Pendugaan model regresi binomial negatif dengan metode kemungkinan maksimum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Model regresi Poisson secara umum digunakan untuk menganalisis data count
yang diasumsikan berdistribusi Poisson dengan nilai rata-rata dan variansinya sama
(equidispersion). Namun, seringkali terjadi masalah nilai variansi melebihi nilai ratarata atau lebih dikenal dengan overdispersi sehingga model regresi Poisson tidak tepat
digunakan. Salah satu model yang dapat digunakan untuk mengatasi masalah
overdispersi adalah dengan menggunakan model regresi Binomial Negatif.
Pendugaan parameter dapat diperoleh dengan metode pendugaan kemungkinan
maksimum melalui iterasi Newton-Raphson. Data yang digunakan dalam skripsi ini
adalah data banyaknya kematian Ibu hamil di propinsi Jawa Timur tahun 2012. Dari
perhitungan mean dan variansi diketahui bahwa terjadi overdispersi sehingga data
dimodelkan menggunakan Regresi Binomial negatif. Faktor-faktor yang
mempengaruhi banyaknya kematian Ibu adalah jumlah cakupan imunisasi tetanus
Toksoid (TT2+) pada Ibu hamil
, jumlah ibu hamil yang mendapatkan tablet FE1
(30 tablet)
,jumlah Ibu hamil yang mendapatkan tablet FE3 (90 tablet)
,jumlah cakupan imunisasi Tetanus Toksoid (TT-5) pada Ibu hamil
,cakupan
K1
, cakupan K4
, cakupan Ibu hamil yang ditolong nakes
, dan jumlah
Ibu nifas
.
Kata kunci: banyaknya kematian Ibu hamil, Regresi Poisson, Regresi Binomial
Negatif, pendugaan kemungkinan maksimum, Newton-Raphson.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Poisson regression model is generally used to analyze the count data which
is Poisson distributed with equal mean value and variance (equidispersion). However,
the problem occurs when the variance exceeds the mean value which we called as
overdispersion so that the Poisson regression model is inappropriately used. One
model that can be used to solve the overdispersion problem is the negative binomial
regression model. The estimation of the parameters can be obtained by the Maximum
Likelihood Estimation method through Newton-Raphson iteration. The data used in
this thesis is data of the number of maternal mortality of pregnant women in East
Java province in 2012. Based on the calculation of mean and variance, it is known
that there is an overdispersion problem so that the data is modeled using negative
binomial regression. Some factors that affect the number of maternal mortality are the
number of tetanus toxoid immunization coverage (TT2 +) in pregnant women
,
the number of pregnant women who get FE1 tablets (30 tablets)
, the number of
pregnant women who get Fe3 tablets (90 tablets)
, the number of Tetanus toxoid
immunization coverage (TT-5) in pregnant women
, K1 coverage
, K4
coverage
, the coverage of pregnant women which is assisted by the health
workers
, and the number of mother postpartum
.
Keywords : the number of maternal mortality of pregnant, Poisson regression ,
negative binomial regression , maximum likelihood estimation , Newton Raphson .
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PENDUGAAN MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF DENGAN
METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Program Studi Matematika
Oleh:
Maria Ansila Bouk
NIM: 123114019
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2016
i
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
THE ESTIMATION OF NEGATIVE BINOMIAL REGRESSION MODEL
USING MAXIMUM LIKELIHOOH METHOD
Thesis
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain Sarjana Sains Degree in Mathematics
By:
Maria Ansila Bouk
Student Number: 123114019
MATHEMATICS STUDY PROGRAM, MATHEMATICS DEPARTMENT
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
2016
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
SKRIPSI
PEI\IDUGAAF{ MODEL REGRESI BINOMIAL hTEGATIF DENGAN
METODE KEMT]NGKINAII MAKSIMTJM
Disusun
{.f\
-Y
114019
l,n
(Ir. Ig. Aris Dwiatnoko, M. Sc.)
Tanggal: Agustus 2016
lu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
SKRIPSI
PEI\DUGAAI{ MODEL REGRESI BINOMIAL I{EGATIF DENGAN
METODE KEMUNGKINAI{ MAKSIMUM
Disiapkan dan ditulis oleh:
Maria Ansila Bouk
NIM:123114019
Telah dipertahankan dihadapan Panitia Penguj i
Pada tanggal 24 Agustus 2016
Dan dinyatakan memenuhi syarat
Susunan Panitia Penguj
i
Nama lengkap
Ketua
: Dr. rer. nat. Herry Pribawanto Suryawan
Sekretaris
: Y. G. Hartono, Ph.
Anggota
: Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M. Sc
D
Yogyakart4
ZJ A3ut{.w 2016
Fakultas Sains dan Teknologi
ilversitas Sanata Dharma
Dekan
at
M.Math.Sc.. Ph.D.)
IV
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
HALAMAN PERSEMBAHAN
Di dalam setiap kejadian dalam kehidupan , Tuhan selalu
mempunyai maksud dan tujuan.
Skripsi ini dipersembahkan untuk
Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu menyertai, memberkati, dan memberikan kemudahan
bagi saya lewat orang-orang yang baik hati dalam setiap perjuangan saya.
Kedua orang tua Bapa Agus dan Mama Siska
Adik-adik tercinta Lista, Nandi, Ory dan Ikun
Serta almamater yang kubanggakan
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERITYATAAI{ KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak
memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam
kutipan dan daftar pustak4 sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakart4 15 Agustus 2016
Penulis
hr1^A/
V
Maria Ansila Bouk
vl
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Model regresi Poisson secara umum digunakan untuk menganalisis data count
yang diasumsikan berdistribusi Poisson dengan nilai rata-rata dan variansinya sama
(equidispersion). Namun, seringkali terjadi masalah nilai variansi melebihi nilai ratarata atau lebih dikenal dengan overdispersi sehingga model regresi Poisson tidak tepat
digunakan. Salah satu model yang dapat digunakan untuk mengatasi masalah
overdispersi adalah dengan menggunakan model regresi Binomial Negatif.
Pendugaan parameter dapat diperoleh dengan metode pendugaan kemungkinan
maksimum melalui iterasi Newton-Raphson. Data yang digunakan dalam skripsi ini
adalah data banyaknya kematian Ibu hamil di propinsi Jawa Timur tahun 2012. Dari
perhitungan mean dan variansi diketahui bahwa terjadi overdispersi sehingga data
dimodelkan menggunakan Regresi Binomial negatif. Faktor-faktor yang
mempengaruhi banyaknya kematian Ibu adalah jumlah cakupan imunisasi tetanus
Toksoid (TT2+) pada Ibu hamil
, jumlah ibu hamil yang mendapatkan tablet FE1
(30 tablet)
,jumlah Ibu hamil yang mendapatkan tablet FE3 (90 tablet)
,jumlah cakupan imunisasi Tetanus Toksoid (TT-5) pada Ibu hamil
,cakupan
K1
, cakupan K4
, cakupan Ibu hamil yang ditolong nakes
, dan jumlah
Ibu nifas
.
Kata kunci: banyaknya kematian Ibu hamil, Regresi Poisson, Regresi Binomial
Negatif, pendugaan kemungkinan maksimum, Newton-Raphson.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Poisson regression model is generally used to analyze the count data which
is Poisson distributed with equal mean value and variance (equidispersion). However,
the problem occurs when the variance exceeds the mean value which we called as
overdispersion so that the Poisson regression model is inappropriately used. One
model that can be used to solve the overdispersion problem is the negative binomial
regression model. The estimation of the parameters can be obtained by the Maximum
Likelihood Estimation method through Newton-Raphson iteration. The data used in
this thesis is data of the number of maternal mortality of pregnant women in East
Java province in 2012. Based on the calculation of mean and variance, it is known
that there is an overdispersion problem so that the data is modeled using negative
binomial regression. Some factors that affect the number of maternal mortality are the
number of tetanus toxoid immunization coverage (TT2 +) in pregnant women
,
the number of pregnant women who get FE1 tablets (30 tablets)
, the number of
pregnant women who get Fe3 tablets (90 tablets)
, the number of Tetanus toxoid
immunization coverage (TT-5) in pregnant women
, K1 coverage
, K4
coverage
, the coverage of pregnant women which is assisted by the health
workers
, and the number of mother postpartum
.
Keywords : the number of maternal mortality of pregnant, Poisson regression ,
negative binomial regression , maximum likelihood estimation , Newton Raphson .
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LEMBAR PER}TYATAAFT PERSETUJUAIY PI]BLIKASI KARYA ILMIAH
UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa universitas sanata Dharma:
Nama
Nomer Mahasiswa
: Maria Ansila Bouk
:123114019
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah yang berjudul:
PENDUGAAN MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF DENGAN
METODE KEMUNGKINAIY MAKSIMUM
Beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya mernberikan
kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan
dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan
data,
mendistribusikannya secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media
lain untuk kepentingan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun memberikan
royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulisDemikian pemyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal: 15 Agustus 2016
Yang menyatakan
(Maria Ansila Bouk)
lx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis haturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala
berkat dan penyertaanNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan baik.
Skripsi yang berjudul “Pendugaan Model Regresi Binomial Negatif dengan Metode
Kemungkinan Maksimum” ini adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar
sarjana Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi. Dalam penulisan skripsi ini,
tentunya penulis telah menerima bantuan baik secara moril maupum materil dari
berbagai pihak. Oleh karena itu penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih
kepada:
1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko., M. Sc selaku dosen pembimbing yang dengan
penuh kesabaran telah memberikan bimbingan nasihat dan arahan kepada
penulis.
2. Bapak Hartono, Ph. D, selaku Ketua Program Studi yang telah memberikan
banyak bimbingan dalam hal akademik dan perkuliahan.
3. Serta bapak dan ibu dosen yang telah memberikan banyak ilmu pengetahuan
kepada penulis selama menjalani perkuliahan di Universitas Sanata Dharma.
4. Mas Susilo selaku laboran yang telah banyak membantu penulis dalam
perkuliahan terutama dalam penulisan skripsi ini.
5. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas Sains
dan Teknologi yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan pembelajaran,
serta administrasi bagi penulis selama masa perkuliahan.
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6.
Bapa Agus dan Mama Siska yang penulis cintai dan banggakan, ade List4
Nandi, Ory dan Ikun yang telah banyak memberikan dukungan
dan
pengorbanan sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dengan baik.
7.
Teman-teman angkatan 2012 Program studi Matematika yaitu putri, Risma,
Happy, Bobi, Tika" Ajeng, Oksi, Juli, Ferni, Arum,
llg4 Lia, Noni, Dewi,
Manda , Anggun, Budi, Rian, Eg4 yang telah memberikan dukungan dan
semangat dalam perkuliahan terlebih dalam penyusunan skripsi ini.
Teman-Teman kos Cintia: Archa,
Lis4 Nov4 Tia, Mb. Ela Mb. Ria Mb
Ketrin, Mb. Intan, Awang, Her4 Tanti dan juga Asri dan Digna yang selalu
memberikan semangat dalam penyelesaian skripsi ini.
9.
semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persaru yang telah banyak
memberikan bantuan, dorongan dan motivasi sehingga skripsi
ini
dapat
terselesaikan.
ini
masih jauh dari kesempurnaan, maka
kritik yang konstruktii dari
semua pihak sangat diharapkan demi
Penulis menyadari bahwa skripsi
saran dan
penyempurnaan selanjutnya. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua
pihak, khususnya bagi penulis dan para pembaca pada umumnya.
Yogyakarta 15 Agustus 2016
Penulis
(Maria Ansila Bouk)
xl
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL...................................................................................................... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .................................................. ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .......................................................... iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................................... v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................. vi
HALAMAN ABSTRAK ............................................................................................. vii
HALAMAN ABSTRACT ......................................................................................... viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI....................................... ix
KATA PENGANTAR .................................................................................................. x
DAFTAR ISI ................................................................................................................ xi
DAFTAR TABEL ...........................................................................................................
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................. 1
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
Latar Belakang..................................................................................................... 1
Rumusan Masalah ............................................................................................... 3
Batasan Masalah ................................................................................................. 4
Tujuan Penulisan ................................................................................................. 4
Manfaat Penulisan ............................................................................................... 5
Metode Penulisan ................................................................................................ 5
Sistematika Penulisan .......................................................................................... 6
BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................................... 8
A. Distribusi Probabilitas ......................................................................................... 8
1. Variabel Random .............................................................................................. 8
2. Fungsi Probabilitas ............................................................................................ 8
a. Distribusi Probabilitas Diskrit ....................................................................... 8
b. Distribusi Probabilitas Kontinu ..................................................................... 9
3. Karakteristik Distribusi Probabilitas ................................................................. 9
a. Mean ............................................................................................................ 9
b. Variansi ..................................................................................................... 10
c. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen .................................................. 10
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
B. Distribusi Poisson .............................................................................................. 13
C. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya ................................................................ 15
D. Distribusi Binomial Negatif .............................................................................. 18
E. Distribusi Binomial Negatif sebagai Campuran Distribusi Poisson-Gamma.... 22
F. Metode Maksimum Likelihood ......................................................................... 25
G. Metode Numerik Newton-Raphson ................................................................... 28
H. Keluarga Eksponensial ...................................................................................... 32
1. Distribusi Poisson merupakan keluarga eksponensial .................................... 33
2. Distribusi Binomial merupakan keluarga eksponensial .................................. 34
I. Model Regresi Linear Berganda ........................................................................ 36
J. Jenis Data Penelitian.......................................................................................... 37
1. Data berdasarkan sumbernya .......................................................................... 37
2. Data berdasarkan bentuk dan sifatnya............................................................. 38
K. Model Count Respon ......................................................................................... 41
1. Model Regresi logistik dan Regresi Probit ..................................................... 42
2. Model Regresi Poisson dan Regresi Binomial Negatif ................................... 43
L. Uji Kolmogorov-Smirnov ................................................................................. 45
BAB III PENDUGAAN MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF...................... 50
A. Model Regresi Poisson Berganda ...................................................................... 50
B. Overdispersi dan Regresi Binomial Negatif ...................................................... 54
C. Binomial Negatif sebagai Keluarga Eksponensial ............................................ 56
D. Model Regresi Binomial Negatif....................................................................... 61
E. Pendugaan Parameter untuk Model Regresi Binomial Negatif dengan Metode
Maksimum likelihood ........................................................................................ 62
F. Uji Kebaikan Model .......................................................................................... 76
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV PEMODELAN REGRESI BINOMIAL NEGATIF PADA DATA
BANYAKNYA KEMATIAN IBU DI PROPINSI JAWA TIMUR ........................... 88
A. Deskripsi Data ................................................................................................... 91
B. Pengolahan Data ................................................................................................ 91
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Uji Kolmogorov-Smirnov ............................................................................... 92
Pendugaan Model regresi Poisson .................................................................. 93
Uji Signifikansi Parameter .............................................................................. 94
Uji Overdispersi pada Model Regresi Poisson ............................................... 96
Pendugaan Model Regresi Binomial Negatif .................................................. 97
Uji Signifikansi Model regresi Binomial Negatif ........................................... 97
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .................................................................... 100
A. Kesimpulan ...................................................................................................... 100
B. Saran ............................................................................................................... 101
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................... 102
LAMPIRAN .............................................................................................................. 106
xiv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Data suatu sampel acak untuk contoh 2.4 .................................................. 47
Tabel 2.2 Hasil Pengujian Kolmogorov-Smirnov ...................................................... 48
Tabel 3.1 Data banyaknya kasus campak pada
kecamatan di kota Semarang ...... 81
Tabel 3.2 Hasil Pengujian Kolmogorov-Smirnov ..................................................... 83
Tabel 3.3 Parameter
,
,
,
,
untuk Regresi poisson .................................. 84
Tabel 3.4 Parameter
,
,
,
,
untuk Regresi Binomial Negatif ................... 86
Tabel 4.1 Deskripsi Data ............................................................................................ 91
Tabel 4.2 Hasil Pengujian Kolmogorov-Smirnov .......................................................... 93
Tabel 4.3 Parameter
,
,
,
,
,
,
,
,
untuk Regresi poisson .......... 93
Tabel 4.4 Parameter , , , , , , , , untuk Regresi Binomial Negatif
..................................................................................................................................... 97
xv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Regresi adalah suatu metode yang digunakan untuk menganalisis
hubungan antara suatu variabel dependen dengan satu atau lebih variabel
independen. Pada umumnya, analisis regresi digunakan untuk menganalisis data
variabel dependen yang berupa data kontinu. Namun dalam beberapa aplikasinya,
data variabel dependen yang akan dianalisis dapat berupa data diskrit. Variabel
dependen diskrit dapat berupa data count yaitu data yang nilainya nonnegatif dan
menyatakan banyaknya kejadian dalam interval waktu, ruang, atau volume
tertentu. Ketika variabel dependen berupa data count, analisis regresi yang biasa
digunakan adalah analisis regresi Poisson. Pada regresi ini variabel dependen
diasumsikan berdistribusi Poisson, dengan fungsi probabilitasnya adalah
� � =
�
�!
−�
,
� = , , , … dengan
>
Analisis Regresi Poisson adalah suatu model yang digunakan untuk
menganalisis hubungan antara variabel dependen yang berdistribusi Poisson
dengan beberapa variabel independen. Pada model Regresi Poisson terdapat
asumsi yang harus dipenuhi yaitu nilai variansi dari data yang diperoleh harus
sama dengan nilai meannya atau disebut ekuidispersi (equidispersion).
� � = ��� � =
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Pada kenyataannya asumsi ini sangat jarang terjadi karena biasanya data
count memiliki variansi yang lebih besar dari mean atau disebut kondisi
��� � > � � ) atau sebaliknya mean lebih besar dari pada
overdispersi
variansi atau disebut underdispersi
��� � < � � . Jika pada data diskrit
terjadi overdispersi namun tetap digunakan model regresi Poisson maka estimasi
parameter koefisien regresinya tetap konsisten tetapi tidak efisien karena
berpengaruh
pada
nilai
standar
galat
(underestimate).
Hal
itu
dapat
mengakibatkan kesimpulan yang akan dihasilkan menjadi tidak tepat atau tidak
sesuai dengan data. Alternatif model regresi yang lebih sesuai untuk data
overdispersi adalah model regresi Binomial Negatif. Pada regresi ini variabel
dependen
diasumsikan
berdistribusi
Binomial
Negatif,
dengan
fungsi
probabilitasnya dihasilkan dari distribusi campuran Poisson-Gamma yaitu
� =
dengan y = 0,1,2,…
Γ �+
Γ
�
1⁄
�
�
� ( � ) (
)
+�
+�
�!
Model regresi Binomial Negatif memiliki kegunaan yang sama dengan
model regresi Poisson yaitu untuk menganalisis hubungan antara suatu variabel
dependen dengan satu atau lebih variabel independen. Namun model regresi
Binomial Negatif lebih fleksibel dibandingkan dengan model Poisson karena
asumsi mean dan variansi dari model Binomial Negatif tidak harus sama. Model
ini juga memiliki parameter dispersi yang berguna menggambarkan variasi dari
data yang biasa dinotasikan dengan k. Model Binomial Negatif yang akan
digunakan adalah Model Binomial Negatif yang merupakan model campuran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
antara distribusi Poisson dan Gamma. Distribusi Gamma digunakan untuk
menyesuaikan kehadiran overdispersi dalam model Poisson.
Dari dua buah model regresi yang digunakan untuk data count, yaitu
Poisson dan Binomial Negatif, model Binomial Negatif memiliki bentuk yang
lebih umum karena model Poisson dapat dinyatakan dalam model Binomial
Negatif ketika parameter dispersinya mendekati nol (k 0) atau dapat dikatakan
data dalam keadaan ekuidispersi. Jadi, model Binomial Negatif pada dasarnya
dapat digunakan untuk berbagai kasus data count. Dalam penulisan ini akan lebih
dikhususkan untuk masalah pendugaan model regresi Binomial Negatif pada
kasus overdispersi. Pendugaan parameter dapat diperoleh dengan menggunakan
metode pendugaan kemungkinan maksimum melalui iterasi Newton-Raphson.
Adapun beberapa aplikasi dari model Binomial Negatif diantaranya adalah
memodelkan kasus terjadinya penyakit demam berdarah dengue (DBD) dan untuk
mengetahui besarnya pengaruh variabel-variabel yang mempengaruhi terjadinya
penyakit DBD, pemodelan banyaknya kematian Ibu di suatu daerah, model
prediksi kecelakaan lalulintas jalan tol, penggolongan resiko jumlah klaim
asuransi kendaraan dan lain-lainnya.
B. Rumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan dibicarakan dalam skripsi ini adalah:
1. Bagaimana landasan matematis pendugaan model regresi Binomial Negatif
dengan metode kemungkinan maksimum?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
2. Bagaimana menduga parameter-parameter pada model regresi Binomial
Negatif dengan menggunakan metode pendugaan kemungkinan maksimum
melalui iterasi Newton-Raphson?
3. Bagaimana menerapkan model regresi Binomial Negatif pada Poisson yang
mengalami Overdispersi dengan metode Newton-Raphson dalam masalah
nyata?
C. Batasan Masalah
Agar dalam pembahasan tidak terlalu luas dan hasilnya mendekati pokok
permasalahan, maka dalam penulisan skripsi ini hanya akan membahas:
1. Model Regresi Binomial Negatif yang merupakan model campuran Distribusi
Poisson-Gamma untuk kasus Poisson yang mengalami Overdispersi.
2. Pendugaan parameter dilakukan dengan menggunakan metode pendugaan
kemungkinan maksimum melalui iterasi Newton-Raphson.
3. Penulis tidak membahas tentang generalisasi dari Distribusi Binomial Negatif
sebagai campuran distribusi Poisson dan Gamma.
4. Penulis hanya membahas tentang distribusi Poisson yang mengalami
overdispersi.
5. Dalam perhitungan penulis menggunakan program R dan SPSS.
6. Penulis tidak membahas tentang Prior Natural Conjugate.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan skripsi ini adalah:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
1. Untuk memahami landasan matematis pendugaan model regresi Binomial
Negatif dengan metode Newton-Raphson.
2. Untuk dapat menduga parameter-parameter pada model regresi Binomial
Negatif menggunakan metode pendugaan kemungkinan maksimum melalui
iterasi Newton-Raphson.
3. Untuk dapat menerapkan model regresi Binomial Negatif pada Poisson yang
mengalami Overdispersi dengan metode Newton-Raphson dalam masalah
nyata.
4. Untuk memenuhi tugas dalam mencapai gelar sarjana.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat Penulisan ini adalah untuk memperoleh pengetahuan tentang
Regresi Binomial Negatif, membahas dasar-dasar teori yang terkait, dapat
menentukan parameter-parameter dari model regresi Binomial Negatif, serta dapat
menduga model banyaknya kematian Ibu di propinsi Jawa Timur menggunakan
model regresi Binomial Negatif.
F. Metode penulisan
. Metode yang digunakan penulis dalam penulisan skripsi ini adalah
metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau
jurnal-jurnal yang berkaitan dengan pendugaan model regresi Binomial Negatif
dengan metode Pendugaan Kemungkinan Maksimum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
G. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan pada skripsi ini meliputi lima Bab yaitu:
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II LANDASAN TEORI
A. Distribusi Probabilitas
B. Distribusi Poisson
C. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya
D. Distribusi Binomial Negatif
E. Distribusi Binomial Negatif sebagai campuran Distribusi PoissonGamma
F. Metode Maksimum Likelihood
G. Metode numerik Newton-Raphson
H. Keluarga Eksponensial
I.
Model Regresi Linear Berganda
J.
Jenis Data Penelitian
K. Model Count Respon
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
L. Uji Kolmogorov-Smirnov
BAB III PENDUGAAN MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF
A. Model Regresi Poisson Berganda
B. Overdispersi dan regresi Binomial Negatif
C. Binomial Negatif sebagai keluarga Eksponensial
D. Model Regresi Binomial Negatif
E. Pendugaan Parameter untuk Model Regresi Binomial Negatif dengan
Metode Maksimum Likelihood
F. Uji Kebaikan Model
BAB IV PEMODELAN REGRESI BINOMIAL NEGATIF PADA DATA
BANYAKNYA KEMATIAN IBU DI PROPINSI JAWA TIMUR
A. Deskripsi Data
B. Pengolahan Data
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Distribusi Probabilitas
1. Variabel Random
Definisi 2.1
Variabel random
adalah fungsi bernilai riil yang domainnya adalah ruang
sampel.
Definisi 2.2
Sebuah variabel random dikatakan variabel random diskrit jika himpunan dari
kemungkinan hasilnya adalah terbilang. Jika tidak memenuhi definisi di atas
maka variabel random di atas disebut variabel random kontinu.
2. Fungsi Probabilitas
a. Distribusi Probabilitas Diskrit
Definisi 2.3
Himpunan pasangan terurut
,
adalah fungsi probabilitas, atau
distribusi probabilitas dari suatu variabel random diskrit X jika
1) �
2)
3) ∑∀
=
=
=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Definisi 2.4
Fungsi distribusi kumulatif
(cumulative distribution function) dari
sebuah variabel random diskrit
dengan distribusi probabilitas
=�
=∑
−∞<
�≤
adalah
Untuk
−
=∫
−
dan nilai dari integral tersebut adalah bilangan positif.
Fungsi Gamma memiliki sifat sebagai berikut:
a. Jika
b. Jika
c. Jika
∞ −
= , maka Γ
=∫
> , maka Γ
=∫
adalah suatu bilangan bulat positif maka diperoleh Γ
Definisi 2.14
∞
Suatu variabel acak kontinu
parameter
berikut:
= .
−
−
=
−
Γ
−
=
−
!.
dikatakan berdistribusi Gamma dengan
dan β jika variabel tersebut mempunyai fungsi probabilitas sebagai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Dengan
,
− ⁄
−
={ Γ
∞
,
yang lainnya
> 0.
Teorema 2.3
Jika
adalah berdistribusi Gamma dengan parameter
Bukti:
=
dan � = �
dan
=
maka
=
1. Mean
Berdasarkan definisi 2.7
=∫
∞
−∞
=∫
∞
−
Berasarkan definisi fungsi probabilitas maka
∫
Sehingga diperoleh
∫
∞
−
−
=
∞
−
−
Γ
=
Γ
=∫
=
Γ
Berdasarkan persamaan 2.1 diperoleh
∞
∫
∞
Γ
−
Γ
.
−
−
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
=
+
Γ
Berdasarkan sifat fungsi Gamma maka Γ
=
Γ
=
Γ
=
2. Variansi
+
Γ
+
+
= Γ α , maka diperoleh
Γ
Γ
Berdasarkan teorema 2.1
�
=
=∫
=∫
=
∞
∞
−(
−
−
Γ
+
Γ
∫
Γ
)
−
∞
+
−
Berdasarkan persamaan 2.1 dan definisi sifat fungsi Gamma, maka diperoleh
=
=
=
Sehingga,
=
Γ
+
+ Γ
Γ
+
Γ
+
Γ
Γ
+
+
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
�
=
−(
=
+
=
+
=
−
)
−
D. Distribusi Binomial Negatif
Distribusi Binomial Negatif merupakan distribusi yang memiliki beberapa
cara dalam hal pendekatannya. Pendekatan klasik yang sering digunakan adalah
Distribusi Binomial Negatif sebagai barisan percobaan Bernoulli yaitu jumlah
percobaan Bernoulli yang dibutuhkan sampai terjadi � buah sukses, dengan setiap
ulangan saling bebas, dan probabilitas sukses pada setiap percobaan konstan yaitu
sedangkan probabilitas gagal yaitu
Misalkan
− .
adalah banyaknya kegagalan sebelum sukses ke-�, maka � −
sukses dapat terjadi pada sebarang waktu sebelum
variabel acak
−
ulangan. Misalkan
menyatakan banyaknya ulangan yang dibutuhkan sampai terjadi �
buah sukses, maka
berdistribusi Binomial Negatif dengan fungsi probabilitas
sebagai berikut
=
−
−
�
−
−�
dengan
Fungsi probabilitas dari variabel acak
lain. Misalkan terdapat
= , + , + ,
dapat dinotasikan ke dalam bentuk
banyaknya kegagalan sebelum sukses ke-� maka
merupakan penjumlahan dari
kegagalan dengan � buah sukses atau
Jadi, akan dibentuk variabel acak baru yaitu
=
+ �.
, yang menyatakan banyaknya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
kegagalan sebelum terjadi � buah sukses dengan metode transformasi variabel
dengan fungsi transformasinya
Definisi 2.14
Variabel acak
=
− �.
disebut berdistribusi Binomial Negatif jika memiliki fungsi
probabilitas
sebagai berikut
+�−
�−
=
Contoh 2.1
�
−
dengan
= , , ,
Seorang dokter anak merekrut 5 pasangan untuk berpartisipasi dalam penelitiannya.
Masing-masing pasangan berharap untuk melahirkan anak secara normal. Misalkan
= � (pasangan yang dipilih secara acak setuju untuk berpartisipasi). Jika
= . ,
berapakah probabilitas bahwa 15 pasangan harus ditanya sebelum ditemukan 5
pasangan yang setuju untuk berpartisipasi?
Penyelesaian:
Diketahui � = ,
Teorema 2.4
=
= . ,
+ −
−
=
sehingga
.
− .
=
Mean dan variansi dari distribusi Binomial Negatif adalah
=
� �
=
�
=
�
−
−
.
.
= .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Bukti:
1. Mean
=
Misalkan
Maclaurin yaitu:
−
−�
=
Dengan − <
−
−�
=
+
�+
+ −
−
= −
−�
+ −
∞
!
=
−�
+
−� −� −
−�
+�−
)=
�−
=
+
dapat mengikuti ekspansi deret
+
!
�
!
�+
+
−
−� −
!
+
+�−
+�−
+�−
!
Sehingga Berdasarkan definisi 2.10 diperoleh
=
��
+
+
+
�+
−
!
−� −
−�
+ −
+�−
+�− −�+
−�
= −
−
−� −� −
!
−�
+ −
−�
=∑ −
(
+
sehingga diperoleh
+� +
=
, dalam kalkulus
′
+
<
+
−�
−
�+
!
�+
�
�
+
+
!
�+
+
+
+
�
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
∞
�
=∑
=
∞
=
�
=
�[
=
Sehingga diperoleh
′
=
=
=
=
=
=
2. Variansi
∞
=
−
�
(
[ −
−
�
−
�
−
�
−
�
−
−
[ −
�
� �−
=
=
−(
(
[ −
� ]�
)|
� �−
�=
−
∎
�
−
−
�]
� ]�
Berdasarkan teorema 2.1
� �
�]
−
[
�
�
−
� ]−�
−
−
�
�[
−�
∑ −
[ −
−�
+�−
)
�−
+�−
)
�−
= ∑(
=
(
)
� ]�
)|
�=
∙−
� ]�
−
.
�
|
�=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
=
Sehingga,
=
−�
�
� �
−
[ +
−
=
=
=
=
�
−
�
−
�
−
−
[ −
−
� �−
]
−(
[ +
−
)
[ +
∙−
� ]�
−
−
]
−
−�
−
.
�
|
�=
−
−
]
∎
E. Distribusi Binomial Negatif sebagai Campuran Distribusi Poisson-Gamma
Salah satu cara terbentuknya distribusi Binomial Negatif adalah terjadinya
overdispersi pada saat menggunakan distribusi Poisson. Data count biasanya
memiliki variansi yang lebih besar dari mean, atau yang disebut dengan kondisi
overdispersi. Misalkan
Poisson dengan
adalah variabel acak dari suatu populasi yang berdistribusi
=� �
=
. Kondisi data seperti ini disebut dengan
ekuidispersi. Pada kenyataannya, jarang sekali ditemukan data count dalam kondisi
ekuidispersi. Pada distribusi Poisson terdapat asumsi mean (
nilai dari , namun dalam kondisi overdispersi,
konstan untuk setiap
tidak lagi konstan atau bervariasi
antar observasi pada populasi. Hal ini menunjukkan bahwa populasi tersebut
bergantung pada , sehingga dapat dikatakan bahwa
variabel acak Ω yang memiliki distribusi tertentu.
merupakan nilai dari suatu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Distribusi Gamma dengan parameter
dan
dipilih sebagai distribusi dari
Ω karena distribusi Gamma merupakan prior natural conjugate dari distribusi
Poisson. Karena Ω berdistribusi Gamma dengan parameter
dari Ω adalah
=
= / . Misalkan
atau
= /
dan , maka mean
maka dapat dikatakan
bahwa Ω berdistribusi Gamma dengan parameter (1/k) dan
probabilitasnya
ℎ
=
−
Γ
−
exp ( )
Fungsi probabilitas bersama antara | dan Ω adalah
| ℎ
−
=
!
+ −
=
Γ
Fungsi probabilitas marginal dari
| ℎ
=∫
=∫
=
=
Γ
Γ
∞
+ −
Γ
exp − +
!
!
∫
∫
∞
∞
∙
!
Γ
exp − +
adalah
!
−
−
−
+ −
−
exp (− +
+
−
)
+ −
−
( )
dengan fungsi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
=
=
=
Γ
!
Γ
!
Γ
Misalkan
persamaan
=
=
=
=
=
=
!
∫
∫
∞
−
+
∞
−
+
(
+
+
=
)
+ −
∫
, maka
�
Γ
!
!
Γ
!
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
!
+
!
!
(
(
(
(
(
+
+
+
+
+
+
) (
)
)
)
)
(
−
+
=
+ −
∫
+ −
+
+
) (
+
(
∫
∞
+ −
)
(
+
sehingga
=
−
+ −
∞
+
−
)∫
(
+
)
)
∞
−
+ −
) Γ( + )
+ −
+ −
+ −
+
Γ( + )
+
+ −
+
)
+
+
∞
menjadi
(
+ −
sehingga
+
+
+ −
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
fungsi probabilitas dari Distribusi Binomial Negatif sebagai campuran PoissonGamma adalah
; ,
=
Γ
!Γ
+
(
+
) (
+
(2.2)
)
Distribusi Binomial Negatif dengan fungsi probabilitas pada persamaan
2.2 disebut sebagai distribusi campuran Poisson-Gamma. Penurunan distribusi
Binomial Negatif di atas tidak berhubungan dengan penurunan klasik sebagai
barisan dari percobaan Bernouli pada subbab sebelumnya.
F. Metode Maksimum Likelihood
Salah satu metode dalam pendugaan parameter adalah metode Pendugaan
Kemungkinan Maksimum (Maksimum Likelihood Estimation/MLE). Metode ini
pertama kali diperkenalkan oleh R.A Fisher pada tahun 1912. Metode pendugaan
ini dapat diterapkan di sebagian besar masalah dan memiliki daya tarik intuitif yang
kuat, dan sering menghasilkan penduga yang baik bagi parameter �. Selain itu
untuk sampel yang sangat besar, metode ini menghasilkan penduga yang sangat
baik bagi �.
Definisi 2.16
Penduga Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimator/MLE) �̂
dari � memaksimumkan fungsi likelihood, L �|
memaksimumkan log-likelihood
�|
.
atau ekuivalen dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
,
Misalkan
,…,
dengan fungsi probabilitas
adalah variabel random kontinu berukuran
, � dan � adalah parameter yang tidak diketahui.
Fungsi likelihood dari sampel random adalah fungsi densitas bersama dari
variabel random yang merupakan fungsi dari parameter yang tidak diketahui,
sehingga fungsi likelihood adalah
� � =∏
.
;�
Selain itu, karena biasanya sulit untuk mencari turunan fungsi likelihood,
maka yang dilakukan adalah menentukan nilai maksimum dari logaritma natural
fungsi likelihood tersebut atau disebut dengan fungsi log-likelihood. Fungsi loglikelihood dapat ditulis dalam bentuk :
= ln � �
.
Nilai parameter � dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi peluang. Hal
tersebut dilakukan dengan mencari turunan parsial pertama dari fungsi likelihoodnya terhadap setiap parameternya. Sehingga, MLE �̂ merupakan penyelesaian dari
persamaan berikut :
Misalkan terdapat
�
=
��
parameter yang tidak diketahui, maka pendugaan parameter �
dengan Metode Kemungkinan Maksimum
�
=
��
Dengan = , , … ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Contoh 2.2
,
Misalkan
mean
,…,
adalah sampel random berdistribusi eksponensial dengan
. Temukan ̂ dengan menggunakan Metode maksimum
dan variansi
likelihood.
Penyelesaian:
,
,…,
variansi
adalah variabel random berdistribusi eksponensial dengan mean
dan
maka fungsi probabilitasnya didefinisikan sebagai
−
={
Poisson
merupakan
keluarga
eksponensial maka persamaan di atas ditulis ke dalam bentuk persamaan 2.6
yaitu
� −
; �, � = exp {
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
�
�
+
;� }
a. Kedua ruas dari fungsi probabilitas distribusi Poisson di ubah dalam bentuk
log diperoleh
= log (
log(
)=
!
−
)
log − − log !
2.7
b. Persamaan 2.7 diubah dalam bentuk eksponensial diperoleh
=
{ log − − log ! }
2.8
Sehingga dari persamaan 2.8 diperoleh
� = log sehingga
=
�
;
� =
�
,
� = ;
; � = −log !
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Sehingga turunan pertama dan turunan kedua dari
� =
akan menghasilkan mean dan variansi sebagai berikut:
=
=
=
=
=
=
2.
terhadap �
�( � )
��
�( � )
��
�
=
� �
�
� ( � )
��
�
� ( �)
��
�
=
Distribusi Binomial merupakan keluarga eksponensial
Variabel random
yang menyatakan banyaknya sukses pada
Bernoulli berdistribusi Binomial yang diberikan dengan
=
kali percobaan
yaitu
−
−
untuk menunjukkan bahwa distribusi Binomial merupakan keluarga
eksponensial maka persamaan di atas ditulis ke dalam bentuk persamaan 2.6
yaitu
; �, � = exp {
� −
�
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
�
+
;� }
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
a. Kedua ruas dari fungsi probabilitas distribusi Binomial diubah dalam
bentuk log diperoleh
log(
+
)=
log +
−
log
2.9
−
b. Persamaan 2.9 diubah dalam bentuk eksponensial diperoleh
{ [log − log
=
=
{ log (
−
] + log
−
) + log
−
Dari persamaan 2.10 diperoleh � = log
karena
dan
=
�
+
�
sehingga
;� =
.
−
=( +
−
+
� −
�
−�
) ,
}
sehingga
� =
Sehingga turunan pertama dan turunan kedua dari
�
}
+
log
� =
�
=
+
log
.
�
−�
�
+
terhadap � akan menghasilkan mean dan variansi sebagai berikut:
=
�( � )
��
�( log( +
=
��
=
� �
=
=
�
+
� ( � )
��
�
+
))
�
� ( log( +
=
�
ABSTRAK
Model regresi Poisson secara umum digunakan untuk menganalisis data count
yang diasumsikan berdistribusi Poisson dengan nilai rata-rata dan variansinya sama
(equidispersion). Namun, seringkali terjadi masalah nilai variansi melebihi nilai ratarata atau lebih dikenal dengan overdispersi sehingga model regresi Poisson tidak tepat
digunakan. Salah satu model yang dapat digunakan untuk mengatasi masalah
overdispersi adalah dengan menggunakan model regresi Binomial Negatif.
Pendugaan parameter dapat diperoleh dengan metode pendugaan kemungkinan
maksimum melalui iterasi Newton-Raphson. Data yang digunakan dalam skripsi ini
adalah data banyaknya kematian Ibu hamil di propinsi Jawa Timur tahun 2012. Dari
perhitungan mean dan variansi diketahui bahwa terjadi overdispersi sehingga data
dimodelkan menggunakan Regresi Binomial negatif. Faktor-faktor yang
mempengaruhi banyaknya kematian Ibu adalah jumlah cakupan imunisasi tetanus
Toksoid (TT2+) pada Ibu hamil
, jumlah ibu hamil yang mendapatkan tablet FE1
(30 tablet)
,jumlah Ibu hamil yang mendapatkan tablet FE3 (90 tablet)
,jumlah cakupan imunisasi Tetanus Toksoid (TT-5) pada Ibu hamil
,cakupan
K1
, cakupan K4
, cakupan Ibu hamil yang ditolong nakes
, dan jumlah
Ibu nifas
.
Kata kunci: banyaknya kematian Ibu hamil, Regresi Poisson, Regresi Binomial
Negatif, pendugaan kemungkinan maksimum, Newton-Raphson.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Poisson regression model is generally used to analyze the count data which
is Poisson distributed with equal mean value and variance (equidispersion). However,
the problem occurs when the variance exceeds the mean value which we called as
overdispersion so that the Poisson regression model is inappropriately used. One
model that can be used to solve the overdispersion problem is the negative binomial
regression model. The estimation of the parameters can be obtained by the Maximum
Likelihood Estimation method through Newton-Raphson iteration. The data used in
this thesis is data of the number of maternal mortality of pregnant women in East
Java province in 2012. Based on the calculation of mean and variance, it is known
that there is an overdispersion problem so that the data is modeled using negative
binomial regression. Some factors that affect the number of maternal mortality are the
number of tetanus toxoid immunization coverage (TT2 +) in pregnant women
,
the number of pregnant women who get FE1 tablets (30 tablets)
, the number of
pregnant women who get Fe3 tablets (90 tablets)
, the number of Tetanus toxoid
immunization coverage (TT-5) in pregnant women
, K1 coverage
, K4
coverage
, the coverage of pregnant women which is assisted by the health
workers
, and the number of mother postpartum
.
Keywords : the number of maternal mortality of pregnant, Poisson regression ,
negative binomial regression , maximum likelihood estimation , Newton Raphson .
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PENDUGAAN MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF DENGAN
METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Program Studi Matematika
Oleh:
Maria Ansila Bouk
NIM: 123114019
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2016
i
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
THE ESTIMATION OF NEGATIVE BINOMIAL REGRESSION MODEL
USING MAXIMUM LIKELIHOOH METHOD
Thesis
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain Sarjana Sains Degree in Mathematics
By:
Maria Ansila Bouk
Student Number: 123114019
MATHEMATICS STUDY PROGRAM, MATHEMATICS DEPARTMENT
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
2016
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
SKRIPSI
PEI\IDUGAAF{ MODEL REGRESI BINOMIAL hTEGATIF DENGAN
METODE KEMT]NGKINAII MAKSIMTJM
Disusun
{.f\
-Y
114019
l,n
(Ir. Ig. Aris Dwiatnoko, M. Sc.)
Tanggal: Agustus 2016
lu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
SKRIPSI
PEI\DUGAAI{ MODEL REGRESI BINOMIAL I{EGATIF DENGAN
METODE KEMUNGKINAI{ MAKSIMUM
Disiapkan dan ditulis oleh:
Maria Ansila Bouk
NIM:123114019
Telah dipertahankan dihadapan Panitia Penguj i
Pada tanggal 24 Agustus 2016
Dan dinyatakan memenuhi syarat
Susunan Panitia Penguj
i
Nama lengkap
Ketua
: Dr. rer. nat. Herry Pribawanto Suryawan
Sekretaris
: Y. G. Hartono, Ph.
Anggota
: Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M. Sc
D
Yogyakart4
ZJ A3ut{.w 2016
Fakultas Sains dan Teknologi
ilversitas Sanata Dharma
Dekan
at
M.Math.Sc.. Ph.D.)
IV
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
HALAMAN PERSEMBAHAN
Di dalam setiap kejadian dalam kehidupan , Tuhan selalu
mempunyai maksud dan tujuan.
Skripsi ini dipersembahkan untuk
Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu menyertai, memberkati, dan memberikan kemudahan
bagi saya lewat orang-orang yang baik hati dalam setiap perjuangan saya.
Kedua orang tua Bapa Agus dan Mama Siska
Adik-adik tercinta Lista, Nandi, Ory dan Ikun
Serta almamater yang kubanggakan
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERITYATAAI{ KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak
memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam
kutipan dan daftar pustak4 sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakart4 15 Agustus 2016
Penulis
hr1^A/
V
Maria Ansila Bouk
vl
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Model regresi Poisson secara umum digunakan untuk menganalisis data count
yang diasumsikan berdistribusi Poisson dengan nilai rata-rata dan variansinya sama
(equidispersion). Namun, seringkali terjadi masalah nilai variansi melebihi nilai ratarata atau lebih dikenal dengan overdispersi sehingga model regresi Poisson tidak tepat
digunakan. Salah satu model yang dapat digunakan untuk mengatasi masalah
overdispersi adalah dengan menggunakan model regresi Binomial Negatif.
Pendugaan parameter dapat diperoleh dengan metode pendugaan kemungkinan
maksimum melalui iterasi Newton-Raphson. Data yang digunakan dalam skripsi ini
adalah data banyaknya kematian Ibu hamil di propinsi Jawa Timur tahun 2012. Dari
perhitungan mean dan variansi diketahui bahwa terjadi overdispersi sehingga data
dimodelkan menggunakan Regresi Binomial negatif. Faktor-faktor yang
mempengaruhi banyaknya kematian Ibu adalah jumlah cakupan imunisasi tetanus
Toksoid (TT2+) pada Ibu hamil
, jumlah ibu hamil yang mendapatkan tablet FE1
(30 tablet)
,jumlah Ibu hamil yang mendapatkan tablet FE3 (90 tablet)
,jumlah cakupan imunisasi Tetanus Toksoid (TT-5) pada Ibu hamil
,cakupan
K1
, cakupan K4
, cakupan Ibu hamil yang ditolong nakes
, dan jumlah
Ibu nifas
.
Kata kunci: banyaknya kematian Ibu hamil, Regresi Poisson, Regresi Binomial
Negatif, pendugaan kemungkinan maksimum, Newton-Raphson.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Poisson regression model is generally used to analyze the count data which
is Poisson distributed with equal mean value and variance (equidispersion). However,
the problem occurs when the variance exceeds the mean value which we called as
overdispersion so that the Poisson regression model is inappropriately used. One
model that can be used to solve the overdispersion problem is the negative binomial
regression model. The estimation of the parameters can be obtained by the Maximum
Likelihood Estimation method through Newton-Raphson iteration. The data used in
this thesis is data of the number of maternal mortality of pregnant women in East
Java province in 2012. Based on the calculation of mean and variance, it is known
that there is an overdispersion problem so that the data is modeled using negative
binomial regression. Some factors that affect the number of maternal mortality are the
number of tetanus toxoid immunization coverage (TT2 +) in pregnant women
,
the number of pregnant women who get FE1 tablets (30 tablets)
, the number of
pregnant women who get Fe3 tablets (90 tablets)
, the number of Tetanus toxoid
immunization coverage (TT-5) in pregnant women
, K1 coverage
, K4
coverage
, the coverage of pregnant women which is assisted by the health
workers
, and the number of mother postpartum
.
Keywords : the number of maternal mortality of pregnant, Poisson regression ,
negative binomial regression , maximum likelihood estimation , Newton Raphson .
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LEMBAR PER}TYATAAFT PERSETUJUAIY PI]BLIKASI KARYA ILMIAH
UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa universitas sanata Dharma:
Nama
Nomer Mahasiswa
: Maria Ansila Bouk
:123114019
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah yang berjudul:
PENDUGAAN MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF DENGAN
METODE KEMUNGKINAIY MAKSIMUM
Beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya mernberikan
kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan
dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan
data,
mendistribusikannya secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media
lain untuk kepentingan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun memberikan
royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulisDemikian pemyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal: 15 Agustus 2016
Yang menyatakan
(Maria Ansila Bouk)
lx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis haturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala
berkat dan penyertaanNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan baik.
Skripsi yang berjudul “Pendugaan Model Regresi Binomial Negatif dengan Metode
Kemungkinan Maksimum” ini adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar
sarjana Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi. Dalam penulisan skripsi ini,
tentunya penulis telah menerima bantuan baik secara moril maupum materil dari
berbagai pihak. Oleh karena itu penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih
kepada:
1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko., M. Sc selaku dosen pembimbing yang dengan
penuh kesabaran telah memberikan bimbingan nasihat dan arahan kepada
penulis.
2. Bapak Hartono, Ph. D, selaku Ketua Program Studi yang telah memberikan
banyak bimbingan dalam hal akademik dan perkuliahan.
3. Serta bapak dan ibu dosen yang telah memberikan banyak ilmu pengetahuan
kepada penulis selama menjalani perkuliahan di Universitas Sanata Dharma.
4. Mas Susilo selaku laboran yang telah banyak membantu penulis dalam
perkuliahan terutama dalam penulisan skripsi ini.
5. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas Sains
dan Teknologi yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan pembelajaran,
serta administrasi bagi penulis selama masa perkuliahan.
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6.
Bapa Agus dan Mama Siska yang penulis cintai dan banggakan, ade List4
Nandi, Ory dan Ikun yang telah banyak memberikan dukungan
dan
pengorbanan sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dengan baik.
7.
Teman-teman angkatan 2012 Program studi Matematika yaitu putri, Risma,
Happy, Bobi, Tika" Ajeng, Oksi, Juli, Ferni, Arum,
llg4 Lia, Noni, Dewi,
Manda , Anggun, Budi, Rian, Eg4 yang telah memberikan dukungan dan
semangat dalam perkuliahan terlebih dalam penyusunan skripsi ini.
Teman-Teman kos Cintia: Archa,
Lis4 Nov4 Tia, Mb. Ela Mb. Ria Mb
Ketrin, Mb. Intan, Awang, Her4 Tanti dan juga Asri dan Digna yang selalu
memberikan semangat dalam penyelesaian skripsi ini.
9.
semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persaru yang telah banyak
memberikan bantuan, dorongan dan motivasi sehingga skripsi
ini
dapat
terselesaikan.
ini
masih jauh dari kesempurnaan, maka
kritik yang konstruktii dari
semua pihak sangat diharapkan demi
Penulis menyadari bahwa skripsi
saran dan
penyempurnaan selanjutnya. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua
pihak, khususnya bagi penulis dan para pembaca pada umumnya.
Yogyakarta 15 Agustus 2016
Penulis
(Maria Ansila Bouk)
xl
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL...................................................................................................... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .................................................. ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .......................................................... iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................................... v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................. vi
HALAMAN ABSTRAK ............................................................................................. vii
HALAMAN ABSTRACT ......................................................................................... viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI....................................... ix
KATA PENGANTAR .................................................................................................. x
DAFTAR ISI ................................................................................................................ xi
DAFTAR TABEL ...........................................................................................................
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................. 1
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
Latar Belakang..................................................................................................... 1
Rumusan Masalah ............................................................................................... 3
Batasan Masalah ................................................................................................. 4
Tujuan Penulisan ................................................................................................. 4
Manfaat Penulisan ............................................................................................... 5
Metode Penulisan ................................................................................................ 5
Sistematika Penulisan .......................................................................................... 6
BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................................... 8
A. Distribusi Probabilitas ......................................................................................... 8
1. Variabel Random .............................................................................................. 8
2. Fungsi Probabilitas ............................................................................................ 8
a. Distribusi Probabilitas Diskrit ....................................................................... 8
b. Distribusi Probabilitas Kontinu ..................................................................... 9
3. Karakteristik Distribusi Probabilitas ................................................................. 9
a. Mean ............................................................................................................ 9
b. Variansi ..................................................................................................... 10
c. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen .................................................. 10
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
B. Distribusi Poisson .............................................................................................. 13
C. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya ................................................................ 15
D. Distribusi Binomial Negatif .............................................................................. 18
E. Distribusi Binomial Negatif sebagai Campuran Distribusi Poisson-Gamma.... 22
F. Metode Maksimum Likelihood ......................................................................... 25
G. Metode Numerik Newton-Raphson ................................................................... 28
H. Keluarga Eksponensial ...................................................................................... 32
1. Distribusi Poisson merupakan keluarga eksponensial .................................... 33
2. Distribusi Binomial merupakan keluarga eksponensial .................................. 34
I. Model Regresi Linear Berganda ........................................................................ 36
J. Jenis Data Penelitian.......................................................................................... 37
1. Data berdasarkan sumbernya .......................................................................... 37
2. Data berdasarkan bentuk dan sifatnya............................................................. 38
K. Model Count Respon ......................................................................................... 41
1. Model Regresi logistik dan Regresi Probit ..................................................... 42
2. Model Regresi Poisson dan Regresi Binomial Negatif ................................... 43
L. Uji Kolmogorov-Smirnov ................................................................................. 45
BAB III PENDUGAAN MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF...................... 50
A. Model Regresi Poisson Berganda ...................................................................... 50
B. Overdispersi dan Regresi Binomial Negatif ...................................................... 54
C. Binomial Negatif sebagai Keluarga Eksponensial ............................................ 56
D. Model Regresi Binomial Negatif....................................................................... 61
E. Pendugaan Parameter untuk Model Regresi Binomial Negatif dengan Metode
Maksimum likelihood ........................................................................................ 62
F. Uji Kebaikan Model .......................................................................................... 76
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV PEMODELAN REGRESI BINOMIAL NEGATIF PADA DATA
BANYAKNYA KEMATIAN IBU DI PROPINSI JAWA TIMUR ........................... 88
A. Deskripsi Data ................................................................................................... 91
B. Pengolahan Data ................................................................................................ 91
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Uji Kolmogorov-Smirnov ............................................................................... 92
Pendugaan Model regresi Poisson .................................................................. 93
Uji Signifikansi Parameter .............................................................................. 94
Uji Overdispersi pada Model Regresi Poisson ............................................... 96
Pendugaan Model Regresi Binomial Negatif .................................................. 97
Uji Signifikansi Model regresi Binomial Negatif ........................................... 97
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .................................................................... 100
A. Kesimpulan ...................................................................................................... 100
B. Saran ............................................................................................................... 101
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................... 102
LAMPIRAN .............................................................................................................. 106
xiv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Data suatu sampel acak untuk contoh 2.4 .................................................. 47
Tabel 2.2 Hasil Pengujian Kolmogorov-Smirnov ...................................................... 48
Tabel 3.1 Data banyaknya kasus campak pada
kecamatan di kota Semarang ...... 81
Tabel 3.2 Hasil Pengujian Kolmogorov-Smirnov ..................................................... 83
Tabel 3.3 Parameter
,
,
,
,
untuk Regresi poisson .................................. 84
Tabel 3.4 Parameter
,
,
,
,
untuk Regresi Binomial Negatif ................... 86
Tabel 4.1 Deskripsi Data ............................................................................................ 91
Tabel 4.2 Hasil Pengujian Kolmogorov-Smirnov .......................................................... 93
Tabel 4.3 Parameter
,
,
,
,
,
,
,
,
untuk Regresi poisson .......... 93
Tabel 4.4 Parameter , , , , , , , , untuk Regresi Binomial Negatif
..................................................................................................................................... 97
xv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Regresi adalah suatu metode yang digunakan untuk menganalisis
hubungan antara suatu variabel dependen dengan satu atau lebih variabel
independen. Pada umumnya, analisis regresi digunakan untuk menganalisis data
variabel dependen yang berupa data kontinu. Namun dalam beberapa aplikasinya,
data variabel dependen yang akan dianalisis dapat berupa data diskrit. Variabel
dependen diskrit dapat berupa data count yaitu data yang nilainya nonnegatif dan
menyatakan banyaknya kejadian dalam interval waktu, ruang, atau volume
tertentu. Ketika variabel dependen berupa data count, analisis regresi yang biasa
digunakan adalah analisis regresi Poisson. Pada regresi ini variabel dependen
diasumsikan berdistribusi Poisson, dengan fungsi probabilitasnya adalah
� � =
�
�!
−�
,
� = , , , … dengan
>
Analisis Regresi Poisson adalah suatu model yang digunakan untuk
menganalisis hubungan antara variabel dependen yang berdistribusi Poisson
dengan beberapa variabel independen. Pada model Regresi Poisson terdapat
asumsi yang harus dipenuhi yaitu nilai variansi dari data yang diperoleh harus
sama dengan nilai meannya atau disebut ekuidispersi (equidispersion).
� � = ��� � =
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Pada kenyataannya asumsi ini sangat jarang terjadi karena biasanya data
count memiliki variansi yang lebih besar dari mean atau disebut kondisi
��� � > � � ) atau sebaliknya mean lebih besar dari pada
overdispersi
variansi atau disebut underdispersi
��� � < � � . Jika pada data diskrit
terjadi overdispersi namun tetap digunakan model regresi Poisson maka estimasi
parameter koefisien regresinya tetap konsisten tetapi tidak efisien karena
berpengaruh
pada
nilai
standar
galat
(underestimate).
Hal
itu
dapat
mengakibatkan kesimpulan yang akan dihasilkan menjadi tidak tepat atau tidak
sesuai dengan data. Alternatif model regresi yang lebih sesuai untuk data
overdispersi adalah model regresi Binomial Negatif. Pada regresi ini variabel
dependen
diasumsikan
berdistribusi
Binomial
Negatif,
dengan
fungsi
probabilitasnya dihasilkan dari distribusi campuran Poisson-Gamma yaitu
� =
dengan y = 0,1,2,…
Γ �+
Γ
�
1⁄
�
�
� ( � ) (
)
+�
+�
�!
Model regresi Binomial Negatif memiliki kegunaan yang sama dengan
model regresi Poisson yaitu untuk menganalisis hubungan antara suatu variabel
dependen dengan satu atau lebih variabel independen. Namun model regresi
Binomial Negatif lebih fleksibel dibandingkan dengan model Poisson karena
asumsi mean dan variansi dari model Binomial Negatif tidak harus sama. Model
ini juga memiliki parameter dispersi yang berguna menggambarkan variasi dari
data yang biasa dinotasikan dengan k. Model Binomial Negatif yang akan
digunakan adalah Model Binomial Negatif yang merupakan model campuran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
antara distribusi Poisson dan Gamma. Distribusi Gamma digunakan untuk
menyesuaikan kehadiran overdispersi dalam model Poisson.
Dari dua buah model regresi yang digunakan untuk data count, yaitu
Poisson dan Binomial Negatif, model Binomial Negatif memiliki bentuk yang
lebih umum karena model Poisson dapat dinyatakan dalam model Binomial
Negatif ketika parameter dispersinya mendekati nol (k 0) atau dapat dikatakan
data dalam keadaan ekuidispersi. Jadi, model Binomial Negatif pada dasarnya
dapat digunakan untuk berbagai kasus data count. Dalam penulisan ini akan lebih
dikhususkan untuk masalah pendugaan model regresi Binomial Negatif pada
kasus overdispersi. Pendugaan parameter dapat diperoleh dengan menggunakan
metode pendugaan kemungkinan maksimum melalui iterasi Newton-Raphson.
Adapun beberapa aplikasi dari model Binomial Negatif diantaranya adalah
memodelkan kasus terjadinya penyakit demam berdarah dengue (DBD) dan untuk
mengetahui besarnya pengaruh variabel-variabel yang mempengaruhi terjadinya
penyakit DBD, pemodelan banyaknya kematian Ibu di suatu daerah, model
prediksi kecelakaan lalulintas jalan tol, penggolongan resiko jumlah klaim
asuransi kendaraan dan lain-lainnya.
B. Rumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan dibicarakan dalam skripsi ini adalah:
1. Bagaimana landasan matematis pendugaan model regresi Binomial Negatif
dengan metode kemungkinan maksimum?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
2. Bagaimana menduga parameter-parameter pada model regresi Binomial
Negatif dengan menggunakan metode pendugaan kemungkinan maksimum
melalui iterasi Newton-Raphson?
3. Bagaimana menerapkan model regresi Binomial Negatif pada Poisson yang
mengalami Overdispersi dengan metode Newton-Raphson dalam masalah
nyata?
C. Batasan Masalah
Agar dalam pembahasan tidak terlalu luas dan hasilnya mendekati pokok
permasalahan, maka dalam penulisan skripsi ini hanya akan membahas:
1. Model Regresi Binomial Negatif yang merupakan model campuran Distribusi
Poisson-Gamma untuk kasus Poisson yang mengalami Overdispersi.
2. Pendugaan parameter dilakukan dengan menggunakan metode pendugaan
kemungkinan maksimum melalui iterasi Newton-Raphson.
3. Penulis tidak membahas tentang generalisasi dari Distribusi Binomial Negatif
sebagai campuran distribusi Poisson dan Gamma.
4. Penulis hanya membahas tentang distribusi Poisson yang mengalami
overdispersi.
5. Dalam perhitungan penulis menggunakan program R dan SPSS.
6. Penulis tidak membahas tentang Prior Natural Conjugate.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan skripsi ini adalah:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
1. Untuk memahami landasan matematis pendugaan model regresi Binomial
Negatif dengan metode Newton-Raphson.
2. Untuk dapat menduga parameter-parameter pada model regresi Binomial
Negatif menggunakan metode pendugaan kemungkinan maksimum melalui
iterasi Newton-Raphson.
3. Untuk dapat menerapkan model regresi Binomial Negatif pada Poisson yang
mengalami Overdispersi dengan metode Newton-Raphson dalam masalah
nyata.
4. Untuk memenuhi tugas dalam mencapai gelar sarjana.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat Penulisan ini adalah untuk memperoleh pengetahuan tentang
Regresi Binomial Negatif, membahas dasar-dasar teori yang terkait, dapat
menentukan parameter-parameter dari model regresi Binomial Negatif, serta dapat
menduga model banyaknya kematian Ibu di propinsi Jawa Timur menggunakan
model regresi Binomial Negatif.
F. Metode penulisan
. Metode yang digunakan penulis dalam penulisan skripsi ini adalah
metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau
jurnal-jurnal yang berkaitan dengan pendugaan model regresi Binomial Negatif
dengan metode Pendugaan Kemungkinan Maksimum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
G. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan pada skripsi ini meliputi lima Bab yaitu:
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II LANDASAN TEORI
A. Distribusi Probabilitas
B. Distribusi Poisson
C. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya
D. Distribusi Binomial Negatif
E. Distribusi Binomial Negatif sebagai campuran Distribusi PoissonGamma
F. Metode Maksimum Likelihood
G. Metode numerik Newton-Raphson
H. Keluarga Eksponensial
I.
Model Regresi Linear Berganda
J.
Jenis Data Penelitian
K. Model Count Respon
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
L. Uji Kolmogorov-Smirnov
BAB III PENDUGAAN MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF
A. Model Regresi Poisson Berganda
B. Overdispersi dan regresi Binomial Negatif
C. Binomial Negatif sebagai keluarga Eksponensial
D. Model Regresi Binomial Negatif
E. Pendugaan Parameter untuk Model Regresi Binomial Negatif dengan
Metode Maksimum Likelihood
F. Uji Kebaikan Model
BAB IV PEMODELAN REGRESI BINOMIAL NEGATIF PADA DATA
BANYAKNYA KEMATIAN IBU DI PROPINSI JAWA TIMUR
A. Deskripsi Data
B. Pengolahan Data
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Distribusi Probabilitas
1. Variabel Random
Definisi 2.1
Variabel random
adalah fungsi bernilai riil yang domainnya adalah ruang
sampel.
Definisi 2.2
Sebuah variabel random dikatakan variabel random diskrit jika himpunan dari
kemungkinan hasilnya adalah terbilang. Jika tidak memenuhi definisi di atas
maka variabel random di atas disebut variabel random kontinu.
2. Fungsi Probabilitas
a. Distribusi Probabilitas Diskrit
Definisi 2.3
Himpunan pasangan terurut
,
adalah fungsi probabilitas, atau
distribusi probabilitas dari suatu variabel random diskrit X jika
1) �
2)
3) ∑∀
=
=
=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Definisi 2.4
Fungsi distribusi kumulatif
(cumulative distribution function) dari
sebuah variabel random diskrit
dengan distribusi probabilitas
=�
=∑
−∞<
�≤
adalah
Untuk
−
=∫
−
dan nilai dari integral tersebut adalah bilangan positif.
Fungsi Gamma memiliki sifat sebagai berikut:
a. Jika
b. Jika
c. Jika
∞ −
= , maka Γ
=∫
> , maka Γ
=∫
adalah suatu bilangan bulat positif maka diperoleh Γ
Definisi 2.14
∞
Suatu variabel acak kontinu
parameter
berikut:
= .
−
−
=
−
Γ
−
=
−
!.
dikatakan berdistribusi Gamma dengan
dan β jika variabel tersebut mempunyai fungsi probabilitas sebagai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Dengan
,
− ⁄
−
={ Γ
∞
,
yang lainnya
> 0.
Teorema 2.3
Jika
adalah berdistribusi Gamma dengan parameter
Bukti:
=
dan � = �
dan
=
maka
=
1. Mean
Berdasarkan definisi 2.7
=∫
∞
−∞
=∫
∞
−
Berasarkan definisi fungsi probabilitas maka
∫
Sehingga diperoleh
∫
∞
−
−
=
∞
−
−
Γ
=
Γ
=∫
=
Γ
Berdasarkan persamaan 2.1 diperoleh
∞
∫
∞
Γ
−
Γ
.
−
−
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
=
+
Γ
Berdasarkan sifat fungsi Gamma maka Γ
=
Γ
=
Γ
=
2. Variansi
+
Γ
+
+
= Γ α , maka diperoleh
Γ
Γ
Berdasarkan teorema 2.1
�
=
=∫
=∫
=
∞
∞
−(
−
−
Γ
+
Γ
∫
Γ
)
−
∞
+
−
Berdasarkan persamaan 2.1 dan definisi sifat fungsi Gamma, maka diperoleh
=
=
=
Sehingga,
=
Γ
+
+ Γ
Γ
+
Γ
+
Γ
Γ
+
+
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
�
=
−(
=
+
=
+
=
−
)
−
D. Distribusi Binomial Negatif
Distribusi Binomial Negatif merupakan distribusi yang memiliki beberapa
cara dalam hal pendekatannya. Pendekatan klasik yang sering digunakan adalah
Distribusi Binomial Negatif sebagai barisan percobaan Bernoulli yaitu jumlah
percobaan Bernoulli yang dibutuhkan sampai terjadi � buah sukses, dengan setiap
ulangan saling bebas, dan probabilitas sukses pada setiap percobaan konstan yaitu
sedangkan probabilitas gagal yaitu
Misalkan
− .
adalah banyaknya kegagalan sebelum sukses ke-�, maka � −
sukses dapat terjadi pada sebarang waktu sebelum
variabel acak
−
ulangan. Misalkan
menyatakan banyaknya ulangan yang dibutuhkan sampai terjadi �
buah sukses, maka
berdistribusi Binomial Negatif dengan fungsi probabilitas
sebagai berikut
=
−
−
�
−
−�
dengan
Fungsi probabilitas dari variabel acak
lain. Misalkan terdapat
= , + , + ,
dapat dinotasikan ke dalam bentuk
banyaknya kegagalan sebelum sukses ke-� maka
merupakan penjumlahan dari
kegagalan dengan � buah sukses atau
Jadi, akan dibentuk variabel acak baru yaitu
=
+ �.
, yang menyatakan banyaknya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
kegagalan sebelum terjadi � buah sukses dengan metode transformasi variabel
dengan fungsi transformasinya
Definisi 2.14
Variabel acak
=
− �.
disebut berdistribusi Binomial Negatif jika memiliki fungsi
probabilitas
sebagai berikut
+�−
�−
=
Contoh 2.1
�
−
dengan
= , , ,
Seorang dokter anak merekrut 5 pasangan untuk berpartisipasi dalam penelitiannya.
Masing-masing pasangan berharap untuk melahirkan anak secara normal. Misalkan
= � (pasangan yang dipilih secara acak setuju untuk berpartisipasi). Jika
= . ,
berapakah probabilitas bahwa 15 pasangan harus ditanya sebelum ditemukan 5
pasangan yang setuju untuk berpartisipasi?
Penyelesaian:
Diketahui � = ,
Teorema 2.4
=
= . ,
+ −
−
=
sehingga
.
− .
=
Mean dan variansi dari distribusi Binomial Negatif adalah
=
� �
=
�
=
�
−
−
.
.
= .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Bukti:
1. Mean
=
Misalkan
Maclaurin yaitu:
−
−�
=
Dengan − <
−
−�
=
+
�+
+ −
−
= −
−�
+ −
∞
!
=
−�
+
−� −� −
−�
+�−
)=
�−
=
+
dapat mengikuti ekspansi deret
+
!
�
!
�+
+
−
−� −
!
+
+�−
+�−
+�−
!
Sehingga Berdasarkan definisi 2.10 diperoleh
=
��
+
+
+
�+
−
!
−� −
−�
+ −
+�−
+�− −�+
−�
= −
−
−� −� −
!
−�
+ −
−�
=∑ −
(
+
sehingga diperoleh
+� +
=
, dalam kalkulus
′
+
<
+
−�
−
�+
!
�+
�
�
+
+
!
�+
+
+
+
�
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
∞
�
=∑
=
∞
=
�
=
�[
=
Sehingga diperoleh
′
=
=
=
=
=
=
2. Variansi
∞
=
−
�
(
[ −
−
�
−
�
−
�
−
�
−
−
[ −
�
� �−
=
=
−(
(
[ −
� ]�
)|
� �−
�=
−
∎
�
−
−
�]
� ]�
Berdasarkan teorema 2.1
� �
�]
−
[
�
�
−
� ]−�
−
−
�
�[
−�
∑ −
[ −
−�
+�−
)
�−
+�−
)
�−
= ∑(
=
(
)
� ]�
)|
�=
∙−
� ]�
−
.
�
|
�=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
=
Sehingga,
=
−�
�
� �
−
[ +
−
=
=
=
=
�
−
�
−
�
−
−
[ −
−
� �−
]
−(
[ +
−
)
[ +
∙−
� ]�
−
−
]
−
−�
−
.
�
|
�=
−
−
]
∎
E. Distribusi Binomial Negatif sebagai Campuran Distribusi Poisson-Gamma
Salah satu cara terbentuknya distribusi Binomial Negatif adalah terjadinya
overdispersi pada saat menggunakan distribusi Poisson. Data count biasanya
memiliki variansi yang lebih besar dari mean, atau yang disebut dengan kondisi
overdispersi. Misalkan
Poisson dengan
adalah variabel acak dari suatu populasi yang berdistribusi
=� �
=
. Kondisi data seperti ini disebut dengan
ekuidispersi. Pada kenyataannya, jarang sekali ditemukan data count dalam kondisi
ekuidispersi. Pada distribusi Poisson terdapat asumsi mean (
nilai dari , namun dalam kondisi overdispersi,
konstan untuk setiap
tidak lagi konstan atau bervariasi
antar observasi pada populasi. Hal ini menunjukkan bahwa populasi tersebut
bergantung pada , sehingga dapat dikatakan bahwa
variabel acak Ω yang memiliki distribusi tertentu.
merupakan nilai dari suatu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Distribusi Gamma dengan parameter
dan
dipilih sebagai distribusi dari
Ω karena distribusi Gamma merupakan prior natural conjugate dari distribusi
Poisson. Karena Ω berdistribusi Gamma dengan parameter
dari Ω adalah
=
= / . Misalkan
atau
= /
dan , maka mean
maka dapat dikatakan
bahwa Ω berdistribusi Gamma dengan parameter (1/k) dan
probabilitasnya
ℎ
=
−
Γ
−
exp ( )
Fungsi probabilitas bersama antara | dan Ω adalah
| ℎ
−
=
!
+ −
=
Γ
Fungsi probabilitas marginal dari
| ℎ
=∫
=∫
=
=
Γ
Γ
∞
+ −
Γ
exp − +
!
!
∫
∫
∞
∞
∙
!
Γ
exp − +
adalah
!
−
−
−
+ −
−
exp (− +
+
−
)
+ −
−
( )
dengan fungsi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
=
=
=
Γ
!
Γ
!
Γ
Misalkan
persamaan
=
=
=
=
=
=
!
∫
∫
∞
−
+
∞
−
+
(
+
+
=
)
+ −
∫
, maka
�
Γ
!
!
Γ
!
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
!
+
!
!
(
(
(
(
(
+
+
+
+
+
+
) (
)
)
)
)
(
−
+
=
+ −
∫
+ −
+
+
) (
+
(
∫
∞
+ −
)
(
+
sehingga
=
−
+ −
∞
+
−
)∫
(
+
)
)
∞
−
+ −
) Γ( + )
+ −
+ −
+ −
+
Γ( + )
+
+ −
+
)
+
+
∞
menjadi
(
+ −
sehingga
+
+
+ −
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
fungsi probabilitas dari Distribusi Binomial Negatif sebagai campuran PoissonGamma adalah
; ,
=
Γ
!Γ
+
(
+
) (
+
(2.2)
)
Distribusi Binomial Negatif dengan fungsi probabilitas pada persamaan
2.2 disebut sebagai distribusi campuran Poisson-Gamma. Penurunan distribusi
Binomial Negatif di atas tidak berhubungan dengan penurunan klasik sebagai
barisan dari percobaan Bernouli pada subbab sebelumnya.
F. Metode Maksimum Likelihood
Salah satu metode dalam pendugaan parameter adalah metode Pendugaan
Kemungkinan Maksimum (Maksimum Likelihood Estimation/MLE). Metode ini
pertama kali diperkenalkan oleh R.A Fisher pada tahun 1912. Metode pendugaan
ini dapat diterapkan di sebagian besar masalah dan memiliki daya tarik intuitif yang
kuat, dan sering menghasilkan penduga yang baik bagi parameter �. Selain itu
untuk sampel yang sangat besar, metode ini menghasilkan penduga yang sangat
baik bagi �.
Definisi 2.16
Penduga Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimator/MLE) �̂
dari � memaksimumkan fungsi likelihood, L �|
memaksimumkan log-likelihood
�|
.
atau ekuivalen dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
,
Misalkan
,…,
dengan fungsi probabilitas
adalah variabel random kontinu berukuran
, � dan � adalah parameter yang tidak diketahui.
Fungsi likelihood dari sampel random adalah fungsi densitas bersama dari
variabel random yang merupakan fungsi dari parameter yang tidak diketahui,
sehingga fungsi likelihood adalah
� � =∏
.
;�
Selain itu, karena biasanya sulit untuk mencari turunan fungsi likelihood,
maka yang dilakukan adalah menentukan nilai maksimum dari logaritma natural
fungsi likelihood tersebut atau disebut dengan fungsi log-likelihood. Fungsi loglikelihood dapat ditulis dalam bentuk :
= ln � �
.
Nilai parameter � dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi peluang. Hal
tersebut dilakukan dengan mencari turunan parsial pertama dari fungsi likelihoodnya terhadap setiap parameternya. Sehingga, MLE �̂ merupakan penyelesaian dari
persamaan berikut :
Misalkan terdapat
�
=
��
parameter yang tidak diketahui, maka pendugaan parameter �
dengan Metode Kemungkinan Maksimum
�
=
��
Dengan = , , … ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Contoh 2.2
,
Misalkan
mean
,…,
adalah sampel random berdistribusi eksponensial dengan
. Temukan ̂ dengan menggunakan Metode maksimum
dan variansi
likelihood.
Penyelesaian:
,
,…,
variansi
adalah variabel random berdistribusi eksponensial dengan mean
dan
maka fungsi probabilitasnya didefinisikan sebagai
−
={
Poisson
merupakan
keluarga
eksponensial maka persamaan di atas ditulis ke dalam bentuk persamaan 2.6
yaitu
� −
; �, � = exp {
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
�
�
+
;� }
a. Kedua ruas dari fungsi probabilitas distribusi Poisson di ubah dalam bentuk
log diperoleh
= log (
log(
)=
!
−
)
log − − log !
2.7
b. Persamaan 2.7 diubah dalam bentuk eksponensial diperoleh
=
{ log − − log ! }
2.8
Sehingga dari persamaan 2.8 diperoleh
� = log sehingga
=
�
;
� =
�
,
� = ;
; � = −log !
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Sehingga turunan pertama dan turunan kedua dari
� =
akan menghasilkan mean dan variansi sebagai berikut:
=
=
=
=
=
=
2.
terhadap �
�( � )
��
�( � )
��
�
=
� �
�
� ( � )
��
�
� ( �)
��
�
=
Distribusi Binomial merupakan keluarga eksponensial
Variabel random
yang menyatakan banyaknya sukses pada
Bernoulli berdistribusi Binomial yang diberikan dengan
=
kali percobaan
yaitu
−
−
untuk menunjukkan bahwa distribusi Binomial merupakan keluarga
eksponensial maka persamaan di atas ditulis ke dalam bentuk persamaan 2.6
yaitu
; �, � = exp {
� −
�
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
�
+
;� }
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
a. Kedua ruas dari fungsi probabilitas distribusi Binomial diubah dalam
bentuk log diperoleh
log(
+
)=
log +
−
log
2.9
−
b. Persamaan 2.9 diubah dalam bentuk eksponensial diperoleh
{ [log − log
=
=
{ log (
−
] + log
−
) + log
−
Dari persamaan 2.10 diperoleh � = log
karena
dan
=
�
+
�
sehingga
;� =
.
−
=( +
−
+
� −
�
−�
) ,
}
sehingga
� =
Sehingga turunan pertama dan turunan kedua dari
�
}
+
log
� =
�
=
+
log
.
�
−�
�
+
terhadap � akan menghasilkan mean dan variansi sebagai berikut:
=
�( � )
��
�( log( +
=
��
=
� �
=
=
�
+
� ( � )
��
�
+
))
�
� ( log( +
=
�