Modul Siap UN Matematika SMA Program MIPA

BAB 5 PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN, DAN FUNGSI KUADRAT A. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

  ₂ a  bx  c  

  , a B.

   Akar-akar Penyelesaian Persamaan Kuadrat a.

  Metode pemfaktoran ₂

  ax  bx  c 

  ( px  r )( qx  s )  gunakan aturan pemfaktoran persamaan kuadrat

  px  r   qx  s  r s x   x   _{1 2} p q

  b.

  Metode melengkapi kuadrat sempurna Contoh: ₂ 3 x  x ₂ 12  21  kedua ruas dibagi 3

  x  x ₂ 4  7 

  ( x  2 )  ₂ 4  7  ( x  2 )  ₂ 11 

  ( x  2 ) 

  11

  x (  2 )  

  11 x   _{1 , 2}

  2

  11 Jadi x   atau x   ₁

  2

  11 ₂

  

2

  11 c.

  Menggunakan rumus persamaan kuadrat (abc) ₂

  a  bx  c 

  Dengan menggunakan metode melengkapi kuadrat sempurna, diperoleh rumus: ₂  b  b  4 ac

  x  _{1 , 2}

  2 a C.

   Diskriminan Persamaan Kuadrat ₂ ax  bx  c  ₂ D  b 

  4 ac a. D  , maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar-akar penyelesaian riil. Jika b. D  , maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar-akar penyelesaian riil yang berbeda.

  Jika

  c. D  , maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar-akar penyelesaian riil yang sama Jika (kembar).

  d. D  , maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar penyelesaian yang riil (tidak Jika nyata/imajiner).

  ₂ ax  bx  c  b x  x   _{1 2} a c x . x  _{1 2} a ₂ E. a bx c

D. Hasil Jumlah Dan Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

     Dengan Sifat Akar-Akarnya

   Hubungan Antara Koefisien Persamaan Kuadrat a.

  Akar-akar penyelesaiannya sama/kembar ₂

  b 

  4 ac b. Akar-akar penyelesaiannya berlawanan (salah satu akar-akarnya positif dan yang lain negatif)

  b  c.

  Akar-akar penyelesaiannya berkebalikan (salah satu akar-akarnya

  1

  12

  6 ( ²    =

  2 ( 6 ) 2 ( 2 )

   6 x x x x  = )

  . 6 . ( 2 ) x x x x x x    _{2 1 2 2 2 1} . .

   6 x x x x  = _{2 1 2 1} ² _{2 1} . .

  = 2 _{2 1 2 2 2 1} . .

  2

  =

  36   = 20 Pembahasan Soal-soal: 1.

  a c

  .x x =

  6  _{2 1}

  1 ) 6 (  =

  =

  

  x dan ₂ x , maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah _{2 1}  = x x a b

  Jika akar-akar penyelesaiannya ₁

  2  c .

  4

  Akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat

  1  a ,

  2

  x x

  berdasarkan syarat pada soal _{1 2}

  x

  dan ₂

  x

  , pemilihan ₁

  x

  1 ₂ 

  5 ₁   x

  5 2   x  1   x

  5

  ) 1 )( 5 2 (    x x

  2 ²    x x

  3

  5

  3 4 x x  adalah .... Pembahasan:

  nilai dari _{2 1}

  x dan ₂ x . Jika _{1 2}  , maka x x

  2 ²    x x adalah ₁

  3

  6  b ,

  6 ²    x x Bentuk umum persamaan kuadrat ²    c bx ax , sehingga

  q p

  dan ) ( ₂

   dari akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat ²    c bx ax adalah

  n x

   dan ) ( ₂

  n x

  Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya n kurangnya atau ) ( ₁

      ²      c n x b n x a c.

  dari akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat ²    c bx ax adalah

   n x

   n x

  Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya n kali akar-akar persamaan kuadrat ₂    c bx ax adalah ₂

  Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya n lebihnya atau ) ( ₁

  ) . ( ) ( _{2 1 2 1} ²     x x x x x x b.

  x dan ₂ x adalah

  Persamaan kuadrat yang akar-akar penyelesaiannya ¹

   Persamaan Kuadrat Baru a.

   a c F.

  )

  p q

  dan yang lain

      ²      c n x b n x a d.

      

  2

  6 ²    x

  Pembahasan:

    adalah ....

  6 x x x x

  . Nilai _{2 1} ² ₂ ² ₁ . .

  x

  dan ₂

  x

  adalah ₁

  x

  2

     

  Akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat

  Contoh:

      ²    c nx b nx a

  kali akar-akar persamaan kuadrat ₂    c bx ax adalah

  1

  n

  Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya

    c n x b n x a e.

     

   Sehingga: _{2 1}

  3 4 x x  = ) 1 (

  Bentuk umum persamaan kuadrat ²   

  2 ) 3 ( 

  =

  

  x dan ₂ x , maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah _{2 1}  = x x a b

  Jika akar-akar penyelesaiannya ₁

  2  a ,  3  b ,  7  c .

  , sehingga

  c bx ax

  x

  2

  2 ²    x

  3

  7

  Pembahasan:

  2 ²    x x , maka nilai _{2 1 2 2 1} ( 2 ) x x x x   adalah ....

  3

  7

  x dan ₂ x adalah akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat

  Jika ¹

  =

  3 _{2 1}

  5

  2

  =

   x x x x 

  ( 2 )

  4 9  _{2 1 2 2 1}

  7

  1

  =

  3 ²

  2

  7

  .x x =

  2

      

     

     

  ( 2 ) x x x x   =

  7  _{2 1 2 2 1}

  2

  =

  a c

  4 3.

  =

  3

  4

     = a b

  Jika akar-akar penyelesaiannya  dan  , maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah

  3  a ,  4  b , 5  c .

  3 ²    x x Bentuk umum persamaan kuadrat ²    c bx ax , sehingga

  4

  5

  1 1  adalah .... Pembahasan:

   

  3 ²    x x , maka nilai

  5

  =

   dan  adalah akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat

  Jika

  7  2.

  =

   3 10 

  =

    

  5 4    

  2

  

  3 ) 4 ( 

  4

  =

  3

  3 .

  5

  1 1  =

   

  4

  3

  5

  3

  . 

  =

     

  1 1  =

  5  

  3

  =

  a c

  =

  4  .

  3

  4 28 9 

  =

  2 ²     m m dibagi

  3

  4

  Akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat

  4  m 5.

  2 ₂   m Jadi,

  4 ₁  m

   4  m  2   m

   4 (   m m

  2 ²    m m ) 2 )(

  8

  2 

  4

  x dan ₂ x . Persamaan kuadrat

  16

     m m dikalikan silang

  2 ² 

  4

  16

  9

        m m m m

  2 ^{2 2} 

  1

  3

  6

  2 ²    x x adalah ₁

  yang akar-akar penyelesaiannya

  18

  2 ^{2 2}         x x x

   Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat ₂

  2 ²    x x G.

  23

  61

  2 ²      x x x

  20

  50

  3

  11

  2 ²      x x x

  11 3 ) 25 10 (

  ). 5 ( 5 .( 2 (

  5 ₁  x dan

  15 ) 3 )

  4

  2 ²      x x

  4 ) 5 ( 3 ) 5 (

  5  x adalah:

  diganti dengan

  x

  5 ₂  x , maka setiap

  5 ₁  x dan

  Pembahasan: Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya

  5 ₂  x adalah ....

  3

  9

  4

   m 1   3 =  m 1   =

  3

  1 ) 1 (

  3

  2

  . Sehingga: 2 ) 1 ( ²     x m x

  3  m 1 

  dapat diganti dengan

  x

      x m x , maka

  Karena  merupakan salah satu akar-akar penyelesaian 2 ) 1 ( ²

  3  m 1 

  2 =

       

    

  1 1   m

    2  , maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah    =

  Jika akar-akar penyelesaiannya  dan  serta

  1  a ,  m 1  b , 2  c .

  , sehingga

  Bentuk umum persamaan kuadrat ²    c bx ax

  Pembahasan: 2 ) 1 ( ²     x m x

    2  dan   , maka nilai m adalah ....

  4. Akar-akar penyelesaian 2 ) 1 ( ²     x m x adalah  dan  . Jika

  19 

  1 ²      

     

         m m m m

  1

  1 2 ( ^{2 2} 

  1 2 ( 3 )

  9 )

  9 2 .

      m m m m

  









       

  2 ^{2 2}      

  

1

  9

  2

  3

      m m m

  2

  1

      m m m m m

  









        

  2 ^{2 2}      

  

1

  9

  1

  3

  2

     c bx a , a 

  a  bx  c   ₂ , a a bx c  ₂    , a a  bx  c  

  , a H.

   Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat

  Contoh 1: ₂ Himpunan penyelesaian dari x  x 2  3 > 0 adalah ....

  Pembahasan: ₂

  x  x

  2  3 = 0 ( x  3 )( x  1 ) = 0

  ( x  3 )  V ( x  1 )  x = 3 x = -1

• 1

  3 Jadi Hp =  x | x   1 atau x  3 , x  R  Contoh 2: ₂

  x  x  

  Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat

  3

  10 8 adalah .... Pembahasan: ₂

  x  x  

  3

  10

  8 Pembuat nol: ₂ 3 x  x 10  8 

  ( 3 x  2 )( x  4 ) 

  3 x   2  x 

  4

  2 x  

  3

  4

  2 

  3 Uji x diganti dengan 0 pada persamaan kuadratnya. Ternyata bernilai negatif, berarti daerah mulai

  2  sampai 4 bernilai negatif, sedangkan daerah lainnya bernilai positif.

  3 Karena soal diminta  , berarti daerah penyelesaiannya adalah daerah dengan nilai negatif.

   2 

  Jadi, HP = x |   x  4 , x  R  

  3  

  Pembahasan Soal-soal: ₂ x

  1.  x 10  21  adalah ....

  Himpunan penyelesaian dari Pembahasan: ₂

  x  x

  10  21  Pembuat nol: ₂

  x  x

  10  21  ( x  7 )( x  3 ) 

  3

  x  7  x 

  3

  7 Karena >, maka daerah penyelesaiannya adalah daerah positif HP = x | x  3 atau x  7 , x  R

    ₂ 2.

   2 x  11 x  5  adalah .... Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat

  Pembahasan:

   x  x  

  2

  11

  5 Pembuat nol: ₂  2 x  11 x  5 

  (  2 x  1 )( x  5 ) 

  x x  2   1  

  5

  1 x 

  2

  1

  5

2 Karena  , maka daerah penyelesaiannya adalah daerah positif

   1 

  Hp = x |  x  5 , x  R  

  2   I.

   Bentuk Umum Fungsi Kuadrat ₂ f ( x )  ax  bx  c , a

   J.

   Grafik Fungsi Kuadrat

  Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat adalah: a).

  Menentukan titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x → y = 0 ₂

  f ( x )  ax  bx  c ₂ y  ax  bx  c ₂

   ax  bx  c  ( px  r )( qx  s ) gunakan aturan pemfaktoran persamaan kuadrat

  px  r   qx  s  r s x   x   _{1 2} p q

   r   s  Sehingga titik potong dengan sumbu x adalah  , dan  ,

     

  p q

      b). Menentukan titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu y → x = 0 ₂

  f ( x )  ax  bx  c ₂ y  ax  bx  c ₂ y  a ( )  b ( )  c y  c

  Sehingga titik potong dengan sumbu y adalah   , c c). Menentukan persamaan sumbu simetri fungsi kuadrat ₂

  f ( x )  ax  bx  c b x  

  2 a d). x , y ) _{p p}

  Menentukan koordinat titik ekstrim/balik/puncak fungsi kuadrat ( ₂

  f x  ax  bx  c

  ( )

  b x   y  f x _{p p p}

( )

2 a

  Koordinat titik ekstrim/balik/puncak = ( x , y ) _{p p} e). Menghubungkan titik-titik yang telah ditemukan sehingga terbentuk kurva parabola fungsi kuadrat K.

   Persamaan Fungsi Kuadrat yang Diketahui Beberapa Titik

  ( , ) dan Persamaan fungsi kuadrat yang diketahui dua titik potong dengan sumbu x, yaitu ₁

  x a).

  x x

  ( , ) dan satu titik lain, yaitu ( y , ) ₂

  y  a ( x  x )( x  x ) _{1 2} Masukkan semua unsur, kemudian tentukanlah nilai a. f ( x )  a ( x  x )( x  x ) _{1 2} Lalu masukkan a, x , dan x (x dan f(x) dibiarkan tetap). _{1 2} Kemudian sederhanakan persamaan fungsi kuadrat tersebut.

  b). x , y dan satu titik lain, yaitu ( y x , )

   p p 

  Diketahui titik balik/puncak/ekstrim ₂

  y  a ( x  x )  y _{p p} Masukkan semua unsur, kemudian tentukanlah nilai a. ₂ f ( x )  a ( x  x )  y _{p p} x y

  Lalu masukkan a, , dan (x dan f(x) dibiarkan tetap). _{p p} Kemudian sederhanakan persamaan fungsi kuadrat tersebut.

  Contoh: x

  Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu di titik (1 , 0) dan (– 2 , 0) dan melalui titik (0 , – 6) adalah .... Pembahasan:

  x

  memotong sumbu di titik (1 , 0) dan (– 2 , 0) dan melalui titik (0 , – 6) sehingga: x  ₁ 1 , x   ₂ 2 , x  , dan y   6 , maka:

   y = a ( x  x )( x  x ) _{1 2} y = a ( x  x )( x  x ) _{1 2}

• – 6 = a (  1 )(  ( 

  2 ))

• – 6 = a ( 1 )(

  2 )

• – 6 =  a

  2 

  6

  a =

  

  2 a = 3

  Jadi, fungsi kuadratnya f (x ) = a ( x  x )( x  x ) _{1 2}

  f (x ) =

  3 ( x  x 1 )(  (  2 ))

  x x

  = 3 (  ₂ 1 )(  2 ) = 3 ( x  ₂ 2 x  x  2 ) 3 ( x  x 

  2 ) = ₂

  f x  x 

  (x ) =

  3

  3

  6 Pembahasan Soal-soal: ₂

  y 

  3 x  x  2 x 1. dengan sumbu dan sumbu y berturut-

  Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat turut adalah ....

  Pembahasan: Titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x ₂ → y = 0

  y 

  3 x  x  ₂

  2

  x x

   3  

  2  ( 3 x  2 )( x  1 ) untuk mengecek kebenaran gunakan aturan perkalian aljabar

  3 x  2   x  1 

  2 x   x  _{1 2}

  1

  3

  2 

  Sehingga titik potong dengan sumbu x adalah  0, dan   1 ,  

  3  

  Titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu y → x = 0

  2 ²    x x

  = ) )( ( _{2 1}

  Pembahasan: Berdasarkan grafik pada soal, diketahui bahwa grafik fungsi kuadrat tersebut memotong sumbu x di titik (– 3 , 0) dan (5 , 0) dan melalui titik (0 , 30) sehingga: , 30 dan ,

  5 ,

  3 _{2 1}      y x x x , maka:

   y = ) )( ( _{2 1}  x x x x a  y = ) )( ( _{2 1}  x x x x a 

  30 = ) 5 ))( ( 3 (    a 30 = )

  5 )( 3 (  a 30 = a

  15 

  a =

  15

  30  a = 2 

  Jadi, fungsi kuadratnya ) (x

  f

  x x x x a

  3  _p y

    ) (x

  f

  = ) 5 ))( ( 3 (

   2   

  x x

  = ) 5 )( 3 (

   2   x x =

  )

  15

  3 5 (

  2 ²     x x x ) (x f = )

  15 2 (

  Jadi, koordinat titik ekstrim/balik/puncak = (1 , 3) 3. Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya seperti di bawah ini adalah ....

   4 1   _p y

  x y

  Sehingga:

  5

  30

  2

  3    x x y ( 2 ) ) (

  3 ²    y  2 

  y

  Sehingga titik potong dengan sumbu y adalah   2 , 0  2. Koordinat titik balik grafik fungsi

  4 ( 2 ) ²    x x x f adalah ....

  Pembahasan: Koordinat titik ekstrim/balik/puncak fungsi kuadrat ( _{p p}

  . y x )  c bx ax x f   ²

  ) (

  4 ( 2 ) ²    x x x f

  1  a ,  2  b , 4  c

  2  1   _p y

  1

  2

  2 ) 1 (

  2 ) 2 (

  2  

      

  a b x _p

  4 ( 2 ) ²

     x x x f

  ) ( _{p p}  x f y

  ) 1 ( f y _p  4 ) 1 ( 2 )

  1 ( ²    _p y

  4

• 3

  ) (x

  A.

  11 ²    x x E.

  31

  11 ²    x x D.

  31

  13 ²    x x C.

  2 ²    x x B.

  10

  5 ²    x x mempunyai akar-akar penyelesaian  dan  . Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya )  3 (  dan )  3 (  adalah ....

  11 ²    x x 2.

  7

  Persamaan kuadrat

  LATIHAN UN: 1.

  1 ) ( ²     x x x f

  2

  2

  4

  31

  Jika

  1 ₂     x x y

  7

  2 ( 6 ) ²      p x px x x f mempunyai dua akar-akar penyelesaian riil.

  14

  21

  Grafik fungsi kuadrat

  12 ²    x x 3.

  7

  12 ²    x x E.

  10 ²    x x D.

  p dan q adalah akar-akar penyelesaian

  11

  10 ²    x x C.

  7

  10 ²    x x B.

  11

  A.

  5 ²    x x , maka persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya 1 2  p dan 1 2  q adalah ....

  1

  Jadi, fungsinya

  2

  f

  6 )) ( 2 (

  4 2   4 2 

  6 4   a

  4

  a

  4 ²   a 6 ) 4 ( 4   a

  2 (

  4 ²     a 6 )

   y x x a y   ² ) (

  2

  (–2 , 6) dan satu titik lain ) , ( y x , yaitu (0 , 4) _{p p}

    p p , y x , yaitu

  Pembahasan: Persamaan fungsi kuadrat yang diketahui titik balik/puncak/ekstrim

  Persamaan grafik fungsi kuadrat yang titik puncaknya (–2 , 6) dan melalui titik (0 , 4) adalah ....

  2    x x 4.

  4

  30

  =

   a

  1   a _{p p}  y x x a y   ²

  2

  2

  4

  1 ₂      x x y

  2

  2

  2

  6

  1 ₂      x x y

  4 4 (

  ) ( 6 )) ( 2 (

  1

₂

₂      x x y 6 )

  2

  6 ) 2 . 2 . 2 (

  1 ₂     x y

  2

  6 ) 2 (

  1 ₂      x y

  2

  Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah ....

  (1 , 1) E. (1 , 9) 9. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang sesuai dengan gambar di bawah ini adalah ....

  4

   

  6 atau 2 | B.

  5

          R x x x x ,

   

  A.

  5 ²    x x adalah ….

  12

  5

  4 7. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat

  2 E.

  A.

  1 2   y x dan  p , maka nilai p yang memenuhi adalah ....

  Jika grafik fungsi ( 5 ) ²    px x x f menyinggung garis

  1 6.

  2

  2 E.

          R x x x x ,

  6 atau 2 | C.

  3 D.

          R x x x ,

  (–1 , –15) B. (–1 , 1) C. (–1 , 9) D.

  A.

  4 ²     x x y adalah ....

  8

  3

  8. Titik puncak grafik fungsi kuadrat

  6 2 |

  5

   

   

  6 | E.

  5

  2

          R x x x ,

   

  6 | D.

  5

          R x x x x , 2 atau

  3

  2

  A.

   

  10 | E.

  9

          R p p p p , 2 atau

   

  10 | D.

  9

         R p p p p , 2 atau

  10 | C.

          R p p p p ,

  9

  2

          R p p p ,

   

  10 2 | B.

  9

          R p p p ,

   

   

  9

  kunci C.

  2 ²     m x x adalah

  5

  2

  3 B.

  A.

   , maka nilai m adalah ....

   2

  dan  . Jika 

  

  6

  10 atau 2 | 4.

  2

  1

  4 5. Akar-akar penyelesaian

  3 E.

  1 C. 2 (kunci) D.

  B.

  A.

  Akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat 18 ) 1 ( ²     x p x adalah  dan  . Jika 2     dan  p , maka nilai p adalah ....

• –6 B.
• –4 C.
• –2 D.

• – 4
• – 2

  3 ( 4 ) ²    x x x f C.

  1

  x y

  4 P (– 2 , 4)

  x y

  8 ( 2 ) ²    x x x f

  6

  4 ( 2 ) ²     x x x f E.

  6

  4 ( 2 ) ²     x x x f D.

  6

  3 ( 2 ) ²    x x x f B.

  A.

  Fungsi kuadrat dari grafik di samping adalah ….

  ( 4 ) ²    10.

  x x x f

  ( 4 ) ²    E.

  x x x f

     x x f D.

  ( 4 ) ²   C. ( 4 ) ²

  x x x f

  A. ( 4 ) ²   x x f B.

  6

• 3