PENENTUAN UKURAN SAMPEL UNTUK MASA HIDUP SISTEM YANG BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL MELALUI UJI RASIO SEKUENSIAL

PENENTUAN UKURAN SAMPEL UNTUK MASA HIDUP SISTEM YANG BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL

MELALUI UJI RASIO SEKUENSIAL (Skripsi)

Oleh

FARADHIKA NITASYA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2015

ABSTRACT

THE DETERMINATION OF SAMPLE SIZE

FOR EXPONENTIAL DISTRIBUTION LIFE TIME SYSTEM USING SEQUENTIAL RATIO TEST

By

Faradhika Nitasya

The life time is an observed time interval of an object when the first time into the observation until the object is disfuntion or die. Sequential Ratio Test (SRT) is a test that performed at each stage, which examined one by one until will be obtained a conclusion to reject, accept, or continue the observation. Using this test can be obtained ideal sample size and can save the time and costs because the samples were tested in stages. In this research the life time distribution is used by Exponential distribution. The determination of sample size using SRT has H0: µ μ with µ = 200_{hours and H1: µ μ with µ} = 100 _{hours, and the value of} α (producer risk) and β (consumer risk) thathave been determined. The simulation results show that theideal sample size is 29 with α and β are predetermined. Keywords: Life time, Exponential Distribution,Sequential Ratio Test, Hypothesis, Sample Size.

ABSTRAK

PENENTUAN UKURAN SAMPEL UNTUK MASA HIDUP SISTEM YANG BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL

MELALUI UJI RASIO SEKUENSIAL Oleh

Faradhika Nitasya

Masa hidup merupakan interval waktu yang diamati dari suatu objek saat pertama kali masuk ke dalam pengamatan sampai dengan objek tersebut tidak berfungsi atau mati. Uji Rasio Sekuensial (URS) merupakan pengujian yang dilakukan pada setiap tahap, dimana dilakukan pemeriksaan satu demi satu sehingga akan diperoleh suatu kesimpulan untuk menolak, menerima, atau melanjutkan pengamatan. Melalui uji ini dapat diperoleh ukuran sampel yang ideal dan dapat menghemat waktu dan biaya karena sampel diuji secara bertahap. Dalam penelitian ini distribusi masa hidup yang digunakan adalah distribusi Eksponensial. Penentuan ukuran sampel dengan URS ditentukan melalui pengujian H0: µ μ dengan µ = 200 jam dan H1: µ μ dengan µ = 100 jam, serta nilai α (resiko produsen) dan β (resiko konsumen) yang telah ditentukan. Hasil simulasi menunjukkan bahwa ukuran sampel yang ideal dengan α dan βyang telah ditentukan adalah 29.

Kata kunci: Masa Hidup, Distribusi Eksponensial, Uji Rasio Sekuensial, Hipotesis, Ukuran Sampel.

PENENTUAN UKURAN SAMPEL

UNTUK MASA HIDUP SISTEM

YANG BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL

MELALUI UJI RASIO SEKUENSIAL

Oleh

Faradhika Nitasya

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2015

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Desa Rejosari, Kecamatan Natar, Lampung Selatan pada tanggal 18 April 1994, sebagai anak kedua dari tiga bersaudara pasangan Bapak Edy Supriadi dan Ibu Juni Astuti.

Pendidikan Sekolah Dasar (SD) Negeri 4 Rejosari diselesaikan pada tahun 2005, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Natar diselesaikan pada tahun 2008, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Natar diselesaikan pada tahun 2011.

Tahun 2011 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN Undangan. Selama menjadi mahasiswa, penulis bergabung bersama beberapa organisasi dan diamanahkan sebagai Sekretaris Bidang Kaderisasi dan Kepemimpinan pada Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) periode 2012-2013, Staff Komisi B (Advokasi & Kesejahteraan Mahasiswa) pada Dewan Perwakilan Mahasiswa (DPM) FMIPA periode 2012-2013, Sekretaris Dinas Kominfotek pada Badan Eksekutif Mahasiswa (BEM) FMIPA periode 2013-2014, Anggota Bidang Kaderisasi dan Kepemimpinan pada HIMATIKA periode 2013-2014, serta Sekretaris DPM FMIPA periode 2014-2015. Penulis juga pernah menjadi Asisten Dosen dalam mata kuliah Eksplorasi Data. Pada bulan Januari-Maret tahun 2014 penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Pasuruan, Kecamatan Penengahan, Kabupaten Lampung Selatan dan pada bulan Agustus-September tahun 2014 penulis melaksanakan Kerja Praktik (KP) / Praktek Kerja Lapangan (PKL) di Kantor Distrik Way Sekampung PT. Perkebunan Nusantara VII.

M O T O

Guide us to the straight path

(Al-Fatihah : 6)

Maka ketahuilah bahwa sesungguhnya Allah pelindungmu.

Dia adalah sebaik-baik pelindung dan sebaik-baik penolong

(Al-Anfal : 40)

Jangan engkau bersedih, sesungguhnya Allah bersama kita

(At-Taubah : 40)

Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan

(Al-Insyirah : 6)

P E R S E M B A H A N

Alhamdulillah ✁✂✄ ☎✆ ✄✝✆ ✞✆✞ ✟ ✠✡ ✠✝✟✆ ✄ ☎☛ ☞✆ ✁✆✌✂✄ ☛ ☞✄ ✟✆✡ ✂✍✆ ✁✆✎✏✏ ✆ ✌✑WT.

Penulis persembahkan rentetan aksara yang sederhana ini sebagai suatu tanda cinta kepada semua orang yang setia mendukung, mendampingi

serta mendoakan kelancaran terciptanya karya ini.

Ibu, Bapak, Mbak, Adek serta keluarga besar yang selalu memberikan semangat, dukungan, dan untaian doa yang tak pernah usai kepada penulis.

Sahabat-sahabat tercinta dan terbaik yang selalu menopang jiwa dengan tawa, doa, motivasi, dan kasih sayang.

Dosen-dosen pembimbing, penguji, serta seluruh Dosen Jurusan Matematika yang tak letih membimbing dan memberikan banyak ilmu.

Teman-teman, kakak-kakak, adik-adik,

serta rekan kerja dalam organisasi selama masa perkuliahan, yang selalu memberikan pembelajaran terbaik.

Dan, untuk setiap mata yang bersedia berhenti sejenak membaca halaman ini.

SANWACANA

Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena atas rahmat dan ridho-Nya jualah penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul“Penentuan Ukuran Sampel untuk Masa Hidup Sistem yang Berdistribusi Eksponensial melalui Uji Rasio Sekuensial”tepat pada waktunya. Shalawat beriring salam kepada junjungan Nabi besar Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan yang baik bagi kita semua.

Selesainya penulisan skripsi ini adalah juga berkat motivasi dan pengarahan serta bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan terimakasih kepada :

1. Bapak Drs. Rudi Ruswandi, M.Si. selaku pembimbing pertama, terimakasih atas setiap bimbingan, kesabaran dalam memberikan arahan, semangat, serta dukungan dalam proses penyusunan skripsi ini.

2. Ibu Widiarti, M.Si selaku pembimbing kedua, terimakasih atas segala bantuan yang telah diberikan dalam menyelesaikan skripsi ini, serta selalu menjadi motivator, penyemangat, pengingat, dan menjadi layaknya seorang ibu, sahabat, serta dosen terbaik.

xii

3. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si. selaku penguji yang telah memberikan penulis pembelajaran, kritik, saran, dan masukan yang membangun.

4. Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si. selaku pembimbing akademik yang selalu memberi nasihat dan juga bimbingannya dalam menjalani masa perkuliahan. 5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung 6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

7. Seluruh Dosen, Staff dan Karyawan Jurusan Matematika yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

8. Kedua orang tua penulis: Ibu Juni Astuti dan Bapak Edy Supriadi tercinta, Mba Merza Pratama Putri dan Adek Adryan Daffa Dzulfiqar tersayang, serta seluruh keluarga besar yang selalu memberikan do’a dan semangat yang tiada henti-hentinya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini tepat pada waktunya.

9. Rekan bimbingan, Sherly Lestari dan Ni Putu Udya H. yang telah berjuang bersama.

10. Sahabat, penyemangat, tempat berkeluh kesah, serta pembawa keceriaan Rizka, Eka, Dian, Andzirnie, dan Nafisah. Terimakasih atas rasa sayang dan kebersamaannya.

11. Sahabat karibku Diana, Tria, Feni, Wati, Euis. Terimakasih untuk tetap selalu ada dan menyemangati.

xiii

12. Umi Muslikhatun, Rusmi Purwanti serta Keluarga Matematika 2011. Terimakasih selama kurang lebih empat tahun telah menjadi keluarga terbaik. 13. Mba Mpeb serta kakak-kakak Matematika 2009 & Matematika 2010,

terimakasih atas arahan dan pembelajarannya. Elva, Putri serta adik-adik Matematika 2012. Tiara, Shintia, serta adik-adik Matematika 2013. Linda, Uti, Rara serta adik-adik Matematika 2014. Terimakasih atas dukungan, semangat, dan keceriaan yang telah diberikan.

14. Keluarga Besar HIMATIKA FMIPA Unila khususnya Presidium dan Pimpinan periode 2012-2013, serta seluruh pengurus periode 2012-2013 s/d periode 2014-2015. Keluarga Besar BEM FMIPA Unila khususnya Presidium dan Pimpinan periode 2013-2014. Terimakasih atas kerjasama, pembelajaran, pengalaman hidup, serta kekeluargaan yang dibangun selama ini.

15. Anggota Dewan: Fahad, Dias, Putri, Wagiran, Miftah, dan Eko. Keluarga serta rekan kerja dalam DPM FMIPA Unila periode 2014-2015.

16. Ismi, Qoni serta rekan-rekan Forum Sekretaris LK/UKM FMIPA Unila 2014-2015. Deby, Nora, Adib serta Presidium, Pimpinan, Pengurus serta seluruh civitas akademika LK/UKM FMIPA Unila 2014-2015.

17. Almamaterku tercinta Universitas Lampung.

Bandar Lampung, Agustus 2015 Penulis,

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR... xvi

DAFTAR TABEL... xvii

I. PENDAHULUAN... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Rumusan Masalah ... 3

1.3 Tujuan Penelitian ... 3

1.4 Manfaat Penelitian ... 3

II. TINJAUAN PUSTAKA... 4

2.1 Percobaan dan Ruang Sampel ... 4

2.2 Peubah Acak dan Fungsi Peluang ... 6

2.3 Sampling atau Pengambilan Contoh ... 7

2.3.1 Alasan Sampling... 7

2.3.2 Sampling Sekuensial ... 8

2.4 Konsep Dasar dan Fungsi Tahan Hidup ... 8

2.5 Fungsi Densitas Peluang T ... 9

2.6 Fungsi Laju Tingkat Kegagalan (Fungsi Hazard) ... 10

2.7 Distribusi Probabilitas Binomial ... 10

2.8 Distribusi Probabilitas Poisson... 11

2.9 Distribusi Eksponensial ... 12

2.10 Fungsi Likelihood... 13

2.11 Likelihood Ratio Test ... 13

2.12 Parameter dan Statistik ... 14

2.13 Pengujian Hipotesis Statistik ... 15

2.14 Pentingnya Penarikan Sampel untuk Keperluan Penerimaan... 16

2.15 Tekanan untuk Perbaikan Mutu... 16

xv

III. METODOLOGI PENELITIAN... 18

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 18

3.2 Menentukan Ukuran Sampel melalui URS... 18

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN... 20

4.1 URS untuk Peubah Acak Kontinu ... 20

4.2 Menentukan Ukuran Sampel menggunakan URS ... 26

4.3 Simulasi Penentuan Ukuran Sampel menggunakan URS ... 28

4.3.1Simulasi untuk α meningkat dan β tetap... 29

4.3.2Simulasi untuk α tetap dan β meningkat... 30

V. KESIMPULAN... 34 DAFTAR PUSTAKA

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1. Masa Hidup Sistem yang Berdistribusi Eksponensial ... 21

2. Daerah Penerimaan dan Daerah Penolakan ... 26

3. Simulasi untukβ tetapdanα meningkat... 30

DAFTAR TABEL

Halaman 1. Data Masa Hidup Sistem yang Berdistribusi Eksponensial ... 28 2.Simulasi untuk α meningkat dan β tetap... 29 3.Simulasi untuk α tetap dan β meningkat... 31

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Inferensia statistik merupakan proses pengambilan kesimpulan berdasarkan pada data sampel. Inferensia statistik dapat dikelompokkan ke dalam dua bidang utama yaitu, pendugaan dan pengujian hipotesis. Pengujian hipotesis akan memberikan kesimpulan untuk menolak atau menerima hipotesis statistik. Perkembangan dalam pengujian hipotesis dipengaruhi oleh keadaan atau permasalahan yang diuji. Misalnya uji non sekuensial pada suatu pengujian masa hidup suatu sistem, dimana sampelnya ditetapkan terlebih dahulu. Hal ini kurang efisien apabila diterapkan pada pemeriksaan barang yang mempunyai harga cukup mahal. Dikarenakan berakibat pada tingginya biaya yang dikeluarkan.

Dalam dunia industri, penentuan ukuran sampel dalam pengujian sangatlah penting. Ketika sampel diambil semua pada satu waktu, sampel ini disebut sebagai sampel tunggal. Sebuah alternatif lain yang dapat digunakan ialah mengambil sampel dalam beberapa tahap dan menilai hasil pengujian pada setiap tahap. Cara membatasi pengujian ini dapat menghemat waktu dan sumber daya.

Pengujian yang dilakukan pada setiap tahap ini lebih dikenal dengan uji sekuensial, dimana dilakukan pemeriksaan satu demi satu sehingga akan diperoleh kondisi barang tersebut apakah akan ditolak, diterima atau dilanjutkan

2

pengamatan. Uji sekuensial ini dikenal dengan uji perbandingan probabilitas sekuensial, dilakukan dengan membagi tiga daerah uji yaitu daerah penerimaan, daerah penolakan serta daerah yang menjembatani dua daerah tersebut.

Prosedur analisis sekuensial disebut Uji Rasio Sekuensial (URS). URS merupakan prosedur uji sekuensial yang membedakan dua hipotesis dan didasarkan pada rasio. URS menjadi menarik untuk dibahas karena ciri URS yang berbeda, yaitu ukuran sampel akhirntidak ditentukan.

Masa hidup sistem merupakan interval waktu yang diamati dari suatu objek saat pertama kali masuk ke dalam pengamatan sampai dengan objek tersebut tidak berfungsi atau mati. Misalnya interval waktu yang mengukur kerusakan suatu produk, matinya suatu makhluk hidup, atau kambuhnya suatu penyakit. Fungsi-fungsi pada distribusi waktu hidup merupakan suatu Fungsi-fungsi yang menggunakan variabel random waktu hidup. Variabel random waktu hidup biasanya dinotasikan dengan huruf T dan akan membentuk suatu distribusi (Prayudhani dan Wuryandari, 2010).

Fungsi distribusi tahan hidup yang didasarkan pada pengetahuan atau asumsi tertentu tentang distribusi populasinya termasuk dalam fungsi parametrik. Salah satu distribusi waktu ketahanan hidup dalam industri yang dapat digunakan adalah distribusi Eksponensial. Distribusi Eksponensial banyak menjelaskan peluang waktu kegagalan produk industri dengan pengambilan sampel berdasarkan waktu dan variabel acak.

3

Pada penelitian ini, yang menjadi sasaran utama adalah pembahasan prosedur dari analisis sekuensial yang disebut URS untuk masa hidup sistem yang berdistribusi Eksponensial dalam menentukan ukuran sampel yang ideal untuk mengetahui kualitas produk yang diproduksi.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan penjelasan pada sub-bab sebelumnya, maka dapat dirumuskan masalah sebagai berikut:

1. Bagaimana menentukan ukuran sampel untuk masa hidup sistem yang berdistribusi Eksponensial secara sekuensial pada URS?

2. Bagaimana penerapan URS pada masa hidup sistem yang berdistribusi Eksponensial?

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan pada penelitian ini adalah menentukan ukuran sampel untuk masa hidup sistem yang berdistribusi Eksponensial secara sekuensial pada URS.

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat pada penelitian ini adalah menambah referensi tentang analisis sekuensial khususnya prosedur URS untuk menentukan ukuran sampel masa hidup sistem yang berdistribusi Eksponensial serta menambah pengetahuan mengenai penerapan URS pada masa hidup sistem yang berdistribusi Eksponensial.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Percobaan dan Ruang Sampel

Menurut Walpole (1995), istilah percobaan digunakan untuk sembarang proses yang dapat membangkitkan data. Himpunan semua hasil suatu percobaan disebut ruang sampel dan dilambangkan dengan huruf S. Ruang sampel beranggotakan hasil dari suatu percobaan yang disebut sebagai titik sampel. Titik-titik sampel ini dapat membentuk beberapa himpunan yang merupakan himpunan bagian dari ruang sampel dan disebut sebagai kejadian. Berikut ini adalah beberapa definisi yang membahas masalah ruang sampel beserta sifat-sifatnya:

Definisi 2.1.1 (Walpole, 1995):

Ruang sampel dari suatu percobaan adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan.

Ruang sampel dibedakan atas dua macam, yakni ruang sampel diskret dan ruang sampel kontinu. Ruang sampel diskret adalah ruang sampel yang mengandung titik-titik sampel yang banyaknya terhingga atau titik-titik sampelnya berupa barisan yang tidak berakhir namun nilainya sama banyak dengan nilai bilangan cacah. Adapun ruang sampel kontinu adalah ruang sampel yang mengandung titik sampel yang banyaknya tak terhingga dan sama banyak dengan banyaknya titik-titik pada sebuah ruas garis (Walpole & Myers, 1995:52 ).

5

Definisi 2.1.2 (Bain & Engelhardt, 1992):

Misalkan S adalah ruang sampel suatu percobaan dan A1, A2,…. adalah kejadian -kejadian yang mungkin terjadi dalam S, dan misalkan P adalah suatu fungsi yang menghasilkan nilai real P(A) untuk setiap kejadian A, maka P(A) disebut peluang dari A jika memenuhi:

a. P(A) 0, untuk setiap kejadian A

b. P(S) = 1

c. Jika A1, A2, …. adalah barisan kejadian saling asing (� ∩ � = ∅ dengan ≠ dan � ∈ ) maka:

� ⋃ �∞

= = ∑∞= � � (2.1)

Definisi 2.1.3 (Walpole, 1995):

Peluang suatu kejadian A adalah jumlah peluang semua titik sampel dalam A. Jadi � � , � ∅ = , � =

Bila ruang sampel suatu percobaan mempunyai N unsur, dan masing-masing unsur tersebut mempunyai peluang yang sama untuk terjadi, maka pada setiap titik sampel diberikan peluang sebesar

�. Dengan demikian, peluang kejadian A,

yang berisikan n titik sampel adalah rasio banyaknya titik sampel atau unsur dalam A dengan banyaknya titik sampel atau unsur dalam S.

6

2.2 Peubah Acak dan Fungsi Peluang 1. Peubah Acak

Definisi 2.2.1 (Walpole dan Myers, 1995):

Peubah acak adalah suatu fungsi yang memetakan setiap unsur dalam ruang sampel S dengan suatu bilangan real. Peubah acak biasanya dinyatakan dengan huruf besar misalnya X, sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, yaitu x.

Jika himpunan semua hasil yang mungkin dari peubah acak X berhingga atau tak berhingga tetapi masih dapat dihitung maka X disebut sebagai peubah acak diskret. Sedangkan jika semua hasil yang mungkin dari peubah acak X mencapai nilai dalam suatu interval maka X disebut sebagai peubah acak kontinu.

2. Fungsi Peluang dan Fungsi Kepekatan Peluang Definisi 2.2.3 (Walpole dan Myers, 1995):

Apabila X merupakan peubah acak diskret, maka f(x) disebut fungsi peluang dari peubah acak X, jika memenuhi:

1.

2. ∑_� = 3. � � = =

Definisi 2.2.4 (Walpole dan Myers, 1995):

Apabila X merupakan peubah acak kontinu, maka f(x) disebut fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X, jika memenuhi:

7

2. ∫_−∞∞ = 3. � < � < = ∫

2.3 Sampling atau Pengambilan Contoh

Statistika terbagi atas dua fase ialah statistika deskriptif dan statistika induktif. Fase pertama dikerjakan untuk melakukan fase kedua. Fase kedua, statistika induktif, berusaha menyimpulkan tentang karakteristik populasi, yang pada umumnya dilakukan berdasarkan data sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan. Populasi adalah totalitas semua nilai yang mungkin, baik hasil menghitung maupun pengukuran, kuantitatif maupun kualitatif, daripada karakteristik tertentu mengenai sekumpulan obyek yang lengkap dan jelas. Sampel adalah sebagian yang diambil dari populasi dengan menggunakan cara-cara tertentu. Untuk mendapatkan kesimpulan yang dapat dipertanggungjawabkan haruslah ditempuh cara-cara yang benar dalam setiap langkah termasuk cara-cara pengambilan atau sampling (Sudjana, 2002).

2.3.1 Alasan Sampling

Untuk melakukan analisis statistik diperlukan data, karenanya data perlu dikumpulkan. Bergantung pada berbagai faktor, untuk ini kadang-kadang dilakukan sensus, kadang-kadang dilakukan sampling. Sensus terjadi apabila setiap anggota atau karakteristik yang ada di dalam populasi dikenai penelitian. Jika tidak, maka samplinglah yang ditempuh, yaitu sampel diambil dari populasi dan datanya dikumpulkan.

8

Ada berbagai alasan mengapa sensus tidak dapat dilakukan, antara lain: a. Ukuran populasi

b. Masalah biaya c. Masalah waktu

d. Percobaan yang sifatnya merusak e. Masalah ketelitian

f. Faktor ekonomis (Sudjana, 2002).

2.3.2 Sampling Sekuensial

Sampling sekuensial adalah pengambilan sampel yang setiap anggota sampel diambil satu demi satu dan pada setiap kali selesai pangambilan sampel, analisis dilakukan. Selanjutnya sampel diambil dan diperoleh kesimpulan, yaitu apakah sampling berhenti ataukah akan dilanjutkan. Setiap anggota yang diambil disatukan dengan anggota-anggota yang telah diambil terlebih dahulu sebelum dijadikan sebuah kesimpulan (Sudjana, 2002).

2.4 Konsep Dasar dan Fungsi Tahan Hidup

Data tahan hidup merupakan interval waktu yang diamati dari suatu objek saat pertama kali masuk ke dalam pengamatan sampai dengan objek tersebut tidak berfungsi atau mati. Misalnya interval waktu yang mengukur kerusakan suatu produk, matinya suatu makhluk hidup, atau kambuhnya suatu penyakit.

9

Fungsi-fungsi pada distribusi waktu hidup merupakan suatu fungsi yang menggunakan variabel random waktu hidup. Variabel random waktu hidup biasanya dinotasikan dengan huruf T dan akan membentuk suatu distribusi. Distribusi waktu hidup dijelaskan oleh tiga fungsi, yaitu fungsi tahan hidup S(t), fungsi densitas peluang f(t) dan fungsi kegagalan/fungsi hazard h(t). Ketiga fungsi tersebut ekuivalen secara matematik, yang berarti jika salah satu dari ketiga fungsi tersebut diketahui, maka fungsi yang lain dapat diturunkan.

Ketahanan hidup (reliabilitas) adalah peluang suatu produk akan beroperasi dengan baik untuk periode yang telah ditetapkan di bawah kondisi yang ditentukan, seperti suhu dan tegangan, tanpa kegagalan.

Dirumuskan sebagai berikut:

S(t) = P (objek hidup lebih dari waktu t) = P T >

= − P (objek gagal sebelum waktu t)

= − P T t (2.2)

(Prayudhani dan Wuryandari, 2010).

2.5 Fungsi Densitas Peluang T

Waktu tahan hidup T mempunyai fungsi densitas peluang yang dinotasikan dengan f (t) dan didefinisikan sebagai peluang kegagalan suatu objek pada interval

, + ∆ per satuan waktu. Fungsi densitas peluang dinyatakan sebagai

10

= _∆�→ [� �< < �+∆�_∆� ] (2.3)

(Prayudhani dan Wuryandari, 2010).

2.6 Fungsi Laju Tingkat Kegagalan (Fungsi Hazard)

Fungsi kegagalan dari waktu tahan hidup T dinotasikan dengan h(t) dan didefinisikan sebagai peluang suatu objek gagal di dalam interval waktu , + ∆ dengan diketahui bahwa objek tersebut telah hidup selama waktu t .

Fungsi kegagalannya dinyatakan dengan:

ℎ = _∆�→ [� � < �+∆�| �_∆� ] (2.4)

(Prayudhani dan Wuryandari, 2010).

2.7 Distribusi Probabilitas Binomial

Distribusi probabilitas Binomial adalah distribusi probabilitas diskret yang sering terjadi. Salah satu ciri distribusi Binomial adalah hanya memiliki dua hasil yang mungkin terjadi dalam sebuah percobaan dari satu eksperimen. Sebagai contoh,

pernyataan dari pertanyaan benar/salah hanya dapat berupa “benar” atau “salah.”

Hasil-hasilnya tidak terikat satu sama lain, yang artinya jawaban untuk sebuah pertanyaan benar/salah tidak mungkin sekaligus “benar” dan “salah.”

Rumus Probabilitas Binomial:

� � = {(�)�� − � −�; � = , , , … ,

11

dengan:

n adalah jumlah percobaan

X adalah variabel acak yang menyatakan jumlah sukses �adalah probabilitas sukses untuk setiap percobaan

(Lind, dkk., 2012).

2.8 Distribusi Probabilitas Poisson

Distribusi probabilitas Poisson menjelaskan banyaknya kejadian yang terjadi selama interval tertentu. Interval tersebut dapat berupa waktu, jarak, luas, atau volume.

Distribusi ini didasarkan pada asumsi. Asumsi pertama adalah bahwa probabilitas proporsional dengan panjangnya interval. Asumsi kedua adalah bahwa interval-intervalnya saling bebas. Dengan kata lain, makin panjang interval, makin besar probabilitasnya, dan banyaknya kejadian dalam satu interval tidak mempengaruhi interval-interval lainnya. Distribusi ini juga merupakan suatu bentuk distribusi Binomial yang terbatas ketika probabilitas sebuah kejadian sukses sangat kecil dan nilai n besar. Hal ini sering disebut “hukum kejadian tidak mungkin,” yang

berarti bahwa probabilitas, �, dari kejadian sebuah kejadian tertentu cukup kecil. Distribusi Poisson adalah sebuah distribusi probabilitas diskret karena distribusi ini dibentuk dengan cara menghitung.

Distribusi Poisson:

� � = { � � −�

�! ; �

12

adalah nilai rata-rata dari kejadian (sukses) dalam suatu interval

e adalah konstanta 2,71828 (basis dari sistem logaritmis Napier)

X adalah jumlah kejadian sukses

P(X) adalah probabilitas untuk sebuah nilai X tertentu

(Lind, dkk., 2012).

2.9 Distribusi Eksponensial

Distribusi Eksponensial merupakan bentuk khusus dari distribusi Gamma dengan

α = 1 dan β = θ.

Fungsi Densitas Eksponensial:

= {�

−�

� ; , � >

; (2.7)

Fungsi distribusi kumulatif distribusi Eksponensial adalah:

� = ∫� � _{= ∫ �} −��

�

� _{= �∫} −�� �

� _{= �[−�} −��] �

� = − −��_]�

13

Fungsi tahan hidupnya adalah = − � = −�� (2.9) Fungsi kegagalannya adalah ℎ = �

� =� (2.10)

dengan θ adalah rata-rata waktu kegagalan dan t adalah waktu percobaan (Bain dan Engelhardt, 1992).

2.10 Fungsi Likelihood

Definisi 2.10.1 (Bain dan Engelhardt, 1992):

Misalkan X1 ,X2 , X3 , ... ,Xn sampel acak dengan fungsi peluang, f(xi,θi) untuk i = 1,2,3, ... , n. Apabila L(θ) yaitu fungsi peluang bersama dari x1 ,x2 , x3 , ... ,xn yang

dipandang sebagai fungsi dari θ dan x1 ,x2 , x3 , ... ,xn menyatakan nilai tertentu, maka:

� � = ∏₌ , �

= , � . , � … , � (2.11) Fungsi � � inilah yang disebut sebagai fungsi likelihood.

2.11 Likelihood Ratio Test

Misalkan X1 ,X2 , X3 , ... , Xn merupakan peubah acak yang saling bebas sebanyak

n. Dengan fungsi kepekatan peluang ; � , � , … , � , = , , … , . Himpunan yang terdiri dari semua parameter � , � , … , � dinotasikan oleh Ω,

yang mana bisa disebut sebagai ruang parameter. Misal ω merupakan subset dari ruang parameter Ω. Kita akan menguji hipotesis � : � , � , … , � ∈ � melawan semua hipotesis alternatif. Dengan fungsi likelihood:

14

dan

� Ω = ∏= � , � , … , � , � , � , … , � ∈ Ω. (2.13)

Misal � �̂ dan �(Ω̂) merupakan fungsi maksimal yang mana diasumsikan untuk ada dari dua fungsi likelihood. Rasio dari � �̂ dan �(Ω̂) disebut likelihood ratio test dan dinotasikan oleh:

, , … , = =� �_�(Ω̂)̂ (2.14)

Misal merupakan fungsi positif yang baik. Likelihood ratio test principle

menyatakan bahwa hipotesis � : � , � , … , � ∈ � ditolak jika dan hanya jika:

, , … , = (2.15)

Fungsi mendefinisikan peubah acak � , � , … , � , dan tingkat signifikansi dari pengujian diberikan oleh:

= Pr[ � , � , … , � ; � ] (2.16) (Hogg dan Craig, 1978).

2.12 Parameter dan Statistik Definisi 2.12.1 (Walpole, 1995):

Sembarang nilai yang menjelaskan ciri populasi disebut parameter. Parameter dilambangkan dengan huruf Yunani dan parameter merupakan suatu konstanta yang menjelaskan populasi.

Definisi 2.12.2 (Walpole, 1995):

Sembarang nilai yang menjelaskan ciri suatu sampel disebut statistik. Statistik biasanya dinyatakan dalam huruf kecil.

15

2.13 Pengujian Hipotesis Statistik Definisi 2.13.1 (Walpole, 1995):

Hipotesis statistik adalah suatu anggapan atau pernyataan, yang mungkin benar atau tidak, mengenai satu populasi atau lebih.

Pengujian hipotesis akan membawa kepada kesimpulan untuk menerima hipotesis atau menolak hipotesis. Jadi dengan demikian terdapat dua pilihan. Agar dalam penentuan salah satu di antara dua pilihan itu lebih terperinci dan lebih mudah dilakukan, maka akan digunakan perumusan perumusan yang diperlukan. Hipotesis biasanya dinyatakan dengan H, agar dirumuskan dengan singkat dan jelas sesuai dengan persoalan yang dihadapi. Hipotesis H ini perlu didampingi oleh pernyataan lain yang menyatakan berlawanan, maka hipotesis H dinyatakan dengan H0 dan H1, yang artinya H0 melawan H1 dan ini juga menentukan kriteria pengujian yang terdiri dari daerah penerimaan dan daerah penolakan hipotesis. Daerah penolakan hipotesis sering pula di kenal dengan nama daerah kritis.

Dalam pengujian hipotesis akan terjadi dua macam kesalahan yaitu:

1. Kesalahan tipe 1 yaitu menolak hipotesis yang seharusnya diterima. 2. Kesalahan tipe 2 yaitu menerima hipotesis yang seharusnya ditolak.

Dengan menggunakan pernyataan peluang bersyarat kedua tipe kesalahan pengujian hipotesis dapat dinyatakan sebagai berikut:

� � |� =

16

2.14 Pentingnya Penarikan Sampel untuk Keperluan Penerimaan

Pemeriksaan untuk keperluan penerimaan dilakukan pada banyak tahapan dalam pembuatan. Barangkali ada pemeriksaan bahan dan komponen yang masuk, pemeriksaan proses pada berbagai hal dalam operasi pembuatan, pemeriksaan akhir terhadap produk-produknya sendiri oleh pembuatan, dan akhirnya pemeriksaan produk jadi oleh seorang atau lebih pembeli.

Kebanyakan dari pemeriksaan penerimaan ini haruslah berdasarkan penarikan sampel. Semua pengujian penerimaan yang bersifat merusak barang yang diuji mau tidak mau harus dilakukan dengan penarikan sampel. Dalam banyak perusahaan lainnya, pemeriksaan penarikan sampel digunakan karena biaya pemeriksaan 100% merupakan penghalang. Sangat banyak jenis produk yang sama yang harus diperiksa, pemeriksaan penarikan sampel dapat lebih baik daripada pemeriksaan 100% karena pengaruh kelelahan pemeriksaan dalam pemeriksaan 100% (Grant dan Leavenworth, 1994).

2.15 Tekanan untuk Perbaikan Mutu

Pemeriksaan, dalam pengertian pemilihan produk yang memenuhi spesifikasi dari yang tidak memenuhi, tidak menjamin bahwa semua produk yang diterima sungguh-sungguh memenuhi spesifikasi. Kelelahan pemeriksaan pada operasi pemeriksaan berulang-ulang seringkali akan membatasi keefektifan pemeriksaan 100%. Jelaslah, tidak ada prosedur penarikan sampel yang dapat menghapus semua produk yang tak sesuai. Itu berarti bahwa cara terbaik untuk menjamin bahwa produk yang diterima memenuhi spesifikasi adalah membuat produk

17

tersebut secara benar. Jika seorang produsen tidak membuat produk yang benar, dan akibatnya, ia mempercayai konsumen untuk melakukan pemeriksaan penyaringan, seringkali terjadi bahwa perbaikan mutu yang mencolok dapat disebabkan oleh penolakan sekaligus terhadap seluruh lot produk akibat adanya barang yang tak sesuai yang ditemukan dalam sampel. Penolakan seluruh lot membawa tekanan yang jauh lebih besar terhadap perbaikan mutu daripada penolakan masing-masing barang.

Dalam fungsi resiko, kedua tipe kesalahan pengujian hipotesis dapat dinyatakan sebagai berikut:

α = Risiko Produsen, peluang penolakan produk pada mutu yang diinginkan,

yang dinyatakan α = 1 - Pa pada mutu tersebut.

β = Risiko Konsumen, probabilitas penerimaan produk pada mutu yang tidak

dikehendaki, yang dinyatakan β ini adalah nilai Pa pada mutu tersebut.

Dengan Pa adalah probabilitas penerimaan barang (Grant dan Leavenworth, 1994).

2.16 Analisis sekuensial

Definisi 2.16.1 (Sudjana, 2002):

Analisis sekuensial adalah analisis yang membawa kepada kesimpulan statistik dimana banyak obyek yang diamati tidak ditentukan terlebih dahulu melainkan diamati secara sekuens (berurutan) atau satu demi satu.

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2014/2015, bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2 Menentukan Ukuran Sampel melalui Uji Rasio Sekuensial (URS)

Distribusi Eksponensial banyak menjelaskan peluang waktu kegagalan produk industri dengan pengambilan sampel berdasarkan waktu dan variabel acak. Variabel acak yang digunakan disini adalah masa hidup sistem. Masa hidup sistem merupakan interval waktu yang diamati dari suatu objek saat pertama kali masuk ke dalam pengamatan sampai dengan objek tersebut tidak berfungsi atau mati. Dalam meminimalisir pengeluaran biaya di dunia industri, pengujian sampel dalam penentuan kualitas suatu produk atau barang harus dilakukan. Untuk menentukan ukuran sampel, dapat digunakan URS. Pada URS untuk masa hidup sistem yang berdistribusi Eksponensial, ukuran sampel tidak ditentukan terlebih dahulu. Melainkan diuji satu persatu sampai keputusan akhir diperoleh, sehingga diperoleh ukuran sampel yang ideal.

19

Langkah-langkah penentuan ukuran sampel untuk masa hidup sistem yang berdistribusi Eksponensial menggunakan URS adalah sebagai berikut:

V. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan yang telah dijelaskan dan simulasi yang telah dilakukan pada bab sebelumnya, dengan beberapa nilai α dan nilai β yang telah ditentukan.

Diperoleh beberapa ukuran sampel yang berbeda, namun sampel yang ideal bagi simulasi ini adalah pada tahap ke-29.

DAFTAR PUSTAKA

Bain, L. dan Engelhardt. 1992.Introduction to Probability and Math Statistic Second Edition. Duxbury Press, California USA.

Grant, E. L. dan Leavenworth, R. S. 1994. Pengendalian Mutu Statistis. Edisi Keenam. Erlangga, Jakarta.

Hogg, R.V. dan Craig, A. T. 1978. Introduction to Mathematical Statistics Fifth Edition.Prentice-Hall International, Inc., New Jersey.

Lind, D. A., dkk. 2007. Statistical Techniques in Business and Economics with Global Data Sets. 13th Edition McGraw-Hill Companies, United States of America.

Prayudhani, O. dan Wuryandari, T. 2010. Uji Hidup Dipercepat pada Distribusi Eksponensial tersensor type II dengan Tegangan Konstan. Jurnal Media Statistika.3(2), 69-78.

Sudjana. 2002.Metode Statistika. Tarsito, Bandung.

Walpole, Ronald E & Mayers, Raymond H. 2002. Probability and Statistic & Scientist.Prentice Hall.

2.14 Pentingnya Penarikan Sampel untuk Keperluan Penerimaan

Pemeriksaan untuk keperluan penerimaan dilakukan pada banyak tahapan dalam pembuatan. Barangkali ada pemeriksaan bahan dan komponen yang masuk, pemeriksaan proses pada berbagai hal dalam operasi pembuatan, pemeriksaan akhir terhadap produk-produknya sendiri oleh pembuatan, dan akhirnya pemeriksaan produk jadi oleh seorang atau lebih pembeli.

Kebanyakan dari pemeriksaan penerimaan ini haruslah berdasarkan penarikan sampel. Semua pengujian penerimaan yang bersifat merusak barang yang diuji mau tidak mau harus dilakukan dengan penarikan sampel. Dalam banyak perusahaan lainnya, pemeriksaan penarikan sampel digunakan karena biaya pemeriksaan 100% merupakan penghalang. Sangat banyak jenis produk yang sama yang harus diperiksa, pemeriksaan penarikan sampel dapat lebih baik daripada pemeriksaan 100% karena pengaruh kelelahan pemeriksaan dalam pemeriksaan 100% (Grant dan Leavenworth, 1994).

2.15 Tekanan untuk Perbaikan Mutu

Pemeriksaan, dalam pengertian pemilihan produk yang memenuhi spesifikasi dari yang tidak memenuhi, tidak menjamin bahwa semua produk yang diterima sungguh-sungguh memenuhi spesifikasi. Kelelahan pemeriksaan pada operasi pemeriksaan berulang-ulang seringkali akan membatasi keefektifan pemeriksaan 100%. Jelaslah, tidak ada prosedur penarikan sampel yang dapat menghapus semua produk yang tak sesuai. Itu berarti bahwa cara terbaik untuk menjamin bahwa produk yang diterima memenuhi spesifikasi adalah membuat produk

17

tersebut secara benar. Jika seorang produsen tidak membuat produk yang benar, dan akibatnya, ia mempercayai konsumen untuk melakukan pemeriksaan penyaringan, seringkali terjadi bahwa perbaikan mutu yang mencolok dapat disebabkan oleh penolakan sekaligus terhadap seluruh lot produk akibat adanya barang yang tak sesuai yang ditemukan dalam sampel. Penolakan seluruh lot membawa tekanan yang jauh lebih besar terhadap perbaikan mutu daripada penolakan masing-masing barang.

Dalam fungsi resiko, kedua tipe kesalahan pengujian hipotesis dapat dinyatakan sebagai berikut:

α = Risiko Produsen, peluang penolakan produk pada mutu yang diinginkan, yang dinyatakan α = 1 - Pa pada mutu tersebut.

β = Risiko Konsumen, probabilitas penerimaan produk pada mutu yang tidak dikehendaki, yang dinyatakan β ini adalah nilai Pa pada mutu tersebut. Dengan Pa adalah probabilitas penerimaan barang (Grant dan Leavenworth, 1994).

2.16 Analisis sekuensial

Definisi 2.16.1 (Sudjana, 2002):

Analisis sekuensial adalah analisis yang membawa kepada kesimpulan statistik dimana banyak obyek yang diamati tidak ditentukan terlebih dahulu melainkan diamati secara sekuens (berurutan) atau satu demi satu.

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2014/2015, bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2 Menentukan Ukuran Sampel melalui Uji Rasio Sekuensial (URS)

Distribusi Eksponensial banyak menjelaskan peluang waktu kegagalan produk industri dengan pengambilan sampel berdasarkan waktu dan variabel acak. Variabel acak yang digunakan disini adalah masa hidup sistem. Masa hidup sistem merupakan interval waktu yang diamati dari suatu objek saat pertama kali masuk ke dalam pengamatan sampai dengan objek tersebut tidak berfungsi atau mati. Dalam meminimalisir pengeluaran biaya di dunia industri, pengujian sampel dalam penentuan kualitas suatu produk atau barang harus dilakukan. Untuk menentukan ukuran sampel, dapat digunakan URS. Pada URS untuk masa hidup sistem yang berdistribusi Eksponensial, ukuran sampel tidak ditentukan terlebih dahulu. Melainkan diuji satu persatu sampai keputusan akhir diperoleh, sehingga diperoleh ukuran sampel yang ideal.

19

Langkah-langkah penentuan ukuran sampel untuk masa hidup sistem yang berdistribusi Eksponensial menggunakan URS adalah sebagai berikut:

Berdasarkan pembahasan yang telah dijelaskan dan simulasi yang telah dilakukan pada bab sebelumnya, dengan beberapa nilai α dan nilai β yang telah ditentukan. Diperoleh beberapa ukuran sampel yang berbeda, namun sampel yang ideal bagi simulasi ini adalah pada tahap ke-29.

DAFTAR PUSTAKA

Bain, L. dan Engelhardt. 1992.Introduction to Probability and Math Statistic Second

Edition. Duxbury Press, California USA.

Grant, E. L. dan Leavenworth, R. S. 1994. Pengendalian Mutu Statistis. Edisi

Keenam. Erlangga, Jakarta.

Hogg, R.V. dan Craig, A. T. 1978. Introduction to Mathematical Statistics Fifth

Edition.Prentice-Hall International, Inc., New Jersey.

Lind, D. A., dkk. 2007. Statistical Techniques in Business and Economics with Global Data Sets. 13th Edition McGraw-Hill Companies, United States of America.

Prayudhani, O. dan Wuryandari, T. 2010. Uji Hidup Dipercepat pada Distribusi Eksponensial tersensor type II dengan Tegangan Konstan. Jurnal Media Statistika.3(2), 69-78.

Sudjana. 2002.Metode Statistika. Tarsito, Bandung.

Walpole, Ronald E & Mayers, Raymond H. 2002. Probability and Statistic &

Scientist.Prentice Hall.