Pertemuan 8 BEBERAPA TEOREMA dan MASALAH
Pertemuan 8
BEBERAPA TEOREMA dan MASALAH dalam Segitiga
TEOREMA DAN GARIS ISTIMEWA
TEOREMA2
TEOREMA2
Bukti :
Gunakan :
TEOREMA2
Bukti
TEOREMA2
TEOREMA2
Bukti
TEOREMA2
Bukti:
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
Bukti
GARIS ISTIMEWA
Bukti
GARIS ISTIMEWA
Bukti
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
Latihan
MASALAH DALAM SEGITIGA
Membagi Segitiga Menjadi Segitiga Siku-Siku
Jika diketahui satu segitiga (artinya informasi mengenai
sisi atau sudut sehingga satu segitiga terbentuk), maka
informasi sisi atau perbandingan trigonometri dari
sudut dapat dicari darirumus phytagoras.
Membagi Segitiga Menjadi Segitiga Siku-Siku (Contoh)
Diketahui segitiga dengan ketiga sisi diketahui, yaitu AB
= 14 cm, BC = 15 cm dan AC = 13 cm.
a. Hitunglah perbandingan trigonometri α.
b. Hitung luas segitiga ABC.
c. Hitung panjang CE jika AE = 10 cm.
Membagi Segitiga Menjadi Segitiga Siku-Siku
Teknik yang dipakai adalah membagi segitiga menjadi
beberapa segitiga siku-siku dan membangun
persamaan sebanyak variable yang tidak diketahui
nilainya. Dalam hal ini tarik garis tinggi CD dan
tuliskan panjang AD = x. pada segitiga siku-siku ACD
dan BDC masing-masing berlaku:
CD2 = AC2 - AD2
= 132 – x2
Dan
CD2 = BC2 - BD2
= 152 – (14-x)2
Membagi Segitiga Menjadi Segitiga Siku-Siku
Kesamaan dari dua persamaan ini, diperoleh
CD2 = CD2
132 – x2 = 152 – (14-x)2
x=5
Berdasarkan ini, pada segitiga ACD kita dapat
menentukan CD = 12
Membagi Segitiga Menjadi Segitiga Siku-Siku
Luas Segitiga
Membagi Segitiga Menjadi Segitiga Siku-Siku
Tariklah garis CE sehingga AE = 10 cm atau BE = 4 cm.
Dengan demikian DE = 5 cm. Sekali lagi dengan rumus
phytagoras diperoleh CE = 13 cm.
Perhatikan bahwa khusus untuk ini kita dapat menghitung
panjang garis CE dengan cara lain yaitu melihat bahwa CD
merupakan garis berat ∆ACE yang tegak lurus sisi
dihadapannya.
Dengan demikian ∆ACE adalah
segitiga sama kaki.
Latihan
1.
Diketahui segitiga ABC dengan panjang ketiga sisi masingmasing adalah 11, 13 dan 20 cm.
a. Hitung luas segitiga.
b. Hitung panjang ketiga garis tinggi.
Diketahui ∆ABC dengan AB = 21 cm, BC = 20 cm dan CA =
13 cm. Dari garis C ditarik garis CD sehingga AD = 14 cm.
Hitung panjang CD.
3. Diketahui ∆ABC dengan AB = 8 cm, BC = 7 cm dan CA = 6
cm. Titik D terletak pada perpanjangan AC sehingga CD =
12 cm. Hitung panjang BD.
4. Diketahui segitiga dengan panjang dua sisinya adalah 20 cm
dan 30 cm. Jika sudut yang diapit 120°, hitunglah sisi ketiga
dan luas segitiga.
5. Diketahui ∆ABC dengan AB = 96 cm, BC = 91 cm dan AC =
37 cm. Hitung panjang garis berat dari titik C.
2.
Menggunakan Luas Segitiga
Teknik lain yang sangat berguna dalam pembuktian di
segi n adalah menggunakan teknik luas segitiga atau
segiempat.
Menggunakan Luas Segitiga
Luas segitiga ABC dapat dihitung sebagai:
Tergantung dari sisi atau sudut segitiga yang diketahui.
Rumus pertama menyatakan bahwa dua segitiga yang
mempunyai alas sama panjang dan tinggi yang sama
panjang, mempunyai luas yang sama.
Menggunakan Luas Segitiga
Dengan menggunakan perbandingan luas, kita dapat
menghitung perbandingan panjang sisi.
Menggunakan Luas Segitiga (Contoh)
Diketahui ∆ABC. Titik P di AC dan Q di BC sehingga
PQ sejajar AB.
Buktikan bahwa
Menggunakan Luas Segitiga
Tarik garis AQ kemudian bandingkan segitiga berikut:
Karena kedua segitiga mempunyai panjang garis tinggi
yang sama.
Demikian pula:
Menggunakan Luas Segitiga
Selanjutnya, jika diperhatikan perbandingan:
Maka luas ∆AQP = luas ∆BQP. Kemudian dengan
membagi
dengan
dan mengingat kesamaan dua segitiga di atas,
diperoleh:
Menggunakan Luas Segitiga
Menggunakan Luas Segitiga (contoh)
Buktikan untuk kebalikan sifat diatas juga berlaku. Jika
diketahui segitiga ABC dan titik P di AC dan Q di sisi
BC, dan berlaku
maka Garis PQ sejajar AB
Menggunakan Luas Segitiga
Bukti.
Dalam hal P berimpit dengan titik sudut, maka
Maka PQ sejajar dengan AP.
Andaikan PQ tidak sejajar AB, jika PQ dan AB
diperpanjang, maka mereka akan berpotongan, misal di
titik R.
Menggunakan Luas Segitiga
Dengan menggunakan rumus Menelaos, maka:
Berdasarkan informasi yang diberikan, maka
Menggunakan Luas Segitiga
Perbandingan
dapat dinyatakan dalam
bentuk lain, yaitu
Untuk itu tulis
dan perhatikan
dalam bentuk
Latihan
1.
Diketahui segitiga ABC dan
garis AD, BE dan CF bertemu di
satu titik P. Buktikan bahwa
2.
Suatu garis dari titik C
memotong garis berat dari A
sama panjang. Buktikan bahwa
garis tersebut membagi AB
dengan perbandingan 1:2.
latihan
3. Diketahui ∆ABC sebangun dengan ∆PQR. Jika
,hitung
4.
Diketahui segitiga sama sisi ABC. Melalui
ketiga titik sudut A,B dan C, masingmasing ditarik garis yang tegak lurus
terhadap sisi segitiga AB, BC dan CA
sehingga terbentuk segitiga baru. Jika
DEF segitiga baru, buktikan bahwa:
◦
◦
◦
◦
Luas ∆ABD = luas ∆BCE = Luas ∆ACF
Luas ∆BAD = 2/3 Luas ∆ADE
Luas ∆ACF = 1/3 Luas ∆AEF
Luas ∆DEF = 3 Luas ∆ABC
latihan
5.
Diketahui segiempat ABCD dan P,Q masing-masing
adalah titik tetap CD dan AB. Garis berpotongan
dengan DQ di X. Garis BP berpotongan dengan
CQ di Y. Buktikan bahwa
Luas ∆ADX + Luas ∆BCY = Luas PXQY
BEBERAPA TEOREMA dan MASALAH dalam Segitiga
TEOREMA DAN GARIS ISTIMEWA
TEOREMA2
TEOREMA2
Bukti :
Gunakan :
TEOREMA2
Bukti
TEOREMA2
TEOREMA2
Bukti
TEOREMA2
Bukti:
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
Bukti
GARIS ISTIMEWA
Bukti
GARIS ISTIMEWA
Bukti
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
GARIS ISTIMEWA
Latihan
MASALAH DALAM SEGITIGA
Membagi Segitiga Menjadi Segitiga Siku-Siku
Jika diketahui satu segitiga (artinya informasi mengenai
sisi atau sudut sehingga satu segitiga terbentuk), maka
informasi sisi atau perbandingan trigonometri dari
sudut dapat dicari darirumus phytagoras.
Membagi Segitiga Menjadi Segitiga Siku-Siku (Contoh)
Diketahui segitiga dengan ketiga sisi diketahui, yaitu AB
= 14 cm, BC = 15 cm dan AC = 13 cm.
a. Hitunglah perbandingan trigonometri α.
b. Hitung luas segitiga ABC.
c. Hitung panjang CE jika AE = 10 cm.
Membagi Segitiga Menjadi Segitiga Siku-Siku
Teknik yang dipakai adalah membagi segitiga menjadi
beberapa segitiga siku-siku dan membangun
persamaan sebanyak variable yang tidak diketahui
nilainya. Dalam hal ini tarik garis tinggi CD dan
tuliskan panjang AD = x. pada segitiga siku-siku ACD
dan BDC masing-masing berlaku:
CD2 = AC2 - AD2
= 132 – x2
Dan
CD2 = BC2 - BD2
= 152 – (14-x)2
Membagi Segitiga Menjadi Segitiga Siku-Siku
Kesamaan dari dua persamaan ini, diperoleh
CD2 = CD2
132 – x2 = 152 – (14-x)2
x=5
Berdasarkan ini, pada segitiga ACD kita dapat
menentukan CD = 12
Membagi Segitiga Menjadi Segitiga Siku-Siku
Luas Segitiga
Membagi Segitiga Menjadi Segitiga Siku-Siku
Tariklah garis CE sehingga AE = 10 cm atau BE = 4 cm.
Dengan demikian DE = 5 cm. Sekali lagi dengan rumus
phytagoras diperoleh CE = 13 cm.
Perhatikan bahwa khusus untuk ini kita dapat menghitung
panjang garis CE dengan cara lain yaitu melihat bahwa CD
merupakan garis berat ∆ACE yang tegak lurus sisi
dihadapannya.
Dengan demikian ∆ACE adalah
segitiga sama kaki.
Latihan
1.
Diketahui segitiga ABC dengan panjang ketiga sisi masingmasing adalah 11, 13 dan 20 cm.
a. Hitung luas segitiga.
b. Hitung panjang ketiga garis tinggi.
Diketahui ∆ABC dengan AB = 21 cm, BC = 20 cm dan CA =
13 cm. Dari garis C ditarik garis CD sehingga AD = 14 cm.
Hitung panjang CD.
3. Diketahui ∆ABC dengan AB = 8 cm, BC = 7 cm dan CA = 6
cm. Titik D terletak pada perpanjangan AC sehingga CD =
12 cm. Hitung panjang BD.
4. Diketahui segitiga dengan panjang dua sisinya adalah 20 cm
dan 30 cm. Jika sudut yang diapit 120°, hitunglah sisi ketiga
dan luas segitiga.
5. Diketahui ∆ABC dengan AB = 96 cm, BC = 91 cm dan AC =
37 cm. Hitung panjang garis berat dari titik C.
2.
Menggunakan Luas Segitiga
Teknik lain yang sangat berguna dalam pembuktian di
segi n adalah menggunakan teknik luas segitiga atau
segiempat.
Menggunakan Luas Segitiga
Luas segitiga ABC dapat dihitung sebagai:
Tergantung dari sisi atau sudut segitiga yang diketahui.
Rumus pertama menyatakan bahwa dua segitiga yang
mempunyai alas sama panjang dan tinggi yang sama
panjang, mempunyai luas yang sama.
Menggunakan Luas Segitiga
Dengan menggunakan perbandingan luas, kita dapat
menghitung perbandingan panjang sisi.
Menggunakan Luas Segitiga (Contoh)
Diketahui ∆ABC. Titik P di AC dan Q di BC sehingga
PQ sejajar AB.
Buktikan bahwa
Menggunakan Luas Segitiga
Tarik garis AQ kemudian bandingkan segitiga berikut:
Karena kedua segitiga mempunyai panjang garis tinggi
yang sama.
Demikian pula:
Menggunakan Luas Segitiga
Selanjutnya, jika diperhatikan perbandingan:
Maka luas ∆AQP = luas ∆BQP. Kemudian dengan
membagi
dengan
dan mengingat kesamaan dua segitiga di atas,
diperoleh:
Menggunakan Luas Segitiga
Menggunakan Luas Segitiga (contoh)
Buktikan untuk kebalikan sifat diatas juga berlaku. Jika
diketahui segitiga ABC dan titik P di AC dan Q di sisi
BC, dan berlaku
maka Garis PQ sejajar AB
Menggunakan Luas Segitiga
Bukti.
Dalam hal P berimpit dengan titik sudut, maka
Maka PQ sejajar dengan AP.
Andaikan PQ tidak sejajar AB, jika PQ dan AB
diperpanjang, maka mereka akan berpotongan, misal di
titik R.
Menggunakan Luas Segitiga
Dengan menggunakan rumus Menelaos, maka:
Berdasarkan informasi yang diberikan, maka
Menggunakan Luas Segitiga
Perbandingan
dapat dinyatakan dalam
bentuk lain, yaitu
Untuk itu tulis
dan perhatikan
dalam bentuk
Latihan
1.
Diketahui segitiga ABC dan
garis AD, BE dan CF bertemu di
satu titik P. Buktikan bahwa
2.
Suatu garis dari titik C
memotong garis berat dari A
sama panjang. Buktikan bahwa
garis tersebut membagi AB
dengan perbandingan 1:2.
latihan
3. Diketahui ∆ABC sebangun dengan ∆PQR. Jika
,hitung
4.
Diketahui segitiga sama sisi ABC. Melalui
ketiga titik sudut A,B dan C, masingmasing ditarik garis yang tegak lurus
terhadap sisi segitiga AB, BC dan CA
sehingga terbentuk segitiga baru. Jika
DEF segitiga baru, buktikan bahwa:
◦
◦
◦
◦
Luas ∆ABD = luas ∆BCE = Luas ∆ACF
Luas ∆BAD = 2/3 Luas ∆ADE
Luas ∆ACF = 1/3 Luas ∆AEF
Luas ∆DEF = 3 Luas ∆ABC
latihan
5.
Diketahui segiempat ABCD dan P,Q masing-masing
adalah titik tetap CD dan AB. Garis berpotongan
dengan DQ di X. Garis BP berpotongan dengan
CQ di Y. Buktikan bahwa
Luas ∆ADX + Luas ∆BCY = Luas PXQY