DIMENSI PARTISI GRAF AMALGAMASI BINTANG nS_(m,k)
PARTITION DIMENSION OF AMALGAMATION OF STARS GRAPH
Abstract
by
Ana Istiani
Given graph G = (V,E),
and
. The distance between v and
{
} , where
S is d(v,S) =
is the distance from v to x.
} as the partition of V(G). The representation of v with respect
Let = {
to is the k-vectors r(v| Π) = (d(v, S1), d(v, S2),..., d(v, Sk)). The partition is called
as a resolving partition of
if
∣
∣
for every two different
vertices of V(G). The partition dimension of G, written as pd(G) is the minimum k
for which there is a resolving k-partition. The amalgamation of star graphs
obtained from n copies of amalgamation stars
by connecting a leaf from each
through a path. The result of the research is
(
)
{
for k ≥ m.
Keyword : graph, distance, partition, partition dimension, amalgamation of stars,
DIMENSI PARTISI GRAF AMALGAMASI BINTANG
Abstrak
Oleh
Ana Istiani
Misalkan G = (V,E) suatu graf,
dan
. Jarak dari titik v ke
{
} dengan
himpunan S, dinotasikan dengan d(v,S) adalah
} adalah partisi dari V(G).
{
adalah jarak dari titik v ke x. Misalkan
Representasi v terhadap dinotasikan dengan
∣
adalah
). Selanjutnya disebut partisi
k - pasang terurut (
pembeda dari V(G) jika
∣
∣
untuk setiap dua titik berbeda u,
. Dimensi partisi dari G, dinotasikan dengan pd (G), adalah nilai k terkecil
sehingga G mempunyai partisi pembeda dengan k kelas. Graf amalgamasi bintang
diperoleh dari n buah graf amalgamasi bintang
dengan cara
menghubungkan sebuah daun dari setiap
melalui sebuah lintasan. Hasil dari
penelitian ini adalah
(
)
{
untuk k ≥ m.
Kata Kunci : graf, jarak, partisi, dimensi partisi, amalgamasi bintang
DIMENSI PARTISI GRAF AMALGAMASI BINTANG
Oleh
Ana Istiani
Tesis
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar
Magister Sains
Pada
Jurusan Matematika Program Studi Magister Matematika
Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015
DIMENSI PARTISI GRAF AMALGAMASI BINTANG
TESIS
Oleh
Ana Istiani
MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
1.
Jembatan Konigsberg ..................................................................................... 1
2.
Graf
3.
Contoh graf dengan 5 titik dan 7 sisi ............................................................. 6
4.
Contoh graf lengkap ...................................................................................... 8
5.
Contoh graf tak lengkap ................................................................................. 8
6.
Contoh Lintasan ............................................................................................. 8
7.
Graf Terhubung ............................................................................................. 9
8.
Graf Tak Terhubung ..................................................................................... 9
9.
Contoh pohon G dengan enam titik ............................................................... 10
...................................................................................................... 4
10. Contoh Hutan ................................................................................................. 10
11. Graf Bintang
........................................................................................... 12
12. Graf Bintang Ganda
................................................................................ 13
13. Contoh graf Ulat ........................................................................................... 13
14. Dimensi Partisi Graf G................................................................................... 14
15. Dimensi Partisi Graf Bintang
.................................................................. 17
16. Dimensi Partisi Graf Ulat
,
.................................................................... 18
17. Dimensi Partisi Graf Ulat
.......................................................................... 19
18. Dimensi Partisi Graf Ulat
.......................................................................... 20
19. Partisi Pembeda pada Graf
untuk n ≤ 4 ................................................ 26
20. Partisi Pembeda pada Graf
untuk n lainnya ........................................... 27
21. Partisi Pembeda pada Graf
.................................................................... 28
22. Partisi Pembeda pada Graf
untuk n = 1 ................................................ 29
23. Partisi Pembeda pada Graf
.................................................................... 30
24. Partisi Pembeda pada Graf
untuk n = 1 ................................................ 31
25. Partisi Pembeda pada Graf
untuk n ≥ 1 ................................................ 32
26. Partisi Pembeda pada Graf
untuk n = 1 ................................................ 33
27. Partisi Pembeda pada Graf
untuk n ≥ 2 ................................................ 34
28. Partisi Pembeda pada Graf
untuk n ≤ 4 ................................................ 35
29. Partisi Pembeda pada Graf
untuk n lainnya .......................................... 36
30. Partisi Pembeda pada graf nS2,2 ..................................................................... 38
31. Partisi Pembeda pada graf S2,3 untuk n = 1.................................................... 39
32. Partisi Pembeda pada graf nS2,3 untuk n ≥ 2 .................................................. 40
33. Partisi Pembeda pada graf nS2,4 untuk n = 1.................................................. 41
34. Partisi Pembeda pada graf nS2,4 untuk n ≥ 2 .................................................. 42
35. Partisi Pembeda pada graf nS2,k untuk n =1 ................................................... 43
36. Partisi Pembeda pada graf nS2,k untuk n lainnya ............................................ 44
37. Partisi Pembeda pada graf nS3,1 .................................................................... 45
38. Partisi Pembeda pada graf nS3,2 .................................................................... 47
39. Partisi Pembeda pada graf nS3,3 .................................................................... 48
40. Partisi Pembeda pada graf nS3,4 .................................................................... 49
41. Partisi Pembeda pada graf nS3,5 untuk n ≥ 1 .................................................. 50
42. Partisi Pembeda pada graf nS3,k untuk n ≥ 1 .................................................. 51
43. Partisi Pembeda pada graf nS3,k untuk n ≥
................................................ 52
44. Partisi Pembeda pada graf nS5,1 untuk n = 1.................................................. 54
45. Partisi Pembeda pada graf nS5,1 untuk n ≥ 2 .................................................. 55
46. Partisi Pembeda pada graf nS5,2 untuk n = 1.................................................. 56
47. Partisi Pembeda pada graf nS5,2 untuk n ≥ 2 .................................................. 57
48. Partisi Pembeda pada graf nS5,3 untuk n ≥ 1 .................................................. 58
49. Partisi Pembeda pada graf nS5,4 untuk n ≥ 1 .................................................. 59
50. Partisi Pembeda pada graf nS5,5 untuk n ≥ 1 .................................................. 61
51. Partisi Pembeda pada graf nS5,k untuk 1≤ n ≤
52. Partisi Pembeda pada graf nS5,k untuk n ≥
53. Partisi Pembeda pada graf nS5,8 untuk 1≤ n ≤
.......................................... 63
................................................ 64
.......................................... 65
54. Partisi Pembeda pada graf nSm,k untuk kasus 1≤ n ≤
-
............................. 68
55. Partisi Pembeda pada graf nSm,k untuk kasus n lainnya ................................. 70
56. Kontruksi graf
...................................................................................... 70
57. Partisi Pembeda pada graf nSm,k untuk kasus n lainnya.................................. 71
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISIi
DAFTAR GAMBAR
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah ........................................................... 1
1.2 Batasan Masalah ....................................................................... 4
1.3 Tujuan Penelitian...................................................................... 5
1.4 Manfaat Penelitian.................................................................... 5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Konsep Dasar Graf ................................................................... 6
2.2 Graf Pohon dan Beberapa Sifatnya .......................................... 10
2.3 Dimensi Partisi Graf ................................................................. 13
BAB III METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .................................................. 24
3.2 Metode Penelitian..................................................................... 24
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Dimensi Partisi Graf (
4.2 Dimensi Partisi Graf (
4.3 Dimensi Partisi Graf (
) .................................................... 26
) .................................................... 28
) .................................................... 29
4.4 Dimensi Partisi Graf (
) .................................................... 31
4.6 Dimensi Partisi Graf (
) .................................................... 35
4.5 Dimensi Partisi Graf (
4.7 Dimensi Partisi Graf (
4.8 Dimensi Partisi Graf (
) .................................................... 33
) .................................................... 37
) .................................................... 39
4.9 Dimensi Partisi Graf (
) .................................................... 41
4.11 Dimensi Partisi Graf (
) .................................................. 45
4.10 Dimensi Partisi Graf (
4.12 Dimensi Partisi Graf (
4.13 Dimensi Partisi Graf (
) .................................................. 43
) .................................................. 46
) .................................................. 48
4.14 Dimensi Partisi Graf (
) .................................................. 49
4.16 Dimensi Partisi Graf (
) .................................................. 51
4.15 Dimensi Partisi Graf (
4.17 Dimensi Partisi Graf (
4.18 Dimensi Partisi Graf (
4.19 Dimensi Partisi Graf (
4.20 Dimensi Partisi Graf (
4.21 Dimensi Partisi Graf (
) .................................................. 50
) .................................................. 52
) .................................................. 54
) .................................................. 56
) .................................................. 58
) .................................................. 59
4.22 Dimensi Partisi Graf (
4.23 Dimensi Partisi Graf (
4.24 Dimensi Partisi Graf (
) .................................................. 61
) .................................................. 63
) ................................................. 68
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan.............................................................................. 72
5.2 Saran ......................................................................................... 73
DAFTAR PUSTAKA
MOTO
Jika kita meringankan beban kesulitan hidup orang lain
InsyaAlloh Alloh akan meringankan beban kita di dunia dan
akherat.
PERSEMBAHAN
Karya tulis ini kupersembahkan untuk suamiku Eko Kusmiran
Buah hatiku
Naswa Larissa Baiduri, Apta Ghani Yudhistira, Danendra Labib Bayusuta
RIWAYAT HIDUP
Penulis di lahirkan di desa Pandansari pada tanggal 24 Desember 1983 merupakan
anak kedua dari lima bersaudara pasangan bapak Suyut dan ibu Sugini. Pada tanggal
22 September 2005 penulis menikah dengan Eko Kusmiran dan diberi karunia tiga
orang anak, Naswa Larissa Baiduri (8 tahun), Apta Ghani Yudhistira (5 tahun),
Danendra Labib Bayusuta (2 tahun).
Pendidikan formal yang pernah ditempuh :
1. Sekolah Dasar Negeri 1 Pandansari pada tahun 1990-1996
2. Sekolah Menengah Pertama Negeri 2 Sukoharjo pada tahun 1996-1999
3. Sekolah Menengah Atas Negeri 1 Pringsewu pada tahun 1999-2002
4. S1 Pendidikan Matematika di STKIP Muhammadiyah Pringsewu Lampung
pada tahun 2002-2006
Pada tahun 2008 sampai dengan 2014 penulis bekerja sebagai guru di SD
Muhammadiyah Pringsewu dan sebagai tenaga pengajar di STKIP Muhammadiyah
Pringsewu.
SANWACANA
Rasa syukur terucap kepada Alloh SWT, sehingga penulis dapat menyelesaikan
pendidikan S2 dengan gelar Magister Sains di Universitas Lampung.
Penulis menyadari bahwa penulisan tesis ini tidak terlepas dari bantuan semua pihak.
Terimakasih penulis ucapkan kepada :
1.
Ibu Dr. Asmiati, M.Si. selaku pembimbing 1 yang telah sabar dan telaten dalam
memberikan arahan dan sumbangan pemikiran dalam penulisan tesis ini.
2.
Ibu Dra. Wamiliana,M.A, Ph.D. selaku pembimbing 2 yang begitu teliti dalam
memeriksa penulisan tesis ini.
3.
Bapak Drs. Suharsono, M.S.,M.Sc., Ph.D. selaku pembahas yang telah
memberikan saran yang terbaik untuk penulisan tesis ini.
4.
Bapak Drs. Mustofa Usman, M.A., Ph.D., selaku ketua program studi yang telah
memberikan motivasi.
5.
Seluruh staf pengajar Universitas Lampung yang telah membantu penyelesaian
proses studi.
6.
Ibu Dr. Triyuni Hendrowati, M.Pd yang selalu memberikan semangat dan
motivasi untuk melanjutkan studi.
7.
Teman-teman STKIP Muhammadiyah Pringsewu yang memberikan dukungan
sehingga proses studi ini dapat terselesaikan.
8.
Kepada Orang tuaku terimakasih atas doa yang tak henti-hentinya, mbak dan
Adek-adekku yang telah mendukung studi ini.
9.
Suamiku, anak-anakku Naswa, Apta, Suta yang selalu menjadi motivasi dan
penyemangat hidup terimakasih atas pengertiannya selama ini.
10. Teman-teman seperjuangan OR Club‟s (Suly, Mbak Ayu, Mbak Ike, Agus Mbak
Uty, Mbak Fita, Pak Edy, Kak Permata) dan teman-teman Statistik
(Mbak Herly, Mbak Ade, Mbak Dwi, Ayu, Viviana, Rini, Pak War, Kris, Ibnu,
Rahman, Nurman, Pak Anton) yang selalu menjalin kerjasama dan kebersamaan
dalam sedih maupun senang, pengalaman kuliah yang tak terlupakan.
Penulis menyadari tesis ini masih jauh dari sempurna sehingga saran maupun kritik
yang membangun sangat diharapkan . Semoga tulisan ini dapat memberikan manfaat
dan semoga Alloh SWT memberikan keberkahan kepada semua pihak yang telah
membantu terselesainya studi ini. Aamiin Yaa Robal „Alamin.
Bandar Lampung,
Penulis
Desember 2015
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan salah satu bagian ilmu dari matematika dan merupakan
pokok bahasan yang relatif muda jika dibandingkan dengan cabang ilmu
matematika yang lain seperti aljabar dan geometri.
Teori graf pertama kali
dikenalkan pada tahun 1736 oleh seorang matematikawan Swiss yang bernama
Leonard Euler untuk menyelesaikan permasalahan jembatan Konigsberg
(sekarang bernama Kaliningrad). Konigsberg merupakan suatu kota yang terletak
di bagian utara Jerman dan memberikan pengaruh besar tehadap sejarah
perkembangan teori graf.
Sungai Pregel yang melalui Konigsberg membagi
wilayah daratan menjadi empat bagian. Di atas sungai Pregel dibangun tujuh
jembatan yang menghubungkan keempat wilayah tersebut. Berikut gambar dari
jembatan Konigsberg.
Gambar 1. Jembatan Konigsberg
2
Graf merupakan kumpulan dari titik (vertex) dan sisi (edge) didefinisikan sebagai
G = (V,E). V menyatakan himpunan titik yang tak kosong dan E menyatakan
himpunan sisi yang merupakan pasangan sisi tak terurut dari titik-titik V. Setiap
sisi menghubungkan satu
titik ke
titik yang lain, dan setiap
titik dapat
mempunyai banyak sisi yang menghubungkannya ke titik yang lain.
Banyak penelitian telah dilakukan pada
graf, diantaranya
pelabelan sisi,
pelabelan titik, pewarnaan graf, teori Ramsey pada graf, dimensi partisi pada graf,
dan lain-lain.
Pada teori graf, terdapat cabang kajian yang disebut dimensi
metrik. Dimensi metrik pertama kali dikenalkan oleh Harary dan Melter pada
tahun 1976, kemudian dikembangkan menjadi dimensi partisi pertama kali oleh
Chartrand dkk. pada tahun 1998. Konsep dimensi partisi juga merupakan salah
satu konsep yang melatar belakangi munculnya konsep bilangan kromatik lokasi.
Misalkan G = (V,E) suatu graf,
. Jarak dari titik v ke
dan
himpunan S, dinotasikan dengan d(v,S) adalah
adalah jarak dari titik v ke x. Misalkan
{
{
} dengan
dari V(G) dengan
adalah kelas-kelas partisi dari
terhadap
dengan
(
V(G) jika
dinotasikan
∣
∣
).
|
Selanjutnya
adalah
k
} adalah partisi
. Representasi v
pasang
terurut
disebut partisi pembeda dari
untuk setiap dua titik berbeda u,
.
Dimensi partisi dari G, dinotasikan dengan pd (G), adalah nilai k terkecil sehingga
G mempunyai partisi pembeda dengan k kelas (Chartrand dkk.,1998).
3
Penentuan dimensi partisi dari graf terhubung sebelumnya telah dilakukan oleh
Chartrand dkk.(1998), khusus untuk kelas pohon diperoleh dimensi partisi dari
graf lintasan Pn, n ≥ 2, yaitu pd(Pn) = 2 dan graf bintang K
1,n,
yaitu pd(K1,n) = n.
Dimensi Partsisi Graf bintang ganda T berorde n ≥ 6, dengan x dan y dua titik
yang bukan daun, maka pd(T) =
{
}
. Selain itu mereka
mendapatkan batas atas dan batas bawah dimensi partisi dari graf ulat. Graf ulat
adalah graf pohon yang mempunyai sifat jika semua daunnya dihapus maka akan
menghasilkan lintasan (Asmiati,2012b). Penelitian terus dilakukan untuk
mendapatkan dimensi partisi graf terhubung lainnya. Kelas graf tertentu dapat
ditentukan dimensi partisinya secara tepat, tetapi pada kelas graf yang lain baru
dapat ditentukan batas atas atau batas bawahnya.
Chartrand dkk. (2000) telah mengkaji dimensi partisi pada graf bipartit Km,n dan
Tomescu dkk. (2007) untuk graf roda Wn
untuk n tertentu, dimensi partisi graf
roda Wn telah dapat dilakukan secara tepat. Misalnya, pd(Wn) = 3 untuk 4 ≤ n ≤ 7
dan pd(Wn) = 4 untuk 8 ≤ n ≤ 19. Pada tahun 2011 dan 2012, Asmiati dkk. telah
berhasil menentukan bilangan kromatik lokasi graf amalgamasi bintang
.
Selanjutnya Asmiati (2012) telah mendapatkan dimensi partisi pada graf
Amalgamasi Bintang.
Ketertarikan penulis pada penelitian ini adalah terkait masalah penentuan dimensi
partisi graf nSm,k untuk n,m,k sebarang bilangan asli.
4
1.2
Batasan Masalah
Graf
amalgamasi
bintang
adalah
graf
yang
diperoleh
dengan
mengidentifikasi sebuah daun dari setiap bintang. Titik hasil identifikasi disebut
pusat amalgamasi, dinotasikan dengan
. Titik yang berjarak satu dari pusat
amalgamasi disebut titik tengah, dinotasikan dengan
daun ke- dari titik tengah
adalah
,
dan titik
,
. Jika
dengan
untuk semua , graf bintang amalgamasi dinotasikan sebagai
Diberikan graf
l
1
l
23
l
l
1
1k
l
1
2
l
1
22
l
13
l
1
31
1
3k
1
1
l
m 1
1
l
m1
m1
l l
12
l
l
1
l
23
l
l
22
2
1k
( m 1)1
(m1)k
(m1)2
1
l
( m1)3
l
2
2
21
2
1
13
x1
2
l
2
3k
l
2
12
2
l l
m1
2
11
m 1
3
m
l l
l
l
31
2
2
2
33
32
2
l
l
l l
l
2
2
l
2
1
1
11
2
1
l
3
1
1
l2k2
33
32
21
1
l l
l
1
1
l
sebagai berikut
1
l21 k
.
2
( m 1) k
l
2
l
2
( m 1 )1
2
( m 1) 2
( m1)3
x2
m1
l
l
22
m 1
l l
1k
m1
l
2
m1
l
m 1
1
m 1
l
m1
3
21
l
m 1
3k
m 1
m1
l
(m1)k
mn
m1
l
m1
31
l13 l12 l11 l
m 1
m1
33
32
m1
m 1
23
l l
m1
2k
n
l
m1
(m1)k
m1
(m1)k
m 1
l
m1
(m1)k
xn
Gambar 2. Graf
Pada penelitian ini akan ditentukan dimensi partisi graf nSm,k , untuk setiap n,m,k
adalah sebarang bilangan asli.
5
1.3
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian tugas akhir ini adalah menentukan dimensi partisi dari graf
amalgamasi bintang nSm,k untuk n,m,k sebarang bilangan asli.
1.4
Manfaat Penelitian
Manfaat yang didapat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mengembangkan wawasan tentang teori graf terutama tentang dimensi partisi
dari graf amalgamasi bintang
.
2. Memberikan sumbangan pemikiran untuk memperluas dan memperdalam
ilmu matematika dalam bidang teori graf terutama tentang dimensi partisi dari
graf amalgamasi bintang .
3. Sebagai bahan kajian untuk referensi penelitian lanjutan mengenai dimensi
partisi dari suatu graf.
II.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini akan dijabarkan tentang dasar teori graf dan dimensi partisi pada
suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini.
2.1 Konsep Dasar Graf
Teori dasar mengenai graf yang akan digunakan dalam penelitian ini diambil dari
Deo, (1998).
Graf G adalah himpunan terurut
himpunan titik (vertex) {
menyatakan himpunan sisi (edge) {
, dengan
} yang tak kosong dari
menyatakan
, dan
} yakni pasangan tak terurut dari
. Berikut contoh graf dengan 5 titik dan 7 sisi.
Gambar 3. Contoh graf dengan 5 titik dan 7 sisi
7
Banyaknya himpunan titik
dihubungkan oleh sisi
sedangkan titik
juga sisi
dan
disebut orde dari graf
maka
dan
, jika
dikatakan bertetangga (adjacent),
dikatakan menempel (incident) dengan sisi
dikatakan menempel dengan titik
dan
, demikian
dan . Himpunan tetangga dari v,
dinotasikan dengan N(v) adalah himpunan titik-titik yang bertetangga dengan v.
Pada Gambar 3 titik v1 bertetangga dengan v2 dan v3. Sisi e3 menempel pada titik
v2 dan v4. Derajat (degree) dari
. Derajat dari titik
adalah banyaknya sisi yang menempel pada titik
dinotasikan
. Daun (pendant vertex) adalah
titik digraf yang berderajat satu. Pada Gambar 3 d(v1) = 2, d(v2) = 3, d(v3) = 3,
d(v4) = 5, d(v5) = 3 dan graf tersebut tidak mempunyai daun karena setiap titiknya
memiliki derajat lebih dari satu.
Loop adalah sisi yang memiliki titik awal dan titik akhir yang sama. Pada
Gambar 3 terdapat loop pada titik v2 yaitu e8. Sedangkan e3,e5,e6 dan e7
merupakan sisi paralel. Sisi paralel adalah sisi yang memiliki dua titik ujung yang
sama. Graf sederhana adalah graf yang tidak memiliki dua atau lebih sisi yang
menghubungkan dua titik yang sama (multiple edge) dan loop. Graf pada Gambar
3 bukan merupakan graf sederhana karena terdapat loop (e8) dan sisi ganda (e7).
Suatu graf G disebut graf lengkap (complete graph) jika graf tersebut
merupakan graf sederhana dan setiap titik terhubung ke setiap titik yang lain.
Sedangkan pada graf tak lengkap terdapat pasangan titik yang tidak
dihubungkan oleh sisi. Banyaknya sisi pada graf lengkap dengan n titik
adalah
. Berikut contoh graf lengkap dan tak lengkap.
8
a
c
Graf T
b
a
d
c
b
d
Graf U
Gambar 4. Contoh graf lengkap
Gambar 5. Contoh graf tak lengkap
Jalan (walk) adalah barisan berhingga dari titik dan sisi dimulai dan diakhiri
dengan titik sedemikian sehingga setiap sisi menempel dengan titik sebelum dan
sesudahnya. Lintasan (path) adalah jalan yang melewati titik yang berbeda-beda
Contoh lintasan yang ditunjukkan pada Gambar 6 adalah
e1
a
e4
e5
c
e3
.
b
e2
d
Gambar 6. Contoh lintasan
Siklus (cycle) adalah lintasan tertutup (closed path), yaitu lintasan yang memiliki
titik awal dan titik akhir yang sama. Contoh siklus pada Gambar 3 adalah
.
Suatu graf G dikatakan terhubung jika terdapat sekurang-kurangnya satu lintasan
antara sembarang dua titik berbeda, jika tidak demikian G disebut tak terhubung.
Berikut diberikan contoh graf terhubung dan tak terhubung.
9
p
a
q
c
r
s
e
b
g
f
d
h
Graf G
Graf H
Gambar 7. Graf terhubung
Gambar 8. Graf tidak terhubung
Pada Gambar 8 tidak terdapat lintasan dari titik a,b,c,d ke titik e,f,g,h sehingga
graf tersebut tak terhubung.
Lemma 2.1 (Deo dkk. 1989) Jumlah derajat semua titik pada graf G adalah
genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut. Dengan kata lain jika
G(V,E), maka :
∑
Jumlah derajat seluruh titik graf pada Gambar 3 adalah
=
+
= 14 = dua kali jumlah sisi .
Teorema 2.1 (Deo dkk. 1989) Untuk sembarang graf G, banyaknya titik yang
berderajat ganjil, selalu genap.
Bukti : Misalkan Vgenap dan Vganjil masing – masing adalah himpunan himpunan
titik yang berderajat genap dan berderajat ganjil pada G(V,E). Persamaan (2.1.1)
dapat ditulis sebagi berikut :
∑
∑
( )
∑
10
Karena
( ) untuk setiap
,
maka suku pertama dari ruas kanan
persamaan harus bernilai genap. Ruas kiri persamaan (2.1.2) juga harus bernilai
genap. Nilai genap pada ruas kiri hanya benar bila suku kedua dari ruas kanan
juga harus genap. Karena
di dalam
untuk setiap
, maka banyaknya titik
harus genap agar jumlah seluruh derajatnya bernilai genap.
Jadi banyaknya titik yang berderajat ganjil selalu genap.
2.2 Graf Pohon dan Beberapa Sifatnya
Graf pohon (Tree) adalah suatu graf terhubung yang tidak memuat siklus.
Sedangkan hutan (forest) merupakan gabungan dari beberapa pohon.
v5
v1
v3
v4
v6
v2
Gambar 9. Contoh pohon G dengan enam titik
Gambar 10. Contoh hutan
11
Selanjutnya akan diberikan teorema mengenai graf pohon.
(Harsfield dan Ringel, 1994) Jika
Teorema 2.1
dan
sisi , maka
Bukti: Jika
adalah pohon dengan
.
adalah pohon dengan satu sisi maka teorema benar untuk
Asumsikan teorema benar untuk semua pohon dengan sisi kurang dari
untuk
maka
. Misal
terpanjang di G dari a ke b. Titik
pohon dengan
harus berderajat
, akibatnya sisi terhubung titik
.
, artinya
sisi. Pilih satu lintasan
. Karena kalau tidak
lintasan akan menjadi lebih panjang atau terbentuk siklus di
buang titik
titik
terbuang.
. Selanjutnya
Sehingga, pohon
terbentuk dengan (p – 1) dan (n – 1) sisi dengan asumsi
diperoleh
atau
Teorema 2.2 (Harsfield dan Ringel, 1994) Graf
adalah pohon jika dan hanya
jika ada terdapat tepat satu lintasan diantara kedua titik tersebut.
Bukti:
Akan ditunjukkan graf
adalah pohon maka ada terdapat tepat satu
lintasan diantara kedua titik . Asumsikan
adalah pohon. Misal
dan
titik-titik di . Maka pohon dihubungkan dengan lintasan dari
ke
. Anggaplah
dengan
jarak dari
dalam
dan
adalah dua lintasan dari
dan
ke
Jika
,
adalah
, selanjutnya sampai ditemukan suatu titik yang terkandung
dan
. Maka didapatkanlah siklus . Jika
, maka kita
12
lihat pada
. Untuk beberapa ,
sebagai asumsi. Selanjutnya
yang terkandung dalam
, karena ada dua lintasan
dari
dan
sampai ditemukan suatu titik
, selanjutnya ambil
, dan didapatkan siklus lagi. Tetapi
kembali ke
adalah pohon, sehingga tidak
ada siklus. Jadi asumsi bahwa ada dua
lintasan salah.
Akan ditunjukkan ada terdapat tepat satu lintasan diantara kedua titik
maka graf
adalah pohon . Asumsikan
adalah graf dengan tepat satu
lintasan diantara dua titik. Pertama perhatikan
terhubung. Anggaplah
bahwa
Jelas bahwa ada dua
mengandung siklus.
lintasan dari
ke
.
. Ini kontradiksi , karena
lintasan diantara dua titik. Jadi graf
mempunyai tepat satu
tidak mengandung siklus dan
adalah pohon.
Kelas graf pohon yang berkaitan dengan penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Graf bintang
Graf bintang
berderajat
(Star)
adalah suatu graf tehubung yang mempunyai satu titik
yang disebut pusat atau titik lainnya berderajat satu (Chartrand
dkk.,1998).
Gambar 11. Graf Bintang
13
2. Graf Bintang Ganda
Suatu graf pohon disebut graf bintang ganda (double star) jika graf pohon
tersebut mempunyai tepat dua titik
dan
berturut-turut berderajat
dan
berderajat lebih dari satu. Jika
dan
, dinotasikan dengan
(Chartrand dkk.,1998).
Gambar 12. Graf Bintang Ganda
3. Graf Ulat (Caterpillar Graf)
Graf ulat adalah graf pohon yang memiliki sifat apabila dihapus semua
daunnya akan menghasilkan lintasan (Chartrand dkk.,1998).
Gambar 13. Contoh Graf ulat
2.3. Dimensi Partisi Graf
Pada bagian ini akan diberikan definisi dan sifat-sifat dari dimensi partisi pada
suatu graf yang diambil dari Chartrand dkk. (1998).
Misalkan G = (V,E) suatu graf,
. Jarak dari titik v ke
dan
himpunan S, dinotasikan dengan d(v,S) adalah
{
} dengan
14
{
adalah jarak dari titik v ke x. Misalkan
dari V(G).
Representasi v terhadap
pasang terurut (
∣
pembeda dari V(G) jika
u,
dinotasikan dengan
).
∣
} adalah partisi
∣
Selanjutnya
adalah k
disebut partisi
untuk setiap dua titik berbeda
. Dimensi partisi dari G, dinotasikan dengan pd (G), adalah nilai k
terkecil sehingga G mempunyai partisi pembeda dengan k kelas.
Berikut ini akan diberikan graf G dan akan ditentukan dimensi partisinya.
Gambar 14. Dimensi Partisi graf G
Graf G dipartisi, sehingga diperoleh
}, S2 ={
|
= (0,1,1);
|
|
= (0,1,2); (
= (0,1,4);
|
= (1,0,6);
berbeda, maka
={
}, S3 ={
|
= (1,2,0);
|
) = (1,0,3);
= (1,0,5);
|
}, dengan S1 = {
}. Selanjutnya perhatikan bahwa
|
= (1,0,2);
|
|
= (1,0,4);
= (0,1,5);
|
= (0,2,2);
|
|
= (2,0,4);
= (0,1,6);
= (0,1,7). Karena representasi dari semua titik
adalah partisi pembeda dari graf G dan pd (G) ≤ 3.
(2.3.1)
15
Untuk menunjukkan pd (G) ≥ 3, andaikan terdapat partisi pembeda
dari G . Perhatikan titik
, titik
mempunyai 3 daun yaitu
={
}
. Jika
hanya terdapat dua kelas partisi pembeda, maka dua dari tiga daun tersebut akan
memiliki partisi pembeda yang sama. Akibatnya representasi kedua daun itu
akan sama, karena memiliki jarak yang sama terhadap titik-titik lainnya pada
graf G, maka hal ini kontradiksi dengan pengandaian. Jadi pd (G) ≥ 3.
(2.3.2)
Berdasarkan persamaan (2.3.1) dan (2.3.2) diperoleh pd (G) = 3.
Berikut ini akan diberikan lemma dan teorema penting dari dimensi partisi
yang telah dibuktikan Chartrand dkk. (1998).
Lemma 2.2.1
Diberikan G graf terhubung dengan partisi pembeda
V(G), jika d(u,w) = d(v,w) untuk setiap w
merupakan elemen yang berbeda dari
dari V(G), untuk u,v
V(G) – {
} , maka u dan v
Berikut ini akan diberikan teorema untuk menentukan dimensi partisi pada
graf bintang ganda.
Teorema 2.2.2
Jika T adalah graf bintang ganda berorde n ≥ 6 dengan x dan y dua titik yang
bukan daun, maka pd (T) =
{
}
.
16
Bukti :
Misalkan r = deg(x) – 1 dan s = deg (y) -1, dengan r ≥ s. Misalkan
adalah daun dari T yang bertetangga dengan x dan
adalah daun yang
bertetangga dengan y . Untuk membuktikannya dibagi menjadi dua khusus.
Kasus 1. Jika r = s.
={
Diberikan
|
|
|
{
{
}, dengan
} untuk 3 ≤ i ≤ r.
= (1,0,2,2,…,2);
= (0,1,1,…,1);
= (1,2,…,0,…);
|
}
|
Perhatikan bahwa
= (0,1,2,2,…,2);
|
{
}
= (0,2,2,2,…,2);
= (2,0,2,2,…,2);
|
= (1,0,1,1,…,1); untuk 3 ≤ i ≤ r,
|
= (2,1,…,0,…), komponen ke – i bernilai 0.
Akibatnya semua titik mempunyai representasi yang berbeda . Jadi, pd (T) ≤ r
Kasus 2. Jika r > s. Pada kasus 2 ini, dapat dipecah lagi menjadi sub kasus.
Bagian 2.1. Jika s = 1. Maka r ≥ 3.
Diberikan
|
{
={
Jadi
} dengan
} untuk 2 ≤ i ≤ r. Karena
;
|
{
|
},
{
}
adalah partisi pembeda dari V(T) dan pd (T) ≤ r.
;
|
{
}
17
Bagian 2.2 Jika s ≥ 2.
Diberikan
{
={
} dengan
} untuk 3 ≤ i ≤ s, dan
{
};
{
}
} untuk s + 1 ≤ i ≤ r. Pernyataan sama
{
yang digunakan pada bagian 2.1 menunjukkan bahwa
dari V(T) dan pd(T ) ≤ r. Jadi terbukti bahwa pd (T) = m
adalah partisi pembeda
{
}
.
Contoh penentuan dimensi partisi graf bintang ganda. Diberikan graf bintang
ganda S3,2 , akan ditentukan bahwa pd(S3,2) = 3.
3
v5
v6
1
2
v7
1
3
1
v1
v2
v3
2
v4
Gambar 15. Dimensi partisi graf bintang (S3,2)
={
Graf bintang ganda (S3,2) dipartisi sedemikian sehingga diperoleh
{
dengan
}
{
} ,
bintang ganda (S3,2) adalah sebagai berikut :
|
|
|
= (0,1,1);
= (2,0,1);
berbeda, maka
= (0,2,2);
|
= (0,2,1).
|
{
|
} . Representasi dari graf
= (1,1,0);
= (1,0,2);
|
= (2,2,0);
Karena representasi dari setiap titik
adalah partisi pembeda dari graf S3,2 dan pd(G) ≤ 3.
Untuk menunjukkan pd(G) ≥ 3, andaikan terdapat partisi pembeda
dari G dengan
}
{
}
{
}, maka titik
={
}
akan memiliki
representasi yang sama yaitu (2,0), hal ini kontradiksi dengan pengandaian. Jadi
pd(G) ≥ 3. Akibatnya pd(G) = 3
18
Teorema 2.2.3
Misalkan K1,n graf bintang berorde n ≥ 1 maka pd(K1,n) = n
Bukti :
vn 1
v11
v10
v2
n
v12 11
1
10
v3
2
v1
9
3
1
8
v4
4 v5
v9
7
v8
6
5
v7
v6
Gambar 16. Dimensi Partisi graf bintang K1,n
Graf K1,n dipartisi sedemikian sehingga
{
|
} , dengan
{ }, . . ., dan
{ },
{ }
{ },
{ }
},
= {
}. Perhatikan bahwa representasi dari Graf K1,n adalah sebagai berikut
{
=
(0,1,1,1,1,1,1,...,1);
(1,0,2,2,2,2,...,2);
(1,2,2,0,2,2,...,2);
|
|
=
|
=
(0,2,2,2,2,...,2);
(1,2,0,2,2,2,...,2);
= (1,2,2,2,0,2,...,2);
Karena representasi dari semua titik berbeda, maka
|
|
|
=
=
= (1,2,2,2,2,2,...,0).
adalah partisi pembeda dari
graf K1,n dan pd (K1,n) ≤ n.
Untuk menunjukkan pd (K1,n) ≥ n, andaikan terdapat partisi pembeda
(
{
}) dari K1,n , maka akan ada representasi yang
sama yaitu pada titik vn dan vn+1 maka
bukan merupakan partisi pembeda dari
19
graf K1,n, hal ini kontradiksi dengan pengandaian. Jadi pd (K1,n) ≥ n . Akibatnya
pd (K1,n) = n
Teorema 2.2.4
Jika T adalah graf ulat dengan
. Untuk membuktikan Teorema 2.2.4, perhatikan partisi pembeda
pada graf ulat berikut :
v6
1
v5
v3
v8
2
1
1
2
3
v2
v3
v6
2
v4
v1
1
v5
v1
3
2
v7
3
v8
1
2
2
Gambar 16. Dimensi partisi graf ulat T1,T2
v6
v4
1
3
1
1
2
v1
v2
v3
2
3
v5
Gambar 17. Dimensi partisi graf ulat T3
v4
v2
20
v5
v16
v9
1
2
2
v6
v15 1
1
2
v3
v14
1
v11
v8
v12
4
v4
v1
2
3
2
v2
v13
3
v7
3
v10
1
3
3
Gambar 18. Dimensi partisi graf ulat T4
Graf ulat T1 pada Gambar 16 memiliki
minimal partisi pembeda
{
dan
}.
={
dengan
} dengan
{
}
{
Graf ulat T2 pada Gambar 16 memiliki
={
minimal partisi pembeda
{
}.
}
dengan
} dengan
{
}
{
} dan
Graf ulat T3 pada Gambar 17 adalah graf bintang ganda dan berdasarkan Teorema
.
2.2.2 maka
Graf ulat T4 pada Gambar 18 memiliki
{
{
}
} dan
{
dengan partisi pembedanya
{
};
{
}
}. Untuk menunjukkan
pd (T4) = 4 cukup dengan menunjukkan bahwa tidak ada partisi pembeda dengan
tiga kelas partisi dari V(T4). Misalkan
={
} sebagai partisi pembeda dari
V(T4) maka akan ada kesamaan partisi pembeda dari titik v1 dan v2 sehingga
21
mengakibatkan representasinya akan sama juga.
Sehingga
= {
}
bukanlah partisi pembeda yang tepat untuk T4, hal ini kontradiksi dengan
pengandaian. Akibatnya
Selanjutnya akan diberikan beberapa Lemma hasil penelitian Asmiati dkk. tentang
dimensi partisi dari graf amalgamasi bintang.
Lemma 2.2.2 Misal
dan | |
. Partisi pembeda
hanya jika
dan
{
adalah hasil partisi dari graf
jika dan
dalam kelas yang sama pada kelas kombinasi pada
} dan jika {
Bukti :
Misal
adalah partisi pembeda dari graf
} adalah pembeda.
dengan | |
adalah hasil partisi dari graf
adalah kelas yang sama dari
. Jika kombinasi kelas dari
dan jika
adalah sama. Karena
untuk setiap
maka representasi dari
dan
dan
{{ |
adalah sama. Jadi
}
{
|
}}
bukan hasil dari partisi.
Maka kontradiksi dengan pengandaian.
Misal
adalah partisi pembeda dari graf
Misal A dinotasikan dari kombinasi kelas graf
dinotasikan dari kombinasi kelas graf. {
dan
adalah kelas yang sama dari
|
dengan | |
.
dan B
} Perbandingan
. Karena A = E, maka
dan
22
dimana
dan
.
representasi dari setiap
1.
Jelas,
n-ordinat.
2.
Jika
adalah unik.
|
|
dan
Akan ditunjukkan bahwa
karena representasinya berbeda dalam m-ordinat dan
adalah kelas yang sama pada
ditunjukkan bahwa ( | )
dan
|
dengan
. Bagi dalam 2 kasus.
(1)
Kasus 1, jika
(2)
alasan pada teorema ini, yaitu A = B. Jadi ( | )
Kasus 2, misal
akan
adalah kelas yang sama pada
dan
maka diperoleh
maka ( | )
|
.
|
adalah berbeda dalam x-ordinat dan y-ordinat.
3.
Jika
(
dan
|
Jika
.
dalam kelas yang sama pada
maka representasi
mempunyai setidaknya satu komponen yang bernilai 1. Sedangkan
| ) mempunyai tepat satu komponen yang bernilai 1.
Maka
4.
|
Jadi ( | )
|
dan
(
| ).
dalam kelas yang sama pada
|
maka representasi
mempunyai setidaknya satu komponen yang bernilai 1. Sedangkan ( | )
mempunyai tepat satu komponen yang bernilai 1. Maka
5.
Jika
dan
(1) Kasus
dalam kelas yang sama pada . Bagi dalam 2 kasus.
. Representasi
komponen yang bernilai 1. Sedangkan
komponen yang bernilai 1. Maka
(2) Kasus
|
.Karena
|
|
( | ).
mempunyai
mempunyai kurang dari
|
maka
|
|
.
|
.
23
Lemma 2.2.3. Misal
adalah
partisi
, maka
.
Bukti :
Misal
adalah
partisi pada
, tetap untuk , misal ,
maka jumlah kombinasi partisi dapat digunakan oleh { |
adalah
. Karena
partisi dari , untuk setiap
Berdasarkan Lemma 2.2.1 kita peroleh jumlah dari
tetapi, jika
}
adalah
maka kita
dalam kelas partisi yang sama dan
harus menghilangkan
. Akan
, untuk memastikan bahwa semua titik akan mempunyai
representasi yang berbeda. Maka jumlah maksimum dari
adalah
-1
III. METODE PENELITIAN
3.1. Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap Tahun Akademik 2014-2015, di
Jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung.
3.2. Metode Penelitian
Metode yang dilakukan untuk menentukan dimensi partisi dari graf
adalah dengan langkah-langkah sebagai berikut :
1.
Mengkonstruksi graf
2.
Memilih titik tertentu dalam graf amalgamasi bintang
graf
tertentu
yaitu titik pusat
sebagai titik awal dalam graf
3.
Memberi label pada kelas-kelas partisi dengan partisi seminimal mungkin
4.
Menentukan batas bawah dari pd
. Berdasarkan lemma 2.2.1 dapat
ditentukan batas bawah dari dimensi partisi
karena terdapat titik pada (
pd
≥k
. Hal ini dapat dilakukan
) yang mempunyai k daun, akibatnya
25
5.
Menentukan batas atas dari pd
. Batas atas dari pd
dengan cara mengkonstruksi graf
diperoleh
. Himpunan titik-titik pada graf
dikelompokkan berdasarkan diameternya kedalam kelas partisi
pembeda.
Minimum banyaknya partisi pembeda itulah yang merupakan
dimensi partisi dari graf
.
BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dari hasil-hasil penelitian dimensi partisi pada graf amalgamasi bintang
untuk
bilangan asli dapat disimpulkan bahwa bentuk umum dari dimensi
) untuk k ≥ m adalah :
partisi graf (
(
)
⌊
{
⌋
untuk kasus 1≤ n ≤
Berikut ini diberikan konstruksi graf
1
l21 k
l
1
l
23
l
l
1
1k
l
1
2
l
1
22
l
31
1
1
3k
1
1
l
l
l
m1
m1
l l
x1
l
1
22
2
1k
( m 1)1
( m1) k
l
( m1)3
2
21
2
1
2
13
2
2
l
33
32
2
3k
31
l
2
l
2
11
12
m 1
3
m
l l
l
l
2
l
2
l
l
l l
l
2
2
( m1) 2
1
l
2
2
1
1
12
l
l
l
23
l
m 1
1
11
2
1
3
1
13
l
1
21
1
l2k2
33
32
1
l
l l
l
1
2
m 1
2
( m 1) k
-
l
2
2
l
( m 1 )1
l
( m 1) 2
2
( m1)3
x2
Gambar 56. Kontruksi graf
m 1
l
l
22
m 1
l l
1k
m1
l
2
m1
l
m 1
1
m 1
l
m1
3
21
l
xn
m 1
3k
m 1
m1
l
(m1)k
mn
m1
l
m1
31
l13 l12 l11 l
m 1
m1
33
32
m1
m 1
23
l l
m1
2k
n
l
m1
(m1)k
m1
(m1)k
m 1
l
m1
(m1)k
73
Sedangkan konstruksi dari graf untuk kasus n lainnya adalah sebagai berikut :
x1
1
l
1
2(k1)
l
23
1
l
l
22
l
l
3
21
m1
l
l
1
l
1
1
12
11
1
3( k 1)
l
l
22
l
m1
l
l
32
l
2
m2
13
2
2
12
11
l l
l
1
2
x1
l
2
33
2
3
2
3(k 1)
l
l
k
m 1
23
l
k
m1
22
l
l
k
m 1
2 ( k 1 )
l
k
m 1
2
2
l
k
m 1
1 ( k 1 )
mm1
( m1) 2
m 1
l
( m 1 ) 3
k
m1
1
l
k
m1
13
l
k
m1
12
k
m 1
32
k
m1
3
k
m 1
21
l
l2
l
k
m 1
31
l
( m 1)1
2
l
l
m1
2
l
k
m1
11
l l
2
(m1)(k1)
l
31
21
1
( m 1) 2
1
l
2
xk
2
l
l
l
l
l
2
2
1(k1)
( m 1) 3
2
2
2
( m 1)1
l
l l
l
23
33 2
l
2
2(k1)
2
1
1
1
1
l
l
1
1
1
13
32
31
2
1
1(k1)
l
l
1
l
1
x2
2
l
l
k
m1
33
k
m 1
3 ( k 1)
k
m1
( m1)(k 1)
n
m1
k
m1
(m1)(k1)
l
k
m 1
( m 1)( k 1)
k
m1
(m1)(k1)
l
l
(m1)(k1)
xn
x2
Gambar 57. Partisi Pembeda pada graf nSm,k untuk kasus n lainnya
5.2 Saran
Penelitian ini memberikan masalah terbuka untuk penelitian selanjutnya, yaitu
menentukan dimensi partisi graf
masing sisi pendant.
dengan mensubdivisi
titik pada masing-
DAFTAR PUSTAKA
Asmiati, Assiatun, H, Baskoro, E.T, Locating-Chromatic Number of Almagamation
of Starts, ITB J.Sci., 43A, 1-8, 2011.
Asmiati. 2012. Partition Dimension of Amalgamation of Stars. Bulletin of
Mathematics. Vol 04, No. 02, 161-167.
Chartrand, G, Erwin, D, Henning, M.A, Slater, P.J, dan Zhang, P.2002. The locatingchromatic number of a graph, Bull.inst. combin. Apll., 36, 89-101.
Chartrand, G., E. Salehi, dan P. Zhang. 1998. On The Partition Dimension of
Graph, Congr. Numer,.130, 157-168.
Chartrand, G., E. Salehi, dan P. Zhang. 2000. The Partition Dimension of a Graph,
Aequationes Math.59, 45-54.
Deo, Narsigh. 1989. Graph Theory With Applications to Engineering And Computer
Science. Prentice Hall Inc. New York.
Harsfield,N, dan G. Ringel.1994. Pearl In Graph Theory. A Comprehensive
Introduction. Revised And Augmented. Academic Press Inc. USA
Harary dan Melter. (1976). ― On the Metric Dimension of Graph.
Combinatoria. Volume 2 Pages 1991-1995, Wesley Publishing, Inc.
Ristanti, Dinda. 2015. Dimensi Partisi pada Graf nS4,k . Skripsi ; Fakultas MIPA,
Universitas Lampung.
Tomescu, L., Javaid, I., and Slaim, 2007. On Partition Dimension and Connected
Partition Dimension of Wheels, Ars Combin., 84, 311-317.
Abstract
by
Ana Istiani
Given graph G = (V,E),
and
. The distance between v and
{
} , where
S is d(v,S) =
is the distance from v to x.
} as the partition of V(G). The representation of v with respect
Let = {
to is the k-vectors r(v| Π) = (d(v, S1), d(v, S2),..., d(v, Sk)). The partition is called
as a resolving partition of
if
∣
∣
for every two different
vertices of V(G). The partition dimension of G, written as pd(G) is the minimum k
for which there is a resolving k-partition. The amalgamation of star graphs
obtained from n copies of amalgamation stars
by connecting a leaf from each
through a path. The result of the research is
(
)
{
for k ≥ m.
Keyword : graph, distance, partition, partition dimension, amalgamation of stars,
DIMENSI PARTISI GRAF AMALGAMASI BINTANG
Abstrak
Oleh
Ana Istiani
Misalkan G = (V,E) suatu graf,
dan
. Jarak dari titik v ke
{
} dengan
himpunan S, dinotasikan dengan d(v,S) adalah
} adalah partisi dari V(G).
{
adalah jarak dari titik v ke x. Misalkan
Representasi v terhadap dinotasikan dengan
∣
adalah
). Selanjutnya disebut partisi
k - pasang terurut (
pembeda dari V(G) jika
∣
∣
untuk setiap dua titik berbeda u,
. Dimensi partisi dari G, dinotasikan dengan pd (G), adalah nilai k terkecil
sehingga G mempunyai partisi pembeda dengan k kelas. Graf amalgamasi bintang
diperoleh dari n buah graf amalgamasi bintang
dengan cara
menghubungkan sebuah daun dari setiap
melalui sebuah lintasan. Hasil dari
penelitian ini adalah
(
)
{
untuk k ≥ m.
Kata Kunci : graf, jarak, partisi, dimensi partisi, amalgamasi bintang
DIMENSI PARTISI GRAF AMALGAMASI BINTANG
Oleh
Ana Istiani
Tesis
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar
Magister Sains
Pada
Jurusan Matematika Program Studi Magister Matematika
Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015
DIMENSI PARTISI GRAF AMALGAMASI BINTANG
TESIS
Oleh
Ana Istiani
MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
1.
Jembatan Konigsberg ..................................................................................... 1
2.
Graf
3.
Contoh graf dengan 5 titik dan 7 sisi ............................................................. 6
4.
Contoh graf lengkap ...................................................................................... 8
5.
Contoh graf tak lengkap ................................................................................. 8
6.
Contoh Lintasan ............................................................................................. 8
7.
Graf Terhubung ............................................................................................. 9
8.
Graf Tak Terhubung ..................................................................................... 9
9.
Contoh pohon G dengan enam titik ............................................................... 10
...................................................................................................... 4
10. Contoh Hutan ................................................................................................. 10
11. Graf Bintang
........................................................................................... 12
12. Graf Bintang Ganda
................................................................................ 13
13. Contoh graf Ulat ........................................................................................... 13
14. Dimensi Partisi Graf G................................................................................... 14
15. Dimensi Partisi Graf Bintang
.................................................................. 17
16. Dimensi Partisi Graf Ulat
,
.................................................................... 18
17. Dimensi Partisi Graf Ulat
.......................................................................... 19
18. Dimensi Partisi Graf Ulat
.......................................................................... 20
19. Partisi Pembeda pada Graf
untuk n ≤ 4 ................................................ 26
20. Partisi Pembeda pada Graf
untuk n lainnya ........................................... 27
21. Partisi Pembeda pada Graf
.................................................................... 28
22. Partisi Pembeda pada Graf
untuk n = 1 ................................................ 29
23. Partisi Pembeda pada Graf
.................................................................... 30
24. Partisi Pembeda pada Graf
untuk n = 1 ................................................ 31
25. Partisi Pembeda pada Graf
untuk n ≥ 1 ................................................ 32
26. Partisi Pembeda pada Graf
untuk n = 1 ................................................ 33
27. Partisi Pembeda pada Graf
untuk n ≥ 2 ................................................ 34
28. Partisi Pembeda pada Graf
untuk n ≤ 4 ................................................ 35
29. Partisi Pembeda pada Graf
untuk n lainnya .......................................... 36
30. Partisi Pembeda pada graf nS2,2 ..................................................................... 38
31. Partisi Pembeda pada graf S2,3 untuk n = 1.................................................... 39
32. Partisi Pembeda pada graf nS2,3 untuk n ≥ 2 .................................................. 40
33. Partisi Pembeda pada graf nS2,4 untuk n = 1.................................................. 41
34. Partisi Pembeda pada graf nS2,4 untuk n ≥ 2 .................................................. 42
35. Partisi Pembeda pada graf nS2,k untuk n =1 ................................................... 43
36. Partisi Pembeda pada graf nS2,k untuk n lainnya ............................................ 44
37. Partisi Pembeda pada graf nS3,1 .................................................................... 45
38. Partisi Pembeda pada graf nS3,2 .................................................................... 47
39. Partisi Pembeda pada graf nS3,3 .................................................................... 48
40. Partisi Pembeda pada graf nS3,4 .................................................................... 49
41. Partisi Pembeda pada graf nS3,5 untuk n ≥ 1 .................................................. 50
42. Partisi Pembeda pada graf nS3,k untuk n ≥ 1 .................................................. 51
43. Partisi Pembeda pada graf nS3,k untuk n ≥
................................................ 52
44. Partisi Pembeda pada graf nS5,1 untuk n = 1.................................................. 54
45. Partisi Pembeda pada graf nS5,1 untuk n ≥ 2 .................................................. 55
46. Partisi Pembeda pada graf nS5,2 untuk n = 1.................................................. 56
47. Partisi Pembeda pada graf nS5,2 untuk n ≥ 2 .................................................. 57
48. Partisi Pembeda pada graf nS5,3 untuk n ≥ 1 .................................................. 58
49. Partisi Pembeda pada graf nS5,4 untuk n ≥ 1 .................................................. 59
50. Partisi Pembeda pada graf nS5,5 untuk n ≥ 1 .................................................. 61
51. Partisi Pembeda pada graf nS5,k untuk 1≤ n ≤
52. Partisi Pembeda pada graf nS5,k untuk n ≥
53. Partisi Pembeda pada graf nS5,8 untuk 1≤ n ≤
.......................................... 63
................................................ 64
.......................................... 65
54. Partisi Pembeda pada graf nSm,k untuk kasus 1≤ n ≤
-
............................. 68
55. Partisi Pembeda pada graf nSm,k untuk kasus n lainnya ................................. 70
56. Kontruksi graf
...................................................................................... 70
57. Partisi Pembeda pada graf nSm,k untuk kasus n lainnya.................................. 71
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISIi
DAFTAR GAMBAR
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah ........................................................... 1
1.2 Batasan Masalah ....................................................................... 4
1.3 Tujuan Penelitian...................................................................... 5
1.4 Manfaat Penelitian.................................................................... 5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Konsep Dasar Graf ................................................................... 6
2.2 Graf Pohon dan Beberapa Sifatnya .......................................... 10
2.3 Dimensi Partisi Graf ................................................................. 13
BAB III METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .................................................. 24
3.2 Metode Penelitian..................................................................... 24
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Dimensi Partisi Graf (
4.2 Dimensi Partisi Graf (
4.3 Dimensi Partisi Graf (
) .................................................... 26
) .................................................... 28
) .................................................... 29
4.4 Dimensi Partisi Graf (
) .................................................... 31
4.6 Dimensi Partisi Graf (
) .................................................... 35
4.5 Dimensi Partisi Graf (
4.7 Dimensi Partisi Graf (
4.8 Dimensi Partisi Graf (
) .................................................... 33
) .................................................... 37
) .................................................... 39
4.9 Dimensi Partisi Graf (
) .................................................... 41
4.11 Dimensi Partisi Graf (
) .................................................. 45
4.10 Dimensi Partisi Graf (
4.12 Dimensi Partisi Graf (
4.13 Dimensi Partisi Graf (
) .................................................. 43
) .................................................. 46
) .................................................. 48
4.14 Dimensi Partisi Graf (
) .................................................. 49
4.16 Dimensi Partisi Graf (
) .................................................. 51
4.15 Dimensi Partisi Graf (
4.17 Dimensi Partisi Graf (
4.18 Dimensi Partisi Graf (
4.19 Dimensi Partisi Graf (
4.20 Dimensi Partisi Graf (
4.21 Dimensi Partisi Graf (
) .................................................. 50
) .................................................. 52
) .................................................. 54
) .................................................. 56
) .................................................. 58
) .................................................. 59
4.22 Dimensi Partisi Graf (
4.23 Dimensi Partisi Graf (
4.24 Dimensi Partisi Graf (
) .................................................. 61
) .................................................. 63
) ................................................. 68
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan.............................................................................. 72
5.2 Saran ......................................................................................... 73
DAFTAR PUSTAKA
MOTO
Jika kita meringankan beban kesulitan hidup orang lain
InsyaAlloh Alloh akan meringankan beban kita di dunia dan
akherat.
PERSEMBAHAN
Karya tulis ini kupersembahkan untuk suamiku Eko Kusmiran
Buah hatiku
Naswa Larissa Baiduri, Apta Ghani Yudhistira, Danendra Labib Bayusuta
RIWAYAT HIDUP
Penulis di lahirkan di desa Pandansari pada tanggal 24 Desember 1983 merupakan
anak kedua dari lima bersaudara pasangan bapak Suyut dan ibu Sugini. Pada tanggal
22 September 2005 penulis menikah dengan Eko Kusmiran dan diberi karunia tiga
orang anak, Naswa Larissa Baiduri (8 tahun), Apta Ghani Yudhistira (5 tahun),
Danendra Labib Bayusuta (2 tahun).
Pendidikan formal yang pernah ditempuh :
1. Sekolah Dasar Negeri 1 Pandansari pada tahun 1990-1996
2. Sekolah Menengah Pertama Negeri 2 Sukoharjo pada tahun 1996-1999
3. Sekolah Menengah Atas Negeri 1 Pringsewu pada tahun 1999-2002
4. S1 Pendidikan Matematika di STKIP Muhammadiyah Pringsewu Lampung
pada tahun 2002-2006
Pada tahun 2008 sampai dengan 2014 penulis bekerja sebagai guru di SD
Muhammadiyah Pringsewu dan sebagai tenaga pengajar di STKIP Muhammadiyah
Pringsewu.
SANWACANA
Rasa syukur terucap kepada Alloh SWT, sehingga penulis dapat menyelesaikan
pendidikan S2 dengan gelar Magister Sains di Universitas Lampung.
Penulis menyadari bahwa penulisan tesis ini tidak terlepas dari bantuan semua pihak.
Terimakasih penulis ucapkan kepada :
1.
Ibu Dr. Asmiati, M.Si. selaku pembimbing 1 yang telah sabar dan telaten dalam
memberikan arahan dan sumbangan pemikiran dalam penulisan tesis ini.
2.
Ibu Dra. Wamiliana,M.A, Ph.D. selaku pembimbing 2 yang begitu teliti dalam
memeriksa penulisan tesis ini.
3.
Bapak Drs. Suharsono, M.S.,M.Sc., Ph.D. selaku pembahas yang telah
memberikan saran yang terbaik untuk penulisan tesis ini.
4.
Bapak Drs. Mustofa Usman, M.A., Ph.D., selaku ketua program studi yang telah
memberikan motivasi.
5.
Seluruh staf pengajar Universitas Lampung yang telah membantu penyelesaian
proses studi.
6.
Ibu Dr. Triyuni Hendrowati, M.Pd yang selalu memberikan semangat dan
motivasi untuk melanjutkan studi.
7.
Teman-teman STKIP Muhammadiyah Pringsewu yang memberikan dukungan
sehingga proses studi ini dapat terselesaikan.
8.
Kepada Orang tuaku terimakasih atas doa yang tak henti-hentinya, mbak dan
Adek-adekku yang telah mendukung studi ini.
9.
Suamiku, anak-anakku Naswa, Apta, Suta yang selalu menjadi motivasi dan
penyemangat hidup terimakasih atas pengertiannya selama ini.
10. Teman-teman seperjuangan OR Club‟s (Suly, Mbak Ayu, Mbak Ike, Agus Mbak
Uty, Mbak Fita, Pak Edy, Kak Permata) dan teman-teman Statistik
(Mbak Herly, Mbak Ade, Mbak Dwi, Ayu, Viviana, Rini, Pak War, Kris, Ibnu,
Rahman, Nurman, Pak Anton) yang selalu menjalin kerjasama dan kebersamaan
dalam sedih maupun senang, pengalaman kuliah yang tak terlupakan.
Penulis menyadari tesis ini masih jauh dari sempurna sehingga saran maupun kritik
yang membangun sangat diharapkan . Semoga tulisan ini dapat memberikan manfaat
dan semoga Alloh SWT memberikan keberkahan kepada semua pihak yang telah
membantu terselesainya studi ini. Aamiin Yaa Robal „Alamin.
Bandar Lampung,
Penulis
Desember 2015
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan salah satu bagian ilmu dari matematika dan merupakan
pokok bahasan yang relatif muda jika dibandingkan dengan cabang ilmu
matematika yang lain seperti aljabar dan geometri.
Teori graf pertama kali
dikenalkan pada tahun 1736 oleh seorang matematikawan Swiss yang bernama
Leonard Euler untuk menyelesaikan permasalahan jembatan Konigsberg
(sekarang bernama Kaliningrad). Konigsberg merupakan suatu kota yang terletak
di bagian utara Jerman dan memberikan pengaruh besar tehadap sejarah
perkembangan teori graf.
Sungai Pregel yang melalui Konigsberg membagi
wilayah daratan menjadi empat bagian. Di atas sungai Pregel dibangun tujuh
jembatan yang menghubungkan keempat wilayah tersebut. Berikut gambar dari
jembatan Konigsberg.
Gambar 1. Jembatan Konigsberg
2
Graf merupakan kumpulan dari titik (vertex) dan sisi (edge) didefinisikan sebagai
G = (V,E). V menyatakan himpunan titik yang tak kosong dan E menyatakan
himpunan sisi yang merupakan pasangan sisi tak terurut dari titik-titik V. Setiap
sisi menghubungkan satu
titik ke
titik yang lain, dan setiap
titik dapat
mempunyai banyak sisi yang menghubungkannya ke titik yang lain.
Banyak penelitian telah dilakukan pada
graf, diantaranya
pelabelan sisi,
pelabelan titik, pewarnaan graf, teori Ramsey pada graf, dimensi partisi pada graf,
dan lain-lain.
Pada teori graf, terdapat cabang kajian yang disebut dimensi
metrik. Dimensi metrik pertama kali dikenalkan oleh Harary dan Melter pada
tahun 1976, kemudian dikembangkan menjadi dimensi partisi pertama kali oleh
Chartrand dkk. pada tahun 1998. Konsep dimensi partisi juga merupakan salah
satu konsep yang melatar belakangi munculnya konsep bilangan kromatik lokasi.
Misalkan G = (V,E) suatu graf,
. Jarak dari titik v ke
dan
himpunan S, dinotasikan dengan d(v,S) adalah
adalah jarak dari titik v ke x. Misalkan
{
{
} dengan
dari V(G) dengan
adalah kelas-kelas partisi dari
terhadap
dengan
(
V(G) jika
dinotasikan
∣
∣
).
|
Selanjutnya
adalah
k
} adalah partisi
. Representasi v
pasang
terurut
disebut partisi pembeda dari
untuk setiap dua titik berbeda u,
.
Dimensi partisi dari G, dinotasikan dengan pd (G), adalah nilai k terkecil sehingga
G mempunyai partisi pembeda dengan k kelas (Chartrand dkk.,1998).
3
Penentuan dimensi partisi dari graf terhubung sebelumnya telah dilakukan oleh
Chartrand dkk.(1998), khusus untuk kelas pohon diperoleh dimensi partisi dari
graf lintasan Pn, n ≥ 2, yaitu pd(Pn) = 2 dan graf bintang K
1,n,
yaitu pd(K1,n) = n.
Dimensi Partsisi Graf bintang ganda T berorde n ≥ 6, dengan x dan y dua titik
yang bukan daun, maka pd(T) =
{
}
. Selain itu mereka
mendapatkan batas atas dan batas bawah dimensi partisi dari graf ulat. Graf ulat
adalah graf pohon yang mempunyai sifat jika semua daunnya dihapus maka akan
menghasilkan lintasan (Asmiati,2012b). Penelitian terus dilakukan untuk
mendapatkan dimensi partisi graf terhubung lainnya. Kelas graf tertentu dapat
ditentukan dimensi partisinya secara tepat, tetapi pada kelas graf yang lain baru
dapat ditentukan batas atas atau batas bawahnya.
Chartrand dkk. (2000) telah mengkaji dimensi partisi pada graf bipartit Km,n dan
Tomescu dkk. (2007) untuk graf roda Wn
untuk n tertentu, dimensi partisi graf
roda Wn telah dapat dilakukan secara tepat. Misalnya, pd(Wn) = 3 untuk 4 ≤ n ≤ 7
dan pd(Wn) = 4 untuk 8 ≤ n ≤ 19. Pada tahun 2011 dan 2012, Asmiati dkk. telah
berhasil menentukan bilangan kromatik lokasi graf amalgamasi bintang
.
Selanjutnya Asmiati (2012) telah mendapatkan dimensi partisi pada graf
Amalgamasi Bintang.
Ketertarikan penulis pada penelitian ini adalah terkait masalah penentuan dimensi
partisi graf nSm,k untuk n,m,k sebarang bilangan asli.
4
1.2
Batasan Masalah
Graf
amalgamasi
bintang
adalah
graf
yang
diperoleh
dengan
mengidentifikasi sebuah daun dari setiap bintang. Titik hasil identifikasi disebut
pusat amalgamasi, dinotasikan dengan
. Titik yang berjarak satu dari pusat
amalgamasi disebut titik tengah, dinotasikan dengan
daun ke- dari titik tengah
adalah
,
dan titik
,
. Jika
dengan
untuk semua , graf bintang amalgamasi dinotasikan sebagai
Diberikan graf
l
1
l
23
l
l
1
1k
l
1
2
l
1
22
l
13
l
1
31
1
3k
1
1
l
m 1
1
l
m1
m1
l l
12
l
l
1
l
23
l
l
22
2
1k
( m 1)1
(m1)k
(m1)2
1
l
( m1)3
l
2
2
21
2
1
13
x1
2
l
2
3k
l
2
12
2
l l
m1
2
11
m 1
3
m
l l
l
l
31
2
2
2
33
32
2
l
l
l l
l
2
2
l
2
1
1
11
2
1
l
3
1
1
l2k2
33
32
21
1
l l
l
1
1
l
sebagai berikut
1
l21 k
.
2
( m 1) k
l
2
l
2
( m 1 )1
2
( m 1) 2
( m1)3
x2
m1
l
l
22
m 1
l l
1k
m1
l
2
m1
l
m 1
1
m 1
l
m1
3
21
l
m 1
3k
m 1
m1
l
(m1)k
mn
m1
l
m1
31
l13 l12 l11 l
m 1
m1
33
32
m1
m 1
23
l l
m1
2k
n
l
m1
(m1)k
m1
(m1)k
m 1
l
m1
(m1)k
xn
Gambar 2. Graf
Pada penelitian ini akan ditentukan dimensi partisi graf nSm,k , untuk setiap n,m,k
adalah sebarang bilangan asli.
5
1.3
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian tugas akhir ini adalah menentukan dimensi partisi dari graf
amalgamasi bintang nSm,k untuk n,m,k sebarang bilangan asli.
1.4
Manfaat Penelitian
Manfaat yang didapat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mengembangkan wawasan tentang teori graf terutama tentang dimensi partisi
dari graf amalgamasi bintang
.
2. Memberikan sumbangan pemikiran untuk memperluas dan memperdalam
ilmu matematika dalam bidang teori graf terutama tentang dimensi partisi dari
graf amalgamasi bintang .
3. Sebagai bahan kajian untuk referensi penelitian lanjutan mengenai dimensi
partisi dari suatu graf.
II.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini akan dijabarkan tentang dasar teori graf dan dimensi partisi pada
suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini.
2.1 Konsep Dasar Graf
Teori dasar mengenai graf yang akan digunakan dalam penelitian ini diambil dari
Deo, (1998).
Graf G adalah himpunan terurut
himpunan titik (vertex) {
menyatakan himpunan sisi (edge) {
, dengan
} yang tak kosong dari
menyatakan
, dan
} yakni pasangan tak terurut dari
. Berikut contoh graf dengan 5 titik dan 7 sisi.
Gambar 3. Contoh graf dengan 5 titik dan 7 sisi
7
Banyaknya himpunan titik
dihubungkan oleh sisi
sedangkan titik
juga sisi
dan
disebut orde dari graf
maka
dan
, jika
dikatakan bertetangga (adjacent),
dikatakan menempel (incident) dengan sisi
dikatakan menempel dengan titik
dan
, demikian
dan . Himpunan tetangga dari v,
dinotasikan dengan N(v) adalah himpunan titik-titik yang bertetangga dengan v.
Pada Gambar 3 titik v1 bertetangga dengan v2 dan v3. Sisi e3 menempel pada titik
v2 dan v4. Derajat (degree) dari
. Derajat dari titik
adalah banyaknya sisi yang menempel pada titik
dinotasikan
. Daun (pendant vertex) adalah
titik digraf yang berderajat satu. Pada Gambar 3 d(v1) = 2, d(v2) = 3, d(v3) = 3,
d(v4) = 5, d(v5) = 3 dan graf tersebut tidak mempunyai daun karena setiap titiknya
memiliki derajat lebih dari satu.
Loop adalah sisi yang memiliki titik awal dan titik akhir yang sama. Pada
Gambar 3 terdapat loop pada titik v2 yaitu e8. Sedangkan e3,e5,e6 dan e7
merupakan sisi paralel. Sisi paralel adalah sisi yang memiliki dua titik ujung yang
sama. Graf sederhana adalah graf yang tidak memiliki dua atau lebih sisi yang
menghubungkan dua titik yang sama (multiple edge) dan loop. Graf pada Gambar
3 bukan merupakan graf sederhana karena terdapat loop (e8) dan sisi ganda (e7).
Suatu graf G disebut graf lengkap (complete graph) jika graf tersebut
merupakan graf sederhana dan setiap titik terhubung ke setiap titik yang lain.
Sedangkan pada graf tak lengkap terdapat pasangan titik yang tidak
dihubungkan oleh sisi. Banyaknya sisi pada graf lengkap dengan n titik
adalah
. Berikut contoh graf lengkap dan tak lengkap.
8
a
c
Graf T
b
a
d
c
b
d
Graf U
Gambar 4. Contoh graf lengkap
Gambar 5. Contoh graf tak lengkap
Jalan (walk) adalah barisan berhingga dari titik dan sisi dimulai dan diakhiri
dengan titik sedemikian sehingga setiap sisi menempel dengan titik sebelum dan
sesudahnya. Lintasan (path) adalah jalan yang melewati titik yang berbeda-beda
Contoh lintasan yang ditunjukkan pada Gambar 6 adalah
e1
a
e4
e5
c
e3
.
b
e2
d
Gambar 6. Contoh lintasan
Siklus (cycle) adalah lintasan tertutup (closed path), yaitu lintasan yang memiliki
titik awal dan titik akhir yang sama. Contoh siklus pada Gambar 3 adalah
.
Suatu graf G dikatakan terhubung jika terdapat sekurang-kurangnya satu lintasan
antara sembarang dua titik berbeda, jika tidak demikian G disebut tak terhubung.
Berikut diberikan contoh graf terhubung dan tak terhubung.
9
p
a
q
c
r
s
e
b
g
f
d
h
Graf G
Graf H
Gambar 7. Graf terhubung
Gambar 8. Graf tidak terhubung
Pada Gambar 8 tidak terdapat lintasan dari titik a,b,c,d ke titik e,f,g,h sehingga
graf tersebut tak terhubung.
Lemma 2.1 (Deo dkk. 1989) Jumlah derajat semua titik pada graf G adalah
genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut. Dengan kata lain jika
G(V,E), maka :
∑
Jumlah derajat seluruh titik graf pada Gambar 3 adalah
=
+
= 14 = dua kali jumlah sisi .
Teorema 2.1 (Deo dkk. 1989) Untuk sembarang graf G, banyaknya titik yang
berderajat ganjil, selalu genap.
Bukti : Misalkan Vgenap dan Vganjil masing – masing adalah himpunan himpunan
titik yang berderajat genap dan berderajat ganjil pada G(V,E). Persamaan (2.1.1)
dapat ditulis sebagi berikut :
∑
∑
( )
∑
10
Karena
( ) untuk setiap
,
maka suku pertama dari ruas kanan
persamaan harus bernilai genap. Ruas kiri persamaan (2.1.2) juga harus bernilai
genap. Nilai genap pada ruas kiri hanya benar bila suku kedua dari ruas kanan
juga harus genap. Karena
di dalam
untuk setiap
, maka banyaknya titik
harus genap agar jumlah seluruh derajatnya bernilai genap.
Jadi banyaknya titik yang berderajat ganjil selalu genap.
2.2 Graf Pohon dan Beberapa Sifatnya
Graf pohon (Tree) adalah suatu graf terhubung yang tidak memuat siklus.
Sedangkan hutan (forest) merupakan gabungan dari beberapa pohon.
v5
v1
v3
v4
v6
v2
Gambar 9. Contoh pohon G dengan enam titik
Gambar 10. Contoh hutan
11
Selanjutnya akan diberikan teorema mengenai graf pohon.
(Harsfield dan Ringel, 1994) Jika
Teorema 2.1
dan
sisi , maka
Bukti: Jika
adalah pohon dengan
.
adalah pohon dengan satu sisi maka teorema benar untuk
Asumsikan teorema benar untuk semua pohon dengan sisi kurang dari
untuk
maka
. Misal
terpanjang di G dari a ke b. Titik
pohon dengan
harus berderajat
, akibatnya sisi terhubung titik
.
, artinya
sisi. Pilih satu lintasan
. Karena kalau tidak
lintasan akan menjadi lebih panjang atau terbentuk siklus di
buang titik
titik
terbuang.
. Selanjutnya
Sehingga, pohon
terbentuk dengan (p – 1) dan (n – 1) sisi dengan asumsi
diperoleh
atau
Teorema 2.2 (Harsfield dan Ringel, 1994) Graf
adalah pohon jika dan hanya
jika ada terdapat tepat satu lintasan diantara kedua titik tersebut.
Bukti:
Akan ditunjukkan graf
adalah pohon maka ada terdapat tepat satu
lintasan diantara kedua titik . Asumsikan
adalah pohon. Misal
dan
titik-titik di . Maka pohon dihubungkan dengan lintasan dari
ke
. Anggaplah
dengan
jarak dari
dalam
dan
adalah dua lintasan dari
dan
ke
Jika
,
adalah
, selanjutnya sampai ditemukan suatu titik yang terkandung
dan
. Maka didapatkanlah siklus . Jika
, maka kita
12
lihat pada
. Untuk beberapa ,
sebagai asumsi. Selanjutnya
yang terkandung dalam
, karena ada dua lintasan
dari
dan
sampai ditemukan suatu titik
, selanjutnya ambil
, dan didapatkan siklus lagi. Tetapi
kembali ke
adalah pohon, sehingga tidak
ada siklus. Jadi asumsi bahwa ada dua
lintasan salah.
Akan ditunjukkan ada terdapat tepat satu lintasan diantara kedua titik
maka graf
adalah pohon . Asumsikan
adalah graf dengan tepat satu
lintasan diantara dua titik. Pertama perhatikan
terhubung. Anggaplah
bahwa
Jelas bahwa ada dua
mengandung siklus.
lintasan dari
ke
.
. Ini kontradiksi , karena
lintasan diantara dua titik. Jadi graf
mempunyai tepat satu
tidak mengandung siklus dan
adalah pohon.
Kelas graf pohon yang berkaitan dengan penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Graf bintang
Graf bintang
berderajat
(Star)
adalah suatu graf tehubung yang mempunyai satu titik
yang disebut pusat atau titik lainnya berderajat satu (Chartrand
dkk.,1998).
Gambar 11. Graf Bintang
13
2. Graf Bintang Ganda
Suatu graf pohon disebut graf bintang ganda (double star) jika graf pohon
tersebut mempunyai tepat dua titik
dan
berturut-turut berderajat
dan
berderajat lebih dari satu. Jika
dan
, dinotasikan dengan
(Chartrand dkk.,1998).
Gambar 12. Graf Bintang Ganda
3. Graf Ulat (Caterpillar Graf)
Graf ulat adalah graf pohon yang memiliki sifat apabila dihapus semua
daunnya akan menghasilkan lintasan (Chartrand dkk.,1998).
Gambar 13. Contoh Graf ulat
2.3. Dimensi Partisi Graf
Pada bagian ini akan diberikan definisi dan sifat-sifat dari dimensi partisi pada
suatu graf yang diambil dari Chartrand dkk. (1998).
Misalkan G = (V,E) suatu graf,
. Jarak dari titik v ke
dan
himpunan S, dinotasikan dengan d(v,S) adalah
{
} dengan
14
{
adalah jarak dari titik v ke x. Misalkan
dari V(G).
Representasi v terhadap
pasang terurut (
∣
pembeda dari V(G) jika
u,
dinotasikan dengan
).
∣
} adalah partisi
∣
Selanjutnya
adalah k
disebut partisi
untuk setiap dua titik berbeda
. Dimensi partisi dari G, dinotasikan dengan pd (G), adalah nilai k
terkecil sehingga G mempunyai partisi pembeda dengan k kelas.
Berikut ini akan diberikan graf G dan akan ditentukan dimensi partisinya.
Gambar 14. Dimensi Partisi graf G
Graf G dipartisi, sehingga diperoleh
}, S2 ={
|
= (0,1,1);
|
|
= (0,1,2); (
= (0,1,4);
|
= (1,0,6);
berbeda, maka
={
}, S3 ={
|
= (1,2,0);
|
) = (1,0,3);
= (1,0,5);
|
}, dengan S1 = {
}. Selanjutnya perhatikan bahwa
|
= (1,0,2);
|
|
= (1,0,4);
= (0,1,5);
|
= (0,2,2);
|
|
= (2,0,4);
= (0,1,6);
= (0,1,7). Karena representasi dari semua titik
adalah partisi pembeda dari graf G dan pd (G) ≤ 3.
(2.3.1)
15
Untuk menunjukkan pd (G) ≥ 3, andaikan terdapat partisi pembeda
dari G . Perhatikan titik
, titik
mempunyai 3 daun yaitu
={
}
. Jika
hanya terdapat dua kelas partisi pembeda, maka dua dari tiga daun tersebut akan
memiliki partisi pembeda yang sama. Akibatnya representasi kedua daun itu
akan sama, karena memiliki jarak yang sama terhadap titik-titik lainnya pada
graf G, maka hal ini kontradiksi dengan pengandaian. Jadi pd (G) ≥ 3.
(2.3.2)
Berdasarkan persamaan (2.3.1) dan (2.3.2) diperoleh pd (G) = 3.
Berikut ini akan diberikan lemma dan teorema penting dari dimensi partisi
yang telah dibuktikan Chartrand dkk. (1998).
Lemma 2.2.1
Diberikan G graf terhubung dengan partisi pembeda
V(G), jika d(u,w) = d(v,w) untuk setiap w
merupakan elemen yang berbeda dari
dari V(G), untuk u,v
V(G) – {
} , maka u dan v
Berikut ini akan diberikan teorema untuk menentukan dimensi partisi pada
graf bintang ganda.
Teorema 2.2.2
Jika T adalah graf bintang ganda berorde n ≥ 6 dengan x dan y dua titik yang
bukan daun, maka pd (T) =
{
}
.
16
Bukti :
Misalkan r = deg(x) – 1 dan s = deg (y) -1, dengan r ≥ s. Misalkan
adalah daun dari T yang bertetangga dengan x dan
adalah daun yang
bertetangga dengan y . Untuk membuktikannya dibagi menjadi dua khusus.
Kasus 1. Jika r = s.
={
Diberikan
|
|
|
{
{
}, dengan
} untuk 3 ≤ i ≤ r.
= (1,0,2,2,…,2);
= (0,1,1,…,1);
= (1,2,…,0,…);
|
}
|
Perhatikan bahwa
= (0,1,2,2,…,2);
|
{
}
= (0,2,2,2,…,2);
= (2,0,2,2,…,2);
|
= (1,0,1,1,…,1); untuk 3 ≤ i ≤ r,
|
= (2,1,…,0,…), komponen ke – i bernilai 0.
Akibatnya semua titik mempunyai representasi yang berbeda . Jadi, pd (T) ≤ r
Kasus 2. Jika r > s. Pada kasus 2 ini, dapat dipecah lagi menjadi sub kasus.
Bagian 2.1. Jika s = 1. Maka r ≥ 3.
Diberikan
|
{
={
Jadi
} dengan
} untuk 2 ≤ i ≤ r. Karena
;
|
{
|
},
{
}
adalah partisi pembeda dari V(T) dan pd (T) ≤ r.
;
|
{
}
17
Bagian 2.2 Jika s ≥ 2.
Diberikan
{
={
} dengan
} untuk 3 ≤ i ≤ s, dan
{
};
{
}
} untuk s + 1 ≤ i ≤ r. Pernyataan sama
{
yang digunakan pada bagian 2.1 menunjukkan bahwa
dari V(T) dan pd(T ) ≤ r. Jadi terbukti bahwa pd (T) = m
adalah partisi pembeda
{
}
.
Contoh penentuan dimensi partisi graf bintang ganda. Diberikan graf bintang
ganda S3,2 , akan ditentukan bahwa pd(S3,2) = 3.
3
v5
v6
1
2
v7
1
3
1
v1
v2
v3
2
v4
Gambar 15. Dimensi partisi graf bintang (S3,2)
={
Graf bintang ganda (S3,2) dipartisi sedemikian sehingga diperoleh
{
dengan
}
{
} ,
bintang ganda (S3,2) adalah sebagai berikut :
|
|
|
= (0,1,1);
= (2,0,1);
berbeda, maka
= (0,2,2);
|
= (0,2,1).
|
{
|
} . Representasi dari graf
= (1,1,0);
= (1,0,2);
|
= (2,2,0);
Karena representasi dari setiap titik
adalah partisi pembeda dari graf S3,2 dan pd(G) ≤ 3.
Untuk menunjukkan pd(G) ≥ 3, andaikan terdapat partisi pembeda
dari G dengan
}
{
}
{
}, maka titik
={
}
akan memiliki
representasi yang sama yaitu (2,0), hal ini kontradiksi dengan pengandaian. Jadi
pd(G) ≥ 3. Akibatnya pd(G) = 3
18
Teorema 2.2.3
Misalkan K1,n graf bintang berorde n ≥ 1 maka pd(K1,n) = n
Bukti :
vn 1
v11
v10
v2
n
v12 11
1
10
v3
2
v1
9
3
1
8
v4
4 v5
v9
7
v8
6
5
v7
v6
Gambar 16. Dimensi Partisi graf bintang K1,n
Graf K1,n dipartisi sedemikian sehingga
{
|
} , dengan
{ }, . . ., dan
{ },
{ }
{ },
{ }
},
= {
}. Perhatikan bahwa representasi dari Graf K1,n adalah sebagai berikut
{
=
(0,1,1,1,1,1,1,...,1);
(1,0,2,2,2,2,...,2);
(1,2,2,0,2,2,...,2);
|
|
=
|
=
(0,2,2,2,2,...,2);
(1,2,0,2,2,2,...,2);
= (1,2,2,2,0,2,...,2);
Karena representasi dari semua titik berbeda, maka
|
|
|
=
=
= (1,2,2,2,2,2,...,0).
adalah partisi pembeda dari
graf K1,n dan pd (K1,n) ≤ n.
Untuk menunjukkan pd (K1,n) ≥ n, andaikan terdapat partisi pembeda
(
{
}) dari K1,n , maka akan ada representasi yang
sama yaitu pada titik vn dan vn+1 maka
bukan merupakan partisi pembeda dari
19
graf K1,n, hal ini kontradiksi dengan pengandaian. Jadi pd (K1,n) ≥ n . Akibatnya
pd (K1,n) = n
Teorema 2.2.4
Jika T adalah graf ulat dengan
. Untuk membuktikan Teorema 2.2.4, perhatikan partisi pembeda
pada graf ulat berikut :
v6
1
v5
v3
v8
2
1
1
2
3
v2
v3
v6
2
v4
v1
1
v5
v1
3
2
v7
3
v8
1
2
2
Gambar 16. Dimensi partisi graf ulat T1,T2
v6
v4
1
3
1
1
2
v1
v2
v3
2
3
v5
Gambar 17. Dimensi partisi graf ulat T3
v4
v2
20
v5
v16
v9
1
2
2
v6
v15 1
1
2
v3
v14
1
v11
v8
v12
4
v4
v1
2
3
2
v2
v13
3
v7
3
v10
1
3
3
Gambar 18. Dimensi partisi graf ulat T4
Graf ulat T1 pada Gambar 16 memiliki
minimal partisi pembeda
{
dan
}.
={
dengan
} dengan
{
}
{
Graf ulat T2 pada Gambar 16 memiliki
={
minimal partisi pembeda
{
}.
}
dengan
} dengan
{
}
{
} dan
Graf ulat T3 pada Gambar 17 adalah graf bintang ganda dan berdasarkan Teorema
.
2.2.2 maka
Graf ulat T4 pada Gambar 18 memiliki
{
{
}
} dan
{
dengan partisi pembedanya
{
};
{
}
}. Untuk menunjukkan
pd (T4) = 4 cukup dengan menunjukkan bahwa tidak ada partisi pembeda dengan
tiga kelas partisi dari V(T4). Misalkan
={
} sebagai partisi pembeda dari
V(T4) maka akan ada kesamaan partisi pembeda dari titik v1 dan v2 sehingga
21
mengakibatkan representasinya akan sama juga.
Sehingga
= {
}
bukanlah partisi pembeda yang tepat untuk T4, hal ini kontradiksi dengan
pengandaian. Akibatnya
Selanjutnya akan diberikan beberapa Lemma hasil penelitian Asmiati dkk. tentang
dimensi partisi dari graf amalgamasi bintang.
Lemma 2.2.2 Misal
dan | |
. Partisi pembeda
hanya jika
dan
{
adalah hasil partisi dari graf
jika dan
dalam kelas yang sama pada kelas kombinasi pada
} dan jika {
Bukti :
Misal
adalah partisi pembeda dari graf
} adalah pembeda.
dengan | |
adalah hasil partisi dari graf
adalah kelas yang sama dari
. Jika kombinasi kelas dari
dan jika
adalah sama. Karena
untuk setiap
maka representasi dari
dan
dan
{{ |
adalah sama. Jadi
}
{
|
}}
bukan hasil dari partisi.
Maka kontradiksi dengan pengandaian.
Misal
adalah partisi pembeda dari graf
Misal A dinotasikan dari kombinasi kelas graf
dinotasikan dari kombinasi kelas graf. {
dan
adalah kelas yang sama dari
|
dengan | |
.
dan B
} Perbandingan
. Karena A = E, maka
dan
22
dimana
dan
.
representasi dari setiap
1.
Jelas,
n-ordinat.
2.
Jika
adalah unik.
|
|
dan
Akan ditunjukkan bahwa
karena representasinya berbeda dalam m-ordinat dan
adalah kelas yang sama pada
ditunjukkan bahwa ( | )
dan
|
dengan
. Bagi dalam 2 kasus.
(1)
Kasus 1, jika
(2)
alasan pada teorema ini, yaitu A = B. Jadi ( | )
Kasus 2, misal
akan
adalah kelas yang sama pada
dan
maka diperoleh
maka ( | )
|
.
|
adalah berbeda dalam x-ordinat dan y-ordinat.
3.
Jika
(
dan
|
Jika
.
dalam kelas yang sama pada
maka representasi
mempunyai setidaknya satu komponen yang bernilai 1. Sedangkan
| ) mempunyai tepat satu komponen yang bernilai 1.
Maka
4.
|
Jadi ( | )
|
dan
(
| ).
dalam kelas yang sama pada
|
maka representasi
mempunyai setidaknya satu komponen yang bernilai 1. Sedangkan ( | )
mempunyai tepat satu komponen yang bernilai 1. Maka
5.
Jika
dan
(1) Kasus
dalam kelas yang sama pada . Bagi dalam 2 kasus.
. Representasi
komponen yang bernilai 1. Sedangkan
komponen yang bernilai 1. Maka
(2) Kasus
|
.Karena
|
|
( | ).
mempunyai
mempunyai kurang dari
|
maka
|
|
.
|
.
23
Lemma 2.2.3. Misal
adalah
partisi
, maka
.
Bukti :
Misal
adalah
partisi pada
, tetap untuk , misal ,
maka jumlah kombinasi partisi dapat digunakan oleh { |
adalah
. Karena
partisi dari , untuk setiap
Berdasarkan Lemma 2.2.1 kita peroleh jumlah dari
tetapi, jika
}
adalah
maka kita
dalam kelas partisi yang sama dan
harus menghilangkan
. Akan
, untuk memastikan bahwa semua titik akan mempunyai
representasi yang berbeda. Maka jumlah maksimum dari
adalah
-1
III. METODE PENELITIAN
3.1. Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap Tahun Akademik 2014-2015, di
Jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung.
3.2. Metode Penelitian
Metode yang dilakukan untuk menentukan dimensi partisi dari graf
adalah dengan langkah-langkah sebagai berikut :
1.
Mengkonstruksi graf
2.
Memilih titik tertentu dalam graf amalgamasi bintang
graf
tertentu
yaitu titik pusat
sebagai titik awal dalam graf
3.
Memberi label pada kelas-kelas partisi dengan partisi seminimal mungkin
4.
Menentukan batas bawah dari pd
. Berdasarkan lemma 2.2.1 dapat
ditentukan batas bawah dari dimensi partisi
karena terdapat titik pada (
pd
≥k
. Hal ini dapat dilakukan
) yang mempunyai k daun, akibatnya
25
5.
Menentukan batas atas dari pd
. Batas atas dari pd
dengan cara mengkonstruksi graf
diperoleh
. Himpunan titik-titik pada graf
dikelompokkan berdasarkan diameternya kedalam kelas partisi
pembeda.
Minimum banyaknya partisi pembeda itulah yang merupakan
dimensi partisi dari graf
.
BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dari hasil-hasil penelitian dimensi partisi pada graf amalgamasi bintang
untuk
bilangan asli dapat disimpulkan bahwa bentuk umum dari dimensi
) untuk k ≥ m adalah :
partisi graf (
(
)
⌊
{
⌋
untuk kasus 1≤ n ≤
Berikut ini diberikan konstruksi graf
1
l21 k
l
1
l
23
l
l
1
1k
l
1
2
l
1
22
l
31
1
1
3k
1
1
l
l
l
m1
m1
l l
x1
l
1
22
2
1k
( m 1)1
( m1) k
l
( m1)3
2
21
2
1
2
13
2
2
l
33
32
2
3k
31
l
2
l
2
11
12
m 1
3
m
l l
l
l
2
l
2
l
l
l l
l
2
2
( m1) 2
1
l
2
2
1
1
12
l
l
l
23
l
m 1
1
11
2
1
3
1
13
l
1
21
1
l2k2
33
32
1
l
l l
l
1
2
m 1
2
( m 1) k
-
l
2
2
l
( m 1 )1
l
( m 1) 2
2
( m1)3
x2
Gambar 56. Kontruksi graf
m 1
l
l
22
m 1
l l
1k
m1
l
2
m1
l
m 1
1
m 1
l
m1
3
21
l
xn
m 1
3k
m 1
m1
l
(m1)k
mn
m1
l
m1
31
l13 l12 l11 l
m 1
m1
33
32
m1
m 1
23
l l
m1
2k
n
l
m1
(m1)k
m1
(m1)k
m 1
l
m1
(m1)k
73
Sedangkan konstruksi dari graf untuk kasus n lainnya adalah sebagai berikut :
x1
1
l
1
2(k1)
l
23
1
l
l
22
l
l
3
21
m1
l
l
1
l
1
1
12
11
1
3( k 1)
l
l
22
l
m1
l
l
32
l
2
m2
13
2
2
12
11
l l
l
1
2
x1
l
2
33
2
3
2
3(k 1)
l
l
k
m 1
23
l
k
m1
22
l
l
k
m 1
2 ( k 1 )
l
k
m 1
2
2
l
k
m 1
1 ( k 1 )
mm1
( m1) 2
m 1
l
( m 1 ) 3
k
m1
1
l
k
m1
13
l
k
m1
12
k
m 1
32
k
m1
3
k
m 1
21
l
l2
l
k
m 1
31
l
( m 1)1
2
l
l
m1
2
l
k
m1
11
l l
2
(m1)(k1)
l
31
21
1
( m 1) 2
1
l
2
xk
2
l
l
l
l
l
2
2
1(k1)
( m 1) 3
2
2
2
( m 1)1
l
l l
l
23
33 2
l
2
2(k1)
2
1
1
1
1
l
l
1
1
1
13
32
31
2
1
1(k1)
l
l
1
l
1
x2
2
l
l
k
m1
33
k
m 1
3 ( k 1)
k
m1
( m1)(k 1)
n
m1
k
m1
(m1)(k1)
l
k
m 1
( m 1)( k 1)
k
m1
(m1)(k1)
l
l
(m1)(k1)
xn
x2
Gambar 57. Partisi Pembeda pada graf nSm,k untuk kasus n lainnya
5.2 Saran
Penelitian ini memberikan masalah terbuka untuk penelitian selanjutnya, yaitu
menentukan dimensi partisi graf
masing sisi pendant.
dengan mensubdivisi
titik pada masing-
DAFTAR PUSTAKA
Asmiati, Assiatun, H, Baskoro, E.T, Locating-Chromatic Number of Almagamation
of Starts, ITB J.Sci., 43A, 1-8, 2011.
Asmiati. 2012. Partition Dimension of Amalgamation of Stars. Bulletin of
Mathematics. Vol 04, No. 02, 161-167.
Chartrand, G, Erwin, D, Henning, M.A, Slater, P.J, dan Zhang, P.2002. The locatingchromatic number of a graph, Bull.inst. combin. Apll., 36, 89-101.
Chartrand, G., E. Salehi, dan P. Zhang. 1998. On The Partition Dimension of
Graph, Congr. Numer,.130, 157-168.
Chartrand, G., E. Salehi, dan P. Zhang. 2000. The Partition Dimension of a Graph,
Aequationes Math.59, 45-54.
Deo, Narsigh. 1989. Graph Theory With Applications to Engineering And Computer
Science. Prentice Hall Inc. New York.
Harsfield,N, dan G. Ringel.1994. Pearl In Graph Theory. A Comprehensive
Introduction. Revised And Augmented. Academic Press Inc. USA
Harary dan Melter. (1976). ― On the Metric Dimension of Graph.
Combinatoria. Volume 2 Pages 1991-1995, Wesley Publishing, Inc.
Ristanti, Dinda. 2015. Dimensi Partisi pada Graf nS4,k . Skripsi ; Fakultas MIPA,
Universitas Lampung.
Tomescu, L., Javaid, I., and Slaim, 2007. On Partition Dimension and Connected
Partition Dimension of Wheels, Ars Combin., 84, 311-317.