Contoh Soal Kesebangunan dan Penyelesaiannya 2
CONTOH SOAL KESEBANGUNAN DAN PENYELESAIANNYA
Contoh 1: Kesebangunan Dua Persegi Panjang
Psersegi panjang ABCD memiliki panjang dan lebar secara berturut-turut 13 cm dan 39 cm. Jika persegi
panjang ABCD tersebut sebangun dengan persegi panjang KLMN, yang sisi terpanjangnya memiliki ukuran
24 cm, tentukan panjang sisi terpendek dari persegi panjang KLMN.
Pembahasan Persegi panjang ABCD dan KLMN dapat digambarkan sebagai berikut.
Karena persegi panjang ABCD sebangun dengan KLMN, maka panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari
kedua persegi panjang tersebut merupakan perbandingan yang senilai. Sehingga,
Jadi, panjang sisi terpendek dari persegi panjang KLMN adalah 8 cm.
Contoh 2: Kesebangunan pada Persegi Panjang
Perhatikan gambar di bawah ini!
Jika diketahui AB = 144 cm dan BC = 108 cm, persegi panjang ABCD, BCGF, dan EHGD merupakan
persegi panjang-persegi panjang yang sebangun, tentukan luas daerah AFHE!
Pembahasan Karena persegi panjang ABCD sebangun dengan persegi panjang BCGF, maka
Karena CD = AB = 144 cm dan CG = 81 cm, maka EH = GD = CD – CG = 144 – 81 = 63 cm. Diketahui
ABCD juga sebangun dengan EHGD, maka didapatkan
Sehingga, FH = FG – HG = BC – HG = 108 – 47,75 = 60,25 cm. Diperoleh luas dari segi empat AFHE
adalah EH × FH = 63 × 60,25 = 3.795,75 cm².
Contoh 3: Kesebangunan pada Denah
Pak Jojon memiliki suatu rumah yang dapat didenahkan sebagai berikut.
Jika luas sebenarnya dari rumah Pak Jojon adalah 54 m², tentukan ukuran sebenarnya dari rumah Pak Jojon
dan luas sebenarnya dari kamar tidur 1!
Pembahasan Diketahui luas sebenarnya dari rumah Pak Jojon adalah 54 m², dengan perbandingan panjang
dan lebarnya 36 : 24 = 3 : 2. Sehingga, panjang dan lebar dari rumah Pak Jojon dapat dituliskan dalam p =
3x dan l = 2x. Diperoleh,
Karena x adalah ukuran dan tidak boleh negatif, maka kita pilih x = 3 m. Sehingga panjang dan lebar dari
rumah Pak Jojon adalah p = 3 × 3 = 9 m = 900 cm dan l = 2 × 3 = 6 m = 600 cm.
Berdasarkan denah di atas, panjang dan lebar dari kamar tidur 1 secara berturut-turut adalah 24 – 12 = 12 cm
dan 14 cm. Karena denah rumah dan rumah sebenarnya sebangun maka,
Sehingga diperoleh panjang dan lebar sebenarnya dari kamar tidur 1 secara berturut-turut adalah 350 cm =
3,5 m dan 300 cm = 3m, yang mengakibatkan luas sebenarnya dari kamar tidur 1 adalah 3,5 × 3 = 10,5 m².
Contoh 4: Kesebangunan pada Segitiga
Perhatikan gambar berikut!
Jika DE, FG, dan AB merupakan garis-garis yang sejajar, tentukan nilai dari x dan y!
Pembahasan Karena DE, FG, dan AB merupakan garis-garis yang sejajar, maka segitiga-segitiga CDE,
CFG, dan CAB merupakan segitiga-segitiga yang sebangun. Segitiga CDE sebangun dengan segitiga CFG,
maka
Selanjutnya, segitiga CDE sebangun dengan segitiga CAB maka
Jadi, nilai x dan y secara berturut-turut adalah 24 cm dan 40 cm.
Contoh 5: Kesebangunan pada Segitiga Tali Busur
Perhatikan gambar berikut!
Tentukan nilai dari m dan n!
Pembahasan Karena sudut PRQ dan sudut SRT saling bertolak belakang, maka kedua sudut tersebut
kongruen. Selanjutnya, karena sudut PQR dan sudut STR merupakan sudut-sudut keliling yang menghadap
busur yang sama, maka kedua sudut tersebut juga kongruen. Sehingga, segitiga PQR dan segitiga STR
sebangun. Akibatnya,
Jadi, diperoleh m = 13 cm dan n = 20 cm.
Contoh 6: Kesebangunan pada Trapesium
Perhatikan gambar di bawah ini!
Buktikan bahwa,
Jika DC = 20 cm, AB = 34 cm, DE = 9 cm dan AE = 15 cm, tentukan EF!
Pembahasan Untuk membuktikan rumus yang ditentukan, kita harus menggambar garis DH yang sejajar
dengan garis BC, seperti berikut.
Karena garis EG sejajar dengan garis AH, maka segitiga DEG sebangun dengan segitiga DAH. Akibatnya,
Untuk DC = 20 cm, AB = 34 cm, DE = 9 cm dan AE = 15 cm, maka
Jadi, diperoleh panjang EF adalah 25,25 cm.
Contoh 7: Kesebangunan pada Segitiga
Perhatikan gambar berikut!
Diketahui PS = 36 cm dan QR = 18 cm. Tentukan TU jika T dan U secara berturut-turut merupakan titik
tengah dari diagonal PR dan QS!
Pembahasan Karena titik-titik T dan U membagi diagonal-diagonal menjadi 2 bagian yang sama, maka
garis TU sejajar dengan PS dan QR. Akibatnya segitiga-segitiga OTU, OPS, dan ORQ sebangun. Dari
kesebangunan segitiga OPS dan segitiga ORQ, kita mendapatkan,
Karena OS + OQ = QS, maka 2 ∙ OQ + OQ = QS. Sehingga, 3 ∙ OQ = QS. Padahal QS = 2 ∙ UQ. Maka 3 ∙
OQ = 2 ∙ UQ dan mengakibatkan OQ : UQ = 2 : 3. Padahal UQ = OU + OQ. Sehingga,
Karena segitiga OTU dan segitiga ORQ sebangun, maka
Jadi, TU = 9 cm.
Contoh 8: Kesebangunan pada Segitiga
Perhatikan gambar berikut!
Jika sudut MKN dan sudut NOM saling berpelurus, tentukan panjang dari ruas garis KN dan MK!
Pembahasan Misalkan besar sudut MKN adalah θ°, maka besar sudut NOM adalah 180° – θ°. Karena sudut
NOL berpelurus dengan sudut NOM, maka besar sudut NOL adalah 180° – (180° – θ°) = θ°. Didapatkan
besar sudut MKN sama dengan besar sudut NOL, yaitu θ°. Selanjuntya, karena sudut NLO dan sudut MLK
saling berhimpit, maka kedua sudut tersebut kongruen. Sehingga, segitiga NLO dan segitiga MLK
sebangun. Akibatnya,
Jadi, diperoleh KN = 1 cm dan MK = 16 cm.
Contoh 9: Kekongruenan Segitiga
Perhatikan kedua segitiga siku-siku di bawah ini!
Buktikan bahwa segitiga ABC kongruen dengan segitiga PQR!
Pembahasan Pertama kita tentukan panjang dari sisi BC. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, kita
mendapatkan
Sehingga panjang sisi BC adalah 10 cm. Selanjutnya, kita tentukan besar sudut ACB.
Sedangkan besar sudut ABC dapat ditentukan dengan menggunakan jumlah sudut dalam segitiga sebagai
berikut.
Selanjutnya kita tentukan besar sudut QPR pada segitiga yang berwarna biru sebagai berikut.
Karena sudut ABC kongruen dengan sudut QRP, panjang sisi BC sama dengan panjang sisi RP, dan besar
sudut ACB kongruen dengan sudut QPR, maka berdasarkan aturan sudut-sisi-sudut (sd.ss.sd), maka dapat
disimpulkan bahwa segitiga ABC kongruen dengan segitiga PQR.
Contoh 10: Kekongruenan Segitiga
Perhatikan gambar berikut!
Apabila ABCDEF adalah segienam beraturan, FD = 2x – 1, dan AC = 4x – 13, tentukan nilai x dan panjang
dari diagonal AC!
Pembahasan Karena ABCDEF merupakan segienam beraturan maka semua sisinya sama panjang dan
semua sudut dalamnya sama besar. Sehingga FE = AB, sudut FED kongruen dengan ABC, dan ED = BC.
Berdasarkan aturan sisi-sudut-sisi (ss.sd.ss) maka segitiga FED kongruen dengan segitiga ABC. Sehingga,
Diperoleh x = 7 cm. Sehingga AC = 4(7) – 13 = 28 – 13 = 15 cm.
+Bonus: Penerapan Kesebangunan
Tentukan lebar sungai, AD, dengan melihat pohon, pada titik A, di tepi sungai yang berlawanan dengan
pohon tersebut. Titik-titik D dan B segaris dengan titik A. Titik C merupakan titik yang dipilih sedemikian
sehingga garis BC tegak lurus dengan garis AB. Dan terakhir, titik E dipilih sedemikian sehingga A, E, dan
C segaris, serta garis DE tegak lurus dengan AB. Selain itu, jelaskan mengapa segitiga ADE sebangun
dengan segitiga ABC.
Pembahasan Karena sudut ADE dan sudut ABC merupakan sudut siku-suku, maka kedua sudut tersebut
kongruen. Selanjutnya, sudut DAE dan sudut BAC saling berhimpit, sehingga kedua sudut tersebut juga
kongruen. Sehingga, segitiga ADE sebangun dengan segitiga ABC. Akibatnya,
Jadi, lebar sungai tersebut adalah 90 meter
Contoh 1: Kesebangunan Dua Persegi Panjang
Psersegi panjang ABCD memiliki panjang dan lebar secara berturut-turut 13 cm dan 39 cm. Jika persegi
panjang ABCD tersebut sebangun dengan persegi panjang KLMN, yang sisi terpanjangnya memiliki ukuran
24 cm, tentukan panjang sisi terpendek dari persegi panjang KLMN.
Pembahasan Persegi panjang ABCD dan KLMN dapat digambarkan sebagai berikut.
Karena persegi panjang ABCD sebangun dengan KLMN, maka panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari
kedua persegi panjang tersebut merupakan perbandingan yang senilai. Sehingga,
Jadi, panjang sisi terpendek dari persegi panjang KLMN adalah 8 cm.
Contoh 2: Kesebangunan pada Persegi Panjang
Perhatikan gambar di bawah ini!
Jika diketahui AB = 144 cm dan BC = 108 cm, persegi panjang ABCD, BCGF, dan EHGD merupakan
persegi panjang-persegi panjang yang sebangun, tentukan luas daerah AFHE!
Pembahasan Karena persegi panjang ABCD sebangun dengan persegi panjang BCGF, maka
Karena CD = AB = 144 cm dan CG = 81 cm, maka EH = GD = CD – CG = 144 – 81 = 63 cm. Diketahui
ABCD juga sebangun dengan EHGD, maka didapatkan
Sehingga, FH = FG – HG = BC – HG = 108 – 47,75 = 60,25 cm. Diperoleh luas dari segi empat AFHE
adalah EH × FH = 63 × 60,25 = 3.795,75 cm².
Contoh 3: Kesebangunan pada Denah
Pak Jojon memiliki suatu rumah yang dapat didenahkan sebagai berikut.
Jika luas sebenarnya dari rumah Pak Jojon adalah 54 m², tentukan ukuran sebenarnya dari rumah Pak Jojon
dan luas sebenarnya dari kamar tidur 1!
Pembahasan Diketahui luas sebenarnya dari rumah Pak Jojon adalah 54 m², dengan perbandingan panjang
dan lebarnya 36 : 24 = 3 : 2. Sehingga, panjang dan lebar dari rumah Pak Jojon dapat dituliskan dalam p =
3x dan l = 2x. Diperoleh,
Karena x adalah ukuran dan tidak boleh negatif, maka kita pilih x = 3 m. Sehingga panjang dan lebar dari
rumah Pak Jojon adalah p = 3 × 3 = 9 m = 900 cm dan l = 2 × 3 = 6 m = 600 cm.
Berdasarkan denah di atas, panjang dan lebar dari kamar tidur 1 secara berturut-turut adalah 24 – 12 = 12 cm
dan 14 cm. Karena denah rumah dan rumah sebenarnya sebangun maka,
Sehingga diperoleh panjang dan lebar sebenarnya dari kamar tidur 1 secara berturut-turut adalah 350 cm =
3,5 m dan 300 cm = 3m, yang mengakibatkan luas sebenarnya dari kamar tidur 1 adalah 3,5 × 3 = 10,5 m².
Contoh 4: Kesebangunan pada Segitiga
Perhatikan gambar berikut!
Jika DE, FG, dan AB merupakan garis-garis yang sejajar, tentukan nilai dari x dan y!
Pembahasan Karena DE, FG, dan AB merupakan garis-garis yang sejajar, maka segitiga-segitiga CDE,
CFG, dan CAB merupakan segitiga-segitiga yang sebangun. Segitiga CDE sebangun dengan segitiga CFG,
maka
Selanjutnya, segitiga CDE sebangun dengan segitiga CAB maka
Jadi, nilai x dan y secara berturut-turut adalah 24 cm dan 40 cm.
Contoh 5: Kesebangunan pada Segitiga Tali Busur
Perhatikan gambar berikut!
Tentukan nilai dari m dan n!
Pembahasan Karena sudut PRQ dan sudut SRT saling bertolak belakang, maka kedua sudut tersebut
kongruen. Selanjutnya, karena sudut PQR dan sudut STR merupakan sudut-sudut keliling yang menghadap
busur yang sama, maka kedua sudut tersebut juga kongruen. Sehingga, segitiga PQR dan segitiga STR
sebangun. Akibatnya,
Jadi, diperoleh m = 13 cm dan n = 20 cm.
Contoh 6: Kesebangunan pada Trapesium
Perhatikan gambar di bawah ini!
Buktikan bahwa,
Jika DC = 20 cm, AB = 34 cm, DE = 9 cm dan AE = 15 cm, tentukan EF!
Pembahasan Untuk membuktikan rumus yang ditentukan, kita harus menggambar garis DH yang sejajar
dengan garis BC, seperti berikut.
Karena garis EG sejajar dengan garis AH, maka segitiga DEG sebangun dengan segitiga DAH. Akibatnya,
Untuk DC = 20 cm, AB = 34 cm, DE = 9 cm dan AE = 15 cm, maka
Jadi, diperoleh panjang EF adalah 25,25 cm.
Contoh 7: Kesebangunan pada Segitiga
Perhatikan gambar berikut!
Diketahui PS = 36 cm dan QR = 18 cm. Tentukan TU jika T dan U secara berturut-turut merupakan titik
tengah dari diagonal PR dan QS!
Pembahasan Karena titik-titik T dan U membagi diagonal-diagonal menjadi 2 bagian yang sama, maka
garis TU sejajar dengan PS dan QR. Akibatnya segitiga-segitiga OTU, OPS, dan ORQ sebangun. Dari
kesebangunan segitiga OPS dan segitiga ORQ, kita mendapatkan,
Karena OS + OQ = QS, maka 2 ∙ OQ + OQ = QS. Sehingga, 3 ∙ OQ = QS. Padahal QS = 2 ∙ UQ. Maka 3 ∙
OQ = 2 ∙ UQ dan mengakibatkan OQ : UQ = 2 : 3. Padahal UQ = OU + OQ. Sehingga,
Karena segitiga OTU dan segitiga ORQ sebangun, maka
Jadi, TU = 9 cm.
Contoh 8: Kesebangunan pada Segitiga
Perhatikan gambar berikut!
Jika sudut MKN dan sudut NOM saling berpelurus, tentukan panjang dari ruas garis KN dan MK!
Pembahasan Misalkan besar sudut MKN adalah θ°, maka besar sudut NOM adalah 180° – θ°. Karena sudut
NOL berpelurus dengan sudut NOM, maka besar sudut NOL adalah 180° – (180° – θ°) = θ°. Didapatkan
besar sudut MKN sama dengan besar sudut NOL, yaitu θ°. Selanjuntya, karena sudut NLO dan sudut MLK
saling berhimpit, maka kedua sudut tersebut kongruen. Sehingga, segitiga NLO dan segitiga MLK
sebangun. Akibatnya,
Jadi, diperoleh KN = 1 cm dan MK = 16 cm.
Contoh 9: Kekongruenan Segitiga
Perhatikan kedua segitiga siku-siku di bawah ini!
Buktikan bahwa segitiga ABC kongruen dengan segitiga PQR!
Pembahasan Pertama kita tentukan panjang dari sisi BC. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, kita
mendapatkan
Sehingga panjang sisi BC adalah 10 cm. Selanjutnya, kita tentukan besar sudut ACB.
Sedangkan besar sudut ABC dapat ditentukan dengan menggunakan jumlah sudut dalam segitiga sebagai
berikut.
Selanjutnya kita tentukan besar sudut QPR pada segitiga yang berwarna biru sebagai berikut.
Karena sudut ABC kongruen dengan sudut QRP, panjang sisi BC sama dengan panjang sisi RP, dan besar
sudut ACB kongruen dengan sudut QPR, maka berdasarkan aturan sudut-sisi-sudut (sd.ss.sd), maka dapat
disimpulkan bahwa segitiga ABC kongruen dengan segitiga PQR.
Contoh 10: Kekongruenan Segitiga
Perhatikan gambar berikut!
Apabila ABCDEF adalah segienam beraturan, FD = 2x – 1, dan AC = 4x – 13, tentukan nilai x dan panjang
dari diagonal AC!
Pembahasan Karena ABCDEF merupakan segienam beraturan maka semua sisinya sama panjang dan
semua sudut dalamnya sama besar. Sehingga FE = AB, sudut FED kongruen dengan ABC, dan ED = BC.
Berdasarkan aturan sisi-sudut-sisi (ss.sd.ss) maka segitiga FED kongruen dengan segitiga ABC. Sehingga,
Diperoleh x = 7 cm. Sehingga AC = 4(7) – 13 = 28 – 13 = 15 cm.
+Bonus: Penerapan Kesebangunan
Tentukan lebar sungai, AD, dengan melihat pohon, pada titik A, di tepi sungai yang berlawanan dengan
pohon tersebut. Titik-titik D dan B segaris dengan titik A. Titik C merupakan titik yang dipilih sedemikian
sehingga garis BC tegak lurus dengan garis AB. Dan terakhir, titik E dipilih sedemikian sehingga A, E, dan
C segaris, serta garis DE tegak lurus dengan AB. Selain itu, jelaskan mengapa segitiga ADE sebangun
dengan segitiga ABC.
Pembahasan Karena sudut ADE dan sudut ABC merupakan sudut siku-suku, maka kedua sudut tersebut
kongruen. Selanjutnya, sudut DAE dan sudut BAC saling berhimpit, sehingga kedua sudut tersebut juga
kongruen. Sehingga, segitiga ADE sebangun dengan segitiga ABC. Akibatnya,
Jadi, lebar sungai tersebut adalah 90 meter