DIMENSI PARTISI GRAF n-Ary LENGKAP DENGAN KEDALAMAN k
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
ABSTRAK
DIMENSI PARTISI GRAF
LENGKAP DENGAN KEDALAMAN
Oleh
Erwin Hendrianto
Dimensi partisi pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk. Pada tahun 1998, dengan
mengembangkan konsep dimensi metrik. Misalkan
adalah partisi
dari
Representasi
terhadap
,
| (
)
Jika untuk setiap
| |
maka
disebut partisi pembeda.
Banyaknya minimum partisi pembeda disebut dimensi partisi dari
dan dinotasikan
dengan
Graf
untuk
bilangan asli adalah graf
lengkap
dengan kedalaman
dan setiap titik mempunyai
anak kecuali pada daun-daunnya.
Dimensi partisi dari
adalah
untuk
sedangkan dimensi partisi
adalah
untuk
Dimensi partisi graf
secara umum belum dapat
ditentukan karena terkendala batas atasnya.
(2)
(3)
DIMENSI PARTISI GRAF
LENGKAP
DENGAN KEDALAMAN
(Skripsi)
Oleh
Erwin Hendrianto
1017031027
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
(4)
DAFTAR GAMBAR
GAMBAR
Halaman
1.
Contoh graf
dengan 5 titik dan 7 sisi. ...
4
2.
Sirkuit genap dengan
dan sirkuit ganjil
...
5
3.
Jarak
dan
...
6
4.
Graf
adalah sub graf
...
6
5.
adalah pohon dan
adalah hutan ...
6
6.
Pohon berakar dengan titik
sebagai akar
...
7
7.
Graf pohon biner dan pohon biner penuh ...
7
8.
Graf
...
7
9.
...
8
10.
Graf bintang
...
8
11.
Graf bintang ganda
...
8
12.
Dimensi partisi graf
...
9
13.
Dimensi partisi graf bintang ganda
...
12
14.
Partisi pembeda pada graf
...
13
15.
Partisi pembeda minimum graf
...
16
(5)
vii
17.
Partisi pembeda minimum graf
...
17
18.
Partisi pembeda minimum graf
...
18
19.
Partisi pembeda minimum graf
...
19
20.
Partisi pembeda minimum graf
...
22
21.
Partisi pembeda minimum graf
...
21
22.
Partisi pembeda minimum graf
...
22
23.
Partisi pembeda minimum graf
...
24
24.
Partisi pembeda minimum graf
...
25
(6)
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ...
v
I.
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang ...
1
1.2
Perumusan Masalah ...
3
1.3
Tujuan Penelitian ...
3
1.4
Manfaat Penelitian ...
3
II.
LANDASAN TEORI
2.1 Konsep dasar graf ...
4
2.2 Dimensi partisi graf ...
9
III.
METODOLOGI PENELITIAN
3.1
Waktu dan Tempat Penelitian ...
14
3.2
Metode Penelitian ...
14
IV.
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1
Dimensi partisi graf
...
16
4.2
Dimensi partisi graf
...
20
4.3
Dimensi partisi graf
...
25
V.
SIMPULAN DAN SARAN
(7)
(8)
(9)
MOTTO
“
Wahai orang-orang yang beriman! Bersabarlah kamu dan
kuatkanlah kesabaranmu dan tetaplah bersiap-siaga dan
bertaqwalah kepada Allah agar kamu beruntung
”
(Al
i „Imran.200
)
“
Barang siapa yang bersungguh-sungguh maka ia akan
berhasil
”
(Alhadist)
Sekecil apapun hal baik yang kita lakukan di hari ini
akan berdampak bagi kebaikan yang datang pada kita di
masa depan.
Jadilah pribadi yang mengutamakan kebaikan agar
kebaikan diutamakan bagi diri kita .
(10)
(11)
i
Dengan segala kerendahan hati dan rasa syukur, aku
persembahkan karya kecilku ini untuk-Mu ya Allah, yang
selalu memberikan rahmat dan Hidayah sehingga skripsi ini
terselesaikan.
Untuk ibu, bapak dan adikku yang selalu memberikan kasih
sayang dan memberikanku dukungan dan tempat istimewa
di hati kalian , yang selalu memberikanku motivasi untuk
tetap semangat.
Kepada teman-temanku,
(12)
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Pekalongan yang saat itu masih Kab. Lampung Tengah pada
28 Januari 1991 dan sekarang menjadi Kab. Lampung Timur, anak pertama dari
dua bersaudara pasangan Ibu Karmi dan Bapak Samino.
Penulis memulai pendidikan pertamanya di SDN 2 Gondangrejo pada tahun 1998.
Kemudian pada tahun 2004 menjadi siswa SMPN 2 Pekalogan dan kemudian
dilanjutkan ke SMA Muhammadiyah 1 Metro pada tahun 2007 dan lulus pada
tahun 2010. Di tahun yang sama, penulis diterima sebagai mahasiswa Jurusan
Matematika Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN.
Selama menjadi mahasiswa FMIPA penulis mengikuti berbagai organisasi seperti
Anggota Bidang Keilmuan HIMATIKA, ROIS, PMII dan BEM FMIPA. Pada
tahun 2013 penulis melaksanakan kerja praktik di PT. PLN Wilayah Lampung
Rayon Wayhalim
(13)
ii
SANWANCANA
Puji syukur penulis panjatkan atas kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan
rahmat dan hidayah-Nya kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan penulisan
tugas akhir sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains
matematika di Universitas Lampung ini. Shalawat serta salam semoga tetap
tercurahkan kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW, penuntun jalan bagi
seluruh umat manusia.
Terselesainya penulisan skripsi yang berjudul
“
Dimensi Partisi Graf
Lengkap dengan Kedalaman
” ini
tidak terlepas dari
do’a
, bimbingan, dukungan
serta saran dari berbagai pihak yang telah membantu. Oleh karena itu, dalam
kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih kepada:
1.
Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si, selaku dosen pembimbing utama yang telah
meluangkan waktu untuk membimbing, mengarahkan, dan memotivasi
penulis sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.
2.
Ibu Fitriani, S.Si., M.Sc, selaku dosen pembimbing kedua yang telah
memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.
3.
Bapak Amanto, S.Si., M.Si, selaku penguji atas saran dan kritik yang
diberikan bagi skripsi ini.
(14)
iii
4.
Ibu Wamiliana, Ph.D, selaku dosen pembimbing akademik yang telah
membimbing penulis selama mengikuti perkuliahan di Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
5.
Bapak Drs. Tiryono Ruby, Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
6.
Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
7.
Dosen, staff, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah
memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
8.
Bapak dan Ibu ku tercinta yang selalu mendo’akan dan menyemangatiku.
9.
Teman-teman seperjuangan Dinda Ristanti, Epy Lestari, Agustina Ambar
Wulan, dan Suryadi.
10.
Angga Wijaya, Rohandi, Miftah Farid AR, Muhammad Rido, Hasbi Alkarim,
Herman, Ridho, dan teman-teman Jurusan Matematika atas bantuan
do’a
dan
rasa kekeluargaan yang telah diberikan.
Penulis menyadari skripsi ini jauh dari sempurna dan penulis juga berharap
penelitian ini dapat berguna dan bermanfaat bagi pembaca. Amiin.
Bandar Lampung, 12 Agustus 2014
Penulis
(15)
I.
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Teori graf merupakan salah satu kajian matematika yang memiliki banyak
terapannya diberbagai bidang sampai saat ini. Dalam kehidupan sehari-hari, graf
digunakan untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada. Tujuannya
adalah sebagai visualisasi objek-objek agar lebih mudah dimengerti. Beberapa
contoh aplikasi graf yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari antara lain
adalah struktur organisasi, bagan alir, peta rangkaian listrik, dan lain-lain.
Salah satu kelas graf yang mempunyai aplikasi pada bidang informatika adalah
graf pohon. Graf pohon memegang peranan penting bagi
programmer
untuk
menggambarkan hasil karyanya. Bagi seorang
user
, setiap kali berhadapan dengan
monitor untuk menjalankan program aplikasi selalu akan menelusuri bagian
–
bagian dari graf pohon sebelum sampai pada program aplikasi yang dimaksud.
Konsep dimensi partisi dan pewarnaan adalah dua konsep yang mendasari
lahirnya bilangan kromatik lokasi. Konsep dimensi partisi diperkenalkan oleh
Chartrand dkk, pada tahun 1998. Konsep ini merupakan bentuk lain dari konsep
dimensi metrik yang sebelumnya sudah diperkenalkan oleh Slater (1975) dan
Melter dkk. (1976).
(16)
2
Misalkan
suatu graf,
dan
. Jarak dari titik
ke himpunan
, dinotasikan dengan
adalah
{ }
dengan
adalah jarak dari titik
ke
. Misalkan
{
}
adalah
partisi dari
dengan
kelas-kelas dari
. Representasi
terhadap
,
dinotasikan
dengan
,
adalah
-tupel
terurut
. Selanjutnya,
disebut partisi pembeda dari
jika
untuk setiap dua titik berbeda
Dimensi
partisi
dari
, dinotasikan
adalah nilai
terkecil sehingga
mempunyai
partisi pembeda dengan
kelas (Chartrand, 1998).
Penentuan dimensi partisi dari graf terhubung telah dilakukan oleh Chartrand dkk.
(1998), khusus untuk kelas pohon telah didapatkan dimensi partisi dari graf
lintasan
yakni
dan graf bintang
, yakni
(
)
.
Graf bintang ganda
berorde
{ }
dengan
dan
dua titik yang bukan daun. Selain itu, didapatkan batas atas dan bawah
dimensi partisi dari graf ulat. Graf ulat adalah pohon yang mempunyai sifat jika
dihapus semua daunnya akan menghasilkan lintasan.
Chartrand dkk (2000) telah mengkaji dimensi partisi pada graf bipartite
Selanjutnya, Asmiati (2012) telah mendapatkan dimensi partisi pada graf
amalgamasi bintang.
Graf
untuk
n, k
bilangan asli adalah graf
ary lengkap dengan
kedalaman
dan setiap titik mempunyai
anak kecuali pada daun-daunya.
Kedalaman dari
adalah panjang lintasan dari titik akar ke daun-daunya.
Jelas bahwa
adalah graf bintang dan
adalah graf lobster.
(17)
3
Ketertarikan penulis pada penelitian ini adalah terkait masalah dimensi partisi
pada graf
. Sehingga, fokus dari penelitian ini adalah menentukan dimensi
partisi dari graf
, untuk
bilanga asli.
1.2
Perumusan Masalah
Misalkan diberikan graf terhubung
. Permasalahan yang akan dikaji dalam tugas
akhir ini adalah menentukan dimensi partisi dari graf
dengan
bilangan
asli dan
.
1.3
Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah sebagai langkah awal untuk menentukan
dimensi partisi secara umum dari graf
dengan
bilangan asli.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat yang didapat dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
a.
Memberikan sumbangan pemikiran untuk memperluas dan memperdalam ilmu
matematika di bidang teori graf terutama tentang dimensi partisi dari graf
b.
Untuk referensi penelitian lanjutan tentang dimensi partisi kelas graf pohon
lainnya.
(18)
II. LANDASAN TEORI
2.1 Konsep Dasar Graf
Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan dimensi partisi graf yang
digunakan sebagai landasan teori pada penelitian ini. Teori dasar mengenai graf
yang akan digunakan dalam penelitian diambil dari Deo (1989).
Garf
didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut
) ))
dengan
)
menyatakan
himpunan
titik,
dengan
)
Sedangkan,
)
menyatakan
himpunan
sisi
yakni
menyatakan pasangan tak terurut dari
)
.
Gambar 1. Contoh graf
dengan 5 titik
dan 7 sisi
Dua titik dikatakan bertetangga jika ada sisi yang menghubungkan keduanya. Suatu
garis dikatakan menempel dengan suatu titik
u,
jika titik
u
merupakan salah satu
ujung dari garis tersebut. Pada Gambar 1, titik
bertetangga dengan titik
dan
; sisi
menempel pada titik
dan
.
(19)
5 (b)
Derajat suatu titik
adalah banyaknya sisi yang menempel pada titik
dan
dinotasikan dengan
d
(
). Pada Gambar 1,
)
)
)
)
dan
5
)
. Pada graf
titik
merupakan
loop
, yaitu sisi yang
mempunyai titik awal dan titik akhir yang sama. Sedangkan, sisi paralel pada graf
ialah sisi
dan
yang mempunyai dua titik ujung yang sama yaitu
dan
.
Graf yang tidak memiliki
dan sisi paralel disebut graf sederhana.
Jalan (
walk
) adalah barisan berhingga
titik dan garis, dimulai dan diakhiri oleh titik,
sedemikian sehingga setiap sisi
menempel dengan titik
sebelum dan sesudahnya.
Jalan yang berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut jalan tertutup.
Lintasan (
path
) adalah jalan
yang semua titiknya berbeda. Sirkuit adalah lintasan
tertutup. Sirkuit genap adalah lintasan
yang dimulai dan diakhiri dengan titik yang
sama dan banyak titiknya genap. Sedangkan, jika banyak titiknya ganjil, maka
disebut
sirkuit
ganjil.
Pada
Gambar
1
contoh
jalan
adalah
5
,
contoh
lintasan
adalah
5
contoh sirkuit adalah
5
Gambar 2. (a) Sirkuit genap dengan
= 4 dan (b) Sirkuit ganjil dengan
= 5
(a)
5 5
(20)
6
Misalkan
)
adalah graf terhubung,
dan
. Jarak titik
terhadap
didefinisikan sebagai
)
)
.
Gambar 3. Jarak
) )
dan
)
Graf
dikatakan subgraf
jika dan hanya jika
) )
dan
)
)
Gambar 4. Graf
adalah subgraf
Berikut ini diberikan beberapa kelas graf pohon yang berkaitan dengan penelitian
ini. Pohon adalah graf terhubung yang tidak memuat sirkuit. Pohon yang hanya
memiliki sebuah titik disebut pohon semu, sedangkan gabungan dari beberapa
pohon disebut hutan (Siang, 2009).
Gambar 5. Contoh pohon T
dan hutan P.
(21)
7
Pohon berakar (
rooted tree)
adalah pohon dengan satu titik yang dikhususkan dari
titik yang lain (Siang, 2009)
Gambar 6. Pohon berakar
dengan titik
sebagai akar.
Pohon biner
(
binary tree)
merupakan pohon berakar yang setiap titiknya memiliki
paling banyak dua daun yang disebut daun kiri dan daun kanan (Siang, 2009).
Pohon biner penuh adalah pohon biner yang setiap titiknya memiliki tepat dua
anak.
(a ) (b)
Gambar 7. (a) Pohon biner; (b) pohon biner penuh
Pohon
n-ary
adalah pohon berakar yang setiap titiknya mempunyai paling banyak
buah daun (Welyyanti, 2000)
Gambar 8. Graf
n-ary
55
...
(22)
8
Graf
)
untuk
n, k
bilangan asli adalah graf
- ary lengkap dengan kedalaman
k
dan setiap titik mempunyai
anak kecuali pada daun-daunnya. Kedalaman dari
)
adalah panjang lintasan dari titik akar ke daun-daunya. Jelas bahwa
)
adalah graf bintang dan
)
adalah graf lobster (Welyyanti, 2000).
(a) (b) (c)
(d)
Gambar 9. (a)
)
; (b)
)
; (c)
)
dan (d)
)
Graf bintang (
star
)
adalah suatu graf terhubung yang mempunyai satu titik
berderajat
yang disebut dengan pusat, dan
titik lain yang berderajat
satu yang disebut daun (Chartrand, 2000).
Gambar 10. Graf bintang
Sebuah graf pohon disebut graf bintang ganda jika graf pohon tersebut mempunyai
tepat dua titik
dan
berderajat lebih dari satu. Jika
dan
, berturut-turut
berderajat
dan
maka graf bintang ganda dinotasikan dengan
(Chartrand, 1998).
(23)
9
2.2 Dimensi partisi Graf
Pada bagian ini akan diberikan definisi dimensi partisi, sifat-sifatnya dan beberapa
kelas graf yang sudah diperoleh dimensi partisinya.
Misalkan
)
suatu graf,
)
dan
)
. Jarak dari titik
ke
himpunan
, dinotasikan dengan
)
adalah
)
dengan
)
adalah jarak dari titik
ke
. Misalkan
{
}
adalah partisi dari
)
dengan
kelas-kelas dari
. Representasi
terhadap
,
dinotasikan dengan
)
, adalah
-tupel terurut
)
)
))
.
Selanjutnya,
disebut partisi pembeda dari
)
jika
) )
untuk
setiap dua titik berbeda
)
Dimensi partisi
dari
, dinotasikan
)
adalah nilai
terkecil sehingga
mempunyai partisi pembeda dengan
kelas
(Chartrand, 1998).
Berikut ini diberikan graf
dan akan ditentukan dimensi partisi dari graf
tersebut.
Gambar 12. Dimensi partisi graf
5
(24)
10
Graf
dipartisi
sedemikian
sehingga
diperoleh
, dengan
,
5
dan
. Perhatikan bahwa
r
(
|
)
(2,0,3) ;
r
(
|
) = (1,0,2);
r
(
|
) = (0,1,1);
r
(
|
) = (0,2,2);
r
(
5|
) =
(1,0,2);
r
(
|
) = (1,2,0);
r
(
|
) = (0,1,3);
r
(
|
) = (1,0,4);
r
(
|
) = (0,1,5);
r
(
|
) = (0,2,4). Karena representasi dari semua titik adalah berbeda, maka
adalah partisi pembeda dari
dan
)
Untuk menunjukkan
)
andaikan terdapat partisi pembeda
dari
. Perhatikan bahwa
mempunyai 3 daun, yaitu
5
. Karena hanya
terdapat dua kelas partisi pembeda, maka dua dari tiga daun tersebut harus berada
pada kelas partisi yang sama. Akibatnya, representasi kedua daun itu akan sama,
karena mempunyai jarak yang sama terhadap titik-titik yang lain. Jadi, |
| ≥ 3.
Akibatnya,
)
.
Berikut ini adalah sifat penting dimensi partisi yang telah dibuktikan oleh
Chartrand dkk (1998).
Lemma 2.2.1
Diberikan
graf terhubung yang tidak trivial dengan partisi pembeda
dari
)
Untuk
)
, jika
) )
untuk setiap
)
, maka
(25)
11
Berikut ini adalah teorema yang digunakan untuk menentukan dimensi partisi pada
graf bintang ganda.
Teorema 2.2.2
Jika
adalah graf bintang ganda berorde
≥ 6
, dengan
dan
dua titik yang
bukan daun, maka,
) ) )
.
Bukti :
Misalkan
= deg
)
1 dan
deg
)
, dengan
Misalkan
adalah daun dari
yang bertetangga dengan
dan
adalah
yang daun bertetangga dengan
. Untuk membuktikannya dibagi menjadi dua
kasus.
Kasus 1.
Jika
Diberikan
}, dengan
,
dan
untuk
Perhatikan
bahwa
r
(
|
)
(0,2,2,2,…,2
);
r
(
|
)
(1,0,2,2,…,2);
r
(
|
)
(0,1,2,2,…2);
r
(
|
)
(2,0,2,2,….2);
r
(
|
)
(0,1,1,…,1);
r
(
|
)
(1,0,1,1,…,1) untuk
,
r
(
|
)
(1,2,…,0,…) dan
r
(
|
)
(2,1,…0,…),
komponen ke
bernilai 0. Akibatnya semua titik
mempunyai representasi yang berbeda. Jadi,
)
Kasus 2. Jika
. Pada kasus 2 ini, dapat dipecah lagi menjadi sub kasus.
Bagian 2.1.
Jika
Maka
Diberikan
dengan
,
,
, dan
untuk
Karena
r
(
|
)
= (1,0,2,*,*,….,*);
r
(
|
)
= (1,2,0,*,*,…,*);
r
(
|
)
= (1,0,1,*,*,…,*);
r
(
|
)
= (0,1,0,*,*,….,*)
. Jadi,
partisi pembeda dari
)
dan
)
(26)
12
Bagian 2.2. Jika
. Diberikan
dengan
;
,
untuk
, dan
untuk
Pernyataan yang sama yang digunakan bagian 2.1 menunjukkan bahwa
partisi
pembeda dari
)
dan
)
Jadi, terbukti bahwa
) ) )
.
Berikut ini adalah contoh penentuan dimensi partisi dari graf bintang ganda.
Gambar 13. Dimensi pertisi graf bintang ganda
Graf
graf
bintang
ganda
dipartisi
sedemikian
sehingga
diperoleh
, dengan
,
5
dan
. Perhatikan
bahwa
r
(
|
)
(1,0,1) ;
r
(
|
) = (0,1,2);
r
(
|
) = (0,2,3);
r
(
|
) = (1,0,3);
r
(
5|
) = (2,0,2);
r
(
|
) = (2,1,0). Karena representasi dari semua titik adalah
berbeda, maka
adalah partisi pembeda dari
dan
(
)
Untuk menunjukkan
(
)
Andaikan terdapat partisi pembeda
dari
. Dengan
dan
5
. Representasi setiap titik dari
graf bintang ganda
adalah
r
(
|
)
(1,0) ;
r
(
|
) = (0,1);
r
(
|
) = (0,2);
r
(
|
) = (1,0);
r
(
5|
) = (2,0);
r
(
|
) = (2,0). Terlihat bahwa
r
(
|
)
)
dan
r
(
5|
) =
r
(
|
). Jadi, |
| ≥ 3. Akibatnya
,
(
)
5 1 1 2 2 3 2
(27)
13
Berikut ini diberikan teorema untuk menentukan dimensi partisi graf lintasan.
Teorema 2.2.3
Misalkan
graf lintasan berorde
, maka
)
Bukti :
Misalkan graf lintasan
=
Asumsikan
={
S1,S2
}
adalah partisi dari
)
dengan
dan
maka
r
(
|
)
(0,1);
r
(
|
) = (1,0);
r
(
|
) = (2,0);
r
(
|
) = (3,0). Secara umum
r
(
|
) =
-1,0); untuk
. Oleh karena itu,
)
.
Berikut ini diberikan teorema menentukan dimensi partisi graf bintang ganda.
Teorema 2.2.4
Jika
graf bintang berorde
, maka
(
)
.
Berikut ini adalah contoh penentukan dimensi partisi dari graf
5Gambar 14. Partisi pembeda pada graf
5Misalkan graf
5dipartisi dengan lima partisi, asumsikan
5
dengan
,
,
5
, dan
5. Perhatikan
bahwa
) )
) )
)
(1,0,2,2,2);
) )
5
) )
) )
1 5 1 2 5
4 3
(28)
14
Karena representasi dari semua titik adalah berbeda , maka
adalah partisi
pembeda dari
5dan
5
)
5.
Untuk
menunjukkan
(
5)
andaikan
terdapat
partisi
pembeda
dari
5dengan
,
,
dan
5
. Representasi setiap titik dari graf
5adalah
) )
) )
)
(1,0,2,2);
) )
;
5
)
)
) )
Terlihat bahwa
5
)
)
.
Sehingga,
bukan partisi pembeda dari graf
. Jadi, |
Akibatnya,
)
(29)
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2013-2014 bertempat di
Jurusan
Matematika
Fakultas
Matematika
dan
Ilmu
Pengetahuan
Alam
Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang dilakukan untuk menentukan dimensi partisi dari graf
,
adalah
1.
Menentukan batas bawah dari
Berdasarkan Lemma 2.2.1, diberikan
graf terhubung yang tidak trivial
dengan partisi pembeda
Π
dari
Untuk
, jika
untuk setiap
, maka
dan
merupakan elemen yang berbeda dari
Π
.
Dapat ditentukan batas bawah trivial dari dimensi partisi
. Hal ini
dapat dilakukan karena setiap titik pada
mempunyai
anak
kecuali pada daun-daunya. Akibatnya,
(30)
15
2.
Menentukan batas atas dari
Batas atas dari
diperoleh dengan cara mengkonstruksi graf
Himpunan titik-ttik pada graf
dikelompokkan secara
counting
ke dalam kelas partisi pembeda. Minimum banyaknya partisi
pembeda itulah yang merupakan dimensi partisi dari graf
(31)
V. SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
Dimensi partisi graf
untuk
bilangan asli dengan
sebagai berikut :
1.
(
) (
) (
) (
)
untuk
.
2.
(
) (
) (
) (
)
untuk
.
3.
Dimensi partisi
untuk
sebarang bilangan asli belum dapat ditentukan
karena terkendala pada penentuan batas atasnya.
5.2 Saran
Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan menentukan dimensi partisi secara umum dari
graf
untuk
sebarang bilangan asli.
(32)
DAFTAR PUSTAKA
Asmiati. 2012. Partition Dimension of Amalgamation of Stars.
Bullen of
Mathematics
. 101. 04, No. 02, 161-167.
Welyyanti, D. E.Baskoro, T. Simanjuntak, R and Unttunggadewa, S. 2000,
On Locating-Chromatic Number of Complete n-Ary Tree,
AKACE Int. J.
GraphsComb.,
No.X(XXX).pp.61-67.
Deo, N. 1989.
Graph Theory with Applications to Engineering and Computer
Science
. Prentice Hall Inc, New York.
G. Chartrand, E. Salehi, dan P. Zhang, 1998,
On the partition dimension of
graph,
Congr. Numer
., 130, 157-168.
G. Chartrand, E. Salehi and P. Zhang, 2000.The partition dimension of a graph,
Aequationes Math
. 59 45
–
54.
Siang, J. J. 2009.
Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer
.
Andi, Yogyakarta.
(1)
13 Berikut ini diberikan teorema untuk menentukan dimensi partisi graf lintasan.
Teorema 2.2.3
Misalkan graf lintasan berorde , maka )
Bukti : Misalkan graf lintasan = Asumsikan ={S1,S2} adalah partisi dari ) dengan dan maka
r( | ) (0,1); r( | ) = (1,0); r( | ) = (2,0); r( | ) = (3,0). Secara umum
r( | ) = -1,0); untuk . Oleh karena itu, ) .
Berikut ini diberikan teorema menentukan dimensi partisi graf bintang ganda.
Teorema 2.2.4
Jika graf bintang berorde , maka ( ) .
Berikut ini adalah contoh penentukan dimensi partisi dari graf 5
Gambar 14. Partisi pembeda pada graf 5
Misalkan graf 5 dipartisi dengan lima partisi, asumsikan 5 dengan , , 5 , dan 5 . Perhatikan bahwa ) ) ) ) ) (1,0,2,2,2); ) ) 5 ) ) ) )
1 5 1 2 5
(2)
14 Karena representasi dari semua titik adalah berbeda , maka adalah partisi pembeda dari 5dan 5) 5.
Untuk menunjukkan ( 5) andaikan terdapat partisi pembeda dari 5 dengan , , dan
5 . Representasi setiap titik dari graf 5 adalah ) ) ) ) ) (1,0,2,2); ) ); 5 ) ) ) ) Terlihat bahwa 5 ) ).
Sehingga, bukan partisi pembeda dari graf . Jadi, | Akibatnya, )
(3)
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2013-2014 bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang dilakukan untuk menentukan dimensi partisi dari graf ,
adalah
1. Menentukan batas bawah dari
Berdasarkan Lemma 2.2.1, diberikan graf terhubung yang tidak trivial dengan partisi pembeda Π dari Untuk , jika
untuk setiap , maka dan
merupakan elemen yang berbeda dari Π.
Dapat ditentukan batas bawah trivial dari dimensi partisi . Hal ini dapat dilakukan karena setiap titik pada mempunyai anak kecuali pada daun-daunya. Akibatnya,
(4)
15 2. Menentukan batas atas dari
Batas atas dari diperoleh dengan cara mengkonstruksi graf
Himpunan titik-ttik pada graf dikelompokkan secara
counting ke dalam kelas partisi pembeda. Minimum banyaknya partisi pembeda itulah yang merupakan dimensi partisi dari graf
(5)
V. SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
Dimensi partisi graf untuk bilangan asli dengan sebagai berikut :
1. ( ) ( ) ( ) ( ) untuk . 2. ( ) ( ) ( ) ( ) untuk . 3. Dimensi partisi untuk sebarang bilangan asli belum dapat ditentukan
karena terkendala pada penentuan batas atasnya.
5.2 Saran
Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan menentukan dimensi partisi secara umum dari graf untuk sebarang bilangan asli.
(6)
DAFTAR PUSTAKA
Asmiati. 2012. Partition Dimension of Amalgamation of Stars. Bullen of Mathematics. 101. 04, No. 02, 161-167.
Welyyanti, D. E.Baskoro, T. Simanjuntak, R and Unttunggadewa, S. 2000, On Locating-Chromatic Number of Complete n-Ary Tree, AKACE Int. J. GraphsComb., No.X(XXX).pp.61-67.
Deo, N. 1989. Graph Theory with Applications to Engineering and Computer Science. Prentice Hall Inc, New York.
G. Chartrand, E. Salehi, dan P. Zhang, 1998, On the partition dimension of graph, Congr. Numer., 130, 157-168.
G. Chartrand, E. Salehi and P. Zhang, 2000.The partition dimension of a graph,
Aequationes Math. 59 45–54.
Siang, J. J. 2009. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer. Andi, Yogyakarta.