Modul Siap UN Matematika SMA Program MIPA

BAB 6 SUKUBANYAK (POLINOMIAL) A. Bentuk Umum Sukubanyak (Polinomial)

                  ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ^{2 3 4 5 6} C.

  1 ( 2 ) ^{2 3}    x x x f 1 )

  , tentukanlah nilai f(2) ! Jawab:

  x x x f

  1 ( 2 ) ^{2 3}   

  Cara substitusi Contoh: Jika

   Nilai Sukubanyak 1.

  dh x dg ch x df cg bh x de cf bg ah x ce bf ag x be af aex

  2 2 ) 2 ( ^{2 3}    f = 8 + 8 – 1 = 15 2.

                  ^{2 3 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6}

   h gx fx ex d cx bx ax      dh dgx dfx dex chx cgx cfx cex bhx bgx bfx bex ahx agx afx aex

  ) ( ). ( x g x f = ) )( ( ^{2 3 2 3}

  3 ) (

  2

  h gx fx ex x g    

  2 (

  Cara skematik (Horner) Jika

   d cx bx ax x f    ^{2 3}

  8

  =

  15 Jadi f(2) = 15.

  8

  4

  1

  16

  2

  1 ( 2 ) ^{2 3}    x x x f , tentukanlah nilai f(2) !

  2

  1 2 –1

  Diambil koefisien dari setiap suku

  1 ( 2 ) ^{2 3}     x x x x f

  Dilengkapi sehingga

  1 ( 2 ) ^{2 3}    x x x f

  Jawab:

  ) (

           3. Perkalian

  z cx bx ax ^{n n n}

  3 ^{2 5 7}    x x x adalah sukubanyak berderajat 7, koefisien ²

  ) (

   d cx bx ax x f    ^{2 3}

  Penjumlahan

   Operasi Hitung Sukubanyak 1.

  konstanta adalah –6 B.

  x adalah –9, koefisien x atau

  5

  ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ^{2 3}

  9

  6

  Contoh:

  a = koefisien ⁿ x

  = pangkat tertinggi (derajat sukubanyak)

    ... ^{2 1} n

     

   h gx fx ex x g    ^{2 3}

  h d x g c x f b x e a x g x f

  h d x g c x f b x e a x g x f

  2

  ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ^{2 3}

   h gx fx ex x g    ^{2 3}

  ) (

   d cx bx ax x f    ^{2 3}

       x x x x x 2. Pengurangan

   

  3

           Contoh: _{4 2 5}

  2

      x x x x x g   ) ( ) ( x g x f ^{4 1 2 4 5}

  

  5 ( 3 )

       x x x x x f _{1 2 4}

  

  3 ( 2 )

• x

D. Hasil Bagi dan Sisa Pembagian Sukubanyak

  Jika

  1

  x – 2

  4 ²   x x

  11

  Jawab:

  2  x , tentukanlah hasil bagi dan sisanya!

  3 ( 2 ) ^{2 3}     x x x x f dibagi

  1

  Cara pembagian bersusun (porogapit) Contoh:

  2 ^{2 3}    x x x _{2 3}

   Penentuan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian Sukubanyak 1.

  S (x) = sisa pembagian E.

  = hasil bagi sukubanyak

  H

  = sukubanyak pembagi ) (x

  P

  ) (x

  ) ( ) ( ). ( ) ( x S x H x P x f   ) (x f = sukubanyak yang dibagi

  2x x 

  3

• – –
• – hasil bagi sisa

  Diambil koefisien dari setiap suku

• x

  2 ( 2 ) ^{2 3}    

  dan sisa: 21 F.

  

Penentuan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian Sukubanyak dengan Fungsi Linier Bentuk ax + b

  Contoh: Jika

  1

  2 ( 2 ) ^{2 3}     x x x x f dibagi

  

3 2 

x , tentukanlah hasil bagi dan sisanya!

  Jawab: Pembagi = 0 2x – 3 = 0 2x = 3

   x

  =

  2

  3

  1

  x x x x f

  4 ²   x

  Diambil koefisien dari setiap suku

  2

  1 2 –1

  2

  3

  3

  6

  12

  2

  4

  8

  11 sisa koefisien hasil bagi utama

  =

  x

  Jadi, hasil baginya :

  11

  3 ( 2 ) ^{2 3}     x x x x f dibagi

  8

  4

  1

  3

  4 ₂ ² 

   

  22

  11

  1

  11   x x

  21 2. Cara Skematik (Horner)

  Contoh: Jika

  1

  2  x , tentukanlah hasil bagi dan sisanya!

  x x x x

  Jawab: Pembagi = 0 x – 2 = 0 x = 2

  1

  3 ( 2 ) ^{2 3}     x x x x f

  1

  2 3 –1

  2

  2

  8

  22

  1

  4

  11

  21 sisa koefisien hasil bagi

• x
• + bx +c

  7

  Jadi hasil baginya :

  1

  3 ( 2 ) ^{2 3 4 5}        x x x x x x f

  Diambil koefisien dari setiap suku

  3

  1 2 –4 –8 –18 –36 –66

  Sisa 1

  2

  2

  11

  11

  1

  7

  2

  2 ^{2 3}     x x x sisa : (Pembagi 1 x Sisa 2) + Sisa 1 : ) )) 65 (

  22 )(  2 ((   

  x

  :

  65

  44  22   x

  :

  21 22   x

  3 ( 2 ) ^{3 5}      x x x x f

  Pembagi 1

  =

  2     x x

  4

  2

  2

  8

  4

  2 ₂ ²   

   

  x x x x

  sisa : 11 G.

  

Penentuan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian Sukubanyak dengan Fungsi Kuadrat Bentuk ax

²

  Contoh: Jika

  1

  3 ( 2 ) ^{3 5}     

  x x x x f

  dibagi

  2 ²   x x

  , tentukanlah hasil bagi dan sisanya! Jawab:

  Pembagi = 0

  2 ²    x x ) 1 )(

   2 (   x x

  1

• –2 –1
• x
• x
• –2 –4 –9 –18 –33 –65

  =

• –1
• –2 –2 –7 –11 –22 Koefisien hasil bagi Sisa 2

H. Teorema Sisa 1.

    

  2 ²    x x ) 5 )(

  Jika sukubanyak f(x) dibagi (x – k) maka sisanya f(k) 2. Jika sukubanyak f(x) dibagi (ax – b) maka sisanya 

   

  8a = 16 a

  ) S 5 ( = –5a + b = –3

  ) S 3 ( = 3a + b = 13

  S b ax x   ) (

   3 (   x x Sehingga:

  15

  a b f 3.

  2 ²   x x ! Jawab:

  15

  sisa pembagian ) (x f oleh

  3  x sisa 13, sedangkan ) (x f dibagi 5  x sisa –3. Tentukanlah

  Contoh: Sukubanyak ) (x f dibagi

       ) )( ( ) )( (

  b a a x b f b x a f S

  Jika sukubanyak f(x) dibagi (x – a) (x – b) maka sisanya:

• – Jadi, hasil baginya :

  16

  a

  

  8

  a 

  2

  3 a  b 

  13 3 ( 2 )  b 

  13 6  b 

  13 b  13 

  6 b 

  7 S x ax b =

  Jadi, sisa = ( )   2  x

  7 I.

   Teorema Faktor Jika f(x) suatu sukubanyak, maka f(k) = 0, jika dan hanya jika (x – k) merupakan faktor dari f(x).

  Contoh:

3 Tentukan faktor dari sukubanyak f(x) = x – 7x + 6 !

  Jawab: konstantanya 6, berarti faktor-faktornya ±1, ±2, ±3, dan ±6

  3

  3

  2 Coba kita selidiki dengan (x – 1) pada f(x) = x – 7x + 6 + 0x – 7x + 6

  → f(x) = x Diambil koefisien dari setiap suku 1 -7

  6 =

• 1

  1 1 -6

• x

  1 1 -6 sisa sisanya 0, berarti (x – 1) adalah salah satu akar-akar penyelesaiannya sehingga

  3 f (x) = x – 7x + 6

  2

  = (x – 1) (x + x – 6) = (x – 1) (x – 2) (x + 3) J.

   Operasi Akar-akar Penyelesaian Sukubanyak

  3

  2

  1. + bx + cx + d = 0) Sukubanyak berderajat 3 (ax

  b x  x  x   _{1 2 3} a c x . x  x . x  x x  _{1 2 2 3 1 3} a d x . x . x   _{1 2 3} a

  4

  3

  2

  2. + bx + cx + dx + e = 0) Sukubanyak berderajat 4 (ax

  b x  x  x  x   _{1 2 3 4} a

c

x . x  x . x  x x  x . x  x . x  x . x  _{1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4}

a

d x . x . x  x . x . x  x . x . x   _{1 2 3 1 2 4 2 3 4} a e x . x . x . x  _{1 2 3 4} a

  Pembahasan Soal-soal UN: _{3 2} 1. 2 x  5 x  ax  b dibagi x 

  1 sisa 1, sedangkan dibagi x  2 sisa 43. Nilai dari a  b

  Sukubanyak adalah ....

  Pembahasan: _{3 2 3 2} 2 x  5 x  ax  b dibagi x 

  1 sisa 1 S ( 

  1 )  2 (  1 )  5 (  1 )  a (  1 )  b  1 

  2  5  a  b 

  1 _{3 2} → → _{3 2} 2 x 

  5 x  ax  b dibagi x 

  2 sisa 43 S (

  2 )  2 ( 2 )  5 ( 2 )  a ( 2 )  b 

  43

  16  20  2 a  b 

  43

  → → Dari persamaan di atas:

   2  5  a  b 

  1 3  a  b  1  a  b  

  2

  → →

  16  20  2 a  b 

  43 36  2 a  b 

  43 2 a  b 

  7

  → →

   3 a = 

  9 a 

  3 2 a  b 

  7

  2 ( 3 )  b 

  7

  b  7 

  6 b 

  1 a  b  3  1 

  4 _{3 2}

  2. x 

  2 adalah faktor sukubanyak f ( x ) 

  2 x  ax  bx  2 . Jika f (x ) dibagi x 

  3 , maka

  Diketahui sisa pembagiannya –50. Nilai dari a  b adalah ....

  Pembahasan: _{3 2 3 2}

  2 x  ax  bx  2 f ( 2 )  2 ( 2 )  a ( 2 )  b ( 2 )  2  → _{3 2}

  x  2 adalah faktor sukubanyak f ( x ) 

  3 )  2 (  3 )  a (  3 )  b (  3 )  2  

  50 →

  f (x ) dibagi x  3 , maka sisa pembagiannya –50 f ( 

  Dari persamaan di atas:

  16  4 a  2 b  2  4 a  b 2   14 | x3 12 a  b 6  

  42

  → →

   54  9 a  3 b  2  

  50 9 a  b 3  6 | x2 18 a  b 6 

  12

  → →

  a = 

  30

  30 a  

  1 9 a  b 3 

  6

  9 (  1 )  3 b 

  6

   b 3 

  15 b  

  5 ₂ a  b  

  1  (  5 )  

  6 ₂ 3. ( x  x 2  3 ) sisa ( 3 x  4 ) dan jika dibagi ( x  x  2 ) sisa Sukubanyak berderajat 3 jika dibagi

  ( 2 x  3 ) . Sukubanyak tersebut adalah .... Pembahasan: ₂

  f (x ) = ( x 

  2 x  3 )( ax  b )  ( 3 x  4 )

  f (x ) = ( x 

  3 )( x  1 )( ax  b )  ( 3 x  4 ) Sehingga: x  

  3  x 

  1 f x

  Sisa (x ) = ( 3  4 ) , maka:

  f (

  3 ) = 3 (  3 ) 

  4

  f (

  3 ) =  9 

  4 f (

  3 ) =

  

  13 f (

  1 ) 3 ( 1 ) 

  4 Sedangkan =

  f (

  1 ) = 3 

  4 f (

  1 ) =  ₂

1 Untuk f (x ) = ( x  x 

  ₂ 2 )( ax  b )  ( 2 x  3 ) , maka:

  f (

  3 ) = ((  3 )  (  3 )  2 )( a (  3 )  b )  ( 2 (  3 )  3 )

   = (

  9  3  2 )(  3 a  b )  (  6  3 )

  13

   a  b 

   13 =

  10 ( 3 )

  3

   13 =  30 a  10 b 

  3  13  3 =  30  a 10 b 

  10 =  30  a 10 b ...(1)

  Sedangkan: ₂

  f (

  1 ) = (( 1 )  ( 1 )  2 )( a ( 1 )  b )  ( 2 ( 1 )  3 )

   1 = (

  1  1  2 )( a  b )  ( 2  3 )

   1 = 

  2 ( a  b ) 

  5

   1 =  2 a  2 b 

  5  1  5 =  2  a 2 b 

  6 =  2  a 2 b ...(2)

  2 ^{2 3}    x x x

  2  x sisa 9, sedangkan dibagi 3  x sisa 2. Jika ) ( ). ( ) ( x g x f x h

  dibagi

  2  x sisa 1, sedangkan dibagi 3  x sisa –8. Dan sukubanyak ) (x g

  dibagi

  f

  Sukubanyak ) (x

  LATIHAN SOAL UN: 1.

  1

  h

  =

  f

  ) (x

  x x x x x x

  2 2 ( ^{2 2 3}       

  2

  4

   , maka sisa pembagian ) (x

  dibagi

  = )

  2 ^{2 3}     px x x adalah ) 1 (  x

  )

  1 2 (  x E.

  ) 3 (  x D. )

  ) 2 (  x C.

  ) 2 (  x B.

  A.

  . Faktor lain dari persamaan suku banyak tersebut adalah ....

  5

  6 ²   x

  3

  Salah satu faktor dari persamaan suku banyak

  1 4  x E. 1 3  x 2.

  kunci D.

  1 5  x

  1 7  x B. 1 6  x C.

  A.

  x adalah ....

  3 ) 2 (

  f

  Dari (1) dan (2)

  40    a

  6

   2    b

  6 2 ) 1 (

  2  2    b a

  6

  Maka:

  1  a

  40

  2

  40  = 40 

  10  10    b a a

  30

   2 2  = 6  | x 5 →

  10  30    b a b a

  10

  →

  b a  10 30  = 10  | x 1

  2  2    b

  6  b 2    4  b 2  

  ) (x

  ) 2 ( 1 )(( 2 ( ²     

  x x x x

  2 ( ²     

  3 ) 2 ( 2 )(

  = )

  f

  ) (x

  x x x x

  3 )) 2 (

  2  b

  = )

  f

  ) (x

  x b ax x x

  3 ) 2 ( )( 2 ( ²     

  = )

  f

  Jadi, ) (x

  1 2 (  x