Masalah Optimisasi Superstruktur Sintesis Jaringan Air Dengan Ketidakpastian
MASALAH OPTIMISASI SUPERSTRUKTUR SINTESIS JARINGAN AIR DENGAN KETIDAKPASTIAN
TESIS
Oleh
M. NATSIR 107021023/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara
MASALAH OPTIMISASI SUPERSTRUKTUR SINTESIS JARINGAN AIR DENGAN KETIDAKPASTIAN
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika Pada Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
Oleh M. NATSIR 107021023/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara
Judul
: MASALAH OPTIMISASI SUPERSTRUKTUR SINTESIS
JARINGAN AIR DENGAN KETIDAKPASTIAN
Nama
: M. Natsir
Nomor Pokok : 107021023/MT
Program Studi : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
Prof. Dr. Tulus, M.Si Ketua
Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
Prof. Dr. Herman Mawengkang
Dr. Sutarman, M.Sc
Tanggal lulus: 11 Agustus 2012
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada: Tanggal: 11 Agustus 2012
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Tulus, M.Si Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Dr. Saib Susilo, M.Sc 3. Dr. Sutarman, M.Sc
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Pada tesis ini dibahas masalah optimisasi superstruktur sintesis jaringan air dengan ketidakpastian suatu sistem jaringan air terpadu dengan menggunakan proses dan operasi pengolahan air yang tergabung pada jaringan tunggal sedemikian hingga total biaya konstruksi jaringan dan operasionalnya optimal dan meminimalkan secara global. Disain jaringan harus layak dan optimal atas himpunan skenario yang ditentukan dan memenuhi syarat optimal yang berbeda. Parameter operasional tidak pasti dalam sistem ini merupakan jumlah kontaminasi yang dihasilkan dalam unit proses dan penetrasi kontaminasi di dalam unit pemurnian. Pengoptimalan superstruktur dengan menggabungkan semua alternatif desain yang layak untuk pengolahan air limbah atau mendaur ulang dengan model pemograman non linier integer campuran multi skenario non konvek yang merupakan suatu model pemograman stokastik multi stage deterministik. Model MINLP dapat digunakan untuk menemukan desain jaringan yang optimal dengan nomor yang berbeda dari aliran dalam jaringan pipa. Strategi yang dikemukakan dengan mengandalkan batas pada variabel yang diturunkan sebagai persamaan umum yang diperoleh dengan pemeriksaan fisik dan menggunakan logika spesifikasi yang dibutuhkan untuk menyelesaikan model.
Kata kunci: Optimasi global; Jaringan air terpadu, Nonconvex MINLP, Ketidakpastian, Superstruktur, Strategi Optimisasi.
i Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT The problem of optimal sintesis of an integrated water system is discussed in this tesis, where water using processes and water treatment operations are combined into a single network such that the total cost of building the network and operating it optimally is globally minimized. The network has to be designed to be feasible and optimal over a given set of scenarios in which different operational conditions hold. The uncertain operational parameters in the system are the amount of contaminants generated in the process units and the extent of removal of the contaminants inside the treatment units. We optimize a superstructure that incorporates all feasible design alternatives for waste water treatment, reuse and recycle, with a multiscenario nonconvex mixed integer nonlinear programming model, which is a deterministic equivalent of a multi stage stochastic programming model with recourse. The MINLP model can be used to find optimal network designs with different number of streams in the piping network. In this work, we propose to represent the bounds on the variables as general equations obtained by physical inspection of the superstructure and using logic specifications needed for solving the model.
Keyword: Global optimization, Integrated water networks, Nonconvex MINLP, Uncertainty, Superstructure, Optimization strategies.
ii Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan kesempatan dan kekuatan kepada penulis untuk menyelesaikan tugas akhir yang berjudul Masalah Optimisasi Superstruktur Sintesis Jaringan Air Dengan Ketidakpastian sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister pada Program Pasca Sarjana Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Penghargaan dan ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada pihakpihak yang telah membantu dan memberikan kontribusi sehingga selesainya tesis ini yaitu :
Bapak Prof.Dr.dr.Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc,(CTM) Sp,A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menempuh pendidikan di universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan motivasi dan pengarahan sehingga selesainya tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Tulus, MSi, sebagai Pembimbing I dan Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak membantu untuk keberhasilan penulis.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembimbing II yang telah membimbing dan memberikan arahan untuk kesempurnaan tesis ini.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc , sebagai Penguji dan Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Anggota Tim Penguji dan Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan saran dan bantuan sehingga selesainya tesis ini.
iii Universitas Sumatera Utara
Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan materi perkuliahan dan pembekalan selama perkuliahan sehingga selesainya tesis ini.
Ibu Misiani, S.Si, staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang banyak membantu bidang administrasi.
Rekan-rekan Dosen Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau yang telah bahu membahu, senasib sepenaggungan dalam mengapai cita-cita untuk meningkatkan mutu dan layanan kepada mahasiswa.
Bapak Rektor Universitas Riau dan Dekan FMIPA Universitas Riau yang telah memberikan bantuan dan rekomendasi, izin belajar serta motivasi kepada penulis dalam menyelesaikan perkuliahan ini.
Isteri tercinta Nurlina, S.Pd, Ananda Mickey Elsen SE, Ferry Hendersen dan Meilly Olivia yang telah memberikan dorongan dan semangat kepada penulis dalam menyelesaikan perkuliahan ini.
Semoga Yang Maha Kuasa berkenan membalasnya dan pahala setimpal dan semoga Tesis ini dapat memberikan kontribusi optimal kepada pihak yang memerlukannya.
FMIPA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Agustus 2012
Penulis
iv Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP M. Natsir dilahirkan di Bukittinggi tanggal 21 Dersember 1955, anak kedua dari empat bersaudara. Menamatkan SD tahun 1969 di SD Negeri 2 Pekanbaru, SMP Negeri 3 Pekanbaru tahun 1972 dan SMA Negeri I Pekanbaru tahun 1975. Melanjutkan pendidikan ke Jurusan Matematika FIPIA Universitas Riau dan menyelesaikan Program Sarjana Muda [Gelar BSc] tahun 1979 serta melanjutkan program Sarjana lengkap Jurusan Matemtika FMIPA Universitas Riau tahun 1981 dan menyelesaikannya tahun 1984. Tahun 1981 Penulis diterima sebagai tenaga administrasi dan Mutasi menjadi tenaga pengajar / Dosen tahun 1984 serta mendapatkan Sertifikasi sebagai Dosen Profesional mulai Januari 2011 dalam bidang Matematika. Tahun 2011 Penulis dengan izin belajar dari Rektor Universitas Riau melanjutkan pendidikan ke Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara Medan.
v Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi DAFTAR TATA NAMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Manfaat Hasil Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Metodologi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 4 4 4 5
BAB 2 SUPERSTRUKTUR UMUM DAN OPTIMISASI GLOBAL DESAIN PROSES JARINGAN AIR TERPADU . . . . . . . . . . . .
7
BAB 3 PEMROGRAMAN STOKASTIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1 Pengertian Pemrograman Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Program Stokastik Dua Tahap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Pengertian Dasar Program Stokastik Tahap Ganda . . . . . . . 3.4 Ilustrasi Pemrograman Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 14 18 28
BAB 4 MASALAH OPTIMISASI SUPERSTRUKTUR SINTESIS JARINGAN AIR DENGAN KETIDAKPASTIAN . . . . . . . . . . 36
4.1 Model Multiscenario MINLP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.1.1 Fungsi Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Model MINLP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 vi Universitas Sumatera Utara
4.2.1 Satuan Mixer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Satuan Splitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Satuan Proses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Satuan Pemurnian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Pemotongan Keterikatan Batas . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6 Desain Kendala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.7 Hubungkan Batasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41 41 42 42 43 43 44
BAB 5 KESIMPULAN DAN RISET LANJUTAN . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Riset Lanjutan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45 45 47
vii Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TATA NAMA
• Himpunan & Indeks
i, k Indeks aliran j Kontaminasi m Mixer min Aliran masuk kedalam mixer m mout Aliran keluar dari mixer m M U Himpunan dari mixer-mixer n Skenario N Himpunan skenario-skenario P Unit Proses Pin Aliran masuk kedalam Unit Proses P Pout Aliran keluar dari Unit Proses P P U Himpunan dari Unit-unit Proses s Splitter sin Aliran masuk kedalam splitter s sout Aliran keluar dari splitter s SU Himpunan dari splitter-splitter t Unit Treatment tin Aliran masuk kedalam Unit Treatment t tout Aliran keluar dari Unit Treatment t T U Himpunan dari Unit Treatment
• Parameter
AR
CF W CJiLn
Faktor tahunan untuk investment pada unit treatment dan pipa Biaya air bersih Batas bawah konsentrasi dari kontaminan j dalam aliran i
viii Universitas Sumatera Utara
CJiUn
Cpi FniL FniU F iL F iU H ICt IPi Ljpn Lpjw OCt Pn Pp PMi α βjrn
βjrw
∂ τifn, τiyn
dalam skenario n Batas atas konsentrasi dari kontaminan j dalam aliran i dalam skenario n Koefisien biaya yang terkait dengan eksistensi pipa i Batas bawah flow pada aliran i dalam skenario n Batas atas flow pada aliran i dalam skenario n Batas bawah pada variabel disain F i Batas atas pada variabel disain F i Jam Operasi pabrik per annum Koefisien biaya investasi untuk Unit Treatment t Koefisien biaya investasi untuk pipa i Proses kontaminan j dalam unit proses p pada skenario n Proses kontaminan j dalam unit proses p pada kasus skenario worst Koefisien biaya operasi untuk Unit Treatment t Probability assigned pada occurence scenario n Kebutuhan air dalam unit proses p Koefisien biaya operasi pompa air melalui pipa i Eksponen fungsi biaya, 0 < α ≤ 1 1 - (Rasio penghapusan untuk kontaminan j dalam unit r(dalam %) dalam skenario n)/100 1 - (Rasio penghapusan untuk kontaminan j dalam unit r(dalam %) dalam skenario worst w)/100 Eksponen fungsi biaya, 0 < ∂ ≤ 1 Pengali Lagrange
• Variabel Kontinu
Cjin Konsentrasi kontaminan j dalam aliran i dalam skenario n Cjinn Konsentrasi kontaminan j dalam aliran discharge pada lingkungan
dalam skenario n fjin Alur kontaminan j dalam aliran i dalam skenario n
ix Universitas Sumatera Utara
fjonut
Fni Fnout Fi F Wn yi
Alur kontaminan j dalam aliran keluar pada lingkungan i dalam skenario n Flowrate aliran i dalam skenario n Flowrate aliran keluar pada lingkungan dalam skenario n Alur dari aliran maksimum air dalam pipa i Pengaliran air bersih pada sistem dalam skenario n Variabel biner
x Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Pada tesis ini dibahas masalah optimisasi superstruktur sintesis jaringan air dengan ketidakpastian suatu sistem jaringan air terpadu dengan menggunakan proses dan operasi pengolahan air yang tergabung pada jaringan tunggal sedemikian hingga total biaya konstruksi jaringan dan operasionalnya optimal dan meminimalkan secara global. Disain jaringan harus layak dan optimal atas himpunan skenario yang ditentukan dan memenuhi syarat optimal yang berbeda. Parameter operasional tidak pasti dalam sistem ini merupakan jumlah kontaminasi yang dihasilkan dalam unit proses dan penetrasi kontaminasi di dalam unit pemurnian. Pengoptimalan superstruktur dengan menggabungkan semua alternatif desain yang layak untuk pengolahan air limbah atau mendaur ulang dengan model pemograman non linier integer campuran multi skenario non konvek yang merupakan suatu model pemograman stokastik multi stage deterministik. Model MINLP dapat digunakan untuk menemukan desain jaringan yang optimal dengan nomor yang berbeda dari aliran dalam jaringan pipa. Strategi yang dikemukakan dengan mengandalkan batas pada variabel yang diturunkan sebagai persamaan umum yang diperoleh dengan pemeriksaan fisik dan menggunakan logika spesifikasi yang dibutuhkan untuk menyelesaikan model.
Kata kunci: Optimasi global; Jaringan air terpadu, Nonconvex MINLP, Ketidakpastian, Superstruktur, Strategi Optimisasi.
i Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT The problem of optimal sintesis of an integrated water system is discussed in this tesis, where water using processes and water treatment operations are combined into a single network such that the total cost of building the network and operating it optimally is globally minimized. The network has to be designed to be feasible and optimal over a given set of scenarios in which different operational conditions hold. The uncertain operational parameters in the system are the amount of contaminants generated in the process units and the extent of removal of the contaminants inside the treatment units. We optimize a superstructure that incorporates all feasible design alternatives for waste water treatment, reuse and recycle, with a multiscenario nonconvex mixed integer nonlinear programming model, which is a deterministic equivalent of a multi stage stochastic programming model with recourse. The MINLP model can be used to find optimal network designs with different number of streams in the piping network. In this work, we propose to represent the bounds on the variables as general equations obtained by physical inspection of the superstructure and using logic specifications needed for solving the model.
Keyword: Global optimization, Integrated water networks, Nonconvex MINLP, Uncertainty, Superstructure, Optimization strategies.
ii Universitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Proses Industrialisasi mengkonsumsi sejumlah besar air yang digunakan untuk operasi pembersihan, proses pemisahan, uap dan pembangkit listrik, pendingin, dan lain lain. Proses ini pada gilirannya menghasilkan sejumlah air limbah, yang biasanya diproses di unit pengolahan sebelum dikirim ke lingkungan pembuangan. Kekurangan air bersih, peningkatan pembiayaan dalam proses pemurnian air serta peraturan lingkungan yang ketat pada limbah industri, memberikan motivasi yang kuat untuk mengembangkan teknik dan pendekatan untuk mendesain proses jaringan air yang lebih efisien.
Dua pendekatan utama untuk disain optimisasi dari sistem jaringan air adalah teknologi pemurnian air dan pemrograman matematika. Sebuah kajian komprehensif dari pendekatan serta metode yang sistematis dari disain diteliti oleh El-Halwagi (1997), Mann dan Liu (1999), Bagajewicz M (2000), dan Foo (2009).
Gagasan sintesis jaringan air dianalisis oleh El-Halwagi (1997). Setelah itu pendekatan pencapaian untuk meminimumkan penggunaan air bersih dikembangkan oleh Wang dan Smith (1994a; 1994b, 1995) dan kemudian diperluas dan diperbarui oleh sejumlah peneliti (Biegler, L. T., Grossmann, I. E. & Westerberg, A. W. (1997), Doyle & Smith, (1997), Kuo & Smith, (1997), dan Foo, (2009)).
Superstruktur jaringan air terpadu dianalisis oleh Ahmetovic dan Grossmann (2006) terdiri dari satu atau beberapa sumber air, proses penggunaan air
1 Universitas Sumatera Utara
dan operasi pengolahan air limbah dengan asumsi semua koneksi dianggapa layak termasuk regenarasi air / penggunaan kembali air pada seluruh unit proses dan unit treatment / pemurnian.
Superstruktur sintesis jaringan air dengan ketidakpastian secara umum merupakan proses dari sejumlah parameter yang dapat berubah sepanjang operasi suatu proses jaringan pada suatu data yang belum ada kepastiannya. Oleh karena itu untuk manyatukan suatu jaringan yang beroperasi dengan ketidakpastian adalah dengan mengkonstruksi suatu desain yang layak dan pengoptimalan terhadap nilai-nilai parameter yang tidak pasti tersebut. Ada dua pendekatan utama untuk menuju tujuan yaitu didasarkan pada fleksibilitas, dan yang lainnya didasarkan pada pemograman stokastik dan memastikan kelayakan desain dengan menyesuaikan variabel kendala dalam sistem ketika parameter yang tidak pasti tersebut berubah (Karuppiah dan Grossmann ,2008).
Kedua pendekatan dapat dianggap sebagai model untuk tujuan optimisasi dan kelayakan secara simultan dicapai. Pada pendekatan pemrograman stokastik dua tahap langkah pertama yang diperoleh adalah tentang biaya yang diharapkan dan langkah kedua adalah meminimumkan biaya operasional. Beberapa metode untuk penyelesaian pemograman stokastik telah diteliti oleh Ahmed S., Bersihmalani & Sahinidis, (2004), Norkin, Pflug,& Ruszczynski, (1998), Takriti, Birge & Louveaux (1996). Suatu tinjauan ulang terbaru tentang teknik untuk optimisasi dengan ketidakpastian dianalisis oleh Sahinidis (2004).
Suatu metode masalah pemograman stokastik dua tahap umum dapat di-
2 Universitas Sumatera Utara
rumuskan sebagai suatu model pemograman multi skenario deterministik untuk suatu masalah proses sintesis jika parameter yang tidak-pasti merupakan suatu sa-tuan nilai-nilai terbatas dalam bentuk berikut:
dengan kendala
min Zd,xn = f 0(d) + Pnfn(xn, θn)
n
hn(d, xn, θn) = 0 gn(d, xn, θn) ≤ 0
∀n ∈ N, d ∈ D, xn ∈ X, θn ∈ θ
dimana
• d berkoresponden dengan variabel disain stage pertama,
• xn adalah vektor dari variabel state pada stage kedua dalam skenario n,
• θn merupakan vektor parameter tidak pasti di dalam skenario,
• pn adalah peluang operasional kejadian skenario n.
Beberapa variabel state merupakan variabel kendali, yang dapat mengoperasikan jaringan yang beroperasi secara optimisasi ketika parameter yang tidak pasti berubah. Variabel disain d harus dipilih pada langkah yang pertama dan tidak bisa diubah pada langkah yang kedua ketika jaringan dioperasikan. Banyaknya skenario di dalam model diberi oleh |N |. Batasan Persamaan hn secara normal berkaitan dengan keseimbangan energi dan massa pada setiap skenario. Ketidaksamaan gn yang diperoleh berkaitan dengan spesifikasi disain dan batasan logis. Notasi f 0(d) di dalam fungsi tujuan merupakan biaya disain de-ngan
3 Universitas Sumatera Utara
n Pnfn(xn, θn) merupakan ekspektasi total biaya operasi dari sistem untuk semua skenario yang sangat tergantung kepada pemilihan variabel disain stage pertama.
1.2 Perumusan Masalah
Model yang telah dikembangkan pada riset terdahulu oleh para peneliti dengan adanya kondisi ketidakpastian hanya mencakup tentang kelayakan desain jaringan sintesis, Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah mengembangkan model tidak hanya terhadap desain jaringan tetapi juga mencakup parameter tidak pasti dalam sistem yang dapat berubah selama operasi proses sintesis.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini membahas model masalah optimisasi superstruktur sintesis jaringan air dengan ketidakpastian yang mencakup Model Multiscenario MINLP untuk fungsi tujuan dan Model MINLP untuk unit mixer, unit splitter ,unit proses dan unit treatment yang memformulasikan keseimbangan material keseluruhan / aliran dan keseimbangan kontaminan yang beroperasi dengan kondisi operasional tidak pasti.
1.4 Manfaat Hasil Penelitian
Manfaat yang diperoleh dari hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan kontribusi dan manfaat optrimal bagi pihak yang membutuhkannya, khususnya yang berkaitan dengan proses sintesis terpadu jaringan air dengan keti-
4 Universitas Sumatera Utara
dakpastian dan meminimumkan biaya pada masalah optimisasi global terutama pada disain dengan ketidakpastian pada superstruktur dari jaringan air terpadu dengan optimisasi superstruktur sebagai formulasi masalah pemograman nonlinier integer campuran.
1.5 Metodologi Penelitian
Penelitian ini bersifat studi kepustakaan, mengkaji dan mendalami dari dua sumber utama yaitu melalui artikel Global optimization of multi skenario mixed integer nonlinear programming models arising in the synthesis of integrated water networks under uncertainty. Computers & Chemical Engineering, 32(1-2), 145-160 (Karuppiah dan Grossmann, 2008) dan melalui artikel General Superstructure and Global Optiimization for the Design of Integrated Process Water Networks , Computers & Chemical Engineering, 14(12) 126-140. (E.Ahmetovic and Grossmann, 2006), dan juga dengan menelusuri dan menganalisis beberapa buku teks dan journal terkait dengan model pemograman stokastik nonliner integer campuran dalam menyelesaikan masalah optimisasi suatu superstruktur sintesis jaringan air dengan ketidakpastian dan melakukan kajian terhadap materi utama dan pendukung tesis ini dengan pendekatan :
• Telaah riset terdahulu tentang beberapa kajian yang telah dihasilkan dan dirumuskan oleh para peneliti.
• Formulasikan model pemograman stokastik, pemograman stokastik dua tahap, pengertian dasar pemograman stokastik tahap ganda serta Ilustrasi
5 Universitas Sumatera Utara
pemograman stokastik dan rumuskan beberapa definisi dan teorema terkait. • Analisis kajian tentang model Multiscenario MILP untuk Fungsi Tujuan serta model MINLP untuk Satuan Mixer, Satuan Splitter, Satuan proses, Satuan Pemurnian / Treatment, Pemotongan Keterikatan Batas, Desain Kendala dan Keterkaitan Kendala.
6 Universitas Sumatera Utara
BAB 2 SUPERSTRUKTUR UMUM DAN OPTIMISASI GLOBAL
DESAIN PROSES JARINGAN AIR TERPADU
Pendekatan pemrograman matematika yang didasarkan pada optimisasi superstruktur dari jaringan air diberikan oleh Takama, Kuriyama, Shiroko & Umeda (1980) dan merupakan sebagai sistem yang terdiri dari air dan air limbah dengan menggunakan unit treatment/pemurnian. Selain itu superstruktur yang dihasilkan dari semua kemungkinan serta penggunaan kembali/regenerasi air de-ngan merumuskan masalah alokasi air yang optimal dalam bidang industri sebagai masalah pemrograman nonlinier. Solusi dari formulasi pemrograman matematika untuk masalah ini telah diteliti oleh Bagajewicz (2000).
Dalam banyak penelitian, total jaringan air didekomposisi menjadi dua bagian (jaringan dengan menggunakan air dan air limbah pada jaringan operasi pemurnian) yang diselesaikan secara terpisah. Kuo dan Smith (1997) menyajikan perluasan metodologi untuk disain sistem terdistribusi pengolahan limbah cair yang sebelumnya diberikan oleh Wang dan Smith (1994b).
Mereka mempresentasikan suatu peningkatan metode untuk memformulasikan laju aliran dalam proses treatment/pemurnian air dan distribusi beban antara beberapa proses pengolahan. Selain itu, Galan dan Grossmann (1998) membahas disain yang optimal dari jaringan air limbah terdistribusi dengan mempertimbangkan beberapa kontaminan. Mereka meneliti sebuah prosedur pencarian heuristik yang didasarkan pada penyelesaian terurut model relaksi linier dan mo-del nonlinier non konvek. Prosedur tersebut memiliki kemampuan untuk memperoleh
7 Universitas Sumatera Utara
pendekatan penyelesaian optimisasi global. Selain itu, model ini telah diperluas untuk memilih teknologi treatment/pemurnian yang berbeda untuk mena-ngani modul pemisahan membran. Savelski dan Bagajewicz (2003) mengembangkan kondisi optimisasi yang diperlukan (konsentrasi outlet maksimum dari air-dengan menggunakan unit dan monotonicy konsentrasi) untuk sistem jaringan air tunggal dan ganda pada suatu lokasi industri. Mereka menggunakan kondisi ini untuk mereduksi bentuk nonlinier dalam model jaringan air yang timbul dalam persamaan keseimbangan massa dalam bentuk bilinear (konsentrasi kali laju aliran) dengan menunjukkan bahwa model nonlinier jaringan air untuk komponen tunggal dapat dilinierisasi.
Quesada dan Grossmann (1995) meneliti suatu prosedur untuk optimisasi global jaringan proses bilinear dengan aliran multi komponen. Prosedur tersebut didasarkan pada teknik reformulasi-linearisasi yang diterapkan ke model nonlinier untuk mendapatkan formulasi pemrograman linier relaksi pada optimisasi global. Castro, Teles dan Novais (2009) meneliti penyelesaian strategi dua tahap untuk disain yang optimal dari jaringan air limbah yang didistribusikan dengan beberapa kontaminan. Pada tahap pertama, metode dekomposisi yang digunakan untuk menggantikan program nonlinier dengan penurunan program linier untuk setiap unit pengolahan. Pada tahap kedua, jaringan yang dihasilkan digunakan sebagai titik awal untuk solusi dari model nonlinier dengan penyelesaian optimal lokal.
Masalah mengkonstruksi total jaringan air telah dibahas oleh Doyle dan Smith (1997) dengan meneliti suatu metode yang didasarkan pada pemrograman nonlinier untuk pengembalian jumlah air maksimum pada sistem pengolahan.
8 Universitas Sumatera Utara
Untuk mengatasi kesulitan yang berhubungan dengan model optimasi nonlinier, mereka menggunakan model linier untuk memberikan inisialisasi untuk model nonlinier. Alva-Argez, Kokossis dan Smith (1998) meneliti metodologi terpadu untuk disain sistem air industri. Strategi dekomposisi mereka didasarkan pada prosedur rekursif dimana Masalah Integer Campuran Nonlinier (MINLP) diperluas menjadi Mixed Integer Linear Programming (MILPs). Huang, Chang, Ling, dan Chang (1999) meneliti sebuah model matematika untuk memastikan penggunaan air yang optimal. Mereka mempresentasikan modifikasi dari superstruktur yang diteliti oleh Takama, Kuriyama, Shiroko, dan Umeda (1980) dalam persamaan model disain semua fasilitas pengolahan air limbah dan semua unit yang memanfaatkan proses atau utilitas air sehingga diperoleh perbaikan dari disain pada skala besar. Feng dan Seider (2001) meneliti suatu struktur jaringan dengan sumber air internal yang digunakan yaitu menyederhanakan struktur jaringan perpipaan serta operasi dan kontrol pada industri besar yang melibatkan proses penggunaan air. Gunaratnam, Alva-Argaez, Kokossis, Kim, dan Smith (2005) mempresentasikan disain otomatis sistem distribusi air optimal untuk memenuhi tuntutan proses dan treatment yang optimal dari aliran limbah cair secara bersamaan. Mereka menggunakan pendekatan optimasi dua-tahap untuk memecahkan model MINLP dengan penggunaan MILP dalam tahap pertama untuk menginisialisasi masalah dan pada tahap kedua dengan menggunakan MINLP. Selain itu, kompleksitas jaringan dikendalikan dengan memastikan flowrates yang dapat ditolerir dalam batas minimum dalam jaringan. Metodologi tersebut menghasilkan teknik yang baik tetapi tidak selalu menghasilkan optimisasi global.
9 Universitas Sumatera Utara
Karuppiah dan Grossmann (2006) membahas masalah sintesis yang optimisasi dari sistem air terpadu yang terdiri dari air yang menggunakan proses dan operasi pengolahan air. Li dan Chang (2007) mengembangkan suatu strategi inisialisasi efisien untuk memecahkan model NLP dan MINLP untuk jaringan air dengan beberapa kontaminan. Dalam model MINLP mereka merumuskan hambatan struktural untuk memanipulasi kompleksitas structural yang menghasilkan suatu penyelesaian optimal dengan strategi inisialisasi yang setidaknya sama baiknya dengan hasil yang telah diteliti sebelumnya dengan perhitungan waktu lebih sedikit untuk mencapai konvergensi. Pada tahun yang sama, Alva-Argaez, Kokossis, dan Smith (2007) meneliti pendekatan sistematis untuk mena-ngani kembali air di kilang minyak.
Karuppiah dan Grossmann (2008) menyajikan formulasi untuk mengoptimalkan jaringan air terpadu operasi di bawah kondisi tidak pasti dari beban kontaminan dalam unit proses dan kepindahan kontaminan dari unit treatment. Mereka merumuskan multi-skenario nonconvex Model MINLP untuk mengoptimisasikan sebuah operasi global jaringan air terpadu dengan ketidakpastian. Selanjutnya, mereka meneliti suatu algoritma yang menggabungkan konsep relaksasi Lagrangian dan relaksasi non konvek untuk menghasilkan batas-batas kuat untuk optimisasi global.
Sebagian besar analisis didasarkan pada linierisasi model nonlinier, atau menggunakan model linier untuk memberikan inisialisasi untuk model nonlinier, yang diselesaikan dengan pemecah optimasi lokal.
10 Universitas Sumatera Utara
BAB 3 PEMROGRAMAN STOKASTIK
3.1 Pengertian Pemrograman Stokastik
Persoalan keputusan dapat dimodelkan dengan menggunakan program matematik, tujuannya adalah untuk pastikan nilai maksimum atau minimum. Keputusan yang dihasilkan bergantung kepada kendala yang dibatasi oleh sumber dana, persyaratan minimum dan lain-lain. Keputusan dinyatakan oleh variabel berupa bilangan cacah atau nonnegatif. Sebagai contoh dari persoalan data termasuk biaya perunit, rata-rata produksi, penjualan atau kapasitas.
Andaikan keputusan dinyatakan dengan variabel (x1, x2, . . . , xn). Sebagai contoh xi menyatakan produksi ke-i dari n produk. Bentuk umum program matematikanya adalah :
min Z = f (x)
kendala fi(x) ≥ bi, i = 1, 2, . . . , n
(3.1.1)
x ≥ 0, x ∈ X
dimana X adalah himpunan bilangan real non negatif.
Program stokastik adalah sebuah nama yang menyatakan program matematika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear dengan menampilkan elemen stokastik pada data. Sehingga program stokastik dapat dinyata bahwa :
a. Pada program matematika deterministik, data adalah bilangan-bilangan
yang diketahui.
11 Universitas Sumatera Utara
b. Pada program stokastik, data merupakan bilangan tidak pasti yang disajikan sebagai distribusi peluang.
Program stokastik adalah merupakan program matematika, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung ketidakpastian, ketidakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada parameter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat, tetapi pada prakteknya diberikan beberapa skenario yang spesifik dan distribusi peluang gabungan yang cepat.
Ada dua model dalam permasalahan program stokastik, yaitu :
1. Recourse Models (Model Rekursif) 2. Probabilistically Constrained Models (Model Kendala Berpeluang)
Dalam persoalan program stokastik adalah membuat sebuah keputusan sekarang dan meminimumkan biaya rata-rata harapan sebagai konsekuensi dari keputusan, paradigma ini dikenal sebagai model recourse. Andaikan x adalah vektor keputusan yang diambil, dan y(w) adalah sebuah vektor keputusan yang menyatakan aksi terbaru atau konsekuensi dari x. Himpunan berbeda yang berisi y akan dipilih dari tiap-tiap hasil yang mungkin dari w. Formulasi dua tahapnya adalah
min h1(x) + E[h2 y(w), w ]
kendala
g1(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0
12 Universitas Sumatera Utara
f1(x, y(w)) ≤ 0, ∀w ∈ W MM
fk(x, y(w)) ≤ 0, ∀w ∈ W
(3.1.2)
x ∈ X, y(w) ∈ Y
dimana himpunan kendala f1, f2, . . . , fk, menggambarkan hubungan antara keputusan tahap pertama x dan keputusan tahap kedua y(w). Dicatat bahwa dipersyaratkan tiap-tiap kendala dipenuhi dengan peluang 1, atau untuk setiap w ∈ W yang mungkin. Fungsi h2 merupakan penyelesaian yang sering muncul dari persoalan matematika. Tidak dibutuhkan untuk membuat korelasi yang berubah-ubah (recourse) untuk keputusan tahap pertama, perlu untuk dibuat korelasi yang terbaik.
Untuk persoalan tahap ganda, pengaruh keputusan sekarang akan ditunggu untuk beberapa ketidakpastian yang diselesaikan kembali (direalisasikan), sehingga pembuatan keputusan yang lain didasarkan pada apa yang terjadi. Tujuannya adalah untuk meminimumkan biaya yang diharapkan dari semua keputusan yang diambil.
Pada beberapa kasus, dapat digunakan suatu model yang lebih tepat untuk mencoba pastikan sebuah keputusan, yang mana keputusan tersebut dijamin oleh himpunan kendala yang akan dipenuhi oleh sebuah peluang tertentu. Model umum dengan kendala berpeluang disebut probabilistically constrained models
13 Universitas Sumatera Utara
yang dirumuskan sebagai berikut : min Z = f (x)
kendala P [g1(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0] ≥ α h1(x) ≤ 0 h2(x) ≤ 0 x∈X
(3.1.3)
3.2 Program Stokastik Dua Tahap
Banyak persoalan perencanaan dan manajemen yang mengandung resiko dan ketidakpastian dibahas dan diselesaikan dengan program stokastik dua tahap. Persoalan stokastik dengan kompensasi dari divergensi pada sistem dengan kendala mempunyai aplikasi yang lebih banyak dari pada model program yang lain. Penyelesaian persoalan program stokastik dua tahap berisi vektor acak dan vektor deterministik. Pada tahap pertama, penyelesaian persoalan rencana awal deterministik akan dibuat. Pembentukan rencana awal deterministik dilakukan sebelum kondisi acak dari persoalan ditentukan. Sebuah vektor acak pada penyelesaian persoalan yang sesuai digunakan untuk merencanakan kompensasi divergensi, spesifikasi parameter dari persoalan akan muncul pada tahap kedua. Tujuan dari manager pada persoalan di atas adalah meminimum nilai rata-rata biaya, yang mana tidak hanya termasuk pengeluaran pada tahap perencanaan pendahuluan tetapi juga pada tahap kedua yang diperlukan untuk mengkompensasi pada divergensi di dalam sistem kendala persoalan. Jika persoalan program stokastik dengan model dua tahap dapat diselesaikan maka pemilihan dari ren-
14 Universitas Sumatera Utara
cana awal deterministik akan menjamin keberadaan (eksistensi) vektor acak di dalam kompensasi untuk sistem yang divergen.
Andaikan terdapat persoalan berikut :
min(C, X) A0X = B0 AX = B
X ≥0
(3.2.1) (3.2.2) (3.2.3) (3.2.4)
dimana
C = {cj} , j = 1, 2, . . . , m B = {bi} , i = 1, 2, . . . , m B0 = bk0 , k = 1, 2, . . . , m A0 = ak0j , k = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n A = aij , i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n
Andaikan elemen dari matriks A = A(ω), vektor B = B(ω) dan C = C(ω) bernilai acak. Maka untuk proses penyelesaian dari persoalan (3.2.1 - 3.2.4) akan dibagi menjadi dua tahapan, sebelum pengamatan dari parameter acak pada kondisi dari tahap pertama dipilih rencana non-negatif deterministik X0 yang memenuhi kondisi (3.2.2) pada tahap kedua ditentukan spesifikasi ω0 dari setiap kejadian acak yang bersamaan (sesuai) dengan nilai A(ω0) dan B(ω0). Hitung divergensi B(ω0) − A(ω0)X0 yang muncul pada kondisi (3.2.3) setelah realisasi ω0 ∈ Ω. Definisikan vektor kompensasi divergensi Y ≥ 0 yang sesuai dengan hubungan
15 Universitas Sumatera Utara
berikut
D(ω0)Y (ω0) = B(ω0) − A(ω0)X0
(3.2.5)
dimana D = dil , i = 1, 2, . . . , m; l = 1, 2, . . . , n1 adalah sebuah matriks kompensasi yang berisi elemen acak. Sehingga diasumsikan bahwa realisasi acak ω yang diamati pada tahap kedua tidak bergantung pada pemilihan rencana pendahuluan X0.
Perhatikan persoalan program matematika berikut :
Tentukan vektor X berdimensi n dan vektor Y (ω) berdimensi n1, ω ∈ Ω. Yang
menghasilkan
min Eω{(C(ω), X) + min(H, Y (ω))}
XY
(3.2.6)
dengan kendala
A0X = B0 A(ω)X + D(ω)Y (ω) = B(ω), ω ∈ Ω
X ≥ 0, Y (ω) ≥ 0
(3.2.7) (3.2.8) (3.2.9)
H adalah vektor penalty yang bergantung pada nilai kompoinen dari vektor Y (ω) yang mana merupakan kompensasi divergensi. E adalah notasi ekspekstasi matematika setelah ditentukan rencana awal X0, dipilih komponen vektor Y (ω) dengan cara menjamin penalty minimum untuk kompensasi divergensi pada kondisi dari persoalan. Dengan kata lain, setelah ditentukan vektor X0, perlu menyelesaikan persoalan
{min(H, Y (ω)) D(ω)Y (ω) = B(ω) − A(ω)X0, Y (ω) ≥ 0}
Y
(3.2.10)
16 Universitas Sumatera Utara
Persoalan (3.2.10) akan menpunyai banyak rencana, vektor Y (ω) tidak dapat ditentukan pada tiap ω ∈ Ω yang menjamin penemuan kondisi (3.2.8). Persoalan (3.2.6-3.2.9) dikenal sebagai persoalan program stokastik dua tahap dan persoalan (3.2.10) adalah persoalan tahap kedua.
Model dan pendekatan dari penyelesaian persoalan program stokastik dua
tahap dapat digunakan untuk perspektif perencanaan dan operasional manaje-
men, karena selalu terdapat keacakan yang mempengaruhi yang sudah direnca-
nakan pada sistem manajemen (pelaksanaan). Model dua tahap juga kurang
sensentif terhadap perubahan pada parameter dari kondisi persoalan, yang me-
nyebabkan lebih stabil. Akibatnya vektor dapat diterima untuk rencana tahap
pertama yang diperlukan untuk setiap ω ∈ Ω, terdapat vektor Y ≥ 0 sedemikian
hingga
D(ω)Y (ω) = B(ω) − A(ω)X
(3.2.11)
Andaikan kendala tambahan yang disebutkan secara implisit pada (3.2.11) muncul pada tahap kedua dari persoalan yang dihasilkan; dan andaikan kondisi yang ditentukan pada vektor non-negatif X dari persamaan (3.2.7) sudah ditentukan.
Andaikan himpunan K1 = {X : A0 = B0, X ≥ 0} didefinisikan oleh kendala yang sudah ditentukan tetapi K2 = {X : ∀ω ∈ Ω, ∃Y ≥ 0, A(ω)X = B(ω) − D(ω)Y (ω)} didefinisikan oleh kendala yang dihasilkan. Maka himpunan K = K1 ∩ K2 adalah himpunan vektor X yang layak memenuhi persoalan (3.2.6)(3.2.9). Jika X ∈ K, maka vektor X memenuhi kendala yang sudah ditentukan
17 Universitas Sumatera Utara
A0X = B, X ≥ 0 dan sampai itu, persoalan tahap kedua (3.2.3) akan memiliki banyak rencana.
Untuk perhitungan lanjutan diperlukan hasil berikut :
Teorema 3.2.1 Himpunan K dengan vektor X pada persoalan program stokastik dua tahap adalah konveks.
Bukti : K = K1 ∩ K2 tetapi K1 = {X : A0 = B0, X ≥ 0} adalah konveks. Definisikan untuk ω ∈ Ω yang ditentukan pada himpunan K2ω = {X|∃Y (ω) ≥ 0} sedemikian hingga A(ω)X = B(ω) − D(ω)Y (ω) adalah konveks. Hal ini menyatakan bahwa K2 = ∩ω∈ΩK2ω dan K = K1 ∩ K2 adalah himpunan konveks sebagi pertolongan himpunan konveks.
3.3 Pengertian Dasar Program Stokastik Tahap Ganda
Persoalan program stokastik dinamik digeneralisasi oleh kasus dua tahap. Banyak persoalan praktis yang berupa perencanaan, perancangan dan manajemen tidak dapat digambarkan dengan bantuan model statis. Untuk model bertujuan, metode program stokastik tahap ganda seringkali digunakan. Model program stokastik tahap ganda dan metode untuk realisasi secukupnya bergantung pada informasi mengenai nilai parameter di dalam kondisi persoalan, dimana memiliki waktu untuk membuat keputusan selanjutnya. Persoalan dinamik dari tiap-tiap tahap berurutan disyaratkan untuk melengkapi kompensasi divergensi yang dikondisikan oleh kondisi realisasi persoalan dan oleh pembuatan keputusan tercepat dari tahap sebelumnya. Pada masalah yang lain, disyaratkan bahwa tiap-tiap
18 Universitas Sumatera Utara
tahap peluang yang memenuhi kendala tidak melebih nilai tertentu yang diberikan sebelumnya atas ekspektasi matematika pada fungsi dari divergensi di dalam kondisi yang dibatasi oleh bilangan yang diberikan atau nilai dari fungsi pada parameter acak yang direalisasikan pada tahap sebelumnya.
Persoalan dinamik akan memiliki salah satu bentuk yaitu : tidak dapat dikondisikan, kondisi probabilistik atau kendala statistik. Untuk persoalan dinamik dengan kendala tidak dapat dikondisikan, karakteristik keputusan adalah membuat pada basis informasi mengenai distribusi yang dikombinasikan oleh parameter acak dari kondisi pada semua tahapan. Pada persoalan dinamik dengan kondisi dua kasus kendala dapat dibedakan menjadi : (a) momen pembuatan keputusan hanya realisasi dari parameter acak pada tahap sebelumnya yang diperkirakan diketahui dan (b) momen pembuatan keputusan melengkapi informasi yang tersedia mengenai realisasi parameter acak yang dinyatakan dengan tahapan, tetapi nilai dari parameter acak pada tahapan berurutan tidak diketahui.
Penyelesaian optimisasi untuk persoalan program stokastik dinamik dapat diperoleh dengan strategi murni atau campuran. Pada komponen kasus akhir dari penyelesaian atau karakteristik statistik dari distribusi yang memberikan penyelesaian akan bergantung pada nilai parameter acak di dalam kondisi persoalan, yang direalisasikan oleh momen pembuatan keputusan.
Untuk perhitungan selanjutnya dalam analisis persoalan program stokastik tahap ganda, didefinisikan konsep yang diberikan berikut ini. Andaikan terdapat tahap ke-i yaitu Ωi, i = 0, 1, . . . , n untuk beberapa ruang kejadian elementer
19 Universitas Sumatera Utara
ωi, dimana Ω0 berisi satu elemen ω0. Andaikan Ωk adalah descartian product Ωi, i = 1, 2, . . . , k; ωk = (ω1, . . . , ωk), Ωn = Ω dan andaikan pada Ω diberikan ukuran probabilistik p yang didefinisikan dengan cara : jika A ⊂ Ωk maka pk(A) =
p(A × Ωk+1 × . . . × Ωn). Diperkenalkan ruang probabilistik (Ω, Σ, P ) dengan
berkaitan dengan σ-algebra, definisikan Pk sebagai kondisi ukuran probabilistik
pada Ωk
Pk A|ωk−1 ∈ B
=
Pk(A × B) Pk(Ωk × B)
untuk sembarang A ⊂ Ωk, B ⊂ Ωk−1.
Xk dinyatakan sebagai descartian product Xi, i = 1, 2, . . . , k; Xk = (x1, . . . , xk) ∈ Xk, Xn ≡ X dimana X0, X1, . . . , Xn adalah barisan himpunan dari struktur sembarang Xk ∈ Xk, k = 0, 1, . . . , n dan himpunan X termasuk satu titik X0.
Andaikan mk diberikan sebagai fungsi vektor pada ϕk(ωk, Xk) berdimensi untuk setiap ωk ∈ Ωk, Xk ∈ Xk, k = 1, . . . , n dan juga untuk setiap ω ∈ Ω
pada himpunan X fungsi ϕ0(ωn, Xn). Masukkan himpunan acak Gk0 = G0k(ωk)
dan bk(ωk−1)mk fungsi vektor Bk dinyatakan sebagai ruang Banach yang termasuk
pada fungsi vektor berdimensi bk(ωk−1)
k i=1
mi
.
Akhirnya, Eωk
U (ωk)
ωk−1
me-
nyatakan kondisi ekspektasi matematika U (ωk) dibawah perkiraan realisasi ωk−1
yang diketahui.
Andaikan dibahas model berbeda pada persoalan program stokastik tahap ganda dengan menggunakan notasi yang diperkenalkan di atas.
20 Universitas Sumatera Utara
Andaikan terdapat persoalan program stokastik tahap ganda :
Eϕ0 = ωn, Xn) → inf, Eϕk = ωk, Xk) ≥ bk Xk ∈ Gk, k = 1, 2, . . . , n
(3.3.1) (3.3.2) (3.3.3)
Untuk memformulasi persoalan secara lengkap, diperlukan titik luar apakah kendala yang tidak dapat dikondisikan atau kondisional, apakah penyelesaian persoalan ditentukan dengan strategi murni atau strategi campuran, dan di dalam kelas fungsi yang terukur atau distribusi yang akan mendapatkan penyelesaian. Persoalan praktisnya akan bergantung pada makna isi, penyelesaian pada tiap-tiap tahap dapat dihitung sebagai vektor deterministik atau sebagai rule-function pada penyelesaian dari realisasi dan parameter acak yang diobservasi dari kondisi, atau sebagai distribusi pastikan distribusi kontinu Xk dengan perkiraan informasi yang diperlukan mengenai nilai yang direalisasikan data initial acak yang diperoleh model konkrit untuk persoalan dan struktur informasinya ditentukan oleh keputusan selanjutnya. Di dalam syarat-syarat yang diajukan oleh Ermolyev (1970), hasil-hasil persoalan stokastik tahap ganda dari rangkaian tipe
Pengamatan - Keputusan - Pengamatan - . . . - Keputusan Keputusan - Pengamatan - Keputusan - . . . - Keputusan
Persoalan stokastik tahap ganda dengan kendala yang tidak dapat dikondi-
21 Universitas Sumatera Utara
sikan adalah
ϕΩn×Xn 0 ωn, Xn dFωn,Xn → inf, ϕΩk×Xk k ωk, X k dFωk,Xk , Xk ∈ Gk, k = 1, 2, . . . , n
(3.3.4) (3.3.5) (3.3.6)
Pemilihan beberapa kelas yang paling menarik untuk aplikasi dari sejumlah struktur informasi yang merupakan persyaratan persoalan program tahap ganda dengan kendala kondisional. Model kongkrit dari (3.3.1)-(3.3.3) pada kasus persoalan dengan kendala kondisional, diselesaikan dengan strategi campuran adalah:
ϕΩn×Xn 0 ωn, Xn dFωn,Xn → inf, ϕΩk×Xk k ωk, X k dFωk|ωdFωk|ωk−1 ≥ bk ωk−1 ,
Xk ∈ Gk(ωk), k = 1, 2, . . . , n
(3.3.7) (3.3.8) (3.3.9)
Penyelesaian persoalan akan menjadi himpunan fungsi distribusi FXk|ωk. Biasanya untuk mengatakan persoalan diselesaikan dengan distribusi yang ditentukan kemudian jika FXk|ωk didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan parameter acak ωk, distribusi yang ditentukan kemudian bergantung pada Xk−1 dan ωk. Dikatakan bahwa persoalan yang diselesaikan dengan distribusi yang ditentukan sebelumnya, jika FXk|ωk didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan ωk−1 tetapi sebelum pengamatan ωk, distribusi yang ditentukan sebelumnya bergantung pada Xk−1 dan ωk−1.
Jika persoalan tahap ganda dengan kendala kondisional diselesaikan dengan
22 Universitas Sumatera Utara
strategi murni, model konkrit (3.3.1)-(3.3.3) akan menjadi :
ϕΩn×Xn 0 ωn, Xn dFωn → inf, ϕΩk×Xk k ωk, X k dFωk|ωk−1 ≥ bk ωk−1 ,
Xk ∈ Gk(ωk), k = 1, 2, . . . , n
(3.3.10) (3.3.11) (3.3.12)
Fungsi Xk dari parameter acak yang direalisasikan dan diamati pada kondisi dari persoalan merupakan penyelesaian. Persoalan diselesaikan dengan aturan yang ditentukan kemudian jika keputusan dibuat setelah realisasi dan pengamatan ωk; aturan-aturan yang ditentukan kemudian untuk penyelesaian sedemikian hingga Xk = Xk(ωk). Dikatakan bahwa persoalan diselesaikan dengan aturan yang ditentukan sebelumnya jika keputusan dibuat setelah realisasi dan pengamatan ωk−1, tetapi sebelum pengamatan ωk. Pada kasus aturan sebelumnya :
Xk = Xk(ωk−1)
Biasanya, persoalan (3.3.7) - (3.3.9) atau (3.3.10) - (3.3.12) dikenal sebagai persoalan stokastik tahap ganda dengan rigid model, jika kondisi (3.3.8) atau (3.3.11) tidak dihadirkan, keputusan tiap-tiap tahap dibuat setelah observasi kondisi dan keputusan pada tahap sebelumnya.
Relasi tertentu yang dimiliki antara determinasi domain untuk persoalan
dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan dan kendala yang dapat dikondi-
sikan. Pernyataan berikut akan menggeneralisasi hasil yang diperoleh, yang telah
dikerjakan oleh Eismer (1971) untuk persoalan stokastik tahap ganda parsial li-
near.
23 Universitas Sumatera Utara
Andaikan U adalah himpunan penyelesaian yang layak untuk persoalan stokastik tahap ganda dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan
U = {Xk ∈ Gi × . . . × Gn Eϕk(ωk, Xk) ≥ bk, k = 1, 2, . . . , n} Dan V bn ωn−1 adalah himpunan penyelesaian (aturan penyelesaian, distribusi sebelum atau sesudah penyelesaian) pada persoalan dengan kendala kondisional.
Teorema 3.3.1 Himpunan U dan V adalah terhubung oleh relasi U = Xn ∈ V ˜bn ωn−1 E˜bk ωk−1 = bk, k = 1, 2, . . . , n
Bukti : V˜ = Xn ∈ V ˜bn ωn−1 E˜bk ωk−1 = bk, k = 1, 2, . . . , n . Andaikan Xn ∈ V˜ . Yang menyatakan bahwa
Eωk ϕk ωk, Xk = Eωk−1 Eωk ϕk ωk, X k ωk−1 ≥ Eωk−1˜bk ωk−1 = bk; k = 1, 2, . . . , n,
karena Xn ∈ U . Andaikan Xn ∈ U , definisikan ˜bk ωk−1 = Eωk ϕk ωk, Xk ωk−1 + bk − Eωk ϕk ωk, Xk ≤ Eωk ϕk ωk, Xk ωk−1 , k = 1, 2, . . . , n
Dengan definisi ˜bk(ωn−1) didapatkan Eωk−1˜bk(ωk−1) = bk. Sehingga Xn ∈ V˜ .
Akibat. Dengan fungsi sama ϕk(ωk, Xk) dan himpunan Gk, k = 1, 2, . . . , n, domain penyelesaian layak dari persoalan (3.3.4) - (3.3.6) dan (3.3.7) - (3.3.9) atau (3.3.10) - (3.3.12) (bergantung pada persoalan yang diselesaikan dengan
24 Universitas Sumatera Utara
strategi campuran atau strategi murni) bersamaan bentunya jika dan hanya jika Ebk(ωk−1) = bk.
Pernyataan di atas menyebabkan kemungkinan untuk memformulasi ulang hasil kualitatif dan seringkali juga menghitung metode yang dikerjakan untuk persoalan dengan kelas tertentu dan untuk investigasi konstruktif pada persoalan kelas lain.
Relasi antara distribusi penyelesaian dan aturan penyelesaian sangat menarik. Jika fungsi ϕ0 adalah konveks dan komponen fungsi vektor ϕk adalah konkaf pada X dengan tiap-tiap ω, maka nilai optimisasi dari fungsi objektif yang dicapai pada distribusi penyelesaian dapat dicapai juga dengan aturan penyelesaian. Konveksitas dari ϕ0 dan −ϕk tidak menghabiskan kondisi dengan strategi optimisasi murni dan strategi campuran yang didefinisikan menyatu dan nilai sama dari f
TESIS
Oleh
M. NATSIR 107021023/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara
MASALAH OPTIMISASI SUPERSTRUKTUR SINTESIS JARINGAN AIR DENGAN KETIDAKPASTIAN
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika Pada Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
Oleh M. NATSIR 107021023/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara
Judul
: MASALAH OPTIMISASI SUPERSTRUKTUR SINTESIS
JARINGAN AIR DENGAN KETIDAKPASTIAN
Nama
: M. Natsir
Nomor Pokok : 107021023/MT
Program Studi : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
Prof. Dr. Tulus, M.Si Ketua
Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
Prof. Dr. Herman Mawengkang
Dr. Sutarman, M.Sc
Tanggal lulus: 11 Agustus 2012
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada: Tanggal: 11 Agustus 2012
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Tulus, M.Si Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Dr. Saib Susilo, M.Sc 3. Dr. Sutarman, M.Sc
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Pada tesis ini dibahas masalah optimisasi superstruktur sintesis jaringan air dengan ketidakpastian suatu sistem jaringan air terpadu dengan menggunakan proses dan operasi pengolahan air yang tergabung pada jaringan tunggal sedemikian hingga total biaya konstruksi jaringan dan operasionalnya optimal dan meminimalkan secara global. Disain jaringan harus layak dan optimal atas himpunan skenario yang ditentukan dan memenuhi syarat optimal yang berbeda. Parameter operasional tidak pasti dalam sistem ini merupakan jumlah kontaminasi yang dihasilkan dalam unit proses dan penetrasi kontaminasi di dalam unit pemurnian. Pengoptimalan superstruktur dengan menggabungkan semua alternatif desain yang layak untuk pengolahan air limbah atau mendaur ulang dengan model pemograman non linier integer campuran multi skenario non konvek yang merupakan suatu model pemograman stokastik multi stage deterministik. Model MINLP dapat digunakan untuk menemukan desain jaringan yang optimal dengan nomor yang berbeda dari aliran dalam jaringan pipa. Strategi yang dikemukakan dengan mengandalkan batas pada variabel yang diturunkan sebagai persamaan umum yang diperoleh dengan pemeriksaan fisik dan menggunakan logika spesifikasi yang dibutuhkan untuk menyelesaikan model.
Kata kunci: Optimasi global; Jaringan air terpadu, Nonconvex MINLP, Ketidakpastian, Superstruktur, Strategi Optimisasi.
i Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT The problem of optimal sintesis of an integrated water system is discussed in this tesis, where water using processes and water treatment operations are combined into a single network such that the total cost of building the network and operating it optimally is globally minimized. The network has to be designed to be feasible and optimal over a given set of scenarios in which different operational conditions hold. The uncertain operational parameters in the system are the amount of contaminants generated in the process units and the extent of removal of the contaminants inside the treatment units. We optimize a superstructure that incorporates all feasible design alternatives for waste water treatment, reuse and recycle, with a multiscenario nonconvex mixed integer nonlinear programming model, which is a deterministic equivalent of a multi stage stochastic programming model with recourse. The MINLP model can be used to find optimal network designs with different number of streams in the piping network. In this work, we propose to represent the bounds on the variables as general equations obtained by physical inspection of the superstructure and using logic specifications needed for solving the model.
Keyword: Global optimization, Integrated water networks, Nonconvex MINLP, Uncertainty, Superstructure, Optimization strategies.
ii Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan kesempatan dan kekuatan kepada penulis untuk menyelesaikan tugas akhir yang berjudul Masalah Optimisasi Superstruktur Sintesis Jaringan Air Dengan Ketidakpastian sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister pada Program Pasca Sarjana Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Penghargaan dan ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada pihakpihak yang telah membantu dan memberikan kontribusi sehingga selesainya tesis ini yaitu :
Bapak Prof.Dr.dr.Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc,(CTM) Sp,A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menempuh pendidikan di universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan motivasi dan pengarahan sehingga selesainya tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Tulus, MSi, sebagai Pembimbing I dan Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak membantu untuk keberhasilan penulis.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembimbing II yang telah membimbing dan memberikan arahan untuk kesempurnaan tesis ini.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc , sebagai Penguji dan Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Anggota Tim Penguji dan Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan saran dan bantuan sehingga selesainya tesis ini.
iii Universitas Sumatera Utara
Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan materi perkuliahan dan pembekalan selama perkuliahan sehingga selesainya tesis ini.
Ibu Misiani, S.Si, staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang banyak membantu bidang administrasi.
Rekan-rekan Dosen Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau yang telah bahu membahu, senasib sepenaggungan dalam mengapai cita-cita untuk meningkatkan mutu dan layanan kepada mahasiswa.
Bapak Rektor Universitas Riau dan Dekan FMIPA Universitas Riau yang telah memberikan bantuan dan rekomendasi, izin belajar serta motivasi kepada penulis dalam menyelesaikan perkuliahan ini.
Isteri tercinta Nurlina, S.Pd, Ananda Mickey Elsen SE, Ferry Hendersen dan Meilly Olivia yang telah memberikan dorongan dan semangat kepada penulis dalam menyelesaikan perkuliahan ini.
Semoga Yang Maha Kuasa berkenan membalasnya dan pahala setimpal dan semoga Tesis ini dapat memberikan kontribusi optimal kepada pihak yang memerlukannya.
FMIPA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Agustus 2012
Penulis
iv Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP M. Natsir dilahirkan di Bukittinggi tanggal 21 Dersember 1955, anak kedua dari empat bersaudara. Menamatkan SD tahun 1969 di SD Negeri 2 Pekanbaru, SMP Negeri 3 Pekanbaru tahun 1972 dan SMA Negeri I Pekanbaru tahun 1975. Melanjutkan pendidikan ke Jurusan Matematika FIPIA Universitas Riau dan menyelesaikan Program Sarjana Muda [Gelar BSc] tahun 1979 serta melanjutkan program Sarjana lengkap Jurusan Matemtika FMIPA Universitas Riau tahun 1981 dan menyelesaikannya tahun 1984. Tahun 1981 Penulis diterima sebagai tenaga administrasi dan Mutasi menjadi tenaga pengajar / Dosen tahun 1984 serta mendapatkan Sertifikasi sebagai Dosen Profesional mulai Januari 2011 dalam bidang Matematika. Tahun 2011 Penulis dengan izin belajar dari Rektor Universitas Riau melanjutkan pendidikan ke Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara Medan.
v Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi DAFTAR TATA NAMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Manfaat Hasil Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Metodologi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 4 4 4 5
BAB 2 SUPERSTRUKTUR UMUM DAN OPTIMISASI GLOBAL DESAIN PROSES JARINGAN AIR TERPADU . . . . . . . . . . . .
7
BAB 3 PEMROGRAMAN STOKASTIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1 Pengertian Pemrograman Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Program Stokastik Dua Tahap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Pengertian Dasar Program Stokastik Tahap Ganda . . . . . . . 3.4 Ilustrasi Pemrograman Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 14 18 28
BAB 4 MASALAH OPTIMISASI SUPERSTRUKTUR SINTESIS JARINGAN AIR DENGAN KETIDAKPASTIAN . . . . . . . . . . 36
4.1 Model Multiscenario MINLP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.1.1 Fungsi Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Model MINLP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 vi Universitas Sumatera Utara
4.2.1 Satuan Mixer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Satuan Splitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Satuan Proses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Satuan Pemurnian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Pemotongan Keterikatan Batas . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6 Desain Kendala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.7 Hubungkan Batasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41 41 42 42 43 43 44
BAB 5 KESIMPULAN DAN RISET LANJUTAN . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Riset Lanjutan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45 45 47
vii Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TATA NAMA
• Himpunan & Indeks
i, k Indeks aliran j Kontaminasi m Mixer min Aliran masuk kedalam mixer m mout Aliran keluar dari mixer m M U Himpunan dari mixer-mixer n Skenario N Himpunan skenario-skenario P Unit Proses Pin Aliran masuk kedalam Unit Proses P Pout Aliran keluar dari Unit Proses P P U Himpunan dari Unit-unit Proses s Splitter sin Aliran masuk kedalam splitter s sout Aliran keluar dari splitter s SU Himpunan dari splitter-splitter t Unit Treatment tin Aliran masuk kedalam Unit Treatment t tout Aliran keluar dari Unit Treatment t T U Himpunan dari Unit Treatment
• Parameter
AR
CF W CJiLn
Faktor tahunan untuk investment pada unit treatment dan pipa Biaya air bersih Batas bawah konsentrasi dari kontaminan j dalam aliran i
viii Universitas Sumatera Utara
CJiUn
Cpi FniL FniU F iL F iU H ICt IPi Ljpn Lpjw OCt Pn Pp PMi α βjrn
βjrw
∂ τifn, τiyn
dalam skenario n Batas atas konsentrasi dari kontaminan j dalam aliran i dalam skenario n Koefisien biaya yang terkait dengan eksistensi pipa i Batas bawah flow pada aliran i dalam skenario n Batas atas flow pada aliran i dalam skenario n Batas bawah pada variabel disain F i Batas atas pada variabel disain F i Jam Operasi pabrik per annum Koefisien biaya investasi untuk Unit Treatment t Koefisien biaya investasi untuk pipa i Proses kontaminan j dalam unit proses p pada skenario n Proses kontaminan j dalam unit proses p pada kasus skenario worst Koefisien biaya operasi untuk Unit Treatment t Probability assigned pada occurence scenario n Kebutuhan air dalam unit proses p Koefisien biaya operasi pompa air melalui pipa i Eksponen fungsi biaya, 0 < α ≤ 1 1 - (Rasio penghapusan untuk kontaminan j dalam unit r(dalam %) dalam skenario n)/100 1 - (Rasio penghapusan untuk kontaminan j dalam unit r(dalam %) dalam skenario worst w)/100 Eksponen fungsi biaya, 0 < ∂ ≤ 1 Pengali Lagrange
• Variabel Kontinu
Cjin Konsentrasi kontaminan j dalam aliran i dalam skenario n Cjinn Konsentrasi kontaminan j dalam aliran discharge pada lingkungan
dalam skenario n fjin Alur kontaminan j dalam aliran i dalam skenario n
ix Universitas Sumatera Utara
fjonut
Fni Fnout Fi F Wn yi
Alur kontaminan j dalam aliran keluar pada lingkungan i dalam skenario n Flowrate aliran i dalam skenario n Flowrate aliran keluar pada lingkungan dalam skenario n Alur dari aliran maksimum air dalam pipa i Pengaliran air bersih pada sistem dalam skenario n Variabel biner
x Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Pada tesis ini dibahas masalah optimisasi superstruktur sintesis jaringan air dengan ketidakpastian suatu sistem jaringan air terpadu dengan menggunakan proses dan operasi pengolahan air yang tergabung pada jaringan tunggal sedemikian hingga total biaya konstruksi jaringan dan operasionalnya optimal dan meminimalkan secara global. Disain jaringan harus layak dan optimal atas himpunan skenario yang ditentukan dan memenuhi syarat optimal yang berbeda. Parameter operasional tidak pasti dalam sistem ini merupakan jumlah kontaminasi yang dihasilkan dalam unit proses dan penetrasi kontaminasi di dalam unit pemurnian. Pengoptimalan superstruktur dengan menggabungkan semua alternatif desain yang layak untuk pengolahan air limbah atau mendaur ulang dengan model pemograman non linier integer campuran multi skenario non konvek yang merupakan suatu model pemograman stokastik multi stage deterministik. Model MINLP dapat digunakan untuk menemukan desain jaringan yang optimal dengan nomor yang berbeda dari aliran dalam jaringan pipa. Strategi yang dikemukakan dengan mengandalkan batas pada variabel yang diturunkan sebagai persamaan umum yang diperoleh dengan pemeriksaan fisik dan menggunakan logika spesifikasi yang dibutuhkan untuk menyelesaikan model.
Kata kunci: Optimasi global; Jaringan air terpadu, Nonconvex MINLP, Ketidakpastian, Superstruktur, Strategi Optimisasi.
i Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT The problem of optimal sintesis of an integrated water system is discussed in this tesis, where water using processes and water treatment operations are combined into a single network such that the total cost of building the network and operating it optimally is globally minimized. The network has to be designed to be feasible and optimal over a given set of scenarios in which different operational conditions hold. The uncertain operational parameters in the system are the amount of contaminants generated in the process units and the extent of removal of the contaminants inside the treatment units. We optimize a superstructure that incorporates all feasible design alternatives for waste water treatment, reuse and recycle, with a multiscenario nonconvex mixed integer nonlinear programming model, which is a deterministic equivalent of a multi stage stochastic programming model with recourse. The MINLP model can be used to find optimal network designs with different number of streams in the piping network. In this work, we propose to represent the bounds on the variables as general equations obtained by physical inspection of the superstructure and using logic specifications needed for solving the model.
Keyword: Global optimization, Integrated water networks, Nonconvex MINLP, Uncertainty, Superstructure, Optimization strategies.
ii Universitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Proses Industrialisasi mengkonsumsi sejumlah besar air yang digunakan untuk operasi pembersihan, proses pemisahan, uap dan pembangkit listrik, pendingin, dan lain lain. Proses ini pada gilirannya menghasilkan sejumlah air limbah, yang biasanya diproses di unit pengolahan sebelum dikirim ke lingkungan pembuangan. Kekurangan air bersih, peningkatan pembiayaan dalam proses pemurnian air serta peraturan lingkungan yang ketat pada limbah industri, memberikan motivasi yang kuat untuk mengembangkan teknik dan pendekatan untuk mendesain proses jaringan air yang lebih efisien.
Dua pendekatan utama untuk disain optimisasi dari sistem jaringan air adalah teknologi pemurnian air dan pemrograman matematika. Sebuah kajian komprehensif dari pendekatan serta metode yang sistematis dari disain diteliti oleh El-Halwagi (1997), Mann dan Liu (1999), Bagajewicz M (2000), dan Foo (2009).
Gagasan sintesis jaringan air dianalisis oleh El-Halwagi (1997). Setelah itu pendekatan pencapaian untuk meminimumkan penggunaan air bersih dikembangkan oleh Wang dan Smith (1994a; 1994b, 1995) dan kemudian diperluas dan diperbarui oleh sejumlah peneliti (Biegler, L. T., Grossmann, I. E. & Westerberg, A. W. (1997), Doyle & Smith, (1997), Kuo & Smith, (1997), dan Foo, (2009)).
Superstruktur jaringan air terpadu dianalisis oleh Ahmetovic dan Grossmann (2006) terdiri dari satu atau beberapa sumber air, proses penggunaan air
1 Universitas Sumatera Utara
dan operasi pengolahan air limbah dengan asumsi semua koneksi dianggapa layak termasuk regenarasi air / penggunaan kembali air pada seluruh unit proses dan unit treatment / pemurnian.
Superstruktur sintesis jaringan air dengan ketidakpastian secara umum merupakan proses dari sejumlah parameter yang dapat berubah sepanjang operasi suatu proses jaringan pada suatu data yang belum ada kepastiannya. Oleh karena itu untuk manyatukan suatu jaringan yang beroperasi dengan ketidakpastian adalah dengan mengkonstruksi suatu desain yang layak dan pengoptimalan terhadap nilai-nilai parameter yang tidak pasti tersebut. Ada dua pendekatan utama untuk menuju tujuan yaitu didasarkan pada fleksibilitas, dan yang lainnya didasarkan pada pemograman stokastik dan memastikan kelayakan desain dengan menyesuaikan variabel kendala dalam sistem ketika parameter yang tidak pasti tersebut berubah (Karuppiah dan Grossmann ,2008).
Kedua pendekatan dapat dianggap sebagai model untuk tujuan optimisasi dan kelayakan secara simultan dicapai. Pada pendekatan pemrograman stokastik dua tahap langkah pertama yang diperoleh adalah tentang biaya yang diharapkan dan langkah kedua adalah meminimumkan biaya operasional. Beberapa metode untuk penyelesaian pemograman stokastik telah diteliti oleh Ahmed S., Bersihmalani & Sahinidis, (2004), Norkin, Pflug,& Ruszczynski, (1998), Takriti, Birge & Louveaux (1996). Suatu tinjauan ulang terbaru tentang teknik untuk optimisasi dengan ketidakpastian dianalisis oleh Sahinidis (2004).
Suatu metode masalah pemograman stokastik dua tahap umum dapat di-
2 Universitas Sumatera Utara
rumuskan sebagai suatu model pemograman multi skenario deterministik untuk suatu masalah proses sintesis jika parameter yang tidak-pasti merupakan suatu sa-tuan nilai-nilai terbatas dalam bentuk berikut:
dengan kendala
min Zd,xn = f 0(d) + Pnfn(xn, θn)
n
hn(d, xn, θn) = 0 gn(d, xn, θn) ≤ 0
∀n ∈ N, d ∈ D, xn ∈ X, θn ∈ θ
dimana
• d berkoresponden dengan variabel disain stage pertama,
• xn adalah vektor dari variabel state pada stage kedua dalam skenario n,
• θn merupakan vektor parameter tidak pasti di dalam skenario,
• pn adalah peluang operasional kejadian skenario n.
Beberapa variabel state merupakan variabel kendali, yang dapat mengoperasikan jaringan yang beroperasi secara optimisasi ketika parameter yang tidak pasti berubah. Variabel disain d harus dipilih pada langkah yang pertama dan tidak bisa diubah pada langkah yang kedua ketika jaringan dioperasikan. Banyaknya skenario di dalam model diberi oleh |N |. Batasan Persamaan hn secara normal berkaitan dengan keseimbangan energi dan massa pada setiap skenario. Ketidaksamaan gn yang diperoleh berkaitan dengan spesifikasi disain dan batasan logis. Notasi f 0(d) di dalam fungsi tujuan merupakan biaya disain de-ngan
3 Universitas Sumatera Utara
n Pnfn(xn, θn) merupakan ekspektasi total biaya operasi dari sistem untuk semua skenario yang sangat tergantung kepada pemilihan variabel disain stage pertama.
1.2 Perumusan Masalah
Model yang telah dikembangkan pada riset terdahulu oleh para peneliti dengan adanya kondisi ketidakpastian hanya mencakup tentang kelayakan desain jaringan sintesis, Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah mengembangkan model tidak hanya terhadap desain jaringan tetapi juga mencakup parameter tidak pasti dalam sistem yang dapat berubah selama operasi proses sintesis.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini membahas model masalah optimisasi superstruktur sintesis jaringan air dengan ketidakpastian yang mencakup Model Multiscenario MINLP untuk fungsi tujuan dan Model MINLP untuk unit mixer, unit splitter ,unit proses dan unit treatment yang memformulasikan keseimbangan material keseluruhan / aliran dan keseimbangan kontaminan yang beroperasi dengan kondisi operasional tidak pasti.
1.4 Manfaat Hasil Penelitian
Manfaat yang diperoleh dari hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan kontribusi dan manfaat optrimal bagi pihak yang membutuhkannya, khususnya yang berkaitan dengan proses sintesis terpadu jaringan air dengan keti-
4 Universitas Sumatera Utara
dakpastian dan meminimumkan biaya pada masalah optimisasi global terutama pada disain dengan ketidakpastian pada superstruktur dari jaringan air terpadu dengan optimisasi superstruktur sebagai formulasi masalah pemograman nonlinier integer campuran.
1.5 Metodologi Penelitian
Penelitian ini bersifat studi kepustakaan, mengkaji dan mendalami dari dua sumber utama yaitu melalui artikel Global optimization of multi skenario mixed integer nonlinear programming models arising in the synthesis of integrated water networks under uncertainty. Computers & Chemical Engineering, 32(1-2), 145-160 (Karuppiah dan Grossmann, 2008) dan melalui artikel General Superstructure and Global Optiimization for the Design of Integrated Process Water Networks , Computers & Chemical Engineering, 14(12) 126-140. (E.Ahmetovic and Grossmann, 2006), dan juga dengan menelusuri dan menganalisis beberapa buku teks dan journal terkait dengan model pemograman stokastik nonliner integer campuran dalam menyelesaikan masalah optimisasi suatu superstruktur sintesis jaringan air dengan ketidakpastian dan melakukan kajian terhadap materi utama dan pendukung tesis ini dengan pendekatan :
• Telaah riset terdahulu tentang beberapa kajian yang telah dihasilkan dan dirumuskan oleh para peneliti.
• Formulasikan model pemograman stokastik, pemograman stokastik dua tahap, pengertian dasar pemograman stokastik tahap ganda serta Ilustrasi
5 Universitas Sumatera Utara
pemograman stokastik dan rumuskan beberapa definisi dan teorema terkait. • Analisis kajian tentang model Multiscenario MILP untuk Fungsi Tujuan serta model MINLP untuk Satuan Mixer, Satuan Splitter, Satuan proses, Satuan Pemurnian / Treatment, Pemotongan Keterikatan Batas, Desain Kendala dan Keterkaitan Kendala.
6 Universitas Sumatera Utara
BAB 2 SUPERSTRUKTUR UMUM DAN OPTIMISASI GLOBAL
DESAIN PROSES JARINGAN AIR TERPADU
Pendekatan pemrograman matematika yang didasarkan pada optimisasi superstruktur dari jaringan air diberikan oleh Takama, Kuriyama, Shiroko & Umeda (1980) dan merupakan sebagai sistem yang terdiri dari air dan air limbah dengan menggunakan unit treatment/pemurnian. Selain itu superstruktur yang dihasilkan dari semua kemungkinan serta penggunaan kembali/regenerasi air de-ngan merumuskan masalah alokasi air yang optimal dalam bidang industri sebagai masalah pemrograman nonlinier. Solusi dari formulasi pemrograman matematika untuk masalah ini telah diteliti oleh Bagajewicz (2000).
Dalam banyak penelitian, total jaringan air didekomposisi menjadi dua bagian (jaringan dengan menggunakan air dan air limbah pada jaringan operasi pemurnian) yang diselesaikan secara terpisah. Kuo dan Smith (1997) menyajikan perluasan metodologi untuk disain sistem terdistribusi pengolahan limbah cair yang sebelumnya diberikan oleh Wang dan Smith (1994b).
Mereka mempresentasikan suatu peningkatan metode untuk memformulasikan laju aliran dalam proses treatment/pemurnian air dan distribusi beban antara beberapa proses pengolahan. Selain itu, Galan dan Grossmann (1998) membahas disain yang optimal dari jaringan air limbah terdistribusi dengan mempertimbangkan beberapa kontaminan. Mereka meneliti sebuah prosedur pencarian heuristik yang didasarkan pada penyelesaian terurut model relaksi linier dan mo-del nonlinier non konvek. Prosedur tersebut memiliki kemampuan untuk memperoleh
7 Universitas Sumatera Utara
pendekatan penyelesaian optimisasi global. Selain itu, model ini telah diperluas untuk memilih teknologi treatment/pemurnian yang berbeda untuk mena-ngani modul pemisahan membran. Savelski dan Bagajewicz (2003) mengembangkan kondisi optimisasi yang diperlukan (konsentrasi outlet maksimum dari air-dengan menggunakan unit dan monotonicy konsentrasi) untuk sistem jaringan air tunggal dan ganda pada suatu lokasi industri. Mereka menggunakan kondisi ini untuk mereduksi bentuk nonlinier dalam model jaringan air yang timbul dalam persamaan keseimbangan massa dalam bentuk bilinear (konsentrasi kali laju aliran) dengan menunjukkan bahwa model nonlinier jaringan air untuk komponen tunggal dapat dilinierisasi.
Quesada dan Grossmann (1995) meneliti suatu prosedur untuk optimisasi global jaringan proses bilinear dengan aliran multi komponen. Prosedur tersebut didasarkan pada teknik reformulasi-linearisasi yang diterapkan ke model nonlinier untuk mendapatkan formulasi pemrograman linier relaksi pada optimisasi global. Castro, Teles dan Novais (2009) meneliti penyelesaian strategi dua tahap untuk disain yang optimal dari jaringan air limbah yang didistribusikan dengan beberapa kontaminan. Pada tahap pertama, metode dekomposisi yang digunakan untuk menggantikan program nonlinier dengan penurunan program linier untuk setiap unit pengolahan. Pada tahap kedua, jaringan yang dihasilkan digunakan sebagai titik awal untuk solusi dari model nonlinier dengan penyelesaian optimal lokal.
Masalah mengkonstruksi total jaringan air telah dibahas oleh Doyle dan Smith (1997) dengan meneliti suatu metode yang didasarkan pada pemrograman nonlinier untuk pengembalian jumlah air maksimum pada sistem pengolahan.
8 Universitas Sumatera Utara
Untuk mengatasi kesulitan yang berhubungan dengan model optimasi nonlinier, mereka menggunakan model linier untuk memberikan inisialisasi untuk model nonlinier. Alva-Argez, Kokossis dan Smith (1998) meneliti metodologi terpadu untuk disain sistem air industri. Strategi dekomposisi mereka didasarkan pada prosedur rekursif dimana Masalah Integer Campuran Nonlinier (MINLP) diperluas menjadi Mixed Integer Linear Programming (MILPs). Huang, Chang, Ling, dan Chang (1999) meneliti sebuah model matematika untuk memastikan penggunaan air yang optimal. Mereka mempresentasikan modifikasi dari superstruktur yang diteliti oleh Takama, Kuriyama, Shiroko, dan Umeda (1980) dalam persamaan model disain semua fasilitas pengolahan air limbah dan semua unit yang memanfaatkan proses atau utilitas air sehingga diperoleh perbaikan dari disain pada skala besar. Feng dan Seider (2001) meneliti suatu struktur jaringan dengan sumber air internal yang digunakan yaitu menyederhanakan struktur jaringan perpipaan serta operasi dan kontrol pada industri besar yang melibatkan proses penggunaan air. Gunaratnam, Alva-Argaez, Kokossis, Kim, dan Smith (2005) mempresentasikan disain otomatis sistem distribusi air optimal untuk memenuhi tuntutan proses dan treatment yang optimal dari aliran limbah cair secara bersamaan. Mereka menggunakan pendekatan optimasi dua-tahap untuk memecahkan model MINLP dengan penggunaan MILP dalam tahap pertama untuk menginisialisasi masalah dan pada tahap kedua dengan menggunakan MINLP. Selain itu, kompleksitas jaringan dikendalikan dengan memastikan flowrates yang dapat ditolerir dalam batas minimum dalam jaringan. Metodologi tersebut menghasilkan teknik yang baik tetapi tidak selalu menghasilkan optimisasi global.
9 Universitas Sumatera Utara
Karuppiah dan Grossmann (2006) membahas masalah sintesis yang optimisasi dari sistem air terpadu yang terdiri dari air yang menggunakan proses dan operasi pengolahan air. Li dan Chang (2007) mengembangkan suatu strategi inisialisasi efisien untuk memecahkan model NLP dan MINLP untuk jaringan air dengan beberapa kontaminan. Dalam model MINLP mereka merumuskan hambatan struktural untuk memanipulasi kompleksitas structural yang menghasilkan suatu penyelesaian optimal dengan strategi inisialisasi yang setidaknya sama baiknya dengan hasil yang telah diteliti sebelumnya dengan perhitungan waktu lebih sedikit untuk mencapai konvergensi. Pada tahun yang sama, Alva-Argaez, Kokossis, dan Smith (2007) meneliti pendekatan sistematis untuk mena-ngani kembali air di kilang minyak.
Karuppiah dan Grossmann (2008) menyajikan formulasi untuk mengoptimalkan jaringan air terpadu operasi di bawah kondisi tidak pasti dari beban kontaminan dalam unit proses dan kepindahan kontaminan dari unit treatment. Mereka merumuskan multi-skenario nonconvex Model MINLP untuk mengoptimisasikan sebuah operasi global jaringan air terpadu dengan ketidakpastian. Selanjutnya, mereka meneliti suatu algoritma yang menggabungkan konsep relaksasi Lagrangian dan relaksasi non konvek untuk menghasilkan batas-batas kuat untuk optimisasi global.
Sebagian besar analisis didasarkan pada linierisasi model nonlinier, atau menggunakan model linier untuk memberikan inisialisasi untuk model nonlinier, yang diselesaikan dengan pemecah optimasi lokal.
10 Universitas Sumatera Utara
BAB 3 PEMROGRAMAN STOKASTIK
3.1 Pengertian Pemrograman Stokastik
Persoalan keputusan dapat dimodelkan dengan menggunakan program matematik, tujuannya adalah untuk pastikan nilai maksimum atau minimum. Keputusan yang dihasilkan bergantung kepada kendala yang dibatasi oleh sumber dana, persyaratan minimum dan lain-lain. Keputusan dinyatakan oleh variabel berupa bilangan cacah atau nonnegatif. Sebagai contoh dari persoalan data termasuk biaya perunit, rata-rata produksi, penjualan atau kapasitas.
Andaikan keputusan dinyatakan dengan variabel (x1, x2, . . . , xn). Sebagai contoh xi menyatakan produksi ke-i dari n produk. Bentuk umum program matematikanya adalah :
min Z = f (x)
kendala fi(x) ≥ bi, i = 1, 2, . . . , n
(3.1.1)
x ≥ 0, x ∈ X
dimana X adalah himpunan bilangan real non negatif.
Program stokastik adalah sebuah nama yang menyatakan program matematika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear dengan menampilkan elemen stokastik pada data. Sehingga program stokastik dapat dinyata bahwa :
a. Pada program matematika deterministik, data adalah bilangan-bilangan
yang diketahui.
11 Universitas Sumatera Utara
b. Pada program stokastik, data merupakan bilangan tidak pasti yang disajikan sebagai distribusi peluang.
Program stokastik adalah merupakan program matematika, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung ketidakpastian, ketidakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada parameter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat, tetapi pada prakteknya diberikan beberapa skenario yang spesifik dan distribusi peluang gabungan yang cepat.
Ada dua model dalam permasalahan program stokastik, yaitu :
1. Recourse Models (Model Rekursif) 2. Probabilistically Constrained Models (Model Kendala Berpeluang)
Dalam persoalan program stokastik adalah membuat sebuah keputusan sekarang dan meminimumkan biaya rata-rata harapan sebagai konsekuensi dari keputusan, paradigma ini dikenal sebagai model recourse. Andaikan x adalah vektor keputusan yang diambil, dan y(w) adalah sebuah vektor keputusan yang menyatakan aksi terbaru atau konsekuensi dari x. Himpunan berbeda yang berisi y akan dipilih dari tiap-tiap hasil yang mungkin dari w. Formulasi dua tahapnya adalah
min h1(x) + E[h2 y(w), w ]
kendala
g1(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0
12 Universitas Sumatera Utara
f1(x, y(w)) ≤ 0, ∀w ∈ W MM
fk(x, y(w)) ≤ 0, ∀w ∈ W
(3.1.2)
x ∈ X, y(w) ∈ Y
dimana himpunan kendala f1, f2, . . . , fk, menggambarkan hubungan antara keputusan tahap pertama x dan keputusan tahap kedua y(w). Dicatat bahwa dipersyaratkan tiap-tiap kendala dipenuhi dengan peluang 1, atau untuk setiap w ∈ W yang mungkin. Fungsi h2 merupakan penyelesaian yang sering muncul dari persoalan matematika. Tidak dibutuhkan untuk membuat korelasi yang berubah-ubah (recourse) untuk keputusan tahap pertama, perlu untuk dibuat korelasi yang terbaik.
Untuk persoalan tahap ganda, pengaruh keputusan sekarang akan ditunggu untuk beberapa ketidakpastian yang diselesaikan kembali (direalisasikan), sehingga pembuatan keputusan yang lain didasarkan pada apa yang terjadi. Tujuannya adalah untuk meminimumkan biaya yang diharapkan dari semua keputusan yang diambil.
Pada beberapa kasus, dapat digunakan suatu model yang lebih tepat untuk mencoba pastikan sebuah keputusan, yang mana keputusan tersebut dijamin oleh himpunan kendala yang akan dipenuhi oleh sebuah peluang tertentu. Model umum dengan kendala berpeluang disebut probabilistically constrained models
13 Universitas Sumatera Utara
yang dirumuskan sebagai berikut : min Z = f (x)
kendala P [g1(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0] ≥ α h1(x) ≤ 0 h2(x) ≤ 0 x∈X
(3.1.3)
3.2 Program Stokastik Dua Tahap
Banyak persoalan perencanaan dan manajemen yang mengandung resiko dan ketidakpastian dibahas dan diselesaikan dengan program stokastik dua tahap. Persoalan stokastik dengan kompensasi dari divergensi pada sistem dengan kendala mempunyai aplikasi yang lebih banyak dari pada model program yang lain. Penyelesaian persoalan program stokastik dua tahap berisi vektor acak dan vektor deterministik. Pada tahap pertama, penyelesaian persoalan rencana awal deterministik akan dibuat. Pembentukan rencana awal deterministik dilakukan sebelum kondisi acak dari persoalan ditentukan. Sebuah vektor acak pada penyelesaian persoalan yang sesuai digunakan untuk merencanakan kompensasi divergensi, spesifikasi parameter dari persoalan akan muncul pada tahap kedua. Tujuan dari manager pada persoalan di atas adalah meminimum nilai rata-rata biaya, yang mana tidak hanya termasuk pengeluaran pada tahap perencanaan pendahuluan tetapi juga pada tahap kedua yang diperlukan untuk mengkompensasi pada divergensi di dalam sistem kendala persoalan. Jika persoalan program stokastik dengan model dua tahap dapat diselesaikan maka pemilihan dari ren-
14 Universitas Sumatera Utara
cana awal deterministik akan menjamin keberadaan (eksistensi) vektor acak di dalam kompensasi untuk sistem yang divergen.
Andaikan terdapat persoalan berikut :
min(C, X) A0X = B0 AX = B
X ≥0
(3.2.1) (3.2.2) (3.2.3) (3.2.4)
dimana
C = {cj} , j = 1, 2, . . . , m B = {bi} , i = 1, 2, . . . , m B0 = bk0 , k = 1, 2, . . . , m A0 = ak0j , k = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n A = aij , i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n
Andaikan elemen dari matriks A = A(ω), vektor B = B(ω) dan C = C(ω) bernilai acak. Maka untuk proses penyelesaian dari persoalan (3.2.1 - 3.2.4) akan dibagi menjadi dua tahapan, sebelum pengamatan dari parameter acak pada kondisi dari tahap pertama dipilih rencana non-negatif deterministik X0 yang memenuhi kondisi (3.2.2) pada tahap kedua ditentukan spesifikasi ω0 dari setiap kejadian acak yang bersamaan (sesuai) dengan nilai A(ω0) dan B(ω0). Hitung divergensi B(ω0) − A(ω0)X0 yang muncul pada kondisi (3.2.3) setelah realisasi ω0 ∈ Ω. Definisikan vektor kompensasi divergensi Y ≥ 0 yang sesuai dengan hubungan
15 Universitas Sumatera Utara
berikut
D(ω0)Y (ω0) = B(ω0) − A(ω0)X0
(3.2.5)
dimana D = dil , i = 1, 2, . . . , m; l = 1, 2, . . . , n1 adalah sebuah matriks kompensasi yang berisi elemen acak. Sehingga diasumsikan bahwa realisasi acak ω yang diamati pada tahap kedua tidak bergantung pada pemilihan rencana pendahuluan X0.
Perhatikan persoalan program matematika berikut :
Tentukan vektor X berdimensi n dan vektor Y (ω) berdimensi n1, ω ∈ Ω. Yang
menghasilkan
min Eω{(C(ω), X) + min(H, Y (ω))}
XY
(3.2.6)
dengan kendala
A0X = B0 A(ω)X + D(ω)Y (ω) = B(ω), ω ∈ Ω
X ≥ 0, Y (ω) ≥ 0
(3.2.7) (3.2.8) (3.2.9)
H adalah vektor penalty yang bergantung pada nilai kompoinen dari vektor Y (ω) yang mana merupakan kompensasi divergensi. E adalah notasi ekspekstasi matematika setelah ditentukan rencana awal X0, dipilih komponen vektor Y (ω) dengan cara menjamin penalty minimum untuk kompensasi divergensi pada kondisi dari persoalan. Dengan kata lain, setelah ditentukan vektor X0, perlu menyelesaikan persoalan
{min(H, Y (ω)) D(ω)Y (ω) = B(ω) − A(ω)X0, Y (ω) ≥ 0}
Y
(3.2.10)
16 Universitas Sumatera Utara
Persoalan (3.2.10) akan menpunyai banyak rencana, vektor Y (ω) tidak dapat ditentukan pada tiap ω ∈ Ω yang menjamin penemuan kondisi (3.2.8). Persoalan (3.2.6-3.2.9) dikenal sebagai persoalan program stokastik dua tahap dan persoalan (3.2.10) adalah persoalan tahap kedua.
Model dan pendekatan dari penyelesaian persoalan program stokastik dua
tahap dapat digunakan untuk perspektif perencanaan dan operasional manaje-
men, karena selalu terdapat keacakan yang mempengaruhi yang sudah direnca-
nakan pada sistem manajemen (pelaksanaan). Model dua tahap juga kurang
sensentif terhadap perubahan pada parameter dari kondisi persoalan, yang me-
nyebabkan lebih stabil. Akibatnya vektor dapat diterima untuk rencana tahap
pertama yang diperlukan untuk setiap ω ∈ Ω, terdapat vektor Y ≥ 0 sedemikian
hingga
D(ω)Y (ω) = B(ω) − A(ω)X
(3.2.11)
Andaikan kendala tambahan yang disebutkan secara implisit pada (3.2.11) muncul pada tahap kedua dari persoalan yang dihasilkan; dan andaikan kondisi yang ditentukan pada vektor non-negatif X dari persamaan (3.2.7) sudah ditentukan.
Andaikan himpunan K1 = {X : A0 = B0, X ≥ 0} didefinisikan oleh kendala yang sudah ditentukan tetapi K2 = {X : ∀ω ∈ Ω, ∃Y ≥ 0, A(ω)X = B(ω) − D(ω)Y (ω)} didefinisikan oleh kendala yang dihasilkan. Maka himpunan K = K1 ∩ K2 adalah himpunan vektor X yang layak memenuhi persoalan (3.2.6)(3.2.9). Jika X ∈ K, maka vektor X memenuhi kendala yang sudah ditentukan
17 Universitas Sumatera Utara
A0X = B, X ≥ 0 dan sampai itu, persoalan tahap kedua (3.2.3) akan memiliki banyak rencana.
Untuk perhitungan lanjutan diperlukan hasil berikut :
Teorema 3.2.1 Himpunan K dengan vektor X pada persoalan program stokastik dua tahap adalah konveks.
Bukti : K = K1 ∩ K2 tetapi K1 = {X : A0 = B0, X ≥ 0} adalah konveks. Definisikan untuk ω ∈ Ω yang ditentukan pada himpunan K2ω = {X|∃Y (ω) ≥ 0} sedemikian hingga A(ω)X = B(ω) − D(ω)Y (ω) adalah konveks. Hal ini menyatakan bahwa K2 = ∩ω∈ΩK2ω dan K = K1 ∩ K2 adalah himpunan konveks sebagi pertolongan himpunan konveks.
3.3 Pengertian Dasar Program Stokastik Tahap Ganda
Persoalan program stokastik dinamik digeneralisasi oleh kasus dua tahap. Banyak persoalan praktis yang berupa perencanaan, perancangan dan manajemen tidak dapat digambarkan dengan bantuan model statis. Untuk model bertujuan, metode program stokastik tahap ganda seringkali digunakan. Model program stokastik tahap ganda dan metode untuk realisasi secukupnya bergantung pada informasi mengenai nilai parameter di dalam kondisi persoalan, dimana memiliki waktu untuk membuat keputusan selanjutnya. Persoalan dinamik dari tiap-tiap tahap berurutan disyaratkan untuk melengkapi kompensasi divergensi yang dikondisikan oleh kondisi realisasi persoalan dan oleh pembuatan keputusan tercepat dari tahap sebelumnya. Pada masalah yang lain, disyaratkan bahwa tiap-tiap
18 Universitas Sumatera Utara
tahap peluang yang memenuhi kendala tidak melebih nilai tertentu yang diberikan sebelumnya atas ekspektasi matematika pada fungsi dari divergensi di dalam kondisi yang dibatasi oleh bilangan yang diberikan atau nilai dari fungsi pada parameter acak yang direalisasikan pada tahap sebelumnya.
Persoalan dinamik akan memiliki salah satu bentuk yaitu : tidak dapat dikondisikan, kondisi probabilistik atau kendala statistik. Untuk persoalan dinamik dengan kendala tidak dapat dikondisikan, karakteristik keputusan adalah membuat pada basis informasi mengenai distribusi yang dikombinasikan oleh parameter acak dari kondisi pada semua tahapan. Pada persoalan dinamik dengan kondisi dua kasus kendala dapat dibedakan menjadi : (a) momen pembuatan keputusan hanya realisasi dari parameter acak pada tahap sebelumnya yang diperkirakan diketahui dan (b) momen pembuatan keputusan melengkapi informasi yang tersedia mengenai realisasi parameter acak yang dinyatakan dengan tahapan, tetapi nilai dari parameter acak pada tahapan berurutan tidak diketahui.
Penyelesaian optimisasi untuk persoalan program stokastik dinamik dapat diperoleh dengan strategi murni atau campuran. Pada komponen kasus akhir dari penyelesaian atau karakteristik statistik dari distribusi yang memberikan penyelesaian akan bergantung pada nilai parameter acak di dalam kondisi persoalan, yang direalisasikan oleh momen pembuatan keputusan.
Untuk perhitungan selanjutnya dalam analisis persoalan program stokastik tahap ganda, didefinisikan konsep yang diberikan berikut ini. Andaikan terdapat tahap ke-i yaitu Ωi, i = 0, 1, . . . , n untuk beberapa ruang kejadian elementer
19 Universitas Sumatera Utara
ωi, dimana Ω0 berisi satu elemen ω0. Andaikan Ωk adalah descartian product Ωi, i = 1, 2, . . . , k; ωk = (ω1, . . . , ωk), Ωn = Ω dan andaikan pada Ω diberikan ukuran probabilistik p yang didefinisikan dengan cara : jika A ⊂ Ωk maka pk(A) =
p(A × Ωk+1 × . . . × Ωn). Diperkenalkan ruang probabilistik (Ω, Σ, P ) dengan
berkaitan dengan σ-algebra, definisikan Pk sebagai kondisi ukuran probabilistik
pada Ωk
Pk A|ωk−1 ∈ B
=
Pk(A × B) Pk(Ωk × B)
untuk sembarang A ⊂ Ωk, B ⊂ Ωk−1.
Xk dinyatakan sebagai descartian product Xi, i = 1, 2, . . . , k; Xk = (x1, . . . , xk) ∈ Xk, Xn ≡ X dimana X0, X1, . . . , Xn adalah barisan himpunan dari struktur sembarang Xk ∈ Xk, k = 0, 1, . . . , n dan himpunan X termasuk satu titik X0.
Andaikan mk diberikan sebagai fungsi vektor pada ϕk(ωk, Xk) berdimensi untuk setiap ωk ∈ Ωk, Xk ∈ Xk, k = 1, . . . , n dan juga untuk setiap ω ∈ Ω
pada himpunan X fungsi ϕ0(ωn, Xn). Masukkan himpunan acak Gk0 = G0k(ωk)
dan bk(ωk−1)mk fungsi vektor Bk dinyatakan sebagai ruang Banach yang termasuk
pada fungsi vektor berdimensi bk(ωk−1)
k i=1
mi
.
Akhirnya, Eωk
U (ωk)
ωk−1
me-
nyatakan kondisi ekspektasi matematika U (ωk) dibawah perkiraan realisasi ωk−1
yang diketahui.
Andaikan dibahas model berbeda pada persoalan program stokastik tahap ganda dengan menggunakan notasi yang diperkenalkan di atas.
20 Universitas Sumatera Utara
Andaikan terdapat persoalan program stokastik tahap ganda :
Eϕ0 = ωn, Xn) → inf, Eϕk = ωk, Xk) ≥ bk Xk ∈ Gk, k = 1, 2, . . . , n
(3.3.1) (3.3.2) (3.3.3)
Untuk memformulasi persoalan secara lengkap, diperlukan titik luar apakah kendala yang tidak dapat dikondisikan atau kondisional, apakah penyelesaian persoalan ditentukan dengan strategi murni atau strategi campuran, dan di dalam kelas fungsi yang terukur atau distribusi yang akan mendapatkan penyelesaian. Persoalan praktisnya akan bergantung pada makna isi, penyelesaian pada tiap-tiap tahap dapat dihitung sebagai vektor deterministik atau sebagai rule-function pada penyelesaian dari realisasi dan parameter acak yang diobservasi dari kondisi, atau sebagai distribusi pastikan distribusi kontinu Xk dengan perkiraan informasi yang diperlukan mengenai nilai yang direalisasikan data initial acak yang diperoleh model konkrit untuk persoalan dan struktur informasinya ditentukan oleh keputusan selanjutnya. Di dalam syarat-syarat yang diajukan oleh Ermolyev (1970), hasil-hasil persoalan stokastik tahap ganda dari rangkaian tipe
Pengamatan - Keputusan - Pengamatan - . . . - Keputusan Keputusan - Pengamatan - Keputusan - . . . - Keputusan
Persoalan stokastik tahap ganda dengan kendala yang tidak dapat dikondi-
21 Universitas Sumatera Utara
sikan adalah
ϕΩn×Xn 0 ωn, Xn dFωn,Xn → inf, ϕΩk×Xk k ωk, X k dFωk,Xk , Xk ∈ Gk, k = 1, 2, . . . , n
(3.3.4) (3.3.5) (3.3.6)
Pemilihan beberapa kelas yang paling menarik untuk aplikasi dari sejumlah struktur informasi yang merupakan persyaratan persoalan program tahap ganda dengan kendala kondisional. Model kongkrit dari (3.3.1)-(3.3.3) pada kasus persoalan dengan kendala kondisional, diselesaikan dengan strategi campuran adalah:
ϕΩn×Xn 0 ωn, Xn dFωn,Xn → inf, ϕΩk×Xk k ωk, X k dFωk|ωdFωk|ωk−1 ≥ bk ωk−1 ,
Xk ∈ Gk(ωk), k = 1, 2, . . . , n
(3.3.7) (3.3.8) (3.3.9)
Penyelesaian persoalan akan menjadi himpunan fungsi distribusi FXk|ωk. Biasanya untuk mengatakan persoalan diselesaikan dengan distribusi yang ditentukan kemudian jika FXk|ωk didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan parameter acak ωk, distribusi yang ditentukan kemudian bergantung pada Xk−1 dan ωk. Dikatakan bahwa persoalan yang diselesaikan dengan distribusi yang ditentukan sebelumnya, jika FXk|ωk didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan ωk−1 tetapi sebelum pengamatan ωk, distribusi yang ditentukan sebelumnya bergantung pada Xk−1 dan ωk−1.
Jika persoalan tahap ganda dengan kendala kondisional diselesaikan dengan
22 Universitas Sumatera Utara
strategi murni, model konkrit (3.3.1)-(3.3.3) akan menjadi :
ϕΩn×Xn 0 ωn, Xn dFωn → inf, ϕΩk×Xk k ωk, X k dFωk|ωk−1 ≥ bk ωk−1 ,
Xk ∈ Gk(ωk), k = 1, 2, . . . , n
(3.3.10) (3.3.11) (3.3.12)
Fungsi Xk dari parameter acak yang direalisasikan dan diamati pada kondisi dari persoalan merupakan penyelesaian. Persoalan diselesaikan dengan aturan yang ditentukan kemudian jika keputusan dibuat setelah realisasi dan pengamatan ωk; aturan-aturan yang ditentukan kemudian untuk penyelesaian sedemikian hingga Xk = Xk(ωk). Dikatakan bahwa persoalan diselesaikan dengan aturan yang ditentukan sebelumnya jika keputusan dibuat setelah realisasi dan pengamatan ωk−1, tetapi sebelum pengamatan ωk. Pada kasus aturan sebelumnya :
Xk = Xk(ωk−1)
Biasanya, persoalan (3.3.7) - (3.3.9) atau (3.3.10) - (3.3.12) dikenal sebagai persoalan stokastik tahap ganda dengan rigid model, jika kondisi (3.3.8) atau (3.3.11) tidak dihadirkan, keputusan tiap-tiap tahap dibuat setelah observasi kondisi dan keputusan pada tahap sebelumnya.
Relasi tertentu yang dimiliki antara determinasi domain untuk persoalan
dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan dan kendala yang dapat dikondi-
sikan. Pernyataan berikut akan menggeneralisasi hasil yang diperoleh, yang telah
dikerjakan oleh Eismer (1971) untuk persoalan stokastik tahap ganda parsial li-
near.
23 Universitas Sumatera Utara
Andaikan U adalah himpunan penyelesaian yang layak untuk persoalan stokastik tahap ganda dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan
U = {Xk ∈ Gi × . . . × Gn Eϕk(ωk, Xk) ≥ bk, k = 1, 2, . . . , n} Dan V bn ωn−1 adalah himpunan penyelesaian (aturan penyelesaian, distribusi sebelum atau sesudah penyelesaian) pada persoalan dengan kendala kondisional.
Teorema 3.3.1 Himpunan U dan V adalah terhubung oleh relasi U = Xn ∈ V ˜bn ωn−1 E˜bk ωk−1 = bk, k = 1, 2, . . . , n
Bukti : V˜ = Xn ∈ V ˜bn ωn−1 E˜bk ωk−1 = bk, k = 1, 2, . . . , n . Andaikan Xn ∈ V˜ . Yang menyatakan bahwa
Eωk ϕk ωk, Xk = Eωk−1 Eωk ϕk ωk, X k ωk−1 ≥ Eωk−1˜bk ωk−1 = bk; k = 1, 2, . . . , n,
karena Xn ∈ U . Andaikan Xn ∈ U , definisikan ˜bk ωk−1 = Eωk ϕk ωk, Xk ωk−1 + bk − Eωk ϕk ωk, Xk ≤ Eωk ϕk ωk, Xk ωk−1 , k = 1, 2, . . . , n
Dengan definisi ˜bk(ωn−1) didapatkan Eωk−1˜bk(ωk−1) = bk. Sehingga Xn ∈ V˜ .
Akibat. Dengan fungsi sama ϕk(ωk, Xk) dan himpunan Gk, k = 1, 2, . . . , n, domain penyelesaian layak dari persoalan (3.3.4) - (3.3.6) dan (3.3.7) - (3.3.9) atau (3.3.10) - (3.3.12) (bergantung pada persoalan yang diselesaikan dengan
24 Universitas Sumatera Utara
strategi campuran atau strategi murni) bersamaan bentunya jika dan hanya jika Ebk(ωk−1) = bk.
Pernyataan di atas menyebabkan kemungkinan untuk memformulasi ulang hasil kualitatif dan seringkali juga menghitung metode yang dikerjakan untuk persoalan dengan kelas tertentu dan untuk investigasi konstruktif pada persoalan kelas lain.
Relasi antara distribusi penyelesaian dan aturan penyelesaian sangat menarik. Jika fungsi ϕ0 adalah konveks dan komponen fungsi vektor ϕk adalah konkaf pada X dengan tiap-tiap ω, maka nilai optimisasi dari fungsi objektif yang dicapai pada distribusi penyelesaian dapat dicapai juga dengan aturan penyelesaian. Konveksitas dari ϕ0 dan −ϕk tidak menghabiskan kondisi dengan strategi optimisasi murni dan strategi campuran yang didefinisikan menyatu dan nilai sama dari f