Selanjutnya, dari persamaan 2.8, akan dicari nilai ̂
sebagai berikut :
∑ ̂
∑ ̂
∑
[ ∑
̂ ∑
] ∑ ̂
∑
∑ ∑
̂ [∑
] ̂
∑
∑ ∑
∑ ̂
[∑ ]
̂ ∑
̂ [
∑ ∑
]
maka diperolehlah ̂
yaitu :
̂ ∑
∑ ∑
∑ ∑
2.5 . Rata-rata Kuadrat Sisa
Rata-rata kuadrat sisa S
2
adalah salah satu cara untuk menentukan kecocokan model, jika semakin kecil rata-rata kuadrat sisa yang dihasilkan maka semakin baik model
tersebut Sembiring, 1995. Cara ini diperoleh dengan menghitung banyaknya parameter dalam model melalui pembagian dengan derajat kebebasannya. Rata-rata
kuadrat sisa dapat ditentukan dengan rumus berikut :
Universitas Sumatera utara
dengan JKS = Jumlah kuadrat sisa
JKT = Jumlah kuadrat total ∑
̅ JKR = Jumlah kuadrat regresi
̂ ̅
n = Banyak sampel p = Banyak parameter
= Data sebenarnya ̂
= Data dugaan ̅
= Rata-rata data sebenarnya
2.6. Regresi Robust
Menurut Rousseeuw dan Leroy 1987, analisis regresi dan regresi robust memiliki tujuan yang sama namun proses keduanya berlawanan. Dalam analisis regresi,
langkah pertama yang dilakukan yaitu menghapus pencilan kemudian mencocokkan data yang sudah bagus dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, sedangkan
regresi robust langkah pertama yang dilakukan yaitu mencocokkan model regresi dengan sebagian besar data, kemudian mengatasi titik
–titik pencilan yang memiliki nilai residu yang besar sebagai solusi robust tersebut.
2.6.1. Pengertian regresi robust
Regresi robust adalah suatu metode yang digunakan untuk mengatasi masalah pencilan Rousseeuw dan Leroy, 1987.
Metode ini merupakan alat penting untuk menganalisis data yang dipengaruhi oleh outlier pencilan sehingga dapat menghasilkan
Universitas Sumatera utara
model yang robust atau resistance terhadap pencilan.
Salah satu cara yang digunakan untuk mengukur ke-robust-an kekekaran suatu estimator penaksir yaitu Breakdown
point. Breakdown point adalah kelompok terkecil adanya pencilan yang mengakibatkan suatu penaksir menghasilkan penaksiran yang jauh berbeda atau bias.
Konsep breakdown dilakukan untuk mengetahui kemampuan suatu penaksir dalam menghasilkan nilai taksiran yang resisten terhadap adanya pencilan dalam jumlah
tertentu Akbar dan Maftukhah, 2007.
Di dalam regresi robust, banyak metode estimasi yang bisa digunakan, yaitu penaksir Least Median Squares LMS, Least Trimmed Squares LTS, penaksir M
M –Estimator, penaksir S, penaksir MM. Least Median Squares LMS adalah
metode penaksir parameter regresi robust dengan meminimumkan median dari kuadrat sisaan. Least Trimmed Squares LTS adalah metode penaksir parameter
regresi robust untuk meminimumkan jumlah kuadrat h residual. Penaksir M M –
estimator adalah penaksir parameter regresi robust untuk meminimumkan fungsi obyektif dari residualnya, dan sebagainya.
2.7. Metode Penaksir Least Trimmed Squares LTS
Least Trimmed Squares merupakan salah satu metode penaksir dalam regresi robust yang digunakan untuk mengatasi pencilan. Metode penaksir ini adalah metode
penaksiran parameter regresi robust dengan menggunakan konsep pengepasan metode kuadrat terkecil ordinary least square untuk meminimumkan jumlah kuadrat
sisaan Akbar dan Maftukhah, 2007. Penaksir least trimmed squares dapat dinyatakan dalam rumus fungsi obyektif berikut :
∑
2.11
dengan = Kuadrat residual sisaan kuadrat yang terurut dari terkecil hingga
terbesar.
2 1
e
2 2
e
2 3
e
….
2 i
e
…
2 h
e
…
2 n
e
Universitas Sumatera utara
n = Banyaknya pengamatan p = Banyaknya parameter
[ ]
[ ]
Jumlah h menunjukkan sejumlah subset data dengan kuadrat fungsi obyektif terkecil. Nilai h pada persamaan akan membangun breakdown point yang besar
sebanding dengan 50. Kuadrat sisa pada persamaan 2.11 berasal dari persamaan estimasi regresi linier menggunakan konsep metode kuadrat terkecil dengan
banyaknya sisaan kuadrat yang akan diolah adalah sebanyak h residual.
2.8. Metode Penaksir M
Metode penaksir M merupakan metode penaksir dalam regresi robust untuk mengestimasi parameter yang disebabkan adanya outlier pencilan. Penaksir M
meminimumkan fungsi ρ fungsi obyektif dari residualnya. Fungsi obyektif adalah
fungsi yang digunakan untuk mencari fungsi pembobot pada regresi robust. Fungsi pembobot yang digunakan antara lain adalah Montgomery dan Peck,1982: 369:
Fungsi pembobot yang dapat digunakan untuk penaksir M antara lain:
1. Fungsi pembobot yang disarankan oleh Huber
2. Fungsi pembobot yang disarankan oleh Tukey
Fungsi Huber yang akan digunakan dapat dinyatakan sebagai berikut : ψε
i
= ε
i
; | ε
i
| ≤ r = r ; ε
i
r =
r ; ε
i
r
Penaksiran parameter menggunakan metode penaksir M disebut Iteratively Reweighted Least Squares IRLS. Solusi menggunakan metode ini yaitu melakukan
weighted least square WLS secara iterasi yang dapat dinyatakan dalam rumus berikut :
Universitas Sumatera utara
∑
i
2.12
dengan ε
i
adalah residual yang telah diskalakan, sehingga
̂
, sedangkan ̂ |
|, i = 1, 2, ... , n. Selanjutnya persamaan 2.12 dapat dinyatakan dalam rumus berikut :
∑
2.13
dengan w
i
=
i i
, maka persamaan 2.12 juga merupakan solusi jumlah kuadrat
error terboboti WLS yaitu :
∑ ̂
2.14
Tahapan iterasi dalam penaksiran koefisien regresi Winahju, 2010 adalah:
1. Dihitung penaksir
, dinotasikan b menggunakan least square, sehingga didapatkan
,
ˆ
i
y
dan
i,0
= y
i
,
ˆ
i
y
, i = 1, 2, ... n yang diperlakukan sebagai nilai awal y
i
adalah hasil eksperimen. 2. Dari nilai-nilai residual ini dihitung
ˆ
, dan pembobot awal w
i,0
=
, ,
i i
. Nilai
i
dihitung sesuai fungsi Huber, dan
i,0
=
i,0
ˆ
. 3. Disusun matrik pembobot berupa matrik diagonal dengan elemen w
1,0
, w
2,0
, . . . , w
n,0
, dinamai W .
4. Dihitung penaksir koefisien regresi : b
Robust ke 1
= X
T
W X
-1
X
T
W Y
5. Dengan menggunakan b
Robust ke 1
dihitung pula
n i
i i
y y
1 1
,
| ˆ
|
atau
n
i i
1 1
.
| |
.
Universitas Sumatera utara
6. Selanjutnya langkah 2 sampai dengan 5 diulang sampai didapatkan
n
i m
i 1
.
| |
konvergen. Nilai
n
i m
i 1
.
| |
yang konvergen adalah selisih antara
dan mendekat 0;
banyak iterasi.
Secara ringkas, fungsi obyektif dan pembobot dari estimator kuadrat terkecil, Huber, dan Tukey Bisquare dapat dilihat pada Tabel 2.1.
Tabel 2.1. Fungsi obyektif , fungsi Influence dan fungsi pembobot untuk Kuadrat
Terkecil, Huber, dan Tukey Bisquare
Metode Kuadrat
Terkecil Huber
Tukey Bisquare Fungsi
objektif
2 i
LS
e e
r
e untuk
r e
r r
e untuk
e e
i i
i i
H
| |
, 2
| |
| |
, 2
2 2
r e
untuk r
r e
untuk e
i i
r e
k
i
2 3
2 6
B
6 1
1
2
Fungsi influence
i LS
e e
r e
untuk r
r e
untuk r
r e
untuk e
e
i i
i i
H
r
e untuk
r e
untuk e
e
i i
r e
i
i
2 2
B
1
Fungsi Pembobot
1
e w
LS
r
e untuk
e r
r e
untuk e
w
i i
i H
1
r
e untuk
r e
untuk e
w
i i
r e
i
2 2
B
1
Sumber : Fox 2002, Montgomery 1992
Universitas Sumatera utara
BAB 3
PEMBAHASAN DATA SIMULASI
Pada bab ini akan dilakukan suatu perbandingan beberapa metode yang telah dikemukakan pada Bab 2. Sebagai dasar untuk melakukan perbandingan digunakan
data 1 yang terdapat pada Tabel 3.1, data 2 pada Tabel 3.2, data 3 pada Tabel 3.3, dan data 4 pada Tabel 3.4 . Selanjutnya akan dilakukan pendeteksian pencilan, analisis dan
pengolahan data berdasarkan metode kuadrat terkecil OLS dan regresi robust yakni penaksir least trimmed squares dan penaksir M.
3.1. Data
Data 1, data 2, data 3, dan data 4 merupakan data yang akan digunakan dalam bab ini yaitu data bangkitan yang mengandung permasalahan pencilan. Data akan dideteksi
dengan beberapa metode pendeteksian pencilan, kemudian akan diolah dan dibandingkan berdasarkan metode kuadrat terkecil dan metode regresi robust yakni
penaksir least trimmed squares dan penaksir M.
Universitas Sumatera utara
Tabel 3.1. Data 1
Hari ke- Banyak
Nasabah Volume
Tabungan 1
3 3
2 1
5 3
2 6
4 4
4 5
3 6
6 5
10 7
2 4
8 1
3 9
3 5
10 6
15 11
4 16
12 3
12 13
5 16
14 6
12 15
4 16
16 1
4 17
5 15
18 4
16 19
2 4
20 3
12 Data bangkitan awal
Universitas Sumatera utara
Tabel 3.2. Data 2
Hari ke Banyak
Nasabah Volume
Tabungan 1
3 3
2 1
14 3
2 6
4 4
4 5
3 6
6 5
10 7
2 4
8 1
3 9
3 5
10 6
15 11
4 16
12 3
12 13
5 16
14 6
12 15
4 16
16 1
4 17
5 15
18 4
16 19
2 4
20 3
12 Data bangkitan kedua
Universitas Sumatera utara
Tabel 3.3. Data 3
Hari ke Banyak
Nasabah Volume
Tabungan 1
3 3
2 1
5 3
2 6
4 4
4 5
3 6
6 5
10 7
2 4
8 1
3 9
3 5
10 6
15 11
4 16
12 3
12 13
5 16
14 6
3 15
4 16
16 1
4 17
5 15
18 4
16 19
2 4
20 3
12 Data bangkitan ketiga
Universitas Sumatera utara
Tabel 3.4. Data 4
Hari ke Banyak
Nasabah Volume
Tabungan 1
3 3
2 1
14 3
2 6
4 4
4 5
3 6
6 5
10 7
2 4
8 1
3 9
3 5
10 6
15 11
4 16
12 3
12 13
5 16
14 6
3 15
4 16
16 1
4 17
5 15
18 4
16 19
2 4
20 3
12 Bangkitan kombinasi data 2 dan data 3
Keterangan : X = Banyak nasabah yang menabung di hari ke-i
Y = Jumlah volume tabungan seluruh nasabah di hari ke-i ratus ribu
3.2. Pendeteksian outlier
