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Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations
2005, No. 12, 1-22; http://www.math.u-szeged.hu/ejqtde/

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ì❋❝④✐✸➎✸❣❤✉❥✐✝⑩❤➉❞✈❈❣❤①➓⑦❇✐✸➎✖❢❡❣r❜❛①➓ø❇✄✈ ✁✴✐⑤➎✸❜❛①❋✉❥❣❤❦❋✐✸❝❭❢❡♥⑥✐✢➌❩❜❛⑩r⑩r❜☎✁☞❣❤①❋❿⑧ì❋❝④❜❞❵❋⑩❤✐✸♣✍➂
✆✞✝✠✟

y ∆ (t) + p(t)y σ (t) ∈ F (t, y(t)), t ∈ J := [0, b] ∩ T, t 6= tk , k = 1, . . . , m,

✆❼ ✟

−
−
y(t+
k ) − y(tk ) = Ik (y(tk )), k = 1, . . . , m,

✆ø ✟

✁☞♥❋✐✝❝❥✐ T ❣r✉✴❴✲❢❡❣❤♣✻✐☞✉④➎➩❴❛⑩❤✐❛✈ F : [0, b] × ✡☞☛ → P(✡✌☛ ) ❣r✉✎❴⑧➎✝❜❞♣✻ì❋❴❛➎✝❢Ö③✛❴❛⑩rs❋✐✝❦☎♣✪s❋⑩➔❢❡❣➱➀→③✛❴❛⑩rs⑥✐✸❦ä♣✯❴✛ì✟✈
❣r✉➐❢❥♥❋✐þ➌❅❴❛♣✻❣❤⑩❤➉➓❜❛➌❭❴✛⑩r⑩ù①❋❜❛①❋✐✸♣❪ì⑥❢➁➉ ✉❥s⑥❵❋✉❥✐✖❢❡✉⑧❜✛➌ ✡☞☛ , I ∈ C(✡☞☛ , ✡✌☛ ), η ∈ ✡☞☛ , 0 = t <

P( ✡☞☛ )
❴❛①❋❦✕➌❩❜❞❝❭✐✸❴❛➎➏♥
✈
y(0) = η,

0

k

❛❴ ①❋❦
❝④✐✸ì❋❝④✐✸✉❥✐✝①➊❢✼❢❡♥❋✐②❝❥❣❤❿❞♥➊❢✎❴❛①❋❦✯⑩❤✐✝➌➈❢Ö⑩r❣❤♣✻❣➔❢❡✉
❜❛➌ y(t) ❴✛❢ t = t ❣❤①♠❢❡♥❋✐✲✉❥✐✝①❋✉❥✐þ❜❛➌➄❢❡❣r♣❪✐✢✉❥➎✸❴❛⑩r✐✝✉✸✈ ❢❥♥❈❴✛❢ ❣r✉✸✈ t + h ∈ [0, b] ∩ T ➌❩❜❞❝②✐➩❴✛➎➏♥ h ❣❤①à❴
①❋✐✝❣r❿❞♥t❵❖❜❞❝❥♥❋❜❃❜❃❦✻❜❛➌ 0 ❴❛①⑥❦✯❣r①✯❴❛❦❋❦❋❣➔❢❡❣❤❜❞①✟✈➊❣❤➌ t ❣❤✉✎❝④❣r❿❞♥➊❢Ö✉❥➎✸❴✛❢❥❢❥✐✸❝❥✐✝❦✟✈❇❢❥♥❋✐✸① y(t ) = y(t ) ✈✍✁☞♥❋✐✸❝④✐➩❴❛✉✝✈

t1 < ... < tm < tm+1 = b,
y(t+
k ) = lim+ y(tk + h)
h→0

k = 1, . . . , m

−
y(tk ) = lim− y(tk + h)
h→0

k

✎✑✏✓✒✕✔✖✔✘✗✚✙✜✛✢✒✕✣✥✤☎✦✧✣✩★✫✪✕✬☎✭✘✮✠✒✯✔

k

k

+
k

k

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❣❤➌ t ❤❣ ✉❭⑩r✐✖➌➈❢❭✉❥➎✸❴✛❢❥❢❥✐✸❝❥✐✝❦✟✈❋❢❡♥⑥✐✸① y(t ) = y(t ), σ ❣r✉☞❴⑧➌❩s⑥①❋➎✝❢❥❣r❜❞①✕❢❡♥❋❴✛❢ ✁☞❣r⑩❤⑩ ❵❖✐➐❦❋✐✝î❋①❋✐✸❦✍⑩Ý❴✛❢❥✐✸❝❭❴✛①❋❦

y (t) = y(σ(t)).
ë ♣✻ì⑥s❋⑩r✉④❣❤③❞✐✯❦❋❣ ✁ ✐✸❝④✐✸①➊❢❡❣r❴❛⑩✴✐✝q❃s❋❴✛❢❡❣❤❜❞①❋✉þ♥❈❴➩③❞✐✱❵❖✐✸➎✝❜❞♣✻✐✯❣r♣❪ì✦❜❞❝❑❢➏❴❛①➊❢⑧❣r① ❝❥✐✝➎✸✐✝①t❢ä➉❛✐➩❴❛❝④✉❪❣❤① ♣✻❴✛❢❡♥❇➀
✐✸♣✻❴✛❢❥❣r➎➩❴✛⑩ ♣❪❜❇❦⑥✐✸⑩r✉✻❜❛➌⑤❝❥✐✸❴❛⑩❲ì❋❝④❜❇➎✝✐✸✉❥✉④✐✸✉✍❴❛①❋❦ ❢❥♥❋✐✝➉✂❴❛❝❥❣❤✉❥✐à❣❤①✂ì❋♥❋✐✝①❋❜❞♣❪✐✸①❈❴ ✉④❢❥s❋❦❋❣❤✐✸❦❳❣r①✂ì⑥♥t➉❃✉④❣r➎✸✉✝✈
➎➏♥❋✐✝♣✻❣❤➎➩❴❛⑩❀❢❡✐✝➎➏♥❋①❋❜❞⑩❤❜❞❿❛➉❞✈■ì✦❜❛ì❋s❋⑩Ý❴❯❢❡❣r❜❛① ❦⑥➉❃①❈❴✛♣✻❣❤➎✸✉✸✈➄❵❋❣r❜❛❢❥✐✸➎➏♥❋①⑥❜❞⑩r❜❞❿✛➉ ❴❛①❋❦ ✐✝➎✸❜❞①❋❜❛♣✻❣❤➎✸✉✸➋ ❭♥❋✐✝❝❥✐☎♥❈❴✛✉
❵❖✐✸✐✸①✂❴ ✉❥❣❤❿❞①❋❣❤î❋➎➩❴❛①➊❢✻❦❋✐✝③❛✐✸⑩r❜❛ì❋♣✻✐✝①➊❢☎❣r① ❣r♣❪ì❋s❋⑩❤✉❥✐✱❢❡♥❋✐✝❜❞❝④➉❛✈❭❣r①◗❝④✐✸➎✝✐✸①➊❢☎➉❞✐✸❴❛❝❥✉✝✈☞✐✸✉❥ì❖✐✸➎✝❣Ý❴❛⑩❤⑩❤➉ ❣❤① ❢❡♥⑥✐
❴❛❝④✐➩❴ ❜❛➌➐❣r♣❪ì❋s❋⑩❤✉❥❣➔③❞✐✕❦❋❣ ✁ ✐✝❝❥✐✸①➊❢❥❣Ý❴❛⑩✼✐✝qts❈❴✛❢❡❣❤❜❞①❋✉ ✁☞❣❤❢❥♥ î⑥í❇✐✝❦✂♣✻❜❛♣✻✐✝①t❢❥✄✉ ☞✂ ✉❥✐✝✐➓❢❥♥❋✐➓♣❪❜❞①❋❜❛❿❞❝❡❴❛ì⑥♥❋✉þ❜❛➌
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ë ① ❝④✐✸➎✝✐✸①➊❢⑧➉❛✐➩❴❛❝④✉⑧❦⑥➉❃①❈❴❛♣❪❣r➎ä✐✝q❃s❋❴✛❢❡❣❤❜❞①❋✉⑤❜❞① ❢❥❣r♣❪✐þ✉❥➎➩❴✛⑩r✐✸✉✲♥❈❴➩③❞✐✻❝❥✐✸➎✝✐✸❣➔③❞✐✸❦ ♣✪s❋➎➏♥ ❴❯❢❥❢❡✐✝①➊❢❡❣r❜❛①✟☛➋ ✡ ✐
❝❥✐✖➌❩✐✸❝❷❢❥❜✻❢❥♥❋✐✪❵❖❜❇❜❞➅t✉ ❵t➉♠⑨✴❜❞♥⑥①❋✐✸❝➐❴✛①❋❦ ❹■✐✖❢❡✐✝❝❥✉❥❜❛☞① ☎➑❻⑥✈ ✝ ✌❾ ✝➃✈✟❫✡❴❛➅t✉❥♥⑥♣✻❣❤➅✛❴✛①t❢❥♥❈❴❛♣✑↕✖➟☞➞❛✍➸ ➣☎ ❼❛✌ø ✝➄❴❛①❋❦♠❢❥❜
❢❡♥⑥✐➓❝④✐✝➌❩✐✸❝④✐✸①❋➎✝✐✸✉☎➎✝❣❤❢❥✐✸❦ ❢❥♥❋✐✸❝④✐✸❣❤①✟➋ ❭♥❋✐✱❢❡❣❤♣✻✐✱✉❥➎✸❴❛⑩r✐✝✉✻➎✸❴❛⑩r➎✝s❋⑩rs⑥✉❪♥❋❴❛✉❪❢❥❝❥✐✝♣✻✐✝①❋❦❋❜❞s❋✉✻ì✦❜✛❢❡✐✸①➊❢❥❣Ý❴❛⑩✼➌❩❜❞❝
❴❛ì❋ì⑥⑩r❣r➎✸❴✛❢❡❣❤❜❞①❋✉✎❣r①✱♣✯❴❯❢❡♥❋✐✝♣✯❴✛❢❥❣r➎✸❴❛⑩✦♣❪❜❃❦❋✐✸⑩❤✉✼❜❛➌■❝❥✐➩❴✛⑩✟ì❋❝❥❜❃➎✸✐✝✉❥✉④✐✸✉ ❴❛①❋❦✍ì❋♥❋✐✸①⑥❜❞♣✻✐✝①❈❴⑥✈⑥➌❩❜❛❝❭✐✖í⑥❴❛♣❪ì❋⑩r✐➐❣❤①
ì❋♥➊➉❃✉❥❣❤➎✸✉✸✈❃➎➏♥❋✐✝♣✻❣❤➎➩❴❛⑩⑥❢❥✐✸➎➏♥❋①⑥❜❞⑩r❜❞❿✛➉❞✈➊ì❖❜❞ì❋s❋⑩r❴✛❢❡❣❤❜❞①þ❦⑥➉❃①❈❴❛♣❪❣r➎✝✉✸✈➊❵❋❣❤❜❛❢❡✐✝➎➏♥❋①❋❜❞⑩❤❜❞❿❛➉⑧❴❛①❋❦❪✐✸➎✸❜❛①❋❜❞♣❪❣r➎✸✉✝✈➊①❋✐✸s❃➀
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❹■✐✖❢❡✐✝❝❥✉❥❜❛①✒☎➑❻⑥✈ ✝ ✌❾ ✝➃✈Ú❫✡❴❛➅t✉❥♥❋♣❪❣r➅❯❴❛①➊❢❥♥❈❴❛♣ ↕✖➟✢➞❛✓➸ ☎ ❼✛ø✞❭✝ ❴✛①❋❦ ❢❡❜➓❢❡♥❋✐☎❝④✐✝➌❩✐✝❝❥✐✸①⑥➎✸✐✸✉✪❢❥♥❋✐✸❝④✐✸❣❤①✟✕➋ ✔☞✐✸➎✸✐✝①➊❢❡⑩❤➉
✎ ✐✝①❋❦❋✐✝❝❥✉❥❜❛①✖☎ ✌
❺ ✝❲❴❛①❋❦❳⑨✴✐✝①❋➎➏♥❋❜❞♥⑥❝❡❴ò↕✖➟❪➞❛✗➸ ☎ ✈❭û❇✈✴❺✌❲✝ ♥❈❴➩③❛✐ ❣r①❋❣➔❢❡❣Ý❴❯❢❡✐✸❦ ❢❡♥⑥✐ ✉④❢❡s⑥❦⑥➉✂❜❛➌⑤❣❤♣✻ì❋s⑥⑩r✉❥❣➔③❞✐
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✁✴❴❛✉❲ì❋❝④❜❞ì✦❜❛✉❥✐✸❦♠❵t➉♠⑨✴✐✝⑩Ý❴❛❝④❵❋❣➝✈❖⑨✴✐✝①❋➎➏♥❋❜❞♥❋❝❥❴✕❴❛①❋✙
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✉④❢❥s❋❦⑥➉◗❵t➉◗➎✸❜❞①⑥✉❥❣r❦⑥✐✸❝❥❣❤①❋❿ ♣❪❜❞❝❥✐➓❿❞✐✸①⑥✐✸❝❡❴✛⑩❲➎✸⑩r❴❛✉❥✉④✐✸✉✕❜❛➌✢❣❤♣✻ì❋s⑥⑩r✉❥❣➔③❞✐➓❦⑥➉❃①❈❴❛♣❪❣r➎♠❣❤①❋➎✸⑩❤s❋✉❥❣❤❜❞①❋✉✻❜❞①◗❢❡❣❤♣✻✐

✉❥➎✸❴❛⑩r✐✝✉✸✗➋ ✡ ✐✲✉❥♥❈❴✛⑩r⑩✗ì❋❝❥❜➭③❃❣r❦❋✐✲✐✖í❇❣r✉❑❢❡✐✝①❋➎✸✐✪❝④✐✸✉④s❋⑩❤❢❥✉ ➌❩❜❞❝☞❢❡♥❋✐✲ì❋❝❥❜❛❵❋⑩r✐✝♣ ✆ ✝✠✟ ➀ ✆ ø ✟ ✶➋ ❭♥❋✐⑧î❈❝④✉④❢❷❜❞①❋✐⑧❝④✐✸⑩❤❣r✐✸✉
❜❞① ❢❡♥❋✐ä①❋❜❛①❋⑩r❣❤①❋✐➩❴❛❝✢❴✛⑩❤❢❡✐✝❝❥①❈❴❯❢❡❣❤③❛✐þ❜❛➌✴❫✡✐✝❝❡❴➩➉➊➀❑⑦❇➎➏♥❋❴❛s❋❦❋✐✝❝✲❢➁➉❃ì✦✜✐ ☎ ✝ ✞ü ✝ ✁☞♥❋✐✝① ❢❡♥⑥✐❪❝④❣r❿❞♥➊❢✢♥❈❴✛①❋❦ ✉④❣r❦❋✐ä❣❤✉
➎✸❜❛①t③❛✐✖í❪③✛❴❛⑩rs⑥✐✸❦✟✈❞❢❥♥❋✐☞✉❥✐✸➎✝❜❞①❋❦✯❴❛①❋❦ä❢❡♥❋✐❭❢❡♥⑥❣r❝❥❦ä❝④✐✸⑩❤➉✪❴❛⑩r✉④❜✢❜❞①❪❢❥♥❋✐☞①❋❜❞①❋⑩❤❣r①❋✐✸❴❛❝Ú❴❛⑩➔❢❡✐✝❝❥①❈❴✛❢❥❣❤③❛✐❭❜❛➌✟❫✵✐✝❝❡❴➩➉➊➀
⑦❇➎➏♥❈❴✛s❋❦❋✐✸❝ ❢➁➉❇ì❖✐⑧❵⑥s⑥❢❲s❋①⑥❦❋✐✸❝ ✁✴✐✸❴❛➅❛✐✝❝➐➎✸❜❞①❋❦⑥❣❤❢❡❣❤❜❞①❋✉☞❜❞①♠❢❥♥❋✐✲➌❩s⑥①❋➎✝❢❥❣r❜❞①❋✉ I (k = 1, ..., m) ❴❛①❋❦♠❢❥♥❋✐
♣❪❣➔í❇✐✸❦ ❿❞✐✸①⑥✐✸❝❡❴✛⑩r❣r➒✝✐✸❦ ❫✵❣rì❋✉④➎➏♥❋❣❤❢❥➒✍❴❛①❋✣
❦ ✢✼❴✛❝❡❴✛❢❥♥❋♦✸❜❃❦❋❜❞❝❑➉✆✤➑✉❪➎✸❜❞①❋❦⑥❣❤❢❡❣❤❜❞①❋✉ä❴❛①⑥❦ ❢❡♥⑥✐✍⑩r❴❛✉④❢❪❜❞①⑥✐✍❜❛① ❢❡♥⑥✐
î⑥í❇✐✸❦ ì❖❜❞❣r①➊❢ ❢❡♥❋✐✝❜❞❝❥✐✝♣✮➌❩❜❞❝ ➎✸❜❞①➊❢❡❝❥❴❛➎✝❢❥❣r❜❞①♠♣✪s❋⑩❤❢❥❣➔➀➝③❛❴✛⑩rs❋✐✝❦➓♣✻❴❛ì❋✉❲❦⑥s❋✐⑧❢❡❜✥✢✴❜➭③❃❣❤❢❥➒þ❴❛①❋❦ ✺ ❴❛❦❋⑩❤✐✸✦❝ ☎ ✝ ✌ø ✝
✁☞♥❋✐✝①ä❢❥♥❋✐✼❝④❣r❿❞♥➊❢ù♥❋❴❛①❋❦þ✉❥❣❤❦❋✐✼❣❤✉➄①❋❜❛❢ù①❋✐✸➎✝✐✸✉❥✉❥❴❛❝❥❣❤⑩❤➉✲➎✸❜❞①➊③❛✐✖íþ③✛❴❛⑩❤s❋✐✸❦✟➋ ❭♥❋✐✼⑩r❴❛✉④❢➄✉❥✐✸➎✖❢❡❣❤❜❞①þ❣r✉■➎✸❜❞①❋➎✝✐✸❝④①❋✐✸❦
✁☞❣❤❢❥♥ ❢❥♥❋✐✻✐✩í❇❣r✉④❢❥✐✸①❋➎✝✐☎❜❛➌✴✐✖í❃❢❡❝④✐✸♣✻❴❛⑩❀✉❥❜❞⑩❤s⑥❢❡❣❤❜❞①❋✉✢❜❛➌✼❢❥♥❋✐✯❴✛❵✦❜➭③❞✐✻♣✻✐✝①➊❢❡❣r❜❛①❋✐✸❦ ì❋❝❥❜❞❵⑥⑩r✐✸♣✳❵➊➉ s❋✉④❣r①❋❿➓❴
❝❥✐✝➎✸✐✝①t❢☞î⑥í❇✐✝❦✍ì❖❜❞❣❤①t❢✴❢❡♥❋✐✝❜❞❝❥✐✝♣ ❦❋s❋✐❲❢❥❜ ✵❷♥❈❴❛❿❛✧✐ ☎ ✝ ✌ú ✝ ➌❩❜❞❝✴❢❥♥❋✐➐✉❥s⑥♣ ❜❛➌■❴þ➎✸❜❞①➊❢❥❝❡❴❛➎✖❢❡❣r❜❛①✕♣✪s❋⑩❤❢❥❣❤③✛❴❛⑩❤s❋✐✸❦
♣✻❴❛ì❪❴❛①❋❦✻❴⑤➎✝❜❞♣✻ì⑥⑩r✐✝❢❥✐✸⑩➔➉⑧➎✝❜❞①➊❢❡❣r①ts❋❜❛s❋✉✎❜❛①❋✐☞❦❋✐✝î❈①⑥✐✸❦✯❜❛①✻❜❞❝④❦❋✐✸❝④✐✸❦✻⑨✼❴❛①❈❴✛➎➏♥✯✉❥ì❋❴❛➎✸✐✝✉✸➋ ❭♥❋✐✝✉❥✐❷❝④✐✸✉④s❋⑩❤❢❥✉
➎✸❜❛♣✻ì❋⑩❤✐✸♣❪✐✸①➊❢❭❢❡♥⑥✐❲➌❩✯✐ ✁✷✐✩í⑥❣❤✉④❢❥✐✸①❋➎✝✐✲❝④✐✸✉❥s⑥⑩❤❢❡✉☞❦❋✐✖③❞❜❛❢❥✐✸❦✍❢❡❜ä❦⑥➉❃①❈❴❛♣❪❣r➎➐❣❤①❋➎✸⑩❤s❋✉❥❣❤❜❞①❋✉✼❜❞①✕❢❥❣r♣❪✐➐✉❥➎➩❴✛⑩r✐✸✉✝➋
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k

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❶✂❢❡❣❤♣✻✐✎✉❥➎➩❴✛⑩r✐ T ❣❤✉Ú❴➐①❋❜❞①❋✐✝♣✻ì❇❢➁➉✪➎✸⑩❤❜❞✉❥✐✝❦ä✉❥s❋❵❋✉④✐✝❢Ö❜❛➌ ✡☞☛ . ë ❢Ú➌❩❜❛⑩r⑩r❜☎✁☞✉➄❢❥♥❈❴✛❢ù❢❥♥❋✭✐ ✬④s❋♣❪ìþ❜❞ì❖✐✸❝❡❴❯❢❡❜❞❝④✉
❦⑥✐✝î❈①❋✐✝❦♠❵➊➉
σ, ρ : T → T
❴❛①❋❦ ρ(t) = sup{s ∈ T : s < t}
σ(t) = inf{s ∈ T : s > t}
✉④s❋ì❋ì❋⑩❤✐✸♣❪✐✸①➊❢❡✐✝❦♠❵➊➉ inf ∅ := sup T ❴✛①❋❦ sup ∅ := inf T✟ ❴❛❝④✐ ✁✎✐✸⑩❤⑩✡❦❋✐✝î❈①⑥✐✸❦✟➋ ❭♥⑥✐⑧ì❖❜❞❣r①➊❢ t ∈ T
✆
❣r✉✲⑩r✐✖➌➈❢④➀➁❦⑥✐✸①❋✉④✐❛✈ù⑩❤✐✝➌➈❢④➀→✉❥➎✸❴✛❢❥❢❥✐✸❝❥✐✝❦✟✈ù❝④❣r❿❞♥➊❢④➀→❦❋✐✸①⑥✉❥✐❛✈➄❝❥❣r❿❛♥t❢❑➀➁✉④➎➩❴✛❢④❢❡✐✸❝④✐✸❦ ❣➔➌ ρ(t) = t, ρ(t) < t, σ(t) =
✰✲✱✍✳✴✶✵✷✰☞✈ ❼❛❾❞✹

❾ ✸✻✺ ❜❋➋ ✝ ❼❃✈❈ì✟➋Ö❼
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❝❥✐✝✉❥ì❖✐✸➎✝❢❥❣❤③❛✐✸⑩❤➉❛➋ ë ➌ ♥❈❴❛✉☞❴✪❝④❣r❿❞♥➊❢④➀→✉❥➎✸❴✛❢❥❢❥✐✸❝❥✐✝❦✕♣✻❣❤①❋❣r♣⑧s❋♣ ✈❋❦❋✐✖î❈①❋✐
✂
{m}
❛❜ ❢❥♥❋✐✸❝ ✁☞❣r✉❥✐✛✈ ✉④✐✝❢ T = T. ë ➌ TT♥❋❴❛✉➐❴✻⑩❤✐✝➌➈❢❑➀➁✉❥➎✸❴✛❢❥❢❥✐✸❝④✐✸❦à♣✻❴❯í❇❣r♣✪s⑥♣ Mm✈✟❦❋✐✖î❈①❋✐ TT :=:=TT−−{M}
✂
❜❛❢❥♥❋✐✸❝ ✁☞❣r✉❥✐✛✈Ú✉❥✐✖❢ T = T. ❭♥⑥✐☎①❋❜❛❢❡❴✛❢❡❣❤❜❞①❋✉ [0, b], [0, b), ❴❛①⑥❦ ✉❥❜ ❜❞①✟✈ ✁☞❣❤⑩r⑩❀❦❋✐✝①❋❜❛❢❡✐✻❢❡❣r♣❪✐✯✉④➎➩❴❛⑩❤✐✸✉
❣r①➊❢❥✐✸❝④③✛❴❛⑩❤✉

t, σ(t) > t

k

k

k
k

[0, b] = {t ∈ T : a ≤ t ≤ b},

☞♥❋✐✝❝❥✐ 0, b ∈ T ✁☞❣❤❢❥♥ 0 < ρ(b).
❁➊÷ù❘✗❍❩õ➭❍❅▼❖✂
❘ ✁☎✄✝✆✟✞ ↕✖➟ X ➺✖↕➓➞ ➯ ➞❛➲❖➞❃➜➏➢ ➫✡✠⑥➞❃➜➏↕☞☛✍✌✟➢❈↕➐➧✩➵❃➲ ➜✖➟❅➛➝➠❯➲ f : T → X ✎ ➛➈➸➈➸☞➺✖↕à➜❥➞❛➸➈➸r↕❥➙
➜➏➠❯➲❈➟❅➛➈➲❈➵❽➠❯➵➊➫✏✠❖➥❡➠✒✑➭➛❅➙❃↕❥➙✯➛➈➟✎➛r➫ä➜➏➠❯➲❈➟❅➛➈➲❈➵❽➠❯➵➊➫⑧➞❛➟☞↕❥➞❃➜➏➢✍➥✖➛✔✓❯➢❃➟✝✕❑➙❃↕✖➲⑥➫➭↕✖✠❈➠❯➛➈➲❈➟✼➞❛➲❖➙❪➢⑥➞❯➫⑧➞✯➸r↕❩➧✩✗➟ ✕➝➫✖➛❅➙❃↕❥➙
rd−
➸Ð➛➈➤þ➛➈➟✴➞❛➟☞↕❥➞❃➜➏➢✘✠❈➠❯➛➈➲❈➟✚✙ ✎ ↕ ✎ ➥✩➛➈➟➁↕ f ∈ C (T) = C (T, X).
❁➊÷ù❘✗❍❩õ➭❍❅▼❖✂
❘ ✁☎✄✛✁✜✞ ↕✖➟ t ∈ T , ➟❩➢❈↕ ∆ ➙❃↕✖➥✖✚➛ ✑❯➞❛➟❅✚➛ ✑❛↕♠➠➡➧ f ➞❛➟ t, ➙❃↕✖➲ ➠❯➟➁↕❥➙ f (t), ➺✖↕✕➟❩➢❈↕☎➲❈➵❇✢➤ ✕
➺✖↕✖✒➥ ✣✛❖✠ ➥❡✒➠ ✑➭➛❅➙❃↕❥➙❪➛➈➟❭✥↕ ✤❞➛r➫✖➟❩✡➫ ✦❪➛ ➧ù➧➩➠❯➥✲➞❛➸➈➸ ε > 0 ➟➈➢❈↕✖➥❡↕þ✥↕ ✤❞➛r➫✖➟❩➫⑤➞✯➲ ↕✖✔➛ ✓❯➢⑥➺✖➠❯➥❡➢❈➠➭➠✸➙ U ➠➡➧ t ➫✖➵❽➜➏➢✕➟❩➢⑥➞❛➟
✁

rd

rd

∆

k

|f (σ(t)) − f (s) − f ∆ (t)[σ(t) − s]| ≤ ε|σ(t) − s|

➧➩➠❯➥✲➞❛➸➈➸ s ∈ U, ➞❛➟★✧✩✤ t ☛
❶✷➌❩s❋①❋➎✖❢❡❣r❜❛① F ❣r✉❭➎➩❴✛⑩r⑩r✐✝❦✱❴❛①➊❢❡❣❤❦❋✐✸❝④❣❤③✛❴✛❢❡❣➔③❞✐❲❜✛➌

f :T→X

ì❋❝❥❜➭③❃❣r❦❋✐✝❦

❩➌ ❜❞❝❭✐➩❴✛➎➏♥ t ∈ T .
✪ ❁✬✫ ❆❋❉●❄✭✁☎✄✛✮ ✣→➛✯✦✱✰❩➧ f ➛r➫þ➜➏➠❯➲❈➟❅➛➈➲❈➵❽➠❯➵➊✲➫ ✙❀➟➈➢❈↕✖➲ f rd− ➜➏➠❯➲❈➟❅➛➈➲❈➵❽➠❯➵➊☞➫ ☛
✣→➛➈➛✯✦✳✰➈➧ f ➛r➫✲➙❃↕✖➸Ð➟➝➞✕➙❛➛ ✴❲↕✖➥❡↕✖➲❈➟➃➛❅➞➊➺✸➸r↕✢➞❛➟ t ➟➈➢❈↕✖➲ f ➛r➫✪➜➏➠❯➲❈➟❅➛➈➲❈➵❈➠❯➵t➫⑧➞❛➟ t ☛
F ∆ (t) = f (t)

k

❣❤✉❭➎➩❴❛⑩❤⑩r✐✝❦ ➥➏↕✵✓❛➥❡↕➏➫➏➫✖➛✚❛✑ ↕✎❣❤➌
➌❩❜❞❝☞❴✛⑩r⑩ t ∈ T,
1 + µ(t)p(t) 6= 0

✁☞♥❋✐✝❝❥✐
✈ ✁☞♥❋❣❤➎➏♥ ❣r✉❷➎✸❴❛⑩r⑩❤✐✸❦✍❢❡♥❋✐✶✓❛➥④➞❛➛➈➲❈➛➈➲ ↕➏➫➏➫Ö➧✩➵❇➲ ➜✖➟❅➛➝➠❯➲❈➋ ✡ ✐✪❦❋✐✸①⑥❜❛❢❡✐þ❵➊➉ R ❢❡♥⑥✐
µ(t) = σ(t) − t
✉❥✐✖❢⑧❜✛➌✴❢❡♥⑥✐✻❝④✐✸❿❞❝④✐✸✉❥✉④❣❤③❛✐✻➌❩s❋①❋➎✖❢❡❣❤❜❞①❋✉✸➋ ❭♥❋✐❪❿❞✐✸①❋✐✝❝❡❴❛⑩❤❣r➒✝✐✸❦ ✐✖í❇ì✦❜❛①❋✐✸①➊❢❡❣r❴❛⑩Ú➌❩s❋①❋➎✖❢❡❣r❜❛① ❣r✉✢❦❋✐✝î❋①❋✐✸❦ ❴✛✉
❢❡♥⑥✐☎s❋①❋❣❤q❃s⑥✐✯✉❥❜❛⑩rs⑥❢❥❣r❜❞① ❜❛➌❭❢❡♥❋✐✯❣r①❋❣➔❢❡❣Ý❴✛⑩➄③✛❴❛⑩rs❋✐✻ì❋❝❥❜❛❵❋⑩r✐✝♣ y = p(t)y, y(0) = e1 ✈ ✁☞♥❋✐✸❝④✐ p ❣r✉⑧❴
❝❥✐✝❿❞❝❥✐✝✉❥✉④❣❤③❞✐✢➌❩s❋①❋➎✖❢❡❣❤❜❞①✟➋Ú❶❷①✍✐✖í❇ì❋⑩❤❣r➎✝❣❤❢✼➌❩❜❞❝④♣✪s❋⑩r❴✲➌❩❜❞❝ e (t, 0) ❣r✉❭❿❛❣❤③❞✐✝①➓❵➊➉
❶✷➌❩s❋①❋➎✝❢❥❣r❜❞①

p : T → ✡✌☛

+

p

∆

p

❣❤➌ h 6= 0,
e (t, s) = exp

ξ (z) =
ξ (p(τ ))∆τ
❤❣ ➌ h = 0.
✷❈❜❞❝Ú♣❪❜❞❝❥✐❭❦❋✐✖❢➏❴❛❣❤⑩r✉✝✈➊✉❥✐✸✐ ☎➑❻✌✝➝➋ ✢✴⑩r✐➩❴✛❝❥⑩❤➉❛✈ e (t, s) ①❋✐✖③❞✐✝❝Ö③✛❴❛①❋❣❤✉❥♥❋✐✝✉✸➋ ✐☞①❋❜ ❿❞❣❤③❛✐☞✉❥❜❞♣❪✐❭➌❩s❋①❋❦❈❴❛♣❪✐✸①❃➀
❢➏❴✛⑩■ì❋❝④❜❞ì❖✐✸❝④❢❥❣r✐✝✉ ❜❛➌Ú❢❥♥❋✐⑧✐✩í❇ì✦❜❞①⑥✐✸①➊❢❡❣r❴❛⑩✗➌❩s⑥①❋➎✝❢❥❣r❜❞①✟➋ ❫✵✐✝❢ p, q : T → ✡☞☛ ❢ ✁✎❜✕❝❥✐✝❿❞❝❥✐✝✉❥✉❥❣➔③❞✐⑧➌❩s⑥①❋➎✝❢❥❣r❜❞①❋✉✝➋
✡ ✐⑤❦⑥✐✝î❈①❋✐
p

Z

t



µ(τ )

s

☞❣❤❢❡♥
✁

h

(

Log(1 + hz)
h
z
✡
☎✁

p

p ⊕ q = p + q + µpq,

⊖p := −

p
,
1 + µp

p ⊖ q := p ⊕ (⊖q).

☞✈ ❼❛❾❞❾✹✸✻✺ ❜❋➋ ✝ ❼❃✈❈ì✟➋❀ø

✰✲✱✍✳✴✶✵✷✰

❚✡❁t▼❽❉❯❁✬✫ ✁☎✄
➳❷➫➏➫✖➵❇➤✯↕✢➟➈➢⑥➞❛➟ p, q : T → ✡☞☛ ➞❛➥❡↕➐➥❡↕✵✓❛➥❡↕➏➫➏➫✖➛✚❛✑ ↕ù➧✩➵❃➲ ➜✖➟➃➛➝➠❯➲⑥➫✲✙❀➟➈➢❈↕✖➲♠➟➈➢❈↕Ú➧➩➠❯➸➈➸r➠ ✎
➛➈➲✬ä✓ ➢❈➠❯➸➔➙
✣→✯➛ ✦
➞❛➲❖➙ e (t, t) ≡ 1
e (t, s) ≡ 1
✣→➛➈✯➛ ✦
e (σ(t), s) = (1 + µ(t)p(t))e (t, s);
✣→➛➈➛➈➛✯✦
1
= e (t, s);
✂✁☎✄✝✆✟✞

✕

✡✠

0

☛

p

p

✣→➛✚✑ ✦
✣✑✦

✣ ✑➭➛✯✦

p

⊖p

ep (t, s)

ep (t, s)

1
= e⊖p (s, t);
ep (s, t)

ep (t, s)ep (s, r) = ep (t, r);
ep (t, s)eq (t, s) = ep⊕q (t, s);

✣ ✑➭➛➈➛✯✦ ep (t, s)
eq (t, s)

= ep⊖q (t, s).

❢❡♥⑥✐⑤①⑥❜❞❝❥♣

C([0, b], ✡✌☛ )

❣r✉✴❢❥♥❋✐⑤⑨✼❴❛①❈❴✛➎➏♥➓✉④ì❈❴❛➎✸✐✢❜❛➌➄❴❛⑩❤⑩✟➎✸❜❞①➊❢❥❣r①ts❋❜❞s❋✉✼➌❩s⑥①❋➎✝❢❥❣r❜❞①❋✉❭➌❩❝④❜❞♣

[0, b]

❣❤①➊❢❡❜

✡✌☛

☞❣❤❢❡♥
✁

kyk∞ = sup{|y(t)| : t ∈ [0, b]}.

⑥❦ ✐✸①❋❜❛❢❥✐✻❢❥♥❋✐✯✉④ì❈❴❛➎✸✐✻❜❛➌✼➌❩s❋①⑥➎✝❢❡❣❤❜❞①❋✉✢➌❩❝❥❜❞♣ [0, b] ❣r①➊❢❥❜ ✡☞☛ ✁☞♥⑥❣r➎➏♥ ❴❛❝④✐☎❫✵✐✸❵❖✐✸✉④❿❞s❋✐
L ([0, b], ✡✌☛ )
❣r①➊❢❥✐✸❿❞❝❥❴❛❵❋⑩r✐❷❣r①✕❢❡♥❋✐➐❢❥❣r♣❪✐❲✉❥➎✸❴❛⑩r✐✢✉❥✐✝①❋✉❥✐⑤①❋❜❞❝④♣✻✐✝❦✱❵t➉
Z
➌❩❜❞❝❭✐✸❴❛➎➏♥ y ∈ L ([0, b], ✡☞☛ )
kyk =
|y(t)|∆t
❣❤✉✗❢❥♥❋✐✼✉④ì❈❴❛➎✸✐❭❜✛➌❽❦❋❣ ✐✸❝④✐✸①➊❢❡❣r❴❛❵❋⑩r✐❀➌❩s❋①❋➎✖❢❡❣❤❜❞①❋✉ y : (0, b) → ✡☞☛ ✁☞♥❋❜❛✉❥✐✼î❈❝④✉④❢Ú❦❋✐✝⑩❤❢❡❴
AC((0, b), ✡✌☛ )
❦❋✐✝❝❥❣❤③✛❴✛❢❥❣❤③❛✐❛✈ y ✈❈❣❤✉☞❴❛❵❋✉④❜❞⑩rs⑥❢❥✐✸⑩➔➉☎➎✸❜❛①t❢❥❣r①ts❋❜❞s⑥✉✸➋
❫✵✐✝❢ (X, | · |) ❵❖✐☎❴➓①❋❜❞❝❥♣❪✐✸❦ ✉❥ì❈❴❛➎✝✐❛✈ P(X) = {Y ⊂ X : Y 6= ∅} ✈ P (X) = {Y ∈
➎✸⑩❤❜❞✉❥✐✝❦ } ✈ P (X) = {Y ∈ P(X) : Y ❵✦❜❞s⑥①❋❦❋✐✸❦ }, P (X) = {Y ∈ P (X) : Y
P (X) : Y
➎✸❜❛①t③❛✐✖í }, P (X) = {Y ∈ P(X) : Y ➎✸❜❞♣❪ì❈❴❛➎✖❢ }. ❶ ♣✪s⑥⑩❤❢❡❣➔③✛❴❛⑩rs❋✐✝❦ ♣✯❴❛ì N : [0, b] →
❣r✉➐✉❡❴✛❣r❦ ❢❡❜✱❵❖✐✍➤✯↕❥➞❯➫✖➵❃➥④➞➊➺✸➸r↕✖✈✟❣❤➌❀➌❩❜❞❝➐✐✖③❞✐✝❝④➉ y ∈ ✡☞☛ ✈✟❢❥♥❋✐þ➌❩s❋①❋➎✝❢❥❣r❜❞① t 7−→ d(y, N(t)) =
P ( ✡☞☛ )
❣r✉✲♣✻✐✸❴❛✉❥s⑥❝❡❴❛❵❋⑩❤✐ ✁☞♥❋✐✝❝❥✐ d ❣r✉⑤❢❡♥❋✐✯♣✻✐✖❢❡❝❥❣❤➎✯❣❤①❋❦❋s❋➎✝✐✸❦ ❵➊➉ ❢❥♥❋✐✕⑨✼❴✛①❈❴❛➎➏♥
inf{|y − z| : z ∈ N(t)}
✉❥ì❋❴❛➎✸✐ ✡✌☛ ➋ ë ① ✁☞♥❈❴✛❢☞➌❩❜❞⑩❤⑩r☎❜ ✁☞✉✸✈ ✁✎✐ ✁☞❣❤⑩r⑩✵❴✛✉❥✉❥s⑥♣✻✐✢❢❡♥❈❴❯❢②❢❥♥❋✐➐➌❩s❋①❋➎✖❢❡❣r❜❛① F : [0, b] × ✡☞☛ → P(✡☞☛ ) ❣r✉
✼❴❛❝❥❴✛❢❡♥❋♦✝❜❇❦⑥❜❞❝④➉❛✈❈❣➝➋➑✐❛➋
❣
❣r✉❭♣❪✐➩❴❛✉④s❋❝❡❴❛❵⑥⑩r✐❷➌❩❜❞❝❭✐✸❴❛➎➏♥ x ∈ ✡☞☛ ✈
✆ ✟ t → F (t, x)
❣❤❣
❣❤✉❭s❋ì❋ì❖✐✸❝☞✉❥✐✝♣✻❣❤➎✸❜❞①➊❢❥❣r①ts❋❜❞s❋✉✼➌❩❜❛❝☞❴❛⑩r♣❪❜❞✉④❢❭❴❛⑩r⑩ t ∈ [0, b] ✈
✆ ✟ x → F (t, x)
✷❈❜❞❝❭✐➩❴✛➎➏♥
✈❈⑩❤✐✝❢ S ❢❡♥❋✐✢✉❥✐✖❢②❜❛➌➄✉④✐✸⑩❤✐✸➎✝❢❥❣r❜❞①⑥✉②❜✛➌ F ❦⑥✐✝î❈①❋✐✝❦♠❵➊➉
y ∈ C([0, b], ✡✌☛ )
1

b

1

L1

0

✁

∆

cl

b

c

cp

cl

✢

F,y

SF,y = {v ∈ L1 ([0, b], ✡☞☛ ) : v(t) ∈ F (t, y(t)), a.e. t ∈ [0, b]}.

❭♥❋✐❷➌❩❜❞⑩❤⑩r☎❜ ✁☞❣r①⑥❿⑧❫✵✐✸♣❪♣✻❴⑤❣❤✉✴➎✸❝④s❋➎✸❣r❴❛⑩❽❣r①✯❢❥♥❋✐❷ì⑥❝❥❜❃❜❛➌✵❜❛➌✡❜❞s⑥❝✴♣✻❴❛❣r①❪❝❥✐✝✉❥s❋⑩➔❢❡✉ ✁☞♥⑥✐✸①☎❢❡♥⑥✐❲♣✪s❋⑩➔❢❡❣❤③✛❴❛⑩➱➀
s❋✐✝❦➓♣✻❴❛ì✱♥❈❴❛✉☞➎✸❜❛①t③❛✐✖í✍③✛❴❛⑩rs⑥✐✸✉✸➂
✰✲✱✍✳✴✶✵✷☞
✰ ✈ ❼❛❾❞❾✹✸✻✺ ❜❋➋ ❼❃✈❈ì✟➋Úú
✝

❁

✫ ✫ ✱✁ ✄

☛ ✞
✚✑

✡✠ ☞☛ ✞

❆
✂✁
☎✄✝✆
↕✖➟
➺✖↕ ➞ ➯ ➞❛➲❖➞❃➜➏➢ ➫ ⑥➞❃➜➏↕
↕✖➟
➺✖↕ ➞
X
F : J × X −→ P (X)
➞❛➥④➞❛➟❩➢✠✟➏➠✸➙❃➠❯➥✩➦⑤➤þ➵❇➸Ð➟❅➛ ❯➞❛➸Ð➵❈↕❥➙þ➤❪➞ ♠➞❛➲❖➙⑧➸r↕✖➟
➺✖↕❲➞✪➸Ð➛➈➲ ↕❥➞❛➥❲➜➏➠❯➲❈➟➃➛➈➲❈➵❈➠❯➵➊➫❷➤❪➞ ❖➛➈➲ ❀✩➧ ➥➏cp,c
➠❯➤
Γ
L1 (J, X)
➁➟ ➠
❀➟➈➢❈↕✖➲ ➟➈➢❈↕þ➠ ❈↕✖➥❥➞❛➟➁➠❯➥
✞

C(J, X)

✄

✞

✙

✘✓ ✠ ✲✠

✠

✲✠

✠ ✠ ✬✓

Γ ◦ SF : C(J, X) −→ Pcp,c (C(J, X)),
y
7−→ (Γ ◦ SF )(y) := Γ(SF (y) )

➛r➫⑧➞✱➜✖➸r➠➭➫➭↕❥➙ ❛➥④➞ ❈➢à➠ ❈↕✖➥④➞❛➟➁➠❯➥✢➛➈➲

C(J, X) × C(J, X).

✁✯✄✸✆✟✞✡✠☞☛✱✌✴✠✬✏✒✠☞✆✡✓✱✔✩✞✗✆
✡

✡ ✐ ✁☞❣r⑩r⑩✦❴❛✉④✉❥s❋♣❪✐❲➌❩❜❞❝✴❢❥♥❋✐➐❝❥✐✝♣✯❴❛❣❤①❋❦❋✐✝❝✴❜❛➌✡❢❡♥⑥❣r✉❭ì❈❴❛ì❖✐✸❝✎❢❡♥❈❴✛❢✸✈⑥➌❩❜❞❝✼✐✸❴❛➎➏♥

❢❡♥⑥✐➐ì✦❜❞❣❤①➊❢❡✉
k = 1, . . . , m,
❜ ➌❈❣❤♣✻ì⑥s❋⑩r✉④✐
❛
❴❛❝④✐✎❝④❣r❿❞♥➊❢■❦❋✐✸①❋✉④✐❛➋ ë ①⑧❜❞❝❥❦❋✐✝❝✗❢❥❜❷❦❋✐✖î❈①❋✐✴❢❥♥❋✐✴✉④❜❞⑩rs❇❢❡❣r❜❛①⑤❜✛➌
ø ✈✠✁✴✐✼✉④♥❈❴❛⑩❤⑩❃➎✝❜❞①❋✉④❣r❦❋✐✝❝
t
✆ ✝✠✟☞☛ ✆ ✟
❢❡♥⑥✐✢➌❩❜❛⑩r⑩r☎
❜ ✁☞❣❤①❋k❿✪✉❥ì❋❴❛➎✸✐✛➂

P C = {y : [0, b] −→ ✡☞☛ : yk ∈ C(Jk , ✡☞☛ ), k = 0, . . . , m,
❴❛①❋❦

y(t+
k)

✁☞❣❤❢❥♥

❴❛①❋❦✱❢❡♥⑥✐✸❝❥✐✢✐✩í⑥❣❤✉④❢

y(t−
k)

y(t−
k ) = y(tk ), k = 1, . . . , m},

✁☞♥❋❣❤➎➏♥➓❣❤✉☞❴❪⑨✴❴❛①❈❴❛➎➏♥✍✉❥ì❈❴✛➎✸✐ ✁☞❣❤❢❡♥✕❢❥♥❋✐✢①❋❜❞❝❥♣

✁☞♥❋✐✝❝❥✐

kykP C = max{kyk kJk , k = 0, . . . , m},
yk

❣❤✉ù❢❡♥❋✐☞❝❥✐✝✉④❢❥❝❥❣r➎✖❢❡❣❤❜❞①þ❜❛➌

y

❢❡❜

Jk = (tk , tk+1] ⊂ [0, b], k = 1, . . . , m

❫✵✐✝❢②s❋✉☞✉④❢❡❴❛❝④❢②❵➊➉✕❦❋✐✖î❈①❋❣r①⑥❿ ✁☞♥❈❴❯❢ ✁✴✐⑤♣✻✐✸❴❛①✱❵➊➉✍❴ä✉④❜❞⑩rs❇❢❡❣r❜❛①✕❜❛➌➄ì⑥❝❥❜❞❵❋⑩❤✐✸♣

✈❃❴❛①⑥❦
➀ ø

J0 = [t0 , t1 ].
➋

❁➊÷ù❘✗❍❩õ➭❍❅▼❖✂
❘ ✮☎✄✝✆ ➳ ➧✩➵❃➲ ➜✖➟➃➛➝➠❯➲
➛r➫②➫✸➞❛➛❅➙ä➟➁➠❪➺✖↕➐➞þ➫➭➠❯➸Ð➵❃➟❅➛➝➠❯➲ ➠➡➧
, . . . t }, ✡☞☛ )
✣ ✦ ✣ ✦ä➛ ➧➐➟➈➢❈↕✖➥❡↕þ↕✥✤❞➛r➫✖➟❩➫⑤➞ ➧✩➵❇➲ ➜✖y➟❅➛➝∈➠❯➲ PvC∈∩LAC(J\{t
➫✖➵❈➜➏➢✱➟❩➢⑥➞❛➟
([0, b], ✡☞☛ )
➞ ❅☛ ↕☞✢
☛ ➠❯➲ J\{t }, k = 1, . . . , m,
y (t) + p(t)y (t) = v(t)
➞❛➲❖➙✱➧➩➠❯➥ ↕❥➞❃➜➏➢
✙ ➟➈➢❈↕þ➧✩➵❇➲ ➜✖➟❅➛➝➠❯➲ y ➫✸➞❛➟❅➛r➫ ✼✧ ↕➏➫ ➟➈➢❈↕ ➜➏➠❯➲❖➙❛➛➈➟❅➛➝➠❯➲ y(t ) − y(t ) =
✯
k = 1, . . . , m
✍✌ ✏✎

1

✒✑

m

1

∆

Ik (y(t−
k )),
✡

✆ ✝✠✟ ✆ ✟

σ

k

➞❛➲❖➙✻➟➈➢❈↕⑤➛➈➲❈➟❅➛❅➞❛➸■➜➏➠❯➲❖➙❛➛➈➟➃➛➝➠❯➲

+
k

y(0) = η.

✐✢①❋✐✝✐✸❦✍❢❡♥❋✐➐➌❩❜❞⑩❤⑩r❜☎✁☞❣r①❋❿✪❴❛s❇í❇❣r⑩❤❣Ý❴❛❝❑➉✻❝④✐✸✉④s❋⑩❤❢

✫ ✫ ❆✱✮ ✄✛✁✜✞ ↕✖➟ p : T → ✡✌☛ ➺✖↕
➜➏➠❯➲❈➟❅➛➈➲❈➵❽➠❯➵➊➫☞☛ ✞ ↕✖➟
➞❛➲❖➙
rd−
t ∈ T,
✑❯➞❛➸Ð➵❈↕✖✠❖➥❡➠❛➺✸➸r↕✖➤
❁

−
k

✉❥✐✸✐ ☎➣û✞✝ ➋

✆

✟

✵✓

✚✑ ☞☛ ✠ ✠

➜➏➠❯➲❈➟❅➛➈➲❈➵❽➠❯➵➊➫✯➞❛➲❖➙♠➥❡↕ ❛➥❡↕➏➫➏➫✖➛ ❛↕ ✔✓❽➵ ❈➠➭➫➭↕
rd−
f : T → ✡✌☛
✟➢❈↕✖➲
➛r➫⑧➟➈➢❈↕✪➵❃➲❈➛✖✕✸➵❽↕⑤➫➭➠❯➸Ð➵❃➟➃➛➝➠❯➲ ➠➡➧⑧➈➟ ➢❈↕þ➛➈➲❈➛➈➟❅➛❅➞❛➸

y0 ∈ ✡☞☛ .

0

✌

✙

y

ú

y ∆ (t) + p(t)y σ (t) = f (t), t ∈ [0, b] ∩ T, t 6= tk , k = 1, . . . , m
−
−
y(t+
k ) − y(tk ) = Ik (y(tk )), k = 1, . . . , m,

✆ ✟
✸
ü

✆ ✟

y(0) = y0 ,

➛ ➧✲➞❛➲❖➙✱➠❯➲❈➸Ð➦❪➛ ➧

y(t) = e⊖p (t, 0)y0 +

✆ ✟

Z

t

e⊖p (t, s)f (s)∆s +
0

X

û

e⊖p (t, tk )Ik (y(t−
k )).

✆ ✟

0 0 ✉④s❋➎➏♥➓❢❥♥❈❴✛❢
➌❩❜❛❝❭✐➩❴❛➎➏♥ (t, x) ∈ [0, b] × ✡✌☛ ,
kF (t, x)k = sup{|v| : v ∈ F (t, x)} ≤ p(t)ψ(|x|)
❴❛①⑥❦
k

k

k

1

+

P

M
m
X

|η| sup e⊖p (t, 0) +
t∈[0,b]

ck sup e⊖p (t, tk ) +

sup

k=1

e⊖p (t, s)ψ(M)

(t,s)∈[0,b]×[0,b]

t∈[0,b]

Z

> 1.

b

p(s)∆s

0

❚✡❁t▼❽❉❯❁✬✫ ✮☎✄✛✮ ❽➵ ✠ ✠❈➠➭➫➭↕✢➟➈➢⑥➞❛➟Ö➢❃➦✲✠❈➠❯➟➈➢❈↕➏➫➭↕➏➫ ✣ ✦ ✣ ✦þ➢❈➠❯➸➔➙ ☛ ✌✟➢❈↕✖➲à➟➈➢❈↕⑧➛➈➤ ✠❖➵❃➸ ➫✖➛✚✑❛↕✲➙❛➦❯➲❖➞❛➤þ➛➝➜
➛➈➲ ✖➜ ➸Ð➵➊➫✖➛➝➠❯➲⑥➫✶✣ ✦ ✣ ✦⑧➢⑥➞❯➫⑧➞❛➟Ö➸r↕❥➞❯➫✖➟✼➠❯➲ ↕➐➫➭➠❯➸Ð➵❇➟❅➛➝➠❯➲ ❯➠ ➲ [0, b] ☛
❉●▼✟▼ ✄ ✗❝❡❴❛①❋✉❑➌❩❜❞❝❥♣ ❢❥♥❋✐❪ì❋❝❥❜❞❵⑥⑩r✐✸♣ ✆ ✝✠✟ ✆ ø ✟ ❤❣ ①t❢❥❜✍❴✍î⑥í❇✐✸❦ ì✦❜❛❣r①➊❢⑤ì❋❝❥❜❞❵⑥⑩r✐✸♣✍➋☛✢✴❜❞①❋✉❥❣❤❦❋✐✸❝✢❢❡♥⑥✐
❜❞ì❖✐✸❝❥❴✛❢❡❜❞❝ N : P C −→ P(P C) ❦⑥✐✝î❈①❋✐✝❦♠❵➊➉
✓

✁

✌ ✏✎ ✁

✑

✍✌ ✏✎ ✒✑

✂

☎✄

☞☛

Z

✪ ✬❁ ✫

t

N(y) = {h ∈ P C : h(t) = e⊖p (t, 0)η +
e⊖p (t, s)v(s)∆s
0
X
+
e⊖p (t, tk )Ik (y(t−
k )), v ∈ SF,y }.

❋❆ ❉●❄✭✮☎✄ ➸r↕❥➞❛➥✖➸Ð➦ ✙❇➧✩➥➏➠❯➤ ✞ ↕✖➤þ➤❪➞ ☛ ✙Ú➟➈➢❈↕ ✧✩✤❇↕❥➙ ✠❈➠❯➛➈➲❈➟❩➫⑤➠➡➧ N ➞❛➥➏↕②➫➭➠❯➸Ð➵❃➟➃➛➝➠❯➲⑥➫❷➟➡➠ ✣ ✦ ✣ ✦ ☛
✡ ✐⑧✉❥♥❋❴❛⑩r⑩✗✉❥♥❋❜☎✁ ❢❡♥❋❴✛❢ N ✉❡❴✛❢❥❣r✉❑î❈✐✸✉②❢❡♥❋✐þ❴✛✉❥✉❥s⑥♣✻ì⑥❢❥❣r❜❞①⑥✉ ❜❛➌Ú❢❥♥❋✐⑧①⑥❜❞①❋⑩r❣❤①❋✐➩❴✛❝ ❴✛⑩❤❢❡✐✝❝❥①❈❴❯❢❡❣❤③❛✐✲❜✛➌Ö❫✡✐✝❝❡❴➩➉➊➀
⑦❇➎➏♥❈❴✛s❋❦❋✐✸❝☞❢➁➉❃ì✦✐✛➋ ❭♥❋✐✲ì⑥❝❥❜❃❜❛➌ ✁☞❣r⑩r⑩ ❵✦✐➐❿❞❣➔③❞✐✝①➓❣❤①✍✉④✐✝③❛✐✸❝❡❴✛⑩✗✉❑❢❡✐✝ì❋✉✸➋
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