Proposal Penlitian Penerapan Ilmu Logika
Proposal Penlitian
“Penerapan Ilmu Logika Matematika Dalam Ilmu Mantiq”
(Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Metodologi Penelitian)
Dosen Pengampu:
Evawati Alisah, M.Pd
Oleh :
Cahya A’isyah Laili Soetomo (12610071)
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG
2014
HALAMAN PENGESAHAN PROPOSAL PENELITIAN
Judul Penelitian :
Penerapan Ilmu Logika Matematika Dalam Ilmu Mantiq
Biodata Peneliti :
a. Nama Lengkap
: Cahya A’isyah Laili Soetomo
b. Jenis Kelamin
: Perempuan
c. Jabatan
: Mahasiswa
d. NIM
: 12610071
e. Fakultas/Jurusan
: Sains Dan Teknologi/Matematika
f. Alamat/Telp
: Joyosuko Gg.3 No.15/085755074624
Malang, 2014
Mengetahui,
Dosen Pengampu
Evawati Alisah, M.Pd
Nip.197206041999032001
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Pada dasarnya ilmu logika sangat penting bagi kehidupan manusia. Logika
matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian
matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar
matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan
logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan
ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal.
Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan,
teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidangbidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.1
Keguanaan logika adalah membantu setiap orang yang mempelajari logika
untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis, dan koheren.
Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan
mandiri. Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan
menggunakan asas-asas sistematis. Meningkatkan cinta akan kebenaran dan
menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan, serta kesesatan. Mampu
melakukan analisis terhadap suatu kejadian. Terhindar dari klenik, gugon-tuhon
(bahasa Jawa). Apabila sudah mampu berpikir rasional, kritis, lurus, metodis dan
analitis sebagaimana tersebut pada butir pertama maka akan meningkatkan citra
diri seseorang.2
Logika merupakan studi penalaran yang secara khusus membahas apakah
penalaran tersebut benar. Logika berfokus pada hubungan antara pernyataanpernyataan yang dipertentangkan dengan isi pernyataan tertentu. Metode logika
digunakan dalam matematika untuk membuktikan teorema dan dalam ilmu
komputer untuk membuktikan bahwa program-program berjalan seperti yang
diharapkan.
Keistimewaan manusia dari segala sesuatu adalah manusia punya akal fikiran.
Maka manusia dengan fikirannya merupakan isi dari alam ini, yang mana tidak
ada yang mulia di dunia ini, kecuali manusia yang berakal. Salah satu fungsi akal
dalam kehidupan manusia tiada lain sebagai petunjuk jalan guna memilih yang
bermanfaat dan meninggalkan yang mudharat.
1 Wikipedia.org,2013
2 Abdul Aziz,2012
Islam sebagai agama yang menjunjung tinggi akal pikiran benar-benar
menganjurkan ummatnya untuk melakukan apapun dengan landasan ilmiah yang
memiliki akurasi data yang baik, dan benar.Sehingga ditemukan pemahaman
“BAL” dalam bertindak; Benar-Akurat-Lengkap. Filsafat melalui salah satu
cabangnya, memberikan jalan keluar dengan istilah logika yang juga banyak
dikenal di dunia Islam dengan istilah mantiq, yang juga memiliki cabang alat
berfikir runtut yang dikenal dengan silogisme.3
Logika matematika dan ilmu mantiq adalah dua cabang ilmu yang sama-sama
mengajarkan kepada pelatihan cara berfikir otak manusia, agar dapat berfikir
secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis, dan koheren. Meningkatkan
kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif. Logika matematika
dengan menggunakan simbol-simbol atau lambang-lambang, dan ilmu mantiq
dengan menggunakan istilah-istilah dalam bahasa Arab. Kedua cabang ilmu ini
memiliki metode-metode yang hampir serupa.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka permasalahan yang dapat
dirumuskan adalah bagaimanakah keterkaitan antara logika matematika dan ilmu
mantiq?
1.3 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah
merumuskan keterkaitan antara logika matematika dan ilmu mantiq.
1.4 Batasan Masalah
Agar pembahasan lebih terarah dan sesuai dengan apa yang diharapkan maka
penulis hanya membatasi pada bagian ilmu logika proporsisi beserta metodemetode pembuktiannya dan juga pembenaran kalimat dalam ilmu mantiq.
1.5 Manfaat Penelitian
Hasil penelitian ini diharapkan dafat bermanfaat bagi:
1. Penulis
Menambah pengetahuan dan keilmuan tentang hal-hal yang berkaitan
dengan logika proporsisi.
2. Lembaga
3 http://satuhati-satukisah.blogspot.com/2013/05/pengertian-pembagian-sejarah-dan.html
Sebagai tambahan pustaka untuk rujukan penelitian dan bahan
perkuliahan khususnya tentang materi logika proporsiosi.
3. Pembaca
Sebagai bahan pembelajaran dan pengetahuan mengenai logika
proporsisi, dan diharapkan dapat menjadi rujukan untuk penelitian yang
akan datang.
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
1.1 Ilmu Mantiq
Mantiq adalah beberapa kaidah umum yang meliputi yang dapat memelihara
otak manusia dari kesalahan dalam berfikir.
Pokok bahasanya:
1. Pengertian secara gambaran
2. Pengertian secara hubungan
Gunanya: supaya terhindar dari kesalahan dalam berfikir
Contoh:
“setiap manusia hidup”
“setiap yang hidup itu berperasaan”
“setiap yang berperasaan tumbuh”
“setiap yang tumbuh butuh makan”
Maka setiap manusia butuh makan
Pengertian yang masih berdiri sendiri
1.1.1
Ilmu
Ilmu, yaitu pengetahuan tentang sesuatu yang sesuai dengan realitas
sebenarnya, baik diperoleh secara pasti atau kemungkinan.
Ilmu diperoleh dengan jalan tasawur atau tasdiq. Tasawur dan Tasdiq, masingmasing dibagi dua yaitu badihy dan nadhary. Tasawur badihy, seperti kata lapar,
dapat dipahami tanpa perlu berpikir lebih dulu. Adapun tasawur nadhary, seperti
kata jiwa, listrik dan radio, tidak segera dapat dipahami, sebelum berpikir lebih
dahulu.
1.1.2
Dilalah
Dilalah (pengertian), yaitu maksud yang disimpulkan dari sesuatu. Dilalah
diperoleh dari dua sumber, yaitu lafdziyah dan ghairu lafdziyah.
Masing-masingnya dibagi tiga macam, yaitu:
1. Alamiyah, maksudnya bersifat alami atau menurut tabiat aslinya.
2. Aqliyah, maksudnya bersifat rasional atau menurut ketentuan akal.
3. Wadh-iyah, maksudnya sesuai termologi yang berlaku dalam masyarakat.
Dilalah lafdziyah wadh-iyah, artinya makna kata istilah, yaitu setiap kata
mempunyai arti tertentu guna menjelaskan makna seutuhnya atau sebagiannya
atau kelazimannya. Dilalah lafdziyah wadh-iyah inilah yang menjadi obyek kajian
ilmu mantiq. Al-lafdzu al-murakhab, yaitu rangkaian kata-kata atau kalimat.
Kalimat ada dua macam, yaitu :
1. Taam, yaitu yang sempurna, karena menunjukkan pengertian yang
lengkap.
2. Naaqish, yang tidak sempurna, yaitu yang tidak dapat memberikan
pengertian lengkap.
Yang jadi obyek kajian ilmu mantiq adalah kalimat taam khabar. Kalimat
khabar menjadi obyek kajian ilmu mantiq, karena isinya mungkin benar dan
mungkin salah atau dusta. Benar jika sesuatu dengan fakta konkrit, dan salah atau
dusta, jika berbeda atau berlawanan dengan fakta konkritnya, misalnya :
a. Ahmad seorang guru yang profesional.
Pernyataan atau kalimat khabar ini mungkin benar, mungkin salah atau
dusta, tergantung pada kenyataan sebenarnya tentang diri Ahmad dalam
menjalankan pekerjaan sebagai guru.
b. Perempuan setara total dengan laki-laki.
Pernyataan atau kalimat khabar ini mungkin salah atau mungkin benar,
tergantung pada fakta riil. Bila menurut fakta riilnya ada perbedaanperbedaan mendasar, maka pernyataan tersebut adalah salah dan dusta.
1.1.3
Hubungan antar kata
Satu kata, jika dihubungkan dengan kata lain, seperti : mati dengan hidup,
maka dua kata ini hubungannya bersifat berlawanan. Karena kedua kata tersebut
secara mutlak tidak dapat bertemu.
Satu kata jika dihubungkan dengan kata lain, seperti : merah dengan putih, dua
kata ini tidak dapat bersatu pada satu benda, tetapi dapat hilang dari benda
tersebut, yaitu bukan merah dan bukan putih, tetapi hitam, misalnya sifat
hubungan seperti itu disebut berbeda.
Satu kata, jika dihubungkan dengan kata lain seperti : suami dan istri, dua kata
ini bersifat pasangan. Seorang lelaki disebut suami berarti dia punya istri. Begitu
pula dengan kata : anak dan bapak, guru dan murid.
1.1.4
1.
2.
3.
4.
Persepsi kata
Bentuk, contoh
Bobot, contoh
Masa, contoh
Ukuran, contoh
: gelas, gerbang, gelang.
: sengsara, celaka, binasa.
: tahun, bulan, minggu.
: meter, cm, dm, km.
5. Jumlah, contoh
: banyak, sedikit, separuh.
6. Lingkup, contoh
: manusia, lelaki, suami, istri, anak, ibu,kulit putih.
7. Sifat, contoh
: mendengar, menyimak, menguping.
8. Tingkatan, contoh
: agung, mulia, besar, terpandang.
9. Ciri khusus, contoh
: mengeong, menggonggong, meringkik.
10. Intelektual, contoh
: padi, gabah, nasi, upo.
11. Sain, contoh
: telepon, telegraf, teleskop.
12. Ritual, contoh
: puja-puji, wirid, dzikir.
13. Wahyu, contoh
: malaikat, a’raf, barzakh, neraka, surga.
14. Teknologi, contoh: gerobak, delman, andong, motor, mobil, lokomotif.
15. Seni, contoh
: nyanyi, tari, dansa, dalang, artis.
Dan lain-lain sesuai bidang ilmu
Penjelasan :
1. Memahami asal-usul lahirnya kata/istilah/rumusan membantu kita
menjelaskan definisi yang perlu kita kita peroleh dalam berfikir
mencari/menetapkan benar atau salah.
2. No. 1 s/d 10 masuk kategori ي
ببهدي يهه ي, mudah dipahami, tanpa berpikir.
3. No. 11 dst. masuk kategori ي
ن ببظير ي, perlu berpikir untuk memahami.
1.2 Logika Matematika
Logika Matematika atau Logika Simbol ialah logika yang menggunakan
bahasa Matematika, yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau simbolsimbol. Keuntungan atau kekuatan bahasa simbol adalah: ringkas,
univalent/bermakna tunggal, dan universal/dapat dipakai dimana-mana.
Kegunaan logika adalah membantu setiap orang yang mempelajari logika
untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis, dan
koheren.Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan
mandiri. Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan
menggunakan asas-asas sistematis. Meningkatkan cinta akan kebenaran dan
menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan, serta kesesatan. Mampu
melakukan analisis terhadap suatu kejdian. Terhindar dari klenik, gugon-tuhon
(bahasa Jawa). Apabila sudah mampu berpikir rasional, kritis, lurus, metodis dan
analitis sebagaimana tersebut pada butir pertama maka akan meningkatkan citra
diri seseorang.
Dalam ilmu logika matematika juga dikenal pernyataan, sebelum membahas
pernyataan kita membahas tentang kalimat.Kalimat adalah rangkaian kata (subjek,
predikat, obyek, atau keterangan) yang disusun menurut aturan bahasa yang
mengandung arti. Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau
salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah (pernyataan disebut juga preposisi,
kalimat deklaratif(penjelas). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang
dinyatakan (tekstual) dengan keadaan yang sebenarnya (kontekstual).
Untuk mempermudah pengertian perhatikan beberapa contoh berikut!
1. Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam
2. 4 + 3 = 8
3. Rapikan tempat tidurmu!
Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 2 bernilai salah,
dan keduanya adalah pernyataan. Kalimat nomer 3 di atas tidak mempunyai
nilai benar atau salah, sehingga bukan pernyataan.
Ibrahim (2012) menyatakan “Kalimat Terbuka adalah kalimat yang belum
tentu bernilai benar atau salah. Kalimat terbuka biasanya ditandai dengan adanya
variabel (peubah). Jika variabelnya diganti dengan konstanta dalam semesta yang
sesuai maka kalimat itu akan menjadi sebuah pernyataan”.
Lihatlah contoh kalimat terbuka berikut:
1. yang duduk di bawah pohon itu cantik rupanya
2. x + 2 = 8
1.2.1
Pernyataan Majemuk
Logika merupakan sistem matematika artinya memuat unsur-unsur yaitu
pernyataan-pernyataan dan operasi-operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi
yang akan kita temui berupa kata sambung logika (conective logic):
~ atau ^ atau &
v atau /
→
↔
: Merupakan lambang operasi untuk negasi
: Merupakan lambang operasi untuk konjungsi
: Merupakan lambang operasi untuk disjungsi
: Merupakan lambang operasi untuk implikasi
: Merupakan lambang operasi untuk biimplikasi
1.2.2 Logika Proposisi
a. Ingkaran atau Negasi
Lingkaran atau negasi merupakan logika proposional yang menolak
kebenaran. Ingkaran/Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang
diperoleh dengan menambahkan kata ”tidak” atau menyisipkan kata ”bukan”
pada pernyataan semula. Ingkaran dari suatu pernyataan p disajikan dengan
lambang atau –p atau ~p, dan dibaca: ”tidak p”. Bila peryataan p bernilai
benar, maka ingkarannya bernilai salah dan sebaliknya.
b. Konjungsi
Konjungsi merupakan logika proposional yang menggabungkan beberpa
pernyataan yang memiliki hubungan secara bersama-sama, dengan kata
sambung “dan”, “tetapi”, “sedangkan” atau sejenisnya, dan menggunakan
simbol “^”. Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua
pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua
pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah.
c. Disjungsi
Disjungsi merupakan logika proposional yang menggabungkan beberapa
pernyataan yang memiliki hubungan pilihan, dengan kata sambung “atau”.
Disjungsi dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal salah satu atau
kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua pernyataan
komponennya salah, maka konjungsi itu salah. (Disjungsi seperti ini disebut
disjungsi inklusif).
d. Implikasi
Implikasi merupakan logika proposional yang menggabungkan dua
kalimat yang memiliki hubungan sebab akibat, tetapi nilai kebenarannya
belum pasti, bisa benar atau salah. Bernilai benar jika konsekuennya bernilai
benar atau anteseden dan konsekuen kedua-duanya salah, dan bernilai salah
jika antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah.
e. Biimplikasi
Biimplikasi merupakan logika proposional yang menggabungkan dua
kalimat yang memiliki hubungan saling sebab akibat, tetapi nilai
kebenarannya belum pasti, bisa benar atau salah. Biimplikasi bernilai benar
apabila anteseden dan konsekuen kedua-duanya bernilai benar atau keduaduanya bernilai salah. Jika tidak demikian maka biimplikasi bernilai salah.
f. Tautologi
Pernyataan majemuk dengan beberapa logika proposional yang selalu
bernilai benar bagaimanapun kondisi kebenaran dari pernyataan-pernyataan
komponen penyusunnya, sehingga dapat dikatakan tautologi adalah susunan
atau pola logika proposional yang pasti bernilai benar tanpa mempeerhatikan
kebenaran pernyataan-pernyataan penyusunnya.
g. Ekivalen
Dua buah pernyataan dikatakan ekivalen (berekivalensi logis) jika kedua
pernyataan itu mempunyai nilai kebenaran yang sama.
h. Kontradiksi
Setiap pernyataan yang selalu bernilai salah, untuk setiap nilai kebenaran
dari komponen-komponen disebut kontradiksi. Karena kontradiksi selalu
bernilai salah, maka kontradiksi merupakan ingkaran dari tautologi dan
sebaliknya.
1.2.3
Logika Penarikan Kesimpulan
Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataanpernyataan baru yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi. Kontraposisi
merupakan logika proposional yang digunakan untuk metode pembuktian secara
tidak langsung dari logika proposional implikasi, sehingga nilai kebenarannya
sama dengan implikasi.
Validitas Pembuktian (I)
1. Modus Ponen
Premis 1 : q: p
Premis 2 : p
Konklusi : q
2. Modus Tolen :
Premis 1 : q: p
Premis 2 : ~ q
Konklusi : ~ p
3. Silogisma :
Premis 1 : q: p
Premis 2 : r: q
Konklusi : r: p
4. Silogisma Disjungtif
Premis 1 : q p
Premis 2 : ~ q
Konklusi : p
5. Konjungsi
Premis 1 : p
Premis 2 : q
Konklusi : q p
q benar.Artinya : p benar, q benar. Maka p
6. Tambahan (Addition)
Premis 1 : p
Konklusi : qp
q benar (tidak peduli nilai benar atau nilai salah yang dimiliki q).Artinya : p
benar, maka p
Logika Matematika mempelajari beberapa hal yang berkaitan dengan logika,
seperti logika secara kalimat, logika dalam pemrograman dan logika dalam
rangkaian digital.Logika dalam kalimat dinyatakan sebagai proposisi dan polapola argumen/pernyataan logis dengan hukum-hukum logika.Logika dalam
pemrograman diperlihatkan dengan struktur dasar dari pemrograman dan
aliran/kontrol program dengan flow chart. Logika dalam rangkaian digital
diperlihatkan dengan logika biner dan gerbang-gerbang logika serta
penyederhanaan dalam rangkaian.
BAB III
METODE PENELITIAN
a. Pendekatan Penelitian
Penelitian ini menggunakan pendekatan kualitatif karena penulis berlandaskan
pada sumber-sumber dari kajian pustaka atau penelitian kepustakaan.
b. Kehadiran Peneliti
Disini peneliti bertindak sebagai pengumpul data, Peneliti juga berpartisipasi
penuh dalam penelitian. Peneliti juga menyesuaikan diri terhadap semua situasi
dan kondisi, sehingga peneliti dapat mengumpulkan berbagai data.
Peneliti berinteraksi dalam memahami suatu hal dan menyesuaikan diri
terhadap suatu hal, maka dengan cara tersebut peneliti dapat merasakan,
memahami, dan menghayatinya. Sebagai instrumen peneliti segera menganalisis
data yang diperoleh. Peneliti dapat menafsirkannya, membuat hipotesis
secepatnya untuk menentukan arah pengamatan dalam menguji hipotesis yang
muncul seketika.
c. Lokasi Penelitian
Penelitian ini dapat dilaksanakan di berbagai tempat karena peneliti
menggunakan metode penelitian kepustakaan (library research) atau kajian
pustaka yang sesuai dengan topik yang akan dibahas, yakni melakukan penelitian
untuk memperoleh data-data dan informmasi-informasi serta objek yang
digunakan dalam pembahasan masalah tersebut. Tanpa menguraikan letak
geografis, bangunan fisik (peta lokasi), struktur organisasi, program dan suasana
sehari-hari.
d. Sumber Data
Teknik penyaringan data bersumber dari buku, jurnal, artikel, internet, dan
lainnya yang berhubungan dengan permasalahan yang akan dibahas dalam
penelitian ini.
e. Prosedur Pengumpulan Data
Dalam penelitian ini penulis menguraikan teknik pengumpulan data dari
sumber-sumber tentang Logika Matematika, Pernyataan, Ingkaran pernyataan atau
negasi, Pernyataan Majemuk, Ekuivalensi Pernyataan – Pernyataan Majemuk,
Konvers, Invers, dan Kontraposisi, Pernyataan berkuantor dan ingkarannya,
Hukum logika, Logika proporsisi. Tanpa menggunakan obserfasi partisipasin,
wawancara mendalam, dan dokumentasi.
f. Analisis Data
Mengaplikasikan logika matematika dalam kehidupan dengan mngetahui sifatsifatnya.
a) Pernyataan-pernyataan majemuk yang berfungsi sebagai penarikan
kesimpulan dalam premis-premis.
b) Pernyataan-pernyataan majemuk memiliki ekuivalensi yang dapat
diartikan sebagai kebalikan dari pernyataan majemuk.
c) Setiap kata dan kalimat memiliki negasi atau juga inversnya.
g. Pengecekan Keabsahan Temuan
Peneliti membandingkan beberapa sumber dan teori berupa catatan, jurnal,
makalah dan buku-buku yang berkaitan dengan masalah Logika Proporsisi dan
Sifat-sifatnya.
h. Tahap-Tahap Penelitian:
Merumuskan masalah
Mengidentifikasi
Analisis
Mengumpulkan berbagai literatur
Memahami dan mempelajar konsep
Interpretasi
Kesimpulan
“Penerapan Ilmu Logika Matematika Dalam Ilmu Mantiq”
(Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Metodologi Penelitian)
Dosen Pengampu:
Evawati Alisah, M.Pd
Oleh :
Cahya A’isyah Laili Soetomo (12610071)
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG
2014
HALAMAN PENGESAHAN PROPOSAL PENELITIAN
Judul Penelitian :
Penerapan Ilmu Logika Matematika Dalam Ilmu Mantiq
Biodata Peneliti :
a. Nama Lengkap
: Cahya A’isyah Laili Soetomo
b. Jenis Kelamin
: Perempuan
c. Jabatan
: Mahasiswa
d. NIM
: 12610071
e. Fakultas/Jurusan
: Sains Dan Teknologi/Matematika
f. Alamat/Telp
: Joyosuko Gg.3 No.15/085755074624
Malang, 2014
Mengetahui,
Dosen Pengampu
Evawati Alisah, M.Pd
Nip.197206041999032001
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Pada dasarnya ilmu logika sangat penting bagi kehidupan manusia. Logika
matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian
matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar
matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan
logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan
ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal.
Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan,
teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidangbidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.1
Keguanaan logika adalah membantu setiap orang yang mempelajari logika
untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis, dan koheren.
Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan
mandiri. Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan
menggunakan asas-asas sistematis. Meningkatkan cinta akan kebenaran dan
menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan, serta kesesatan. Mampu
melakukan analisis terhadap suatu kejadian. Terhindar dari klenik, gugon-tuhon
(bahasa Jawa). Apabila sudah mampu berpikir rasional, kritis, lurus, metodis dan
analitis sebagaimana tersebut pada butir pertama maka akan meningkatkan citra
diri seseorang.2
Logika merupakan studi penalaran yang secara khusus membahas apakah
penalaran tersebut benar. Logika berfokus pada hubungan antara pernyataanpernyataan yang dipertentangkan dengan isi pernyataan tertentu. Metode logika
digunakan dalam matematika untuk membuktikan teorema dan dalam ilmu
komputer untuk membuktikan bahwa program-program berjalan seperti yang
diharapkan.
Keistimewaan manusia dari segala sesuatu adalah manusia punya akal fikiran.
Maka manusia dengan fikirannya merupakan isi dari alam ini, yang mana tidak
ada yang mulia di dunia ini, kecuali manusia yang berakal. Salah satu fungsi akal
dalam kehidupan manusia tiada lain sebagai petunjuk jalan guna memilih yang
bermanfaat dan meninggalkan yang mudharat.
1 Wikipedia.org,2013
2 Abdul Aziz,2012
Islam sebagai agama yang menjunjung tinggi akal pikiran benar-benar
menganjurkan ummatnya untuk melakukan apapun dengan landasan ilmiah yang
memiliki akurasi data yang baik, dan benar.Sehingga ditemukan pemahaman
“BAL” dalam bertindak; Benar-Akurat-Lengkap. Filsafat melalui salah satu
cabangnya, memberikan jalan keluar dengan istilah logika yang juga banyak
dikenal di dunia Islam dengan istilah mantiq, yang juga memiliki cabang alat
berfikir runtut yang dikenal dengan silogisme.3
Logika matematika dan ilmu mantiq adalah dua cabang ilmu yang sama-sama
mengajarkan kepada pelatihan cara berfikir otak manusia, agar dapat berfikir
secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis, dan koheren. Meningkatkan
kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif. Logika matematika
dengan menggunakan simbol-simbol atau lambang-lambang, dan ilmu mantiq
dengan menggunakan istilah-istilah dalam bahasa Arab. Kedua cabang ilmu ini
memiliki metode-metode yang hampir serupa.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka permasalahan yang dapat
dirumuskan adalah bagaimanakah keterkaitan antara logika matematika dan ilmu
mantiq?
1.3 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah
merumuskan keterkaitan antara logika matematika dan ilmu mantiq.
1.4 Batasan Masalah
Agar pembahasan lebih terarah dan sesuai dengan apa yang diharapkan maka
penulis hanya membatasi pada bagian ilmu logika proporsisi beserta metodemetode pembuktiannya dan juga pembenaran kalimat dalam ilmu mantiq.
1.5 Manfaat Penelitian
Hasil penelitian ini diharapkan dafat bermanfaat bagi:
1. Penulis
Menambah pengetahuan dan keilmuan tentang hal-hal yang berkaitan
dengan logika proporsisi.
2. Lembaga
3 http://satuhati-satukisah.blogspot.com/2013/05/pengertian-pembagian-sejarah-dan.html
Sebagai tambahan pustaka untuk rujukan penelitian dan bahan
perkuliahan khususnya tentang materi logika proporsiosi.
3. Pembaca
Sebagai bahan pembelajaran dan pengetahuan mengenai logika
proporsisi, dan diharapkan dapat menjadi rujukan untuk penelitian yang
akan datang.
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
1.1 Ilmu Mantiq
Mantiq adalah beberapa kaidah umum yang meliputi yang dapat memelihara
otak manusia dari kesalahan dalam berfikir.
Pokok bahasanya:
1. Pengertian secara gambaran
2. Pengertian secara hubungan
Gunanya: supaya terhindar dari kesalahan dalam berfikir
Contoh:
“setiap manusia hidup”
“setiap yang hidup itu berperasaan”
“setiap yang berperasaan tumbuh”
“setiap yang tumbuh butuh makan”
Maka setiap manusia butuh makan
Pengertian yang masih berdiri sendiri
1.1.1
Ilmu
Ilmu, yaitu pengetahuan tentang sesuatu yang sesuai dengan realitas
sebenarnya, baik diperoleh secara pasti atau kemungkinan.
Ilmu diperoleh dengan jalan tasawur atau tasdiq. Tasawur dan Tasdiq, masingmasing dibagi dua yaitu badihy dan nadhary. Tasawur badihy, seperti kata lapar,
dapat dipahami tanpa perlu berpikir lebih dulu. Adapun tasawur nadhary, seperti
kata jiwa, listrik dan radio, tidak segera dapat dipahami, sebelum berpikir lebih
dahulu.
1.1.2
Dilalah
Dilalah (pengertian), yaitu maksud yang disimpulkan dari sesuatu. Dilalah
diperoleh dari dua sumber, yaitu lafdziyah dan ghairu lafdziyah.
Masing-masingnya dibagi tiga macam, yaitu:
1. Alamiyah, maksudnya bersifat alami atau menurut tabiat aslinya.
2. Aqliyah, maksudnya bersifat rasional atau menurut ketentuan akal.
3. Wadh-iyah, maksudnya sesuai termologi yang berlaku dalam masyarakat.
Dilalah lafdziyah wadh-iyah, artinya makna kata istilah, yaitu setiap kata
mempunyai arti tertentu guna menjelaskan makna seutuhnya atau sebagiannya
atau kelazimannya. Dilalah lafdziyah wadh-iyah inilah yang menjadi obyek kajian
ilmu mantiq. Al-lafdzu al-murakhab, yaitu rangkaian kata-kata atau kalimat.
Kalimat ada dua macam, yaitu :
1. Taam, yaitu yang sempurna, karena menunjukkan pengertian yang
lengkap.
2. Naaqish, yang tidak sempurna, yaitu yang tidak dapat memberikan
pengertian lengkap.
Yang jadi obyek kajian ilmu mantiq adalah kalimat taam khabar. Kalimat
khabar menjadi obyek kajian ilmu mantiq, karena isinya mungkin benar dan
mungkin salah atau dusta. Benar jika sesuatu dengan fakta konkrit, dan salah atau
dusta, jika berbeda atau berlawanan dengan fakta konkritnya, misalnya :
a. Ahmad seorang guru yang profesional.
Pernyataan atau kalimat khabar ini mungkin benar, mungkin salah atau
dusta, tergantung pada kenyataan sebenarnya tentang diri Ahmad dalam
menjalankan pekerjaan sebagai guru.
b. Perempuan setara total dengan laki-laki.
Pernyataan atau kalimat khabar ini mungkin salah atau mungkin benar,
tergantung pada fakta riil. Bila menurut fakta riilnya ada perbedaanperbedaan mendasar, maka pernyataan tersebut adalah salah dan dusta.
1.1.3
Hubungan antar kata
Satu kata, jika dihubungkan dengan kata lain, seperti : mati dengan hidup,
maka dua kata ini hubungannya bersifat berlawanan. Karena kedua kata tersebut
secara mutlak tidak dapat bertemu.
Satu kata jika dihubungkan dengan kata lain, seperti : merah dengan putih, dua
kata ini tidak dapat bersatu pada satu benda, tetapi dapat hilang dari benda
tersebut, yaitu bukan merah dan bukan putih, tetapi hitam, misalnya sifat
hubungan seperti itu disebut berbeda.
Satu kata, jika dihubungkan dengan kata lain seperti : suami dan istri, dua kata
ini bersifat pasangan. Seorang lelaki disebut suami berarti dia punya istri. Begitu
pula dengan kata : anak dan bapak, guru dan murid.
1.1.4
1.
2.
3.
4.
Persepsi kata
Bentuk, contoh
Bobot, contoh
Masa, contoh
Ukuran, contoh
: gelas, gerbang, gelang.
: sengsara, celaka, binasa.
: tahun, bulan, minggu.
: meter, cm, dm, km.
5. Jumlah, contoh
: banyak, sedikit, separuh.
6. Lingkup, contoh
: manusia, lelaki, suami, istri, anak, ibu,kulit putih.
7. Sifat, contoh
: mendengar, menyimak, menguping.
8. Tingkatan, contoh
: agung, mulia, besar, terpandang.
9. Ciri khusus, contoh
: mengeong, menggonggong, meringkik.
10. Intelektual, contoh
: padi, gabah, nasi, upo.
11. Sain, contoh
: telepon, telegraf, teleskop.
12. Ritual, contoh
: puja-puji, wirid, dzikir.
13. Wahyu, contoh
: malaikat, a’raf, barzakh, neraka, surga.
14. Teknologi, contoh: gerobak, delman, andong, motor, mobil, lokomotif.
15. Seni, contoh
: nyanyi, tari, dansa, dalang, artis.
Dan lain-lain sesuai bidang ilmu
Penjelasan :
1. Memahami asal-usul lahirnya kata/istilah/rumusan membantu kita
menjelaskan definisi yang perlu kita kita peroleh dalam berfikir
mencari/menetapkan benar atau salah.
2. No. 1 s/d 10 masuk kategori ي
ببهدي يهه ي, mudah dipahami, tanpa berpikir.
3. No. 11 dst. masuk kategori ي
ن ببظير ي, perlu berpikir untuk memahami.
1.2 Logika Matematika
Logika Matematika atau Logika Simbol ialah logika yang menggunakan
bahasa Matematika, yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau simbolsimbol. Keuntungan atau kekuatan bahasa simbol adalah: ringkas,
univalent/bermakna tunggal, dan universal/dapat dipakai dimana-mana.
Kegunaan logika adalah membantu setiap orang yang mempelajari logika
untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis, dan
koheren.Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan
mandiri. Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan
menggunakan asas-asas sistematis. Meningkatkan cinta akan kebenaran dan
menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan, serta kesesatan. Mampu
melakukan analisis terhadap suatu kejdian. Terhindar dari klenik, gugon-tuhon
(bahasa Jawa). Apabila sudah mampu berpikir rasional, kritis, lurus, metodis dan
analitis sebagaimana tersebut pada butir pertama maka akan meningkatkan citra
diri seseorang.
Dalam ilmu logika matematika juga dikenal pernyataan, sebelum membahas
pernyataan kita membahas tentang kalimat.Kalimat adalah rangkaian kata (subjek,
predikat, obyek, atau keterangan) yang disusun menurut aturan bahasa yang
mengandung arti. Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau
salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah (pernyataan disebut juga preposisi,
kalimat deklaratif(penjelas). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang
dinyatakan (tekstual) dengan keadaan yang sebenarnya (kontekstual).
Untuk mempermudah pengertian perhatikan beberapa contoh berikut!
1. Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam
2. 4 + 3 = 8
3. Rapikan tempat tidurmu!
Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 2 bernilai salah,
dan keduanya adalah pernyataan. Kalimat nomer 3 di atas tidak mempunyai
nilai benar atau salah, sehingga bukan pernyataan.
Ibrahim (2012) menyatakan “Kalimat Terbuka adalah kalimat yang belum
tentu bernilai benar atau salah. Kalimat terbuka biasanya ditandai dengan adanya
variabel (peubah). Jika variabelnya diganti dengan konstanta dalam semesta yang
sesuai maka kalimat itu akan menjadi sebuah pernyataan”.
Lihatlah contoh kalimat terbuka berikut:
1. yang duduk di bawah pohon itu cantik rupanya
2. x + 2 = 8
1.2.1
Pernyataan Majemuk
Logika merupakan sistem matematika artinya memuat unsur-unsur yaitu
pernyataan-pernyataan dan operasi-operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi
yang akan kita temui berupa kata sambung logika (conective logic):
~ atau ^ atau &
v atau /
→
↔
: Merupakan lambang operasi untuk negasi
: Merupakan lambang operasi untuk konjungsi
: Merupakan lambang operasi untuk disjungsi
: Merupakan lambang operasi untuk implikasi
: Merupakan lambang operasi untuk biimplikasi
1.2.2 Logika Proposisi
a. Ingkaran atau Negasi
Lingkaran atau negasi merupakan logika proposional yang menolak
kebenaran. Ingkaran/Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang
diperoleh dengan menambahkan kata ”tidak” atau menyisipkan kata ”bukan”
pada pernyataan semula. Ingkaran dari suatu pernyataan p disajikan dengan
lambang atau –p atau ~p, dan dibaca: ”tidak p”. Bila peryataan p bernilai
benar, maka ingkarannya bernilai salah dan sebaliknya.
b. Konjungsi
Konjungsi merupakan logika proposional yang menggabungkan beberpa
pernyataan yang memiliki hubungan secara bersama-sama, dengan kata
sambung “dan”, “tetapi”, “sedangkan” atau sejenisnya, dan menggunakan
simbol “^”. Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua
pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua
pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah.
c. Disjungsi
Disjungsi merupakan logika proposional yang menggabungkan beberapa
pernyataan yang memiliki hubungan pilihan, dengan kata sambung “atau”.
Disjungsi dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal salah satu atau
kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua pernyataan
komponennya salah, maka konjungsi itu salah. (Disjungsi seperti ini disebut
disjungsi inklusif).
d. Implikasi
Implikasi merupakan logika proposional yang menggabungkan dua
kalimat yang memiliki hubungan sebab akibat, tetapi nilai kebenarannya
belum pasti, bisa benar atau salah. Bernilai benar jika konsekuennya bernilai
benar atau anteseden dan konsekuen kedua-duanya salah, dan bernilai salah
jika antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah.
e. Biimplikasi
Biimplikasi merupakan logika proposional yang menggabungkan dua
kalimat yang memiliki hubungan saling sebab akibat, tetapi nilai
kebenarannya belum pasti, bisa benar atau salah. Biimplikasi bernilai benar
apabila anteseden dan konsekuen kedua-duanya bernilai benar atau keduaduanya bernilai salah. Jika tidak demikian maka biimplikasi bernilai salah.
f. Tautologi
Pernyataan majemuk dengan beberapa logika proposional yang selalu
bernilai benar bagaimanapun kondisi kebenaran dari pernyataan-pernyataan
komponen penyusunnya, sehingga dapat dikatakan tautologi adalah susunan
atau pola logika proposional yang pasti bernilai benar tanpa mempeerhatikan
kebenaran pernyataan-pernyataan penyusunnya.
g. Ekivalen
Dua buah pernyataan dikatakan ekivalen (berekivalensi logis) jika kedua
pernyataan itu mempunyai nilai kebenaran yang sama.
h. Kontradiksi
Setiap pernyataan yang selalu bernilai salah, untuk setiap nilai kebenaran
dari komponen-komponen disebut kontradiksi. Karena kontradiksi selalu
bernilai salah, maka kontradiksi merupakan ingkaran dari tautologi dan
sebaliknya.
1.2.3
Logika Penarikan Kesimpulan
Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataanpernyataan baru yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi. Kontraposisi
merupakan logika proposional yang digunakan untuk metode pembuktian secara
tidak langsung dari logika proposional implikasi, sehingga nilai kebenarannya
sama dengan implikasi.
Validitas Pembuktian (I)
1. Modus Ponen
Premis 1 : q: p
Premis 2 : p
Konklusi : q
2. Modus Tolen :
Premis 1 : q: p
Premis 2 : ~ q
Konklusi : ~ p
3. Silogisma :
Premis 1 : q: p
Premis 2 : r: q
Konklusi : r: p
4. Silogisma Disjungtif
Premis 1 : q p
Premis 2 : ~ q
Konklusi : p
5. Konjungsi
Premis 1 : p
Premis 2 : q
Konklusi : q p
q benar.Artinya : p benar, q benar. Maka p
6. Tambahan (Addition)
Premis 1 : p
Konklusi : qp
q benar (tidak peduli nilai benar atau nilai salah yang dimiliki q).Artinya : p
benar, maka p
Logika Matematika mempelajari beberapa hal yang berkaitan dengan logika,
seperti logika secara kalimat, logika dalam pemrograman dan logika dalam
rangkaian digital.Logika dalam kalimat dinyatakan sebagai proposisi dan polapola argumen/pernyataan logis dengan hukum-hukum logika.Logika dalam
pemrograman diperlihatkan dengan struktur dasar dari pemrograman dan
aliran/kontrol program dengan flow chart. Logika dalam rangkaian digital
diperlihatkan dengan logika biner dan gerbang-gerbang logika serta
penyederhanaan dalam rangkaian.
BAB III
METODE PENELITIAN
a. Pendekatan Penelitian
Penelitian ini menggunakan pendekatan kualitatif karena penulis berlandaskan
pada sumber-sumber dari kajian pustaka atau penelitian kepustakaan.
b. Kehadiran Peneliti
Disini peneliti bertindak sebagai pengumpul data, Peneliti juga berpartisipasi
penuh dalam penelitian. Peneliti juga menyesuaikan diri terhadap semua situasi
dan kondisi, sehingga peneliti dapat mengumpulkan berbagai data.
Peneliti berinteraksi dalam memahami suatu hal dan menyesuaikan diri
terhadap suatu hal, maka dengan cara tersebut peneliti dapat merasakan,
memahami, dan menghayatinya. Sebagai instrumen peneliti segera menganalisis
data yang diperoleh. Peneliti dapat menafsirkannya, membuat hipotesis
secepatnya untuk menentukan arah pengamatan dalam menguji hipotesis yang
muncul seketika.
c. Lokasi Penelitian
Penelitian ini dapat dilaksanakan di berbagai tempat karena peneliti
menggunakan metode penelitian kepustakaan (library research) atau kajian
pustaka yang sesuai dengan topik yang akan dibahas, yakni melakukan penelitian
untuk memperoleh data-data dan informmasi-informasi serta objek yang
digunakan dalam pembahasan masalah tersebut. Tanpa menguraikan letak
geografis, bangunan fisik (peta lokasi), struktur organisasi, program dan suasana
sehari-hari.
d. Sumber Data
Teknik penyaringan data bersumber dari buku, jurnal, artikel, internet, dan
lainnya yang berhubungan dengan permasalahan yang akan dibahas dalam
penelitian ini.
e. Prosedur Pengumpulan Data
Dalam penelitian ini penulis menguraikan teknik pengumpulan data dari
sumber-sumber tentang Logika Matematika, Pernyataan, Ingkaran pernyataan atau
negasi, Pernyataan Majemuk, Ekuivalensi Pernyataan – Pernyataan Majemuk,
Konvers, Invers, dan Kontraposisi, Pernyataan berkuantor dan ingkarannya,
Hukum logika, Logika proporsisi. Tanpa menggunakan obserfasi partisipasin,
wawancara mendalam, dan dokumentasi.
f. Analisis Data
Mengaplikasikan logika matematika dalam kehidupan dengan mngetahui sifatsifatnya.
a) Pernyataan-pernyataan majemuk yang berfungsi sebagai penarikan
kesimpulan dalam premis-premis.
b) Pernyataan-pernyataan majemuk memiliki ekuivalensi yang dapat
diartikan sebagai kebalikan dari pernyataan majemuk.
c) Setiap kata dan kalimat memiliki negasi atau juga inversnya.
g. Pengecekan Keabsahan Temuan
Peneliti membandingkan beberapa sumber dan teori berupa catatan, jurnal,
makalah dan buku-buku yang berkaitan dengan masalah Logika Proporsisi dan
Sifat-sifatnya.
h. Tahap-Tahap Penelitian:
Merumuskan masalah
Mengidentifikasi
Analisis
Mengumpulkan berbagai literatur
Memahami dan mempelajar konsep
Interpretasi
Kesimpulan