Kajian Persamaan Stabilitas Kolom Pada Portal Bergoyang

Kajian Persamaan Stabilitas Kolom pada Portal Bergoyang
Faizal Ezeddin

KAJIAN PERSAMAAN STABILITAS KOLOM PADA
PORTAL BERGOYANG
Faizal Ezeddin
Staf Pengajar Teknik Sipil FT. USU

Abstrak
Kapasitas daya dukung kolom berdasarkan panjang efektif umumnya ditetnukan berdasarkan prosedur
nomogram, dan telah diadopsi beberapa peraturan seperti AISC-LRFD (1994), ACI (1995), dan SNI (2000).
Metode ini berdasarkan beberapa asumsi yang kurang realistik, antara lain dengan asumsi semua kolom
mempunyai parameter kekakuan sama, dan hanya tergantung pada panjang, gaya aksial, momen inersia kolom.
Sebuah prosedur untuk menentukan panjang efektif kolom disajikan dlaam tulisan ini dengan menggunakan
fungsi stabilitas berdasarkan modifikasi pesamaan slope-deflection. Metode ini memperhitungkan perilaku
inelastis kolom, ketidak kakuan sambungan balok ke kolom, dan perbedaan parameter kekakuan kolom. Studi
numerik dilakukan untuk mendapatkan pengaruh parameter-parameter terhadap faktor K. kekakuan sambungan
balok ke kolom, parameter kekakuan kolom, dan kondisi ujung-ujung dari batang-batang terkekang ternyata
mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap faktor K.
Kata Kunci: Stabilitas, kolom portal bergoyang, kekakuan sambungan, faktor panjang efektif, perilaku
inelastis, teknik.

1. Pendahuluan
Kebanyakan peraturan-peraturan yang digunakan
didalam menentukan panjang efektif kolom pada
bangunan baja atau beton menggunakan prosedur
nomogram baik untuk portal bergoyang maupun
tidak bergoyang. Prosedur nomogram ini telah
diaposi oleh tulisan ini, sebuah prosedur
dikembangkan untuk memprediksi panjang efektif
kolom pada portal berdasarkan pengembangan dari
persamaan
slope-deflection
dengan
memperhitungkan
pengaruh
ketidak
kakuan
sambungan, kondisi beberapa peraturan seperti

AISC-LRFD (1994). ACI (1995), dan peraturan
Indonesia SNI (2000), dan telah digunakan secara

luas oleh para praktisi (1998), dan Liew et al (1992).
Pada Gbr Ia dapat dilihat pengaruh perbedaan beban
pada kolom terhadap panjang efektif kolom seperti
yang dilaporkan oleh Liew et al (1993) ujung-ujung
batang,d an perbedaanparameter kekakuan kolom.
Juga, diberikan hasil numerik dari beberapa contoh
yang dikaji.

Gbr 1.a Karakteristik faktor K pada portal
81

Jurnal Sistem Teknik Industri Volume 6, No. 3 Juli 2005

2.

Persamaan
termodifikasi

Slope-Deflection

yang

Tinjauan suatu balok-kolom seperti pada
Gbr 1b. persamaan slope deflection dengan
memperhitungkan perilaku inelastis batang dapat
dinyatakan sebagai berikut (Goncalves 1992) dimana
C dan S adalah fungsi stabilitas diberikan seperti

sin αL − αL cos αL
(2a)
2 − 2 cos αL − αL sin αL
αL - sinαL
S = αL
(2b)
2 − 2 cos αL − αL sin αL
P
α=
(3)
EIπ
E

η= 1
E
Δ⎤
EIη ⎡
MA =
Cθ A + Sθ B − (C + S ) ⎥ (1a)
⎢
L ⎣
L⎦
Δ⎤
EIη ⎡
MB =
Cθ B + Sθ A − (C + S ) ⎥ (1b)
⎢
L ⎣
L⎦
C = αL

⎫
⎧

⎪
⎪
untuk P < 0,39 Py ⎪
⎪1,0
E1 ⎪
⎪
=⎨
⎬
E ⎪
⎪
⎪02,7243⎛⎜ P ⎞⎟ ln⎛⎜ P ⎞⎟ untuk P > 0,39P ⎪
y
⎜P ⎟ ⎜P ⎟
⎪
⎪
y
y
⎝
⎠
⎝

⎠
⎭
⎩

dimana λc =

2π 2 E
Fy

(6)

Adalah rasio kelangsungan sebagai batas ekuk elastis
dan inelastis ; Fy = tegangan leleh dan

λ=

KL
r

(7)

Adalah rasio kelangsingan kolom ; K = faktor
panjang efektif kolom, dan r = jari-jari inersia
penampang.
Dalam

tulisan

ini

parameter

η = E E1

menggunakan
formula
dari
SSRC
karena
berhubungan langsung dengan rasio kelangsingan

kolom.
3.

Fungsi Stabilitas Tergeneralisir
Prosedur yang diberikan Chen dan Lui
(1991( dan Goncalves (1992) digunakan disini untuk
mengembangkan fungsi stabilitas elemen balok
dengan memperhitungkan syrat batasnya. Dengan
mengabaikan pengaruh deromasi aksial, maka nilai
fungsi stabilitas C = 4 dan S = 2. Bila sambungan
balok ke kolom tidak kaku sempurna tetapi fleksibel
(Gbr 2) maka bentuk persamaan slope-deflection
menjadi

dimana l = momen inersia penampang tehradap
sumbu tegak lurus bidang tekuk,; L = panjang kolom
; E = modulus elastistias bahan, dan E1 = modulus
tangen. Bila gaya aksial P = 0, maka C = 4 dan S = 2.
Di sini digunakan metode AISC-LRFD
dapat digunakan untuk mendapatkan parameter

η = E E1
-

82

antar alain :

Formula tangen modulus
diberikan dalam bentuk

AISC-LRFD

MA =

Ei ⎡ ⎛
M ⎞ ⎛
M ⎞⎤
4⎜θ a − A ⎟ + 2⎜θ B − B ⎟⎥ (8a)
⎢

L⎣ ⎝
k ⎠ ⎝
k ⎠⎦

MB =

Ei ⎡ ⎛
M ⎞ ⎛
M ⎞⎤
4⎜θ B − B ⎟ + 2⎜θ A − A ⎟⎥ (8b)
⎢
L⎣ ⎝
k ⎠ ⎝
k ⎠⎦

Kajian Persamaan Stabilitas Kolom pada Portal Bergoyang
Faizal Ezeddin

Bila persamaan (8a) dan (8b) diselesaikan dalam
bentuk MA dan MB diperoleh

Ei
[Dθ A + Tθ B ]
L
Ei
M B = [Dθ B + Tθ A ]
L
dimana
MA =

⎛ 3⎞
4⎜1 + ⎟
⎝ k⎠
D=
⎛ 6 ⎞⎛ 2 ⎞
⎜1 + ⎟⎜1 + ⎟
⎝ k ⎠⎝ k ⎠
2
T=
⎛ 6 ⎞⎛ 2 ⎞
⎜1 + ⎟⎜1 + ⎟
⎝ k ⎠⎝ k ⎠

(9a)
(9a)

4.

Persamaan Faktor Panjang Efektif
Model yang digunakan didalam menentukan
nilai K untuk kolom pada portal bergoyang
diperlihatkan pada Gbr 3. kolom yang dikaji adalah
kolom C2 pada gambar. Beberapa asumsi yang
digunakan pada model ini adalah :

(10a)

(10b)

Disebut sebagai fungsi stabilitas tergeneralisir, dan

K=

k
⎛ Ei ⎞
⎜ ⎟
⎝ L⎠

(10c)

Adalah koefisien kekakuan tanpa dimensi pada
sambungan, dan k = kekakuan sambungan dianggap
kekakuan sambungan berperilaku linear dan sama
besar untuk semua balok.
Bila ujung A adalah terhubung fleksibel
dengan batal lain dan ujung lain B dapat berupah
kondisi batas sendi atau jepit, maka memoen ujungujung dapat dinyatakan sebagai :

MA =

Ei ⎡ ⎛
M ⎞ ⎛
M ⎞⎤
4⎜θ a − A ⎟ + 2⎜θ B − B ⎟⎥ (11a)
⎢
L ⎣ ⎝
k ⎠ ⎝
k ⎠⎦

Gbr.3.
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Ei ⎡ ⎛
M ⎞ ⎛
M ⎞⎤
M B = ⎢4⎜θ B − B ⎟ + 2⎜θ A − A ⎟⎥ (11b)
L ⎣ ⎝
k ⎠ ⎝
k ⎠⎦

7.

Dimana d, T, H adalah fungsi
tergeneralisir, dengan persamaan

8.

D=

4

4
1+
k
2
T=
4
1+
k
12
4+
k
H =
4
1+
k

stabilitas

(13a)

(13b)

(13c)

Perlu diketahui bahwa bila ujung balok B adalah
jepit, maka rotasi θB dibuat nol, sedangkan memen
ujung MB adalah nol bila ujung B sendi.

Model terakit untuk faktor K pada portal
bergoyang.

Semua batang adalah prismatis.
Deformasi aksial pada balok diabaikan.
Kolom-kolom berdekatan mencapai beban
kritisnya secara bersamaan.
Ujung balok terdekat tersambung fleksibel ke
batang-batang lain.
Kondisi ujung-ujung jauh balok mungkin
fleksibel, sendi atau jepit.
Kondisi ujung-ujung jauh kolom C1 dan C3
mungkin kaku, sendi atau jepit.
Kekakuan sambungan balok ke kolom dianggap
konstan dan sama besar.
Parameter kekauan L P / EI dapat berbeda
antara satu kolom dengan lainnya.

Dengan menerapkan persamaan slope-deflection
ada struktur terakit Gbr. 3, dan membentuk
persamaan-persamaan keseimbangan pada joint A
dan B, serta keseimbangan gaya geser tingkat maka
diperoleh ;

MACI+MAC2+MAg1+ MAg2 = 0

(14a)

MAB3+MAB2+MBg3+MBg4 = 0

(14b)

MACI + MCC1+P1Δ1=0

(14c)

MAC2 + MBC2+P2Δ2=0

(14d)

MBC3 + MDC3+P3Δ3=0

(14e)

Pada saat tekuk terjadi maka determinan dari
persamaan (14a) s/d (14e) adalah sama dengan nol
83

Jurnal Sistem Teknik Industri Volume 6, No. 3 Juli 2005

a11

a12

a13

a14

a15

a 21

a 22

a 23

a 24

a 25

det a 31

a32

a33

a34

a35 = 0

a 41

a 42

a 43

a 44

a 45

a 51

a52

a53

a54

a55

(15)

Dimana koefisien a11 s/d a55 (Essa 1998) adalah
a11= Kc2C2+Kcl(C1+R1S1) + Kg1 (D1+R1T1) +
Kg2(D2+R8T2)
(16)
a12 = Kc2S2 + Kcl R2S1

a13 = K cl [C1 + S1 (1 − R3 )]

(17)

(18)

a 15 = a 23 = a 34 = a 35 = a 43 = a 45 =
a53 = a54 = 0

(19)

Yang mana R1 sampai R10 adalah koefisienkoefisien ujung jauh diberikan pada tabel 1; Kcl, Kc2,
dan Kc3 adalah masing-masing kekauan lentur dari
kolom C1, C2 dan C3; L1, L2 dan L3 adalah masingmasing panjang kolom C1, C2 dan C3 ; Kg1, Kg2, Kg3
dan Kg4 adalah masing-masing kekakuan lentur dari
balok g1, g2, g3, dan g4 ; P1, P2 dan P3 adalah
masing-masing beban aksial dari kolom C1, C2 dan
C3; D1 T1, D2, T2, D3, T3, D4 dan T4 adalah fungsi
stabilitas tergeneralisir ditentukan dari pers (10) atau
(13) untuk masing-masing balok g1, g2, g3 dan g4,
C1, S1, C2, S2, C3 DAN S3 adalah sama dengan fungsi
stabilitas C dan S masing-masing untuk kolom C1,
C2 dan C3. untuk kolom ke I (Ci), nilai parameter
kekakuan, αI dibutuhkan untuk menentukan fungsi
stabilitas C1 dan S1 dari pers (2) diperoleh sebagai

αi =

π
KL2

PiI 2η 2
P2 I iη1

(31)

Dimana Ii dan I2 masing-masing momen
inersia kolom Ci dan C2 ; Pi dan P2 adalah masingmasing beban aksial dari kolom Ci dan C2; ηI dan η2
masing-masing rasio tangen modulus terhadap
modulus elastis kolom Ci dan C2.

84

Nilai-nilai yang diberikan pada tabel 1 digunakan
untuk memenuhi kondisi-kondisi berikut.
Bila ujung jauh sendi, momen adalah nol pada
a.
ujung tersebut.
Bila ujung jauh jepit, rotasi adalah nol pada
b.
ujung tresebut.
Bila ujung kolom C1 dan C3 adalah kaku,
c.
rotasi ujung jauh diambil sebagai θC = θB
atau θD = θA
Bila ujung jauh balok adalah kaku, rotasi pada
d.
ujung jauh dan dekat adalah searah dan sama
besar.
Setelah menerapkan kondisi-kondisi diats,
hanya lima besaran yang tidak diketahui dari pers
(15), yaitu θA, θB, Δ1 / l1, Δ2 l2 Δ3 / l3. karena
nilai parameter
kekakuan L P / EI , adalah
berbeda dari satu kolom dengan kolomlainnya, maka
digunakan fungsi stabilitas yang berbeda.
5. Contoh perhitungan
Dalam
pengembangan

nomogram,

dianggap

parameter kekakuan L P / EI , adalah identik,
dimana L = panjang kolom, P = beban aksial pada
kolom, dan I = momem inersia kolom. Juga,
dianggap kondisi ujung jauh kolom atas dan bawah
begitu juga sambungan balok ke kolom adalah kaku.
Namun, pada struktur sebenarnya, parameter
kekakuan mungkin berbeda dari satu kolom edngan
kolom lainnya. Begitu juga sambungan balok ke
kolom mungkin fleksibel. Untuk menunjukkan
pengaruh parameter-parameter tehradap panjang
efektif kolom, ditinjau suatu model struktur seperti
pada Gbr. 4. disini akan diperksa stabilitas kolom
AB. Semua batas terdiri dari porfil W8X58 dari A36
dengan FY = 250 Mpa dan E = 200000 Mpa.
Semua batang mempunyai panjang sama (L1
= L4 = 4 m). beban aksial pada kolom adalah sama
(P1 = P2). Kondisi ujung jauh kolom atas dan bawah
begitu juga sambungan balok ke kolom dianggap
kaku.

Kajian Persamaan Stabilitas Kolom pada Portal Bergoyang
Faizal Ezeddin

5.1. Pengaruh Beban-beban kolom
Pada prosedur menentukan faktor K denagn
nomogram, beban aksial tidak
memberikan
kontribusi, namun banyak peneliti (Goncalves 1992,
Bridge dan Fraser 1987 dan Liew et al 1993)
membuktikanbahwa beban aksial pada kolom
mempengaruhi terhadap besarnya faktor K pada
portal tidak bergoyang.
Untuk memeriksa pengaruh beban aksial ini
terhdap bearnya faktor K, beban aksial P2 pada
kolom AB dipertahankan sama edngan kolom
dibawahnya, sementara beban aksial diatasnya P1
dibuat bervariasi sehngga o < P1 P2 < 2,0. momen
inersia dan panjang semua kolomdibuat tetap. Grafik
faktor K, sebagaimana diperoleh model elastis dan
inelastis dan dari nomogram, terhadap rasio beban
aksial P1/P2 ditunjukkan pada Gbr. 5. Panjang efektif
diperoleh dari analisis inelastis biasanya lebih kecil
dari yang diperoleh analisis elastis.
5.2.

Pengaruh dari Panjang Kolom
Untuk mempelajari pengaruh panjang kolom,
fkator K elastis dan inelastis kolom AB akan
ditentukan dari Gbr 4. panjang kolom AB L2 begitu
juga kolom dibawahnya dipertahankan tetap 4 m,
sedangkan Panjang koom atas L1 dibuat bervariasi
dari 2 m sampai 8 m. momen inersia semua kolomt
etap dibuat sama.

Pada prosedur nomogram rasio kekakuan
lentur relatif joint ujung-ujung A dan B dari kolom
digunakan menentukan faktor K. karena panjang
koom telah termasuk didalam mengevaluasi rasio
kekakuan lentur, maka dapat dikatakan bahwa
engaruh panjang kolom telah diperhitungkan penuh.
Namu, hal ini tidak memberikan hsil yang
representatif karena dari pada gbr 6, faktor K yang
diperoleh dari model elastis dan inelastis dan
nomogram, di plot sebagai fungsi dari rasio L1/L2.
faktor K yang diperoleh dari model elastis dan
inelastis meningkat bila rasio L1/L2 semakin besar.
Sebaliknya, ketika rasio L1/L2 semakin besar, faktor
K yang diperoleh dari nomogram cenderung
menurun. Bila rasio L1/L2 semakin besar, faktor K
yang diperoleh dari nomogram cenderung menurun.
Bila rasio L1/L2 > 1,0, aprameter kekakuan dari
kolom atas melebihi kolom AB dan reduksi faktor
panjang efektif dari analisis elastis cukup signifikan
lebih besar dari nilai yang diperoleh nomogram Gbr
6 dapat dilihat hasil analisis elastis tidak sama
edngan nomogram.
Pengaruh Luas Penampang Kolom
Untuk tujuan memeriksa pengaruh luas
penampang kolom atas dan bawah terhadap faktor
panjang efektif, kolom AB yang dianalsia ukurannya
tepta W8X58. (l=9490 cm4, r=9,28 cm). kolom ats
dibuat beberapa ukuran dari W8X18 (l= 2576 cm4, r
= 8,71 cm) sampai W12X72 (l=24800 cm4, r = 13,51
cm). Panjang dan beban aksial pada semua kolom
dibuat ttap. Hasil yang diperoleh seperti ditunjukkan
pada gbr. 7, yang mana faktor K, ditentukan dari
analisis elastis dan inelastis dan nomogram di plot
tehradap rasio l1/l2. dalam hal ini l1 dan I2 masingmasing momen inersia kolom atas dan W8X58.
faktor K yang diperoleh dari analisis elastis cukup
signifikan perbedannya bila dibandingkan dengan
prosedur nomorgram. Juga, dapat diamati ada
perubahan yang tajam pada faktor K inelastis.
Phenomena ini merupakan petunjuk fakta bahwa dua
parameter penampang, yaitu memen inersia dan jarijari inersia terlibat dalam Gbr 7.

Gbr. 6 Pengaruh panjang kolom atas pada faktor K
85

Jurnal Sistem Teknik Industri Volume 6, No. 3 Juli 2005

Untuk mengetahui secara terpisah pengaruh
momen inersia terhadap faktor K, profil kolom atas
W8X58 diganti dengan beberapa penapang buatan
sehinggajari-jari inersia tetap sama dengan profil
W8X5 tetapi momen inersia berbeda. Hasilnya
ditunjukkan pada gbr 8, dimana variasi faktor K yang
diperoleh dari moedl elastis dan inelastis dan dari
nomogram, di plot sebagai fungsi dari rasio l1/l2. jelas
terlihat bahwa faktor K yang diperoleh dari model
elastis sedikit lebihkecil dari yang diperoleh dari
nomogram. Untuk nilai-nilai l1/I2 yang relatif kecil,
faktor K yang diperoleh dari model elastis dan
ienlastis adalah identik. Bila diliht pada rasio l1/I2 >
1, faktor K yang diperoleh dari model elastis dan
inelastis hampir konstan.

Terakhir, dikaji secara terpisah pengaruhjari-jari
inersia terhadap faktor K. untuk ini, profil kolom atas
W8X58 diganti dengan beberapa penampang buatan,
sehingag didapt momen inersia tetap sama dengan
W8X58 tetapi jari-jari inersia dibuat berbeda. Hsil
dari analissi ini ditunjukkan pada gbr. 9, diamna
faktor K yang diperoleh dari model elastis dan
inelastis di plot terhadap rasio r1 / r2. dalam hal ini r1
dan r2 masing-masing adalah jari-jari inersia kolom
atas dan kolom AB. Sebagaimana dilihat dari gbr. 9.

5.4.

Pengaruh Sambungan Fleksibel balok ke
kolom
Untuk melihat pengaruh sambungan fleksibel
terhadap faktor K, maka kekakuan sambungan balok
ke kolom untuk keempatnya dibuat bervarisi dari nol
sampai 400 MN-m/rad, yang mana dianggap cukup

untuk mewakili berbagai tipe sambungan fleksibel,
yang ditentukan dari percobaan yang umumnya
dijumpai dalam bangunan sebenarnya (Ackroyd dan
Gerstle 1983). Beban aksial, panjang, dan momen
inersia semua kolom dibuat d kosnstan. Pada Gbr 10
ditunjukkan variasi faktor K dari analisis elastis,
inelastis dan nomogram dengan meningkatnya
kekakuan sambungan. Untuk kekakuan sambungan k
> 70 MN-m/rad, faktor K dari analsis elastis, inelastis
relatif stabil. Pada sambungan yang relatif fleksibel
(k