Tabel 2.4 Prosedur Pembangkit Bilangan Prima Metode The Sieve of
Eratosthenes [5]
Algoritma The Sieve of Eratosthenes adalah sebagai berikut. 1.
Buat daftar bilangan dari 2..n 2.
Tandai bilangan pertama dari daftar sebagai bilngan prima pertama, yaitu p = 2
. 3.
Eliminasi semua kelipatan p yang lebih kecil dari n untuk 2 eliminasi 4, 6, 8,…, menghitung kelipatan p dimulai dari p
2
. 4.
Tandai bilangan terkecil yang belum dieliminasi dari daftar namun lebih besar dari p sebagai prima selanjutnya, ulangi langkah 3.
5. Sampai tidak ada lagi bilangan yang bisa ditandai sebagai prima karena semua
bilangan yang tersisa tidak tereliminasi dari daftar sudah ditandai sebagai prima.
2.3.3 Relatif Prima
Menurut Munir [6], dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika pembagi berasama terbesarnya PBBa, b = 1. Jika a dan b relatif prima, maka
terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga
Sebagai contoh 4 dan 13 relatif prima sebab PBB4, 13 = 1. Begitupula dengan 2 dan 5 relatif prima karena PBB2, 13 = 1. Namun 2 dan 4 tidak relatif prima karena
PBB2, 4 = 2 1.
2.3.4 Fungsi Totient Euler
Fungsi Totient Euler mendefinisikan n untuk n 1 yang menyatakan jumlah
bilangan bulat positif n yang relatif prima dengan n [6]. Sebagai contoh bilangan 8, bilangan bulat positif lebih kecil dari 8 adalah 1...7, diantara bilangan tersebut yang
relatif prima dengan 8 adalah 1, 3, 5, dan 7 maka, 8 = 4.
Jika n prima, maka setiap bilangan bulat yang lebih kecil dari n relatif prima terhadap n. Dengan kata lain,
n = n Ŕ 1 hanya jika n prima [6]. Contoh bilangan
prima 11, bilangan yang lebih kecil dari 11 adalah 1…10 dan semua bilangan ini relatif prima terhadap 11, maka
11 = 10.
Jika n = pq adalah bilangan komposit dengan p dan q prima, maka n = p
q = p-1 q-1 [6].
Jika p bilangan prima dan k 0, maka p
k
= p
k
Ŕ p
k -1
= p
k -1
p-1 [6]. Euler’s Generalization of Fermat Theorem. Jika PBBa, n = 1, maka a
n
mod n = 1 atau a
n
1 mod n [6].
2.3.5 Akar Primitif Primitive Root dari Bilangan Prima p
Jika r dan n adalah bilangan bulat yang relatif prima dengan n 0. Dan jika n adalah m eksponen positif paling akhir sehingga r
m
1 mod n, maka r disebut akar primitif modulo n [11].
Secara umum, dapat dikatakan bahwa eksponen tertinggi yang mungkin untuk dimilki sebuah bilangan mod n adalah
n. Jika sebuah bilangan merupakan bagian dari urutan ini, maka bilangan tersebut disebut sebagai akar primitif dari n. Pentingnya
gagasan ini adalah jika a adalah akar primitif dari n, maka orde-nya a, a
2
, ..., a
n
adalah mod n yang berbeda dan semuanya relatif prima dengan n. Secara khusus, untuk p bilangan prima, jika a adalah akar primitif dari p, maka
a, a
2
, ..., a
p1
adalah mod p yang berbeda [11]. Untuk bilangan prima 19, akar primitif-nya adalah 2, 3, 10, 13, 14, dan 15.
Tidak semua bilangan bulat memiliki akar primitif. Bahkan, bilangan bulat dengan akar primitif adalah hanya dari bentuk 2, 4, p
α
, dan 2p
α
, dimana p adalah prima ganjil setiap dan
α adalah bilangan bulat positif [11].
2.3.6 Perpangkatan Modulo
