Metode Variable Neighborhood Search (VNS) pada Persoalan m-Ring Star Berkapasitas

METODE VARIABLE NEIGHBORHOOD SEARCH (VNS) PADA PERSOALAN m-RING STAR BERKAPASITAS
TESIS Oleh MEIDIANA TANADI 117021026/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara

METODE VARIABLE NEIGHBORHOOD SEARCH (VNS) PADA PERSOALAN m-RING STAR BERKAPASITAS
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh MEIDIANA TANADI
117021026/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: METODE VARIABLE NEIGHBORHOOD SEARCH (VNS) PADA PERSOALAN m-RING STAR BERKAPASITAS
: Meidiana Tanadi : 117021026 : Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc ) Ketua

(Dr. Marwan Ramli, M.Si ) Anggota

Ketua Program Studi

Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang )

(Dr. Sutarman, M.Sc )

Tanggal lulus : 3 Juni 2013

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada Tanggal : 3 Juni 2013
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Dr. Marwan Ramli, M.Si

2. Prof. Dr. Herman Mawengkang 3. Dr. Erna Budhiarti
Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN
METODE VARIABLE NEIGHBORHOOD SEARCH (VNS) PADA PERSOALAN m-RING STAR BERKAPASITAS
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya
Medan, 3 Juni 2014 Penulis, Meidiana Tanadi
i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Masalah m-Ring Star Berkapasitas (mRSK) adalah masalah desain jaringan, dengan merancang suatu himpunan ring yang lewat melalui pusat depot dan melalui beberapa titik transisi dan titik pelanggan. Digunakan Graph untuk mendesain sruktur m-ring star. Banyaknya pelanggan pada ring atau terhubung pada ring dibatasi oleh banyaknya fiber di kabel. Jumlah total dari titik pelanggan terkunjung atau dihubungkan ke ring terbatas (≤ Q). Tujuannya adalah untuk meminimalkan biaya pemindahan dan biaya rute jaringan. Tulisan ini mempresentasikan sebuah metode metaheuristik untuk menyelesaikan persoalan m-ring star berkapasitas yaitu metode Variable Neighborhood Search (VNS). Cara kerjanya dicoba atas sekelompok besar kasus dan kinerja yang baik dari pendekatan yang diajukan ternyata terbukti. Kata kunci : m-Ring Star, Depot, Pelanggan, Variable neighborhood search.
ii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT The Capacitated m-Ring Star Problem is the problem of network design, by designing a set of ring that pass through a central depot and through some transition point and customer point.Graph is used to design the m-Ring Star structure. The number of customers on the ring or connect to the ring is limited by the number of the fiber in the cable. The total amount of customers is connected to the limited ring (≤ Q). It is used to minimize the finance route. The writing is presented a metaheuristic method called Variable Neighborhood Search (VNS) to solve the m-Ring Star problem The way of doing it by trying based a great cases group, include the real world case, and the good network from the approach that is thought, really approve. Keyword : m-Ring Star, Depot, Customer, Variable neighborhood search.
iii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR

Sebagai umat beragama tak bosan-bosannya penulis bersyukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, sehingga dapat menyelesaikan tesis ini sebagai tugas akhir pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara dengan judul ”Metode Variable Neighborhood Search (VNS) pada Persoalan m-Ring Star Berkapasitas”. Tesis ini merupakan persyaratan tugas akhir pada Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Pada kesempatan yang baik ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada :
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara dan juga pembanding yang penuh keikhlasan dan tak pernah bosan memberikan saran dan masukan selama penulisan tesis hingga tesis ini dapat diselesaikan.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara dan pembimbing I, yang berkat bantuan dan motivasi beliau dari masa perkuliahan hingga sampai pada penyelesaian tesis ini.
Dr. Marwan Ramli, M.Si selaku pembimbing II yang banyak memberikan saran dan masukan kepada penulis sehingga penulisan tesis ini menjadi lebih sempurna.
Dr. Erna Budhiarti selaku pembanding yang juga begitu banyak memberikan saran dan masukan selama penulisan tesis hingga tesis ini dapat diselesaikan.
Prof. Dr. Tulus, M.Si, Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Dr. Sutarman, M.Sc, Drs. Marwan Harahap, M.Eng, Drs. Open Darnius, M.Sc, Dra. Mardiningsih, M.Si, Drs. Suwarno Arismoyo, M.Si selaku staf pengajar pada FMIPA Program Studi Matematika atas bimbingan dan motivasi selama masa perkuliahan.
Kepada orang tua penulis NG Tian Meng dan Lie Sioe Hing atas dukungan serta doanya sehingga penulis dapat menyelesaikan studi di Program Studi Magister Matematika FMIPA USU.
iv
Universitas Sumatera Utara

Suami tercinta Rudy Susanto, ST yang banyak menghabiskan waktu, tenaga, kesabaran dan memberikan semangat pada penulis hingga penulis dapat menyelesaikan perkuliahan dan penulisan tesis ini.
Setiawan Tanadi, ST, sebagai abang yang selalu bersama selama perkuliahan hingga penyelesaian tesis ini.
Kak Misiani, S.Si yang telah turut membantu selama perkuliahan dan penulisan tesis ini hingga selesai.
Teman-teman di Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang selalu membantu selama perkuliahan berlangsung, serta teman-teman sesama guru dan staff di sekolah swasta Methodist Charles Wesley yang selalu memberikan dukungan kepada penulis hingga penyelesaian tesis ini.
Semoga kesehatan dan berkah dilimpahkan oleh Tuhan Yang Maha Esa kepada mereka. Kiranya tesis ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang telah turut membantu perkuliahan dan penulisan tesis ini hingga selesai, amin.
Medan, Penulis,
Meidiana Tanadi
v
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP Meidiana Tanadi, di lahirkan di Medan pada tanggal 30 Juni 1988, merupakan anak ketiga dari tiga bersaudara dari ayah NG Tian Meng dan Ibunda Lie Sioe Hing. Penulis menyelesaikan Pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Swasta Sutomo 1 Medan pada tahun 2000, Sekolah lanjutan tingkat pertama (SLTP) di SMP Swasta Sutomo 1 Medan pada tahun 2003, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Swasta Sutomo 1 Medan pada tahun 2006. Pada tahun 2006 penulis melanjutkan pendidikan sarjana Strata-1 pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Matematika di Universitas Sumatera Utara dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan Matematika pada tahun 2010. Pada bulan November 2011 penulis melanjutkan studi pada Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara. Penulis merintis karir menjadi Guru SMP dan SMK swasta Methodist Charles Wesley pada bulan Juli 2010 sampai sekarang di Medan.
vi
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Rumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graph
2.1.1 Graph sederhana 2.1.2 Graph tak sederhana 2.1.3 Graph berbobot 2.2 Formulasi Matematika 2.3 Vehicle Routing Problem BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Metaheuristik
vii

Halaman i ii
iii iv vi vii ix x 1
1 3 4 4 5
5 5 6 6 10 12 15
15
Universitas Sumatera Utara

3.2 Variable Neighborhood Search (VNS) BAB 4 PEMBAHASAN
BAB 5 KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA

15 21
29 30

viii
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR TABEL

Nomor

Judul

Halaman

4.1 Perbandingan solusi CmRSP untuk kasus dengan ukuran kecil (Kelas A) 25

4.2 Perbandingan solusi CmRSP untuk kasus dengan ukuran kecil (Kelas B) 26

4.3 Perbandingan solusi pada CmRSP untuk kasus dengan ukuran besar

27

4.4 Perbandingan solusi pada CmRSP untuk kasus dengan ukuran besar

(sambungan)

28

ix
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR GAMBAR

Nomor

Judul

Halaman

2.1 Simple graph

6

2.2 Graph tidak sederhana

6

2.3 Graph berbobot

6

2.4 Sebuah multigraf dengan tiga simpul dan lima edge

7

2.5 Graf berarah

8

2.6 m-Ring star berkapasitas

10

2.7 Contoh Visualisasi Input dari Vehicle Routing Problem

14

2.8 Salah satu output dari persoalan VRP dari input gambar 2.7

14

x
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Masalah m-Ring Star Berkapasitas (mRSK) adalah masalah desain jaringan, dengan merancang suatu himpunan ring yang lewat melalui pusat depot dan melalui beberapa titik transisi dan titik pelanggan. Digunakan Graph untuk mendesain sruktur m-ring star. Banyaknya pelanggan pada ring atau terhubung pada ring dibatasi oleh banyaknya fiber di kabel. Jumlah total dari titik pelanggan terkunjung atau dihubungkan ke ring terbatas (≤ Q). Tujuannya adalah untuk meminimalkan biaya pemindahan dan biaya rute jaringan. Tulisan ini mempresentasikan sebuah metode metaheuristik untuk menyelesaikan persoalan m-ring star berkapasitas yaitu metode Variable Neighborhood Search (VNS). Cara kerjanya dicoba atas sekelompok besar kasus dan kinerja yang baik dari pendekatan yang diajukan ternyata terbukti. Kata kunci : m-Ring Star, Depot, Pelanggan, Variable neighborhood search.
ii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT The Capacitated m-Ring Star Problem is the problem of network design, by designing a set of ring that pass through a central depot and through some transition point and customer point.Graph is used to design the m-Ring Star structure. The number of customers on the ring or connect to the ring is limited by the number of the fiber in the cable. The total amount of customers is connected to the limited ring (≤ Q). It is used to minimize the finance route. The writing is presented a metaheuristic method called Variable Neighborhood Search (VNS) to solve the m-Ring Star problem The way of doing it by trying based a great cases group, include the real world case, and the good network from the approach that is thought, really approve. Keyword : m-Ring Star, Depot, Customer, Variable neighborhood search.
iii

Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teknologi di bidang telekomunikasi memberikan tantangan masalah desain jaringan (Gourdin et al, 2002). Penelitian ini menyelidiki masalah yang diberi nama m-Ring Star berkapasitas (mRSK) yang berisi sekumpulan ring yang terdiri dari pusat telepon (pusat depot), sekumpulan pelanggan dan titiktitik lainnya yang disebut titik transisi yang dapat digunakan untuk meminimalkan biaya rute. Topologi ring dipilih dari fiber optik jaringan komunikasi yang dapat mencegah putusnya koneksi karena kegagalan edge tunggal maupun node tunggal. Misalkan seorang pelanggan i terhubung ke pelanggan lain dengan menggunakan bagian ring yang bergerak searah jarum jam dari pusat depot ke i. Jika edge dari bagian ring ini gagal maka informasi dikirimkan lagi secara berlawanan arah dari bagian ring yang belum terkena kegagalan.
Dengan kecanggihan teknologi, setiap ring benarbenar digunakan dengan arti setiap kabel yang berisi seikat fiber optik. Setiap pelanggan mendapat 2 fiber, yang pertama digunakan untuk komunikasi searah jarum jam dan yang kedua untuk komunikasi berlawanan arah jarum jam. Di perkotaan, kabel dimasukkan ke dalam pipa yang ditanam di bawah jalan. Tidak mengherankan apabila pipa dan kabel sering rusak akibat penggunaan jalan. Apabila jaringan tidak memulihkan komunikasi hingga kabel diperbaiki, situasi tersebut sangat beresiko terutama untuk pengusaha yang memerlukan komunikasi tanpa gangguan. Oleh karena itu topologi ring digunakan untuk menjamin layanan komunikasi yang lancar ke pelanggan.
Total biaya dari jaringan optik bergantung pada beberapa unsur, misalkan fiber, perangkat yang dibutuhkan untuk komunikasi dan perbaikan, dan lain sebagainya. Namun, biaya utamanya adalah karena penggalian yang dibutuhkan untuk meletakkan pipapipa. Oleh karena itu perusahaan mencoba mengurangi biaya sebanyak mungkin. Misalkan semua pelanggan kecuali satu terletak di lingkaran sempurna dan satunya lagi di luar lingkaran. Jika jarak antara pelanggan ini dan lingkarannya kecil (biasanya di bawah 200 m) maka jaringan dapat diterapkan dengan ring tunggal ditambah edge tunggal yang dimulai dari ring kemudian ke pelanggan luar. Hal ini berarti kabel berada
1
Universitas Sumatera Utara

2
pada sisi ring, kemudian ke pelanggan dengan menggunakan edge, kembali ke lingkaran dengan edge yang sama dan akhirnya berlanjut di sepanjang lingkaran. Pada edge, kabel dimasukkan ke sebuah pipa, sehingga mengurangi biaya penggalian. Apabila pipa ini rusak, pelanggan akan terputus dari jaringan. Oleh karena panjang pendeknya edge, kemungkinan kegagalan ini (dan hilangnya jaringan komunikasi) dianggap lebih murah oleh perusahaan daripada penggalian. Dengan demikian jaringan topologi terdiri dari sekumpulan ring yang masingmasing berisi pusat depot, sekumpulan pelanggan dan beberapa titik transisi ditambah sejumlah edge pendek yang berada di ring menuju seorang pelanggan. Oleh sebab itu dinamakan struktur ringstar.
Permasalahan dalam m-Ring Star berkapasitas (mRSK) ialah bagaimana m-ring star dengan kapasitas Q mencakup semua pelanggan dan meminimalkan total biaya rute dan jaringan. Permasalahan ini pertama kali dipelajari oleh Baldacci et al, (2007) dan merupakan NP-hard (Lin dan Kerninghan, 1973). Permasalahan mRSK adalah masalah perancangan sekumpulan ring yang melalui pusat depot dan melalui beberapa titik transisi dan (atau) pelanggan, kemudian merancang pelanggan yang belum dikunjungi untuk mengunjungi titik yang sudah dikunjungi. Jumlah pelanggan dikunjungi dan dirancang ke sebuah ring yang dibatasi batas atas yaitu kapasitas dari ring. Tujuannya ialah untuk meminimalkan total biaya rute dan biaya penugasan.
Beberapa penulis mengkaji skenario dimana sebagai pengganti siklus, struktur seperti path atau tree haruslah diidentifikasi dan node-node yang tidak berada pada struktur ini haruslah dialokasikan pada struktur. Klasi?kasi masalah ini bisa ditemukan dalam Labbe et al (2002). Baldacci et al (2007) mempresentasikan algoritma branch and cut dengan model integer linear programming dalam persoalan mRSK. Pertidaksamaan yang berlaku digunakan untuk memperkuat program linear relaxation dan digunakan sebagai cutting planes dalam algoritma branch and cut. Hoshino dan de Souza (2008) mempresentasikan algoritma branch and price dengan model integer linear programming dan membandingkannya dengan algoritma yang digunakan Baldacci et al (2007). Kedua algoritma ini memberikan hasil yang hampir sama namun gagal dalam menyelesaikan persoalan yang melibatkan lebih dari 50 buah titik dalam waktu yang efisien (Salari et al, 2010).
Penelitian dengan menggunakan metode heuristic lainnya juga banyak dilakukan oleh peneliti untuk menyelesaikan permasalahan m-RSK antara lain seperti Mladeno-
Universitas Sumatera Utara

3
vic dan Hansen (1997) membahas penyelesaian heuristic dari beberapa jenis persoalan optimisasi, mencari algoritma yang tepat dan menganalisis proses penyelesaian heuristic. Fischetti et al (1997) membahas tentang Generalized Traveling Salesman Problem (GTSP), memodelkannya sebagai program integer linear, dan mempelajari struktur dua politop yang berhubungan dengan masalah ini. Metode yang mereka gunakan adalah prosedur heuristic pemisahan untuk beberapa kelas yang melibatkan algoritma branch and cut untuk penyelesaian GTSP. Helsgaum K (2000) mengimplementasikan tentang heuristic Lin-Kerninghan yaitu salah satu metode yang paling baik dalam membentuk solusi optimal atau mendekati untuk permasalahan symmetric travelling salesman. Hasil pengoperasian data menunjukkan keefektifan dari metode ini. Metode ini mampu menyelesaikan 7397 permasalahan kota secara optimal. Selain itu, metode ini berhasil mengubah solusi dalam masalah dengan skala besar dalam 85900 permasalahan kota. Lin S dan Kernighan B.W (1973) membahas tentang prosedur heuristic yang efektif untuk membentuk solusi yang optimum atau mendekati optimum untuk permasalahan symmetric traveling salesman. Prosedur ini berbasis pada pendekatan heuristic yang diyakinkan dapat memperbanyak penggunaan dalam masalah optimisasi kombinatorial. Prosedur ini menghasilkan solusi yang optimal untuk semua masalah yang telah dijalankan. Sebanyak 100 permasalahan tertentu dijalankan dan membutuhkan waktu penyelesaian 25 detik untuk setiap kasusnya dan sekitar 3 menit untuk memperoleh hasil yang optimum dengan kepastian di atas 95%. Salari M., Naji-Azimi Z., dan Toth P (2010) dalam penelitiannya, mereka menggabungkan metode heuristic dan metode yang tepat yang dapat menghasilkan solusi optimal. Metaheuristik adalah generasi baru pengembangan dari algoritma heuristik. Metaheuristik dikembangkan karena tingginya tingkat kompleksitas masalah kombinatorial pada dunia nyata akibat makin luasnya dimensi kendala, sehingga pendekatan eksak sudah tidak mungkin digunakan dalam penelitiannya menemukan sebuah metode untuk menyelesaikan masalah mRSK yaitu metode VNS.

1.2 Rumusan Masalah
Permasalahan dalam penelitian ini adalah persoalan yang terkait dengan pendekatan metaheuristik untuk menyelesaikan suatu persoalan mRSK yang berkapasitas besar. Hal ini disebabkan karena mRSK merupakan persoalan NP-hard yang solusi eksak sulit untuk ditentukan Lin dan Kerninghan(1973).
Universitas Sumatera Utara

4 1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah menyelesaikan masalah mRSK dengan menggunakan algoritma VNS. 1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangan secara teoritis khususnya pada perusahaan jaringan telekomunikasi dan umumnya pada bidang Matematika.
Universitas Sumatera Utara

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
Bagian ini menjelaskan tentang hal-hal yang erat kaitannya dengan masalah mring star. Salah satu cabang matematika yang cukup penting dan sangat luas penerapannya di banyak bidang ilmu adalah Teori Graph. Salah satunya adalah bidang jaringan telekomunikasi. Digunakan graph gabungan, dimana titik transisi dan pusat depot diasosiasikan dengan node, sementara sambungan antara node adalah edge atau arc berbobot.
Berikut akan dijelaskan mengenai teori dasar graph yang akan digunakan untuk mendesain m-ring star.
2.1 Graph Suatu graph terdiri dari dua bilangan yaitu titik dan garis. Titik pada suatu
graph disebut verteks dan garis yang menghubungkan dua titik disebut edge atau arc (untuk garis berarah). Secara formal suatu graph G didefinisikan sebagai berikut:
Sebuah graf terdiri dari dua bagian, yaitu sebagai berikut.
1. Sebuah himpunan V = V (G) memiliki elemen-elemen yang dinamakan verteks, titik, atau simpul.
2. Sebuah kumpulan E = E(G) merupakan pasangan terurut dari verteks-verteks yang berbeda dinamakan sisi atau edge.
2.1.1 Graph sederhana Graph yang tidak mempunyai parallel edges atau edge ganda dan atau loop di-
namakan graph sederhana atau simple graph. Contoh graph sederhana dapat dilihat pada Gambar 2.1 berikut ini.
5

Universitas Sumatera Utara

6
Gambar 2.1 Simple graph 2.1.2 Graph tak sederhana
Graph yang mempunyai edge ganda dan atau loop dinamakan graph tak sederhana atau unsimple graph.
Gambar 2.2 Graph tidak sederhana 2.1.3 Graph berbobot
Graph berbobot atau graph berlabel adalah graph yang setiap edgenya diberi sebuah nilai (bobot). Bobot pada tiap edge dapat menyatakan biaya transportasi dari suatu kota ke kota lainnya atau jarak antara dua tempat atau waktu tempuh antara dua tempat dan lain-lainnya. Berikut ini adalah contoh graph berbobot
Gambar 2.3 Graph berbobot
Universitas Sumatera Utara

7 Sebuah multigraf G = G(V, E) terdiri dari suatu himpunan V (verteks) dan suatu himpunan E (edge), kecuali E mengandung edge ganda, yaitu beberapa edge yang menghubungkan titik-titik ujung yang sama. E mungkin mengandung satu atau lebih loop, yaitu sebuah edge yang titik-titik ujungnya adalah verteks yang sama.
Gambar 2.4 Sebuah multigraf dengan tiga simpul dan lima edge Pada Gambar 2.4 , G adalah graf dengan: V = {P, Q, R} E = {(P, Q), (P, Q), (P, R), (R, R), (Q, R)}
= {e1, e2, e3, e4, e5} G mengandung edge ganda, e1 dan e2, yang menghubungkan dua verteks yang sama, yaitu P dan Q. G juga mengandung sebuah loop e4, yang titik-titik ujungnya sama, yaitu verteks R. Karena itu, graf di atas merupakan multigraf.
Berdasarkan pada orientasi arah pada edge, maka secara umum graf dapat dibedakan atas 2 jenis sebagai berikut.
1. Graf tak berarah (undirected graph) Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Gambar 2.4 merupakan gambar graf tak berarah.
2. Graf berarah (directed graph atau digraph) Graf yang sisinya mempunyai orientasi arah. Gambar 2.5 merupakan gambar graf berarah.
Universitas Sumatera Utara

8
Gambar 2.5 Graf berarah M-ring star mendesain:
1. Susunan titik yang tidak teratur sebanyak m melewati pusat depot dan beberapa node lainnya.
2. Sekumpulan koneksi langsung dari pelanggan yang belum dikunjungi ke sebuah node dengan sebuah ring. Jumlah pelanggan yang dihubungkan ke ring akan dibatasi oleh Q (kapasitas dari ring). Tujuannya adalah meminimalkan biaya ring dan biaya koneksi pelanggan (min : cost ring + cost customer ). Berikut adalah beberapa contoh struktur m-ring star :
Struktur 1
Universitas Sumatera Utara

9
Struktur 2 Lebih jelasnya mRSK adalah sebagai berikut : misalkan gabungan graph G = (V, E ∪ A) dimana V = 0, n + 1 ∪ V ′ adalah sekumpulan node, E = {(i, j) : i, j ∈ V, i = j} adalah sekumpulan edge dan A adalah sekumpulan arc. Kumpulan node V ′ terbagi atas dua subset : U berisi node untuk setiap pelanggan dan W berisi node untuk titik transit (disebut juga Steiner node). Node 0 mewakili depot dan node n + 1 merupakan terminal. Untuk setiap pelanggan i ∈U misal Ci ⊂ V ′ adalah himpunan bagian dari node, dimana pelanggan i bisa terhubung. Diasumsikan bahwa i ∈ Ci untuk semua pelanggan i ∈ U dan pelanggan itu akan terhubung dengan sendirinya jika ia berada didalam ring. Susunan A mewakili koneksi yang mungkin antara satu node dengan pelanggan yakni A = {(i, j) : i ∈ U, j ∈ Ci}. Susunan E adalah susunan yang mungkin dari edge ring. Setiap edge e = {i, j} ∈ E dihubungkan dengan biaya rute yang tidak negatif ce = cij , dimana (i, j) ∈ A dihubungkan dengan biaya koneksi yang tidak negatif (dengan dii = 0 untuk semua i ∈ U ). Diberikan sebuah himpunan bagian E′ ⊂ E, V (E′) ditandai sebagai susunan titik untuk paling tidak satu edge pada E′ . Dapat dikatakan bahwa pelanggan i ditempatkan untuk sebuah ring R apabila dihubungkan oleh rute simple (yakni i ∈ V (E′)) atau dihubungkan dengan sebuah node dari ring (yakni ada sebuah edge j sehingga (i, j) ∈ A′). Ring sangat menguntungkan bila pelanggan yang terdaftar tidak melebihi kapasitas (Q) 100 kabel dapat melayani 50 pelanggan jumlah total dari titik pelanggan terkunjung atau yang dihubungkan ke ring terbatas (≤ Q). Biaya R adalah jumlah dari biaya rute dari garis di E ditambah jumlah biaya dari koneksi yang ada di ring A. Jumlah ring sebesar m dalam jaringan diketahui dan diberikan sebagai nilai input.
Universitas Sumatera Utara

10 Gambar 2.6 menunjukkan solusi dari mRSK yang sesuai dimana n = 25 dan m = 3.|U | = 12, |W | = 13 dan Q = 6. Dari gambar tersebut titik transisi dilambangkan dengan lingkaran dan pelanggan dengan segitiga, pusat depot dilambangkan dengan dua persegi hitam, garis yang tidak putus dilambangkan untuk garis rute dan garis putus-putus sebagai koneksi.
Gambar 2.6 m-Ring star berkapasitas
2.2 Formulasi Matematika Formulasi matematika untuk m-RSK dalam tesis ini digunakan formulasi dua arus
komoditas. Formulasi dua arus komoditas m-RSK menggunakan model graph yang mengasosiasikan setiap edge {i, j} ∈ E dengan dua arc yang berlawanan dan dengan dua variabel arus yang bersesuaian yij dan yji. Kedua Arc mempunyai biaya yang sama cij ditetapkan bahwa dalam penyelesaian m-RSK layak total arus pada setiap edge dari ring tepat sama dengan Q. Variabel y mengidenti?kasi setiap ring melalui dua path arus. Pada path pertama yang bergerak dari node 0 ke node n + 1, arus yij menyatakan jumlah pemakai yang dilayani oleh ring setelah mengunjungi node i. Pada path yang berlawanan yang bergerak dari node n + 1 ke node 0, variable yij menyatakan jumlah potensial pelanggan yang dapat dilayani pada path maju dari 0 ke j. Dengan demikian
Universitas Sumatera Utara

11
total arus yang keluar dari node n + 1 sama dengan mQ. Setiap node pada ring yang mempunyai v pelanggan yang dialokasikan menyerap v unit aliran yang datang dari node 0 dan unit aliran yang datang dari node n + 1. Pada gambar 2.7 diperlihatkan lima pelanggan ring dalam gambar 2.6 dan kedua path arus (0, 22, 24, 17, 11, n + 1) dan (n + 1, 11, 17, 24, 22, 0).
Gambar 2.7 : m-Ring Star Berkapasitas dengan 5 pelanggan

min

1 Q

cij (yij + yji) +

dij Zij

{i,j}∈E

(i,j)∈A

s.t y0j = |U |
j∈V ′

yn+1j = mQ
j∈V ′

yj,n+1 = 0
j∈V ′

y0j = mQ − |U |
j∈V ′

(yji + yij) = 2Qzjj, j ∈ U
j∈V

(yji + yij) = 2QWj , ∀J ∈ w
j∈V

zij = 1, ∀i ∈ U
j∈V

= 2 Zij
j∈V i∈U
yij + yji ∈ {0, Q}

∀J ∈ V ∀{i, j} ∈ E

yij ≥ 0, ∀i, j ∈ V

zij ∈ {0, 1} ∀(i, j) ∈ A

wi ∈ {0, 1} j ∈ W

(2.1) (2.2) (2.3) (2.4) (2.5) (2.6) (2.7) (2.8) (2.9) (2.10) (2.11) (2.12) (2.13)

Universitas Sumatera Utara

12
Formulasi dua arus komoditas m-RSK adalah sebagai berikut :
Persamaan (2.3) menetapkan bahwa arus keluar node 0 sama dengan jumlah pelanggan, sementara persamaan (2.4) menetapkan bahwa arus keluar pada node n + 1 sama dengan total kapasitas dari ke m ring. Persamaan (2.5) mengindikasikan bahwa tidak ada arus masuk node n + 1 sementara persamaan (2.6) menetapkan bahwa arus yang masuk node 0 sama dengan kapasitas residual ring. Diharuskan bahwa Q unit arus melalui setiap edge pada ring, maka untuk setiap node ring total arus yang masuk dan keluar dari node haruslah sama dengan 2Q. Ini ditetapkan oleh persamaan (2.7) dan (2.8). Persamaan (2.9) menjamin bahwa setiap pelanggan dialokasikan kepada satu node.Persamaan (2.10) adalah batasan konservasi arus yang memperhitungkan bahwa setiap pelanggan menerima satu unit arus dari node 0 dan satu unit arus dari node n + 1. Batasan (2.11) menetapkan persyaratan biner bahwa edge e = {i, j} ∈ E haruslah dikunjungi atau tidak oleh ring, yang dengan demikian menjelaskan fungsi tujuan (2.2).
2.3 Vehicle Routing Problem
Vehicle Routing Problem (VRP) merupakan persoalan mRSK karena melibatkan banyaknya pelanggan dengan permintaan tertentu yang dilayani oleh satu atau beberapa pusat jaringan. VRP pertama kali dipaparkan oleh Dantzig dan Ramser (1954). VRP adalah permasalahan kompleks dari optimisasi kombinatorial, yang merupakan gabungan dari dua permasalahan, yaitu Travelling Salesman Problem (TSP) dan Bin Packing Problem (BPP). VRP merupakan NP-Hard, sehingga permasalahan ini sulit dipecahkan.
VRP berhubungan dengan pengiriman dan/atau pengambilan barang. Masalah kritis VRP adalah rute dan pengaturan kendaraan pengangkut yang ada sehingga dapat melayani permintaan pelanggan seefisien mungkin berdasarkan pada kriteriakriteria yang ada. Sebuah rute adalah serangkaian lokasi yang harus dikunjungi kendaraan pengangkut untuk menyelesaikan pelayanannya, misalnya pelayanan pengiriman barang. Penyelesaian VRP menghasilkan rute, dan dapat juga menghasilkan penjadwalan kendaraan-kendaraan pengangkut dalam rute yang terbentuk.
Universitas Sumatera Utara

13

VRP adalah generalisasi dari TSP. Maka, TSP adalah sebuah VRP tanpa batasan seperti depot, pelanggan dan permintaan. M-TSP adalah VRP dengan sebuah depot dan m kendaraan pengangkut, termasuk bila tidak ada permintaan dari pelanggan. MTSP adalah transformasi dari TSP dengan memperbanyak jumlah depot. Pada kenyataannya, Vehicle Routing digambarkan dengan jaringan jalan, yang kemudian dituangkan dalam sebuah graf, baik graf berarah G = (V, A), graf tidak berarah G = (V, E), maupun graf campuran G = (V, A ∪ E). Penggunaan bentuk graf ini disesuaikan dengan daerah yang akan dikunjungi kendaraan pengangkut. Graf tak berarah digunakan jaringan jalan skala besar, meliputi negara dan negara bagian atau propinsi. Sedangkan graf berarah digunakan untuk jaringan jalan skala kecil, misal untuk menggambarkan jalan-jalan dalam satu kota.

Verteks menggambarkan depot, pelanggan ataupun persimpangan jalan. Himpunan verteks dilambangkan dengan V = (v0, . . . , vn). Verteks v0 mewakili pusat, di mana terdapat kendaraan pengangkut identik sejumlah k dengan kapasitas Q. Sedangkan verteks lainnya melambangkan kota atau pelanggan, yang memiliki permintaan di. Arc atau edge menggambarkan jalan-jalan yang ada. Edge dapat bersifat berarah (i, j) ∈ A, di mana A = {(v1, vj) : i = j, v1, vj ∈ V } dan tidak berarah, ℓ ∈ E. Biaya dan jarak perjalanan dilambangkan oleh cij, yang didefinisikan pada A, sedangkan waktu non-negatif dilambangkan oleh tij, yang juga didefinisikan pada A.

Setiap verteks vi dalam V diasosiasikan dengan sejumlah barang qi yang akan

diantarkan oleh satu kendaraan. V RP bertujuan untuk menentukan sejumlah k rute

kendaraan dengan total biaya yang minimum, bermula dan berakhir di sebuah depot.

Adapun setiap verteks dalam V dikunjungi tepat sekali oleh satu kendaraan. Jadi,

biaya dari solusi masalah ini adalah FV RP (S) =

k i

C

(Ri)

Universitas Sumatera Utara

14
Gambar 2.7 Contoh Visualisasi Input dari Vehicle Routing Problem (sumber: Massimo Paolucci, 2001, p5)
Gambar 2.8 Salah satu output dari persoalan VRP dari input gambar 2.7 (sumber: Massimo Paolucci, 2001, p5)
Dalam tesis ini, penyelesaian VRP akan digunakan teknik Metaheuristik yaitu Variable Neighborhood Search (VNS).
Universitas Sumatera Utara

BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai metode metaheuristik yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan mRSK yaitu Variable Neighborhood Search (VNS).
3.1 Metaheuristik
Metaheuristik adalah generasi baru pengembangan dari algoritma heuristik. Metaheuristik dikembangkan karena tingginya tingkat kompleksitas masalah kombinatorial pada dunia nyata akibat makin luasnya dimensi kendala, sehingga pendekatan eksak sudah tidak mungkin digunakan.
3.2 Variable Neighborhood Search (VNS)
Sebuah pendekatan heuristik yang telah diuji oleh Mladenovic dan Hansen (1997) yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan NP-hard dinamakan Variable Neighborhood Search. Disebut demikian karena terjadi proses pencarian neighborhood dalam menentukan solusi yang optimal. VNS adalah metaheuristik pencarian lokal lainnya yang mengambil berbagai kelas transformasi yang lain, atau neighbourhood untuk menghindari local optima. Ketika terjadi local optima, dengan memberitahukan pada neighbourhood yang sudah terbentuk, neighbourhood lain dipilih dan digunakan pada iterasi berikutnya.
Misalkan diberikan himpunan neighbourhood (biasanya berangkai), dan sebuah solusi dihasilkan secara acak dari neighbourhood pertama dari solusi sementara, yang berasal dari keturunan sementara yang telah terbentuk (dapat pula berasal dari neighbourhood yang memiliki struktur yang berbeda). Jika local optima yang terjadi tidak lebih baik dari solusi sementara, maka prosedur diulang pada neighbourhood selanjutnya dalam struktur berangkai (loop). Pencarian ini diulang dari neighbourhood pertama ketika ada solusi yang lebih baik dari atau ketika semua neighbourhood telah dicoba.
Di dalam loop terdapat Shaking Procedure dan Local Search Procedure. Shaking Procedure mengikuti model VNS. Shaking Procedure memperhatikan secara khusus de-
15
Universitas Sumatera Utara

16
sain neighbourhood dan membuat perubahan acak pada solusi sekarang serta menyelidiki neighbourhood lebih jauh dari solusi tersebut. Local Search Procedure memperhatikan sebuah neighborhood yang lebih terbatas dan mencoba untuk mengubah kualitas dari solusi yang diberikan. Berdasarkan skema VNS, dalam perubahan solusi biaya penulis kembali ke ukuran neighbourhood awal, selain itu penulis meningkatkan ukuran neighbourhood dalam upaya menentukan solusi terbaik yang mungkin dengan memanggil Local Search Procedure. Di samping itu, penulis telah menemukan kegunaan dan manfaat kriteria penerimaan awal dalam memperbaiki solusi pada akhir iterasi dalam algoritma VNS. Dalam keadaan tertentu, penulis mengambil solusi yang salah sebagai solusi sekarang jika biayanya tidak lebih besar dari persentase P dari biaya terbaik yang diberikan atau jika bilangan J dari iterasi yang berurutan tanpa adanya perubahan tidak melebih nilai JMAX (dimana P dan JMAX adalah parameter input). Struktur dari metode VNS ini diberikan pada Algortima 1, sedangkan untuk tahap-tahapnya akan dijelaskan secara terpisah.
SolusiAwal:=Initialization(); BiayaTerbaik:=Biaya(SolusiAwal) and SolusiTerbaik:=SolusiAwal; Local Search Procedure(SolusiAwal); Update SolusiAwal, SolusiTerbaik and BiayaTerbaik; J := 0; while melewati batas waktu yang ditentukando K:=Initial− K ; while K ≤ |U |/2 do ShakingProcedure(SolusiAwal,K); if Biaya(SolusiAwal) < BiayaTerbaik then K:=Initial− K ; J := 0; end else K := K + 1; J := J + 1; end end if(Biaya(SolusiAwal) > P ∗BiayaTerbaik) or (J > J M AX) then end Gantikan biaya terbaik yang diperoleh sebagai solusi awal; end
Algoritma 1 : Struktur metode VNS
Universitas Sumatera Utara

17
Langkah-langkah yang dilakukan metode VNS adalah sebagai berikut:
Initialization Procedure
Tujuan prosedur ini adalah membentuk solusi layak yang hanya menggunakan pelanggan dalam struktur ring. Untuk melakukannya, penulis menggunakan metode local search procedure yaitu algoritma clustering yang digunakan dalam Generalized Salesman Travelling Salesman Problem (GTSP) (Fischetti et al, 1997) dengan mengambil depot dan m pelanggan sejauh mungkin dari satu ke yang lainnya. Dengan langkah tersebut, penulis mempunyai m pelanggan yang dihubungkan ke depot. Kemudian sisa dari pelanggan yang tidak terhubung diletakkan pada posisi terbaik yang mungkin, misalkan diletakkan pada posisi yang hasil biaya kunjungan atau pengalokasian paling minimum.
Input: m, U, C[v,w]f orv, w ∈ {0} ∪ U ;
Output: depot dan pelanggan m sejauh mungkin dari satu ke yang lainnya;
Keterangan: misalkan f ar(S) := arg max{min{C[v,w] : w ∈ S} : v ∈ U S} menjadi pelanggan yang terjauh dari subset node yang diberikan, S ⊆ {0} ∪ U ; Begin
1. center1 := f ar({0}); 2. For i = 2 to m + 1 do
centeri := f ar({center1, · · · , centeri−1}); End For; 3. For i ∈ U do If (pelanggan i tidak dikunjungi atau dipindahkan) Then Letakkan (dikunjungi atau dipindahkan) i ke posisi terbaiknya;
End For: End. (dalam arg max{·} , ikatan terputus dengan memilih keputusan terkecil.)
Algoritma 2: Algoritma Clustering
Improvement Procedure
Untuk mengubah solusi awal maka digunakan Improvement Procedure. Di dalam Improvement Procedure terdapat Swap Procedure, Steiner node removal dan ExtractionAssignment Procedure. Perubahan suatu solusi dasar dimulai dengan Swap Procedure.
Universitas Sumatera Utara

18
Apabila solusi tidak dapat diubah lagi dengan menggunakan langkah-langkah Swap Procedure, maka Improvement Producer melanjutkan dengan memanggil Steiner node removal dan Extraction-Assignment Procedure.
While solusi dapat diubah do Swap (SolusiAwal);
End While; Steiner-Node-Removal (SolusiAwal); While solusi dapat diubah do
Extraction-Assignment (SolusiAwal); End While.
Algoritma 3: Improvement Procedure
1. Swap Procedure
Dalam Procedure ini, setiap pelanggan berada pada solusi dasar dengan urutan acak, segala kemungkinan dicoba untuk menukarkan pelanggan tersebut dengan node yang lain yang dekat dengan pelanggan yang dipilih, dimulai dari node yang paling dekat hingga node ke-T yang terdekat (dimana T adalah nilai input).
For i = 1, · · · , |U | do For l = 1, · · · , T do
j := lth node yang dipindahkan atau dikunjungi yang paling dekat dengan pelanggan i; If (i dan j berada di ring yang sama) dan (i dikunjungi dan j dipindahkan)
Then (misalkan i adalah pelanggan yang dipindahkan dan j adalah node yang dikunjungi) Bentuk SolusiBaru dengan cara sebagai berikut:
Kunjungi pelanggan i di ring pada posisi awal node j; Ambil node j, bersamaan dengan posisi pemindahan pelanggan yang mungkin di ring; Setiap node dipilih secara acak, apabila node tersebut merupakan pelanggan, maka pindahkan atau kunjungi ke posisi terbaik yang mungkin di ring; Else SolusiBaru := SolusiAwal dengan menggeser i dan j; End If; If (SolusiBaru memenuhi) dan (biaya (SolusiBaru) ¡ biaya (SolusiAwal)) Then SolusiAwal : = SolusiBaru; Update sebisa mungkin BiayaTerbaik dan SolusiTerbaik ; Break; End If; End For; End For.
Algoritma 4: Swap Procedure
Universitas Sumatera Utara

19
2. Steiner-Node-Removal
Dalam prosedur ini, penulis memindahkan pelanggan dari steiner node yang sudah
dikunjungi ke posisi lain yang memungkinkan untuk meminimalkan biaya. Dimu-
lai dengan pemilihan steiner node secara acak. Kemudian memasukkan kembali
dengan pelanggan lain yang mungkin dengan mempertimbangkan node T ter-
dekat. Apabila solusi awal tidak dapat diubah dengan solusi awal, maka semua
node yang telah disebar akan kembali ke tempat semula. Prosedur ini diulang
hingga semua steiner node dari solusi awal telah dilakukan.
3. Extraction-Assignment Procedure
Dalam Procedure ini, setiap pelanggan penulis mengambil secara acak lalu mele-
takkannya kembali ke posisi terbaik yang memungkinkan. Karena itu, penulis
amati T nodes yang dekat dengan pelanggan yang diambil dan memeriksa segala
kemungkinan untuk menempatkannya pada salah satu node tersebut atau mengun-
jungi pelanggan di dalam ring, mengakibatkan sebelum atau sesudah salah satu
T node yang terdekat. Kemudian pilih langkah terbaik, misalkan langkah yang
menghasilkan solusi biaya yang paling kecil.
For i = 1, · · · , |U | do If i adalah pelanggan yang dikunjungi atau dipindahkan tanpa pemindahan Then Ambil i dari posisi awal; Forl = 1, · · · , T do j := lth node terdekat ke pelanggan i; If (j bukan pelanggan yang dipindahkan) Then Keadaan1. Lakukan perpindahan i ke node j yang telah dikunjungi; Keadaan2. Lakukan kunjungan i sebelum atau sesudah kunjungan node j; Keadaan3. If j merupakan Steiner node yang belum dikunjungi, Then lakukan perpindahan i ke j dan kunjungi j pada posisi terbaiknya diantara nodenode T terdekat yang telah dikunjungi. End If; Pilih kedaan yang berkaitan dengan biaya minimum dan update keadaan terbaik yang mungkin. End If; End For;
Else Pilih pelanggan i, sepanjang pelanggan yang telah dipindahkan, dari solusi awal, dan letakkan masingmasing pada posisi terbaik yang mungkin dengan memperhatikan node-node T terdekat yang telah dikunjungi. Update sebisa mungkin keadaan terbaik berdasarkan posisi terbaru pelanggan;
End If; SolusiBaru := SolusiAwal dengan memilih KeadaanTerbaik If biaya (SolusiBaru) ¡ biaya (SolusiAwal) Then SolusiAwal := SolusiBaru; Update BiayaTerbaik dan SolusiTerbaik;
End If; End For.
Algoritma 4: Extraction Assignment Procedure
Universitas Sumatera Utara

20 4. Shaking Procedure
Apabila Improvement Procedure gagal dalam mengubah solusi awal, maka algoritma mencoba untuk pergi dari local optimum dengan cara mengacaukan solusi awal (Shaking procedure). Lebih tepatnya dengan mengambil dari I node secara acak (dimana I adalah parameter input), bersamaan dengan posisi pelanggan yang mungkin untuk dihubungkan ke node lainnya yang memungkinkan untuk meminimalkan biaya.
For i = 1, · · · , I do Pilih sebuah node secara acak, bersamaan dengan semua perpindahan pelanggan yang mungkin,dari solusi awal;
End For; While semua pelanggan yang dipilih tidak dipindahkan maupun dikunjungi do
Apabila pelanggan berikutnya tidak dikunjungi maupun dipindahkan, maka letakkan pada posisi terbaiknya. End While.
Algoritma 5: Shaking Procedure
Universitas Sumatera Utara

BAB 4 PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dilaporkan hasil perhitungan secara komputerisasi. Pengujian dilakukan dengan menginput banyaknya node secara bertahap hingga diperoleh biaya paling optimal dengan jangka waktu yang disediakan. Untuk menguji algoritma heuristic tersebut, akan digunakan data yang telah dibuat oleh Baldacci et al. (2007) dengan ukuran 26 hingga 101 node. Terdapat 2 kelas pada data tersebut (A dan B). Topologi dari graph yang mendasari misalkan koordinat node dan jumlah pelanggan atau Steiner node pada kedua kelas adalah sama dan perbedaannya terdapat pada struktur matriksnya. Khususnya pada kasus kelas A, biaya berkunjung dan berpindah (cij dan dij) sama dengan jarak Euclidian antara node yang bersangkutan ketika berada di kelas B, biaya berkunjung dan berpindah masing-masing cij = [7eij] dan dij = [3eij], dimana eij adalah jarak Euclidian antara pasangan node i dan j.
Selain kelas A dan B, dirancang pula sekumpulan data yang 48 lebih besar yang diambil dari 2 kasus TSPLIB library, KroA150 and KroA200 masing-masing berisi 150 dan 200 node. Untuk membuat kasus tersebut, harus mengikuti aturan yang dibuat Baldacci et al. (2007) untuk kasus dengan node yang lebih kecil misalkan dengan node 26 hingga 101.
Parameter-parameter yang harus dipakai untuk metode VNS terdiri dari P, Initial K, JMAX, ILP Iter, T, RP dan RC max. Penghentian criteria dari keseluruhan algoritma digunakan sebagai banyaknya iterasi yang diberikan dari loop dasar tanpa adanya perubahan. Setelah mencoba beberapa nilai, maka ditetapkan sebagai berikut.
P = 1.05
Initial K = 5
J MAX = 100
ILP Iter = 10
T = 0.20 ∗ NoV ertices
21
Universitas Sumatera Utara

22
RP = 0.30 ∗ NoV ertices
RC max = 0.005 ∗ BestCost
dimana NoVertices dan BestCost masing-masing merupakan banyaknya vertex dan biaya solusi terbaik dari setiap kasus yang dikerjakan. Setelah itu, kriteria akhir digunakan untuk mencoba 150 kriteria dengan loop VNS (Algoritma 1) tanpa adanya perubahan.
Hasil dari algoritma tersebut yang telah dibandingkan dengan heuristic H1 dan H2 (Baldacci et al, 2007), HP (Franceschi et al, 2006) dan algoritma BC (Baldacci et al, 2007) ditampilkan pada Tabel 4.1 hingga Tabel 4.3. Untuk setiap kasus, dilakukan 5 pemrosesan lainnya dari algoritma dengan menggunakan 5 sumber yang berbeda untuk membuat bilangan generator acak. BestCost (B.Cost) dan biaya rata-rata (Avg.Cost) dalam pemrosesan akan ditampilkan pada tabel. Untuk setiap kasus Total time (T.T ) berhubungan dengan total pelaksanaan bergantung pada pelaksanaan yang berbeda. Satuan waktu dikonversikan dalam detik.
Oleh karena hasil dari kasus dengan ukuran besar (Tabel 4.3) dapat dirubah dengan memperbanyak pemrosesan, maka dilaporkan pula hasil dari VNS dan HP (Salari et al, 2010) dengan 20 proses lainnya. Dijelaskan bahwa peningkatan jumlah eksekusi baru, lebih dari 5 kasus ukuran kecil dan lebih dari 20 kasus besar, tidak akan mengakibatkan perubahan yang penting dalam biaya solusi, maka pelaporan dibatalkan.
Pada setiap tabel, nama setiap kasus (Data), jumlah node (n), jumlah ring (m), jumlah pelanggan (|U |) dan kapasitas setiap ring (Q) masing-masing diberikan pada kolom 1 hingga 5. Hasil dari heuristic H1 dan H2 yang dilakukan Baldacci et al, (2007) bersamaan dengan waktu komputerisasi masing-masing ditampilkan pada kolom 6-7 dan 8-9., sedangkan hasil dari algoritma BC (Baldacci et al, 2007) ditampilkan pada kolom 10. Batas waktu untuk algoritma BC adalah 2 jam dan untuk kasus yang tidak bisa mendapat solusi terbaik dalam durasi waktu sedemikian, solusi terbaik yang diperoleh selama proses BC juga ditampilkan. Waktu komputerisasi untuk algoritma BC ditampilkan pada kolom 11. Pada kolom 12 hingga 14 merupakan biaya terbaik dan biaya rata-rata selama 5 proses HP (Salari et al, 2010) yang berbeda-beda beserta waktu komputerisasinya.
Universitas Sumatera Utara

23
Tabel 4.3 merupakan hasil eksekusi dari heuristic HP (Salari et al, 2010) dengan 20 proses lainnya. Untuk 3 kolom terakhir masing-masing merupakan biaya terbaik, biaya rata-rata dan total waktu selama 5 atau hingga 20 proses lainnya dari algoritma VNS. Untuk memberikan laporan pada Tabel 4.1 hingga Tabel 4.3, harus digunakan kode dari algoritma H1, H2 dan BC (dipaparkan oleh R.Baldacci, 2007) dan kode asli dari HP (Salari et al, 2010). Pada semua tabel, dalam setiap baris, biaya terbaik dicetak tebal dan biaya rata-rata untuk setiap kolom (Avg) dan biaya terbaik yang diperoleh dari setiap algoritma (NB) ditampilkan pada 2 baris terakhir pada tabel.
Tabel 4.1 dan Tabel 4.2 menunjukkan bahwa 63 dari 90 kasus berukuran kecil diselesaikan secara optimal dengan menggunakan algoritma BC, VNS dapat mencari solusi yang optimal ketika H1, H2 dan HP masing-masing memperoleh solusi optimal 35, 38 dan 62. Untuk 27 kasus lainnya yang tidak ditemukan solusi optimalnya, VNS mencapai solusi terbaik untuk 27 kasus tersebut ketika H1, H2, BC dan HP masingmasing membangkitkan solusi terbaik sebanyak 0, 0, 2 dan 23 kali. Hal tersebut bisa dilihat pada tabel 4.1 dan 4.2, bergantung pada penampilan terbaik dari heuristic dan banyaknya kemungkinan metode tersebut mencapai hasil terbaik, algoritma VNS merupakan yang terbaik dengan menghasilkan yang terbaik pada kelas A dan B. Selanjutnya rata-rata waktu komputerisasi algoritma VNS pada kasus ukuran kecil pada kelas A dan B masing-masing adalah 10.08 dan 11.42 detik, dimana H1, H2, BC (Baldacci et al, 2007) dan HP (Salari et al, 2010) masing-masing memerlukan waktu 5.4, 29.7, 2098.3 dan 6.22 detik di kelas A dan masing-masing 5.89, 28.90, 2952.90 dan 11.14 detik di kelas B
Perbandingan algoritma VNS dengan metode H1, H2, BC dan HP pada kasus ukuran besar ditampilkan pada tabel 4.3. Untuk kasus tersebut, jelas bahwa metode VNS melebihi hasil yang diharapkan dari algoritma lainnya. Oleh karena metode yang dipakai pada sekumpulan data tersebut lebih cepat daripada H2 dan BC, daripada menjalankan algoritma NST dan HP sebanyak 5 kali, lebih baik mengoperasikannya dengan 20 sumber. Dilihat dari 5 proses yang dilakukan pada algoritma, rata-rata hasil terbaik diperoleh dari algoritma VNS, jelas lebih baik dibandingkan dengan algoritma heuristic H1, H2 (Baldacci et al, 2007) dan HP (Salari et al, 2010) serta algoritma BC (Baldacci et al, 2007).
Universitas Sumatera Utara

24 Peningkatan kualitas solusi dengan menambah jumlah eksekusi bebas dari algoritma dapat dilihat dengan jelas pada tabel. Dengan memperhatikan 20 operasi yang dijalankan, algoritma dapat memperoleh 40 hasil terbaik dari 48 kasus. Hal ini dibandingkan dengan H1, H2, BC (Baldacci et al, 2007) dan HP (Salari et al, 2010) (dengan operasi yang sama banyak) yang masing-masing mendapat 3, 3, 11, dan 17 solusi terbaik. Dengan ketentuan waktu pengoperasian, H1 (Baldacci et al, 2007) lebih cepat sedikit dibanding 5 operasi bebas dari algoritma VNS, dimana kecepatan dari algoritma hampir sama dengan HP (Salari et al, 2010). Walaupun demikian dengan menjalankan algoritma VNS hingga 20 kali, metode ini tetap lebih cepat daripada algoritma H2 dan BC (Baldacci et al, 2007).
Universitas Sumatera Utara

25

Tabel 4.1 Perbandingan solusi CmRSP untuk kasus dengan ukuran kecil (Kelas A)

Data N m |U | Q

A01 26 3

A02 26 4

A03 A04

26 5 26 3

A05 26 4

A06 26 5

A07 26 3

A08 26 4

A09 26 5

A10 51 3

A11 51 4

A12 51 5

A13 51 3

A14 51 4

A15 51 5

A16 51 3

A17 51 4

A18 51 5

A19 51 3

A20 51 4

A21 51 5

A22 76 3

A23 76 4

A24 76 5

A25 76 3

A26 76 4

A27 76 5

A28 76 3

A29 76 4

A30 76 5

A31 76 3

A32 76 4

A33 76 5

A34 101 3

A35 101 4

A36 101 5

A37 101 3

A38 101 4

A39 101 5

A40 101 3

A41 101 4

A42 101 5

A43 101 3

A44 101 4

A45 101 5

Avg.

NB

12 5 12 4 12 3 18 7 18 5 18 4 25 10 25 7 25 6 12 5 12 4 12 3 25 10 25 7 25 6 37 14 37 11 37 9 50 19 50 14 50 12 18 7 18 5 18 4 37 14 37 11 37 9 56 21 56 16 56 13 75 28 75 21 75 17 25 10 25 7 25 6 50 18 50 14 50 12 75 28 75 21 75 17 100 38 100 28 100 23

Cost 242
261
292
301
339
375
333 362
382
242
261
286
331 360
379
373 408 441
459 501 521
330
385
448
407 462 479
475 523 552
570 617 659
363
415
448
503 532 571 605 629 663 672 702 719

H1 T.T
0.3 0.3 0.3 0.4 0.4 0.4 0.8 0.7 0.6 0.3 0.2 0.3 0.8 0.7 0.6 2.3 1.6 2.2 4.8 3.0 5.3 0.7 0.6 0.8 2.2 2.3 3.1 7.3 7.1 6.3 14.8 15.3 13.6 0.9 1.1 1.5 6.5 3.9 4.0 18.6 13.3 11.5 31.7 26.5 24.5

448.40 5.4

21 -

Cost 242
261
292
301
339
375
33 362
382
242
261
286
322
360
379
373
408 435 469
493 521 330
385
448
402
460 479
471
523 545
564
606 654 363
415
448
501 533 568 622 635 665 672 704 717

H2 T.T
0.1 0.0 0.0 0.7 0.4 1.4 1.7 0.9 0.6 0.1 0.1 0.1 1.0 1.1 1.7 6.7 7.6 11.8 14.1 20.8 19.2 2.9 48.3 4.2 9.5 16.5 21.4 38.9 50.5 40.2 45.0 57.4 81.7 3.2 9.2 10.8 58.8 44.5 48.4 115.6 74.5 120.5 134.3 109.0 148.7

448.82 29.7

21 -

BC HP

Cost T.T B.Cost Avg.Cost

242 0.1

242 242.00

261 0.0

261 261.00

292 0.0

292 292.00

301 0.5

301 301.00

339 0.3

339 339.00

375 0.7

375 375.00

333 3.8

333 333.00

362 0.3

362 362.00

382 0.2

382 382.00

242 0.2

242 242.00

261 0.4

261 261.00

286 0.1

286 286.00

322 2.1

322 322.00

360 2.1

360 360.00

379 2.3

379 379.00

373 8.4

373 373.00

405 41.7 405 405.00

432 52.2 432 432.80

458 182.8 458 458.20

490 220.4 490 490.00

520 6334.2 520 520.80

330 48.3 330 330