Pengurangan jumlah dari batas bawah, dan batas atas dari hasil penjumlahan

adalah jumlah dari batas atas Dengan demikian maka penjumlahan dua interval hanya melibatkan

batas-batas interval saja.

Jika dan , maka X = [x x , ] Y = [ y , y ]

Contoh: X = {2, 6} dan Y = {9, 14}

→ X + Y = [2+9, 6+14]=[11, 20]

Jumlah interval juga merupakan interval. Penjumlahan dua interval selalu dapat dilakukan.

X Y Jika kedua interval yang dijumlahkan itu degenerate maka kita mendapatkan penjumlahan yang biasa kita lakukan dengan bilangan

biasa.

Perbedaan penjumlahan dan gabungan x + y

X+Y

Contoh: X = [2, 4], Y = [3, 6]

X ∪ Y = [ 2 6] ,

[ 5 10] , tidak merupakan sebuah

X ∪ Y Penjumlahan berbeda dengan

penggabungan.

interval karena X <Y .

Penggabungan dua interval tidak

X dan Y adalah dua selalu menghasilkan suatu interval. interval yang terpisah.

Negatif Suatu Interval. Negatif dari suatu interval didefinisikan sebagai

Contoh: a). X = [2, 6] →− X =[ − 6, − 2]

yang dapat kita tuliskan

b). X =[ −

→− 2, 6] X =[ −

Batas atas − X adalah − x Batas bawah − X adalah x

Pengurangan

Dengan pengertian negatif interval tersebut di atas maka pengurangan interval X oleh interval Y menjadi penjumlahan interval X dengan negatif interval Y

Perkalian

Contoh: X = [2, 6] dan Y = [7, 12]

dan

→ X − Y = [2, 6] − [7, 12] = [2 −

Pembagian

Dalam contoh ini X<Y dan hasil pengurangan

X − Y merupakan interval negatif.

Perkalian Interval

Perkalian dua interval X dan Y didefinisikan sebagai

Pada interval X selalu dipenuhi relasi

maka dengan memperhatikan posisi kita akan mengetahui posisi x x yang dapat dituliskan

X ⋅ Y = { xy : x ∈ X , y ∈ Y }

jika

x ≥ 0 maka x ≥ 0

X ⋅ Y = [min{ x y , x y , x y , x y }, maks { x y , x y , x y , x y }

jika

x ≤ 0 maka

x ≥ 0 atau x ≤ 0

Dalam formulasi ini diperlukan empat kali perkalian batas

Demikian juga pada interval Y

masing-masing interval untuk menentukan batas bawah

jika

y ≥ 0 maka y ≥ 0

y ≥ 0 atau y ≤ 0 Namun pekerjaan akan sedikit sedikit menjadi ringan jika kita memperhatikan posisi elemen masing-masing interval pada sumbu bilangan nyata

maupaun batas atas dari interval hasil kali.

jika

y ≤ 0 maka

Sembilan situasi yang mungkin terjadi adalah: Karena ada tiga katagori interval, maka ada sembilan kemungkinan

y ≥ 0 perkalian interval, yaitu:

x ≥ 0 dan

Z = X ⋅ Y = [ x y , x y ] interval positif kali interval positif

x < 0 < x dan y ≥ 0 interval mengandung nol kali interval positif dan sebaliknya

Z = X ⋅ Y = [ x y x , y ] interval negatif kali interval positif dan sebaliknya

interval negatif kali interval mengandung nol dan sebaliknya

interval negatif kali interval negatif

x ≤ 0 dan

Z = X ⋅ Y = [ x y x , y perkalian dua interval yang keduanya mengandung nol

x ≤ 0 dan

Contoh dan Penjelasan

X ⋅ Y = [ 4 18 , ]

Nilai terbesar 7).

X Nilai terkecil

yang bisa dicapai y

x ≥ 0 dan

yang bisa dicapai

Formula umum: X ⋅ Y = [min{ x y , x y , x y , x y }, maks { x y , x y , x y , x y } Y

X 8).

y ≤ 0 Perkalian dua interval positif akan menghasilkan interval positif. y

x < 0 < x dan

Batas atas interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atas sedang batas bawahnya adalah hasil kali kedua batas bawah.

Jika kedua interval degenerate, maka kita mempunyai perkalian 9).

X x < 0 < x dan

bilangan biasa: perkalian dua bilangan positif yang memberikan hasil

= bilangan positif.

[ min{ x y x , y }, maks{ x y x , y }]

Contoh dan Penjelasan

X ⋅ Y = [ − 8 + , 16 ]

X ⋅ Y = [ − 12 − , 1 ] Nilai terbesar

yang bisa dicapai yang bisa dicapai

Nilai terkecil

Nilai terbesar

Nilai terkecil

yang bisa dicapai

Formula umum: X ⋅ Y = [min{ x y , x y , x y , x y }, maks { x y , x y , x y , x y } Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawah

Formula umum: X ⋅ Y = [min{ x y , x y , x y , x y }, maks { x y , x y , x y , x y }

Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain negatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batas

interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali bawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang

batas bawah interval negatif dan batas atas interval positif. lain (yang positif).

Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batas Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas atas

bawah interval positif

karena kedua batas atas tersebut positif.

Contoh dan Penjelasan

X 4).

X ⋅ Y = [ − 12 + , 4 ] X ⋅ Y = [ 5 2 , 8 ]

Nilai terbesar yang bisa dicapai

Nilai terkecil

Nilai terbesar

Nilai terkecil yang bisa dicapai

yang bisa dicapai

Formula umum: X ⋅ Y = [min{ x y , x y , x y , x y }, maks { x y , x y , x y , x y } Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain

Formula umum: X ⋅ Y = [min{ x y , x y , x y , x y }, maks { x y , x y , x y , x y }

mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas Kedua interval adalah interval negatif. Batas bawah interval hasilkali bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang

adalah hasilkali kedua batas atas.

mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas bawah. Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas

bawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.

Contoh dan Penjelasan

X ⋅ Y = [ − 12 − , 1 ] Nilai terkecil

X ⋅ Y = [ − 15 5 ] , Nilai terbesar

Nilai terbesar

yang bisa dicapai

yang bisa dicapai yang bisa dicapai

Nilai terkecil

Formula umum: X ⋅ Y = [min{ x y , x y , x y , x y }, maks { x y , x y , x y , x y } Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval

Formula umum: X ⋅ Y = [min{ x y , x y , x y , x y }, maks { x y , x y , x y , x y }

Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawah positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali batas

negatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batas bawah interval negatif dan batas atas interval positif.

bawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang

lain (yang positif).

Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batas bawah interval positif

Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas atas karena kedua batas atas tersebut positif.

Contoh dan Penjelasan

= [ min{ x y x , y }, maks{ x y x , y }]

X ⋅ Y = [ − 15 5 ] , Nilai terkecil

Nilai terbesar

X ⋅ Y = [min{ − 2 , − 20 }, maks { 5 8}] , = [ − 20 8 , ]

yang bisa dicapai

Kedua interval mengandung nol. Pada formulasi umum Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain

Formula umum: X ⋅ Y = [min{ x y , x y , x y , x y }, maks { x y , x y , x y , x y }

X ⋅ Y = [min{ x y , x y , x y , x y }, maks { x y , x y , x y , x y } mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas

bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang

Akan bernilai positif sehingga mengandung nol.

Akan bernilai negatif sehingga

tak mungkin menjadi Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas

tak mungkin menjadi

batas minimum bawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.

batas maksimum

Kebalikan Interval

Pembagian Interval

dari X didefinisikan sebagai Pembagian interval X oleh interval Y adalah perkalian antara X

Apabila X adalah satu interval yang tidak mengandung 0 , kebalikan

dengan kebalikan Y.

Dengan memperhatikan batas atas dan batas bawahnya, maka

Contoh:

X = [4, 10], Y = [2, 10] → X /Y = [4, 10] [0.1, 0.5] = [0.4, 5]

Contoh: X = [2, 10] → 1/X = [0.1, 0.5]

Jika ditinjau keadaan umum dimana interval X mengandung 0 ,

kebalikan dari X akan terdiri dari dua interval terpisah satu sama lain. Keadaan demikian ini belum akan kita lihat.

Jika interval-interval mengalami degenerasi, maka operasi- operasi aritmatika interval berubah menjadi aritmatika bilangan

biasa yang sudah kita kenal.

Sifat-Sifat Aritmatika Interval Kita boleh mengharap bahwa sifat-sifat aritmatika bilangan

biasa yang kita kenal, muncul juga dalam aritmatika

interval. Ternyata memang demikian. Akan tetapi muncul juga perbedaan-perbedaan yang

sangat menyolok.

187

188

Operasi penjumlahan dan perkalian interval telah didefinisikan Nol dan Satu adalah interval yang mengalami degenerasi: sebagai

[0, 0] dan [1, 1]

yang dituliskan sebagai 0 dan 1 Jadi X + 0 = 0 + X dan 1·X = X·1

X ⋅ Y = { xy : x ∈ X , y ∈ Y }

Perbedaan menyolok dengan aritmatika biasa adalah bahwa dalam Penjumlahan bersifat asosiatif dan perkalian bersifat komutatif.

aritmatika interval:

X/X 0 dan ≠

1 jika w(X) > 0

X ( YZ ) = ( XY ) Z ;

XY = YX X − X = [ x − x , x − x ] = w ( X )[ − 1 1 ] ,

X / X = [ x / x , x / x ] jika X > 0

X / X = [ x / x , x / x ] jika X < 0

189

190

Sifat distributif dalam aritmatika interval adalah:

X (Y + Z) = XY + XZ Sifat distributif ini tetap berlaku dalam kasus-kasus khusus berikut:

1) Jika Y dan Z adalah interval simetris;

Kapita S e l e k t a Matematika

2) Jika YZ > 0

Namun sifat distributif tidak senantiasa berlaku:

[0, 1] (1-1) = 0 tetapi [0, 1] − [0, 1] = [ −

1, 1]

Pengurangan jumlah dari batas bawah, dan batas atas dari hasil penjumlahan