Bab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub

1

Bab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub

Persamaan Parametrik

Kurva-kurva yang berada dalam bidang datar dapat representasikan dalam bentuk persamaan parametrik. Dalam persamaan ini, setiap titik-titik pada kurva x dan y merupakan fungsi dari t. Variabel t dinamakan parameter. Secara singkat ditulis:

x = x (t) y = y (t)

Membuat Sketsa Kurva Persamaan parametrik

1. Gambarlah kurva persamaan parametrik: x = t, y = t2 untuk -4 ≤ t ≤ 4 Jawab

a. Pertama-tama kita buat tabel yang terdiri dari kolom t, x dan y. Kemudian plot nilai-nilai x terhadap y, untuk mempermudah dapat menggunakan perangkat lunak.

Tabel t, x dan y Kurva antara x dan y t x = t y = t2

-4 -4 16

-3 -3 9

-2 -2 4

-1 -1 1

0 0 0

1 1 1

2 2 4

3 3 9

4 4 16

Kurva yang dihasilkan berupa parabola.

2. Gambarlah kurva persamaan parametrik : x = 2cos t dan y = 2 sin t untuk 0 ≤ t ≤ 2

Pertama-tama kita buat tabel yang terdiri dari kolom t, x dan y. Hasilnya ditunjukkkan pada tabel dibawah ini

2 Tabel nilai t, x dan y

t x y t x y

0.00 3.0000 0.0000 3.36 -2.9287 -0.6500 0.12 2.9784 0.3591 3.48 -2.8299 -0.9960 0.24 2.9140 0.7131 3.60 -2.6903 -1.3276 0.36 2.8077 1.0568 3.72 -2.5120 -1.6401 0.48 2.6610 1.3853 3.84 -2.2976 -1.9290 0.60 2.4760 1.6939 3.96 -2.0502 -2.1902 0.72 2.2554 1.9782 4.08 -1.7732 -2.4199 0.84 2.0024 2.2339 4.20 -1.4708 -2.6147 0.96 1.7206 2.4576 4.32 -1.1472 -2.7720 1.08 1.4140 2.6459 4.44 -0.8071 -2.8894 1.20 1.0871 2.7961 4.56 -0.4554 -2.9652 1.32 0.7445 2.9061 4.68 -0.0971 -2.9984 1.44 0.3913 2.9744 4.80 0.2625 -2.9885 1.56 0.0324 2.9998 4.92 0.6184 -2.9356 1.68 -0.3270 2.9821 5.04 0.9653 -2.8404 1.80 -0.6816 2.9215 5.16 1.2984 -2.7045 1.92 -1.0264 2.8189 5.28 1.6129 -2.5296 2.04 -1.3565 2.6758 5.40 1.9041 -2.3183 2.16 -1.6671 2.4942 5.52 2.1679 -2.0737 2.28 -1.9537 2.2766 5.64 2.4006 -1.7992 2.40 -2.2122 2.0264 5.76 2.5987 -1.4989 2.52 -2.4389 1.7470 5.88 2.7594 -1.1771 2.64 -2.6305 1.4425 6.00 2.8805 -0.8382 2.76 -2.7842 1.1172 6.12 2.9601 -0.4874 2.88 -2.8979 0.7759 6.24 2.9972 -0.1295 3.00 -2.9700 0.4234 6.28 3.0000 -0.0096 3.12 -2.9993 0.0648 6.28 3.0000 0.0024 3.24 -2.9855 -0.2947

3

Dalam menyajikan data-data nilai t, buatlah selisih antara nilai t cukup kecil supaya diperoleh kurva yang smooth. Makin kecil, kurva makin smooth.

Kurva yang dihasilkan

Kurva yang dihasilkan berbentuk lingkaran.

3. Gambarlah kurva persamaan parametrik : x = cos t dan y = 2 sin 2t untuk 0 ≤ t ≤ 2

t x y t x y

0.00 0.000000 0.000000 3.60 -0.44252 0.793668 0.20 0.198669 0.389418 3.80 -0.61186 0.96792 0.40 0.389418 0.717356 4.00 -0.7568 0.989358 0.60 0.564642 0.932039 4.20 -0.87158 0.854599 0.80 0.717356 0.999574 4.40 -0.9516 0.584917 1.00 0.841471 0.909297 4.60 -0.99369 0.22289 1.20 0.932039 0.675463 4.80 -0.99616 -0.17433 1.40 0.98545 0.334988 5.00 -0.95892 -0.54402 1.60 0.999574 -0.05837 5.20 -0.88345 -0.82783 1.80 0.973848 -0.44252 5.40 -0.77276 -0.98094 2.00 0.909297 -0.7568 5.60 -0.63127 -0.97918 2.20 0.808496 -0.9516 5.80 -0.4646 -0.82283 2.40 0.675463 -0.99616 6.00 -0.27942 -0.53657 2.60 0.515501 -0.88345 6.20 -0.08309 -0.1656 2.80 0.334988 -0.63127 6.40 0.116549 0.23151 3.00 0.14112 -0.27942

3.20 -0.05837 0.116549 3.40 -0.25554 0.494113

4 Kurva yang dihasilkan:

Mengubah Persamaan Parametrik Menjadi Persamaan Kartesian 1. Ubahlah persamaan parametrik ke dalam bentuk kartesian

a. x = t - 1, y = t2

b. x = 2cos t dan y = 2 sin t Jawab

1. a. persamaan parametrik : x = t – 1  t = x + 1

y = t2  y = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 persamaan kartesian : y = x2 + 2x + 1

Ini adalah persamaan kuadrat, kurvanya berupa parabola b. persamaan parametrik : x = 2cos t dan y = 2 sin t

cos ₂ x

t sin 2 y t persamaan identitas: sin 2

t + cos2t = 1

2 2

1

2 2

y x

  _  _    

   

2 2

4 x  y 

Ini adalah persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 2 -1.5

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

X

5

Mengubah Persamaan Kartesian Menjadi Persamaan Parametrik 1. Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesian xy = 9 Jawab

Misalx3t

9

xy  3ty9 y 3 t

 

Jadi persamaan parametrik:x3t,y 3 t 

Catatan: bisa saja satu bentuk persamaan kartesian memiliki bentuk parametrik lebih dari satu. Coba pikirkan, kenapa?

2. Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesian y6x 1x2 Jawab

Misal x = sin

2

6sin 1 sin

y   

6sin cos

y





3sin 2

y



Jadi persamaan parametrik: x = sin, y = 3sin2 Atau

Misal x = cos

2

6cos 1 cos

y   

6cos sin

y





3sin 2

y



Jadi persamaan parametrik: x = cos, y = 3sin2

6 Jawab:

2 2

9x 16y 144

2 2

1 16 9

x _ y _

Bandingkan dengan cos

2_{ + sin}2_ = 1

2

2

cos 16

x _{ }

 x4cos



2 2

sin 9

y _{ }

 y3sin



Jadi persamaan parametrik: x = 4cos, y = 3sin Latihan

1. Gambarkan sketsa grafik persamaan parametrik berikut ini a. x = 2t, y = t + 4, -2 ≤ t ≤ 3

b. x = 3t – 1, y = 3t2 + 2, -4 ≤ t ≤ 4 c. x = 3t, y = t2-3 untuk-3 ≤ t ≤ 3 d. x = 3t2, y = t3 untuk-3 ≤ t ≤ 3 e. x t2 4_{, 1} 3

2

y t _{, untuk-3} ≤ t ≤ 3 f. x  t3 2t 4_, y t 1 _{, untuk-2} ≤ t ≤ 2 g. xt2_, y 1

t

 _{, untuk-3 ≤ t ≤} 3

h. x4sin_, y4cos



_{, untuk 0} ≤  ≤ 2 i. x5cos_, y3sin



_{, untuk 0} ≤  ≤ 2 j. xsec_, ytan



_{, untuk-3} ≤  ≤ 3

k. x = cost - 2cos2t, y = sint - 2cost sint, untuk -0 ≤ t ≤ 2 l. Persamaan Lemniscate Bernoulli

7

Untuk 0 ≤ t ≤ 2

m. x = 31cost - 7cos 31/7t, y = 17sin t – 7sin31/7t, untuk 0 ≤ t ≤ 14 n. x = 17cost + 7cos17/7t, y = 17sin t – 7sin17/7t, untuk 0 ≤ t ≤ 14

o. x = cost + 1/2cos7t + 1/3sin17t, y = sin t + 1/2 sin 7t + 1/3cos17t, untuk 0 ≤ t ≤ 2

2. Tentukanlah bentuk kartesian dari persamaan parametrik berikut ini a. x = t + 4, y = 1-2t

b. x = t + 1, y = t2 - 2

c. x 3 t

 _, y4t d. x = t2, y = t3 e. x = t2-1, y = t3 + 2

f. x = t2, y 2 t 

g. x 1 t t 

 _, y 1 t t  

h. x = 3cos, y = 4sin i. x = sin, y = cos2 j. x = 3cos, y = 5cos2 k. x = 3sec, y = 3tan

l. 1 1

t x

t  

 , 2 1

t y

t  



3. Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesian berikut ini

8 b. 2 1 x y x 

 , gunakan 1 + tan2 = sec 2_

c.

2

3 1 x

y

x



 _{, gunakan x = sin} atau x = 1/t

4., Sederhanakan x2y26x4y120 _{kedalam bentuk} (x)2 (y )2 1 kemudian ubah kedalam bentuk persamaan parametrik

5. Sederhanakan 9x24y218x16y430 _{kedalam bentuk}

2 2 2 2 ( ) ( ) 1 x y a b    _  _

kemudian ubah kedalam bentuk persamaan parametrik

6. Dengan mensubtitusi y = tx, tunjukkan bahwa persamaan kartesianx3y3 3xy _dapat dikonversi menjadi persamaan parametrik 3

1 t x t   , 2 3 3 1 t y t  

7. Ambil contoh kasus gerak parabola seperti di ilustrasikan, gerak ini dapat diuraikan menjadi dua komponen yaitu dalam arah x/horizontal dan dalam arah y/vertikal.

Berdasarkan konsep-konsep fisika, tentukan persamaan parametrik untuk menentukankedudukan x dan y.

x y

vo

9 SISTIM KOORDINAT KUTUB

Dalam bagian ini, kita akan mempelajari koordinat kutub dan hubungannya dengan koordinat kartesian. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif suatu titik terhadap sumbu polar dan titik kutub O (0,0). Titik pada koordinat kutub dinyatakan jari-jari dan sudut.

Dalam sistim koordinat polar titik asal O dinamakan kutub (pole) dan sumbu x dinamakan sumbu kutub (polar axis).

Setiap titik pada koordinat kartesius diperoleh dari perpotongan antara x dan y, sedangkan titik pada koordinat polar merupakan titik potong antara jari-jari lingkaran yang berpusat pada titik kutub dan garis arah sudut.

Sistim Koordinat Kartesian Sistim Koordinat Kutub P (r, )

O

 r

x

Koordinat kutub : P (r, )

r : jarak dari O ke P (arah dari O menuju P)  : sudut antara sumbu x dan garis OP

10 Koordinat Kutub

Sekarang kita belajar menyatakan posisi suatu titik dalam koordinat polar. Perhatikanlah beberapa contoh titik-titik dibawah ini

Dalam gambar diatas ada dua lingkaran yang kecil berjari-jari 2 dan yang besar berjari-jari 3. Dan juga terdapat dua garis lurus yang menunjukkan sudut diukur dari sumbu polar.

Titik A terdapat pada lingkaran kecil (r=2) dengan sudut /4 sehingga dapat dinyatakan A (2, /4)

Titik B terdapat pada lingkaran besar (r=3) dengan sudut /2 sehingga dapat dinyatakan B (3, /2). Coba lanjutkan untuk titik C, D, E dan F sebagai latihan.

Konversi koordinat kutub ke koordinat kartesius

P (r, )

O

 r

x y

x y

Kartesius ke Kutub Kutub ke Kartesius r2 = x2 + y2 x = r cos   = tan-1

(y/x) y = r sin y

x /4

3/4

5/4 _7/4

2 3 1

-1 -2 -3

3 2

1

-1 -2

-3

A B

C D

E

11 Contoh:

1. Ubahlah titik-titik dibawah ini ke bentuk kutub a. (-3,-4)

b. (5,- 7)

2. Ubahlah titik-titik dibawah ini ke bentuk kartesius a. (2, 1/3)

b. (-3, 4/3) Jawab

a. Dari titik (-3, -4) diperoleh x = -3 dan y = -4 r2 = x2 + y2

= (-3)2 + (-4)2 = 25

r = 5  = tan-1

(4/3) = 233o

 Kartesius: (-3, -4), kutub: (5, 233o )

b. Dari titik (5, -7) diperoleh x = -3 dan y = -4 r2 = x2 + y2

= (5)2 + (-7)2 = 25+ 49 = 71 r = 71  = tan-1

(-7/5) = 305,54o

Kartesius: (5, -7), kutub: ( 71 , 305,54o )

2. a. Dari titik (2, 1/3) diperoleh r = 2 dan  = 1/3 x = r cos 

= 2 cos1/3 = 2  1/2 = 1

12 y = r sin 

= 2 sin1/3 = 2  1/2 3 = 3

Kutub (2, 1/3_{), kartesius: (1, 3 )}

b. Dari titik (-3, 4/3) diperoleh r = -2 dan  = 4/3 x = r cos 

= -3 cos 4/3 = -3  (-1/2) = 3/2

y = r sin  = 2 sin 4/3 = -3  (-1/2 3 ) = 3/2 3

Kutub (-3, 4/3), kartesius: (3/2, 3/2 3 )

Dalam sistim koordinat kartesius, setiap titik dinyatakan oleh x dan y secara spesifik artinya titik berbeda, maka x dan y nya pun berbeda. Lain halnya dalam sistim koordinat kutub karena r punya arah dan nilai  punya acuan arah putar dan bersifat periodik sebesar 2 maka untuk titik yang sama dapat dinyatkan oleh r dan  yang berbeda-beda dengan jumlah representasi tak berhingga.

Perhatikanlah contoh berikut

x /4

2 3 1

-1 -2 -3

y

2 1

-1 -2

13 Dalam sistim kartesius: A (2, 2)

Dalam sistim kutub:

A (2 2 , /4), A (2 2 , /4 + 2), A (2 2 , /4 + 4),… A (2 2 , /4 + 2n) Boleh juga

A (2 2 , -7/4), A (2 2 , -7/4+2), A (2 2 , -7/4+4), …A (2 2 , -7/4+ 2n) Boleh juga

A (-2 2 , 5/4), A (-2 2 , 5/4+2), A (-2 2 , 5/4+4), … A (-2 2 , 5/4+ n2) Dengan n = 1, 2, 3,…

Mengkonversi persamaan kartesian ke kutub

1. Ubahlah persamaan berikut ke kutub y = 3x- 8

jawab

ingat: x = r cos dan y = r sin y = 3x- 8

r sin = 3r cos - 8 r sin - 3r cos = - 8 r (sin - 3 cos) = - 8

8 3cos sin

r

 





2. Ubahlah persamaan berikut ke kutub x2+ (y - 3)2 = 9

jawab

x2+ (y - 3)2 = 9 x2 + y2 - 6y + 9 = 9 x2 + y2- 6y = 0 r2– 6 r sin  = 0

14 r(r - 6 sin ) = 0

r - 6 sin  = 0 r = 6 sin 

Mengkonversi persamaan kutub ke kartesian 3. Ubahlah persamaan berikut ke kartesian r cos = -4

jawab r cos = -4 x = -4

4. Ubahlah persamaan berikut ke kartesian r2 = 4r cos

Jawab r2 = 4r cos x2 + y2 = 4x x2 -4x + y2 = 0 x2 -4x + 4 + y2 = 4 (x - 2)2 + y2 = 4

15 Membuat grafik pada sistim koordinat kutub

Buatlah grafik himpunan titik-titik koordinat polar dengan syarat-syarat berikut: a. r = 2

b. -2 ≤ r ≤ 3 c. r ≤ 0,  = 1/4 d. 1/4 ≤  ≤ 1/6 Jawab

Solusinya ditunjukkan pada gambar dibawah ini

Latihan

1. Manakah titik-titik koordinat polar berikut ini yang menunjukkan titik yang sama x

2 3 1 -1 -2 -3 y 2 1 -1 -2 x 2 3

1 -1 -2 -3 y 2 1 -1 -2 -3 -3 a. b. x /4

2 ₃ 1 -1 -2 -3 y 2 1 -1 -2 x /4

2 3 1 -1 -2 -3 y 2 1 -1 -2 /6

16 a. (3, 0)

b. (-3, 0) c. (2, 2/3) d. (2, 7/3) e. (-3,) f. (2, /3) g. (-3, 2) h. (-2, -/3)

2. Plot titik-titik koordinat polar berikut ini a. (1, /6)

b. (-1, /6) c. (2, /6) d. (3, /6) e. (2, /4) f. (2, -/4) g. (3, 5/6) h. (-3, 10/4)

3. Konversi koordinat kartesius dibawah ini menjadi koordinat polar a. (3, 4)

b. (-2, 3 ) c. (1, -2) d. (10, - 2 ) e. (-5, 7) f. (-6, -4 3 ) g. (-8, 6) h. (12, -5)

4. Konversi koordinat polar dibawah ini menjadi koordinat kartesius a. ( 2 , /4)

17 b. (0, /2)

c. (-3, 2/3) d. (- 7 , 5/6) e. ( 2 3 , -/4) f. ( 2 , /4) g. (0, /2) h. (-3, 2/3)

5. Buatlah grafik dari himpunan titik-titik koordinat polar yang memenuhi syarat berikut ini a. r = 4

b.  = 2/3, r ≤ -2 c.  = /3, -1 ≤ r ≤ 3 d. r = 2, 0 ≤  ≤  e. 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤  ≤ /2 f. -3 ≤ r ≤ 2,  = /4 g. r ≤ 0,  = /4 h. 2/3 ≤ r ≤ 5/6

6. Konversi persamaan polar berikut ini menjadi persamaan kartesius a. r cos  = 4

b. r sin  = -5

c. r cos  + r sin  = 1 d. r = cot  csc  e. r = 2cos  + 2 sin  f. r2 + r2cos  sin  = 1 g. r2 sin 2 = 2

h. r = 2cos  - sin 

18 a. x = 7

b. x - y = 3 c. y = 5 d. x y= 2 e. x2 + y2 = 5 f. x2 - y2 = 1 g. x2 + xy + y2 = 1

13 Dalam sistim kartesius: A (2, 2)

Dalam sistim kutub:

A (2 2 , /4), A (2 2 , /4 + 2), A (2 2 , /4 + 4),… A (2 2 , /4 + 2n) Boleh juga

A (2 2 , -7/4), A (2 2 , -7/4+2), A (2 2 , -7/4+4), …A (2 2 , -7/4+ 2n) Boleh juga

A (-2 2 , 5/4), A (-2 2 , 5/4+2), A (-2 2 , 5/4+4), … A (-2 2 , 5/4+ n2) Dengan n = 1, 2, 3,…

Mengkonversi persamaan kartesian ke kutub

1. Ubahlah persamaan berikut ke kutub y = 3x- 8

jawab

ingat: x = r cos dan y = r sin y = 3x- 8

r sin = 3r cos - 8 r sin - 3r cos = - 8 r (sin - 3 cos) = - 8

8

3cos sin

r

 





2. Ubahlah persamaan berikut ke kutub x2+ (y - 3)2 = 9

jawab

x2+ (y - 3)2 = 9 x2 + y2 - 6y + 9 = 9 x2 + y2- 6y = 0 r2– 6 r sin  = 0

14 r(r - 6 sin ) = 0

r - 6 sin  = 0 r = 6 sin 

Mengkonversi persamaan kutub ke kartesian

3. Ubahlah persamaan berikut ke kartesian r cos = -4

jawab r cos = -4 x = -4

4. Ubahlah persamaan berikut ke kartesian r2 = 4r cos

Jawab r2 = 4r cos x2 + y2 = 4x x2 -4x + y2 = 0 x2 -4x + 4 + y2 = 4 (x - 2)2 + y2 = 4

15

Membuat grafik pada sistim koordinat kutub

Buatlah grafik himpunan titik-titik koordinat polar dengan syarat-syarat berikut: a. r = 2

b. -2 ≤ r ≤ 3 c. r ≤ 0,  = 1/4 d. 1/4 ≤  ≤ 1/6 Jawab

Solusinya ditunjukkan pada gambar dibawah ini

Latihan

1. Manakah titik-titik koordinat polar berikut ini yang menunjukkan titik yang sama x

2 3

1 -1 -2 -3 y 2 1 -1 -2 x

2 3

1 -1 -2 -3 y 2 1 -1 -2 -3 -3 a. b. x /4

2 ₃

1 -1 -2 -3 y 2 1 -1 -2 x /4

2 3

1 -1 -2 -3 y 2 1 -1 -2 /6

16 a. (3, 0)

b. (-3, 0) c. (2, 2/3) d. (2, 7/3) e. (-3,) f. (2, /3) g. (-3, 2) h. (-2, -/3)

2. Plot titik-titik koordinat polar berikut ini a. (1, /6)

b. (-1, /6) c. (2, /6) d. (3, /6) e. (2, /4) f. (2, -/4) g. (3, 5/6) h. (-3, 10/4)

3. Konversi koordinat kartesius dibawah ini menjadi koordinat polar a. (3, 4)

b. (-2, 3 ) c. (1, -2) d. (10, - 2 ) e. (-5, 7) f. (-6, -4 3 ) g. (-8, 6) h. (12, -5)

4. Konversi koordinat polar dibawah ini menjadi koordinat kartesius a. ( 2 , /4)

17 b. (0, /2)

c. (-3, 2/3) d. (- 7 , 5/6) e. ( 2 3 , -/4) f. ( 2 , /4) g. (0, /2) h. (-3, 2/3)

5. Buatlah grafik dari himpunan titik-titik koordinat polar yang memenuhi syarat berikut ini a. r = 4

b.  = 2/3, r ≤ -2 c.  = /3, -1 ≤ r ≤ 3 d. r = 2, 0 ≤  ≤  e. 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤  ≤ /2 f. -3 ≤ r ≤ 2,  = /4 g. r ≤ 0,  = /4 h. 2/3 ≤ r ≤ 5/6

6. Konversi persamaan polar berikut ini menjadi persamaan kartesius a. r cos  = 4

b. r sin  = -5

c. r cos  + r sin  = 1 d. r = cot  csc  e. r = 2cos  + 2 sin  f. r2 + r2cos  sin  = 1 g. r2 sin 2 = 2

h. r = 2cos  - sin 

18 a. x = 7

b. x - y = 3 c. y = 5 d. x y= 2 e. x2 + y2 = 5 f. x2 - y2 = 1 g. x2 + xy + y2 = 1