ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI EXPONENTIATED EKSPONENSIAL PADA DATA TERSENSOR TIPE II SKRIPSI

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI EXPONENTIATED EKSPONENSIAL PADA DATA TERSENSOR TIPE II SKRIPSI

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI EXPONENTIATED EKSPONENSIAL PADA DATA TERSENSOR TIPE II SKRIPSI Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika di Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga Oleh : AHMAD ZUDA KUMALA SANI NIM. 080810246 Tanggal Lulus : 13 Juli 2012 Disetujui Oleh : Pembimbing I Pembimbing II Toha Saifudin, S.Si, M.Si Drs. Eko Tjahjono, M.Si. NIP. 197501061999031002 NIP. 19600706 1986011001

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI Judul : ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI

EXPONENTIATED EKSPONENSIAL PADA DATA TERSENSOR TIPE II Penyusun : AHMAD ZUDA KUMALA SANI NIM : 080810246 Tanggal Ujian : 13 Juli 2012 Disetujui oleh : Pembimbing I Pembimbing II Toha Saifudin, S.Si, M.Si Drs. Eko Tjahjono, M.Si NIP. 197501061999031002 NIP. 196007061986011001 Mengetahui : Ketua Program Studi S1-Matematika Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga Dr. Miswanto, M. Si NIP : 196802041993031002

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seijin penyusun dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah.

Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulillah kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat-Nya, sehingga penyusun dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul

Estimasi Parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial Pada Data Tersensor Tipe II .

Dalam penyusunannya, penyusun memperoleh banyak bantuan dari berbagai pihak, karena itu penyusun mengucapkan terima kasih yang sebesar- besarnya kepada : 1. Kedua orang tua tercinta, M. Imam Sya’roni dan Ningsih, serta kakakku A. Z.

Hakam S yang telah memberikan dukungan, kasih sayang, harapan dan kepercayaan yang begitu besar.

2. Toha Saifudin, S.Si, M.Si. dan Drs. Eko Tjahjono, M.Si selaku dosen pembimbing I dan II yang telah memberikan banyak arahan, masukan, perhatian, semangat, rasa sabar yang begitu besar dan pengetahuan yang tidak ternilai harganya.

3. Drs. H.Sediono, M.Si. dan Dr. Miswanto, M.Si. selaku dosen penguji I dan II yang telah banyak memberikan arahan dan masukan.

4. Ahmadin, S.Si, M.Si. selaku dosen wali selama menjadi mahasiswa Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga yang telah banyak memberikan arahan dan saran demi kesuksesan menjadi mahasiswa Matematika.

5. Mas Edi, mas Udin, mas Aziz, mas Koni, Pak Budi yang telah membantu memperlancar keperluan di kampus. ii

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

6. Ardi Wahyu As’ari. yang telah banyak memberikan semangat dan motivasi.

Terima kasih buat kesabaran, perhatian, ketulusan, dan kasih sayangnya.

7. Sahabatku Putu, Meta, Lina, Arifah, Varian, Mbah Uti, Vidong, Nasrul, Zaki, Andika, Syafiq, Harun, Yani yang banyak memberikan support .

8. Teman-teman matematika 2008 atas kekompakan dan rasa kekeluargaan yang begitu hangat.

9. Serta pihak-pihak lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu, terima kasih atas segala bantuan dalam penyelesaian skripsi ini.

Penyusun menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih banyak kekurangan, untuk itu mohon kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan skripsi ini.

Akhir kata, penyusun berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca.

Surabaya, Juli 2012 Penyusun iii

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

_{tersensor tipe II.} A Zuda Kumala Sani, 2012. Estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data Skripsi ini dibawah bimbingan Toha Saifudin,S.Si,M.Si dan Drs. Eko Tjahjono, M.Si. Departeman Matematika.Fakultas Sains dan Teknologi, Unversitas Airlangga.

ABSTRAK Dalam skripsi ini, akan dibahas tentang distribusi Exponentiated Eksponensial yaitu bentuk umum dari distribusi Eksponensial satu parameter dan akan diterapkan pada data tersensor tipe II yaitu salah satu dari metode penyensoran berdasarkan kegagalan.

Penulisan skripsi ini bertujuan untuk menentukan penduga yang lebih baik untuk parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II. Proses estimasi ini menggunakan metode Maximum Likelihood dan Ordinary Least Square (OLS) untuk memperoleh penduga titiknya.

Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II memiliki bentuk fungsi Distribusi sebagai berikut : Dengan adalah parameter bentuk, adalah parameter skala dan merupakan data tersensor tipe II yaitu data sampai r kegagalan. Estimasi parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Maximum Likelihood dan OLS tidak dapat diselesaikan secara analitis karena penduga yang didapatkan masih dalam bentuk implisit. Sehingga diperlukan suatu metode numerik untuk menyelesaikannya, salah satunya yang digunakan dalam skripsi ini yaitu metode Newton-Raphson.

Penentuan penduga yang lebih baik dalam data ini menggunakan kriteria MSE dengan nilai yang paling kecil. Setelah dilakukan percobaan pada 16 data bangkitan dan pada data pasien Leukimia diperoleh bahwa metode Ordinary Least Square (OLS) yang lebih baik. Pada data bangkitan, nilai rata-rata MSE untuk metode Ordinary Least Square (OLS) = 0.003513 dan nilai rata-rata MSE untuk metode Maximum Likelihood = .041272. Prosentase urutan nilai MSE terkecil untuk metode Ordinary Least Square (OLS) sebesar 87,5 % sedangkan untuk metode Maximum Likelihood sebesar 12,5 %. Kemudian pada data pasien Leukimia didapatkan nilai MSE untuk metode Ordinary Least Square (OLS) = 0.09842778 dan nilai MSE untuk metode Maximum Likelihood = 0.3210319.

Kata kunci : Distribusi Exponentiated Eksponensial, data uji hidup tersensor tipe II, metode Ordinary Least square, Metode Maximum Likelihood, Metode Newton-Raphson, Mean Square Error (MSE).

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

_{Censored Data Type II.}

A Zuda Kumala Sani, 2012. Parameter Estimation Exponentiated Exponential Distribution on

. This final project was supervised by Toha Saifudiin, S, Si, M. Si and Drs. Eko Tjahjono, M.Si., Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, University of Airlangga, Surabaya.

ABSTRACT In this undergraduate theses, we discuss about Exponentiated Exponential distribution which is the general form of an exponential distribution with one parameter and we will apply to censored data type II which is one of the censoring methods based on the failure.

The writing undergraduate theses purposes to determine the better estimation method for parameter of exponentiated exponential distribution on censored data type II. The estimation process uses Maximum Likelihood method and Ordinary Least Square (OLS) to obtain the point estimator.

Exponentiated exponential distribution on censored data type II has the form of distribution function is given: where is the shape parameter, λ is the scale parameter, and t is data censored type II with r failures data. Parameter estimation of exponentiated exponential distribution on censored data type II with MLE and OLS cannot be solve analytically because the estimator is still implicit form. Therefore we need a numeric method to solve and this final project uses Newton-Raphson method to find numeric solution.

To determine is better estimation methods on data uses MSE criteria with the smallest value. After doing test with16 generate data and leukemia patient, we can know that method Ordinary Least Square (OLS) is better. On generate data, the average value of ordinary least square (OLS) =0.003153 and the average value of maximum likelihood estimator (MLE) = 0.041272. Percentage of MSE rank values for the method of Ordinary Least Square (OLS) was 87.5% while for the MLE method by 12.5%. Then on leukemia patient data the value MSE of ordinary least square (OLS) =0.09842778 and the value of maximum likelihood estimator (MLE) = 0.3210319.

Keyword: Exponetiated exponential distribution, lifetime data for censored type II, Ordinary Least Square (OLS), Maximum Likelihood Estimator (MLE), Newton-Raphson, Mean square error

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

DAFTAR ISI Halaman

KATA PENGANTAR ............................................................................................ ii ABSTRAK ............................................................................................................. iv ABSTRACT ............................................................................................................ v DAFTAR ISI .......................................................................................................... vi DAFTAR TABEL ................................................................................................ viii DAFTAR LAMPIRAN .......................................................................................... ix

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1

1.1 Latar Belakang ................................................................................. 1

1.2 Rumusan Masalah ............................................................................ 3

1.3 Tujuan .............................................................................................. 4

1.4 Manfaat ............................................................................................ 4

1.5 Batasan Masalah............................................................................... 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ........................................................................... 6

2.1 Distribusi Exponentiated Eksponensial............................................ 6

2.2 Estimasi Titik ................................................................................... 6

2.3 Metode Maximum Likelihood .......................................................... 7

2.4 Metode Ordinary Least Square ........................................................ 7

2.5 Analisis Data Uji Hidup ................................................................... 8

2.6 Fungsi Survival ............................................................................... 8

2.7 Tipe Penyensoran ............................................................................. 9

2.8 Mean Square Error ........................................................................ 10

Raphson ..................................................................... 12

2.9 Metode Newton

2.10 Uji Goodness of Fit Kolmogorov – Smirnov ................................. 13

2.11 Estimasi Kaplan-Meier................................................................... 14

2.12 Keluarga Eksponensial dari Probability Density Function ............ 15

S-Plus 2000 ............................................................................................. 16

2.13 BAB III METODE PENULISAN ......................................................................... 18

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................... 22

4.1 PDF (Probability Density Function) dan CDF (Cumulative

Density Function

) Distribusi Exponentiated Eksponensial............ 22 vi

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

4.2 Estimasi Parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Maximum

Likelihood

....................................................................................... 24

4.3 Estimasi Parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada Data Tersensor Tipe II dengan Ordinary Least

Square (OLS)

.................................................................................. 29

Exponentiated

4.4 Membangkitkan Data Distribusi Eksponensial .................................................................................. 32

4.5 Menentukan nilai awal Penduga Distribusi Exponentiated Eksponensial .................................................................................. 33

4.6 Algoritma Progam .......................................................................... 33

4.6.1 Algoritma untuk membangkitkan r data dari n data berdistribusi Exponentiated Eksponensial ........................... 33

4.6.2 Algoritma untuk menentukan penduga dengan metode Maximum Likelihood ...........................................................

4.6.3 Algoritma untuk menentukan penduga dengan metode

Ordinary Least Square

....................................................... 35

4.6.4 Algoritma untuk menentukan nilai Mean Square

Error

(MSE) ........................................................................ 36

4.6.5 Algoritma untuk uji Goodness of fit Kolmogorov Smirnov ............................................................................... 37

4.6.6 Implementasi Algoritma ke Progam Komputer ................... 38

4.7 Penerapan pada Data Tahan Hidup Tersensor Tipe II ................... 39

4.7.1 Penerapan pada Data Simulasi ............................................ 39

4.7.2 Penerapan pada Data Pasien Leukimia ................................ 44

BAB V PENUTUP ............................................................................................... 48

5.1 Kesimpulan .................................................................................... 48

5.2 Saran ............................................................................................... 50 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ 51 LAMPIRAN vii

viii

4.3 Data pasien Leukimia yang masih bertahan

4.5 Tabel perhitungan uji Kolmogorov-Smirnov

(OLS)

Square

4.4 Hasil penduga dan nilai MSE pada data pasien leukemia dengan metode Maximum Likelihood dan Ordinary Least

DAFTAR TABEL Nomor Judul Halaman

4.2 Perbandingan nilai Mean Square Error

(OLS)

Ordinary Least Square

dengan metode Maximum Likelihood dan

Mean Square Error

4.1 Nilai parameter nilai penduga parameter ( , ) dan nilai

46 ^{ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga}

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

DAFTAR LAMPIRAN Judul Lampiran

Lampiran 1

1. Progam 1 Progam untuk membangkitkan data ke-r dari n data berdistribusi Exponentiated Eksponensial

2. Progam 2 Progam untuk mendapatkan nilai penduga distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Maximum Likelihood a. Progam 2.1 Progam matriks turunan pertama distribusi Exponentiated

Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode

Maximum Likelihood

b. Progam 2.2 Progam matriks jacobian distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode

Maximum Likelihood

3. Progam 3 Progam untuk mendapatkan nilai penduga distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode OLS c. Progam 3.1 Progam matriks turunan pertama distribusi Exponentiated

Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode OLS

d. Progam 3.2 Progam matriks jacobian distribusi Exponentiated ix x Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode

OLS

4. Progam 4 Progam utama untuk menentukan nilai Mean Square Error dari metode Maximum Likelihood dan metode OLS

5. Progam 5 Progam utama untuk menentukan nilai Mean Square Error dari metode Maximum Likelihood dan metode OLS pada data pasien Leukimia

Lampiran 2

1. Output Progam ^{ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga}

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Perkembangan ilmu pengetahuan yang disertai dengan meningkatnya kebutuhan hidup manusia , kemajuan teknologi yang berkembang pesat dan persaingan ditingkat global yang semakin meningkat, sehingga itu semua menuntut industri-industri dalam negeri harus memiliki keunggulan komparatif.

Diantara keunggulan-keunggulan tersebut adalah kualitas dan keandalan suatu produk hasil sebuah produksi. Untuk menilai tingkat kualitas dari produknya, maka diperlukan suatu penelitian. Untuk menguji serta mengetahui kualitas dan keandalan suatu produk hasil industri, maka diperlukan analisis tentang data uji hidup.

Analisis data uji hidup merupakan analisis statistik yang menyelidiki tentang waktu tahan hidup suatu individu atau benda pada keadaan operasional tertentu, yang telah banyak dikembangkan menjadi topik yang sangat penting bagi para ilmuwan dalam banyak bidang. Diantaranya dalam bidang teknik, kedokteran dan bahkan dalam bidang psikologi.

Pada pengujian data uji hidup, jika semua unit eksperimen diobservasi sampai semuanya mati maka akan diperoleh sampel lengkap. Keuntungan menggunakan metode seperti ini adalah dapat dihasilkan observasi terurut dari semua komponen yang diuji. Akan tetapi metode ini juga mempunyai kerugian yaitu memerlukan waktu yang lama dan biaya yang besar. Maka dari itu untuk

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

menghemat waktu dan biaya dilakukan metode penyensoran, yaitu jika hanya sebagian unit eksperimen diamati, sehingga diperoleh sampel tersensor (Lawless,

1982).

Salah satu tipe sampel penyensoran adalah tipe sampel tersensor tipe II. Suatu sampel dikatakan tersensor tipe II jika penelitian dihentikan setelah kegagalan ke-r telah diperoleh. Misalkan adalah observasi terurut dari n sampel dengan pdf ƒ dan fungsi survival S dan waktu sensor L . Penelitian dikatakan telah selesai jika kegagalan ke-r telah tercapai .Adapun pdf bersama dari adalah g dengan distribusi yang digunakan adalah Distribusi Exponentiated Eksponensial.

Distribusi Exponentiated Eksponensial ini pertama kali dikenalkan oleh

Gupta dan Kundu (1999) Sebuah Variabel acak dikatakan mempunyai

Distribusi Exponentiated eksponensial jika probabilitas density function (pdf) : (2.1) dan

Cumulative Distribution Function

(CDF) : (2.2)

, > 0 dan > 0 Dengan : parameter bentuk

: parameter skala Kelebihan dari Distribusi ini menurut Gupta dan Kundu (1999) adalah memiliki fungsi yang fleksibel yaitu dapat menganalisis sampel yang berbentuk

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

distribusi eksponensial satu parameter, distribusi weibull 2 parameter, dan fungsi hazradnya memiliki bentuk yang tidak konstan sehingga tidak sama dengan distribusi eksponensial 1 parameter yang berbentuk konstan menyebabkan fungsi hazradnya logis. Dalam penerapannya pada data riil menggunakan data waktu tahan hidup pasien Leukimia dan pada data simulasi.

Untuk memperoleh kesimpulan dari suatu penelitian, diperlukan inferensi secara statistik. Inferensi statistik merupakan suatu metode yang digunakan dalam penarikan kesimpulan terhadap suatu parameter populasi. Penentuan inferensi statistik secara garis besar meliputi estimasi parameter dan pengujian hipotesis parameter. Salah satu penduga yang digunakan untuk melakukan inferensi parameter populasi adalah Metode Maximum Likelihood dan metode Ordinary

Least Square

(OLS) yang kemudian dibandingkan hasilnya berdasarkan indikator

Mean Square Error

(MSE) . Penduga yang memiliki MSE paling kecil atau minimum merupakan penduga yang lebih baik karena MSE nilainya tidak mungkin sama dengan nol sebab secara teoritis nilai kumulatif parametrik dan nilai kumulatif empiris tidak mungkin sama.

1.2 Rumusan Masalah

1. Bagaimana bentuk penduga parameter-parameter Distribusi

Exponentiated

Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan Metode

Maximum

Likelihood dan Metode Ordinary Least Square (OLS) ?

2. Bagaimana membandingkan kedua penduga pada data tersensor tipe II secara simulasi dengan menggunakan kriteria MSE?

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

3. Bagaimana menerapkan kedua penduga pada data tersensor tipe II pada data pasien Leukimia?

1.3 Tujuan

1. Mendapatkan bentuk penduga parameter-parameter Distribusi

Exponentiated

Exponensial pada data tersensor tipe II dengan menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Ordinary Least

Square

2. Membandingkan kedua penduga pada data tersensor tipe II secara simulasi dengan menggunakan kriteria MSE.

3. Menerapakan hasil kedua penduga pada data tersensor tipe II pada data pasien Leukimia

1.4 Manfaat

1. Mengetahui estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data Tersensor Tipe II

2. Mengetahui penduga yang lebih baik bagi Parameter distribusi

Exponentiated

Eksponensial pada data tersensor Tipe II

1. 5 Batasan Masalah

1. Penduga parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II yang digunakan adalah metode Maximum Likelihood dan

Ordinary Least Square (OLS).

2. Data yang diterapkan dalam penelitian ini adalah data tahan hidup tersensor tipe II yang berasal dari distribusi Exponentiated Eksponensial.

3. Estimasi yang di bahas hanya sampai estimasi titik. ^{ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga}

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Distribusi Exponentiated Eksponensial

Variabel acak dikatakan mempunyai Distribusi Exponentiated Eksponensial jika Probabilitas Density Function (PDF) :

(2.1) dan

Cumulative Distribution Function

(CDF) : (2.2) dengan : parameter bentuk yaitu jenis khusus dari parameter numerik yang menunjukkan bentuk dari kurva. : parameter skala yaitu jenis khusus dari parameter numerik yang menunjukkan besarnya distribusi data.

(Gupta dan Kundu, 1999)

2.2 Estimasi Titik

Jika terdapat nilai dari beberapa statistik yang mewakili atau mengestimasi parameter yang tidak diketahui, maka setiap statistik disebut estimator titik .

( Graybill, et.al,1963)

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

2.3 Metode Maximum Likelihood

Misal merupakan sampel acak dari suatu distribusi dengan

Probabilitas Density Function

(PDF) , untuk . Probabilitas Density

Function

(PDF) bersama antara adalah Jika Probabilitas Density Function (PDF) bersama tersebut dinyatakan sebagai fungsi terhadap maka dinamakan fungsi

Likelihood

yang dinotasikan L atau ditulis : dengan (2.3)

( Hogg and Craig, 1995b )

Jika statistik memaksimumkan fungsi likelihood , maka statistik dinamakan

Maximum Likelihood Estimator (MLE) dari .

(Hogg dan Craig, 1995)

2.4 Metode Ordinary Least Square

Misalkan adalah sampel acak berukuran n dari fungsi distribusi F(.) dan mewakili sampel terurut, Cumulative Distribution

Function

(CDF) parametrik dari distribusi F(.) adalah F( ). dan Cumulative

Distribution Function

(CDF) empirisnya adalah *( ). Dengan *( ) adalah . Kita ketahui bahwa antara Cumulative Distribution Function (CDF) parametrik dan Cumulative Distribution Function (CDF) empirisnya pasti ada perbedaan yang di notasikan sebagai error jadi *( ).

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

Prinsip dari metode Ordinary Least Square adalah untuk meminimumkan jumlah kuadrat error-nya. Jadi, Menurut Gupta Dan Kundu (2000) penduga Ordinary

Least Square

didapatkan dengan cara meminimalkan (2.4)

2.5 Analisis Data Uji Hidup

Analisis statistik yang sering disebut analisis data uji hidup merupakan penyelidikan tentang waktu tahan hidup suatu benda atau individu pada keadaan operasional tertentu.

(Lawless,1982)

2.6 Fungsi Survival

Fungsi survival didefinisikan sebagai probabilitas bahwa suatu individu atau benda akan bertahan sampai waktu tertentu dan dirumuskan sebagai berikut: (2.5)

(Lawless,1982)

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

2.7 Tipe Penyensoran Untuk mendapatkan data uji hidup biasanya dilakukan suatu eksperimen.

Pada suatu eksperimen terdapat beberapa metode yang dapat dilakukan sehingga macam data yang dihasilkan juga berbeda dari satu metode ke metode yang lainnya. perbedaan analisis data uji hidup dari bidang statistik lainnya adalah penyensoran.

Menurut (Lawless, 1982) Ada tiga macam metode yang sering digunakan dalam eksperimen uji hidup, yaitu :

1. Sampel Lengkap

Pada uji sampel lengkap, eksperimen akan dihentikan jika semua benda atau individu yang diuji telah mati atau gagal. Langkah seperti ini mempunyai keuntungan yaitu dihasikannya observasi terurut dari semua benda atau individu yang diuji

2. Sampel Tersensor Tipe 1

Dalam sampel tersensor tipe 1, percobaan uji hidup akan dihentikan jika telah tercapai waktu tertentu (waktu penyensoran). Misalkan adalah sampel acak dari distribusi uji hidup dengan fungsi kepadatan peluang

, fungsi survival dan waktu sensor untuk semua adalah dengan i = 1,2,…,n Suatu komponen dikatakan terobservasi jika dan observasi dilakukan hanya pada . Sehingga variabel yang menunjukkan bahwa komponen telah mati adalah

1 , jika = 0 , jika adalah indikator apakah tersensor atau tidak. Jika maka terobservasi dan jika maka tersensor.

3. Sampel Tersensor Tipe 2

Pada uji ini, suatu sampel dikatakan tersensor tipe II apabila penelitian dihentikan setelah kegagalan ke-r telah diperoleh. Misalkan adalah observasi terurut dari n sampel sampai dengan pdf ƒ dan fungsi

survival

S dan waktu Penelitian dikatakan telah selesai jka kegagalan ke telah tercapai . Adapun pdf bersama dari adalah g (2.6) sedangkan fungsi likelihoodnya

(2.7)

2.8 Mean Square Error Definisi 2.2

Dalam statistik, kesalahan kuadrat rata-rata (MSE) dari penduga adalah satu dari banyak cara untuk mengukur perbedaan antara nilai-nilai dari penduga dan nilai sebenarnya dari jumlah yang diperkirakan. MSE merupakan dua momen dari error yaitu menggabungkan varians penduganya dan penduga biasnya.

Untuk penduga yang tak bias, MSE adalah varian. Seperti halnya varian, MSE ^{ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga}

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

memiliki satuan ukuran yang sama dengan jumlah kuadrat yang di estimasi. Semakain kecil nilai MSE nya maka semakin bagus nilai penduga yang diperoleh karena mendekati nilai yang diobservasi dan juga sebaliknya.

MSE dari penduga dari estimasi parameter didefinisikan MSE merupakan jumlah dari varian dari parameter dan kuadrat dari penduga biasnya Jika penduganya unbiased atau bias maka MSE dapat didefinisikan sebagai varian sehingga

(Graybill,et.al,1963)

Jika merupakan penduga dari fungsi distribusi kumulatif , maka menurut Al Fawzan (2000) rumus Mean Square Error dapat dinyatakan sebagai berikut :

(2.8) dengan merupakan fungsi distribusi kumulatif empiris.

Apabila parameter populasi diketahui, maka merupakan fungsi distribusi kumulatif parametrik .

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

2.9 Metode Newton-Raphson

Misalkan

dan adalah tiga persamaan dengan yang tidak diketahui. Langkah-langkah dalam metode Newton-Raphson, sebagai berikut :

1. Asumsikan diketahui sebagai solusi awal atau solusi perkiraan dari sistem tiga persamaan nonlinier dengan tiga variabel yang tidak diketahui :

2. Menentukan jacobian tiga persamaan tersebut

3. Dengan ekspansi Taylor, diperoleh : Jacobian J( ) = -g( )

= - Kemudian mencari nilai : g( ) dengan

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

4. Misal perkiraan diketahui, dimana Untuk , dilakukan iterasi dimulai dengan dan k bertambah satu tiap satu kali untuk barisan iterasi sehingga dengan Sebagai perkiraan yang lebih baik dari perkiraan sebelumnya.

5. Menghentikan proses iterasi ketika diperoleh max , dimana dan error adalah bilangan positif yang sangat kecil.

(Lawless, 1982)

2.10 Uji Goodness of fit Kolmogorov –Smirnov

Uji Goodness of fit Kolmogorov –Smirnov adalah sebuah metode untuk uji kesesuaian distribusi sebuah sampel random yang belum diketahui distribusinya.

Misalkan adalah sampel acak berukuran n yang diambil dari populasi yang tidak diketahui distribusinya

1. Hipotesis misalkan merupakan fungsi distribusi yang dibutuhkan untuk semua t dari sampai untuk salah satu nilai

2. Statistik Test Misalkan adalah fungsi distribusi empiris berdasarkan sampel acak

. diberikan test statistik merupakan nilai terbesar

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

(dinotasikan “sup” atau supremum) jarak antara dan atau dapat ditulis (2.9)

Dengan T sama dengan supremum, untuk semua dan nilai mutlak untuk setiap yang berbeda Setelah ditemukan nilai statistik test T maka langkah selanjutnya dibandingkan dengan Tabel Kolmogorov-Smirnov dengan tingkat signifikan 1- . Apabila nilai statistik test T < tabel Kolmogorov-Smirnov maka terima dan sebaliknya.

(W.J Conover, 1980)

2.11 Estimasi Kaplan-Meier

Cara yang digunakan untuk menggambarkan survival dari sampel acak yaitu menggambarkan grafik fungsi survival atau fungsi distribusi empiris dengan cara estimasi Kaplan-Meier. Selain itu juga memberikan estimasi distribusi secara nonparametrik.

Diberikan yang menyatakan sampel random tersensor, dengan merupakan data terobservasi dan merupakan data tersensor.

Misalkan terdapat dengan waktu yang berbeda , yang menyatakan banyaknya data yang terobesvasi. Kemungkian terjadinya satu atau lebih event yang terobservasi dinotasikan sebagai atau

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

menyatakan banyaknya event terobservasi pada saat . Estimasi dari dapat didefinisikan sebagai berikut :

(2.10)

dengan merupakan banyaknya individu yang beresiko pada saat dengan kata lain banyaknya individu yang belum mengalami kejadian atau

event dan tidak tersensor sebelum pada saat .

(Lawless, 1982)

2.12 Keluarga Eksponensial dari Probabilitas Density Function

Suatu Keluarga besar dari p.d.f yang bergantung pada parameter yang bernilai real adalah bentuknya sebagai berikut : (2.11)

Dengan dan , merupakan himpunan positif dari yang independen dari .

Untuk kasus kontinu. Jika i.i.d dengan p.d.f seperti diatas maka p.d.f bersama dari t adalah sebagai berikut :

(Roussas,1973)

2.13 S-PLUS 2000

Dalam (Everitt, 1994) disebutkan bahwa S-Plus adalah suatu paket progam yang memungkinkan membuat progam sendiri walaupun di dalamnya sudah tersedia banyak progam internal yang siap di gunakan . Kelebihan dari progam ini adalah baik progam internal maupun progam yang pernah dibuat digunakan sebagai subprogram dari progam yang akan dibuat. Beberapa perintah internal yang digunakan dalam S-Plus

a. function Function(…) digunakan untuk menunjukkan fungsi yang akan digunakan dalam progam.

Bentuknya adalah :function (…)

b. length Length(…) digunakan untuk menunjukkan banyaknya data.

Bentuknya ada lah :length (….)

c. for(I in 1: n) Untuk melakukan pengulangan sebanyak n kali

Bentuknya adalah : for(i in 1:n)

d. sort Untuk mengurutkan data dari terkecil sampai ke terbesar

Bentuknya adalah : sort (…)

e. matrix(a,b,c) Untuk membentuk sebuah matrik yang anggotanya a dengan jumlah baris sebanyak b dan jumlah kolom sebanyak c. ^{ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga}

Bentuknya adalah : matrix (….,…,…)

f. rep (a,b) Untuk membentuk sebuah vektor yang anggotanya a sebanyak b.

Bentuknya adalah : rep(…,…)

g. abs Untuk membuat harga mutlak dari suatu bilangan

Bentuknya adalah : abs (….)

h. sum Untuk menjumlahkan semua bilangan anggota dari suatu vektor.

Bentuknya adalah : sum (…) i. ginverse Untuk menghitung nilai invers dari suatu matrik singular. ^{ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga}

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

BAB III METODE PENELITIAN Langkah-langkah penyelesaian yang sesuai dengan tujuan penelitian adalah

sebagai berikut :

1. Menentukan bentuk penduga Distribsi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II A. Menentukan estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II menggunakan metode Maximum Likelihood dengan langkah-langkah sebagai berikut :

a. Mengambil sampel acak dari distribusi uji hidup

Exponentiated Eksponensial.

b. Menentukan (n-r) sample tersensor tipe II yang posisinya sebagai berikut c. Menentukan fungsi Likelihood dari distribusi Exponentiated

Eksponensial pada data tersensor tipe II Dengan

d. Me-lognaturalkan fungsi likelihood tersebut

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

e. Mendiferensialkan hasil log- likelihood tersebut terhadap parameter- parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II

f. Hasil dari diferensial tersebut disamadengankan nol sebagai syarat perlu untuk memaksimalkan fungsi likelihood.

g. Jika pada langkah f penduga yang didapatkan masih dalam bentuk fungsi implisit maka ditentukan nilai estimasi dari fungsi tersebut melalui metode Newton-Raphson.

B. Menentukan estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II menggunakan metode Ordinary Least Square dengan langkah-langkah sebagai berikut :

a. Mengambil sampel acak , dari distribusi uji hidup

Exponentiated Eksponensial.

b. Menentukan (n-r) sample tersensor tipe II yang posisinya sebagai berikut c. Menentukan fungsi distribusi kumulatif distribusi Exponentiated

Eksponensial

d. Meminimalkan fungsi dengan cara Mendiferensialkan fungsi tersebut terhadap parameter-parameter distribusi Exponentiated Eksponensial ( ) kemudian disama dengankan nol e. Melakukan pendekatan numerik jika pada langkah d diperoleh bentuk fungsi yang berbentuk implisit

2. Membandingkan kedua penduga melalui indikator Mean Square Error dengan langkah-langkah sebagai berikut : a. Membangkitkan sampel data tersensor tipe II berdistribusi

Exponentiated Eksponensial dengan tertentu.

b. Mengestimasi parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Maximum Likelihood dan metode

Ordinary Least Square

c. Menghitung Mean Square Error dari metode Maximum Likelihood dan metode Ordinary Least Square dengan rumus MSE

Dengan merupakan fungsi distribusi kumulatif empiris

d. Mengulang langkah a sampai c sebanyak 16 kali percobaan

e. Menentukan prosentase menempati nilai MSE terkecil untuk metode

Maximum Likelihood

dan metode Ordinary Least Square dari percobaan f. Menentukan penduga yang lebih baik dengan melihat nilai rata-rata

MSE yang terkecil dari kedua metode dan melihat prosentase minimal menempati nilai MSE paling kecil

3. Menyusun algoritma berdasarkan langkah-langkah yang telah dibuat

4. Membuat progam komputer berdasarkan algoritma tersebut dengan S-Plus ^{ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga}

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

5. Menerapkan hasil estimasi pada data pasien Leukimia

a. Memasukkan data tahan hidup pasien Leukimia

b. Mengurutkan data tahan hidup pasien Leukimia

c. Mengestimasi parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Maximum Likelihood dan metode

Ordinary Least Square

d. Menghitung Mean Square Error dari metode Maximum Likelihood dan metode Ordinary Least Square dengan rumus MSE

Dengan merupakan fungsi distribusi kumulatif empiris

e. Menguji kesesuaian data dengan uji Kolmogorov Smirnov

f. Menentukan penduga yang lebih baik dengan melihat nilai MSE yang terkecil

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam bab ini akan dibahas tentang estimasi titik distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan menggunakan metode Maximum Likelihood dan Ordinary Least Square (OLS).

4.1. PDF (Probability Density Function) dan CDF (Cumulative Density

Function ) Distribusi Exponentiated Eksponensial

Pada bagian ini akan dibuktikan bahwa: untuk merupakan PDF (Probability Density Function) dari distribusi Exponentiated Eksponensial.

Bukti : =

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

Terbukti Kemudian akan dicari CDF (Cumulative Density Function) dari distribusi

Exponentiated

Eksponensial sebagai berikut: (4.1)

Berdasarkan persamaan (4.1), maka fungsi survival dari t adalah :

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

(4.2)

Selanjutnya akan dibuktikan apakah distribusi Exponentiated Eksponensial merupakan keluarga Eksponensial. Misalkan T merupakan variabel acak berdistribusi Exponentiated Eksponensial dengan Probability Density Function didefinisikan pada persamaan (2.1) akan dibuktikan apakah distribusi

Exponentiated

Eksponensial merupakan keluarga Eksponensial yaitu memenuhi persamaan (2.11), pembuktiannya seperti dibawah ini: (4.3)

Karena persamaan (4.3) tidak dapat dinyatakan sebagai persamaan (2.11) maka dapat disimpulkan bahwa distribusi Exponentiated Eksponensial bukan keluarga eksponensial.

4.2. Estimasi Parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Maximum Likelihood

Langkah-langkah estimasi parameter pada sub-bab (2.3). Jika PDF (Probability Density Function) distribusi Exponentiated Eksponensial didefinisikan pada persamaan (2.1), maka fungsi Likelihood pada data tersensor tipe II berdasarkan persamaan (2.7) adalah sebagai berikut :

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

Sehingga dari fungsi Likelihood diatas dapat di tulis sebagai berikut : Kemudian fungsi Likelihood tersebut di ln-kan, sehingga didapatkan : ln

(4.4) Selanjutnya dengan mendiferensialkan fungsi ln-Likelihood terhadap kemudian hasil disamadengankan nol sebagai syarat perlu untuk memaksimumkan fungsi Likelihood, sehingga di dapatkan hasil sebagai berikut :

Diferensial dari persamaan (4.4) terhadap dan selanjutnya disamadengankan nol diperoleh :

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

Diferensial dari persamaan (4.4) terhadap dan selanjutnya disamadengankan nol diperoleh : Karena persamaaan (4.5) dan (4.6) merupakan persamaan implisit maka diselesaikan dengan suatu metode numerik. Dalam pembahasan skripsi ini akan digunakan salah satu dari metode numerik yaitu metode Newton Raphson .

Berikut merupakan langkah-langkah metode Newton-Raphson yang telah dijelaskan pada sub-bab (2.9) : Langkah I :

Menentukan nilai awal penduga yang dapat ditulis dengan .

Langkah II : Menentukan fungsi dalam bentuk matriks, dengan

, yaitu dengan adalah fungsi dari (4.5) , adalah fungsi dari (4.6).

Langkah III : Menentukan matriks jacobian dari fungsi (4.5), (4.6) yaitu :

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

dengan :

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

Langkah IV : Mencari nilai koreksi ( ), yaitu

Dengan adalah invers dari Langkah V :

Menentukan atau Dimana merupakan nilai penduga yang akan dicari.

Langkah VI : Melakukan pengulangan dari langkah II sampai V hingga max dengan dengan error = 0.5. Kemudian diperoleh nilai penduga parameter

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI EXPONENTIATED EKSPONENSIAL PADA DATA TERSENSOR TIPE II SKRIPSI