Relatif Prima Kekongruenan Fungsi Euler Ordo Modulo Modulo Invers Akar Primitif Primitive Roots

Contoh 1 : 1. Pilih bilangan prima p = 13 2. q = − = 6 3. q komposit, maka p = 13 bukan prima aman. Contoh 2 : 1. Pilih bilangan prima p = 23 2. q = − = 11 3. q adalah prima, makan p = 23 adalah prima aman.

2.5. Faktor Persekutuan Terbesar

Greatest Common Divisor Bilangan bulat d yang tidak negatif adalah faktor persekutuan terbesar dari bilangan bulat a dan b, ditulis d = gcda,b, jika : i d adalah faktor persekutuan dari a dan b dan ii jika c|a dan c|b, maka c|d. Demikian dapat dinyatakan bahwa, gcda,b adalah bilangan bulat positif terbesar yang membagi a dan b, dengan pengecualian gcd0,0 = 0 Menezes et all, 1996. Contoh : Faktor persekutuan dari 12 dan 18 adalah {1, 2, 3, 6}, maka gcd12,18 adalah 6.

2.6. Relatif Prima

Dua angka a dan b dikatakan relatif prima jika angka-angka tersebut tidak memiliki faktor persekutuan gcda, b = 1 Batten, 2013. Contoh : 19 dan 13 adalah relatif prima dikarenakan gcd19,13 = 1. 6 dan 8 tidak relatif prima dikarenakan gcd6,8 = 2. Universitas Sumatera Utara

2.7. Kekongruenan

Jika a dan b adalah bilangan bulat, maka a dikatakan kongruen ke b modulo n, ditulis a ≡ b mod n, jika n habis membagi a – b. Bilangan bulat n disebut modulus kongruen Menezes et all, 1996. Contoh : 24 ≡ 4 mod 5 karena 24 – 4 = 20 dan n = 5 habis membagi 20.

2.8. Fungsi Euler

� Untuk n ≥ 1, � adalah bilangan bulat n yang relatif prima dengan n, dengan ketentuan Menezes et all, 1996 : 1. Jika p adalah bilangan prima, maka � = p – 1. 2. Jika gcdm , n = 1, maka � = � . � 3. Jika n = � , � , ... , � � adalah faktorisasi prima dari n, maka � = n − � − � ... − � � Contoh : 1. � = − = 2. � = � ∗ = ∗ = 3. � = � = − = =

2.9. Ordo Modulo

Jika gcda, n = 1 maka ordo a modulo n adalah adalah bilangan bulat positif terkecil e sehingga � � = mod . Dalam hal ini ditulis e = � � � Batten, 2013. Contoh : � : = 9 mod , = mod , = mod , = mod . Maka � = . Universitas Sumatera Utara

2.10. Modulo Invers

Jika a dan m relatif prima dan m 1, maka dapat ditemukan invers dari a modulo m. Invers dari amod m, disebut juga invers perkalian, yaitu bilangan bulat a -1 Menezes et all, 1996. Contoh : 1. Diberikan m ≡ 3 -4 mod 7. Tentukan invers modulonya. 2. m ≡ 3 -1 4 mod 7 3. Tentukan invers modulo dari n ≡ 3 -1 mod 7 n n . 3 mod 7 1 3 2 6 3 3 4 5 5 1 4. n adalah hasil iterasi yang menghasilkan nilai 1. Maka dari itu n = 5. m ≡ 5 4 mod 7 = 2.

2.11. Akar Primitif Primitive Roots

Jika m merupakan elemen bilangan bulat, n merupakan elemen bilangan asli dan ord � = � , maka m disebut akar primitif modulo n. Dengan kata lain, m adalah akar primitif jika m termasuk pada eksponen � modulo n. Menurut algoritma Gauss, jika m merupakan elemen bilangan asli, 1 m p, hitung m t untuk t = 1,2,... hingga m t ≡1 mod p. Dengan kata lain, hitung pangkat hingga nilai ord � ditemukan. Jika t = ord � = p – 1, maka m adalah akar primitif Mollin, 2007. Contoh : Universitas Sumatera Utara Apakah 2 dan 4 merupakan akar primitif dari 5? Cek bilangan 2 : 1. Hitung m t ≡1 mod p : 2 1 ≡ 2 mod 5, 2 2 ≡ 4 mod 5, 2 3 ≡ 3 mod 5, 2 4 ≡ 1 mod 5 2. Karena nilai t = ord � = p – 1, maka 2 merupakan akar primitif modulo 5. Cek bilangan 4 : 1. Hitung m t ≡1 mod p : 4 1 ≡ 4 mod 5, 4 2 ≡ 1 mod 5 Karena nilai t = ord � ≠ p – 1, maka 4 bukan merupakan akar primitif modulo 5. Menurut Shoup 2008, terdapat cara menemukan akar primitif yang efisien dengan menggunakan faktor prima dari p – 1. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut : 1. Hitung fakor prima dari p-1 hingga setiap faktor memiliki nilai yang berbeda. 2. Untuk setiap faktor f hitung m p-1 f mod p. 3. Jika tidak ada yang menghasilkan nilai 1, maka m adalah bilangan prima. Contoh : Menggunakan cara di atas, akan dicari apakah 5 merupakan akar primitif dari 37. 1. Hitung faktor prima dari 37 f = [2, 3] 2. Untuk setiap faktor prima, hitung m p-1 f mod p f [2] = 5 362 mod 37 = 36 f [3] = 5 363 mod 37 = 10 Karena tidak ada yang menhasilkan nilai 1, maka 5 merupakan akar primitif dari 37.

2.12. Metode Pembangkit Bilangan Prima Lehmann