Persamaan Maxwell dan efek nonlinear - USD Repository

PERSAMAAN MAXWELL DAN EFEK NONLINEAR

Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Fisika

Oleh: Agatha Manggar Sari

NIM : 033214005 PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

2008

MAXWELL EQUATIONS AND NONLINEAR EFFECTS

SKRIPSI Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to obtain the Sarjana Sains Degree In Physics By: Agatha Manggar Sari NIM : 033214005 PHYSICS STUDY PROGRAM PHYSICS DEPARTEMENT SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2008

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

Hidup itu se pe rti se b ua h se pe da .

Ka u tida k a ka n te rja tuh ke c ua li b ila b e rhe nti m e ng a yuh.

(Claude Pepper)

Se m a kin b a nya k pe ng e ta hua n ya ng kita pe ro le h,

b uka nnya se m a kin nya ta , te ta pi m e nja di se m a kin

m iste rius.

(Albert Schweitzer)

PERSEMBAHAN :

“ Skripsi ini kupe rse m b ahkan untuk Bapak dan Ib u se rta

Mb Me rry , Uri dan Ria y ang se nantiasa m e m b e rikan do a,

se m ang at, dukung an, kasih say ang dan pe ng aruh y ang

PERSAMAAN MAXWELL DAN EFEK NONLINEAR

ABSTRAK

Telah dilakukan penjabaran persamaan-persamaan Maxwell dan persamaan gerak elektron dalam medium yang dikenai potensial bergantung waktu dan posisi. Persamaan Maxwell dalam ruang hampa menghasilkan penyelesaian medan elektromagnetik yang bersifat linear. Jika ada medium, persamaan Maxwell akan menghasilkan penyelesaian medan elektromagnetik yang bersifat nonlinear.

MAXWELL EQUATIONS AND NONLINEAR EFFECTS ABSTRACT

Derivation of the Maxwell equations and the electron equation of motion in the medium subject to potential energy which depend on both time and position have been performed. The Maxwell equations in vacuum give the solution to the electromagnetic fields which are linear in properties. When there is a medium, the Maxwell equations will give a solution to the electromagnetic fields which are nonlinear in properties.

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan YME, karena atas segala limpahan rahmat-Nya, penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik.

Skripsi ini berjudul “PERSAMAAN MAXWELL DAN EFEK NONLINEAR’’ yang diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Fisika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penulis baik dalam bentuk doa, waktu, tenaga, dukungan, bimbingan, kritik serta saran yang sangat penulis butuhkan untuk dapat menyelesaikan skripsi ini. Dengan segala penghormatan dan kerendahan hati, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si. selaku dosen pembimbing yang telah banyak meluangkan waktu dengan tulus untuk membimbing, mendampingi, memberikan dorongan dan semangat kepada penulis dalam mengerjakan tugas akhir ini.

2. Ibu Ir. Sri Agustini Sulandari, M.Si. selaku Kaprodi Jurusan Fisika yang telah banyak membantu dalam segala keperluan perkuliahan selama menjadi mahasiswa.

3. Bapak Dr. Edi Santosa, M.S. selaku dosen pendamping akademik yang sudah banyak memberikan pendampingan selama menjadi mahasiswa.

4. Bapak A. Prasetyadi, S.Si. M.Si. dan Ibu Dwi Nugraheni R., S.Si.

M.Si. sebagai dosen pengajar yang selalu berikan teladan.

5. Pak Gito, Mas Ngadiyono, Pak Tukijo, Bu Linda yang selalu sabar dalam memberi pelayanan kepada mahasiswa.

6. Bapak dan Ibuku tercinta yang tanpa henti memberikan biaya, dukungan, dorongan, doa, dan kasihnya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

7. Mbak Merry, Uri, dan Ria saudara-saudaraku terkasih yang selalu berdoa untuk keberhasilanku. Terima kasih atas segala canda tawa yang membuatku tidak pernah merasa bosan selama menyelesaikan skripsi.

8. Simbah putri, Bulek Jumi, Yessy yang selalu bersedia mendoakan keberhasilanku.

9. Mbak Ayuk, Mbak Ratna , Mbak frida sebagai sahabat sekaligus teman berjuang yang tak henti-hentinya selalu memberi semangat.

10. Mbak Yuni, Bambang, Mas Minto, Mas Milli, Mbak Kia, Mas Danang, teman-teman seperjuangan dalam berjuang mengantri bimbingan. Terimakasih atas teladan semangat kalian.

11. Mas Rafael, Enzo, Hari, Mamat, Adit, Basil, Yudha, Ridwan, Iman, Tri, Mbak Inke, Adet, Githa, Imma, Lori, Ade, Sujad, Siska, Wati, dan Zee. Terimakasih telah menjadi teman-teman fisika yang baik dan setia.

12. Semua anak-anak fisika yang telah berjuang bersama-sama.

13. Essy, Yossy, Mumut yang telah lama menjadi sahabat penyemangat, serta Sisil dan Mekar yang selalu beri semangat dan doa.

14. Iin dan Toto (ikom’03) serta Mas Sinar yang selalu membantuku menjadi sumber informasi dalam mengatasi segala masalah komputerku.

15. Dhani, Yenny, Emma, Arien, Stella, Adit, Bambang’far, dan Ius, teman-teman KKN angk’33 yang selalu bersedia mendengarkan keluhanku. Penulis sangat menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini masih banyak terdapat kekurangan, untuk itu penulis sangat mengharapkan adanya kritik dan saran yang membangun dari berbagai pihak.

Harapan penulis adalah semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi setiap pembaca.

Yogyakarta, September 2008 Penulis

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ……………………………………..…………… i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …………………….… ii

HALAMAN PENGESAHAN …………………………………..…….. iii

HALAMAN MOTO PERSEMBAHAN ……………..……….………. iv

v ABSTRAK …………………………………………………………….

ABSTRACT ……………………………………………….………….. vi

KATA PENGANTAR …………………………………….…………... vii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ………………………………. x

DAFTAR ISI …………………………………………….……………. xi

BAB I. PENDAHULUAN.…………………………………………….

1 1.1. Latar Belakang ……………………………….……………….

1 1.2. Perumusan Masalah ………………………….……………….

5 1.3. Batasan Masalah ……………………………….……………..

1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian ……………….………………

1.4.1. Tujuan Penelitian ……………………….………...……

6 1.4.2. Manfaat Penelitian ………………………….………….

1.5. Sistematika Penulisan ……………………………....…………

6 BAB II. DASAR TEORI …………………………………....…………

2.1. Perumusan Persamaan Maxwell ………………………………

8 2.1.1. Hukum Gauss ………………….……………………….

2.1.1.1. Hukum Gauss untuk Medan Listrik …...………

2.1.1.2. Hukum Gauss untuk Medan Magnet ………..…

11 2.1.2. Hukum Ampere ……………………….………...……...

2.1.3. Hukum Induksi Faraday ………………………………

17 2.2. Persamaan Maxwell …………………………………..……….

20 2.3. Teori Klasik Optik Nonlinear ……………………………...….

2.3.1. Susceptibilitas Nonlinear ……………………...….……

21 2.3.2. Model Atom Klasik Nonlinear ………………….……...

2.3.2.1. Gas Elektron Bebas …………………………...

2.3.2.2. Osilator tak Harmonik ………………………...

24 r

28 ∇ 2.4. Operator Del ………………………………………………..

30 2.5. Persamaan Diferensial ………………………………………...

30 2.5.1. Persamaan Orde Satu dan Derajat Satu ………………..

30 2.5.2. Persamaan Diferensial Orde Dua ………………….…...

2.5.2.1. Persamaan Diferensial Linear Homogen dengan

31 Koefisien-Koefisien Konstan ……...…

2.5.2.2. Persamaan Diferensial Linear dengan Koefisien-

32 Koefisien Konstan …………………

33 BAB III. METODOLOGI PENELITIAN ……………………………..

33 3.1. Jenis Penelitian ………………………………………….…….

33 3.2. Sarana Penelitian ……………………………………………...

33 3.3. Langkah-Langkah Penelitian ………………………………….

35 BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ……………………………..

4.1. Hasil Penurunan Persamaan Maxwell ……………...…………

4.1.1. Persamaan Gelombang ………………………...………

4.1.1.1. Gelombang Elektromagnet dalam Ruang Hampa .........................................................…..

4.1.1.2. Gelombang Elektomagnet dalam Medium ……

4.1.2. Persamaan Gerak ……………………………………… 4.2. Pembahasan …………………………………………………...

BAB V. PENUTUP ……………………………………….…………...

5.1. Kesimpulan …………………………………………….……...

5.2. Saran ………………………………………………….………. DAFTAR PUSTAKA ………………………………………….………

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Saat ini telah banyak ilmuwan menyadari bahwa fisika nonlinear juga merupakan sesuatu yang fundamental jika ingin memahami alam semesta secara utuh. Sebelumnya tidak ada yang menduga bahwa sifat-sifat nonlinear akan menghasilkan beragam fenomena yang menarik dalam fisika. Ilmuwan terdahulu lebih senang melakukan linearisasi permasalahan dengan cara mengabaikan efek nonlinear ketika menganalisis suatu masalah.

Perkembangan ilmu fisika belakangan ini menunjukkan bahwa fisika nonlinear memberikan banyak sumbangan terhadap kemajuan ilmu fisika dan teknologi. Para fisikawan telah melakukan berbagai penelitian untuk menunjukkan bahwa efek nonlinear ternyata dapat dikembangkan lebih jauh lagi sebagai ilmu penunjang dalam menganalisis suatu sistem. Teori nonlinear telah banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang, misalnya di bidang optik. Perpaduan teori nonlinear dan optik menghasilkan cabang ilmu fisika yang dikenal sebagai optika nonlinear. Secara definitif, optik nonlinear adalah sebuah cabang optik yang mendeskripsikan tingkah laku cahaya dalam medium nonlinear. Medium

nonlinear merupakan medium dimana vektor polarisasi P memberikan respon

nonlinear terhadap medan listrik gelombang elektromagnetik E . Polarisasi adalah pergeseran elektron oleh medan listrik. Teori optik nonlinear dapat

Dalam fisika optik, untuk menjelaskan peristiwa refraksi, refleksi, dispersi, dll dari perambatan sinar dalam sebuah medium, diperlukan ilmu dasar tentang induksi polarisasi listrik. Sebelum tahun 1960, persamaan dasar polarisasi diformulasikan dalam bentuk persamaan linear. Dalam hal ini vektor polarisasi

listrik P diasumsikan mempunyai hubungan yang linear terhadap kuat medan

listrik gelombang elektromagnetik E ( He and Liu, 1999 ) r r

P = ε χ E (1.1)

dengan ε permitivitas ruang hampa, dan χ susceptibilitas medium. Hubungan

r r

linear antara P dan E pada persamaan (1.1) dianggap benar sampai tahun 1960, ini telah disetujui secara luas dan telah dibuktikan dengan observasi eksperimen.

Tetapi mulai tahun 1960, diketahui bahwa asumsi hubungan linear antara P dan

E tidak sesuai untuk sinar laser yang berinteraksi dengan sebuah medium optik.

Ketika pulsa berkas laser dilewatkan pada piezoelektrik (kristal), teramati adanya generasi harmonik kedua pada sebuah frekuensi optik, sehingga dari hasil tersebut

r r

hubungan antara P dan E menjadi r r r r r r r ₍ _{1 ) (} _{2 ) (} _{3 )}

P = ε [ χ E χ E E χ E E E .....] (1.2)

( 1 ) ( 2 ) ( 3 )

dengan χ , χ , χ , ... susceptibilitas orde-1 (linear), orde-2 (nonlinear), orde-3 (nonlinear) dan seterusnya.

Contoh yang lain dapat dilihat dari penurunan intensitas sinar selama perambatan dalam medium yang berbanding linear terhadap intensitas lokal.

Dalam optik, pelemahan intensitas berkas sinar dalam sebuah medium penyerap

(1.3) = − α

I dz

α dengan I intensitas berkas, z variabel sepanjang arah perambatan dan konstanta medium. Tetapi, hasil pengamatan menunjukan bahwa sifat–sifat penurunan intensitas perambatan berkas laser dalam sebuah medium optik tidak selalu mengikuti deskripsi yang dinyatakan oleh persamaan (1.3). Misalnya sebuah medium penyerap foton, nilai koefisien α dapat merupakan sebuah konstanta atau variabel yang bergantung pada intensitas yang terjadi. Jika terdapat proses penyerapan 2 foton dalam medium, maka persamaan intensitas berkas dapat dituliskan menjadi ( He and Liu, 1999 )

dI ²

= −

I (1.4)

α − β

dengan β koefisien serapan 2 foton. Pada kasus umum, untuk proses penyerapan multi-foton (3 foton atau lebih), persamaan intensitas berkas mengikuti

dI ₂ ₃

..... . (1.5) = − α

I − β I − γ I − dz

Pada dasarnya gejala nonlinear optik dapat diperoleh dari persamaan Maxwell atau polarisasi medan listrik. Polarisasi listrik suatu bahan digambarkan sebagai pergeseran elektron oleh medan listrik. Jika diambil arah perambatan pada sumbu , dengan komponen medan E dan B pada arah sumbu z dan , arah y

x z yang dideskripsikan sebagai fungsi pergeseran elektron ke arah sumbu r ( t x , ) .

Persamaan Maxwell (di dalam ruang hampa) menjadi ( Whitham, 1974 )

dB dE

− = (1.6)

dt dx

dE qN dr dB

dt dt dx

= c , (1.7) ²

ε dimana q muatan listrik, N jumlah elektron per satuan volume, c kecepatan cahaya dalam ruang hampa, dan ε permitivitas ruang hampa. Elektron yang dikendalikan oleh medan E dan terjebak di dalam sebuah sumur potensial akan menghasilkan gaya pulih nonlinear. Sehingga relasi antara r dengan E dideskripsikan ke dalam persamaan ( Whitham, 1974 ) ₂

d r

m U ′ ( r ) = qE

₂

d r

₂

terhadap waktu (percepatan), dan U ′ (r ) turunan sumur potensial. Jika persamaan (1.8) ditambah dengan redaman fungsi waktu U ′ (t ) menjadi ₂

d r

′ ′ ₂ + + m U ( r ) U ( t ) = qE (1.9)

1 ₂ ₂

2 ² r = ω α

dan diberikan nilai U ( r ) = m ω r , ω β , dan = , sehingga persamaan

2 (1.9) menjadi ₂

qE d r dr

, (1
r =

₂

dt dt m

dengan α dan β merupakan konstanta. Persamaan (1.10) adalah persamaan diferensial orde-2 tak homogen, jika digunakan paket program Maple 9 untuk menggambar persamaan (1.10), maka diperoleh gambar seperti pada Gambar 1.1.

r (t ) Gambar 1.1 Grafik hubungan antara r (t ) dan t persamaan (1.10).

Untuk nilai α =

1 , 1 β = , 1 q = , E =

1 , dan m = 1 . Gambar menunjukkan bahwa nilai pergeseran r (t ) mencapai nilai maksimum pada saat t = 0.5 s kemudian r (t ) mencapai nilai minimum pada saat t = 4 s. Pada saat = 7 s, nilai pergeseran t r (t ) meningkat dan mulai saat t = 10 s nilai r (t ) menjadi konstan. Hal ini dapat terjadi karena sistem mengalami kejenuhan.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah tersebut, yang menjadi permasalahan adalah

1. Bagaimana memperoleh persamaan (1.6) dan (1.7) dari persamaan Maxwell

2. Bagaimana menjabarkan efek nonlinear menggunakan pendekatan fisika klasik.

1.3 Batasan Masalah

Permasalahan yang diteliti dibatasi pada masalah penjabaran efek nonlinear secara klasik.

1.4 Tujuan dan Manfaat Penelitian

1.4.1 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah : 1. Merumuskan efek nonlinear dari persamaan Maxwell.

2. Merumuskan keterkaitan antara efek nonlinear dengan persamaan diferensial serta syarat yang diperlukan.

1.4.2 Manfaat Penelitian

Penelitian ini bermanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuan khususnya optik nonlinear dari sudut pandang teoritis.

1.5 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan hasil penelitian ini adalah sebagai berikut :

BAB I PENDAHULUAN Pada Bab I dijelaskan mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, serta sistematika penulisan.

BAB II DASAR TEORI

Pada Bab II dijabarkan persamaan Maxwell, teori klasik optika nonlinear, persamaan diferensial linear orde-2 homogen dan tak homogen.

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN Pada Bab III dijelaskan tentang jenis penelitian, sarana penelitian dan langkah-langkah penelitian. BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Bab ini berisi hasil penelitian dan pembahasannya. BAB V KESIMPULAN DAN SARAN Pada bab ini memaparkan kesimpulan dan saran dari hasil penelitian dan pembahasan.

BAB II DASAR TEORI

2.1 Perumusan Persamaan Maxwell

Persamaan-persamaan Maxwell merupakan persamaan yang dapat diturunkan dari persamaan-persamaan dasar keelektromagnetan yaitu hukum Gauss untuk listrik, hukum Gauss untuk magnet, hukum Ampere dan hukum induksi Faraday. Berikut penjelasan singkat penurunan keempat persamaan dasar keelektromagnetan sehingga memperoleh empat persamaan Maxwell.

2.1.1 Hukum Gauss

2.1.1.1 Hukum Gauss untuk Medan Listrik

r Berdasar Gauss, di dalam permukaan tertutup seluas S , fluks listrik Φ yang _E dipancarkan mempunyai hubungan sebanding dengan muatan listrik yang q tercakup dalam permukaan tertutup tersebut, dituliskan sebagai (Halliday dan Resnick, 1984)

r r

ε ε

Φ = E . d S = q . (2.1) _E

∫

Untuk mengubah persamaan (2.1) ke dalam bentuk diferensial, perlu ditinjau sebuah elemen volume diferensial berbentuk balok yang mengandung sebuah titik

P dan memuat medan listrik E , seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1(a). Titik P terletak pada x , y , z dalam kerangka referensi Gambar 2.1(b) dan sisi-sisi balok mempunyai panjang dx , dy , dz .

• P ( x , y , z )

y dx dy x

(a) (b) Gambar 2.1 (a) elemen volume diferensial berbentuk balok. (b) kerangka referensi.

Vektor luas permukaan untuk muka belakang balok menuju ke arah sumbu r r

x negatif sehingga d S = − i . dy . dz . Untuk muka depan nilai d S = i . dy . dz . Jika

ˆ ˆ

r vektor medan listrik di muka belakang adalah E , maka medan listrik di muka r

r r

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ∂ E ∂ E ^x

depan yang berjarak dx dari muka belakang adalah E dx . Nilai dx

⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ∂ x ∂ x ⎝ ⎠

⎝ ⎠ r menyatakan perubahan E yang diasosiasikan dengan perubahan x dalam dx .

r r

Besar nilai E . d S yang melalui permukaan depan dan belakang balok adalah

r r r r r ∂ E

ˆ ˆ E . d S = + ( E . − i . dy . dz ) ( E dx ).( i . dy . dz ) + +

( ) _x ∂ x r

∂ E ˆ = + i . dx . dy . dz (2.2) ∂ x

∂ E

∂ x

Vektor luas permukaan untuk muka samping kiri balok menuju ke arah r ˆ sumbu y negatif sehingga d S = − j . dx . dz . Untuk muka samping kanan nilai r r

d S = j . dy . dz . Jika medan listrik di muka samping kiri adalah E , maka medan

listrik di muka samping kanan yang berjarak dy dari muka samping kiri adalah

z E ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

. Untuk muka atas nilai dy dx k S d . .

. Jika medan listrik di muka bawah adalah E r

, maka medan listrik di muka atas yang berjarak dari muka bawah adalah dz

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ ∂ ∂

. Nilai dz

⎝ ⎛ ∂ ∂ r

(2.3) Vektor luas permukaan untuk muka bawah balok menuju ke arah sumbu z negatif sehingga dy dx k S d . .

menyatakan perubahan E r yang diasosiasikan dengan perubahan dalam dz . Sehingga untuk permukaan atas dan bawah balok adalah

z S d E r r .

( ) . . .

. . . ˆ ) . .

ˆ ).( ( ) . . ˆ . ( . z E dz dy dx z

E dz dy dx k dy dx k dz z

E E dy dx k E S d E z ^z

∂

ˆ − = r

∂

(2.4) Sehingga besar nilai fluks listrik untuk seluruh permukaan balok merupakan jumlah dari persamaan (2.2), (2.3), dan (2.4), r r r r r r r

∂

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ ∂ ∂

y E E r r

. Nilai

dy y E

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ ∂ ∂ r

menyatakan perubahan E r yang diasosiasikan dengan perubahan y dalam . Sehingga dy S d E

r r . untuk permukaan samping kiri

dan samping kanan balok adalah

( ) . . .

. . . ˆ ) . .

ˆ ).( ( ) . . ˆ . ( .

− = r r r r r r
∂
=

y E dz dy dx y

E dz dy dx j dz dx j dy y

E E dz dx j E S d E y ^y

∂ ∂

= ∂

= r
dz z E
E
∂ ∂
+ + − =
r r
r r
r r
=

E . dS = E . d S E . d S E . d S

( ) ( ) ( ) ^{x y z} ∫ ∫ ∫ ∫

∂ E ∂ E ∂ E _{x z} ^y . . . . . .

dx dy dz dx dy dz dx dy dz

∫ ∫ ∫

∂ x ∂ y ∂ z ∂ E

⎛ ∂ E y ∂ E ⎞ _{x z} = dx . dy . dz + +

∫

⎜⎜ ⎟⎟

x y z

∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ r

= dx . dy . dz div E . (2.5)

∫

Besar muatan untuk elemen volume diferensial di P yang tercakup dalam q permukaan tersebut adalah

q = ρ . dx . dy . dz (2.6) ∫

dimana ρ merupakan muatan per satuan volume di P. Dengan mensubstitusikan persamaan (2.5) dan (2.6) ke persamaan (2.1), maka diperoleh r

= ε div E ρ atau

r r . E = (2.7) ε ∇ ρ .

2.1.1.2 Hukum Gauss untuk Medan Magnet

Fluks magnetik merupakan garis-garis induksi yang melalui permukaan tegak lurus seluas S. Garis-garis fluks magnetik tidak berakhir di muatan magnetik tetapi garis-garis ini membentuk loop tertutup. Hukum Gauss untuk medan magnetik adalah (Halliday dan Resnick, 1984) r r

Φ = B . S d = (2.8) _m

∫ r dengan fluks magnetik (Weber), vektor rapat fluks magnetik (Tesla atau Φ B _m

Wb/m²) dan d S elemen luas (m²). Untuk mengubah persamaan (2.8) ke dalam bentuk diferensial, perlu ditinjau kembali sebuah elemen volume diferensial seperti ditunjukkan pada gambar 2.1. Dengan langkah yang sama seperti pada langkah untuk mendapatkan persamaan (2.7), vektor luas permukaan untuk muka r

r ˆ

ˆ belakang balok d S =

− i . dy . dz . Untuk muka depan nilai d S = k . dy . dz .

r Sedangkan untuk medan magnet di muka belakang adalah B dan medan magnet

r r ⎛ ⎞ ∂ B

di muka depan yang berjarak dx dari muka belakang adalah B dx . ⎜⎜ ⎟⎟ ∂ x ⎝ ⎠ r r

Sehingga nilai B . d S untuk bagian permukaan depan dan belakang balok adalah

r r r r r ∂ B

ˆ ˆ B . d S ( B . i . dy . dz ) ( B dx ).( i . dy . dz )

= − + + + ( ) x

∂ x r ∂ B

ˆ = i . dx . dy . dz (2.9) ∂ x

∂

= ∂ x

Seperti langkah sebelumnya maka besar fluks magnetik untuk permukaan bagian samping kiri dan kanan adalah r r r r r

∂ B ˆ ˆ

B . d S = ( B . − j . dx . dz ) ( B dy ).( j . dx . dz )

( ) y

∂ y r ∂ B

ˆ = +

j . dx . dy . dz (2.10)

∂ y ∂ B _y = dx . dy . dz .

∂ y Nilai fluks magnetik untuk permukaan bagian atas dan bawah balok adalah r r r r r ∂ B

ˆ ˆ B . d S = ( B . k . dx . dy ) ( B dz ).( k . dx . dy ) + − + +

( ) _z ∂ z r

∂ B ˆ

. . . (2.11) = k dx dy dz ∂ z ∂ B
_z
= dx . dy . dz .

∂ z

Sehingga besar fluks magnetik untuk seluruh permukaan balok merupakan jumlah integral dari persamaan (2.9), (2.10) dan (2.11),

r r r r r r r r

B . d S = B . d S B . d S B . d S

( ) ( ) ( ) x y z ∫ ∫ ∫ ∫

∂ B ⎛ ⎞ ∂ B y ∂ B _{x z} dx . dy . dz

= + + ∫ ⎜⎜ ⎟⎟

∂ x ∂ y ∂ z ⎝ ⎠

r = dx . dy . dz div B . (2.12)

∫

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.12) ke persamaan (2.8), diperoleh r div B = 0 atau v r

∇ . B = 0 . (2.13)

2.1.2 Hukum Ampere

Ada dua cara untuk menghasilkan sebuah medan magnet, yaitu yang pertama dengan sebuah medan listrik yang berubah-ubah, dituliskan sebagai (Halliday dan Resnick, 1984)

r r d Φ _E

. μ ε . (2.14) B d l =

∫ dt Cara ke dua dengan sebuah arus. Sebuah medan magnet dapat dihasilkan oleh arus di dalam sebuah kawat, yang dikenal sebagai hukum Ampere, dituliskan sebagai r r

B . d l = i . (2.15)

∫

Pada umumnya kedua cara untuk mendapatkan medan magnet tersebut harus diperhitungkan, sehingga dapat dituliskan sebagai r r

d Φ

⎛ ⎞ _E

B . d l = i . (2.16)

μ ⎜ ε ⎟

∫

⎝ ⎠ Dari persamaan (2.16) dapat ditransformasikan ke dalam bentuk diferensial persamaan Maxwell. Diawali dengan menggunakan persamaan (2.16) untuk sebuah elemen permukaan diferensial yang berbentuk siku-siku di sebuah titik P dalam suatu daerah medan magnet, ditunjukkan pada Gambar 2.2(a). Titik P diletakkan di x , y , z dalam kerangka referensi Gambar 2.2(b). Sisi segi empat siku-siku tersebut, sejajar dengan bidang x , , sehingga mempunyai panjang y dx dan dy .

P .

y dy x

(a) (b)

Seperti ditunjukkan pada gambar 2.2 (a), dengan bergerak mengelilingi sisi yang mempunyai arah sesuai anak panah diperoleh

r r r

untuk sisi belakang B . d l = B .( − j dy ) ₁

( )

r r r

sisi kiri B . d l B .( i dx )

= ( )

r r

∂ B ˆ

sisi depan B . d l B dx .( j dy )

= + + ( )

⎜⎜ ⎟⎟ ∂ x ⎝ ⎠ r r

r r

⎛ ⎞ ∂ B

sisi kanan B . d l = B dy .( − i dx )

( )

⁴

sehingga untuk seluruh sisi, r r r r r r r r r r

= + B . d l B . d l B . d l B . d l B . d l

( ) ( ) ( ) ( ) ¹ ² ³ ⁴ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

r r r r r r ∂ B ∂ B

ˆ ˆ ˆ ˆ

B .( j dy ) B .( i dx ) ( B dx ).( j dy ) ( B dy ).( − i dx )

= − + + +

∫ ∫ ∫ ∫

∂ x ∂ y

r r ∂ B ∂ B ˆ ˆ = j . dx . dy − i . dy . dx

∫ ∂ x ∂ y r r

⎛ ⎞ ∂ B ∂ B ˆ ˆ = dx . dy . j − . i

⎜⎜ ⎟⎟ ∫

∂ x ∂ y ⎝ ⎠ r r ∂ B

⎛ y ∂ B ⎞ _x B . d l = dx . dy − . (2.17)

∫ ∫ ⎜⎜ ⎟⎟ x y

∂ ∂ ⎝ ⎠ d Φ _E

Dari persamaan (2.16), i adalah arus yang dicakup semua sisi dan

dt r

adalah perubahan fluks listrik yang melalui permukaan tersebut. Jika J diambil

untuk menyatakan rapat arus dan d S = k . dx . dy yang merupakan vektor luas permukaan yang mengarah ke sumbu , maka dapat dituliskan z

r r

+ =
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝

+ =
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝
= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝
= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝
⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝
)
∂
∂

∂ ∂ t E

⎛ ∂ ∂ −

∂ ∂

⎛ ∂ ∂ −

∂ ∂

⎛ ∂ ∂ −

⎛ ∂ ∂

⎝ ⎛ ∂ ∂

kˆ iˆ jˆ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

Jika persamaan (2.20) dikalikan dengan vektor komponen , (2.21) dengan , dan (2.22) dengan , kemudian dijumlahkan, maka didapatkan

ε μ . (2.22)

B y _y _{z x}

J k t E J j t E

B k x B z B j z

J i y B

∂

J i k J j J i ^{x x x} _{x x x}

E j t E

t E k t

ˆ ˆ (

( ) ˆ

ˆ ˆ ˆ

∂

B y B i _x _x _x

^{z x}

∂ ∂

⎜ ⎝ ⎛

= ⎟ ⎠ ⎞

ε μ ε μ ε μ curl B r

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ . ˆ .

∂ t E

∂ ∂ − ∂

⎝

⎛

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.17), (2.18) dan (2.19) ke persamaan (2.16), didapatkan

dan

∫ ∫

∂ ∂

= ∂

∂ =

Φ ) . .

ˆ ( . dy dx k

t E

E dt d _E

r r atau

∫ ∂ ∂

= Φ dy dx t

E dt d _{E z}

. . (2.19)

⎟ ⎠ ⎞

⎜

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Untuk segi empat siku-siku yang sejajar dengan bidang x z , memberikan nilai

ε μ . (2.21)

B _x _x ^y _z

∂ ∂ t E

⎛ ∂ ∂ −

⎟ ⎠ ⎞

⎜

⎝

⎛

Sama seperti langkah di atas, untuk segi empat siku-siku yang sejajar dengan bidang z y , memberikan nilai

ε μ (2.20)

B _z _z _x _y

∂ ∂ t E

⎛ ∂ ∂ −

ε μ

r r

⎛ ⎞ ∂ E

μ J ε

+
curl B =

⎜⎜ ⎟⎟ ∂ t ⎝ ⎠

atau

r r r r ⎛ ⎞ ∂ E

∇ x B = μ J ε . (2.23) ⎜⎜ ⎟⎟ ∂ t ⎝ ⎠

2.1.3 Hukum Induksi Faraday

Hukum induksi faraday menyatakan bahwa tegangan gerak elektrik imbas ε di dalam sebuah rangkaian adalah sama dengan negatif kecepatan perubahan _ggl fluks yang melalui rangkaian tersebut dan fluks adalah garis-garis gaya. Dapat dituliskan sebagai (Halliday dan Resnick, 1984)

d Φ

. (2.24) ε = − _ggl

Jika ditinjau muatan uji q yang bergerak mengitari rangkaian, maka kerja yang

r r r r r

dilakukan pada muatan uji tiap putaran F . l = q . E . l . Dimana q E adalah gaya

r yang bekerja pada muatan tersebut dan l adalah jarak sepanjang gaya bekerja. r r

Besar kerja F . l nilainya sama dengan q ε , sehingga dapat dituliskan sebagai _ggl r

E . dl (2.25)

ε = _ggl

∫

Kemudian persamaan (2.25) disubstitusikan ke persamaan (2.24), sehingga hukum induksi Faraday dapat dituliskan sebagai

r r d Φ _B E . d l . (2.26)

= − ∫ dt Dengan langkah sama seperti langkah untuk mendapatkan persamaan (2.23), dan berdasarkan Gambar 2.2 yang merupakan segi empat yang sejajar dengan bidang

x , , didapatkan y

r r r

Untuk sisi belakang E . d l = E .( − j dy ) ₁

( ) r

r r

sisi kiri E . d l E .( i dx )

= ( )

r r

∂ E ˆ

sisi depan E . d l = E dx .( j dy )

Persamaan Maxwell dan efek nonlinear - USD Repository