Metode Sequential Quadratic Programming (SQP) Untuk Menyelesaikan Persoalan Nonlinear Berkendala

(1)

METODE SEQUENTIAL QUADRATIC PROGRAMMING (SQP)

UNTUK MENYELESAIKAN PERSOALAN NONLINEAR

BERKENDALA

SKRIPSI

YANI

070803040

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2011

(2)

METODE SEQUENTIAL QUADRATIC PROGRAMMING (SQP) UNTUK MENYELESAIKAN PERSOALAN NONLINEAR BERKENDALA

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

YANI 070803040

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2011

(3)

PERSETUJUAN

Judul : METODE SEQUENTIAL QUADRATIC

PROGRAMMING (SQP) UNTUK

MENYELESAIKAN PERSOALAN

NONLINEAR BERKENDALA

Kategori : SKRIPSI

Nama : YANI

Nomor Induk Mahasiswa : 070803040

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas :MATEMATIKA DAN ILMU

PENGETAHUAN ALAM (FMIPA)

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, 2011

Komisi Pembimbing :

Pembimbing II Pembimbing I

Drs. Liling Perangin-angin, M.Si Prof.Dr. Herman Mawengkang NIP. 19470714 198403 1 001 NIP. 19461128 197403 1 001

Diketahui/ Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua

Prof. Dr. Tulus, M.Si

(4)

PERNYATAAN

METODE SEQUENTIAL QUADRATIC PROGRAMMING (SQP) UNTUK MENYELESAIKAN PERSOALAN NONLINEAR BERKENDALA

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, 2011

Yani 070803040

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan yang Maha Penyayang, atas kemurahan dan berkat yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul ”Metode Sequential Quadratic Programming (SQP) untuk Menyelesaikan Persoalan Nonlinear Berkendala” guna melengkapi syarat memperoleh gelar sarjana Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam di Universitas Sumatera Utara.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Pembimbing I dan Bapak Drs. Liling Perangin-angin, M.Si selaku Pembimbing II atas segala bimbingan, arahan, nasehat, saran, dan kesediaan meluangkan waktu, tenaga, pikiran, dan bantuan pengetahuan. Penulis juga menyadari keterlibatan berbagai pihak yang membantu dalam penyelesaian skripsi ini. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

2. Bapak Prof.Dr.Tulus, M.Si dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

3. Bapak Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si dan Bapak Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku komisi penguji atas saran dan masukan yang telah diberikan demi perbaikan skripsi ini.

4. Seluruh Staf Pengajar dan Pegawai Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara segala ilmu dan bantuan yang diberikan kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.

5. Kedua orang tua serta adik penulis yang telah memberikan doa, bimbingan dan dorongan serta bantuan baik material maupun nonmaterial kepada penulis sehingga selesainya skripsi ini.

6. Teman-teman stambuk’07 yang tidak dapat ditulis satu per satu yang turut membantu dan memberikan doa dan semangat untuk menyelesaikan skripsi ini.

Penulis menyadari masih banyak kekurangan dan kelemahan dalam penulisan skripsi ini. Untuk itu penulis minta maaf kepada seluruh pembaca bila ada kesalahan serta penulis mengharapkan saran dan kritikan demi kesempurnaan skripsi ini. Akhir kata, semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

(6)

ABSTRAK

Metode Sequential Quadratic Programming (SQP) mengubah persoalan pemrograman nonlinear berkendala menjadi persoalan pemrograman kuadratis tanpa harus mengkonversikan ke barisan persoalan minimisasi yang tidak berkendala. Metode SQP menghasilkan solusi dalam setiap iterasi yang konvergen ke suatu solusi optimal. Metode ini dapat diterapkan hingga dalam persoalan berskala besar.

(7)

SEQUENTIAL QUADRATIC PROGRAMMING (SQP) TO SOLVE CONSTRAINED NONLINEAR PROBLEM

ABSTRACT

Sequential Quadratic Programming (SQP) method changes constrained nonlinear programming problem into quadratic programming problem without convert to be sequences of unconstrained minimization problem. SQP method produces solution in each iteration which converges to optimal solution. This method can be applied in large scale problem.

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel viii

Daftar Gambar ix

Bab 1 Pendahuluan

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Tinjauan Pustaka 2

1.4 Tujuan Penelitian 6

1.5 Kontribusi Penelitian 6

1.6 Metode Penelitian 7

Bab 2 Landasan Teori

2.1 Pemrograman Nonlinear 8

2.2 Optimum Global dan Lokal 9

2.3 Fungsi Konveks dan Konkaf 11

2.4 Metode Newton 14

2.5 Kekonvergenan 16

2.6 Metode Pengali Lagrange 17

2.7 Kondisi Karush-Kuhn Tucker 18

2.8 Pemrograman Kuadratis 19

2.9 Sequential Quadratic Programming 21

Bab 3 Pembahasan

3.1 Persoalan Nonlinear dengan Kendala Persamaan 23 3.2 Persoalan Nonlinear dengan Kendala Pertidaksamaan 32 Bab 4 Kesimpulan dan Saran

4.1 Kesimpulan 46

4.2 Saran 47

Daftar Pustaka Lampiran

(9)

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

1.1 Kondisi Perlu dan Cukup untuk Optimalitas 18

2.2 Hasil Perhitungan dengan Kendala Persamaan 32

(10)

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1.1 Maksimum-minimum lokal dan global 10

1.2 Fungsi konveks dan konkaf 11

(11)

ABSTRAK

(12)

SEQUENTIAL QUADRATIC PROGRAMMING (SQP) TO SOLVE CONSTRAINED NONLINEAR PROBLEM

ABSTRACT

(13)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Zaman yang semakin berkembang membuat persoalan semakin kompleks, tidak terkecuali persoalan yang melibatkan persoalan matematika. Dalam pemecahannya, matematika memegang peranan cukup penting terutama dalam perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi baik secara matematika murni maupun matematika terapan.

Matematika terapan misalnya dijumpai dalam perkembangan bidang industri yang menghendaki tercapainya suatu kondisi yang optimal yang sebelumnya hanya persoalan sederhana yang berbentuk linear karena perkembangan zaman, kompleksitas semakin meningkat sehingga memunculkan persoalan yang berbentuk nonlinear. Hal tersebut disebabkan karena munculnya faktor-faktor yang membuat ketaklinearan suatu fungsi. Selain itu, banyak faktor-faktor yang menjadi penghambat dalam optimisasi sehingga memunculkan satu atau lebih kendala dalam mengoptimalkan suatu fungsi.

Banyak metode yang telah dikembangkan untuk memecahkan persoalan nonlinear di antaranya seperti Metode Pengali Lagrange, Metode Karush-Kuhn Tucker. Akan tetapi, metode-metode tersebut sering tidak dapat digunakan untuk persoalan program nonlinear berskala besar.

Oleh karena itu, penulis menggunakan metode Sequential Quadratic Progra mming (SQP) untuk memecahkan persoalan nonlinear berkendala dimana metode ini menggunakan pendekatan Lagrange dan metode Newton tanpa harus

(14)

mengkonversikan ke barisan persoalan minimimisasi yang tidak berkendala. Metode ini mengkonversi persoalan nonlinear menjadi bentuk persoalan pemrograman kuadratis.

Berdasarkan uraian di atas maka penulis memberi judul tulisan ini dengan “Metode Sequential Quadratic Programming (SQP) untuk Menyelesaikan

Persoalan Nonlinear Berkendala”.

1.2 PERUMUSAN MASALAH

Permasalahan yang akan dibahas adalah menyelesaikan persoalan nonlinear berkendala dengan metode Sequential Quadratic Programming (SQP).

1.3 TINJAUAN PUSTAKA

Menurut Bradley dkk (1976), persoalan umum optimisasi adalah memilih n variabel keputusan dari daerah fisibel yang diberikan untuk mengoptimasi (maksimum atau minimum) fungsi tujuan yang diberikan

dari variabel keputusan. Persoalan ini disebut persoalan pemrograman nonlinear jika fungsi tujuannya nonlinear dan atau daerah fisibelnya ditentukan oleh kendala nonlinear. Bentuk umumnya:

subject to:

Untuk beberapa keadaan, maksimum dan minimum lokal disebut global. Fungsi yang minimum lokal merupakan global disebut konveks. Fungsi yang maksimum lokal merupakan maksimum global disebut konkaf. Karena alasan ini fungsi konveks selalu diminimumkan sedangkan fungsi konkaf selalu dimaksimumkan (Bradley dkk, 1976). Menurut Luenberger (1984), fungsi konveks

(15)

adalah dimana untuk setiap dua titik y dan z, dapat ditarik garis yang menghubungkan f(y) dan f(z) pada fungsi tersebut.

Kekonvergenan untuk barisan bilangan riil (Dennis dan Schnabel, 1983): Diberikan sebuah metode iterasi sehingga menghasilkan barisan titik dari sebuah titik awal , ingin diketahui apakah iterasi konvergen ke solusi . Jika diasumsikan bahwa menyatakan barisan bilangan riil , maka definisi berikut menyatakan sifat yang dibutuhkan:

Jika maka barisan dikatakan konvergen ke jika

Jika dalam tambahan, ada sebuah konstanta dan sebuah bilangan bulat sehingga untuk setiap

Richard Bronson (1996) dalam bukunya yang berjudul “Teori dan Soal-soal Operation Research”, menyatakan bahwa persamaan Lagrange dari persoalan nonlinear seperti yang telah dipaparkan yaitu sebagai berikut:

dimana adalah tetapan-tetapan (yang tidak diketahui) yang disebut pengali Lagrange. Kemudian kita pecahkan sistem n+ m persamaan

Syarat Kuhn-Tucker: (Winston dan Venkataramanan, 2003)

1. Andaikan persoalan nonlinear di atas adalah persoalan maksimisasi. Jika adalah solusi optimal dari persoalan tersebut, maka harus memenuhi m kendala dan harus ada pengali yang memenuhi

(16)

2. Andaikan persoalan nonlinear di atas adalah persoalan minimisasi. Jika adalah solusi optimal dari persoalan tersebut, maka harus memenuhi m kendala dan harus ada pengali yang memenuhi

S.S Rao (1977) dalam bukunya yang berjudul “Optimization Theory and Application” menjelaskan bahwa pemrograman kuadratis merupakan persoalan optimasi nonlinear dimana fungsi tujuannya adalah fungsi minimisasi yang konveks dan semua kendalanya berbentuk persamaan atau pertidaksamaan linear. Bentuk umum persoalan pemrograman kuadaratis adalah sebagai berikut:

Min. s.t dimana

11 12 1

21 22 2

1 2

n n

n n nn

d d d

            A =

11 12 1

21 22 2

1 2

n n

m m mn

a a a

           

Pada fungsi tujuan di atas yaitu suku menyatakan bagian kuadratis dari fungsi tujuan dengan D adalah matriks definit positif simetri. Jika D=0 maka menjadi

(17)

persoalan linear. Karena D adalah matriks definit positif maka f(x) adalah fungsi strictly convex.

Menurut Winston dan Venkataramanan (2003), metode untuk menyelesaikan persoalan pemrograman kuadratis yaitu metode Wolfe. Pertama, semua fungsi tujuan dan kendala harus ditambahkan variabel buatan pada masing-masing kendala dengan kondisi Kuhn-Tucker dan variabel basis belum jelas kemudian minimumkan jumlah variabel buatan. Metode wolfe merupakan versi modifikasi dari fase I pada metode simplex dua fase. Untuk menjamin bahwa solusi akhir (dengan variabel buatan sama dengan nol) memenuhi kondisi complementary slackness, metode Wolfe memodifikasi pilihan variabel simplex yang masuk:

1. Tidak diperbolehkan dari kendala ke-i dan kedua-duanya sebagai variabel basis.

2. Tidak diperbolehkan variabel slack atau excess dari kendala ke-i dan kedua-duanya sebagai variabel basis.

Dimitri P Bertsekas (2007) dalam jurnalnya yang berjudul “SQP and PDIP

Algorithms for Nonlinear Programming” dikatakan bahwa metode Sequential

Quadratic Programming digunakan untuk menyelesaikan persoalan nonlinear yang memiliki kendala dalam bentuk persamaan dengan bentuk umum :

Min. f(x) s.t. h(x)=0

Metode Sequential Quadratic Programming menyerupai metode Newton yang digunakan untuk mencari penyelesaian pada optimisasi tidak berkendala. Ide utama dari SQP adalah memodelkan persoalan kendala yang berbentuk persamaan pada titik awal kemudian mencari pendekatan dengan subpersoalan pemrograman kuadratis berbentuk:

(18)

Metode Sequential Quadratic Programming atau yang juga dikenal sebagai metode Lagrange-Newton karena metode SQP merupakan penggabungan dari kedua metode tersebut. Algoritmanya adalah sebagai berikut:

1. Tentukan 2. Atur k=0

3. Ulang

4. Pecahkan sistem Langrange-Newton untuk menemukan 5.

7. Sampai konvergen

Metode SQP merupakan aplikasi dari metode Newton dengan memenuhi kondisi optimal KKT. Menurut Mark S. Gockenbach dalam jurnalnya yang berjudul “Introduction to Sequential Quadratic Programming”, metode SQP mencoba untuk memecahkan persoalan nonlinear secara langsung daripada mengubahnya ke barisan persoalan minimisasi yang tidak berkendala. Ide dasar analog dengan metode Newton untuk persoalan minimisasi yang tidak berkendala. Metode SQP dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan aplikasi yang kompleksitasnya tinggi (Schittkowski dan Yuan, 2010)

1.4 TUJUAN PENELITIAN

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mendapatkan penyelesaian dari persoalan nonlinear berkendala.

1.5 KONTRIBUSI PENELITIAN

Manfaat dari penelitian ini adalah

1. Setiap mahasiswa dapat menemukan jawab optimal dari persoalan nonlinear berkendala persamaan maupun pertidaksamaan dengan menggunakan metode Sequential Quadratic Programming

(19)

2. Digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan untuk mahasiswa matematika, terlebih bagi mahasiswa yang hendak melakukan penelitian serupa.

1.6 METODE PENELITIAN

Penelitian ini adalah penelitian literatur yang disusun dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Membaca dan memahami persoalan pemrograman nonlinear dari buku dan jurnal.

2. Mengambil contoh soal untuk dikerjakan sesuai dengan langkah-langkah yang telah didapat dari jurnal-jurnal.

3. Menjelaskan tentang penyelesaian persoalan nonlinear berkendala persamaan dan pertidaksamaan dengan menggunakan metode Sequential Quadratic Progra mming (SQP).

(20)

BAB 2

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori – teori yang berhubungan dengan pembahasan ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dan akan mempermudah dalam hal pembahasan hasil utama pada bab berikutnya. Adapun teori – teori tersebut mencakup pengertian dari pemrograman nonlinear, fungsi konveks, metode Lagrange, metode Newton, metode Wolfe, kondisi Kuhn-Tucker, pemrograman kuadratis, dan metode Sequential Quadratic Programming.

2.1 Pemrograman Nonlinear

Menurut Bradley dkk (1976), persoalan umum optimisasi adalah memilih n variabel keputusan dari daerah fisibel yang diberikan untuk mengoptimasi (maksimum atau minimum) fungsi tujuan yang diberikan

dari variabel keputusan. Persoalan ini disebut persoalan pemrograman nonlinear jika fungsi tujuannya nonlinear dan atau daerah fisibelnya ditentukan oleh kendala nonlinear. Jadi bentuk minimisasi persoalan pemrograman nonlinear ditulis sebagai:

subject to:

dimana masing-masing fungsi kendala sampai diberikan. Batasan nonnegatif pada variabel dapat dengan menambahkan kendala tambahan:

(21)

Masalah optimisasi di atas dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana sebagai berikut:

subject to:

Untuk kendala persamaan dapat ditulis sebagai dua kendala pertidaksamaan dan . Sebagai tambahan, jika menambahkan variabel slack, masing-masing kendala pertidaksamaan ditransformasi ke kendala persamaan.

Fokus utama dari pemrograman nonlinear adalah terkait dengan eksistensi dari solusi optimal, karakterisasi dari solusi optimal dan algoritma untuk menghitung solusi optimal. Masalah pemrograman nonlinear mempunyai 2 jenis persoalan yaitu masalah nonlinear berkendala dan nonlinear tidak berkendala. Untuk persoalan nonlinear tidak berkendala dapat dipecahkan dengan metode Newton sedangkan untuk persoalan nonlinear berkendala dapat dipecahkan dengan metode Penalty dan Barrier, Sequential Quadratic Programming (SQP), ataupun Primal-Dual Interior Point (PDIP). Metode Penalty dan Barrier merupakan cara tidak langsung karena prosedur metodenya yaitu mendekati persoalan optimisasi berkendala dengan persoalan yang tidak berkendala. Contoh metode yang menerapkan cara langsung yaitu SQP dan PDIP. (Bertsekas, 2007).

2.2 Optimum Global dan Lokal

Sebuah fungsi tujuan f(x) memiliki sebuah minimum lokal di jika terdapat sebuah selang (yang kecil) yang berpusat di sedemikian rupa sehingga untuk semua x dalam selang ini pada mana fungsi ini dedefinisikan. Jika untuk semua x pada mana fungsi ini didefinisikan, maka minimum di (di samping adalah lokal) adalah suatu minimum global. Maksimum lokal dan global didefinisikan dengan cara yang sama tetapi dengan tanda ketidaksamaan yang terbalik (Bronson, 1996).

(22)

Gambar 1.1 Maksimum-minimum lokal dan global

Fungsi yang digambarkan di atas secara grafik hanya didefiniskan pada [a,b]. Fungsi ini memiliki minimum lokal di ; maksimum lokal di ; minimum global di dan maksimum global di dan b.

Definisi 2.1:

Jika adalah solusi fisibel untuk persoalan maksimisasi dengan fungsi tujuan f(x). Kita menyebut x:

1. Sebuah global maksimum jika untuk setiap titik fisibel

2. Sebuah lokal maksimum jika untuk setiap titik fisibel cukup dekat dengan x yaitu jika ada sebuah bilangan (sangat kecil) sehingga kapanpun masing-masing variabel dalam dari yaitu, dan y fisibel maka .

Minimum lokal dan global analog dengan definisi di atas. Untuk beberapa keadaan, maksimum dan minimum lokal disebut global. Gambar 1.2(a) di bawah minimum lokal merupakan global. Fungsi ini disebut konveks. Gambar 1.2(b) di bawah maksimum lokal merupakan maksimum global. Fungsi ini disebut konkaf. Karena alasan ini fungsi konveks selalu diminimumkan sedangkan fungsi konkaf selalu dimaksimumkan (Bradley dkk, 1976).

(23)

Gambar 1.2 Fungsi konveks dan konkaf

2.3 Fungsi Konveks dan Konkaf

Menurut Luenberger (1984), fungsi konveks adalah dimana untuk setiap dua titik y dan z, dapat ditarik garis yang menghubungkan f(y) dan f(z) pada fungsi tersebut. Secara aljabar definisinya sebagai berikut:

Definisi 2.2:

Misalkan . Titik-titik dengan bentuk untuk disebut konveks kombinasi dari y dan z.

Definisi 2.3:

Sebuah himpunan disebut himpunan konveks jika untuk setiap dan maka berlaku .

Definisi 2.4:

Sebuah fungsi f(x) disebut konveks jika untuk setiap y dan z dan setiap

Disebut strictly konveks jika untuk setiap dua titik berbeda y dan z dan setiap

Definisi 2.5:

Sebuah fungsi f(x) disebut konkaf jika untuk setiap y dan z dan setiap

(24)

Disebut strictly konkaf jika untuk setiap dua titik berbeda y dan z dan setiap

Mengalikan fungsi konveks dengan -1 akan menghasilkan fungsi konkaf. Menjumlahkan beberapa fungsi konveks akan menghasilkan fungsi konveks juga. Begitu juga dengan mengalikan dengan pengali nonnegatif akan menghasilkan fungsi konveks.

Teorema 2.1:

Perhatikan masalah optimisasi (CP) berikut

Jika S adalah himpunan konveks, adalah fungsi konveks dan adalah titik minimum lokal untuk masalah (CP) maka adalah titik minimum global dari pada himpunan S.

Bukti:

Misalkan bukan titik minimum global, maka terdapat yang memenuhi . Sebut yang merupakan kombinasi konveks dari dan y, untuk . Hal ini mengakibatkan , untuk .

Karena adalah fungsi konveks maka berlaku

Untuk setiap . Hal ini kontradiksi dengan asumsi bahwa adalah minimum lokal. Dengan demikian haruslah merupakan titik minimum global. Teorema 2.2:

Misalkan S adalah himpunan buka yang konveks dan adalah fungsi yang diferensiabel. Maka adalah fungsi konveks jika dan hanya jika memenuhi kondisi gradient berikut:

Bukti :

(25)

Yang mengakibatkan

Selanjutnya ambil maka diperoleh

Ambil sembarang dan . Set maka diperoleh dan

Ambil kombinasi konveks dari dua persamaan ini maka diperoleh

, Ini menunjukkan bahwa f adalah fungsi konveks.

Teorema 2.3:

Misalkan S adalah himpunan buka yang konveks dan dapat diturunkan dua kali. Misal H(x) adalah Hessian dari f. Jika f(x) konveks maka H(x) adalah positif semidefit untuk semua

Bukti:

() Perhatikan jika H(z) positif semidefinit untuk semua , maka untuk setiap , deret Taylor orde dua memberikan

Untuk suatu z yang merupakan kombinasi linear dari (dengan demikian jelas bahwa ). Karena H(z) positif semidefinit maka

Dengan demikian pertidaksamaan gradien terpenuhi dan mengakibatkan f(x) merupakan fungsi konveks.

() Jika f(x) konveks dengan dan d sebarang arah. Maka untuk yang cukup kecil, . Dalam hal ini berlaku

dimana

(26)

dengan menggunakan pertidaksamaan gradien maka diperoleh Bagi pertidaksamaan ini dengan dan ambil , maka diperoleh

Maka H(x) adalah positif semidefinit untuk setiap . Teorema 2.4:

Misalkan konveks dan dapat diturunkan di X. Jika minimum global maka

Bukti:

Karena adalah minimum global maka x adalah minimum lokal, dengan demikian jelas bahwa . Sebaliknya jika , maka berlaku

Maka jelas bahwa adalah titik minimum global.

2.4 Metode Newton

Persoalan nonlinear tidak berkendala mempunyai bentuk umum:

dimana dan X adalah himpunan terbuka. Jika maka x dikatakan solusi fisibel. Jika dan meminimumkan maka x dikatakan solusi optimal.

Perhatikan bahwa semua titik minimum lokal dari suatu fungsi yang diferensiabel dan kontinu f memenuhi syarat perlu

Persamaan ini merepresentasikan sebuah himpunan dari n buah persamaan nonlinear yang harus diselesaikan sehingga diperoleh .

(27)

Salah satu pendekatan untuk masalah minimisasi f(x) adalah mencari solusi untuk himpunan untuk persamaan dengan memasukkan suatu cara untuk menjamin bahwa solusi yang diperoleh tentunya merupakan sebuah minimum lokal. Metode tertua untuk menyelesaikan suatu himpunan persamaan nonlinear adalah metode Newton.

Perhatikan masalah optimisasi tanpa kendala berikut

Pada titik , f(x) dapat dihampiri dengan

dimana hampiran ini dikenal sebagai ekspansi Taylor Kuadratik pada , dimana dan H(x) adalah vektor gradien dan Hessian dari fungsi f.

Perhatikan bahwa h(x) adalah sebuah fungsi yang kuadratik yang dapat diminimisasi dengan menyelesaikan . Karena gradient dari h(x) adalah

Maka untuk memperoleh solusi cukup diselesaikan

Sehingga diperoleh

Perhatikan bahwa arah disebut sebagai arah Newton di Algoritma metode Newton:

Step 1 : Diberikan x0, set k=0

Step 2 : Set . Jika maka STOP Step 3 : Set step size

Step 4 : Set . Kembali ke step 1

Jika f(x) merupakan fungsi nonkuadratik, metode Newton dapat memberikan solusi yang divergen dan mungkin saja konvergen menuju titik saddle dan titik maksimum yang relatif. Bila hal tersebut terjadi maka metode Newton dapat diimprovisasi dengan mengubah formulasi untuk titik baru

(28)

dimana adalah panjangnya langkah tahapan yang minimum pada arah _.

Jika kemiringan berubah-ubah pada setiap iterasi sehingga

Gambar 1.3 Metode Newton

maka prosedur turunan kedua bisa didapatkan. Dari persamaan di atas kita mendapatkan

Sehingga

Jadi, hasil prosedur iterasi sekarang adalah

dengan dan ada, karena

2.5 Kekonvergenan

Kekonvergenan untuk barisan bilangan riil (Dennis dan Schnabel, 1983):

Diberikan sebuah metode iterasi sehingga menghasilkan barisan titik dari sebuah titik awal , ingin diketahui apakah iterasi konvergen ke solusi . Jika diasumsikan bahwa menyatakan barisan bilangan riil , maka definisi berikut menyatakan sifat yang dibutuhkan.

(29)

Definisi 2.6

Jika maka barisan dikatakan konvergen ke jika

Jika dalam tambahan, ada sebuah konstanta dan sebuah bilangan bulat sehingga untuk setiap

Teorema Weierstrass untuk barisan

Misalkan adalah barisan tak terbatas (infinit) dari titik-titik dari suatu himpunan compact F (yaitu himpunan yang tertutup dan terbatas). Maka sebagian subbarisan infinit dati titik-titik konvergen ke suatu titik di F.

Teorema Weierstrass untuk fungsi

Misalkan f(x) adalah fungsi bernilai riil dan kontinu pada suatu himpunan compact yang tidak kosong . Maka F memuat suatu titik yang dapat meminimumkan (atau memaksimumkan) f(x) pada himpunan F.

2.6 Metode Pengali Lagrange

Persamaan Lagrange dari persoalan nonlinear seperti yang telah dipaparkan pada bagian 2.1 yaitu sebagai berikut:

dimana adalah tetapan-tetapan (yang tidak diketahui) yang disebut pengali Lagrange. Kemudian kita pecahkan sistem n+ m persamaan

(Bronson, 1996)

(30)

2.7 Kondisi Karush-Kuhn Tucker

Tabel 1.1 Kondisi Perlu dan Cukup untuk Optimalitas Persoalan Kondisi perlu untuk

optimalitas

Juga cukup jika

Satu variabel tidak berkendala

f(x) konkaf

Banyak variabel tidak berkendala

f(x) konkaf

Berkendala, hanya kendala nonnegatif

(atau jika )

f(x) konkaf

Persoalan umum berkendala

Kondisi Karush-Kuhn Tucker

f(x) konkaf dan konveks

(i=1,2,…,m)

Dari tabel di atas terlihat bahwa untuk kondisi persoalan umum disebut kondisi Karush-Kuhn Tucker (Hillier dan Lieberman,2005). Kondisi perlu dan cukup untuk sebagai solusi optimal untuk persoalan nonlinear berikut (Wallace,2004) :

subject to:

Untuk menggunakan hasil, semua kendala persoalan nonlinear harus kendala . Kendala dalam bentuk harus ditulis sebagai . Kendala dalam bentuk harus diganti dengan dan (Winston dan Venkataramanan, 2003). Teorema di bawah ini memberikan kondisi Kuhn-Tucker yang cukup bagi titik untuk memecahkan persoalan nonlinear di atas.

(31)

Teorema 2.6:

Andaikan persoalan nonlinear di atas adalah persoalan maksimisasi. Jika adalah solusi optimal dari persoalan tersebut, maka harus memenuhi m kendala dan harus ada pengali yang memenuhi Teorema 2.7:

Andaikan persoalan nonlinear di atas adalah persoalan minimisasi. Jika adalah solusi optimal dari persoalan tersebut, maka harus memenuhi m kendala dan harus ada pengali yang memenuhi

Skalar disebut pengali Lagrange. Kondisi disebut kondisi complementa ry slackness yang menyatakan dua kemungkinan yaitu:

1. Jika maka Jika maka kendala

2.8 Pemrograman Kuadratis

Menurut Rao (1977), pemrograman kuadratis merupakan persoalan optimasi nonlinear dimana fungsi tujuannya adalah fungsi minimisasi yang konveks dan semua

(32)

kendalanya berbentuk persamaan atau pertidaksamaan linear. Bentuk umum persoalan pemrograman kuadaratis adalah sebagai berikut:

Min. s.t dimana

11 12 1

21 22 2

1 2

n n

n n nn

d d d

            A =

11 12 1

21 22 2

1 2

n n

m m mn

a a a

           

Pada fungsi tujuan di atas yaitu suku menyatakan bagian kuadratis dari fungsi tujuan dengan D adalah matriks definit positif simetri. Jika D=0 maka menjadi persoalan linear. Karena D adalah matriks definit positif maka f(x) adalah fungsi strictly convex.

Metode untuk menyelesaikan persoalan pemrograman kuadratis yaitu metode Wolfe. Pertama, semua fungsi tujuan dan kendala harus ditambahkan variabel buatan pada masing-masing kendala dengan kondisi Kuhn-Tucker dan variabel basis belum jelas kemudian minimumkan jumlah variabel buatan. Metode wolfe merupakan versi modifikasi dari fase I pada metode simplex dua fase. Untuk menjamin bahwa solusi akhir (dengan variabel buatan sama dengan nol) memenuhi kondisi complementa ry slackness, metode Wolfe memodifikasi pilihan variabel simplex yang masuk:

1. Tidak diperbolehkan dari kendala ke-i dan kedua-duanya sebagai variabel basis.

2. Tidak diperbolehkan variabel slack atau excess dari kendala ke-i dan kedua-duanya sebagai variabel basis.

(33)

2.9 Metode Sequential Quadratic Programming

Menurut Bertsekas (2007), metode Sequential Quadratic Progra mming digunakan untuk menyelesaikan persoalan nonlinear yang memiliki kendala dalam bentuk persamaan dengan bentuk umum :

Min. f(x) s.t. h(x)=0

Kondisi Karush-Kuhn Tucker (KKT) untuk persoalan ini yaitu sebagai berikut:

dimana adalah pengali Lagrange dengan kendala yang berbentuk persamaan. Jika menggunakan persamaan Lagrange

Kondisi Kuhn-Tucker dapat dituliskan sebagai berikut:

Metode Sequential Quadratic Programming menyerupai metode Newton yang digunakan untuk mencari penyelesaian pada optimisasi tidak berkendala.Metode ini menyelesaikan persoalan nonlinear secara langsung daripada mengubah ke barisan persoalan minimisasi yang tidak berkendala. Ide utama dari SQP adalah memodelkan persoalan kendala yang berbentuk persamaan pada titik awal kemudian mencari pendekatan dengan subpersoalan pemrograman kuadratis berbentuk:

dimana

Metode Sequential Quadratic Programming atau yang juga dikenal sebagai metode Lagrange-Newton karena metode SQP merupakan penggabungan dari kedua metode tersebut. Algoritmanya secara umum adalah sebagai berikut:

(34)

8. Tentukan 9. Atur k=0

10.Ulang

11.Pecahkan sistem Langrange-Newton untuk menemukan 12.

13.

14.Sampai konvergen

Metode SQP merupakan aplikasi dari metode Newton dengan memenuhi kondisi optimal KKT. Menurut Gockenbach (2003), metode SQP memecahkan persoalan nonlinear secara langsung tanpa mengubah ke barisan persoalan minimisasi yang tidak berkendala. Ide dasar analog dengan metode Newton untuk persoalan minimisasi yang tidak berkendala. Metode SQP dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan aplikasi yang kompleksitasnya tinggi (Schittkowski dan Yuan, 2010)

(35)

BAB 3

PEMBAHASAN

Persoalan nonlinear mempunyai 2 jenis persoalan yaitu persoalan berkendala dan tidak berkendala. Untuk persoalan nonlinear yang tidak berkendala dapat digunakan metode Newton. Sedangkan untuk persoalan nonlinear yang berkendala dapat digunakan metode Pengali Lagrange, metode Karush-Kuhn Tucker, dan sebagainya. Dalam penulisan akan dibahas persoalan nonlinear berkendala yang dipecahkan dengan metode Sequential Quadratic Programming (SQP). Metode ini mengkonversikan bentuk persoalan nonlinear menjadi barisan persoalan pemrograman kuadratis. Metode ini merupakan gabungan dari metode Newton dan Lagrange. Dalam pembahasan ini akan dibahas 2 bentuk kendala yaitu berupa kendala persamaan dan pertidaksamaan.

3.1 Persoalan Nonlinear dengan Kendala Persamaan

Bentuk umum:

Persoalan nonlinear dengan kendala persamaan diselesaikan dengan langkah sebagai berikut:

1. Tentukan 2. Atur k=0

3. Tentukan persamaan Lagrange dari persoalan tersebut 4. Cari

(36)

6. Substitusikan nilai pada langkah ke-k

7. Selesaikan subpersoalan dengan metode Pengali Lagrange sehingga didapat

9. Ulangi untuk k=k+1 hingga konvergen ke suatu solusi optimal.

Contoh:

Selesaikan persoalan nonlinear berikut

dengan titik awal dan , dengan menggunakan metode Sequential Quadratic Programming.

Penyelesaian:

Persamaan Lagrange:

Subpersoalan :

(37)

Langkah 0

…..(1)

…..(2)

…..(3)

Persamaan (1) dan (2)

x1 x2

…..(4) Persamaan (3) dan (4)

x1 x8

Langkah 1

(38)

…..(1)

…..(2)

…..(3)

Persamaan (1) dan (2)

x3.464 x9.568

..(4) Persamaan (3) dan (4)

x2.771 x9.568 +

Langkah 2

…..(1)

…..(2)

(39)

Persamaan (1) dan (2)

x3.062 x3.696

…..(4) Persamaan (3) dan (4)

x1.494 x3.696

Langkah 3

…..(1)

…..(2)

…..(3)

Persamaan (1) dan (2)

x3.016 x0.912

…(4) Persamaan (3) dan (4)

x1.834 x0.912

(40)

Langkah 4

…..(1)

…..(2)

…..(3)

Persamaan (1) dan (2)

x2.436 x3.048

...(4) Persamaan (3) dan (4)

x6.451 x3.048

(41)

Langkah 5

…..(1)

…..(2)

…..(3)

Persamaan (1) dan (2)

x2.526 x0.032

…..(4) Persamaan (3) dan (4)

x6.749 x0.032

Langkah 6

(42)

…..(1)

…..(2)

…..(3)

Persamaan (1) dan (2)

x2.056 x0.032

…..(4) Persamaan (3) dan (4)

x10.329 x0.032

Langkah 7

…..(1)

…..(2)

…..(3)

Persamaan (1) dan (2)

(43)

…..(4) Persamaan (3) dan (4)

x12

x0.008

Langkah 8

…..(1)

…..(2)

…..(3)

Persamaan (1) dan (2)

Hasil perhitungan dengan dari setiap langkah dapat dilihat dari tabel berikut ini:

(44)

Tabel 1.2 Hasil Perhitungan dengan Kendala Persamaan

Langkah ke-k

0 1.196 1.173 -0.350

1 0.462 1.531 -0.311

2 -0.114 1.508 -0.326

3 0.381 1.218 -0.581

4 -0.004 1.263 -0.584

5 0.004 1.028 -0.878

6 -0.001 1.000 -1.000

7 0.000 1.000 -1.000

8 0.000 1.000 -1.000

Dari tabel di atas terlihat bahwa nilai konvergen ke 0 dan ke 1 sedangkan ke -1 sehingga jawab optimal adalah

3.2 Persoalan Nonlinear dengan Kendala Pertidaksamaan

Bentuk umum:

Persoalan nonlinear dengan kendala persamaan diselesaikan dengan langkah sebagai berikut:

1. Tentukan 2. Atur k=0

3. Tentukan persamaan Lagrange dari persoalan tersebut 4. Cari

5. Bentuk subpersoalan dengan bentuk sebagai berikut:

6. Substitusikan nilai pada langkah ke-k

7. Selesaikan subpersoalan pemrograman kuadratis dengan metode Wolfe sehingga didapat

(45)

9. Ulangi untuk k=k+1 hingga konvergen ke suatu solusi optimal.

Contoh:

Selesaikan persoalan nonlinear berikut dengan metode Sequential Quadratic Progra mming

dengan titik awal .

Penyelesaian:

Subpersoalan:

Langkah 0

(46)

Kondisi Kuhn-Tucker:

Langkah 1

Kondisi Kuhn-Tucker:

(47)

Langkah 2

Kondisi Kuhn-Tucker:

Langkah 3

(48)

Kondisi Kuhn-Tucker:

Langkah 4

Kondisi Kuhn-Tucker:

(49)

Langkah 5

Kondisi Kuhn-Tucker:

Langkah 6

(50)

Kondisi Kuhn-Tucker:

Langkah 7

Kondisi Kuhn-Tucker:

(51)

Langkah 8

Kondisi Kuhn-Tucker:

Langkah 9

(52)

Kondisi Kuhn-Tucker:

Langkah 10

Kondisi Kuhn-Tucker:

(53)

Langkah 11

Kondisi Kuhn-Tucker:

Langkah 12

(54)

Kondisi Kuhn-Tucker:

Langkah 13

Kondisi Kuhn-Tucker:

(55)

Langkah 14

Kondisi Kuhn-Tucker:

Langkah 15

(56)

Kondisi Kuhn-Tucker:

Hasil perhitungan dengan dari setiap langkah dapat dilihat dari tabel berikut ini:

Tabel 1.3 Hasil Perhitungan dengan Kendala Pertidaksamaan

Langkah ke-k

0 1.765 1.941

1 2.161 2.488

2 2.341 2.732

3 2.461 2.902

4 2.550 3.032

5 2.619 3.137

6 2.675 3.227

(57)

8 2.758 3.365

9 2.790 3.421

10 2.817 3.470

11 2.840 3.514

12 2.860 3.553

13 2.877 3.588

14 2.892 3.620

15 2.905 3.649

Dengan mengambil 1 angka desimal untuk melihat kekonvergenan, maka dari tabel di atas terlihat bahwa nilai konvergen ke 2.9 sedangkan nilai konvergen ke 3.6 sehingga kita mendapatkan solusi optimal

(58)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari hasil pembahasan yang telah disajikan sebelumnya, maka dapat disimpulkan bahwa :

1. Persoalan nonlinear dengan kendala persamaan dapat diselesaikan dengan metode SQP yang memecahkan subpersoalan berbentuk pemrograman kuadratis pada tiap iterasi yang akan konvergen ke suatu solusi optimal. Subpersoalan tersebut dapat dipecahkan dengan metode Pengali Lagrange. Dari contoh pada pembahasan sebelumnya didapatkan solusi optimal yaitu .

2. Persoalan nonlinear dengan kendala pertidaksamaan dapat diselesaikan dengan metode SQP yang memecahkan subpersoalan berbentuk pemrograman kuadratis pada tiap iterasi yang akan konvergen ke suatu solusi optimal. Subpersoalan tersebut dapat dipecahkan dengan metode Wolfe. Dari contoh pada pembahasan sebelumnya didapatkan solusi optimal yaitu

(59)

4.2 Saran

1. Penelitian yang dilakukan hanya sebatas fungsi tujuan berbentuk kuadratik dan kendala kuadratik, akan lebih baik jika dibahas untuk fungsi yang derajatnya lebih tinggi.

2. Perhitungan sebagian besar masih secara manual dan sedikit bantuan Microsoft Excel, akan lebih baik jika menggunakan program lain.

(60)

DAFTAR PUSTAKA

Bazaraa, Mokhtar S, Hanif D.Sherali, dan C.M Shetty. 1993. Nonlinear Progra mming: Theory and Algorithms. New York : John Wiley and Sons.

Bertsekas, Dimitri P. 2007. SQP and PDIP Algorithms for Nonlinear Progra mming, hal 1-17.

Bradley, Stephen P, Arnoldo C Max dan Thomas L Magnanti. 1976. Applied Mathematical Programming. USA: Addison-Wesley Publishing Company.

Bronson, Richard. 1996. Teori dan Soal-soal Operations Research. Terjemahan Drs.Hans J. Wospakrik. Jakarta: Erlangga.

Dennis, J.E dan Robert B. Schnabel. 1983. Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations. New Jersey : Prentice-Hall.

Gockenbach, Mark S.2003. Introduction to Sequential Quadratic Progra mming, hal 1-7.

Hillier, Frederick S dan Gerald J Lieberman. 2005. Introduction to Operations Research. USA : Mc. Graw Hill.

Isaacson, Eugene dan Herbert Bishop Keller. 1966. Analysis of Numerical Methods. New York : John Willey & Sons.

Luenberger, David G. 1984. Linear and Nonlinear Programming. USA : Addison Wesley.

Rao, SS. 1977. Optimization : Theory and application. USA : Wiley Eastern Limited.

Schittkowski, Klaus dan Ya-xiang Yuan. Sequential Quadratic Programming Methods, hal 1-16.

Wallace, Brian. 2004. Constrained Optimization : Kuhn-Tucker Conditions, hal 1-3.

Winston, Wayne L. dan Munirpallam Venkataramanan. 2003. Introduction to Mathematical Programming. Fourth Edition. USA : Brooks/Cole-Thomson Learning.

(1)

Langkah 14

Kondisi Kuhn-Tucker:

Langkah 15

(2)

Kondisi Kuhn-Tucker:

Hasil perhitungan dengan dari setiap langkah dapat dilihat dari tabel berikut ini:

Tabel 1.3 Hasil Perhitungan dengan Kendala Pertidaksamaan

Langkah ke-k

0 1.765 1.941

1 2.161 2.488

2 2.341 2.732

3 2.461 2.902

4 2.550 3.032

5 2.619 3.137

6 2.675 3.227

(3)

8 2.758 3.365

9 2.790 3.421

10 2.817 3.470

11 2.840 3.514

12 2.860 3.553

13 2.877 3.588

14 2.892 3.620

15 2.905 3.649

Dengan mengambil 1 angka desimal untuk melihat kekonvergenan, maka dari tabel di atas terlihat bahwa nilai konvergen ke 2.9 sedangkan nilai konvergen ke 3.6 sehingga kita mendapatkan solusi optimal

(4)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari hasil pembahasan yang telah disajikan sebelumnya, maka dapat disimpulkan bahwa :

(5)

4.2 Saran

1. Penelitian yang dilakukan hanya sebatas fungsi tujuan berbentuk kuadratik dan kendala kuadratik, akan lebih baik jika dibahas untuk fungsi yang derajatnya lebih tinggi.

2. Perhitungan sebagian besar masih secara manual dan sedikit bantuan Microsoft Excel, akan lebih baik jika menggunakan program lain.

(6)

DAFTAR PUSTAKA

Bazaraa, Mokhtar S, Hanif D.Sherali, dan C.M Shetty. 1993. Nonlinear Progra mming: Theory and Algorithms. New York : John Wiley and Sons.

Bertsekas, Dimitri P. 2007. SQP and PDIP Algorithms for Nonlinear Progra mming, hal 1-17.

Bradley, Stephen P, Arnoldo C Max dan Thomas L Magnanti. 1976. Applied

Mathematical Programming. USA: Addison-Wesley Publishing

Company.