Optimasi Rute Pengiriman Cash Cartridge Atm Menggunakan Integer Linear Programming
OPTIMASI RUTE PENGIRIMAN CASH CARTRIDGE ATM
MENGGUNAKAN INTEGER LINEAR PROGRAMMING
MUHAMMAD DINAR MARDIANA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Optimasi Rute
Pengiriman Cash Cartridge ATM Menggunakan Integer Linear Programming
adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum
diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2015
Muhammad Dinar Mardiana
NIM G54110033
ABSTRAK
MUHAMMAD DINAR MARDIANA. Optimasi Rute Pengiriman Cash Cartridge
ATM Menggunakan Integer Linear Programming. Dibimbing oleh PRAPTO TRI
SUPRIYO dan SISWANDI.
Pengisian ulang cash cartridge pada ATM (Automatic Teller Machine) yang
berfungsi sebagai kotak penyimpanan uang tunai terkait erat dengan masalah
pendistribusiannya. Upaya untuk menentukan skenario pendistribusian cash
cartridge yang meminimumkan biaya operasional sangat diperlukan untuk
memaksimumkan keuntungan. Karya ilmiah ini memberikan model untuk
menentukan rute armada kendaraan guna mendistribusikan cash cartridge ke
beberapa ATM dengan biaya operasional yang minimum. Model diformulasikan
menggunakan Integer Linear Programming dengan kendala time windows pada
setiap ATM yang harus dikunjungi. Model selanjutnya diimplementasikan
menggunakan software LINGO 11.0 untuk menentukan skenario pendistribusian
cash cartridge dari bank ke delapan ATM yang terpisah relatif jauh satu dengan
yang lain. Hasil implementasi menggunakan komputer dengan prosesor 1.5 GHz
dan RAM 4 GB diperoleh solusi optimal dalam waktu 3 jam 8 menit dan 47 detik.
Hasil ini menunjukan bahwa model ini cukup beralasan untuk diterapkan pada
situasi nyata.
Kata kunci: CVRPTW, pengiriman cash cartridge.
ABSTRACT
MUHAMMAD DINAR MARDIANA. Route Optimization of ATM Cash
Cartridge Replenishment Using Integer Linear Programming. Supervised by
PRAPTO TRI SUPRIYO and SISWANDI.
Cash cartridge replenishment of ATM (Automatic Teller Machine) that
serves as storage box for cash closely related to the problem of distribution. Efforts
to determine the distribution scenario of cash cartridges that minimizes the
operational costs are indispensable to maximize profits. This paper provides model
to determine the routes for a fleet of vehicles to distribute the cash cartridges to
several ATMs with the minimum operational costs. This model is formulated using
integer linear programming with regard to time windows constraints at ATMs
which must be visited. This model is then implemented using the software LINGO
11.0 to determine the distribution scenario of cash cartridges from the the bank to
eight ATMs which relatively far apart from each other. The implementation using
a computer with a 1.5 GHz processor and 4 GB of RAM provides optimal solution
within 3 hours 8 minutes and 47 seconds. These results indicate that the model is
reasonable to be applied in real situations.
Keywords: CVRPTW, cash cartridge shipping.
OPTIMASI RUTE PENGIRIMAN CASH CARTRIDGE ATM
MENGGUNAKAN INTEGER LINEAR PROGRAMMING
MUHAMMAD DINAR MARDIANA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
Judul Skripsi : Optimasi Rute Pengiriman Cash Cartridge ATM Menggunakan
Integer Linear Programming
Nama
: Muhammad Dinar Mardiana
NIM
: G54110033
Disetujui oleh
Disetujui oleh
Drs Prapto Tri Supriyo, MKom
Pembimbing I
Drs Siswandi, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya
sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul Optimasi Rute
Pengiriman Cash Cartridge ATM Menggunakan Integer Linear Programming.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Ibu, Bapak, Eki, Alan, Zalfa, dan seluruh keluarga tercinta yang sudah
memberikan dukungan, motivasi, dan doa-doanya kepada penulis,
2. Bapak Drs Prapto Tri Supriyo MKom selaku dosen pembimbing 1, Bapak Drs
Siswandi MSi selaku dosen pembimbing 2, dan Bapak Dr Ir Bib Paruhum
Silalahi MKom selaku dosen penguji, terima kasih untuk bimbingan, ilmu,
saran, motivasi, dan bantuannya selama penyelesaian karya ilmiah ini,
3. Semua dosen di Departemen Matematika, terima kasih untuk ilmu dan motivasi
yang telah diberikan,
4. Staff Departemen Matematika: Bu Susi, Pak Yono, Bu Ade, dan staff lainnya,
terima kasih untuk bantuannya,
5. Intan Fitria Sari, terima kasih telah selalu menjadi pendengar keluh kesah
penulis, dan pembagi ilmu dalam mengerjakan karya ilmiah ini,
6. Teman-teman Matematika angkatan 48 yang selalu saling memberi dukungan
dan semangat kepada penulis terutama yang sudah berbagi ilmu dan
bantuannya,
7. Gilang, Jun, Adit, Agung, Rizki, Ical, terima kasih untuk hiburan kalian selama
penulis sedang jenuh dikontrakan,
8. Semua pihak yang sudah membantu penulis dan tidak dapat disebutkan satu
per satu.
Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih memiliki kekurangan. Oleh
karena itu, penulis sangat menghargai kritik dan saran dari pembaca.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2015
Muhammad Dinar Mardiana
DAFTAR ISI
PRAKATA
iv
DAFTAR ISI
v
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
1
Linear Programming
1
Integer Programming
2
Vehicle Routing Problem
2
Capacitated Vehicle Routing Problem with Time Windows
2
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
3
Deskripsi Masalah Pengiriman Cash Cartridge
3
Formulasi Masalah Pengiriman Cash Cartridge
3
UJI MODEL
6
Deskripsi dan Uji Kasus Pertama
7
Deskripsi dan Uji Kasus Kedua
8
Deskripsi dan Uji Kasus Ketiga
9
IMPLEMENTASI MODEL
10
Deskripsi dan Formulasi Masalah Pengiriman Cash Cartridge
10
Hasil dan Pembahasan
15
SIMPULAN DAN SARAN
15
Simpulan
15
Saran
16
DAFTAR PUSTAKA
16
LAMPIRAN
17
RIWAYAT HIDUP
28
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Kecepatan, kapasitas dan biaya kendaraan dalam uji model
Jarak antar-node (dalam km) uji kasus pertama
Time windows dan permintaan setiap node uji kasus pertama
Rute pengiriman hasil uji kasus pertama
Jarak antar-node (dalam km) uji kasus kedua
Time windows dan permintaan setiap node uji kasus kedua
Rute pengiriman hasil uji kasus kedua
Jarak antar-node (dalam km) uji kasus ketiga
Time windows dan permintaan setiap node uji kasus ketiga
Rute pengiriman hasil uji kasus ketiga
Jarak antar-node (dalam km)
Time windows dan permintaan setiap node
Kecepatan, kapasitas dan biaya kendaraan
Rute pengiriman hasil implementasi model
7
7
7
8
8
9
9
9
10
10
11
11
12
15
DAFTAR LAMPIRAN
1 Waktu tempuh antar-node untuk setiap kendaraan (dalam jam)
2 Sintaks dan hasil LINGO 11.0 pada implementasi Model
17
18
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pendistribusian merupakan salah satu kegiatan penting dari sebuah
perusahaan. Beberapa permasalahan perusahaan dalam melakukan pendistribusian
antara lain menentukan banyaknya kendaraan yang dioperasikan, serta menentukan
rute kendaraan yang dapat mengoptimalkan jarak tempuh atau biaya perjalanan
yang bertujuan agar semua permintaan pelanggan dapat terlayani dengan baik dan
pada akhirnya keuntungan optimal akan diperoleh perusahaan.
ATM (Automatic Teller Machine) merupakan fasilitas di mana nasabah bisa
menarik tabungan atau gironya dengan kartu ATM melalui jaringan ATM bank dan
jaringan ATM yang terafiliasi dengan bank baik dalam maupun luar negeri (IBI
2015). Dalam mesin ATM terdapat salah satu komponen penting yaitu cash
cartridge yang berfungsi sebagai kotak penyimpanan uang tunai pada mesin ATM
yang harus diisi ulang secara rutin. Pengisian ulang cash cartridge ini terkait erat
dengan masalah pendistribusiannya. Hal ini sangatlah penting karena mengingat
fungsi mesin ATM untuk melakukan transaksi agar lebih cepat dan efisien.
Sehingga tidak terjadi kekosongan uang tunai dalam mesin-mesin ATM. Upaya
menentukan rute pengiriman cash cartridge yang meminimumkan biaya
operasional tentu sangat diperlukan dalam upaya memaksimumkan keuntungan.
Tujuan Penelitian
Tujuan karya ilmiah ini adalah memformulasikan masalah optimasi rute
pengiriman cash cartridge ATM untuk meminimumkan total biaya pengiriman
dengan menggunakan ILP (Integer Linear Programming). Selanjutnya model
diimplementasikan pada suatu kasus dengan menggunakan bantuan software
LINGO 11.0.
TINJAUAN PUSTAKA
Penentuan rute optimal pengiriman cash cartridge ATM dapat
diformulasikan sebagai model Vehicle Routing Problem (VRP) menggunakan
Integer Linear Programming (ILP). Berikut ini diberikan beberapa teori dan
definisi yang digunakan terkait dengan ILP.
Linear Programming
Menurut Winston (2004), Linear Programming (LP) adalah suatu masalah
pengoptimuman yang memenuhi ketentuan-ketentuan sebagai berikut:
1. tujuan masalah ini untuk memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi
linear. Fungsi yang dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi objektif,
2
2. nilai-nilai pada variabel keputusan harus memenuhi semua kendala yang ada.
Setiap kendala harus berupa persamaan linear atau pertaksamaan linear, dan
3. terdapat pembatasan tanda bergantung untuk setiap variabel. Untuk sembarang
variabel � , pembatasan tanda menentukan � harus taknegatif (�
) atau
tandanya tidak dibatasi.
Integer Programming
Integer Programming (IP) adalah suatu masalah Linear Progamming dengan
sebagian atau semua variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer)
taknegatif. Masalah IP dengan semua variabel yang digunakan berupa bilangan
integer disebut pure integer programming. IP dengan beberapa variabel yang
digunakan berupa bilangan integer disebut mixed integer programming. IP dengan
semua variabelnya bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP (Winston 2004).
Vehicle Routing Problem
Vehicle Routing Problem (VRP) adalah model yang digunakan untuk
perencanaan dan proses pengambilan keputusan. Contoh masalah yang dapat
diselesaikan dengan VRP antara lain yakni pengiriman barang dan pengumpulan
sampah (Sarker dan Newton 2008).
Menurut (Sarker dan Newton 2008), VRP sederhana dapat digambarkan
sebagai berikut:
1 di depot terdapat kendaraan sejumlah M yang diketahui kapasitasnya,
2 terdapat pelanggan sejumlah − dengan masing-masing pelanggan memiliki
permintaan,
3 terdapat biaya perjalanan dari lokasi ke lokasi , dan
4 tujuannya untuk menemukan rute pengiriman barang ke (dari) pelanggan dengan
biaya minimum.
Rute kendaraan harus mengawali dan mengakhiri perjalanan di depot. Solusi dari
VRP adalah suatu himpunan rute yang dilakukan oleh satu kendaraan. Rute yang
dihasilkan harus memenuhi semua permintaan pelanggan dan semua kendala yang
diberikan untuk menghasilkan total biaya perjalanan yang minimum.
Capacitated Vehicle Routing Problem with Time Windows
Capacitated Vehicle Routing Problem with Time Windows (CVRPTW)
merupakan pengembangan dari VRP. CVRPTW merupakan VRP dengan
mempertimbangkan kapasitas kendaraan sehingga dapat ditentukan banyaknya
kendaraan yang harus disediakan untuk memenuhi semua permintaan pelanggan
dan time windows berguna untuk memenuhi permintaan setiap pelanggan yang
memiliki waktu pelayanan masing-masing, artinya setiap pelanggan memiliki batas
waktu pelayanan dalam satu periode (Caric dan Gold 2008).
3
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
Deskripsi Masalah Pengiriman Cash Cartridge
Pengiriman cash cartridge merupakan salah satu bagian dari manajemen
operasional bank. Bank akan mengirimkan cash cartridge yang berisi uang tunai ke
beberapa ATM untuk mengisi ulang cash cartridge yang kosong pada mesin ATM,
dengan setiap ATM memiliki time windows, yaitu terdapat selang waktu untuk
melakukan pengisian ulang. Sistem pengisian ulang uang pada mesin ATM secara
rutin dan teratur akan membuat pengelolaan transaksi pada mesin ATM menjadi
baik. Perencanaan pada sistem pengisian perlu dilakukan. Penentuan rute
pengiriman cash cartridge yang optimal merupakan bagian dari perencanaan sistem
pengisian. Optimal pada pengiriman dapat ditinjau dari biaya yang minimum,
jumlah kendaraan yang digunakan minimum, dan jarak tempuh yang minimum.
Secara umum, dalam suatu mesin ATM berisi lima cash cartridge dan setiap
cash cartridge berisi lembaran uang tunai kertas. Ketentuan mesin ATM yang harus
diisi ulang adalah ketika hanya tersisa satu cash cartridge yang masih terisi uang
tunai kertas, artinya setiap mesin ATM akan diisi ulang sebanyak empat cash
cartridge. Pengiriman cash cartridge dilakukan oleh pihak bank yang memantau
mesin-mesin ATM (server ATM) dalam satu wilayah. Pengiriman dilakukan dari
bank ke ATM menggunakan kendaraan yang mempunyai kapasitas angkut cash
cartridge tertentu. Setelah cash cartridge yang berisi uang tunai dalam kendaraan
habis, kendaraan harus kembali ke bank. Kendaraan yang sudah kembali ke bank
dapat mengunjungi ATM kembali apabila masih ada mesin ATM yang harus diisi
ulang. Dengan demikian, kendaraan dapat mengunjungi bank lebih dari satu kali
dalam satu periode untuk menukar cash cartridge kosong dengan cash cartridge
berisi uang tunai. Frekuensi kendaraan berangkat dari bank disebut ritasi, dengan
satuan rit. Setelah semua mesin ATM diisi ulang, kendaraan kembali ke bank.
Formulasi Masalah Pengiriman Cash Cartridge
Misalkan dalam masalah ini terdapat suatu bank yang memiliki beberapa
ATM. Selanjutnya depot merepresentasikan bank dan setiap node
merepresentasikan keberadaan ATM. Node tersebut terbagi dalam dua tipe yaitu,
terdapat sejumlah � node dengan permintaan cash castridge tidak melebihi
kapasitas maksimal kendaraan dan sejumlah � + node dengan permintaan cash
cartridge melebihi kapasitas maksimal kendaraan. Depot menyediakan sejumlah
kendaraan yang mempunyai kapasitas angkut cash cartridge tertentu untuk
melakukan pegiriman. Untuk menyelesaikan masalah ini akan dibangun sebuah
model dengan asumsi-asumsi sebagai berikut:
1 laju setiap kendaraan konstan,
2 kendaraan yang tersedia tidak harus digunakan semua untuk mengirim cash
cartridge,
3 jarak antar-node adalah simetrik, artinya jarak dari node ke node sama
dengan jarak dari node ke node ,
4
4 biaya pengiriman cash cartridge hanya dihitung dari total biaya tetap ditambah
total biaya perjalanan per km untuk setiap kendaraan yang digunakan,
5 setiap kendaraan yang digunakan dan sudah kembali ke depot dapat digunakan
kembali untuk mengirim cash cartridge dalam satu periode, dan
6 node dapat dikunjungi lebih dari satu kali apabila node yang permintaannya
melebihi kapasitas maksimal kendaraan.
Masalah pengiriman cash cartridge ini dapat diformulasikan sebagai berikut:
Himpunan
= himpunan semua kendaraan, = { , , … , },
= himpunan node dengan permintaan kurang dari atau sama dengan kapasitas
maksimal kendaraan, = { , , … , �},
= himpunan node dengan permintaan lebih dari kapasitas maksimal kendaraan,
= {� + , � + , … , � + },
= himpunan semua node, = { , , … , �, � + , � + , … , � + , � + + },
dengan 1 dan � + + menyatakan depot yang sama.
Indeks
i,j,p = indeks untuk menyatakan node,
k
= indeks untuk menyatakan kendaraan.
Parameter
= kapasitas pada kendaraan k,
= biaya perjalanan per km pada kendaraan k,
= biaya tetap untuk setiap kendaraan yang digunakan,
= kecepatan untuk setiap kendaraan k,
= lamanya pelayanan pada node i,
= batas awal waktu pelayanan pada node i,
= batas akhir waktu pelayanan pada node i,
= permintaan cash cartridge untuk setiap node i,
= jarak antara node i dan node j,
bigM = konstanta positif yang nilainya relatif besar.
Variabel Keputusan
= total ritasi kendaraan k,
= waktu tempuh antara node i dan node j untuk kendaraan k,
= waktu node mulai dilayani oleh kendaraan ,
= banyaknya cash cartridge yang kosong pada kendaraan k setelah
meninggalkan node i,
= proporsi dari permintaan cash cartridge pada node yang diangkut
kendaraan ,
1, jika kendaraan k mengunjungi node j setelah node i
=
0, lainnya.
1, jika kendaraan k digunakan untuk mengantarkan cash cartridge
=
0, lainnya.
{
{
5
Fungsi Objektif
Fungsi objektif model ini adalah meminimumkan biaya perjalanan ditinjau
dari jumlah biaya tetap ditambah jumlah biaya per km untuk setiap kendaraan yang
digunakan, yakni:
min � = ∑
+ ∑∑∑
∈
∈
∈� ∈�
.
Kendala
Kendala yang harus dipenuhi untuk model ini adalah sebagai berikut:
1 Setiap kendaraan tidak harus digunakan,
2
3
4
5
6
∑
∈�∪
∑
9
.
=
∈�∪
,
∀ ∈
.
Tidak ada node yang dikunjungi oleh kendaraan yang tidak digunakan,
,
∀, ∈ ;∀ ∈ .
Kendaraan yang mengunjungi node harus meninggalkan node tersebut,
∑
∈�
≠�
�
−∑
�
∈�
�≠
= ,
∀� ∈ ; ∀ ∈
.
Node yang memiliki permintaan kurang dari atau sama dengan kapasitas
maksimal kendaraan dikunjungi tepat satu kali,
∑∑
∈
∈�
≠
= ,
∀ ∈
.
Node yang memiliki permintaan lebih dari kapasitas maksimal kendaraan
dikunjungi lebih dari satu kali,
∈
8
∀ ∈
Kendaraan yang meninggalkan depot dipastikan untuk mengantarkan cash
cartridge,
∑
7
,
∑
= ,
∈�
∀ ∈ ,
,
∀ ∈ ;∀ ∈
.
Jumlah cash cartridge kosong kumulatif pada kendaraan yang meninggalkan
node akan bertambah,
+ −
( −
)� � ,
∀ ∈ ;∀ ∈ ;∀ ∈ ,
+
−
( −
)� � ,
∀ ∈ ;∀ ∈ ;∀ ∈ .
Kendaraan yang digunakan harus kembali ke depot,
∑
∈�∪
=
,
∀ ∈
.
Jumlah cash cartridge kosong kumulatif tidak boleh melebihi kapasitas setiap
kendaraan,
,
∀ ∈ ;∀ ∈ .
6
10 Jumlah cash cartridge kosong kumulatif setiap kendaraan yang meninggalkan
depot adalah 0,
= ,
∀ ∈ ,
= ,
∀ ∈ .
�+�+
11 Banyaknya ritasi setiap kendaraan merupakan frekuensi setiap kendaraan
berangkat dari depot dalam satu periode,
∑
+
∈�∪
�+�+
=
,
∀ ∈
.
12 Tidak ada perjalanan ke node yang sama,
= ,
∀ ∈ ;∀ ∈ ,
=
,
∀ ∈ ; �+ + ∈ .
�+�+
13 Lama perjalanan dari node i ke node j untuk kendaraan k,
=
,
∀ ∈ ;∀, ∈
.
14 Waktu mulai pelayanan pada node j,
+
+ −� � ( −
)
,
15 Batas awal waktu pelayanan pada node i,
,
∀ ∈ ;∀ ∈ .
16 Batas akhir waktu pelayanan pada node i,
+
,
∀ ∈ ;∀ ∈ .
17 Kendala ketaknegatifan,
,
∀ ∈ ;∀ ∈ ,
,
∀ ∈ ;∀ ∈ .
18 Kendala biner.
∈ { , },
∀ ∈ ;∀, ∈ ,
∈ { , },
∀ ∈ .
∀ ∈ ;∀ ∈ ;∀ ∈
.
UJI MODEL
Dalam membangun sebuah model matematika perlu dilakukan uji model
untuk meyakinkan bahwa model yang dibangun adalah benar dan dapat
diaplikasikan ke dalam masalah-masalah yang serupa atau kasus-kasus tertentu
sesuai tujuan. Pada karya ilmiah ini, model yang dibangun adalah untuk
menentukan rute pengiriman yang optimal dan telah dijelaskan secara terperinci
dalam deskripsi masalah. Selanjutnya dalam masalah ini diberikan tiga uji kasus,
yaitu kasus pertama adalah pendistribusian cash cartridge menggunakan satu
kendaraan dengan satu ritasi, kasus kedua adalah pendistribusian cash cartridge
menggunakan satu kendaraan dengan dua ritasi, dan kasus ketiga adalah
pendistribusian cash cartridge menggunakan dua kendaraan dengan satu ritasi
untuk setiap kendaraan.
Misalkan untuk melakukan pengiriman pihak depot memiliki tiga
kendaraan dengan dua tipe kendaraan, tipe pertama berkapasitas dua belas cash
cartridge berjumlah dua kendaraan dengan biaya per km sebesar Rp 5000 dan tipe
kedua berkapasitas enam belas cash cartridge berjumlah satu kendaraan dengan
7
biaya per km sebesar Rp 7000. Biaya tetap untuk setiap kendaraan yang digunakan
sebesar Rp 200000, biaya tetap itu dikeluarkan untuk biaya pengawalan kendaraan
yang digunakan selama pengiriman. Data yang berkaitan dengan kendaraan untuk
semua kasus dalam uji model ini dapat dilihat pada Tabel 1 berikut:
Tabel 1 Kecepatan, kapasitas, dan biaya kendaraan dalam uji model
Kode
Kendaraan
Kecepatan
(km/jam)
Biaya
Tetap
Biaya
per km
Kapasitas
Cash Cartridge
1
2
3
40
40
40
200000
200000
200000
5000
5000
7000
12
12
16
Deskripsi dan Uji Kasus Pertama
Misalkan dalam uji kasus pertama, hasil yang diharapkan adalah
pendistribusikan menggunakan satu kendaraan dengan satu ritasi untuk memenuhi
semua permintaan setiap node. Terdapat tiga node yang akan dikunjungi yaitu node
2, node 3, dan node 4. Jarak antar-node untuk uji kasus pertama diberikan oleh
Tabel 2 berikut, dengan node 1 dan node 5 menyatakan depot yang sama:
Tabel 2 Jarak antar-node (dalam km) uji kasus pertama
Node
1
2
3 4
5
1
0
1
1 2
0
2
1
0
1 1
1
3
1
1
0 1
1
4
2
1
1 0
2
5
0
1
1 2
0
Setiap node memiliki permintaan cash cartridge dan time windows masingmasing. Kendala permintaan dan time windows yang dimaksud untuk uji kasus
pertama dapat dilihat pada Tabel 3 berikut:
Tabel 3 Time windows dan permintaan setiap node uji kasus pertama
Lama Pelayanan
Permintaan
Node
Time Windows
(dalam jam)
Cash Cartridge
1
2
3
4
5
1
1
1
1
1
00.00 – 24.00
00.00 – 24.00
00.00 – 24.00
00.00 – 24.00
00.00 – 24.00
0
4
4
4
0
8
Dari data-data yang digunakan dalam uji kasus pertama ini, setelah
diimplementasikan ke dalam model menghasilkan solusi sesuai dengan yang
diinginkan dengan nilai fungsi objektif atau biaya pengiriman sebesar Rp 220000.
Rute pengiriman yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 4 berikut:
Tabel 4 Rute pengiriman hasil uji kasus pertama
Kode
Kendaraan
Jenis
Kendaraan
Banyak
Ritasi
Rute Pengangkutan
1
12 cash cartridge
1
1 → 2 [4] → 4 [4] → 3 [4] → 1
2
12 cash cartridge
0
3
16 cash cartridge
0
a
Angka di dalam [ ] menunjukkan banyaknya cash cartridge yang diisi ulang untuk
setiap node.
Deskripsi dan Uji Kasus Kedua
Misalkan dalam uji kasus kedua, hasil yang diharapkan adalah
pendistribusikan menggunakan satu kendaraan dengan dua ritasi untuk memenuhi
semua permintaan setiap node. Terdapat empat node yang akan dikunjungi yaitu
node 2, node 3, node 4, dan node 5. Jarak antar-node untuk uji kasus kedua
diberikan oleh Tabel 5 berikut, dengan node 1 dan node 6 menyatakan depot yang
sama:
Tabel 5 Jarak antar-node (dalam km) uji kasus kedua
Node
1
2
3 4
5
6
1
0
1
1 2
3
0
2
1
0
1 1
1
1
3
1
1
0 1
1
1
4
2
1
1 0
1
2
5
3
1
1 1
0
3
6
0
1
1 2
3
0
Setiap node memiliki permintaan cash cartridge dan time windows masingmasing. Kendala permintaan dan time windows yang dimaksud untuk uji kasus
kedua dapat dilihat pada Tabel 6 berikut:
9
Tabel 6 Time windows dan permintaan setiap node uji kasus kedua
Lama Pelayanan
Permintaan
Node
Time Windows
(dalam jam)
Cash Cartridge
1
2
3
4
5
6
00.00 – 24.00
00.00 – 24.00
00.00 – 24.00
00.00 – 24.00
00.00 – 24.00
00.00 – 24.00
1
1
1
2
2
1
0
4
4
8
8
0
Dari data-data yang digunakan dalam uji kasus kedua ini, setelah
diimplementasikan ke dalam model menghasilkan solusi sesuai dengan yang
diinginkan dengan nilai fungsi objektif atau biaya pengiriman sebesar Rp 245000.
Rute pengiriman yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 7 berikut:
Tabel 7 Rute pengiriman hasil uji kasus kedua
Kode
Kendaraan
Jenis
Kendaraan
Banyak
Ritasi
Rute Pengangkutan
1 → 2 [4] → 5 [8] → 6 → 4 [8] →
3 [4] → 1
2
12 cash cartridge
0
3
16 cash cartridge
0
a
Angka di dalam [ ] menunjukkan banyaknya cash cartridge yang diisi ulang untuk
setiap node.
1
12 cash cartridge
2
Deskripsi dan Uji Kasus Ketiga
Misalkan dalam uji kasus ketiga, hasil yang diharapkan adalah
pendistribusikan menggunakan dua kendaraan dengan satu ritasi untuk setiap
kendaraan untuk memenuhi semua permintaan setiap node. Terdapat empat node
yang akan dikunjungi yaitu node 2, node 3, node 4, dan node 5. Jarak antar-node
untuk uji kasus ketiga diberikan oleh Tabel 8 berikut, dengan node 1 dan node 6
menyatakan depot yang sama:
Tabel 8 Jarak antar-node (dalam km) uji kasus ketiga
Node
1
2
3 4
5
6
1
0
1
1 2
3
0
2
1
0
1 1
1
1
3
1
1
0 1
1
1
4
2
1
1 0
1
2
5
3
1
1 1
0
3
6
0
1
1 2
3
0
10
Setiap node memiliki permintaan cash cartridge dan time windows masingmasing. Kendala permintaan dan time windows yang dimaksud untuk uji kasus
ketiga dapat dilihat pada Tabel 9 berikut:
Tabel 9 Time windows dan permintaan setiap node uji kasus ketiga
Lama Pelayanan
Permintaan
Node
Time Windows
(dalam jam)
Cash Cartridge
1
2
3
4
5
6
00.00 – 24.00
01.00 – 06.00
01.00 – 06.00
01.00 – 06.00
01.00 – 06.00
00.00 – 24.00
1
2
1
2
1
1
0
8
4
8
4
0
Dari data-data yang digunakan dalam uji kasus ketiga ini, setelah
diimplementasikan ke dalam model menghasilkan solusi sesuai dengan yang
diinginkan dengan nilai fungsi objektif atau biaya pengiriman sebesar Rp 445000.
Rute pengiriman yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 10 berikut:
Tabel 10 Rute pengiriman hasil uji kasus ketiga
Kode
Kendaraan
Jenis
Kendaraan
Banyak
Ritasi
Rute Pengangkutan
1
12 cash cartridge
1
1 → 3 [4] → 2 [8] → 1
2
12 cash cartridge
1
1 → 5 [4] → 4 [8] → 1
3
16 cash cartridge
0
a
Angka di dalam [ ] menunjukkan banyaknya cash cartridge yang diisi ulang untuk
setiap node.
IMPLEMENTASI MODEL
Deskripsi dan Formulasi Masalah Pengiriman Cash Cartridge
Misalkan dalam masalah pengiriman cash cartridge, suatu depot akan
mengirimkan ke beberapa node. Pada implementasi ini depot merepresentasikan
bank dan setiap node merepresentasikan keberadaan ATM. Terdapat delapan node
yang akan dikunjungi yaitu node 2, node 3, node 4, node 5, node 6, node 7, node 8,
dan node 9. Jarak antar-node dapat dilihat pada Tabel 11 berikut, dengan node 1
dan node 10 menyatakan depot yang sama:
11
Node
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabel 11 Jarak antar-node (dalam km)
1
2
3 4
5
6 7 8
0
1
1 2
3
3 3 6
1
0
1 1
1
2 5 5
1
1
0 1
1
1 1 5
2
1
1 0
1
3 5 5
3
1
1 1
0
1 4 6
3
2
1 3
1
0 5 7
3
5
1 5
4
5 0 3
6
5
5 5
6
7 3 0
7
8
9 7
7
8 5 2
0
1
1 2
3
3 3 6
9
7
9
9
7
7
8
5
2
0
7
10
0
1
1
2
3
3
3
6
7
0
Setiap node memiliki permintaan cash cartridge dan time windows masingmasing. Kendala permintaan dan time windows yang dimaksud dapat dilihat pada
Tabel 12 berikut:
Node
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabel 12 Time windows dan permintaan setiap node
Lama Pelayanan
Permintaan
Time Windows
(dalam jam)
Cash Cartridge
1
1
2
1
2
5
1
1
1
1
00.00 – 24.00
01.00 – 06.00
01.00 – 06.00
01.00 – 06.00
01.00 – 06.00
01.00 – 11.00
18.00 – 23.00
18.00 – 23.00
18.00 – 23.00
00.00 – 24.00
0
4
8
4
8
20
4
4
4
0
Depot memiliki lima kendaraan dengan dua tipe kendaraan, tipe pertama
berkapasitas dua belas cash cartridge berjumlah tiga kendaraan dengan biaya per
km sebesar Rp 5000 dan tipe kedua berkapasitas enam belas cash cartridge
berjumlah dua kendaraan dengan biaya per km sebesar Rp 7000. Biaya tetap untuk
setiap kendaraan yang digunakan sebesar Rp 200000, biaya tetap itu dikeluarkan
untuk biaya pengawalan kendaraan yang digunakan selama pengiriman. Data yang
berkaitan dengan kendaraan untuk implementasi model ini dapat dilihat pada Tabel
13 berikut:
12
Tabel 13 Kecepatan, kapasitas, dan biaya kendaraan
Kode
Kendaraan
Kecepatan
(km/jam)
Biaya
Tetap
Biaya
per km
Kapasitas
Cash Cartridge
1
2
3
4
5
40
40
40
40
40
200000
200000
200000
200000
200000
5000
5000
5000
7000
7000
12
12
12
16
16
Data yang diberikan merupakan data hipotetik yang dapat digunakan untuk
keperluan simulasi. Masalah pengiriman dalam implementasi model ini dapat
diformulasikan sebagai berikut:
Himpunan
= himpunan semua kendaraan, = { , , … , },
= himpunan node dengan permintaan kurang dari atau sama dengan kapasitas
maksimal kendaraan, = { , , , , , , },
= himpunan node dengan permintaan lebih dari kapasitas maksimal kendaraan,
= { },
= himpunan semua node, = { , , … , }, dengan 1 dan 10 menyatakan
depot yang sama.
Indeks
i,j,p = indeks untuk menyatakan node,
k
= indeks untuk menyatakan kendaraan.
Parameter
= kapasitas pada kendaraan k (Tabel 13),
= biaya perjalanan per km pada kendaraan k (Tabel 13),
= biaya tetap untuk setiap kendaraan yang digunakan (Tabel 13),
= kecepatan untuk setiap kendaraan k (Tabel 13),
= lamanya pelayanan pada node i (Tabel 12),
= batas awal waktu pelayanan pada node i (Tabel 12),
= batas akhir waktu pelayanan pada node i (Tabel 12),
= permintaan cash cartridge untuk setiap node i (Tabel 12),
= jarak antara node i dan node j (Tabel 11),
bigM = 100000.
Variabel Keputusan
= banyaknya ritasi kendaraan k,
= waktu tempuh antara node i dan node j untuk kendaraan k,
= waktu node mulai dilayani oleh kendaraan ,
= banyaknya cash cartridge yang kosong pada kendaraan k setelah
meninggalkan node i,
= proporsi dari permintaan cash cartridge pada node yang diangkut
kendaraan ,
13
kendaraan k mengunjungi node j setelah node i
{ 1,0, jika
lainnya.
1, jika kendaraan k digunakan untuk mengantarkan cash cartridge
= { 0, lainnya.
=
Fungsi Objektif
Fungsi objektif model ini adalah meminimumkan biaya perjalanan ditinjau
dari jumlah biaya tetap ditambah jumlah biaya per km untuk setiap kendaraan yang
digunakan, yakni:
5
min � = ∑
=
5
+ ∑∑∑
=
=
=
.
Kendala
Kendala yang harus dipenuhi untuk model ini adalah sebagai berikut:
1 Setiap kendaraan tidak harus digunakan,
9
2
,
∑
=
Kendaraan yang meninggalkan depot dipastikan untuk mengantarkan cash
cartridge,
9
3
4
5
=
∑
=
,
∀ = , ,…, .
Tidak ada node yang dikunjungi oleh kendaraan yang tidak digunakan,
,
∀ , = , ,…, ; ∀ = , ,.., .
Kendaraan yang mengunjungi node harus meninggalkan node tersebut,
∑
=
≠�
�
−∑
�
=
�≠
= ,
∀� = , , … ,
; ∀ = , ,…, .
Node yang memiliki permintaan kurang dari atau sama dengan kapasitas
maksimal kendaraan dikunjungi tepat satu kali,
5
6
∀ = , ,…, .
∑∑
=
=
≠
= ,
∀ = , , , , , , .
Node yang memiliki permintaan lebih dari kapasitas maksimal kendaraan
dikunjungi lebih dari satu kali,
5
∑
=
∑
=
= ,
∀ = ,
,
∀ = ; ∀ = , ,…, .
14
7
8
Jumlah cash cartridge kosong kumulatif pada kendaraan yang meninggalkan
node akan bertambah,
+ −
( −
)� � ,
∀ = , ,…, ; ∀ = , ,…, ;
∀ = , , , , , , ,
+
−
( −
)� � ,
∀ = , ,…, ;
∀ = , ,…, ; ∀ = .
Kendaraan yang digunakan harus kembali ke depot,
9
=
∑
=
,
∀ = , ,…, .
Jumlah cash cartridge kosong kumulatif tidak boleh melebihi kapasitas setiap
kendaraan,
,
∀ = , ,…, ; ∀ = , ,…, .
10 Jumlah cash cartridge kosong kumulatif setiap kendaraan yang meninggalkan
depot adalah 0,
= ,
∀ = , ,…, ,
= ,
∀ = , ,…, .
11 Banyaknya ritasi setiap kendaraan merupakan frekuensi setiap kendaraan
berangkat dari depot dalam satu periode,
9
9
∑
+
=
=
,
∀ = , ,…, .
12 Tidak ada perjalanan ke node yang sama,
= ,
∀ = , ,…, ; ∀ = , ,…, ,
= ,
∀ = , ,…, .
13 Lama perjalanan dari node i ke node j untuk kendaraan k,
=
,
∀ = , ,…, ; ∀ , = , ,…,
.
14 Waktu mulai pelayanan pada node j,
+
+ −� � ( −
)
,
∀ = , ,…, ; ∀ = , ,…, ; ∀ = , ,…,
15 Batas awal waktu pelayanan pada node i,
,
∀ = , ,…, ; ∀ = , ,…, .
16 Batas akhir waktu pelayanan pada node i,
+
,
∀ = , ,…, ; ∀ = , ,…, .
17 Kendala ketaknegatifan,
,
∀ = , ,…, ; ∀ = , ,…, ,
,
∀ = , ,…, ; ∀ = .
18 Kendala biner.
∈ { , },
∀ = , ,…, ; ∀ , = , ,…, ,
∈ { , },
∀ = , ,…, .
.
15
Hasil dan Pembahasan
Formulasi masalah model ini diselesaikan menggunakan software LINGO
11.0. Solusi yang dihasilkan adalah minimum global, artinya rute yang dihasilkan
merupakan rute dengan biaya paling minimum. Nilai fungsi objektif atau biaya
pengiriman yang dihasilkan model yaitu Rp 617000. Dengan menggunakan
komputer berspesifikasi CPU 1.50 GHz dan RAM 4 GB waktu komputasi yang
diperlukan untuk menghasilkan solusi adalah selama 3 jam 8 menit 47 detik. Rute
pengiriman yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 14 berikut:
Tabel 14 Rute pengiriman hasil implementasi model
Kode
Kendaraan
Jenis
Kendaraan
Banyak
Ritasi
1
2
3
12 cash cartridge
12 cash cartridge
12 cash cartridge
0
0
0
Rute Pengangkutan
1 → 4 [4] → 5 [8] → 6 [4] → 10
4
16 cash cartridge
2
→ 7 [4] → 8 [4] → 9 [4] → 1
1 → 3 [8] → 2 [4] → 10 → 6 [16]
5
16 cash cartridge
2
→1
a
Angka di dalam [ ] menunjukan banyaknya cash cartridge yang diisi ulang untuk
setiap node.
Kendaraan yang digunakan mengirim cash cartridge untuk menghasilkan
rute yang optimal pada model ini hanya kendaraan 4 dan 5 masing-masing
melakukan sebanyak 2 rit, sedangkan kendaraan 1, 2, dan 3 tidak digunakan.
Terlihat juga node 6 dikunjungi dua kali sesuai dengan permintaan yang melebihi
kapastitas maksimal suatu kendaraan.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Penentuan rute pengiriman cash cartridge dari bank ke ATM dapat
dimodelkan sebagai masalah Capacitated Vehicle Routing Problem with Time
Windows (CVRPTW) menggunakan ILP. Node yang memiliki sejumlah ATM
dengan permintaan kurang dari atau sama dengan kapasitas maksimal kendaraan
hanya dikunjungi tepat satu kali dan node yang memiliki sejumlah ATM dengan
permintaan melebihi kapasitas maksimal kendaraan membuat node tersebut harus
dikunjungi lebih dari satu kali.
Implementasi model menggunakan software LINGO 11.0 pada komputer
dengan prosesor 1.5 GHz dan RAM 4 GB untuk menentukan skenario
pendistribusian cash cartridge dari depot ke delapan node yang terpisah relatif jauh
satu dengan yang lain diperoleh solusi optimal dalam waktu 3 jam 8 menit dan 47
detik.
16
Saran
Penelitian ini dapat dikembangkan dengan pengimplementasian pada data
primer dari suatu Bank secara nyata serta mempertimbangkan kendala yang
memungkinkan semua node dapat dikunjungi lebih dari satu kali.
DAFTAR PUSTAKA
Winston WL. 2004. Operations Research: Applications and Algorithms. Ed ke-4.
New York (US): Duxbury.
Sarker RA, Newton CS. 2008. Optimization Modelling: A Practical Approach.
Boca Raton (US): CRC Press Taylor & Francis Group.
Caric T, Gold H. 2008. Vehicle Routing Problem. France (FX): InTech
[IBI] Ikatan Bankir Indonesia (ID). 2015. Mengenal Operasional Perbankan 1.
Indonesia (ID): PT Gramedia Pustaka Utama
17
Lampiran 1 Waktu tempuh antar-node untuk setiap kendaraan (dalam jam)
Node
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0
0.025
0.025
0.05
0.075
0.075
0.075
0.15
0.175
0
2
0.025
0
0.025
0.025
0.025
0.05
0.125
0.125
0.225
0.025
3
0.025
0.025
0
0.025
0.025
0.025
0.025
0.125
0.225
0.025
4
0.05
0.025
0.025
0
0.025
0.75
0.125
0.125
0.175
0.05
5
0.075
0.025
0.025
0.025
0
0.025
0.1
0.15
0.175
0.075
6
0.075
0.05
0.025
0.075
0.025
0
0.125
0.175
0.2
0.075
7
0.075
0.125
0.025
0.125
0.1
0.125
0
0.075
0.125
0.075
8
0.15
0.125
0.125
0.125
0.15
0.175
0.075
0
0.05
0.15
9
0.175
0.225
0.225
0.175
0.175
0.2
0.125
0.05
0
0.175
10
0
0.025
0.025
0.05
0.075
0.075
0.075
0.15
0.175
0
18
Lampiran 2 Sintaks dan hasil LINGO 11.0 pada implementasi Model
model:
sets:
vehicle/1..5/:Y,B,C,F,E,R;
node/1..10/:D,L,W,Q;
noded/1..9/;
mix1(node,vehicle):G,M,H;
mix2(node,node):T;
mix3(node,node,vehicle):X,A;
endsets
data:
!kecepatan untuk setiap kendaraan;
E=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','kecepatan');
!lamanya pelayanan di tempat i;
L=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','lamapelayanan');
!batas awal pelayanan;
W=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','batasawal');
!batas akhir pelayanan;
Q=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','batasakhir');
!kapasitas kendaraan;
B=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','kapasitas');
!fix cost;
F=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','biayatetap');
!biaya per km;
C=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','biayaperkm');
!demand setiap ATM;
D=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','permintaan');
!jarak antar node;
T=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','jarak');
enddata
bigM=100000;
!fungsi objektif;
min=@sum(vehicle(k):F(k)*Y(k))+
@sum(vehicle(k):@sum(node(j):@sum(node(i)|i#NE#j:C(k)*T(i,j)
*X(i,j,k))));
!kendala-kendala;
!setiap kendaraan tidak harus meninggalkan depot ;
@for(vehicle(k):@sum(noded(j)|j#GT#1:X(1,j,k))
MENGGUNAKAN INTEGER LINEAR PROGRAMMING
MUHAMMAD DINAR MARDIANA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Optimasi Rute
Pengiriman Cash Cartridge ATM Menggunakan Integer Linear Programming
adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum
diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2015
Muhammad Dinar Mardiana
NIM G54110033
ABSTRAK
MUHAMMAD DINAR MARDIANA. Optimasi Rute Pengiriman Cash Cartridge
ATM Menggunakan Integer Linear Programming. Dibimbing oleh PRAPTO TRI
SUPRIYO dan SISWANDI.
Pengisian ulang cash cartridge pada ATM (Automatic Teller Machine) yang
berfungsi sebagai kotak penyimpanan uang tunai terkait erat dengan masalah
pendistribusiannya. Upaya untuk menentukan skenario pendistribusian cash
cartridge yang meminimumkan biaya operasional sangat diperlukan untuk
memaksimumkan keuntungan. Karya ilmiah ini memberikan model untuk
menentukan rute armada kendaraan guna mendistribusikan cash cartridge ke
beberapa ATM dengan biaya operasional yang minimum. Model diformulasikan
menggunakan Integer Linear Programming dengan kendala time windows pada
setiap ATM yang harus dikunjungi. Model selanjutnya diimplementasikan
menggunakan software LINGO 11.0 untuk menentukan skenario pendistribusian
cash cartridge dari bank ke delapan ATM yang terpisah relatif jauh satu dengan
yang lain. Hasil implementasi menggunakan komputer dengan prosesor 1.5 GHz
dan RAM 4 GB diperoleh solusi optimal dalam waktu 3 jam 8 menit dan 47 detik.
Hasil ini menunjukan bahwa model ini cukup beralasan untuk diterapkan pada
situasi nyata.
Kata kunci: CVRPTW, pengiriman cash cartridge.
ABSTRACT
MUHAMMAD DINAR MARDIANA. Route Optimization of ATM Cash
Cartridge Replenishment Using Integer Linear Programming. Supervised by
PRAPTO TRI SUPRIYO and SISWANDI.
Cash cartridge replenishment of ATM (Automatic Teller Machine) that
serves as storage box for cash closely related to the problem of distribution. Efforts
to determine the distribution scenario of cash cartridges that minimizes the
operational costs are indispensable to maximize profits. This paper provides model
to determine the routes for a fleet of vehicles to distribute the cash cartridges to
several ATMs with the minimum operational costs. This model is formulated using
integer linear programming with regard to time windows constraints at ATMs
which must be visited. This model is then implemented using the software LINGO
11.0 to determine the distribution scenario of cash cartridges from the the bank to
eight ATMs which relatively far apart from each other. The implementation using
a computer with a 1.5 GHz processor and 4 GB of RAM provides optimal solution
within 3 hours 8 minutes and 47 seconds. These results indicate that the model is
reasonable to be applied in real situations.
Keywords: CVRPTW, cash cartridge shipping.
OPTIMASI RUTE PENGIRIMAN CASH CARTRIDGE ATM
MENGGUNAKAN INTEGER LINEAR PROGRAMMING
MUHAMMAD DINAR MARDIANA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
Judul Skripsi : Optimasi Rute Pengiriman Cash Cartridge ATM Menggunakan
Integer Linear Programming
Nama
: Muhammad Dinar Mardiana
NIM
: G54110033
Disetujui oleh
Disetujui oleh
Drs Prapto Tri Supriyo, MKom
Pembimbing I
Drs Siswandi, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya
sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul Optimasi Rute
Pengiriman Cash Cartridge ATM Menggunakan Integer Linear Programming.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Ibu, Bapak, Eki, Alan, Zalfa, dan seluruh keluarga tercinta yang sudah
memberikan dukungan, motivasi, dan doa-doanya kepada penulis,
2. Bapak Drs Prapto Tri Supriyo MKom selaku dosen pembimbing 1, Bapak Drs
Siswandi MSi selaku dosen pembimbing 2, dan Bapak Dr Ir Bib Paruhum
Silalahi MKom selaku dosen penguji, terima kasih untuk bimbingan, ilmu,
saran, motivasi, dan bantuannya selama penyelesaian karya ilmiah ini,
3. Semua dosen di Departemen Matematika, terima kasih untuk ilmu dan motivasi
yang telah diberikan,
4. Staff Departemen Matematika: Bu Susi, Pak Yono, Bu Ade, dan staff lainnya,
terima kasih untuk bantuannya,
5. Intan Fitria Sari, terima kasih telah selalu menjadi pendengar keluh kesah
penulis, dan pembagi ilmu dalam mengerjakan karya ilmiah ini,
6. Teman-teman Matematika angkatan 48 yang selalu saling memberi dukungan
dan semangat kepada penulis terutama yang sudah berbagi ilmu dan
bantuannya,
7. Gilang, Jun, Adit, Agung, Rizki, Ical, terima kasih untuk hiburan kalian selama
penulis sedang jenuh dikontrakan,
8. Semua pihak yang sudah membantu penulis dan tidak dapat disebutkan satu
per satu.
Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih memiliki kekurangan. Oleh
karena itu, penulis sangat menghargai kritik dan saran dari pembaca.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2015
Muhammad Dinar Mardiana
DAFTAR ISI
PRAKATA
iv
DAFTAR ISI
v
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
1
Linear Programming
1
Integer Programming
2
Vehicle Routing Problem
2
Capacitated Vehicle Routing Problem with Time Windows
2
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
3
Deskripsi Masalah Pengiriman Cash Cartridge
3
Formulasi Masalah Pengiriman Cash Cartridge
3
UJI MODEL
6
Deskripsi dan Uji Kasus Pertama
7
Deskripsi dan Uji Kasus Kedua
8
Deskripsi dan Uji Kasus Ketiga
9
IMPLEMENTASI MODEL
10
Deskripsi dan Formulasi Masalah Pengiriman Cash Cartridge
10
Hasil dan Pembahasan
15
SIMPULAN DAN SARAN
15
Simpulan
15
Saran
16
DAFTAR PUSTAKA
16
LAMPIRAN
17
RIWAYAT HIDUP
28
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Kecepatan, kapasitas dan biaya kendaraan dalam uji model
Jarak antar-node (dalam km) uji kasus pertama
Time windows dan permintaan setiap node uji kasus pertama
Rute pengiriman hasil uji kasus pertama
Jarak antar-node (dalam km) uji kasus kedua
Time windows dan permintaan setiap node uji kasus kedua
Rute pengiriman hasil uji kasus kedua
Jarak antar-node (dalam km) uji kasus ketiga
Time windows dan permintaan setiap node uji kasus ketiga
Rute pengiriman hasil uji kasus ketiga
Jarak antar-node (dalam km)
Time windows dan permintaan setiap node
Kecepatan, kapasitas dan biaya kendaraan
Rute pengiriman hasil implementasi model
7
7
7
8
8
9
9
9
10
10
11
11
12
15
DAFTAR LAMPIRAN
1 Waktu tempuh antar-node untuk setiap kendaraan (dalam jam)
2 Sintaks dan hasil LINGO 11.0 pada implementasi Model
17
18
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pendistribusian merupakan salah satu kegiatan penting dari sebuah
perusahaan. Beberapa permasalahan perusahaan dalam melakukan pendistribusian
antara lain menentukan banyaknya kendaraan yang dioperasikan, serta menentukan
rute kendaraan yang dapat mengoptimalkan jarak tempuh atau biaya perjalanan
yang bertujuan agar semua permintaan pelanggan dapat terlayani dengan baik dan
pada akhirnya keuntungan optimal akan diperoleh perusahaan.
ATM (Automatic Teller Machine) merupakan fasilitas di mana nasabah bisa
menarik tabungan atau gironya dengan kartu ATM melalui jaringan ATM bank dan
jaringan ATM yang terafiliasi dengan bank baik dalam maupun luar negeri (IBI
2015). Dalam mesin ATM terdapat salah satu komponen penting yaitu cash
cartridge yang berfungsi sebagai kotak penyimpanan uang tunai pada mesin ATM
yang harus diisi ulang secara rutin. Pengisian ulang cash cartridge ini terkait erat
dengan masalah pendistribusiannya. Hal ini sangatlah penting karena mengingat
fungsi mesin ATM untuk melakukan transaksi agar lebih cepat dan efisien.
Sehingga tidak terjadi kekosongan uang tunai dalam mesin-mesin ATM. Upaya
menentukan rute pengiriman cash cartridge yang meminimumkan biaya
operasional tentu sangat diperlukan dalam upaya memaksimumkan keuntungan.
Tujuan Penelitian
Tujuan karya ilmiah ini adalah memformulasikan masalah optimasi rute
pengiriman cash cartridge ATM untuk meminimumkan total biaya pengiriman
dengan menggunakan ILP (Integer Linear Programming). Selanjutnya model
diimplementasikan pada suatu kasus dengan menggunakan bantuan software
LINGO 11.0.
TINJAUAN PUSTAKA
Penentuan rute optimal pengiriman cash cartridge ATM dapat
diformulasikan sebagai model Vehicle Routing Problem (VRP) menggunakan
Integer Linear Programming (ILP). Berikut ini diberikan beberapa teori dan
definisi yang digunakan terkait dengan ILP.
Linear Programming
Menurut Winston (2004), Linear Programming (LP) adalah suatu masalah
pengoptimuman yang memenuhi ketentuan-ketentuan sebagai berikut:
1. tujuan masalah ini untuk memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi
linear. Fungsi yang dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi objektif,
2
2. nilai-nilai pada variabel keputusan harus memenuhi semua kendala yang ada.
Setiap kendala harus berupa persamaan linear atau pertaksamaan linear, dan
3. terdapat pembatasan tanda bergantung untuk setiap variabel. Untuk sembarang
variabel � , pembatasan tanda menentukan � harus taknegatif (�
) atau
tandanya tidak dibatasi.
Integer Programming
Integer Programming (IP) adalah suatu masalah Linear Progamming dengan
sebagian atau semua variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer)
taknegatif. Masalah IP dengan semua variabel yang digunakan berupa bilangan
integer disebut pure integer programming. IP dengan beberapa variabel yang
digunakan berupa bilangan integer disebut mixed integer programming. IP dengan
semua variabelnya bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP (Winston 2004).
Vehicle Routing Problem
Vehicle Routing Problem (VRP) adalah model yang digunakan untuk
perencanaan dan proses pengambilan keputusan. Contoh masalah yang dapat
diselesaikan dengan VRP antara lain yakni pengiriman barang dan pengumpulan
sampah (Sarker dan Newton 2008).
Menurut (Sarker dan Newton 2008), VRP sederhana dapat digambarkan
sebagai berikut:
1 di depot terdapat kendaraan sejumlah M yang diketahui kapasitasnya,
2 terdapat pelanggan sejumlah − dengan masing-masing pelanggan memiliki
permintaan,
3 terdapat biaya perjalanan dari lokasi ke lokasi , dan
4 tujuannya untuk menemukan rute pengiriman barang ke (dari) pelanggan dengan
biaya minimum.
Rute kendaraan harus mengawali dan mengakhiri perjalanan di depot. Solusi dari
VRP adalah suatu himpunan rute yang dilakukan oleh satu kendaraan. Rute yang
dihasilkan harus memenuhi semua permintaan pelanggan dan semua kendala yang
diberikan untuk menghasilkan total biaya perjalanan yang minimum.
Capacitated Vehicle Routing Problem with Time Windows
Capacitated Vehicle Routing Problem with Time Windows (CVRPTW)
merupakan pengembangan dari VRP. CVRPTW merupakan VRP dengan
mempertimbangkan kapasitas kendaraan sehingga dapat ditentukan banyaknya
kendaraan yang harus disediakan untuk memenuhi semua permintaan pelanggan
dan time windows berguna untuk memenuhi permintaan setiap pelanggan yang
memiliki waktu pelayanan masing-masing, artinya setiap pelanggan memiliki batas
waktu pelayanan dalam satu periode (Caric dan Gold 2008).
3
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
Deskripsi Masalah Pengiriman Cash Cartridge
Pengiriman cash cartridge merupakan salah satu bagian dari manajemen
operasional bank. Bank akan mengirimkan cash cartridge yang berisi uang tunai ke
beberapa ATM untuk mengisi ulang cash cartridge yang kosong pada mesin ATM,
dengan setiap ATM memiliki time windows, yaitu terdapat selang waktu untuk
melakukan pengisian ulang. Sistem pengisian ulang uang pada mesin ATM secara
rutin dan teratur akan membuat pengelolaan transaksi pada mesin ATM menjadi
baik. Perencanaan pada sistem pengisian perlu dilakukan. Penentuan rute
pengiriman cash cartridge yang optimal merupakan bagian dari perencanaan sistem
pengisian. Optimal pada pengiriman dapat ditinjau dari biaya yang minimum,
jumlah kendaraan yang digunakan minimum, dan jarak tempuh yang minimum.
Secara umum, dalam suatu mesin ATM berisi lima cash cartridge dan setiap
cash cartridge berisi lembaran uang tunai kertas. Ketentuan mesin ATM yang harus
diisi ulang adalah ketika hanya tersisa satu cash cartridge yang masih terisi uang
tunai kertas, artinya setiap mesin ATM akan diisi ulang sebanyak empat cash
cartridge. Pengiriman cash cartridge dilakukan oleh pihak bank yang memantau
mesin-mesin ATM (server ATM) dalam satu wilayah. Pengiriman dilakukan dari
bank ke ATM menggunakan kendaraan yang mempunyai kapasitas angkut cash
cartridge tertentu. Setelah cash cartridge yang berisi uang tunai dalam kendaraan
habis, kendaraan harus kembali ke bank. Kendaraan yang sudah kembali ke bank
dapat mengunjungi ATM kembali apabila masih ada mesin ATM yang harus diisi
ulang. Dengan demikian, kendaraan dapat mengunjungi bank lebih dari satu kali
dalam satu periode untuk menukar cash cartridge kosong dengan cash cartridge
berisi uang tunai. Frekuensi kendaraan berangkat dari bank disebut ritasi, dengan
satuan rit. Setelah semua mesin ATM diisi ulang, kendaraan kembali ke bank.
Formulasi Masalah Pengiriman Cash Cartridge
Misalkan dalam masalah ini terdapat suatu bank yang memiliki beberapa
ATM. Selanjutnya depot merepresentasikan bank dan setiap node
merepresentasikan keberadaan ATM. Node tersebut terbagi dalam dua tipe yaitu,
terdapat sejumlah � node dengan permintaan cash castridge tidak melebihi
kapasitas maksimal kendaraan dan sejumlah � + node dengan permintaan cash
cartridge melebihi kapasitas maksimal kendaraan. Depot menyediakan sejumlah
kendaraan yang mempunyai kapasitas angkut cash cartridge tertentu untuk
melakukan pegiriman. Untuk menyelesaikan masalah ini akan dibangun sebuah
model dengan asumsi-asumsi sebagai berikut:
1 laju setiap kendaraan konstan,
2 kendaraan yang tersedia tidak harus digunakan semua untuk mengirim cash
cartridge,
3 jarak antar-node adalah simetrik, artinya jarak dari node ke node sama
dengan jarak dari node ke node ,
4
4 biaya pengiriman cash cartridge hanya dihitung dari total biaya tetap ditambah
total biaya perjalanan per km untuk setiap kendaraan yang digunakan,
5 setiap kendaraan yang digunakan dan sudah kembali ke depot dapat digunakan
kembali untuk mengirim cash cartridge dalam satu periode, dan
6 node dapat dikunjungi lebih dari satu kali apabila node yang permintaannya
melebihi kapasitas maksimal kendaraan.
Masalah pengiriman cash cartridge ini dapat diformulasikan sebagai berikut:
Himpunan
= himpunan semua kendaraan, = { , , … , },
= himpunan node dengan permintaan kurang dari atau sama dengan kapasitas
maksimal kendaraan, = { , , … , �},
= himpunan node dengan permintaan lebih dari kapasitas maksimal kendaraan,
= {� + , � + , … , � + },
= himpunan semua node, = { , , … , �, � + , � + , … , � + , � + + },
dengan 1 dan � + + menyatakan depot yang sama.
Indeks
i,j,p = indeks untuk menyatakan node,
k
= indeks untuk menyatakan kendaraan.
Parameter
= kapasitas pada kendaraan k,
= biaya perjalanan per km pada kendaraan k,
= biaya tetap untuk setiap kendaraan yang digunakan,
= kecepatan untuk setiap kendaraan k,
= lamanya pelayanan pada node i,
= batas awal waktu pelayanan pada node i,
= batas akhir waktu pelayanan pada node i,
= permintaan cash cartridge untuk setiap node i,
= jarak antara node i dan node j,
bigM = konstanta positif yang nilainya relatif besar.
Variabel Keputusan
= total ritasi kendaraan k,
= waktu tempuh antara node i dan node j untuk kendaraan k,
= waktu node mulai dilayani oleh kendaraan ,
= banyaknya cash cartridge yang kosong pada kendaraan k setelah
meninggalkan node i,
= proporsi dari permintaan cash cartridge pada node yang diangkut
kendaraan ,
1, jika kendaraan k mengunjungi node j setelah node i
=
0, lainnya.
1, jika kendaraan k digunakan untuk mengantarkan cash cartridge
=
0, lainnya.
{
{
5
Fungsi Objektif
Fungsi objektif model ini adalah meminimumkan biaya perjalanan ditinjau
dari jumlah biaya tetap ditambah jumlah biaya per km untuk setiap kendaraan yang
digunakan, yakni:
min � = ∑
+ ∑∑∑
∈
∈
∈� ∈�
.
Kendala
Kendala yang harus dipenuhi untuk model ini adalah sebagai berikut:
1 Setiap kendaraan tidak harus digunakan,
2
3
4
5
6
∑
∈�∪
∑
9
.
=
∈�∪
,
∀ ∈
.
Tidak ada node yang dikunjungi oleh kendaraan yang tidak digunakan,
,
∀, ∈ ;∀ ∈ .
Kendaraan yang mengunjungi node harus meninggalkan node tersebut,
∑
∈�
≠�
�
−∑
�
∈�
�≠
= ,
∀� ∈ ; ∀ ∈
.
Node yang memiliki permintaan kurang dari atau sama dengan kapasitas
maksimal kendaraan dikunjungi tepat satu kali,
∑∑
∈
∈�
≠
= ,
∀ ∈
.
Node yang memiliki permintaan lebih dari kapasitas maksimal kendaraan
dikunjungi lebih dari satu kali,
∈
8
∀ ∈
Kendaraan yang meninggalkan depot dipastikan untuk mengantarkan cash
cartridge,
∑
7
,
∑
= ,
∈�
∀ ∈ ,
,
∀ ∈ ;∀ ∈
.
Jumlah cash cartridge kosong kumulatif pada kendaraan yang meninggalkan
node akan bertambah,
+ −
( −
)� � ,
∀ ∈ ;∀ ∈ ;∀ ∈ ,
+
−
( −
)� � ,
∀ ∈ ;∀ ∈ ;∀ ∈ .
Kendaraan yang digunakan harus kembali ke depot,
∑
∈�∪
=
,
∀ ∈
.
Jumlah cash cartridge kosong kumulatif tidak boleh melebihi kapasitas setiap
kendaraan,
,
∀ ∈ ;∀ ∈ .
6
10 Jumlah cash cartridge kosong kumulatif setiap kendaraan yang meninggalkan
depot adalah 0,
= ,
∀ ∈ ,
= ,
∀ ∈ .
�+�+
11 Banyaknya ritasi setiap kendaraan merupakan frekuensi setiap kendaraan
berangkat dari depot dalam satu periode,
∑
+
∈�∪
�+�+
=
,
∀ ∈
.
12 Tidak ada perjalanan ke node yang sama,
= ,
∀ ∈ ;∀ ∈ ,
=
,
∀ ∈ ; �+ + ∈ .
�+�+
13 Lama perjalanan dari node i ke node j untuk kendaraan k,
=
,
∀ ∈ ;∀, ∈
.
14 Waktu mulai pelayanan pada node j,
+
+ −� � ( −
)
,
15 Batas awal waktu pelayanan pada node i,
,
∀ ∈ ;∀ ∈ .
16 Batas akhir waktu pelayanan pada node i,
+
,
∀ ∈ ;∀ ∈ .
17 Kendala ketaknegatifan,
,
∀ ∈ ;∀ ∈ ,
,
∀ ∈ ;∀ ∈ .
18 Kendala biner.
∈ { , },
∀ ∈ ;∀, ∈ ,
∈ { , },
∀ ∈ .
∀ ∈ ;∀ ∈ ;∀ ∈
.
UJI MODEL
Dalam membangun sebuah model matematika perlu dilakukan uji model
untuk meyakinkan bahwa model yang dibangun adalah benar dan dapat
diaplikasikan ke dalam masalah-masalah yang serupa atau kasus-kasus tertentu
sesuai tujuan. Pada karya ilmiah ini, model yang dibangun adalah untuk
menentukan rute pengiriman yang optimal dan telah dijelaskan secara terperinci
dalam deskripsi masalah. Selanjutnya dalam masalah ini diberikan tiga uji kasus,
yaitu kasus pertama adalah pendistribusian cash cartridge menggunakan satu
kendaraan dengan satu ritasi, kasus kedua adalah pendistribusian cash cartridge
menggunakan satu kendaraan dengan dua ritasi, dan kasus ketiga adalah
pendistribusian cash cartridge menggunakan dua kendaraan dengan satu ritasi
untuk setiap kendaraan.
Misalkan untuk melakukan pengiriman pihak depot memiliki tiga
kendaraan dengan dua tipe kendaraan, tipe pertama berkapasitas dua belas cash
cartridge berjumlah dua kendaraan dengan biaya per km sebesar Rp 5000 dan tipe
kedua berkapasitas enam belas cash cartridge berjumlah satu kendaraan dengan
7
biaya per km sebesar Rp 7000. Biaya tetap untuk setiap kendaraan yang digunakan
sebesar Rp 200000, biaya tetap itu dikeluarkan untuk biaya pengawalan kendaraan
yang digunakan selama pengiriman. Data yang berkaitan dengan kendaraan untuk
semua kasus dalam uji model ini dapat dilihat pada Tabel 1 berikut:
Tabel 1 Kecepatan, kapasitas, dan biaya kendaraan dalam uji model
Kode
Kendaraan
Kecepatan
(km/jam)
Biaya
Tetap
Biaya
per km
Kapasitas
Cash Cartridge
1
2
3
40
40
40
200000
200000
200000
5000
5000
7000
12
12
16
Deskripsi dan Uji Kasus Pertama
Misalkan dalam uji kasus pertama, hasil yang diharapkan adalah
pendistribusikan menggunakan satu kendaraan dengan satu ritasi untuk memenuhi
semua permintaan setiap node. Terdapat tiga node yang akan dikunjungi yaitu node
2, node 3, dan node 4. Jarak antar-node untuk uji kasus pertama diberikan oleh
Tabel 2 berikut, dengan node 1 dan node 5 menyatakan depot yang sama:
Tabel 2 Jarak antar-node (dalam km) uji kasus pertama
Node
1
2
3 4
5
1
0
1
1 2
0
2
1
0
1 1
1
3
1
1
0 1
1
4
2
1
1 0
2
5
0
1
1 2
0
Setiap node memiliki permintaan cash cartridge dan time windows masingmasing. Kendala permintaan dan time windows yang dimaksud untuk uji kasus
pertama dapat dilihat pada Tabel 3 berikut:
Tabel 3 Time windows dan permintaan setiap node uji kasus pertama
Lama Pelayanan
Permintaan
Node
Time Windows
(dalam jam)
Cash Cartridge
1
2
3
4
5
1
1
1
1
1
00.00 – 24.00
00.00 – 24.00
00.00 – 24.00
00.00 – 24.00
00.00 – 24.00
0
4
4
4
0
8
Dari data-data yang digunakan dalam uji kasus pertama ini, setelah
diimplementasikan ke dalam model menghasilkan solusi sesuai dengan yang
diinginkan dengan nilai fungsi objektif atau biaya pengiriman sebesar Rp 220000.
Rute pengiriman yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 4 berikut:
Tabel 4 Rute pengiriman hasil uji kasus pertama
Kode
Kendaraan
Jenis
Kendaraan
Banyak
Ritasi
Rute Pengangkutan
1
12 cash cartridge
1
1 → 2 [4] → 4 [4] → 3 [4] → 1
2
12 cash cartridge
0
3
16 cash cartridge
0
a
Angka di dalam [ ] menunjukkan banyaknya cash cartridge yang diisi ulang untuk
setiap node.
Deskripsi dan Uji Kasus Kedua
Misalkan dalam uji kasus kedua, hasil yang diharapkan adalah
pendistribusikan menggunakan satu kendaraan dengan dua ritasi untuk memenuhi
semua permintaan setiap node. Terdapat empat node yang akan dikunjungi yaitu
node 2, node 3, node 4, dan node 5. Jarak antar-node untuk uji kasus kedua
diberikan oleh Tabel 5 berikut, dengan node 1 dan node 6 menyatakan depot yang
sama:
Tabel 5 Jarak antar-node (dalam km) uji kasus kedua
Node
1
2
3 4
5
6
1
0
1
1 2
3
0
2
1
0
1 1
1
1
3
1
1
0 1
1
1
4
2
1
1 0
1
2
5
3
1
1 1
0
3
6
0
1
1 2
3
0
Setiap node memiliki permintaan cash cartridge dan time windows masingmasing. Kendala permintaan dan time windows yang dimaksud untuk uji kasus
kedua dapat dilihat pada Tabel 6 berikut:
9
Tabel 6 Time windows dan permintaan setiap node uji kasus kedua
Lama Pelayanan
Permintaan
Node
Time Windows
(dalam jam)
Cash Cartridge
1
2
3
4
5
6
00.00 – 24.00
00.00 – 24.00
00.00 – 24.00
00.00 – 24.00
00.00 – 24.00
00.00 – 24.00
1
1
1
2
2
1
0
4
4
8
8
0
Dari data-data yang digunakan dalam uji kasus kedua ini, setelah
diimplementasikan ke dalam model menghasilkan solusi sesuai dengan yang
diinginkan dengan nilai fungsi objektif atau biaya pengiriman sebesar Rp 245000.
Rute pengiriman yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 7 berikut:
Tabel 7 Rute pengiriman hasil uji kasus kedua
Kode
Kendaraan
Jenis
Kendaraan
Banyak
Ritasi
Rute Pengangkutan
1 → 2 [4] → 5 [8] → 6 → 4 [8] →
3 [4] → 1
2
12 cash cartridge
0
3
16 cash cartridge
0
a
Angka di dalam [ ] menunjukkan banyaknya cash cartridge yang diisi ulang untuk
setiap node.
1
12 cash cartridge
2
Deskripsi dan Uji Kasus Ketiga
Misalkan dalam uji kasus ketiga, hasil yang diharapkan adalah
pendistribusikan menggunakan dua kendaraan dengan satu ritasi untuk setiap
kendaraan untuk memenuhi semua permintaan setiap node. Terdapat empat node
yang akan dikunjungi yaitu node 2, node 3, node 4, dan node 5. Jarak antar-node
untuk uji kasus ketiga diberikan oleh Tabel 8 berikut, dengan node 1 dan node 6
menyatakan depot yang sama:
Tabel 8 Jarak antar-node (dalam km) uji kasus ketiga
Node
1
2
3 4
5
6
1
0
1
1 2
3
0
2
1
0
1 1
1
1
3
1
1
0 1
1
1
4
2
1
1 0
1
2
5
3
1
1 1
0
3
6
0
1
1 2
3
0
10
Setiap node memiliki permintaan cash cartridge dan time windows masingmasing. Kendala permintaan dan time windows yang dimaksud untuk uji kasus
ketiga dapat dilihat pada Tabel 9 berikut:
Tabel 9 Time windows dan permintaan setiap node uji kasus ketiga
Lama Pelayanan
Permintaan
Node
Time Windows
(dalam jam)
Cash Cartridge
1
2
3
4
5
6
00.00 – 24.00
01.00 – 06.00
01.00 – 06.00
01.00 – 06.00
01.00 – 06.00
00.00 – 24.00
1
2
1
2
1
1
0
8
4
8
4
0
Dari data-data yang digunakan dalam uji kasus ketiga ini, setelah
diimplementasikan ke dalam model menghasilkan solusi sesuai dengan yang
diinginkan dengan nilai fungsi objektif atau biaya pengiriman sebesar Rp 445000.
Rute pengiriman yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 10 berikut:
Tabel 10 Rute pengiriman hasil uji kasus ketiga
Kode
Kendaraan
Jenis
Kendaraan
Banyak
Ritasi
Rute Pengangkutan
1
12 cash cartridge
1
1 → 3 [4] → 2 [8] → 1
2
12 cash cartridge
1
1 → 5 [4] → 4 [8] → 1
3
16 cash cartridge
0
a
Angka di dalam [ ] menunjukkan banyaknya cash cartridge yang diisi ulang untuk
setiap node.
IMPLEMENTASI MODEL
Deskripsi dan Formulasi Masalah Pengiriman Cash Cartridge
Misalkan dalam masalah pengiriman cash cartridge, suatu depot akan
mengirimkan ke beberapa node. Pada implementasi ini depot merepresentasikan
bank dan setiap node merepresentasikan keberadaan ATM. Terdapat delapan node
yang akan dikunjungi yaitu node 2, node 3, node 4, node 5, node 6, node 7, node 8,
dan node 9. Jarak antar-node dapat dilihat pada Tabel 11 berikut, dengan node 1
dan node 10 menyatakan depot yang sama:
11
Node
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabel 11 Jarak antar-node (dalam km)
1
2
3 4
5
6 7 8
0
1
1 2
3
3 3 6
1
0
1 1
1
2 5 5
1
1
0 1
1
1 1 5
2
1
1 0
1
3 5 5
3
1
1 1
0
1 4 6
3
2
1 3
1
0 5 7
3
5
1 5
4
5 0 3
6
5
5 5
6
7 3 0
7
8
9 7
7
8 5 2
0
1
1 2
3
3 3 6
9
7
9
9
7
7
8
5
2
0
7
10
0
1
1
2
3
3
3
6
7
0
Setiap node memiliki permintaan cash cartridge dan time windows masingmasing. Kendala permintaan dan time windows yang dimaksud dapat dilihat pada
Tabel 12 berikut:
Node
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabel 12 Time windows dan permintaan setiap node
Lama Pelayanan
Permintaan
Time Windows
(dalam jam)
Cash Cartridge
1
1
2
1
2
5
1
1
1
1
00.00 – 24.00
01.00 – 06.00
01.00 – 06.00
01.00 – 06.00
01.00 – 06.00
01.00 – 11.00
18.00 – 23.00
18.00 – 23.00
18.00 – 23.00
00.00 – 24.00
0
4
8
4
8
20
4
4
4
0
Depot memiliki lima kendaraan dengan dua tipe kendaraan, tipe pertama
berkapasitas dua belas cash cartridge berjumlah tiga kendaraan dengan biaya per
km sebesar Rp 5000 dan tipe kedua berkapasitas enam belas cash cartridge
berjumlah dua kendaraan dengan biaya per km sebesar Rp 7000. Biaya tetap untuk
setiap kendaraan yang digunakan sebesar Rp 200000, biaya tetap itu dikeluarkan
untuk biaya pengawalan kendaraan yang digunakan selama pengiriman. Data yang
berkaitan dengan kendaraan untuk implementasi model ini dapat dilihat pada Tabel
13 berikut:
12
Tabel 13 Kecepatan, kapasitas, dan biaya kendaraan
Kode
Kendaraan
Kecepatan
(km/jam)
Biaya
Tetap
Biaya
per km
Kapasitas
Cash Cartridge
1
2
3
4
5
40
40
40
40
40
200000
200000
200000
200000
200000
5000
5000
5000
7000
7000
12
12
12
16
16
Data yang diberikan merupakan data hipotetik yang dapat digunakan untuk
keperluan simulasi. Masalah pengiriman dalam implementasi model ini dapat
diformulasikan sebagai berikut:
Himpunan
= himpunan semua kendaraan, = { , , … , },
= himpunan node dengan permintaan kurang dari atau sama dengan kapasitas
maksimal kendaraan, = { , , , , , , },
= himpunan node dengan permintaan lebih dari kapasitas maksimal kendaraan,
= { },
= himpunan semua node, = { , , … , }, dengan 1 dan 10 menyatakan
depot yang sama.
Indeks
i,j,p = indeks untuk menyatakan node,
k
= indeks untuk menyatakan kendaraan.
Parameter
= kapasitas pada kendaraan k (Tabel 13),
= biaya perjalanan per km pada kendaraan k (Tabel 13),
= biaya tetap untuk setiap kendaraan yang digunakan (Tabel 13),
= kecepatan untuk setiap kendaraan k (Tabel 13),
= lamanya pelayanan pada node i (Tabel 12),
= batas awal waktu pelayanan pada node i (Tabel 12),
= batas akhir waktu pelayanan pada node i (Tabel 12),
= permintaan cash cartridge untuk setiap node i (Tabel 12),
= jarak antara node i dan node j (Tabel 11),
bigM = 100000.
Variabel Keputusan
= banyaknya ritasi kendaraan k,
= waktu tempuh antara node i dan node j untuk kendaraan k,
= waktu node mulai dilayani oleh kendaraan ,
= banyaknya cash cartridge yang kosong pada kendaraan k setelah
meninggalkan node i,
= proporsi dari permintaan cash cartridge pada node yang diangkut
kendaraan ,
13
kendaraan k mengunjungi node j setelah node i
{ 1,0, jika
lainnya.
1, jika kendaraan k digunakan untuk mengantarkan cash cartridge
= { 0, lainnya.
=
Fungsi Objektif
Fungsi objektif model ini adalah meminimumkan biaya perjalanan ditinjau
dari jumlah biaya tetap ditambah jumlah biaya per km untuk setiap kendaraan yang
digunakan, yakni:
5
min � = ∑
=
5
+ ∑∑∑
=
=
=
.
Kendala
Kendala yang harus dipenuhi untuk model ini adalah sebagai berikut:
1 Setiap kendaraan tidak harus digunakan,
9
2
,
∑
=
Kendaraan yang meninggalkan depot dipastikan untuk mengantarkan cash
cartridge,
9
3
4
5
=
∑
=
,
∀ = , ,…, .
Tidak ada node yang dikunjungi oleh kendaraan yang tidak digunakan,
,
∀ , = , ,…, ; ∀ = , ,.., .
Kendaraan yang mengunjungi node harus meninggalkan node tersebut,
∑
=
≠�
�
−∑
�
=
�≠
= ,
∀� = , , … ,
; ∀ = , ,…, .
Node yang memiliki permintaan kurang dari atau sama dengan kapasitas
maksimal kendaraan dikunjungi tepat satu kali,
5
6
∀ = , ,…, .
∑∑
=
=
≠
= ,
∀ = , , , , , , .
Node yang memiliki permintaan lebih dari kapasitas maksimal kendaraan
dikunjungi lebih dari satu kali,
5
∑
=
∑
=
= ,
∀ = ,
,
∀ = ; ∀ = , ,…, .
14
7
8
Jumlah cash cartridge kosong kumulatif pada kendaraan yang meninggalkan
node akan bertambah,
+ −
( −
)� � ,
∀ = , ,…, ; ∀ = , ,…, ;
∀ = , , , , , , ,
+
−
( −
)� � ,
∀ = , ,…, ;
∀ = , ,…, ; ∀ = .
Kendaraan yang digunakan harus kembali ke depot,
9
=
∑
=
,
∀ = , ,…, .
Jumlah cash cartridge kosong kumulatif tidak boleh melebihi kapasitas setiap
kendaraan,
,
∀ = , ,…, ; ∀ = , ,…, .
10 Jumlah cash cartridge kosong kumulatif setiap kendaraan yang meninggalkan
depot adalah 0,
= ,
∀ = , ,…, ,
= ,
∀ = , ,…, .
11 Banyaknya ritasi setiap kendaraan merupakan frekuensi setiap kendaraan
berangkat dari depot dalam satu periode,
9
9
∑
+
=
=
,
∀ = , ,…, .
12 Tidak ada perjalanan ke node yang sama,
= ,
∀ = , ,…, ; ∀ = , ,…, ,
= ,
∀ = , ,…, .
13 Lama perjalanan dari node i ke node j untuk kendaraan k,
=
,
∀ = , ,…, ; ∀ , = , ,…,
.
14 Waktu mulai pelayanan pada node j,
+
+ −� � ( −
)
,
∀ = , ,…, ; ∀ = , ,…, ; ∀ = , ,…,
15 Batas awal waktu pelayanan pada node i,
,
∀ = , ,…, ; ∀ = , ,…, .
16 Batas akhir waktu pelayanan pada node i,
+
,
∀ = , ,…, ; ∀ = , ,…, .
17 Kendala ketaknegatifan,
,
∀ = , ,…, ; ∀ = , ,…, ,
,
∀ = , ,…, ; ∀ = .
18 Kendala biner.
∈ { , },
∀ = , ,…, ; ∀ , = , ,…, ,
∈ { , },
∀ = , ,…, .
.
15
Hasil dan Pembahasan
Formulasi masalah model ini diselesaikan menggunakan software LINGO
11.0. Solusi yang dihasilkan adalah minimum global, artinya rute yang dihasilkan
merupakan rute dengan biaya paling minimum. Nilai fungsi objektif atau biaya
pengiriman yang dihasilkan model yaitu Rp 617000. Dengan menggunakan
komputer berspesifikasi CPU 1.50 GHz dan RAM 4 GB waktu komputasi yang
diperlukan untuk menghasilkan solusi adalah selama 3 jam 8 menit 47 detik. Rute
pengiriman yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 14 berikut:
Tabel 14 Rute pengiriman hasil implementasi model
Kode
Kendaraan
Jenis
Kendaraan
Banyak
Ritasi
1
2
3
12 cash cartridge
12 cash cartridge
12 cash cartridge
0
0
0
Rute Pengangkutan
1 → 4 [4] → 5 [8] → 6 [4] → 10
4
16 cash cartridge
2
→ 7 [4] → 8 [4] → 9 [4] → 1
1 → 3 [8] → 2 [4] → 10 → 6 [16]
5
16 cash cartridge
2
→1
a
Angka di dalam [ ] menunjukan banyaknya cash cartridge yang diisi ulang untuk
setiap node.
Kendaraan yang digunakan mengirim cash cartridge untuk menghasilkan
rute yang optimal pada model ini hanya kendaraan 4 dan 5 masing-masing
melakukan sebanyak 2 rit, sedangkan kendaraan 1, 2, dan 3 tidak digunakan.
Terlihat juga node 6 dikunjungi dua kali sesuai dengan permintaan yang melebihi
kapastitas maksimal suatu kendaraan.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Penentuan rute pengiriman cash cartridge dari bank ke ATM dapat
dimodelkan sebagai masalah Capacitated Vehicle Routing Problem with Time
Windows (CVRPTW) menggunakan ILP. Node yang memiliki sejumlah ATM
dengan permintaan kurang dari atau sama dengan kapasitas maksimal kendaraan
hanya dikunjungi tepat satu kali dan node yang memiliki sejumlah ATM dengan
permintaan melebihi kapasitas maksimal kendaraan membuat node tersebut harus
dikunjungi lebih dari satu kali.
Implementasi model menggunakan software LINGO 11.0 pada komputer
dengan prosesor 1.5 GHz dan RAM 4 GB untuk menentukan skenario
pendistribusian cash cartridge dari depot ke delapan node yang terpisah relatif jauh
satu dengan yang lain diperoleh solusi optimal dalam waktu 3 jam 8 menit dan 47
detik.
16
Saran
Penelitian ini dapat dikembangkan dengan pengimplementasian pada data
primer dari suatu Bank secara nyata serta mempertimbangkan kendala yang
memungkinkan semua node dapat dikunjungi lebih dari satu kali.
DAFTAR PUSTAKA
Winston WL. 2004. Operations Research: Applications and Algorithms. Ed ke-4.
New York (US): Duxbury.
Sarker RA, Newton CS. 2008. Optimization Modelling: A Practical Approach.
Boca Raton (US): CRC Press Taylor & Francis Group.
Caric T, Gold H. 2008. Vehicle Routing Problem. France (FX): InTech
[IBI] Ikatan Bankir Indonesia (ID). 2015. Mengenal Operasional Perbankan 1.
Indonesia (ID): PT Gramedia Pustaka Utama
17
Lampiran 1 Waktu tempuh antar-node untuk setiap kendaraan (dalam jam)
Node
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0
0.025
0.025
0.05
0.075
0.075
0.075
0.15
0.175
0
2
0.025
0
0.025
0.025
0.025
0.05
0.125
0.125
0.225
0.025
3
0.025
0.025
0
0.025
0.025
0.025
0.025
0.125
0.225
0.025
4
0.05
0.025
0.025
0
0.025
0.75
0.125
0.125
0.175
0.05
5
0.075
0.025
0.025
0.025
0
0.025
0.1
0.15
0.175
0.075
6
0.075
0.05
0.025
0.075
0.025
0
0.125
0.175
0.2
0.075
7
0.075
0.125
0.025
0.125
0.1
0.125
0
0.075
0.125
0.075
8
0.15
0.125
0.125
0.125
0.15
0.175
0.075
0
0.05
0.15
9
0.175
0.225
0.225
0.175
0.175
0.2
0.125
0.05
0
0.175
10
0
0.025
0.025
0.05
0.075
0.075
0.075
0.15
0.175
0
18
Lampiran 2 Sintaks dan hasil LINGO 11.0 pada implementasi Model
model:
sets:
vehicle/1..5/:Y,B,C,F,E,R;
node/1..10/:D,L,W,Q;
noded/1..9/;
mix1(node,vehicle):G,M,H;
mix2(node,node):T;
mix3(node,node,vehicle):X,A;
endsets
data:
!kecepatan untuk setiap kendaraan;
E=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','kecepatan');
!lamanya pelayanan di tempat i;
L=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','lamapelayanan');
!batas awal pelayanan;
W=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','batasawal');
!batas akhir pelayanan;
Q=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','batasakhir');
!kapasitas kendaraan;
B=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','kapasitas');
!fix cost;
F=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','biayatetap');
!biaya per km;
C=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','biayaperkm');
!demand setiap ATM;
D=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','permintaan');
!jarak antar node;
T=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','jarak');
enddata
bigM=100000;
!fungsi objektif;
min=@sum(vehicle(k):F(k)*Y(k))+
@sum(vehicle(k):@sum(node(j):@sum(node(i)|i#NE#j:C(k)*T(i,j)
*X(i,j,k))));
!kendala-kendala;
!setiap kendaraan tidak harus meninggalkan depot ;
@for(vehicle(k):@sum(noded(j)|j#GT#1:X(1,j,k))