Fungsi Peluang Estimation of Small Area Statistics using Beta-Binomial Model

Lampiran 26 Lampiran 1 : Sifat-sifat Sebaran Beta-Binomial y f

1.1. Fungsi Peluang

Menurut Cassela dan Berger 1990 suatu fungsi dari peubah Y, misalkan disebut sebagai fungsi kepekatan peluang atau fungsi massa peluang apabila memenuhi beberapa syarat berikut : a. y f 0, y ∈R b. , jika y diskrit atau ∑ = R y f 1 ∫ = R y f 1 , jika y kontinu. c. ∑ = ∈ A y f A Y P , jika y diskrit atau ∫ = ∈ A dy y f A Y P jika y kontinu Model beta-binomial adalah model untuk data cacahan, model mengalami overdispersi. Model ini merupakan suatu model yang berawal dari model Bernoulli dengan model peluang untuk data cacahan yang dinyatakan dengan m. ..., 2, 1, i ; n ..., 1, j i = = ij y Tahap pertama : ~ i iid i ij Bernoulli y θ θ atau , ~ i i iid i i n Binomial y θ θ Peubah acak yang diamati adalah T in i i i y y y ,..., 1 = menjadi total contoh , merupakan statistik cukup minimal untuk model tahap pertama. Diketahui bahwa distribusi sampling ∑ = j ij i y y i y , ~ i iid i n Binomial θ θ i i y yang mempunyai fungsi kepadatan sebagai berikut : i i i y n i y i i i i i y n y f − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = θ θ θ 1 1 Tahap kedua : , ~ β α β α θ Beta iid i dengan , β α Beta menyatakan distribusi beta dengan parameter α dan β serta fungsi kepadatan distribusi prior untuk i θ adalah 1 , 1 1 − Γ Γ + Γ = − − β α θ θ β α β α β α θ β α i i i f 2 Lampiran 27 Lanjutan dan adalah fungsi gamma. . Γ Dari persamaan 1 dan 2 diperoleh fungsi kepadatan posterior berikut : 1 1 1 , − + − − + − − + Γ + Γ + + Γ = = = β α θ θ β α β α θ π θ θ θ π i i i y n i y i i i i i i i i i i i i i i y n y n y m y f y m y f y 3 dengan fungsi kepadatan marginal β α β α β α β α θ θ π θ Γ Γ + Γ + + Γ + + Γ + Γ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∫ = i i i i i i i i i i i n y n y y n d y f y m 4 serta fungsi peluang dari persamaan di atas dapat dinyatakan dengan bentuk sebagai berikut : [ ] [ ] [ ] ∏ + + ∏ + ∏ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + − + + − + + − − + − − + − + − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − = − − = − = 1 1 1 ... 2 1 ... 2 1 ... 2 1 , , B , , i i i i n h y n h y h i i i i i i i i i i i i i i i i i i i h h h y n n n y n y n y y y n B y n y y n n y f β α β α β α β α β α β β β α α α β α β α β α 5 Menurut Williams 1975 pendugaan parameter untuk α dan β adalah β α α μ + = = ij y E dan β α λ + = 1 6 Lampiran 28 Lanjutan dan berdasarkan parameter yang dikemukakan oleh Grifftih 1973, maka persamaan 5 dapat ditulis fungsi sebagai berikut : ∏ + ∏ + − ∏ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − = − − = − = 1 1 1 1 1 , , i i i i n h y n h y h i i i i h h h y n n y f λ λ μ λ μ β α 7

1.2. Rataan dan Ragam Sebaran Beta-Binomial