencabangan:
X
k:yrk =1,ysk =1
λk = 1 dan
X
λk = 0
k:yrk =1,ysk =1
yaitu baris r dan s harus dicakup oleh kolom yang sama pada pencabangan pertama (kiri) dan oleh kolom yang berbeda pada pencabangan kedua (kanan).
Proposisi 4.1 menyatakan bahwa jika tidak ada pasangan pencabangan yang
dapat diidentifikasi, maka penyelesaian pada problema master harus bilangan bulat. Algoritma pencabangan dan pembatasan harus berakhir setelah jumlah bilangan berhingga pada pencabangan hanyalah sebuah bilangan berhingga pada
barisan. Dengan catatan bahwa setiap pencabangan memutuskan penghilangan
variabel bilangan yang besar dari pertimbangannya.
4.10 Batasan yang Identik pada Himpunan Bagian
Skema pencabangan diusulkan oleh Ryan dan Foster dengan syarat elemen
r dan s memiliki himpunan bagian yang sama pada pencabangankiri dan himpunan bagian yang berbeda pada pencabangan kanan. Pada pencabangan kiri,
semua kolom layak harus memiliki yrk = ysk = 0 atau yrk = ysk = 1, dimana
pada pencabangan kanan semua kolom yang layak harus memiliki yrk = ysk = 0
atau yrk = ysk = 1 atau yrk = 1, ysk = 0. Dengan menambah kendala pencabangan pada problema master secara eksplisit, maka kolom yang tidak layak
pada problema master dapat dihilangkan. Pada pencabangan kiri, ini identik
dengan menggabungkan baris r dan s dalam problema master yang memberikan
masalah himpunan pemisahan yang lebih kecil. Pada pencabangan kanan, baris
r dan s dibatasi menjadi terputus-putus dan dapat menghasilkan problema mas-
35
ter yang lebih mudah karena himpunan masalah pemisahan dengan baris yang
terputus-putus (himpunan) lebih memungkinkan menjadi bulat.
Biasanya pemaksaan kendala pencabangan dalam masalah penghargaan,
misalnya pemaksaan 2 elemen menjadi himpunan bagian yang sama pada satu
pencabangan dan pemaksaan 2 elemen menjadi himpunan bagian yang berbeda
pada pencabangan lain, cukup mudah untuk diselesaikan. Meskipun demikian,
masalah penghargaan mungkin lebih sulit daripada pencabangan lain.
4.11 Batasan yang Berbeda pada Himpunan Bagian
Pertimbangkan keadaan dimana himpunan bagian yang berbeda dapat memiliki struktur diagonal blok yang dinyatakan dalam persamaan (4.34) dan menghubungkan bentuk generasi kolom secara eksplisit dengan kendala konveksitas
terpisah untuk setiap himpunan bagian yang dinyatakan oleh persamaan (4.35).
Dalam keadaan ini, jika digunakan skema pencabangan yang disarankan
oleh Ryan dan Foster tetapi selalu menyeleksi satu baris pemisah, katakan baris r
dan satu bari konveksitas, katakan baris s, yang akan menghasilkan sebuah skema
pencabangan khusus yang memiliki tafsiiran natural dalam rumusan yang natural
dan beberapa sifat perhitungan yang baik. Pasangan kendala pencabangan yang
dihasilkan dinyatakan sebagai:
X
s =1
1≤k≤p:yrk
λsk = 1 dan
X
λsk = 0
(4.38)
s =0
1
m-RING STAR BERKAPASITAS
TESIS
Oleh
KHAIRUNISA SIREGAR
077021005/MT
SEKOLAH PASCASARJANA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2009
METODE UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH
m-RING STAR BERKAPASITAS
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana
Universitas Sumatera Utara
Oleh
KHAIRUNISA SIREGAR
077021005/MT
SEKOLAH PASCASARJANA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2009
Judul Tesis
: METODE UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH
m-RING STAR BERKAPASITAS
Nama Mahasiswa : Khairunisa Siregar
Nomor Pokok
: 077021015
Program Studi
: Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
Ketua
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Anggota
Ketua Program Studi
Direktur
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B,M.Sc)
Tanggal lulus: 29 Mei 2009
Telah diuji pada
Tanggal: 29 Mei 2009
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
: Dr. Saib Suwilo, M.Sc
Anggota
: 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang
2. Dr. Tulus, M.Si
3. Drs. Sawaluddin, MIT
ABSTRAK
Masalah m-Ring Star Dengan Kapasitas (m-RSK) adalah masalah desain jaringan,
dengan merancang suatu himpunan ring yang lewat melalui pusat depot dan
melalui beberapa titik transisi dan titik pelanggan. Digunakan Graph untuk
mendesain sruktur m-ring star. Banyaknya pelanggan pada ring atau terhubung
pada ring dibatasi oleh banyaknya fiber dikabel. Jumlah total dari titik pelanggan terkunjung atau dihubungkan ke ring terbatas (≤ Q). Tujuannya adalah
untuk meminimalkan biaya pemindahan dan biaya rute jaringan. Tulisan ini
mempresentasikan dan membahas dua formulasi matematika yaitu formulasi arus
dua komoditas dan formulasi dua- indek. Dipaparkan pula metode yang lain untuk menyelesaikan masalah m-Ring Star yaitu dengan metode Branch and Price.
Cara kerjanya dicoba atas sekelompok besar kasus, termasuk kasus dunia nyata
dan kinerja yang baik dari pendekatan yang diajukan ternyata terbukti.
Kata kunci : m-Ring Star, depot, pelanggan, Branch and Price.
i
ABSTRACT
The Capacitated m-Ring Star Problem is the problem of network design, by designing a set of ring that pass trough a central depot and trough some transition
point and customer point.Graph is used to design the m-Ring Star structure. The
number of customers on the ring or connect to the ring is limited by the numberof
the fiberin the cable. The total amount of customersis connected to the limited
ring (≤ Q). It is used to minimize the finance route. The writing is presented
and discussed two mathematics formulation,is two commoditas current formula
and two indeksformula. It is also explain another method. To solve the m-Ring
Star problem is by using Branch And Price method. The way of doing it by trying
based a great cases group, include the real world case, and the good network from
the approach that is tought, really approve.
Keywords : m-Ring Star, depot, customer, Branch and Price.
ii
KATA PENGANTAR
Sebagai umat beragama tak bosan-bosannya penulis bersyukur kehadirat
ALLAH SWT, sehingga dapat menyelesaikan tesis ini sebagai tugas akhir pada
Sekolah Pascasarjana Program Studi Magister Matemetika Universitas Sumatera
Utara dengan judul ”Metode untuk menyelesaikan masalah m-Ring Star Berkapasitas”. Tesis ini merupakan persyaratan tugas akhir pada Program Studi Matematika SPs Universitas Sumatera Utara. Pada kesempatan yang baik ini, penulis
menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada :
Kepala Bappeda Propinsi Sumatera Utara beserta stafnya yang memberikan
beasiswa kepada penulis,Kepala Dinas Pendidikan Kota Medan yang telah memberi izin mengikuti perkuliahan Program Pasca Sarjana di Universitas Sumatera
utara.
Prof.dr.Chairuddin P.Lubis, DTM&H, Sp.A(K) selaku Rektor Universitas
Sumatera Utara.
Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa B, M.S selaku Direktur Sekolah Pascasarjana
Universitas Sumatera Utara beserta stafnya yang memberikan kesempatan kepada
penulis untuk mengikuti perkuliahan pada angkatan ke III Program Edukator
Tahun 2007.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Matematika
SPs USU dan juga sebagai anggota komisi pembimbing yang penuh keikhlasan
dan tak pernah bosan memberikan bimbingan kepada penulis sehingga penulisan
tesis ini dapat dirampungkan.
iii
Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Matematika SPs USU
dan ketua komisi pembimbing, yang berkat bantuan dan motivasi beliau darima
masa perkuliahan hingga sampai pada penyelesaian tesis ini.
Dr. Tulus, M.Si selaku pembanding yang banyak memberikan saran dan masukan kepada penulis sehingga penulisan tesis ini menjadi lebih sempurna.
Drs. Sawaluddin, MIT selaku pembanding yang juga begitu banyak memberikan saran dan masukan selama penulisan tesis hingga tesis ini dapat diselesaikan.
Dra. Mardiningsih, M.Si, salah satu staf pengajar pada SPs Program Studi
Matematika yang selalu meluangkan waktu dan tempatnya untuk membantu
penulis dalam menyelasaikan tesis ini.
Prof. Dr.Iryanto, M.Si, Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Dr. Sutarman, M.Sc, Drs. Marwan Harahap, M.Eng, Drs. Open Darnius, M.Sc,
Drs.Suwarno Arismoyo, M.Si selaku staf pengajar pada SPs Program Studi
Matematika atas bimbingan dan motivasi selama masa perkuliahan.
Bunda Dra. Hj. Rebekka Girsang selaku Kepala SMAN 1 Medan yang telah
memberikan kesempatan dan semangat kepada penulis sejak awal perkuliahan
hingga selesai masa perkuliahan.
Kepada orang tua penulis (Alm) H.Muhammad Ridwan Siregar dan
Hj. Hindun; Mertua (Alm) H.Hamzah Nasution dan Hj.Sudihernani atas
dukungan serta doanya sehingga penulis dapat menyelesaikan studi pada Sekolah
SPs USU.
iv
Suami tercinta Irwansyahrial, S.Pd yang banyak menghabiskan waktu,
tenaga, kesabaran dan memberikan semangat pada penulis hingga penulis dapat menyelesaikan perkuliahan dan penulisan tesis ini. Putra tercinta Khairi
Al-Maftuh yang selalu rela ditinggalkan ibundanya untuk menyelesaikan perkuliahan hingga penulisan tesis ini.
Dra. Roslinawati Harahap, sebagai kakak dan juga sahabat yang selalu
bersama selama perkuliahan hingga penyelesaian tesis ini.
Khususnya kepda abang, kakak dan adik-adikku yang telah turut membantu
perkuliahan dan penulisan tesis ini hingga selesai. Semoga kesehatan dan berkah
dilimpahkan oleh ALLAH SWT kepada mereka.
Kiranya tesis ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang telah turut membantu perkuliahan dan penulisan tesis ini hingga selesai, amin.
Medan,
Mei 2009
Penulis,
Khairunisa Siregar
v
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ABSTRACT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Rumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5 Metodologi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
BAB 3 PENGERTIAN PERSOALAN M-RING STAR BERKAPASITAS
6
3.1 Graph
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Definisi Graph
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Pengelompokan Graph
6
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.3.1 Graph Sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.3.2 Graph Tak Sederhana . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.4 Graph Berbobot
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
8
3.5 Program Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BAB 4 PEMBAHASAN
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.1 Formulasi Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.2 Formulasi Dua-Indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.3 Formula Dua Arus Komoditas . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.4 Metode Branch and Price (Generasi Kolom) . . . . . . . .
25
4.5 Model Pemisahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.6 Pembatasan yang Berbeda pada Himpunan Bagian . . . . .
30
4.7 Pembatasan yang Identik pada Himpunan Bagian . . . . .
31
4.8 Pencabangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.9 Himpunan Problema Master Pemisahan . . . . . . . . . .
32
4.10 Batasan yang Identik pada Himpunan Bagian . . . . . . .
34
4.11 Batasan yang Berbeda pada Himpunan Bagian . . . . . . .
35
BAB 5 KESIMPULAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
viii
DAFTAR TABEL
Nomor
4.1
Judul
Halaman
Penyajian Submatriks dalam Pasangan Calon Pencabangan . .
ix
33
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
3.1
Simple Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.2
Representasi Grafis Undirected Graph . . . . . . . . . . . .
8
3.3
Graph Tidak Sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.4
Graph Berbobot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.5
Graph Berarah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.6
Adjacent Edge
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.7
Graph Bipartisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.8
m-Ring Star Berkapasitas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4.1
m-Ring Star Berkapasitas dengan 5 Pelanggan . . . . . . . .
21
x
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teknologi baru dibidang telekomunikasi memberikan tantangan masalah desain jaringan(Gourdin, Labbe dan Yaman, 2002). Tesis ini menampilkan masalah
baru yang diberi nama m-Ring Star berkapasitas (mRSK) yang terdiri dari perancangan suatu himpunan cycle (ring) yang masing-masing mencakup pertukaran
komunikasi (pusat depot), sejumlah tertentu pelanggan dan titik yang mungkin
lainnya yang disebut titik transisi yang dapat digunakan untuk menghemat biaya
routing.
Dengan menggunakan teknologi terkini, setiap ring disusun atas seutas kabel
yang berisi sekumpulan kabel optik. Setiap pelanggan mendapat dua kabel, yang
pertama digunakan untuk komunikasi yang searah jarum jam dan yang kedua
untuk komunikasi yang berlawanan dengan arah jarum jam
Biaya total penggunaan jaringan optik bergantung pada bebarapa hal misalnya kabel, peralatan yang dibutuhkan untuk komunikasi dan perbaikan. Perusahaan telekomunikasi berusaha untuk mengurangi biaya semaksimal mungkin.
Tidak semua pelanggan berada didalam ring . Ada juga pelanggan yang berada
diluar ring yaitu jika jarak pelanggan dengan ring relatif kecil (± 200 m). maka
jaringan akan menambahkan ring kecil dipinggiran ring utama kearah pelanggan
tersebut. Artinya kabel tersebut berada diperpotongan pinggiran ring, lalu kepelanggan dan kembali lagi ke ring diperpotongan yang sama kemudian kembali
1
2
lagi mengikuti ring tersebut. susunan atas beberapa gabungan ring yang masingmasing mengandung pertukaran komunikasi beberapa pelanggan dan beberapa
titik transisi ditambah korelasi pendek dengan pelanggan diluar pelanggan dinamakan struktur ring star. Dalam hal ini , jumlah dari pengguna ring ke ring
yang lain yang terhubung dibatasi oleh jumlah kabel yakni seratus kabel dapat
melayani 50 pengguna. Perhitungan ini setara dengan masalah terkapasitasi dimana kebanyakan struktur m-ring star harus di desain. Pada bagian selanjutnya akan diberikan deskripsi tentang m-ring star berkapasitas dan hal-hal yang
erat kaitannya dengan masalah m-ring star berkapasitas tersebut. Salah satu cabang Matematika yang cukup penting dan sangat luas penerapannya di banyak
bidang ilmu adalah Teori Graph.Salah satunya adalah bidang jaringan telekomunikasi.Graph disini merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungannya dengan objek-objek tersebut.Pada pembicaraan Graph selanjutnya akan digunakan
verteks sebagai titik dan edge atau arc sebagai potongan garis lurus atau garis
lengkung.
Dipaparkan 2 formula matematika, yaitu formulasi dua indeks dan formulasi
dua arus komoditas, perhitungan batas m-ring star berkapasitas dan dipaparkan
pula Metode Branch And Price.
1.2 Rumusan Masalah
Adapun permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana mendesain
jaringan agar biaya koneksi dan biaya rute dapat diminimalkan.
3
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk meminimalkan biaya pemindahan dan biaya rute jaringan.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangan secara teoritis khususnya pada perusahaan jaringan telekomunikasi dan umumnya pada bidang Matematika.
1.5 Metodologi Penelitian
Dalam penelitian ini akan dibahas:
1. Penjelaskan defenisi formal dari m-RSK.
2. Dipaparkan dua formula matematika
3. Metode Branch and Price
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Beasley dan Nascimento [1996] mendefenisikan masalah Alokasi Routing
Kendaraan (MARP).Masalah ini merupakan generalisasi dari m-RSK dimana
pelanggan bisa tidak menerima layanan asalkan denda dibayar dalam fungsi tujuan.
Lee at al [1998] mengkaji masalah lain yang berhubungan dengan m-RSK,
yaitu masalah Ring Star Steiner. Ini terdiri dari penentuan biaya minimum ring
dengan hanya menggunakan titik titik pelanggan dan sedemikian sehingga pelanggan terhubung tepat dengan satu titik pada lingkaran.
Beberapa penulis mengkaji scenario dimana sebagai pengganti cycle, struktur seperti path atau tree haruslah diidentifikasi dan node-node yang tidak berada pada struktur ini haruslah dialokasikan pada struktur.Klasifikasi masalah ini
bias ditemukan dalam Labbe et al [2002]. Referensi untuk lain yang mengkaji
telekomunikasi dan aspek alokasi-alokasi dapat ditemukan dalam Labbe at al
[2004,2005]. Masalah ”ring Star” diperkenalkan dimana mengandung desain dari
sebuah cycle sederhana dengan meminimkan biaya secara objektif yang terdiri
dari dua biaya yaitu biaya rute yang berhubungan dengan jarak dari cycle dan
biaya pemindahan untuk setiap titik dalam cycle ke titik lain pada cycle. Masalah
yang sama adalah masalah ”cycle median” yang terdiri dari penentuan simple cycle yang meminimkan biaya rute dengan memenuhi batas atas total biaya alokasi
titik-titik yang tidak dikunjungi. Dalam model Integer Linier Programming untuk
dua masalah dipresentasikan dengan ketaksamaan.
4
5
Lee et al [1998] memandang masalah lain yang berhubungan dengan mRSK
yaitu masalah ”Steiner ring star”. Masalah ini terdiri dari biaya cycle minimal
menggunakan titik yang tidak berpelanggan dan pelanggan hanya dihubungkan
dengan satu titik pada cycle. Masalah ini muncul dalam desain jaringan pelayanan
data digital dimana tujuannya adalah untuk menghubungkan terminal ke konektor
titik per titik.
Dikembangkan logaritma ”Branch and Price” yang menyalesaikan contoh
dengan |V | + |w| ≤ 100.
Xu at al [1999] mengusulkan algoritma tabu untuk masalah ini dan mencobanya ke contoh lain dengan |V | ≤ 300 dan |W | ≤ 300.
Lucena [1986] menggunakan pendekatan dua arus homoditas untuk TSP
mendapatkan formula baru untuk MRKK, dan batas bawah didasari oleh LPrelaxation. Sebelumnya Baldaci hadjicrustatinon dan Mingozzi [2003, 2004] menggunakan pendekatan dua arus komoditas, untuk mendesain algoritma.
Gouveia [1995] memperkenalkan dan mempelajari formula 1 arus komoditas
yang menginginkan koneksi yang didasari VRP tujuan lain adalah untuk mengembangkan hasil untuk m-RSK dan asses untuk pertama kali, keefektifan untuk formula kedua ini adalah ketika digunakan pada jaringan yang sama.
BAB 3
PENGERTIAN PERSOALAN M-RING STAR BERKAPASITAS
Bagian ini menjelaskan defenisi formal dari m-ring star berkapasitas sebagai
suatu masalah optimisasi dalam teori graph. digunakan graph gabungan, dimana
titik transisi dan pusat depot diasosiasikan dengan node, sementara sambungan
antara node adalah edge atau arc berbobot.
Berikut akan diberikan tentang pengertian Graph, definisi Graph, pengelompokan Graph, graph Biparti dan Graph Berbobot.
3.1 Graph
Suatu graph terdiri dari dua bilangan yaitu titik dan garis. Titik pada suatu
graph disebut verteks dan garis yang menghubungkan dua titik disebut edge atau
arc (untuk garis berarah). Secara formal suatu graph G didefinisikan sebagai
berikut:
3.2 Definisi Graph
Graph didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dinotasikan
dengan G = (V, E) dimana : V adalah himpunan titik, simpul, verteks ataupun
node dari G yaitu
V = {v1, v2, v3, . . . , vn}
6
7
E adalah himpunan rusuk, edges atau sisi dari G
E = {e1, e2, e3, . . . , em}
3.3 Pengelompokan Graph
Graph dikelompokkan menurut ada tidaknya edgesnya yang parallel atau
loop, jumlah verteksnya, berdasarkan ada tidaknya hubungannya dengan graph
yang lain. Berdasarkan hal ini diperkenalkan beberapa graph antara lain:
3.3.1 Graph Sederhana
Graph yang tidak mempunyai parallel edges atau edge ganda dan atau loop
dinamakan graph sederhana atau simple graph.
Contoh graph sederhana dapat dilihat pada Gambar 3.1 berikut ini.
2t
3t
t
t
1
4
Gambar 3.1 Simple Graph
Definisi 1 Suatu graph sederhana G adalah suatu pasangan terurut (V, E), dimana V adalah suatu himpunan berhingga yang tak kosong yang elemen-elemennya
disebut verteks dan E adalah suatu himpunan yang menghubungkan dua elemen
subset dari V yang disebut edge.
8
Andaikan V = {v − 1, v2, v3 , . . . , vn } dan
E = {(v1, v2), (v1, v3 ), (v2, v4), (v2, v3), (v2, v5), (v3, v4 ), (v4, v5)}.
Maka G = (V, E) adalah graph sederhana yang dinyatakan secara geometri pada
Gambar 3.2.
1t
t
t
2
3
t
4
t
2
Gambar 3.2 Representasi Grafis Undirected Graph
3.3.2 Graph Tak Sederhana
Graph yang mempunyai edge ganda dan atau loop dinamakan graph tak
sederhana atau unsimple graph.
t
t
t
t
t
t
Gambar 3.3 Graph Tidak Sederhana
3.4 Graph Berbobot
Graph berbobot atau graph berlabel adalah graph yang setiap edgesnya
diberi sebuah nilai (bobot). Bobot pada tiap edge dapat menyatakan biaya transportasi dari suatu kota ke kota lainnya atau jarak antara dua tempat atau waktu
9
tempuh antara dua tempat dan lain-lainnya. Berikut ini adalah contoh graph
berbobot
At
6
11
t
D
2
B t
3
3
tC
5
Gambar 3.4 Graph Berbobot
Jika pada suatu semua edgenya diberikan arah maka graph seperti ini dinamakan Graph Berarah (Directed graph) atau lebih sering disebut Digraph
dan diberi notasi D (pada graph biasa diberi notasi G). Pada Digraph edge atau
sisinya disebut arc. Suatu Graph berarah D terdiri dari suatu himpunan verteksverteks V dan s himpunan arc-arc A yang terdiri pasangan terurut dari vertek
yang dinyatakan dengan (u, v) yang disebut dengan sisi berarah (arc). Suatu
graph berarah atau digraph dituliskan dengan D = (V, A).
Berikut ini adalah gambar graph berarah.
t
A
z
tC
K
U
t
B
Gambar 3.5 Graph Berarah
10
Definisi 2 Suatu edge ek dimana k = 1, 2, 3, . . . , n dikatakan incident dengan
suau verteks vi dimana i = 1, 2, 3, . . . , m yaitu jika dan hanya jika ek adalah
penghubung antara vi dengan suatu verteks yang lain.
Dengan demikian berdasarkan definisi incident ini jelaslah bahwa suatu edge
harus incident dengan dua buah verteks yang sama dan boleh juga berbeda. Dua
buah verteks dikatakan adjacent,jika kedua verteks tersebut merupakan ujung dari
sebuah edge yang sama,yang biasa disebut sebagai adjacent verteks.
Bila dua buah edge incident (non parallel) terhadap suatu verteks terikat,maka
kedua edge yang demikian disebut sebagai adjacent edge.
Contoh Gambar 3.6 e2, e3 , e1 adalah edge yang incident dengan v2, v3 dan
v4 adalah dua buah verteks yang adjacent. e2 dan e6 merupakan dua edge yang
adjacent.
d(v1) = 3
Definisi 3 Suatu graph H disebut subgraph dari graph G, jika semua verteks dan
edge dalam H termuat didalam G, serta setiap edge yang memuat verteks-verteks
ujung yang sama di dalam H juga akan mempunyai verteks-verteks ujung yang
sama dalam G.
11
t
e1
e2
v3 t
tv1
e6
e3
e4
t
e5
tv2
v4
Gambar 3.6 Adjacent Edge
Definisi 4 Sebuah graph dikatakan bipartisi jika verteks V nya dapat dipartisi
kedalam dua himpunan bagian M dan N sedemikian sehingga setiap edge dari G
menghubungkan sebuah verteks dari M ke sebuah verteks dari N .
Dengan sebuah graph bipartisi lengkap, dapat diartikan bahwa setiap verteks
dari M dihubungkan ke setiap verteks dari N .Graph ini dinyatakan dengan Km,n
dimana m adalah jumlah verteks di M dan n adalah jumlah verteks N dan untuk
standarisasi di asumsikan m ≤ n.
Sebagai contoh, Gambar 3.7. menggambarkan graph bipartisi lengkap K2,3 .
Untuk menggambarkan sebuah graph lengkap, tempatkan jumlah verteks yang
sesuai dalam dua kolom parallel dan hubungkan verteks-verteks dalam satu kelompok dengan semua verteks verteks di kolom lainnya.
12
t
t
t
t
t
Gambar 3.7 Graph Bipartisi
m-ring star mendesain:
i. Susunan titik yang tidak teratur sebanyak m melewati pusat depot.
ii. Susunan hubungan langsung dari satu pelanggan dan satu titik. Jumlah
pelanggan yang dihubungkan ke ring akan dibatasi oleh Q (kapasitas dari
ring) lebih tepatnya : misalkan gabungan graph G = (V, E ∪ A) dimana
V = {0, n + 1}∪ adalah susunan titik. Dimana V merupakan titik trasnsit
dan pusat depot yang disebut m. Objeknya adalah meminimalkan biaya
ring dan biaya pelanggan.
(min : cost ring + cost customer )
E = {(i, j) : i, j ∈ V, i 6= j} adalah ujung dari garis dan A adalah susunan
ring. Susunan titik dibatasi oleh dua subset dimana U mengandung sebuah
titik untuk setiap pelanggan dan W mengandung sebuah titik untuk setiap
titik transit, yang juga diberi nama titik steiner. Titik O mewakili depot
dan titik n + 1 adalah salinan dari titik O yang diperkenalkan untuk mempermudah persentasi (disini akan dilambangkan ring sebagai jarak dari titik
O ke titik n + 1). Untuk setiap pelanggan i ∈ U misal Ci ⊂ V adalah
bagian dari titik, dimana pelanggan i bisa terhubung. Diasumsikan bahwa
13
i ∈ Ci untuk semua pelanggan U dan pelanggan itu akan terhubung dengan
sendirinya jika ia berada didalam ring.
Susunan A mewakili koneksi yang mungkin antara satu titik dengan pelanggan sehingga A = {(i, j) : i ∈ U, j ∈ Ci }. Susunan E adalah susunan yang
mungkin dari garis ring. Setiap garis e = {i, j} ∈ E dihubungkan dengan biaya rute yang tidak negatif, (i, j) ∈ A dihubungkan dengan biaya
koneksi yag tidak negatif (dengan dij = 0 untuk setiap U diberikan bagan
E ⊂ E, V (E 0) ditandai sebagai susunan titik untuk paling tidak satu garis
pada E 0 . dapat dikatakan bahwa pelanggan i ditunjukan untuk ring R.
Apakah hal itu dihubungkan oleh rute simple atau dihubungkan dengan
satu titik dari ring.
Ring sangat menguntungkan bila pelanggan yang terdaftar tidak melebihi
kapasitas (Q) 100 kabel dapat melayani 50 pelanggan jumlah total dari titik
pelanggan terkunjung atau yang dihubungkan ke ring terbatas (≤ Q). Biaya
R adalah jumlah dari biaya rute dari garis di E ditambah jumlah biaya dari
koneksi yang ada di ring A. Jumlah ring sebesar m dalam jaringan diketahui dan
diberikan sebagai kuantitas masukan.
14
Gambar 3.8 m-Ring Star Berkapasitas
Gambar 3.8 menunjukkan solusi dari m-RSK yang sesuai dimana n = 25
dan m = 3.|V | = 12|W | = 13 dan Q = 6. Dari gambar tersebut titik transisi dilambangkan dengan ring kanan dan pelanggan dengan segitiga, pertukaran lokasi
pengiriman berita dilambangkan dengan dua persegi hitam, garis yang tidak putus dilambangkan untuk garis rute dan garis putus-putus sebagai ring koneksi.
3.5
Program Integer
Program Integer merupakan pengembangan dari Program Linier yang menye-
lesaikan problema dengan persyaratan bahwa peubah keputusan mengambil nilai
bilangan bulat. Oleh karena itu, aproksimasi pertama terhadap pemecahan se-
15
barang Program Integer dapat dicapai dengan mengabaikan persyaratan bilangan
bulat dan memecahkan program liniernya dengan menggunakan berbagai teknik
pemecahan program linier.
Bentuk umum dari Program Integer adalah
Maks / Min z = cx
d.p Ax(≥, =, ≤)b
: b ∈ Rm
x ≥ 0 dan bulat; c, x ∈ Rm
dengan
z adalah fungsi tujuan
c adalah vektor baris koefisien fungsi tujuan
x adalah vektor kolom peubah keputusan
b adalah vektor kolom konstanta kendala (right hand side) dan
A adalah matriks koefisien teknologi berdimensi m × n
Terdapat tiga tipe Program Integer yaitu:
1. Problema Program Integer murni (pure), dimana semua peubah keputusan
harus mengambil bilangan bulat.
2. Problema Program Integer campuran (mixed), dimana tidak semua peubah
keputusan harus bernilai bulat.
3. Problema Program Integer 0-1 ,dimana peubah keputusan mengambil nilai
0 atau 1, disebut juga binary Integer Programming.
16
Ada beberapa metode untuk menyelesaikan problema Program Integer:
1. Branch and Bound (Row Generation) disebut juga teknik Pencabangan dan
Pembatasan dengan prosedur algoritmanya dilakukan penambahan baris.
2. Branch and Price (Column Generation) atau taknik pencabangan dan penghargaan merupakan pengembangan dari metode Branch and Bound yang
akan menghasilkan penyelesaian bulat secara lebih cepat dan efisien.
3. Irisan Bidang.
4. Implisit Enumerasi,biasanya digunakan untuk menyelesaikan problema Program Integer 0-1.
5. Pencarian bilangan bulat n-titik terdekat, biasanya digunakan untuk menyelesaikan problem Program Integer campuran.
6. Heuristik (trial and error), biasanya digunakan untuk tujuan khusus.
BAB 4
PEMBAHASAN
4.1 Formulasi Matematika
Dua formulasi matematika untuk m-RSK dipresentasikan dalam bagian ini.
Formulasi pertama didasarkan pada formulasi dua indeks, sementara formulasi
kedua didasarkan pada formulasi aliran dua komoditas.
Untuk S ⊆ V didefinisikan δ(S) = {{i, j} :∈ S, j 6∈}. Jika S = {i}, cukup
ditulis δ(i) sebagai pengganti δ({i}). Selain itu, untuk S ⊆ V, U (S) menotasikan
himpunan pelanggan-pelanggan dalam himpunan node S (yaitu U (S) = S ∩ U ).
4.2 Formulasi Dua-Indeks
Bagian ini mempresentasikan formulasi programming matematik yang diilhami oleh model untuk masalah routing standart [Toth dan vigo]. Untuk setiap
e ∈ E, misalnya xe adalah variabel biner bernilai 1 jika dan hanya jika e termasuk
dalam ring yang membentuk penyelesaian. Untuk selanjutnya, jika e menghubungkan kedua node i dan j maka {i, j} dan e akan digunakan saling tertukar
untuk menotasikan edge yang sama. Untuk setiap arc (i, j) ∈ A, misalkan Zi,j
adalah variable biner yang sama dengan 1 jika pelanggan i dialokasikan ke node
j.
Selanjutnya untuk menyederhanakan notasi, akan diperluas penjumlahan
hingga iasangan (i, j) 6∈ A dengan mengasumsikan bahwa dalam hal ini suku17
18
suku yang dijumlahkan sama dengan nol. Jika pelanggan i dikunjungi oleh ring,
maka ia dialokasikan ke dirinya sendiri,yaitu zii = 1. Tambahan lagi untuk j ∈ W ,
misalkan Wj adalah variable biner yang sama dengan 1 jika dan hanya jika node
steiner j berada pada ring. m-RSK dapat dirumuskan sebagai integer program
berikut:
(LP-F1) min
X
+
X
dij zij
(4.1)
xe = m
(4.2)
xe = m
(4.3)
∀i ∈ U
(4.4)
∀i ∈ W
(4.5)
zij = 1 ∀I ∈ U
(4.6)
∀S ⊆ V : S 6= ∅
(4.7)
e{0, 1} ∀e ∈ E
(4.8)
zij ∈ {0, 1} ∀(I, j) ∈ A
(4.9)
e∈E
s.t
(i,j)∈A
X
e∈δ
X
X
e∈δ(n+1
xe = 2zii
e∈δ(i)
X
j∈V
X
e∈δ(s)
xe ≥
2 XX
Zij
Q
i∈U j∈S
wi ∈ (0, 1)
∀i ∈ W
(4.10)
Batasan (4.2) dan (4.3) menyatakan bahwa m-ring harus meninggalkan node
0 dan harus masuk node n + 1. Batasan (4.4) dan (4.5) adalah batasan degree
yang menetapkan bahwa degree dari setiap node i ∈ V sama dengan 2 jika node
i ini termasuk dalam suatu ring. Karena (4.4) dan (4.5) adalah salah satu dari
kedua persamaan (4.2) dan (4.3) adalah berlebih dan karenanya tidak dapat dicoret, tetapi keduanya ditinggalkan untuk menyederhanakan presentasi. Batasan
(4.6) menyatakan bahwa pelanggan i ∈ U ada pada ring (zij = 1) untuk suatu
19
j ∈ ci . Untuk pengamatan terakhir, jika i dialokasikan kepada j maka batasan
(4.7) pada S = {j} mengimplikasikan bahwa x(δ(j)) > 0 dan karenanya j adalah
suatu node ada suatu ring. Ketaksamaan (4.7) adalah batasan kapasitas ring
pecahan.Batasan-batasan ini di dalam integralitas variable x dan z, meneteapkan
bahwa untuk himpunan bagian node-node S tertentu, dibutuhkan setidaknya seP P
banyak | i∈u j∈s Zij /Q| ring untuk mengunjungi pelanggan-pelanggan yang dialokasikan kepada node-node dalam S. Batasan (4.7) serupa dengan ketaksamaan
kapasitas pecahan dari masalah Routing Kendaraan Dengan Kapasitas(MRKK).
Misalnya Naddef dan Rinaldi [1995] dimana permintaan qj dari pelanggan j dalam
P
MRKK diganti dengan i∈u zij . Akan tetapi ada perbedaan kuat antara kedua
masalah karena pada MRKK ruas kanan ketaksamaan ini adalah konstanta. Lebih
tepatnya, misalkan Q adalah kapasitas kendaraan untuk MRKK.Ketaksamaan kapasitas pecahan adalah
X
xe ≥
e∈δ(s)
2 X
qj ,
Q j∈S
∀S ⊆ V : S 6= ∅
(4.11)
Untuk suatu himpunan S tertentu bahwa jumlah genap edge dalam dan ruas
kanan dari (4.11) adalah konstanta, sehingga dapat ditulis ketaksamaan yang
lebih kuat yaitu batasan kapasitas bulat sebagai berikut:
i
hP P
z
X
ij
i∈U
j∈S
S ⊆ V : S 6= ∅
xe ≥ 2
Q
(4.12)
e∈d
Secara analog dapat diperoleh untuk m-RSK versi bulat dari ketaksamaan ring
pecahan adalah:
X
e∈δ(s)
xe ≥ 2
hP
i∈U
P
j∈S
Q
zij
i
S ⊆ V : S 6= ∅
Ketaksamaan-ketaksamaan tersebut adalah non linier.
(4.13)
20
Pada bagian 4 dipresentasikan aproksimasi linier untuk mengangkat ruas
kanan ketaksamaan-ketaksamaan ini, dan untuk menguatkan pelonggaran linier.
Bahwa penyelesaian layak dari (4.1)-(4.10) bisa memuat subtour biaya nol yang
hanya terdiri dari node-node steiner. Sehingga bisa dengan mudah mencoretnya
tanpa kehilangan persyaratan Mrsk. Sebagai alternatif, batasan-batasan berikut
menghindari subtour sedemikian sehingga ditetapkan suatu sambungan dengan
P
depot:
e∈sigma(s) xe ≥ 2wk , ∀S ⊆ W dan ∀k ∈ S Rumus (4.1)-(4.10) dapat
diperluas untuk memodelkan VRAP. Misalkan wi untuk setiap i ∈ U , adalah
variabel baru yang bernilai 1 jika pelanggan i dilayani dan bernilai 0 jika tidak
dilayani. Yang perlu diganti hanya ruas kanan dari (4.6) dengan wi dan menamP
bahkan pada fungsi tujuan suku i∈U pi wi dimana pi adalah penalti karena tidak
melayani i. Perluasan ini tidak dibahas lebih lanjut dalam tulisan ini karena
menyimpang dari masalah nyata. Tetapi bisa menjadi dasar dalam pengembangan
algoritma untuk VRAP.
4.3 Formula Dua Arus Komoditas
Formulasi dua arus komoditas m-RSK menggunakan model graph yang
mengasosiasikan setiap edge {i, j} ∈ E dengan dua arc yang berlawanan dan
dengan dua variabel arus yang bersesuaian yij dan yji . Kedua Arc mempunyai
biaya yang sama cij ditetapkan bahwa dalam penyelesaian Mrsk layak total arus
pada setiap edge dari ring tepat sama dengan Q. Variabel y mengidentifikasi setiap ring melalui dua path arus. Pada path pertama yang bergerak dari node 0 ke
node n + 1, arus yij menyatakan jumlah pemakai yang dilayani oleh ring setelah
mengunjungi node i. Pada path yang berlawanan yang bergerak dari node n+1 ke
21
node 0, variable yij menyatakan jumlah potensial pelanggan yang dapat dilayani
pada path maju dari 0 ke j. Dengan demikian total arus yang keluar dari node
n + 1 sama dengan mQ. Setiap node pada ring yang mempunyai v pelanggan
yang dialokasikan menyerap v unit aliran yang datang dari node 0 dan unit aliran
yang datang dari node n + 1. Pada gambar 3.9 diperlihatkan lima pelanggan ring
dalam gambar 3.8 dan kedua path arus (0, 22, 24, 17, 11, n + 1) dan (n + 1, 11,
17, 24, 22, 0).
Gambar 4.1 m-Ring Star Berkapasitas dengan 5 Pelanggan
(LP-F2) min
X
1 X
cij (yij + yji +
dij zij
Q
{i,j}∈E
(i,j)∈A
X
s.t.
y0j = |U |
(4.14)
(4.15)
j∈V 0
X
yn+1j = mQ
(4.16)
j∈V 0
X
X
j∈V 0
yj,n+1 = 0
(4.17)
yj0 = mQ − |U |
(4.18)
j∈V 0
22
X
(yji + yij ) = 2Qzjj
j∈U
(4.19)
∀j ∈ W
(4.20)
∀i ∈ U
(4.21)
∀j ∈ V
(4.22)
yij + yji ∈ {0, Q} ∀{I, j} ∈ E
(4.23)
yij ≥ 0,
∀i, j ∈ V
(4.24)
zij ∈ {0, 1} ∀(i, j) ∈ A
(4.25)
wj ∈ {0, 1} j ∈ W
(4.26)
j∈V
X
j∈V
X
j∈V
(Yji + yij ) = 2Qwj ,
X
zij = 1,
j∈V 0
(yij − yji ) = 2
X
zij
i∈U
Formulasi dua arus komoditas m-RSK adalah sebagai berikut :
Persamaan (4.16) menetapkan bahwa arus keluar node 0 sama dengan jumlah pelanggan, sementara persamaan (4.17) menetapkan bahwa arus keluar pada
node n + 1 sama denga total kapasitas dari ke m ring. Persamaan (4.18) mengindikasikan bahwa tidak ada arus masuk node n + 1 sementara persamaan (4.19)
menetapkan bahwa arus yang masuk node 0 sama dengan kapasitas residual ring.
Diharuskan bahwa Q unit arus melalui setiap edge pada ring, maka untuk setiap
node ring total arus yang masuk dan keluar dari node haruslah sama dengan 2Q.
Ini ditetapkan oleh persamaan (4.20) dan (4.21). Persamaan (4.22) menjamin
bahwa setiap pelanggan dialokasikan kepada satu node.Persamaan (4.23) adalah
batasan konservasi arus yang memperhitungkan bahwa setiap pelanggan menerima satu unit arus dari node 0 dan satu unit arus dari node n +1. Batasan (4.24)
menetapkan persyaratan biner bahwa edge e = {i, j} ∈ E haruslah dikunjungi
atau tidak oleh ring, yang dengan demikian menjelaskan fungsi tujuan (4.15).
23
Misalkan LP-F1 dan LP-F2 adalah relaksasi linier programming masingmasing dari formula F1 dn F2 (dengan batasan (4.24) disubstitusi dengan yij +
yji ≤ Q untuk semua {i, j} ∈ E).
Teorema 1 Diberikan suatu penyelesaian layak (z ∗ , w∗ , y ∗) dari LP-F2 terdapat
vektor x∗ sedemikian sehingga (x∗ , z ∗, w∗ ) adalah penyelesaian layak dari LP-F1
terdapat vektor y ∗ sedemikian sehingga (z ∗ , w∗ , y ∗) adalah penyelesaian dari LPF2. Kedua penyelesaian yang bersesuaian mempunyai nilai fungsi tujuan yang
sama.
Bukti : diberikan suatu penyelesaian (z ∗, w∗ , y ∗) dari LP-F2 vektor x∗ij = (yij∗ +
∗
)/Q adalah sedemikian rupa sehingga (z ∗ , w∗, y ∗) adalah penyelesaian dari LPyji
F1. Tentu saja dengan menjumlahkan persamaan (4.16) dan (4.19) diperoleh
persamaan (4.2), sementara dengan menjumlahkan (4.17) dan (4.18) diperoleh
(4.3). Persamaan (4.4) dan (4.5) segera diperoleh dari (4.20) dan (4.21), batasan
kapasitas ring pecahan (4.7) dapat diperoleh dari (4.23) sebagai : diberikan himpunan bagian node S dimulai dengan menambahkan (4.23) untuk semua j ∈ S
yang dengan demikian diperoleh rumus
X X
j∈S i∈V /S
(yij − yji = 2
XX
zij
j∈S e∈U
Dengan mengamati bahwa yij + yji ≥ yij − yji dan dengan mengingat bahwa
variable yij dan yji diasosiasikan dengan edge yang sama {i, j}. Persamaan diatas
P P
P P
menghasilkan j∈S i∈V \S (yij +yji ≥ 2 j∈S e∈U zij dan (4.7) segera diperoleh.
Di lain pihak diberikan vector penyelesaian (x∗ , z ∗, w∗ ) dari LP-F1, dimungkinkan memproleh penyelesaian dari LP-F2 dengan mempertahankan z ∗ dan w∗
24
dan dengan menghitung arus y ∗ yang tepat sebagai berikut misalkan G∗ = (V ∗, E ∗ )
adalah graph pendukung yang di asosiasikan dengan penyelesaian (x∗, z ∗ , w∗ )
yaitu V ∗ = {0, n + 1} ∪ Vˆ ∗ dimana Vˆ ∗ = {i ∈ U : zii∗ > 0} dan E ∗ = {{i, j} ∈
E : x∗i,j > 0}. Diasosiasikan setiap edge {i, j} dengan kapasitas Qx∗ij dan setiap
P
node j dengan permintaan arus i∈U zij∗ > 0. Dicari arus min-biaya katakanlah y 1 yang berasal dari source 0 dengan menetapkan setiap edge {i, j} ”slack”
2
yji
= Qx∗{i,j} − yij1 . Dengan memasukkan arus keseluruhan y ∗ = y 1 + y 2 segera
∗
≤ Q, ∀{i, j} ∈ E. Diberikan satu node j ∈ V 0 dapat ditulis
diperoleh yij∗ + yji
P
P
∗
∗
1
1
1
i∈V yij − yji = 2
i∈V (yij − yji = 2. Karena konservasi arus untuk y ruas kanan
P
persamaan ini sama dengan 2 i∈V zij∗ , karenanya (4.23) berlaku arus memenuhi
(4.16) dengan konstruksi, karenanya (4.19) segera diperoleh menurut definisi dari
y 2 . Bahwa tidak ada arus y 1 masuk node n +1 dalam penyelesaian arus min biaya
optimal, tentu saja n + 1 hanyalah merupakan copy dari node 0 dan setiap arus
pada path dari 0 ke n + 1 dapat di eliminasi begitu saja tanpa mempengaruhi
persyaratan arus pada node sink. Kesamaan kedua nilai fungsi tujuan segera
diperoleh dengan konstruksi x∗ .
Hasil serupa diperoleh Gouveia [1995] untuk VRP permintaan unit (dengan
menggunakan formulasi arus dua komoditas) dan oleh Baladacci, Hadjiconstantinou dan Mingozzi [2004] MRKK. Letcford dan Salazar [18] membuktikan ekuivalensi antara formulasi satu komoditas dan formulasi dua komoditas untuk CVRP.
Akibat 1 MODEL F1 DAN F2 menyatakan penyelesaian yang sama dari mRSK
Bukti : ini segera diperoleh berdasarkan teorema 1 diatas, identitas Qx(i,j) =
yij + yji dan batasan integralitas (4.8) dan (4.24).
25
Sebagai konsekuensi dari teorema 1 pengguna formulasi LP-F1 atau formulasi LP-F2 tidak memberikan keuntungan apapun (dalam hal kualitas batas
bawah) pada algoritma berbasis linier programming. Akan tetapi karena kedua
model berbeda dalam jumlah variable dan batasan, kinerja perhitungan mungkin
berbeda. Khususnya LP-F1, mempunyai 2|U | + |W | + 2 kesamaan plus jumlah
eksponensial batasan (4.7), sementara LP-F2 hanya mempunyai 3|U | + 2|W | + 4
kesamaan, tetapi |E| lebih banyak variable daripada LP-F1.
4.4 Metode Branch and Price (Generasi Kolom)
Berikut ini akan direpresentasikan pula metode Branch and Price (Generasi
Kolom) untuk masalah m-Ring Star Berkapasitas. Bentuk umum generasi kolom
P dapat dituliskan:
max c(x)
Ax ≤ b
(4.27)
x ∈ S, x bilangan bulat
fungsi c(x) tidak perlu linier, meskipun dalam saat perhitungan nantinya perlu
melonggarkan masalah dengan mengabaikan Ax ≤ b secara relatif agar mudah
untuk menyelesaikannya.
Ide dasar generasi kolom adalah himpunan
S ∗ = {x ∈ S; x integer }
yang diwakilkan oleh vektor himpunan berhingga. Khususnya, jika S terbatas
maka S ∗ juga merupakan himpunan titik-titik berhingga, yaitu S ∗ = {y1, y2, . . . , yn }.
26
Selain itu, jika x biner, maka S ∗ merupakan titik 1.246.614 dari kulit konveks
(convex hull), yang dinotasikan dengan conv(S ∗).
Jika S tidak terbatas, hasil klasik Minkowski dan Weyl menetapkan bahwa
conv(S ∗ ) adalah suatu polyhedron dan diwakilkan oleh kombinasi konveks dari
himpunan titik-titik berhingga dan kombinasi linier dari himpunan sinar (rays)
berhingga. Kemudian, generasi kolom untuk program bilangan bulat masih mungkin saat S tidak terbatas, meskipun demikian, disini diasumsikan bahwa S terbatas.
Andaikan S ∗ = {y1, y2 , . . . , yp}, setiap titik y ∈ S ∗ dapat diwakilkan dengan
y=
X
yk λk
1≤k≤p
Dengan kendala konveksitas
X
yk = 1
1≤k≤p
λk ∈ {0, 1} k = 1, 2, . . . , p
misalkan ck = c(yk ) dan ak = Ayk , maka diperoleh bentuk generasi kolom P yaitu:
max
X
ck λk
1≤k≤p
X
ak λk ≤ b
1≤k≤p
X
(4.28)
λk = 1
1≤k≤p
λk ∈ {0, 1} k = 1, 2, . . . , p
dengan catata bahwa bentuk generasi kolom P merupakan masalah program linier
bilangan bulat dimana formula awalnya dapat berupa fungsi tujuan non linier.
27
Kelinierannya dalam hal ini mungkin karena dalam persamaan:
X
y=
yk λk
1≤k≤p
P
diperoleh y = yk untuk setiap k saat
λk = 1 dan λk ∈ {0, 1}.
1≤k≤p
Ini tidak dapat dilakukan jika S tidak terbatas, sehingga dalam keadaanini formula awal harus memiliki fungsi tujuan yang linier atau faktor lain harus digunakan untuk mencapai kelinierannya.
S
Jika S dapat disusun, misalnya S =
Sj , maka setiap himpunan
1≤j≤n
Sj∗ = {xj ∈ Sj : xj integer }
dapat diwakilkan sebagai
j
Sj∗ = {y1j , y2j , . . . , ypj
}
Sekarang misalkan cik = c(ykj ) dan ajk = Aykj ini menghasilkan bentuk generasi
kolom P dengan kendala konveksitas terpisah untuk setiap Sj yaitu:
max
X
X
cjk λjk
1≤j≤n 1≤k≤pj
X
X
ajk λjk ≤ b
1≤j≤n 1≤k≤pj
X
(4.29)
λjk = 1, j = 1, . . . , n
1≤k≤pj
λjk ∈ {0, 1} j = 1, . . . , n, k = 1, 2, . . . , pj
Jika himpunan bagian dalam susunan tersebut identik, misalnya Sj = S =
{y1 , y2, . . . , yp} untuk j = 1, . . . , n maka ini dapat diwakilkan oleh suatu sub
P
himpunan S dengan λk = j λjk dan kendala konveksitas diganti oleh kendala
P
λk = n dimana λk ≥ 0 dan integer. Hasil dalam
konveksitas tambahan
1≤k≤p
28
generasi kolom ini berbentuk
max
X
ck λk
1≤k≤p
X
ak λk ≤ b
1≤k≤p
X
(4.30)
λk = n
1≤k≤p
λk ≥ 0 dan bilangan bulat
k = 1, 2, . . . , p
Dalam beberapa rumusan, kendala konveksitas ditulis dalam bentuk pertidaksamaan
X
λk ≥ 1
1≤k≤p
Umumnya bila y = 0 ∈ S ∗ dan C(0) = 0 maka y = 0 dapat dihilangkan dari
formulasinya. Dalam hal ini himpunan bagian kendala konveksitas tambahan
yang identik dapat diabaikan secara bersamaan ketika n tidak ditetapkan sebagai
bagian dari input.
Perbedaan mendasar antara bentuk P dan generasi kolom adalah bahwa S ∗
telah diganti dengan himpunan dari titik-titik yang berhingga. Tampak bahwa
penyelesaian pemecahan pada program linier yang dikendorkan dari bentuk generasi kolom dengan jika dan hanya jika dapat diwakilkan oleh kombinasi konveks
dari titik ekstrim conv(S ∗ ). Secara khusus, Geoffrian [1974] telah menunjukkan
bahwa polyhedron conv(S) tidak memiliki semua titik ekstrim yang bulat, maka
program linier dapat dikendorkan dari bentuk generasi kolom P akan diperketat
dari P itu untuk beberapa fungsi tujuan.
Meskipun demikian, karena bentuk generasi kolom lebih sering mengandung
kolom yang sangat besar, karena itu penting mengerjakan dengan versi batasan
29
yang hanya mengandung kolom himpunan bagian dan hanya menambah kolom
tambahan yang sesuai yang dibutuhkan. Bentuk generasi kolom disebut problema
master dan saat tidak mengandung kolom disebut problema master terbatas. Generasi kolom dilakukan dengan memecahkan masalah penghargaan dari bentuk
max{dx : x ∈ S ∗ } atau max{dx : x ∈ conv(S ∗ )} dimana d ditentukan dari
variabel dual yang optimal pada program linier yang dikendorkan dari problema
master terbatas.
4.5 Model Pemisahan
Banyak algoritma pencabangan dan penghargaan yang diketahui telah dikembangkan untuk formulasi dasar dari himpunan pemisahan. Dalam masalah himpunan pemisahan umumnya memiliki daerah himpunan dari elemen-elemen dan
peraturan untuk menggenerasi himpunan bagian yang layak dan menguntungkan
dan diharapkan dapat menemukan bagian dari keuntungan maksimum dari pemisahan di sekitar himpunan ke dalam himpunan bagian yang layak. Misalkan zij = 1
jika elemen i dalam himpunan bagian j dan 0 untuk lainnya dan andaikan zj
dinotasikan sebagai vektor karakteristik dari himpunan bagian j, yaitu sebuah
vektor dengan masuknya zij untuk setiap elemen i. Masalah pemisahan secara
umum berbentuk:
max
X
c(zj )
1≤j≤n
X
zij = 1,
i = 1, . . . , m
(4.31)
1≤j≤n
zj ∈ S, z biner
dimana m adalah jumlah dari elemen dalam daerah himpunan (ground set), n
30
adalah jumlah himpunan bagian dan S adalah himpunan dari himpunan bagian
yang layak.
4.6 Pembatasan yang Berbeda pada Himpunan Bagian
Pertama kali dianggap bahwa himpunan bagian yang layak mempunyai
syarat yang berbeda yang diberikan oleh:
Sj = {zj : Dj Zj ≤ dj , zj biner },
j = 1, . . . , n
(4.32)
Maka masalah P berbentuk
max
X
cj (zj )
1≤j≤n
X
zij = 1,
i = 1, . . . , m
(4.33)
1≤j≤n
Dj zj ≤ dj ,
j = 1, . . . , n
z biner
Dan generasi kolom berbentuk
max
X
X
(ckj ykj )λjk
1≤j≤n 1≤k≤pj
X
X
j j
yik
λk = 1
i = 1, . . . , m
1≤j≤n 1≤k≤pj
X
λjk
≤1
(4.34)
j = 1, . . . , n
1≤k≤pj
λjk ∈ {0, 1} j = 1, . . . , n, k = 1, 2, . . . , pj
dimana Cjk = cj (ykj ) dan {ykj }, 1 ≤ k ≤ pj adalah titik-titik s∗j dengan elemen
j
yik
= 1, . . . , m.
31
Maka dipilih suatu kendala konveksitas sebagai sebuah pertidaksamaan,
dalam banyak aplikasi, sehingga tidak dapat memberikan anggota pada himpunan
bagian yang diberikan.
4.7 Pembatasan yang Identik pada Himpunan Bagian
Jika diasumsikan bahwa himpunan bagian layak memiliki syarat yang sama
maka persamaan diganti oleh himpunan bagian dari persamaan
S = {zj , Dzj ≤ d, zj biner }
(4.35)
Maka masalah P adalah:
max
X
c(zj )
1≤j≤n
X
zij = 1,
i = 1, . . . , m
(4.36)
1≤j≤n
Dzj ≤ d,
j = 1, . . . , n
z biner
Dan bentuk generasi kolom adalah
X
max
ck λk
1≤k≤p
X
yik λk = 1,
i = 1, . . . , m
(4.37)
1≤k≤p
λk ∈ {0, 1} k = 1, 2, . . . , p
dimana ck = c(yk ). Disini dipilih untuk mengabaikan kendala konveksitas tambahan karena biasanya dalam penerapannya n tidak ditetapkan.
Keuntungan utama dari problema master untuk maslah ini dengan peraturan himpunan bagian yang identik adalah beberapa penghilangan dari sifat
32
kesimetrian P yang menyebabkan bentuk pencabangan dan pembatasan sangat
sedikit. Ini berarti bahwa penyelesaian pada P atau program linier yang dikendorkan memiliki sejumlah eksponensial dari perwakilannya sebagai fungsi dari
sejumlah himpunan bagian. Oleh karena itu pencabangan pada variabel zij memindahkan solusi pemecahan yang mungkin akan menghasilkan solusi pemecahan
dengan zik sama dengan nilai zij yang lama. Dan sebaliknya, sekurang-kurangnya
zij adalah pemecahan untuk semua j. Rumusan penghilangan problema master
ini simetri dan oleh karena itu banyak diterima pada peraturan pencabangan yang
berarti kemajuan dalam memperbaiki batasan program linier dalam tree/pohon.
4.8 Pencabangan
Program linier yang dikendorkan diselesaikan oleh generasi kolom tidak perlu
bulat dan pemakaian prosedur standar pencabangan dan pembatasan pada problema master terbatas dengan kolom yang ada tidak akan menjamin solusi akan
optimal atau layak. Setelah pencabangan mungkin terdapat kol;om yang akan mengeluarkan harga yang baik tapi tidak terdapat dalam problema master. Karena
itu, untuk menemukan solusi optimal, dilakukanlah penggenerasian kolom setelah
pencabangan.
4.9 Himpunan Problema Master Pemisahan
Ryan dan Foster [1981] mengusulkan sebuah strategi pencabangan untuk
himpunan problema master pemishan yang didasarkan pada Proposisi 1. Walaupun tidak mempertimbangkan generasi kolom, strategi ini dapat menghasilkan
33
prosedur pencabangan yang berguna untuk masalah ini.
Proposisi 1 Jika Y matriks 0-1 dan penyelesaian dasar pada Y λ = 1 adalah
pecahan; yaitu sedikitnya 1 dari komponen λ adalah pecahan, maka terdapat 2
baris r dan s dari problema master sedemikian hingga
X
0<
λk < 1
k:yrk =1,yrk =1
Bukti :
Anggap variabel pecahan λk0 . Andaikan baris r adalah sebarang baris dengan
P
yrk0 = 1. Karena 1≤k≤p yrk λk = 1 dan λk0 adalah pecahan, harus ada beberapa
kolom basis k” lainnya dengan o < λk” < 1 dan yrk” = 1, seperti yang diilustrasikan oleh submatriks pada tabel 1:
Tabel 4.1 Penyajian Submatriks dalam Pasangan Calon Pencabangan
r
s
k0
1
0
k”
1
1
Karena tidak ada kolom duplikat dalam basis, maka harus ada sebuah baris
s sehingga ysk0 = 1 atau ysk” = 1, tetapi tidak keduanya. hal ini membawa pada
beberapa deretan relasi/hubungan sebagai berikut:
X
yrk λk
1=
1≤k≤p
=
X
λk
k:yrk
>
X
λk
k:yrk =1,ysk =1
dimana pertidaksamaan itu dihasilkan dari fakta bahwa penjumlahan terakhir
termasuk salah satu λk0 atau λk” tapi tidak keduanya.
34
Pasangan r dan s memberikan kendala pada pasangan pencabangan:
X
k:yrk =1,ysk =1
λk = 1 dan
X
λk = 0
k:yrk =1,ysk =1
yaitu baris r dan s harus dicakup oleh kolom yang sama pada pencabangan pertama (kiri) dan oleh kolom yang berbeda pada pencabangan kedua (kanan).
Proposisi 4.1 menyatakan bahwa jika tidak ada pasangan pencabangan yang
dapat diidentifikasi, maka penyelesaian pada problema master harus bilangan bulat. Algoritma pencabangan dan pembatasan harus berakhir setelah jumlah bilangan berhingga pada pencabangan hanyalah sebuah bilangan berhingga pada
barisan. Dengan catatan bahwa setiap pencabangan memutuskan penghilangan
variabel bilangan yang besar dari pertimbangannya.
4.10 Batasan yang Identik pada Himpunan Bagian
Skema pencabangan diusulkan oleh Ryan dan Foster dengan syarat elemen
r dan s memiliki himpunan bagian yang sama pada pencabangankiri dan himpunan bagian yang berbeda pada pencabangan kanan. Pada pencabangan kiri,
semua kolom layak harus memiliki yrk = ysk = 0 atau yrk = ysk = 1, dimana
pada pencabangan kanan semua kolom yang layak harus memiliki yrk = ysk = 0
atau yrk = ysk = 1 atau yrk = 1, ysk = 0. Dengan menambah kendala pencabangan pada problema master secara eksplisit, maka kolom yang tidak layak
pada problema master dapat dihilangkan. Pada pencabangan kiri, ini identik
dengan menggabungkan baris r dan s dalam problema master yang memberikan
masalah himpunan pemisahan yang lebih kecil. Pada pencabangan kanan, baris
r dan s dibatasi menjadi terputus-putus dan dapat menghasilkan problema mas-
35
ter yang lebih mudah karena himpunan masalah pemisahan dengan baris yang
terputus-putus (himpunan) lebih memungkinkan menjadi bulat.
Biasanya pemaksaan kendala pencabangan dalam masalah penghargaan,
misalnya pemaksaan 2 elemen menjadi himpunan bagian yang sama pada satu
pencabangan dan pemaksaan 2 elemen menjadi himpunan bagian yang berbeda
pada pencabangan lain, cukup mudah untuk diselesaikan. Meskipun demikian,
masalah penghargaan mungkin lebih sulit daripada pencabangan lain.
4.11 Batasan yang Berbeda pada Himpunan Bagian
Pertimbangkan keadaan dimana himpunan bagian yang berbeda dapat memiliki struktur diagonal blok yang dinyatakan dalam persamaan (4.34) dan menghubungkan bentuk generasi kolom secara eksplisit dengan kendala konveksitas
terpisah untuk setiap himpunan bagian yang dinyatakan oleh persamaan (4.35).
Dalam keadaan ini, jika digunakan skema pencabangan yang disarankan
oleh Ryan dan Foster tetapi selalu menyeleksi satu baris pemisah, katakan baris r
dan satu bari konveksitas, katakan baris s, yang akan menghasilkan sebuah skema
pencabangan khusus yang memiliki tafsiiran natural dalam rumusan yang natural
dan beberapa sifat perhitungan yang baik. Pasangan kendala pencabangan yang
dihasilkan dinyatakan sebagai:
X
s =1
1≤k≤p:yrk
λsk = 1 dan
X
λsk = 0
(4.38)
s =0
1