17
E. Metode Simpleks
Masalah optimasi untuk program linear dengan dua variabel diselesaikan dengan menggunakan metode penggambaran grafik. Pada masalah optimasi dengan
fungsi tujuan yang memiliki lebih dari tiga variabel lebih, metode grafik sudah tidak memungkinkan digunakan sehingga digunakan cara lain yaitu metode simpleks.
Kendala dari permasalahan yang diselesaikan dengan metode simpleks harus diubah dulu ke dalam bentuk kanonik. Bentuk kanonik yaitu kondisi dimana semua
kendala berbentuk persamaan linear B. Susanta, 1994 : 70. Menurut Eddy Herjanto 2007 : 45, cara mengubah suatu kendala menjadi
bentuk kanonik adalah sebagai berikut : 1.
Menambahkan variabel slack s untuk kendala yang berbentuk pertidaksamaan kurang dari sama dengan
≤. 2.
Mengurangi dengan variabel surplus e untuk kendala yang berbentuk pertidaksamaan lebih dari sama dengan
≥. 3.
Mengalikan dengan -1 terhadap nilai suku tetap negatif. Variabel slack maupun variabel surplus merupakan variabel yang membuat
ruas yang semula tak seimbang menjadi seimbang, sehingga antara ruas kiri dan ruas kanan bernilai sama B. Susanta, 1994 : 69.
Mengingat variabel surplus tidak bisa menjadi basis karena koefisiennya negatif maka perlu ditambahkan suatu variabel yang bernilai positif untuk menjadi
basis, variabel tersebut dinyatakan sebagai variabel buatan B. Susanta, 1994 :
88.
18 Pada tabel optimal, karena berfungsi sebagai penyeimbang maka variabel
surplus harus bernilai nol. Agar variabel surplus segera bernilai nol maka disusunlah fungsi sasaran baru dengan bentuk ̅
= − � , dengan adalah fungsi tujuan awal, adalah suatu variabel buatan, dan
� merupakan bilangan positif yang cukup besar. Hal ini diharapkan supaya segera keluar dari basis karena koefisien
ongkosnya negatif besar. B. Susanta, 1994 : 89 Setelah bentuk kanonik dari setiap kendala sudah didapatkan, maka langkah
selanjutnya adalah membuat tabel simpleks.
Tabel 2. 1 Bentuk tabel simpleks
… …
… …
… …
�
− −
− …
−
Keterangan : : variabel-variabel yang akan dicari
: variabel yang menjadi basis dalam tabel yang ditinjau : koefisien ongkos
: koefisien ongkos milik variabel basis : koefisien dalam kendala utama
: suku tetap nilai di ruas kanan fungsi kendala
19 :
∑
=
jumlah hasil kali dengan kolom
�
: ∑
=
jumlah hasil kali dengan kolom −
: selisih dengan Apabila tabel yang bersangkutan belum optimal dan dipilih
sebagai basis baru maka disusun kolom
yang diperoleh dengan : =
, hanya untuk B. Susanta, 1994 : 74
Kasus dimana semua fungsi kendalanya berupa pertidaksamaan satu jenis disebut sebagai kasus maksimum atau minimum baku.
Pada kasus memaksimumkan, tabel simpleks dinyatakan telah mencapai optimal jika
− ≥ 0 untuk semua nilai . Jika tabel belum optimal maka dilakukan perbaikan tabel iterasi. Pada kasus memaksimumkan,
terpilih adalah yang memiliki
− yang paling kecil, karena jika diambil
− maka nilai fungsi tujuan akan menjauhi nilai optimal. Variabel yang terpilih
menjadi basis baru adalah variabel yang memiliki nilai terkecil. Sebaliknya
untuk kasus meminimumkan, terpilih adalah yang memiliki
− yang
paling besar. Variabel yang menjadi basis baru pada tabel perbaikan adalah variabel yang memiliki nilai
terkecil, dengan tabel optimumnya dicapai saat − ≤ 0 untuk semua nilai B. Susanta, 1994 : 77-78.
Contoh 2.1 berikut ini digunakan sebagai ilustrasi untuk menambah penjelasan terkait metode simpleks.
Contoh 2.1 :
Diketahui suatu permasalahan program linear sebagai berikut B. Susanta, 1994 : 88 :
20 +
+
2.10a
− −
2.10b
dan memaksimumkan = −8 + + 8
2.11 Akan diselesaiakan masalah program linear tersebut dengan menggunakan
metode simpleks. Langkah pertama yang dilakukan yaitu menyusun bentuk kanonik dari 2.10
dan 2.11, yaitu : +
+ + � =
2.12a −
− − + =
2.12b Serta memaksimumkan ̅
= −8 + + 8 + � +
− � Variabel slack untuk persamaan 2.10a dan 2.10b adalah
�, sedangkan variabel surplusnya yaitu e, dan a sebagai variabel buatan.
Setelah didapatkan bentuk kanonik, selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks.
Tabel 2. 2 Bentuk tabel simpleks contoh 2.1 iterasi 1
-8 6
8 -
� �
� 1
1 2
1 12
12 -
� 2
-6 -1
-1 1
4 2
-2 �
6 �
� -
� -4
� −
-2 �+8
6 �-6
�
-8
Pada Tabel 2.2 diketahui nilai − terkecil yaitu untuk variabel
, dengan nilai terkecil yang tidak negatif adalah pada variabel a, sehingga
variabel menjadi basis baru menggantikan variabel a.
21
Tabel 2. 3 Proses Iterasi 2 contoh 2.1
-8 6
8 -
� �
� 4
2,5 1
0,5 -0,5
10 4
-8 1
-3 -0,5
-0,5 0,5
2 -4
-8 24
4 4
-4 -16
−
18 -4
Pada Tabel 2.3 diketahui nilai − terkecil yaitu pada variabel
, dengan nilai terkecil yang tidak negatif adalah pada variabel s, sehingga
variabel menjadi basis baru menggantikan variabel s.
Tabel 2. 4 Proses Iterasi 3 contoh 2.1
-8 6
8 -
� �
8 1,6
1 0,4
0,2 -0,2
4 -8
1 -2,2
0,2 -0,4
0,4 4
-8 30,4
8 1,6
4,8 -4,8
−
24,4 1,6
4,8 �-4,8
Pada Tabel 2.4, semua nilai −
sehingga tabel telah optimal. Solusi dari permasalahan Contoh 2.1 yaitu nilai f maksimal = 0 dengan nilai variabel
= 4, = 4, dan
= 0. F.
Teorema Dualitas
Konsep dualitas menyebutkan bahwa suatu masalah pemrograman linear berkaitan dengan masalah pemrograman linear yang lain, dalam hal ini disebut
sebagai dual.
22 Secara umum, bentuk masalah primal dan dual dapat dituliskan sebagai
berikut : Primal
Memaksimumkan meminimumkan : =
�
2.13a dengan kendala :
= , dan 2.13b
Dual Meminimumkan memaksimumkan :
=
�
2.14a dengan kendala :
�
, 2.14b
Dalam hal ini,
�
= [ …
], 2.15
�
= [ …
… …
], 2.16
= [ ], 2.17
dan = [ ].
2.18
Matriks
�
dan
�
merupakan transpose dari matriks dan matriks , sedangkan adalah matriks satu kolom untuk setiap koefisien ongkos
, dan merupakan matriks satu kolom dari variabel-variabel dual yang dicari Bronson
Naadimuthu, 1997 : 56. Jika 2.14a dan 2.14b langsung ditulis dalam bentuk matriks secara
keseluruhan, maka akan didapat bentuk :
23 Meminimumkan memaksimumkan :
= [ …
] [ ]
dengan kendala : [
… …
… ] [ ] ,
[ ].
Bentuk perkalian matriks tersebut jika diuraikan menjadi penjumlahan aljabar akan menjadi :
Meminimumkan atau memaksimumkan =
+ + +
= ∑
=
2.19 dengan kendala :
+ + +
, 2.20a
+ + +
, 2.20b
+ + +
, 2.20c
Lemma 2.1. Dualitas Lemah Winston, 2003 :
Jika ̅ = [
̅ ̅
̅ ] merupakan solusi layak masalah primal, dan ̅ = [
̅ ̅
̅ ]
merupakan solusi layak masalah dual, maka nilai f primal f dual.
Bukti :
Pada permasalahan primal yang dinyatakan dalam bentuk Memaksimumkan
= +
+ + = ∑
=
24 dengan kendala :
+ + +
dengan i= 1, 2, …, m.
Bentuk masalah dual menjadi Meminimumkan
= +
+ + = ∑
=
dengan kendala : +
+ + dengan j=1, 2, …, n.
Diperhatikan bahwa , jika dikalikan dengan kendala masalah primal
maka menjadi +
+ + untuk i=
1, 2, …, m. Jika terdapat sejumlah m kendala, maka
∑ ∑
= =
∑
=
2.21a Diperhatikan bahwa
, jika dikalikan dengan kendala masalah dual maka menjadi
+ + +
untuk j= 1, 2, …,
n. Jika terdapat sejumlah n variabel, maka ∑
∑
= =
∑
=
2.21b Berdasarkan 2.21a dan 2.21b maka didapatkan
∑
=
∑ ∑
= =
∑
=
, atau ∑
=
∑
=
. Terbukti bahwa nilai f primal f dual.
Teorema 2.2. Teorema Dualitas Bronson Naadimuthu, 1997 : 56
Jika terdapat sebuah pemecahan optimal bagi suatu program primal atau dual simetris, maka program lainnya juga memiliki suatu pemecahan optimal dan
kedua fungsi tujuannya memiliki nilai optimal yang sama.
Bukti :
Berdasarkan Lemma 2.1, maka
� �
̅. Suatu titik layak pada masalah primal harus menghasilkan sebuah nilai f primal yang tidak melebihi
�
̅.
25 Mengingat ̅
adalah solusi layak primal dan punya suatu nilai fungsi tujuan primal yang memenuhi
�
̅ =
�
̅, maka ̅ haruslah solusi optimal primal. Hal yang serupa, karena ̅
solusi layak primal, dual lemah mengisyaratkan bahwa untuk suatu titik layak dual Y, maka
�
̅
�
. Suatu titik layak dual harus menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang melebihi
�
̅. Mengingat ̅ merupakan solusi layak dual dan punya sebuah nilai fungsi
tujuan dual yang memenuhi
�
̅ =
�
̅, maka ̅ haruslah solusi optimal dual.
Berdasarkan penjelasan tersebut maka Teorema 2.2 terbukti.
Suatu pemrograman linear dikatakan berbentuk simetris jika semua variabel dibatasi bernilai non negatif dan semua kendala berupa pertidaksamaan. Pada kasus
memaksimumkan, semua kendala berupa pertidaksamaan kurang dari sama dengan ≤, sedangkan kasus minimasi memiliki kendala dengan pertidaksamaan lebih dari
sama dengan ≥ Sri Mulyono, 1991 : 62. Jika suatu permasalahan belum memenuhi kondisi simetris maka dapat
diubah menjadi simetris. Adapun cara mengubah bentuk tak simetris menjadi simetris menurut Sri Mulyono 1991 : 66 yaitu :
1. Kendala pertidaksamaan ≥ pada masalah memaksimumkan dikalikan -1
sehingga tanda berubah menjadi ≤. 2.
Kendala persamaan = dapat diubah menjadi dua kendala yaitu pertidaksamaan ≥ dan pertidaksamaan ≤.
26 Berdasarkan Teorema 2.2, dualitas dapat digunakan untuk memeriksa
kembali tabel optimal pada masalah primal Pangestu Subagyo, dkk., 2000 : 62. Menurut Hamdy A. Taha 1999 : 151 pemecahan optimal untuk kedua masalah
primal dan dual didapatkan jika nilai tujuan keduanya sama . Contoh 2.2 berikut akan menjelaskan penerapan dualitas dalam suatu
permasalahan.
Contoh 2.2 :
Suatu pabrik A memproduksi dua jenis barang yaitu dan
. Baik barang maupun
membutuhkan 3 buah komponen dalam pembuatannya ,
, dengan kadar yang berbeda dan dinyatakan sebagai
. Persediaan maksimal komponen yang tersedia tiap minggu dinyatakan sebagai , sedangkan keuntungan
yang diperoleh pabrik A dinyatakan sebagai . Berdasarkan ilustrasi Contoh 2.2, masalah program linear dapat
direpresentasikan dalam Tabel 2.5.
Tabel 2. 5 Tabel dualitas Contoh 2.2
Komponen Jenis 1
Jenis 2 Batas maksimal
Batas minimal Pada Tabel 2.5, jika dibaca ke bawah maka akan menjadi masalah dual.
Sedangkan jika dibaca ke kanan maka didapatkan masalah primal. Maka hasil dari pembacaan tabel tersebut yaitu :
27 Masalah dual :
Memaksimumkan =
+ dengan kendala :
+ +
+ Sedangkan masalah primalnya menjadi
Meminimumkan =
+ +
dengan kendala : +
+ +
+ Keoptimalan masalah dual dan masalah primal mengakibatkan suatu kondisi
yang disebut dengan kondisi complementary slackness B. Susanta, 1994 : 186 : 1.
Jika dalam penyelesaian optimal masalah primal, kendala ke-h berupa pertidaksamaan maka dalam penyelesaian optimal masalah dual variabel ke-h
bernilai nol. 2.
Jika dalam penyelesaian optimal masalah primal, variabel ke-p bernilai positif kendala tak negatif untuk x
p
berupa pertidaksamaan x
p
0 maka dalam penyelesaian optimal masalah dual kendala ke-p akan berupa persamaan.
Pada kondisi complementary slackness tersebut dapat ditulis secara matematis yaitu :
1. �
ℎ ℎ
= 2.
� �
=
28
G. Pemrograman Nonlinear
