Contoh 1 :
1. Pilih bilangan prima p = 13
2. q =
−
= 6 3.
q komposit, maka p = 13 bukan prima aman.
Contoh 2 :
1. Pilih bilangan prima p = 23
2. q =
−
= 11 3.
q adalah prima, makan p = 23 adalah prima aman.
2.5. Faktor Persekutuan Terbesar
Greatest Common Divisor
Bilangan bulat d yang tidak negatif adalah faktor persekutuan terbesar dari bilangan
bulat a dan b, ditulis d = gcda,b, jika :
i d
adalah faktor persekutuan dari a dan b dan ii
jika c|a dan c|b, maka c|d. Demikian dapat dinyatakan bahwa, gcda,b adalah bilangan bulat positif terbesar
yang membagi a dan b, dengan pengecualian gcd0,0 = 0 Menezes et all, 1996.
Contoh : Faktor persekutuan dari 12 dan 18 adalah {1, 2, 3, 6}, maka gcd12,18 adalah 6.
2.6. Relatif Prima
Dua angka a dan b dikatakan relatif prima jika angka-angka tersebut tidak memiliki faktor persekutuan gcda, b = 1 Batten, 2013.
Contoh : 19 dan 13 adalah relatif prima dikarenakan gcd19,13 = 1.
6 dan 8 tidak relatif prima dikarenakan gcd6,8 = 2.
Universitas Sumatera Utara
2.7. Kekongruenan
Jika a dan b adalah bilangan bulat, maka a dikatakan kongruen ke b modulo n, ditulis a
≡ b mod n, jika n habis membagi a – b. Bilangan bulat n disebut modulus kongruen Menezes et all, 1996.
Contoh : 24
≡ 4 mod 5 karena 24 – 4 = 20 dan n = 5 habis membagi 20.
2.8. Fungsi Euler
�
Untuk n ≥ 1, �
adalah bilangan bulat n yang relatif prima dengan n, dengan ketentuan Menezes et all, 1996 :
1. Jika p adalah bilangan prima, maka �
= p – 1.
2. Jika gcdm , n = 1, maka �
= �
. �
3. Jika n =
�
,
�
, ... ,
�
�
adalah faktorisasi prima dari n, maka �
= n −
�
−
�
... −
�
�
Contoh : 1.
� = − =
2. �
= � ∗ = ∗ =
3. �
= �
= −
= =
2.9. Ordo Modulo
Jika gcda, n = 1 maka ordo a modulo n adalah adalah bilangan bulat positif terkecil e
sehingga �
�
= mod . Dalam hal ini ditulis e = �
�
� Batten, 2013.
Contoh : �
: = 9 mod
, = mod
, = mod
, = mod
. Maka
� = .
Universitas Sumatera Utara
2.10. Modulo Invers
Jika a dan m relatif prima dan m 1, maka dapat ditemukan invers dari a modulo m. Invers dari amod m, disebut juga invers perkalian, yaitu bilangan bulat a
-1
Menezes et all, 1996.
Contoh : 1.
Diberikan m ≡ 3
-4
mod 7. Tentukan invers modulonya. 2.
m ≡ 3
-1 4
mod 7 3.
Tentukan invers modulo dari n ≡ 3
-1
mod 7
n n . 3 mod 7
1 3
2 6
3 3
4 5
5 1
4. n adalah hasil iterasi yang menghasilkan nilai 1. Maka dari itu n = 5.
m ≡ 5
4
mod 7 = 2.
2.11. Akar Primitif Primitive Roots
Jika m merupakan elemen bilangan bulat, n merupakan elemen bilangan asli dan ord
�
= � ,
maka m disebut akar primitif modulo n. Dengan kata lain, m adalah akar primitif jika m
termasuk pada eksponen �
modulo n. Menurut algoritma Gauss, jika m merupakan elemen bilangan asli, 1 m p,
hitung m
t
untuk t = 1,2,... hingga m
t
≡1 mod p. Dengan kata lain, hitung pangkat hingga nilai
ord
�
ditemukan. Jika t = ord
�
= p – 1, maka m adalah akar
primitif Mollin, 2007. Contoh :
Universitas Sumatera Utara
Apakah 2 dan 4 merupakan akar primitif dari 5? Cek bilangan 2 :
1. Hitung m
t
≡1 mod p :
2
1
≡ 2 mod 5, 2
2
≡ 4 mod 5, 2
3
≡ 3 mod 5, 2
4
≡ 1 mod 5
2. Karena nilai t = ord
�
= p – 1, maka 2 merupakan akar primitif modulo 5.
Cek bilangan 4 : 1.
Hitung m
t
≡1 mod p :
4
1
≡ 4 mod 5, 4
2
≡ 1 mod 5
Karena nilai t = ord
�
≠ p – 1, maka 4 bukan merupakan akar primitif modulo 5. Menurut Shoup 2008, terdapat cara menemukan akar primitif yang efisien
dengan menggunakan faktor prima dari p – 1. Langkah-langkahnya adalah sebagai
berikut : 1.
Hitung fakor prima dari p-1 hingga setiap faktor memiliki nilai yang berbeda. 2.
Untuk setiap faktor f hitung m
p-1 f
mod p. 3.
Jika tidak ada yang menghasilkan nilai 1, maka m adalah bilangan prima.
Contoh : Menggunakan cara di atas, akan dicari apakah 5 merupakan akar primitif dari 37.
1. Hitung faktor prima dari 37
f = [2, 3]
2. Untuk setiap faktor prima, hitung m
p-1 f
mod p f
[2] = 5
362
mod 37 = 36 f
[3] = 5
363
mod 37 = 10 Karena tidak ada yang menhasilkan nilai 1, maka 5 merupakan akar primitif dari 37.
2.12. Metode Pembangkit Bilangan Prima Lehmann