EMATIKA S SAINS DA AN TEKNOLOGI SITAS SAN NATA DHA ARMA YOGYAKA ARTA 2009 9

  

DIGRAF F CAYLEY Y DARI GR RUP

  Skripssi

  PRO

  Di

  iajukan untu Mempe

  Prog Rosa

  TUDI MAT AKULTAS UNIVERS Y

  uk Memenu uhi Salah Saatu Syarat roleh Gelarr Sarjana Saains gram Studi M Matematikaa

  Oleh: alia Gustari Eksi Utamii NIM: 053114007

OGRAM ST FA

  TEMATIK KA JURUSA AN MATE EMATIKA S SAINS DA AN TEKNOLOGI SITAS SAN NATA DHA ARMA

YOGYAKA ARTA

CAYLEY DIGRAPH HS OF GRO OUPS

  Thesis Presen nted as Parti ial Fulfillm ent of the R Requirementts

  To Obtai n the Sarjan na Sains Deegree In Mathem matics

  By: Rosa alia Gustari Eksi Utamii

  Stude ent Number: : 053114007

  7 MATHE EMATICS S STUDY PR ROGRAM MATHEM MATICS DE EPARTME ENT

  

SCI ENCE AN D TECHN NOLOGY F FACULTY

SANATA DHARMA A UNIVER RSITY

Y YOGYAKA ARTA

HALAMAN PERSEMBAHAN

  Skripsi ini penulis persembahkan kepada:

  Yesus Kristus & Bunda Maria

  (Pegangan hidup penulis dalam setiap langkah),

  Yohanes Chrisostomus Pramonco Hardioto & Elisabet Sri Rahayu

  (Orang tua penulis),

  Keluarga Besar Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma

  (Khususnya mahasiswa angkatan 2005),

  Albertus Aditya Budi Nugroho

  (Gembulz), Semua Pihak yang telah membantu terbentuknya skripsi ini.

  

ABSTRAK

  Digraf Cayley dari grup adalah gambaran grafis dari suatu grup yang diberikan oleh himpunan pembangkitnya. Digraf ini menyediakan metode untuk menggambarkan suatu grup, dan menghubungkan dua cabang penting dari matematika modern yaitu grup dan graf. Digraf Cayley dari grup digunakan untuk melihat orde dari beberapa elemen grup dan untuk menentukan nilai dari sebarang hasil kali dari pembangkit atau inversnya.

  Terdapat lintasan atau sirkuit Hamilton dalam digraf Cayley dari grup tertentu. Lintasan Hamilton dalam digraf Cayley dari grup digunakan untuk membuat grafik komputer dari pola perulangan tipe Escher pada bidang hiperbolik.

  

ABSTRACT

  The Cayley digraphs of groups are graphical representation of a group given by a set of generators. These digraphs provide a method of visualizing a group, and connect two important branches of modern mathematics, i. e. groups and graphs. The Cayley digraphs of groups are used to see the order of some elements of a group and to determine the value of any product of the generators or their inverses.

  There are Hamiltonian paths or circuits in Cayley digraphs of certain groups. Hamiltonian paths in Cayley digraphs of groups are used to create computer graphics of Escher-type repeating patterns in the hyperbolic plane.

KATA PENGANTAR

  Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Skripsi ini ditulis untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar sarjana sains Program Studi Matematika.

  Selama penulisan skripsi ini penulis menyadari bahwa banyak pihak yang telah berperan besar dalam memberikan dukungan, bimbingan, maupun kerjasa- manya. Oleh karena itu, penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada:

  1. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing skripsi yang telah membimbing dan mendampingi penulis selama penulisan skripsi ini.

  2. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.

  3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Ketua Program Studi Matematika dan dosen penguji yang telah memberikan koreksi dan saran kepada penulis.

  4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ, selaku Dosen Pembimbing Akademik dan dosen penguji yang telah memberikan koreksi dan saran kepada penulis.

  5. Bapak Z. Tukija dan Ibu Erma Linda S. R. yang telah banyak membantu dalam proses administrasi.

  6. Perpustakaan Paingan Universitas Sanata Dharma dan seluruh karyawannya yang telah banyak membantu dalam penyediaan bahan dan fasilitas selama penulisan skripsi ini.

  7. Bapak Y. C. Pramonco H. dan Ibu E. Sri Rahayu, selaku orang tua penulis yang selalu mendukung penulis.

  8. Teman-teman mahasiswa angkatan 2005 Program Studi Matematika.

  9. Semua pihak yang telah membantu selama penulisan skripsi ini dan belum tersebutkan namanya.

  Penulis berharap semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi se- mua orang yang membacanya. Apabila terdapat kesalahan penulisan dan ucapan, penulis mohon maaf yang sebesar-besarnya.

  Penulis

  

DAFTAR ISI

  Halaman HALAMAN JUDUL ………………………………………………………….. i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS …...……………….…… ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ………………………………. iii HALAMAN PENGESAHAN ………………………...………………………. iv HALAMAN PERSEMBAHAN ………………………………………………. v PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ………………………………………. vi ABSTRAK ………………………………………………………….………… vii ABSTRACT ……………………………………………………………...…… viii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ………………………………….….. ix KATA PENGANTAR ………………………………………………………… x DAFTAR ISI ………………………………………………………………….. xii DAFTAR TABEL …………………………………………………………….. xiv DAFTAR GAMBAR …………………………………….………..……….…. xv

  BAB I PENDAHULUAN ………………………………….………...……..… 1 A. Latar Belakang Masalah …………….……………………………….

  1 B. Rumusan Masalah ……………………….………………...………... 3 C. Batasan Masalah …………………………….…………...……...…..

  3 D. Tujuan Penulisan ………………………………….……...…………. 4

  E. Manfaat Penulisan ………………………………………………...…

  4 F. Metode Penulisan ………………………………………………….... 4 G. Sistematika Penulisan ………………………………….……...…….

  5 BAB II TEORI GRUP DAN TEORI GRAF ……………………………...….. 7 A. Teori Grup …………………………….……………………….....….

  7 1. Grup ………………………………..……………………...……. 7 2.

  10 Grup Berhingga dan Subgrup …………….…………….…….… 3. Darab Langsung ……………………………...….…………...…. 12 4. Grup Siklik dan Pembangkit ………………….…….……….…. 12

  5. Grup Permutasi …………..……………………….……….....….

  8. Homomorfisma dan Isomorfisma ……………………………….

  Graf Berarah Atau Digraf ……………………….………...….… RAF CAYLEY DARI GRUP …………………………...……… tasan dan Sirkuit Hamilton Dalam Digraf Cayley dari Grup …....

  BAB VI AP AFIK KOMPUTER DARI POLA PERULANGAN TIPE tode Escher ………………………………………………… UTUP …………………………….……………….……...… an ………………………………………..…………………

  DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………...………….

  19 6. Grup Dihedral ……...…………….……………………….…….. 26 7. Koset, Teorema Lagrange, Subgrup Normal, dan Grup Faktor ... 30

  35 B. Teori Graf …………………………………………….……...…….... 37 1.

  37 2. Lintasan dan Sirkuit Hamilton ………………….…...…...…….. 39

  BAB III DIG

  43 A. Digraf Cayley dari Grup ……………………………………….……. 43 B. Lin

  52 LIKASI DIGRAF CAYLEY DARI GRUP UNTUK MEMBUAT GR ESCHER PADA BIDANG HIPERBOLIK …….……………………. 63 A. Me

  ……. 63 B. Metode Douglas Dunham …………………………….……………... 67

  BAB V PEN …… 74 A.

  Kesimpulan …………………………………………….…...….……. 74 B. Sar

  .……. 75

  76

  

DAFTAR TABEL

  Halaman Tabel 2. 1 Beberapa Contoh Grup ………………………………………........ 9 Tabel 2. 2 Tabel Operasi untuk ………………………….…………........… 18 Tabel 2. 3 Tabel Operasi untuk ……….………………….……………....… 24 Tabel 2. 4 Grup Selang-seling untuk Permutasi Genap dari {1, 2, 3, 4} ...... 26 Tabel 2. 5 Tabel Operasi untuk …………………………………….……… 29

  

DAFTAR GAMBAR

  Halaman Gambar 2. 1 Graf G …………………………………………………………... 38 Gambar 2. 2 Graf Berarah G ………………….……………………………… 39 Gambar 2. 3 Graf Sederhana yang Memuat Lintasan dan Sirkuit ……..….…. 40 Gambar 2. 4 Salah Satu Penyelesaian Teka-Teki “Perjalanan Keliling

  Dunia” …………………………………………………...……… 42 Gambar 2. 5 Graf Sederhana G

  1 , G 2 , dan G 3 …………………………………. 42

  Gambar 3. 1 Digraf Cay( {1} : ) ………………………………………….…… 45 Gambar 3. 2 Digraf Cay({(1, 0), (0, 1)}: ) ………………..………….. 46 Gambar 3. 3 Digraf Cay( :

  , ) ………………………...……………… 47 Gambar 3. 4 Digraf Cay({(12), (123)}:

  ) …………………………………… 48 Gambar 3. 5 Digraf Cay({(12), (13)}: ) ……………………….……………. 48 Gambar 3. 6 Digraf Cay({(12)(34), (123)}:

  ) ………………..……….......… 49 Gambar 3. 7 Digraf Cay({a, b}: ) ……………………………...…….……… 50 Gambar 3. 8 Digraf Cay({a, b}: ) ……………………………...…………… 51 Gambar 3. 9 Lintasan Hamilton Da lam Digraf Cay({(1, 0), (0, 1)}: ) dari (0, 0) ke (2, 1) ………………………………...………..…..

  53 Gambar 3. 10 Sirkuit Hamilton Dalam Digraf Cay({a, b}: ) ………...…..…. 53 Gambar 3. 11 Digraf Cay({(1, 0), (0, 1)}: ) …………...……………. 55 Gambar 3. 12 Simpul (a, b), ( ), dan (a,

  1, 1 1) ………………….. 55 Gambar 3. 13 Digraf Cay({(1, 0), ( 0, 1)}: ) …… ……...……………. 57 Gambar 3. 14 Digraf Cay({(r, 0), (f, 0), (e , 1)}: ) ……...……………. 61 Gambar 3. 15 Digraf Cay({(r, 0), (f, 0), (e, 1)}: ) ………….…….…. 62 Gambar 4. 1 Teselasi Segitiga Dalam Model Cakram Poincare pada Bida ng

  Hiperbolik …………………………………….………………… 64 Gambar 4. 2 Cetakan Asli Circle Limit I Milik Escher ………………………

  65 Gambar 4. 3 Terjemahan Komputer dari Desain Dalam Cetakan Circle Limit I Milik Escher ……………………………………………………. 66

  Gambar 4. 4 Graf Cayley dari Grup [6, 4] dengan Lintasan Hamilton ….…… 69

  Gambar 4. 5 Supermotif Pusat untuk Circle Limit I …………………...…….. 70 Gambar 4. 6 Lintasan Hamilton Dalam Graf Koset dari [6, 4] ………...…….. 71 Gambar 4. 7 Pohon Perentang Dalam Graf Koset [6, 4] …………….……….. 72

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Dunia matematika memiliki berbagai macam cabang di dalamnya. Dari

  berbagai macam cabang tersebut, di antaranya adalah aljabar abstrak dan matematika diskret. Aljabar abstrak dan matematika diskret mempelajari topik- topik yang berbeda. Dalam aljabar abstrak dibahas mengenai grup, ring, lapangan, beserta sifat-sifatnya. Sedangkan dalam matematika diskret dibahas mengenai relasi, graf, aljabar Boole, dan kombinatorik. Di antara topik-topik tersebut terdapat dua topik yang cukup menarik, yaitu grup dan graf.

  Ketika membicarakan tentang aljabar abstrak atau struktur aljabar, hal pertama yang muncul adalah grup. Grup menjadi topik yang sangat penting dalam aljabar abstrak karena topik ini dibahas pertama kali dalam banyak buku aljabar abstrak. Grup dan sifat-sifatnya juga mendasari topik-topik yang dibahas selanjutnya dalam aljabar abstrak, seperti ring dan lapangan. Begitu juga dalam digraf Cayley dari grup, grup menjadi topik yang sangat penting karena akan dibentuk penggambaran dari suatu grup dengan menggunakan himpunan pembangkitnya.

  Salah satu topik yang dibahas dalam teori graf dan digunakan dalam digraf Cayley dari grup yaitu graf berarah atau digraf. Graf berarah atau digraf dan himpunan busur berpanah, yang disebut arc atau busur, yang menghubungkan beberapa vertex atau simpul. Digraf dapat digunakan untuk menyatakan relasi antara unsur-unsurnya (simpul dan busur). Digraf memiliki peranan yang sangat penting dalam digraf Cayley dari grup karena menjadi bentuk penggambaran dari suatu grup.

  Grup dan graf adalah dua cabang penting dalam matematika modern. Antara grup dan graf dihubungkan dalam satu topik yaitu digraf Cayley dari grup. Gagasan ini mula-mula didapatkan oleh seorang matematikawan bernama Arthur Cayley pada tahun 1878. Digraf Cayley dari grup merupakan gambaran grafis dari suatu grup yang diberikan oleh himpunan pembangkitnya. Sebenarnya digraf Cayley dari grup merupakan topik yang sangat menarik tetapi tidak semua buku aljabar memuat topik ini. Digraf Cayley dari grup menyediakan metode untuk menggambarkan suatu grup sehingga grup dapat lebih mudah dipahami karena adanya gambaran nyata berupa digraf.

  Misalkan G adalah grup berhingga dan S adalah himpunan pembangkit untuk G. Digraf Cayley dari grup G dengan himpunan pembangkit S, yang dinotasikan dengan Cay(S:G), dapat didefinisikan sebagai berikut.

  1. Setiap elemen dari G adalah simpul dari Cay(S:G).

  2. Untuk x dan y di G, terdapat sebuah busur dari x ke y jika dan hanya jika xs = y untuk suatu s S.

  Digraf Cayley dari grup melibatkan dua teori penting, yaitu teori grup dan teori graf. Beberapa pokok bahasan dalam teori grup yang berhubungan dengan topik ini antara lain grup siklik dan pembangkit, grup permutasi, grup dihedral, darab langsung. Sedangkan beberapa pokok bahasan dalam teori graf yang berhubungan dengan topik ini antara lain graf berarah atau digraf, lintasan dan sirkuit Hamilton. Pembahasan mengenai lintasan dan sirkuit Hamilton berhubungan dengan syarat perlu dan syarat cukup sangat penting dalam membahas digraf Cayley dari grup. Lintasan dan sirkuit Hamilton akan digunakan dalam pengaplikasian digraf Cayley dari grup.

B. Rumusan Masalah

  Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini antara lain: 1.

  Apakah yang dimaksud dengan digraf Cayley dari grup? 2. Apa saja landasan teori yang dibutuhkan untuk membentuk digraf

  Cayley dari suatu grup? 3. Bagaimana membentuk digraf Cayley dari suatu grup? 4.

  Bagaimana aplikasi digraf Cayley dari grup? C.

   Batasan Masalah

  Batasan masalah dalam skripsi ini antara lain: 1.

  Membahas mengenai digraf Cayley yang terbentuk dari suatu grup.

  2. Membahas aplikasinya, yaitu untuk membuat grafik komputer dari pola perulangan tipe Escher pada bidang hiperbolik, tetapi tidak menyertakan algoritmanya.

D. Tujuan Penulisan

  Skripsi ini bertujuan untuk memenuhi salah satu persyaratan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains dalam bidang matematika. Selain itu, tujuan dari penulisan skripsi ini adalah: 1.

  Mempelajari tentang pembentukan digraf Cayley dari suatu grup.

2. Mengetahui aplikasi digraf Cayley dari grup.

E. Manfaat Penulisan

  Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah: 1.

  Dapat memahami mengenai pembentukan digraf Cayley dari suatu grup.

2. Dapat mengetahui tentang aplikasi digraf Cayley dari grup.

F. Metode Penulisan

  Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal-jurnal, dan makalah-makalah yang telah dipublikasikan dalam media cetak maupun internet sehingga dalam skripsi ini tidak ditemukan hal baru.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II TEORI GRUP DAN TEORI GRAF A. Teori Grup 1. Grup 2. Grup Berhingga dan Subgrup 3. Darab Langsung 4. Grup Siklik dan Pembangkit 5. Grup Permutasi 6. Grup Dihedral 7. Koset, Teorema Lagrange, Subgrup Normal, dan Grup Faktor 8. Homomorfisma dan Isomorfisma B. Teori Graf 1. Graf Berarah Atau Digraf

BAB III DIGRAF CAYLEY DARI GRUP A. Digraf Cayley dari Grup B. Lintasan dan Sirkuit Hamilton Dalam Digraf Cayley dari Grup BAB IV APLIKASI DIGRAF CAYLEY DARI GRUP UNTUK MEMBUAT GRAFIK KOMPUTER DARI POLA PERULANGAN TIPE ESCHER PADA BIDANG HIPERBOLIK A. Metode Escher B. Metode Douglas Dunham BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran

BAB II TEORI GRUP DAN TEORI GRAF A. Teori Grup 1. Grup Definisi 2. 1 Misalkan G adalah himpunan. Operasi biner pada G adalah fungsi yang

  mengawankan setiap pasangan terurut elemen-elemen di G dengan suatu elemen di G.

  Dengan kata lain, operasi biner pada himpunan S adalah suatu pemetaan dari ke S. Untuk setiap di , elemen dari S , , dinotasikan dengan . Operasi biner memasangkan sebarang a dan b elemen-elemen dari S dengan elemen dari S. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa operasi adalah operasi biner pada S jika operasi tersebut tertutup dalam S, yaitu adalah elemen dari S.

  Contoh 2. 1

  Misalkan dan · adalah operasi biner biasa dari penjumlahan dan perkalian dalam , dan misalkan . Tentukan apakah H tertutup terhadap

  | (a) penjumlahan dan (b) perkalian. Untuk bagian (a), hanya dibutuhkan pengamatan bahwa dan

  1

  1 di H, tetapi bahwa dan . Sehingga H tidak tertutup 2 4 1 4

  5

  5 terhadap penjumlahan.

  Untuk bagian (b), andaikan dan . Menggunakan pengertian bahwa r dan s di H, dapat dilihat bahwa harus terdapat bilangan bulat n dan m di sedemikian hingga dan . Akibatnya, . Dengan karakteristik elemen di H dan kenyataan bahwa , ini berarti bahwa , sehingga H tertutup terhadap perkalian.

  Definisi 2. 2

  Misalkan G adalah himpunan tak kosong bersama dengan operasi biner (biasa disebut perkalian) yang mengawankan ke setiap pasangan terurut , elemen- elemen di G dengan suatu elemen di G dinotasikan dengan . G adalah grup terhadap operasi ini jika tiga sifat berikut dipenuhi.

  1) untuk semua a, b, c di

  Asosiatif. Operasi bersifat asosiatif jika G.

  2) titas. Terdapat sebuah elemen e (disebut identitas) di G sedemikian Iden hingga untuk semua a di G.

  3) pat b di G (disebut invers dari a)

  Invers. Untuk setiap elemen a di G terda sedemikian hingga .

  Jika suatu grup mempunyai sifat komutatif sedemikian hingga untuk setiap pasangan elemen-elemen a dan b di grup G, maka dapat dikatakan grup tersebut adalah grup komutatif atau grup Abel. Beberap Elemen s Grup

  Abel a contoh grup diberikan dalam Tabel 2. 1 di bawah ini.

  fpb(k, n elesaian untuk

  )=1 peny ya komponen matriks

  mod n penjumla 1 k,

  n) perkalian

  tidak

  ad–bc=1

  1 0 ,

  

1 , ..., a n ) (–a

1 , –a 2 , ..., –a n ) ya SL(2, F) perkalian

  han antar (0, ..., 0) (a

  kx=1 mod n

  U( dengan

  Tabel 2. 1

  ≠0 tidak

  ad–bc

  1 ,

  matriks 1 0

  GL(2, F) perkalian

  perkalian 1 x 1/x ya

  k n–k ya

  penjumlahan mod n

  m, n>0 n/m ya

  Beberapa Contoh Grup Grup Operasi Identitas Bentuk Inver penjumlahan 0 k –k ya perkalian 1 m/n,

  0 1 Keterangan : adalah himpunan bilangan rasional positi f; adalah himpunan bilangan bulat modulo n; adalah himpunan bilangan real tak nol;

  GL(2, F) adalah himpunan matriks

  2 2 dengan entri-entrinya bilangan real dan determinannya tak nol;

  U(n) adalah himpunan bilangan bulat k yang kurang dari n dan

  ,

  1 untuk ; 1 adalah himpunan

  ; , , . . . , | , , . . . ,

  

SL(2, F) adalah himpunan matriks dengan entri-entrinya dari (bilangan

  2

  2 rasional), (bilangan real), (bilangan kompleks), atau (bilangan bulat modulo p dengan p bilangan prima) dan determinannya 1; F dapa t seba ng dari , , , atau ra .

2. Grup Berhingga dan Subgrup Definisi 2. 3

  Banyaknya elemen dari suatu grup G (berhingga atau tak hingga), dinotasikan dengan | |, disebut orde dari G. Jika | | berhingga, maka G disebut grup

  b erhingga dan jika | | tak hingga, maka G disebut grup tak hingga.

  Contoh 2. 2

  Orde dari dan

  0, 1, 2, … , 1 untuk 1 adalah n atau | | adalah grup berhingga karena berhingga sehingga adalah grup Abel | |

  Definisi 2. 4

Orde dari suatu elemen a dalam sutu grup G adalah bilangan bulat positif terkecil

n sedemikian hingg a . Dalam notasi penjumlahan menjadi . Jika

  tidak terdapat bilangan bulat seperti itu, maka a dikatakan mempunyai orde tak

  hingga. Orde dari suatu elemen a dinotasikan dengan | |.

  Contoh 2.3

  Dengan mengingat grup 0, 1, 2, … , 9 terhadap operasi penjumlahan modulo 10, karena

  1 · 2 2, 2 · 2 4, 3 · 2 6, 4 · 2 8, 5 · 2 0, dapat diketahui bah wa |2| 5. Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa |0| 1, |7| 10, |5| 2, |6| 5.

  Definisi 2. 5

  Jika H adalah himpunan bagian dari grup G dan H adalah grup terhadap operasi dari G, maka H disebut subgrup dari G, dinotasikan dengan H ≤ G atau G ≥ H.

  Notasi H < G atau G > H berarti H ≤ G tetapi H ≠ G, subgrup ini disebut subgrup

  

sejati dari G. Sedangkan, su bgrup dari G yang terdiri dari G atau dirinya sendiri

  disebut subgrup tak s ejati dar i G . Jika { e} adalah elemen identitas dari G , maka subgrup {e} disebu t subg rup trivial dari G, sedangkan subgrup yang bukan {e} disebut subgrup tak trivial dari G.

  Contoh 2. 4

  Satu-satunya subgrup sejati tak trivial dari 0, 1, 2, 3 adalah {0, 2}. Perhatikan bahwa {0, 3} bukan subgrup dari , karena {0, 3} tidak tertutup terhadap penjumlahan. Sebagai contoh,

  3 3 2 dan 2 0, 3 .

3. Darab Langsung Definisi 2. 6

  Misalkan {G

  1 , G 2 , ..., G n } adalah himpunan berhingga dari grup. Darab langsung

  dari G , G , ...,

  1

2 G n , ditulis sebagai , adalah himpunan semua

  … pasangan terurut n komponen dengan komponen ke- i adalah elem en dari G . i Dengan simbol,

  , di mana … , , … , | dengan dilakukan

  , , … , , , … , , , … , d engan operasi pada G i .

  Contoh 2. 5

  8 1, 3, 5, 7 , 10 1, 3, 7, 9 ,

  8 10 1, 1 , 1, 3 , 1, 7 , 1, 9 , 3, 1 , 3, 3 , 3, 7 , 3, 9 , 5, 1 , 5, 3 , 5, 7 , 5, 9 , 7, 1 , 7, 3 , 7, 7 , 7, 9 .

  Hasil kali (3, 7)(7, 9) = (5, 3), karena dua komponen pertama dikerjakan dengan perkalian modulo 8, sedangkan dua komponen kedua dikerjakan den gan perkalian modulo 10.

4. Grup Siklik dan Pembangkit Invers dari suatu elemen a dari suatu grup dinotasikan dengan .

  Notasi ini digunakan untuk suatu grup terhadap operasi perkalian.

  Definisi 2. 7

  Jika n adalah bilangan bulat positif, maka digunakan untuk menunjukkan hasil kali dari a dan dirinya sendiri untuk n faktor, yaitu .

  · · … · Jika , dengan e adalah elemen identitas di grup tersebut. Jika

  0, maka n adalah bilangan bulat negatif, mak a .

  Jika , maka .

  · ·

  Teorema 2. 1

  J ika a adalah suatu elemen dari suatu grup dan m, n adalah bilangan bulat, maka berlaku hukum eksponen berikut.

  1) . 2) .

  Bukti: Akan dibuktikan menggunakan prinsip induksi matematis.

1) Misalkan m tetap dan n variabel.

a) Untuk n positif.

  Persamaan tersebut benar untuk n = 1, karena . Andaikan persamaan tersebut benar untuk n = k, berarti

  . Kemudian akan dibuktikan persamaan tersebut benar untuk n = k + 1. Perhatikan bahwa .

b) Untuk n negatif.

  Akan dibuktikan persamaan tersebut benar untuk n = −k dengan . Perhati kan bahwa

  · · … · · · … · .

  Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan untuk n tetap dan m variabel.

2) Misalkan m tetap dan n variabel.

  a) Untuk n positif.

  Persamaan tersebut benar untuk n = 1, karena . Andaikan persamaan tersebut benar untuk n =

  k, berarti . Kemudian akan dibuktikan persamaan tersebut

  benar untuk n = k + 1. Perhatikan bahwa .

  b) Untuk n negatif.

  Akan dibuktikan persamaan tersebut benar untuk n = −k d engan . Perhatikan bahwa .

  Dengan cara yang sama, dapat dibukti kan untuk n tetap dan m variabel.

  ■

  Contoh 2. 6 , , , . Teorema 2. 2

• 1 -1 -1 Jika G adalah sua tu grup, maka (ab) = b a untuk semua a dan b di G.

  Bukti:

• 1 -1 -1 -1

  (ab)(b a ) = ((ab)b )a (hukum asosiatif)

• 1 -1

  = (a(bb ))a (hukum asosiatif)

• 1 -1 = (ae)a = aa = e.
• 1 -1 -1 -1

  Sama halnya dengan (b a )(ab) = e. Karena itu, dengan definisi (aa = a a = e ),

• 1 -1 -1 (ab ) = b a .

  ■

  Definisi 2. 8

  Grup G disebut grup siklik jika terdapat elemen a di G sedemikian hingga . Elemen a tersebut disebut pembangkit dari G dan {a } disebut

  |

  

himpunan pembangkit dari G. Notasi menyatakan bahwa G adalah grup

siklik dengan pem bangkit a.

  Contoh 2. 7 Grup terhadap penjumlahan adalah grup siklik dengan pembangkit 1 dan –1.

  Demikian juga untuk , grup 0, 1, 2, … , 1 untuk 1 terhadap penjumlahan m odulo n adalah grup siklik dengan pembangkit 1 dan

  1 1. Tidak seperti yang hanya mempunyai dua pembangkit, dapat mempuny ai Misalkan

  1

  3 5 7 . Untuk memeriksanya, sebagai contoh, 3 , perhatikan bahwa 3 3, 3 3 8, 3 3 dalah himpunan . Sehingga 3 adalah

  3 8, … a 3, 6, 1, 4, 7, 2, 5, 0 pembangkit dari . Tetapi 2 bukan pembangkit dari karena 2 . 2, 2 2 8, 2 2 2 8, … 2, 4, 6, 0

  Definisi 2. 9

  Misalk n G adalah grup dan a untuk dengan I adalah sebarang himpunan indeks. Su bgrup terkec il dari G yang mem uat disebut |

  

subgrup yang dibangkitkan oleh . Jika subgrup ini adala h G, mak a

  | dikatakan membangkitkan G dan a disebut pembangkit dari G. Jika

  i

  | terdapat himpunan berhingga yang membangkitkan G, maka G | dikatakan dibangkitkan secara berhingga dan ditulis . Jika

  | . 1, 2, … , , maka , , … ,

  Teorema 2. 3

  Jika G adalah grup dan untuk , maka elemen-elem en subgrup H dari

  

G yang dibangkitkan oleh tepatnya adalah elemen-elemen dari G yang

  | berupa hasil kali berhingga dari pangkat bulat dari a , di mana suatu pangkat a

  i i tertentu dapat terjadi beberapa kali dalam hasil kali tersebut.

  Bukti: Menurut Definisi 2. 8, H adalah subgrup terkecil dari G yang memuat .

  | Akan dibuktikan bahwa K = H, berarti harus dibuktikan bahwa K H dan H K. Andaikan K menyatakan himpunan dari semua hasil kali berhingga dari pangkat bulat dari a i . Misalkan . Maka dan …

  , karena sifat-sifat subgrup. Sehingga · · … · . Maka K H .

  … Akan diperliha tkan bahwa K adalah subgrup dari H yang memuat , maka

  | H K.

  Perhatikan bahwa hasil k ali elem en di K adalah di K lagi. Misalkan, . Sehingga . …

  … Perhatikan juga bahwa hasil kali elemen di K memenuhi sifat as osiatif. Misalkan

  . Sehingga …

  … … …

  … . … … Karena (a i ) = e, diperoleh .

  Untuk , dengan Teorem a 2. 2 dapat diperoleh .

  … …

  3 2 -7

  3 2 -7 -1 7 -2 -3

  Sebagai contoh, (a

  1 ) (a 2 ) (a 1 ) berada di K dan [(a 1 ) (a 2 ) (a 1 ) ] = (a 1 ) (a 2 ) (a 1 ) berada di K lagi.

  Jadi, K adalah subgrup dari H dan K memuat karena | sehingga . Karena H adalah subgrup terkecil yang memuat

  | , maka H K. | Jadi, terbukti bahwa K = H.

  ■

  Contoh 2. 8

  dibangkitkan oleh (1, 0) dan 1, 0 , 0, 1 artinya grup

  (0, 1). Dengan menggunakan Teorema 2. 3, elemen-elemen dari grup adalah { n(1, 0) + m(0, 1)| n, m } = {(0(1, 0) + 0(0, 1)), (0(1, 0) + 1(0, 1)) , (1(1, 0) + 0(0, 1)), (1(1, 0) + 1(0 , 1 )), (0(1, 0) + 2(0, 1)), (2(1, 0) + 0(0, 1)), (1(1, 0) + 2(0, 1)), (2(1, 0) + 1(0, 1)), (2(1, 0) + 2(0, 1 )), …} = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)}.

  Contoh 2. 9

  Grup kuarternion dinyatakan dengan . Tabel , , , , , , , operasi atau tabel Cayley untuk adalah sebagai berikut.

  Tabel 2. 2

  Tabel Operasi untuk

  Grup kuarternion juga dapat din yatakan dengan , | ,

  . Dengan kata lain, dibangkitkan oleh a dan b yang memenuhi , persamaan , , dan . Berikut ini akan diperlihatkan bahwa d ibangkitkan oleh a dan b tersebut.

5. G rup Per utasi m Definisi 2. 10

  F ungsi disebut satu-satu atau injektif jika dan hanya jika bila : m aka . Fungsi disebut pada atau surjektif jika untuk

  : setiap , terdapat sedemikian sehingga . Fungsi : disebut korespondensi satu-satu atau bijektif j ika adalah satu-satu dan pada.

  Contoh 2. 10

  Fungsi dengan bukan satu-satu karena :

  2

  2

  4 tetapi 2 2 dan tidak pada karena daerah hasilnya adalah himpunan bagian se jati dari semua bilangan tak negatif di . Akan tetapi dengan

  : satu-satu dan pada .

  Definisi 2. 11

  Misalkan dan . Komposisi dan , dinotasikan dengan : :

  , adalah pemetaan dari A ke C, dinotasikan dengan , : didefinisikan dengan untuk semua a di A.

  Definisi 2. 12 Permutasi dari suatu himpunan A adalah fungsi bijektif dari A ke A. Contoh 2. 11

  Misalkan perm utasi himp unan {1, 2, 3, 4} dinyata kan deng an

  α dan β dari α(1) =

  2,

  

α(2) = 3, α(3) = 1, α(4) = 4 dan β(1) = 2, β(2) = 1, β(3) = 4, β(4) = 3. Permutasi

  1

  2

  3

  4 tersebu t dapat dinyatakan dengan cara lain, yaitu dan

  3

  4

  2

  1

  4

  1

  2

  3 . Komposisi permutasi dikerjakan dari kanan ke kiri. Misalkan

  3

  2

  1

  4 1 2 3

  4

  1

  2

  3

  4

  1

  2

  3

  4 . Sebagai contoh, 3 berada

  3 2 3

  1

  4

  2

  1

  4

  3

  2

  4

  1 di bawah 1, karena ( = =

  αβ)(1) α(β(1)) α(2) = 3.

  Teorem a 2. 4

  Jika A adalah suatu himpunan tak kosong dan S A adalah himpunan semua

  Bukti:

  Akan dibu ktikan bahwa (S A , menuhi tiga syarat di dalam Definisi 2. 2, yaitu ◦) me asosiatif, mempunyai elemen identitas, dan mempunyai elemen invers. Tetapi sebelumnya akan dibuktikan bahwa (S A , ◦) tertutup terhadap komposisi permutasi.

  Andaikan

  1 dan 2 adalah permutasi dari A. Menurut teorema tentang komposisi

  π π fungsi, m aka

  a , a A .

  1

  2

  1

  2

  π ◦ π juga adalah fungsi dari A ke A. Misalkan Komposisi permutasi bersifat satu-satu, j ika dipenuhi ( ) (a ) = (

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  π ◦ π π ◦ π π ◦

  2 )(a 2 ) 1 = a 2 . Akan dibuktikan bahwa

  1 2 bersifat satu-satu. Karena (

  1

  π → a π ◦ π π ◦ )(a ) = ( )(a ), sehingga diperoleh ( (a )) = ( (a )). Karena

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  π π ◦ π π π π π π bersifat satu-satu, berlaku

  2 (a 1 ) = 2 (a 2 ), dan karena 2 bersifat satu-satu juga,

  π π π berlaku a = a

  1 2 . Terbukti bahwa (

  1 2 )(a 1 ) = (

  1 2 )(a 2 ) 1 = a 2 . Oleh karena

  π ◦ π π ◦ π → a itu,

  1

  2 π ◦ π bersifat satu-satu.

  Akan dibuktikan bahwa

  1

  2

  π ◦ π bersifat pada, yaitu untuk setiap b A, terdapat a A sehingga ( )(a) = b. Misalkan b A. bersifat pada, berarti untuk

  π

  1 ◦ π 2 π

  1

  setiap b A, terda pat a’ A sehingga (a’) = b, dan bersifat pada, berarti

  1

  2

  π π untuk setiap a’ A, terdapat a’’ A sehingga

  2 (a’’) = a’. Oleh karena itu, (

  1

  π π ◦ )(a’’) = ( (a’’)) = (a’) = b, sehingga bersifat pada. Maka m enurut

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  π π π π π ◦ π Definisi 2.13, merupakan suatu permutasi dari A. Terbukti bahwa

  1

  2

  1

  2

  π ◦ π π ◦ π S A .

  Akan dibuktikan bahwa (S A ,

  1 , 2 , 3 S A .

  ◦) memenuhi sifat asosiatif. Andaikan π π π Akan dibuktikan

  1

  2 3 ) = (

  1 2 ) 3 . Akan ditunjukkan, untuk setiap a

  π ◦ (π ◦ π π ◦ π ◦ π

  

A, ( ))(a) = (( ) )(a). Misalkan a A. Berlaku ( ))(a)

  1

  2

  3

  1

  2

  3

  1

  2

  3

  π ◦ (π ◦ π π ◦ π ◦ π π ◦ (π ◦ π =

  1 ((

  2 3 )(a)) = 1 ( 2 ( 3 (a)) = (

  1 2 )( 3 (a)) = ((

  1 2 ) 3 )(a), sehingga

  π π ◦ π π π π π ◦ π π π ◦ π ◦ π diperoleh ( ))(a) = (( ) )(a), untuk setiap a A. Jadi, menurut

  1

  2

  3

  1

  2

  3

  π ◦ (π ◦ π π ◦ π ◦ π Definisi 2. 11 diperoleh ) = ( ) . Terbukti bahwa sifat asosiatif

  1

  2

  3

  

1

  2

  3

  π ◦ (π ◦ π π ◦ π ◦ π dipenuhi.

  Akan dibuktikan bahwa (S ,

  A

  ◦) mempunyai elemen identitas. Permutasi i, di mana

  i(a) = a, untuk setiap a A, merupakan elemen identitas di S . Misalkan A A

  π S dan i permutasi identitas di S A . Akan dibuktikan bahwa π ◦ i = i ◦ π = π. Akan ditunjukkan bahwa (