Modul Siap UN Matematika SMA Program MIPA

BAB 17 INTEGRAL A. Integral Tak Tentu

      

5 B.

   

  Contoh:

  a n

p

b n p x n p dx x p

  1 ^{n n b} _a ^{n b} _a ⁿ

  1

  1 ) (

  ) (

      ^{1 1 1}

   

   

   

   

   

  7

   

   

   

   Integral Tertentu

  2

  c x   2 cos

  =

  1 . 2 cos

  2

    dx x x

  6 ³ ₁ ² 

  2

  ) 1 ( 7 )

  12 54    = 66 – 8 = 58

  2

  6

  =    

  21 9 ) 27 ( 2     

  2

  7 1 ) 1 (

  2 ^{2 3 2 3}      =    

  7 ) ) 3 ( 3 (

  ) 1 ( 1 ( 2 ) 3 (

     

  2 sin =

  7 2 x x x   =

    ³ ₁ ^{2 3}

  =

     x x x

  6   

  3

  2

  2

  7

  1

    = ³ ₁ ^{1 2 3}

  c x  

   dx x

   

      ^{1 1 1 1 2}

  4 5 ( ² = c x x x    ^{2 3}

  1

    dx x x )

  5 

  2

  1

  4

  1

  1

  

1

  1

     

  3

  4 5 ( ^{1 2} = c x x x 

  1

    dx x x x )

  

  4 5 ( ² =

  1

    dx x x )

  

  Contoh:

  1 ¹ n c x n a dx ax ^{n n}

  1 ,

  2

   Integral Trigonometri 1.

  2 ( =

      c x x dx x 2 sin

   dx x x ) cos . sin .

  2 ( dx x x Pembahasan:

    .... ) cos . sin .

     c x x dx x tan tan ² Contoh:

  

    c x dx x | sec | ln tan 8.

  

  1 cos ² 7.

  2

  1

  4

  6.

  

       c a b ax dx b ax 1 . ) sin( ) cos(

    c x dx x sin cos 5.

  

  1 sin ² 4.

  2

  1

  4

      c x x dx x 2 sin

  3.

        c a b ax dx b ax 1 . ) cos( ) sin(

     c x dx x cos sin 2.

1 C.

D. Luas Daerah Menggunakan Integral 1.

  Luas daerah yang dibatasi oleh garis lurus, sumbu X, dan dua garis lain Y

  y = mx + n _b

  L = ( mx  n ) dx

   _a

  X

  x = b x = a

2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi kuadrat dan sumbu X a.

  Luas daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi kuadrat dan sumbu X dengan daerah di atas sumbu X Y _{b 2} L = (  px  qx  r ) dx

   _a

  X

  a b

  2 y = – px + qx + r b.

  Luas daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi kuadrat dan sumbu X dengan daerah di bawah sumbu X Y

  2 y = mx + nx + o

  X

  a b b ₂ L =  ( mx  nx  o ) dx  _a 3.

  Luas daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi kuadrat dan garis lurus Y

  2 y = px + qx + r y = mx + n a dan b adalah nilai x yang diperoleh dari

  penyelesaian persamaan fungsi kuadrat dengan persamaan garis lurus tersebut.

  X

  a b _{b 2} L  (( mx  n )  ( px  qx  r )) dx  _a

  Karena posisi garis y = mx + n berada di atas kurva ₂

  y  px  qx  r

  Dapat digunakan juga: ₂

  px  qx  r  mx  n ₂ px  qx  mx  r  n  ₂ px  ( q  m ) x  ( r  n )  a  p , b  q  m , c  r  n D D

   L ₂ 6 a _{2 2}

  b ac b ac

  (  4 ) 

  4 L  ₂ 6 a

4. Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi kuadrat

  a dan b adalah nilai x yang diperoleh dari

  2

• + qx + r a b
• + nx + o a b
• + qx
• + rx + s c

      ² berada di atas kurva

  2

  2

  12

    

    

       

    

    

    

    

  1 =

  3

  1 ) 27 (

  1 18 ) 9 (

  8

  3

  1 ) 8 (

  2

     12 ) 4 (

    

         

    

    

    

    

  1 _{2 3 2 3} =

  3

  1 ) 3 (

  3

  18

  6 ) 3 (

  10

  2

  3

  y = px

  X Y

  2

  y = – mx

  X Y

  penyelesaian persamaan fungsi kuadrat dengan persamaan garis lurus tersebut.

  9 9    y = px

  2

  8

  3

  9 =

  2

  9

  2

  8

  3

  10

     

     

     

    

    

    

  9 =

  9

  2

  1 ) 3 (

  r qx px y

  4

  2  3   x x

  2  3      x x 2  3     x x

  ) 2 )(  3 (    x x

  x x

  6 ²    

  2 ²       x x x

  3

  2

  4

  2 ²      x x x

  2

  3

  Sehingga:

   

  3 ²    x x y  2 2   x y

  4

  Pembahasan: Titik potong kurva dan garis:

  3 ²    x x y dan garis  2 2   x y adalah .... satuan luas.

  4

  Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

  2 L ^{2 3} Contoh:

  ) (

       ^b _a dx s rx qx px

  dan c adalah nilai x yang diperoleh dari penyelesaian persamaan kubik tersebut.

  a, b,

  Luas daerah yang dibatasi oleh kurva persamaan kubik dan sumbu X

     ² 5.

  Luas daerah yang terbentuk =  

     ³ ₂ ² 6 dx x x

  3

  3

          ^b _a )) dx r qx px o nx mx ( ) (( L ^{2 2} Karena posisi kurva o nx mx y

  2

  6 ) 2 (

     ) 2 (

    

           

    

    

    

  =   

     x x x

     

  1 

  1

  = ³ ₂ ^{1 1 1 2}

  2

  6

  = ³ ₂ ^{2 3}

   x x x

     

     

  1   

  2

  1

  1

  1

  1

  6

  1 ) 2 (

  27 

  16

  =

  19 

  6

  11

  = 19 

  6

  5

  5

  = 19 

  1 = 20 satuan luas

  6

6 E.

   Volum Benda Putar Menggunakan Integral 1.

  Volum benda putar yang dibatasi oleh dua kurva dengan sumbu x sebagai sumbu putar _{b 2 2} V   (( f ( x ))  ( g ( x )) ) dx

   _a

  Dengan f(x) adalah kurva yang terletak di atas kurva g(x) 2. Volum benda putar yang dibatasi oleh dua kurva dengan sumbu y sebagai sumbu putar _{b 2 2} V  f y g y dy

   (( ( ))  ( ( )) )  _a

  Dengan f(y) adalah kurva yang terletak di sebelah kanan dari kurva g(y) Contoh: Volume benda putar daerah yang dibatasi oleh garis y  x  _o

  3 , x  , x 

  3 , dan sumbu x jika diputar 360 mengelilingi sumbu x adalah ....  satuan volume.

  Pembahasan: _{3 2} Volume =   x  3 dx 

   _{3 2}

  =  x 

  6 x  9 dx  

   ₃ 

  1 ^{2 1}

  6 ^{1 1 }  

  =  x  x 

  9 x 2  1 1 

  1   ₃ 

  1 ^{3 2 }

  =  x 

  3 x  9 x

  3  

   

  

  1 ^{3 2  }

  1 ^{3 2 } =  ( 3 )  3 ( 3 )  9 ( 3 )  ( )  3 ( )  9 ( )

      

  

  3

  3    

   

     1 

  =  ( 27 )  27  27   

   

  3  

   

  

  =  9  54  Volume =

  63  satuan volume

  LATIHAN UN: _{2 3 2} 1. ( 6 x  4 x ) x  x  1 dx adalah ....

  Hasil dari

    

  2 _{3 3 2 2} x x C

  A. (  

  1 ) 

  3

  2 _{3 2 3} x x C

  B. (  

  1 ) 

  3

  4 _{3 2 3} x x C

  C. (  

  1 )  kunci

  3

  4 _{3 3 2 2} x x C

  D. (  

  1 ) 

  3

  2 _{3 2} E. ( x  x  1 )  C

  3

  2. Bentuk  

  C x x

  A.

  ) cos (sin ^{2 2} adalah ....

  dx x x

  

  

  1 5. Hasil dari

  2

  2 8 cos

  1 E. C x x   2 cos

  4

    2 cos 8 cos

  1 D.

  2

  4

  2 cos 8 cos

  C x x   

  1 C.

  2

  2 8 cos

  2 cos

  C x x   

  2 B.

     2 cos 2 8 cos

  A. C x x

  C x  2 cos

  1 B. C x   2 cos

   ) dx x x

  A.

  1

  3

  18 D.

  2

  3

  17 C.

  1

  3

  15 B.

  1

  4

     adalah ....

  2 C. C x   2 sin

     

  5 ⁴ ₁ 

  1

  2

  dx x x

  kunci 6. Nilai

  1

  2

  1 E. C x   2 sin

  2

  2 D. C x  2 sin

  . 3 cos 5 sin 4 ( adalah ....

  Bentuk

  

  2

  2

  3

  2

    C x   ^{6 3}

  3 D.

  2

  2

  3

    ^{6 3}

    C x

  1 C.

  2

    C x   ^{6 3}

  3

    C x   ^{6 3}

  1 B.

  3

  2

  3

    C x   ^{6 3}

  A.

  18 ^{5 3 2} adalah ....

  3 2 (

   dx x x )

  1 E.

  2

  2 4 cos 4 4.

  1

  1 E. C x x    2 sin

  4

  1 4 cos

  2

  1 D. C x x   2 cos

  4

  1 4 cos

  2

  2 cos

  C. C x x   

  kunci

  8

  3

  1 4 cos

  4

  1 B. C x x   2 cos

  8

  1 4 cos

  4

  2 cos

  A. C x x   

  3 (sin adalah ....

   ) dx x x cos .

  3 3. Hasil dari

  2

  22

  1 E.

  25

  4 _{2 2} 7. x ( x  2 ) dx adalah ....

   

  Nilai dari

   A.

  6

  1 B.

  6

  3

  2 C.

  6

  3

  1 D. 9 kunci

  3 E.

  20 ₂

  1  ^{2 } 8. x  dx adalah ....

  Nilai dari   ₂

   x ₁  

  9 A.

  5

  9 B.

  6

  11 C. kunci

  6

  17 D.

  6

  19 E.

  6 ₂  x x dx

  9. (

  4 cos 2  3 sin 3 ) adalah ....

  Nilai dari

   ₃ 

  A. 1  3 kunci

  B. 3 

  1 C. 3 

  1 D.

  2 3 

  1 E.

  2 3 

  1

   ₆ x x dx

  10. (sin 3  cos 3 ) adalah ....

  Nilai dari

  

  2 A.

  3

  1 B. kunci

  3 C.

  1 

  D.

  3

  2 E. 

  3 ₃

₂

  11. y  x  6 x  8 x dan sumbu X adalah .... satuan luas.

  Luas daerah yang dibatasi oleh kurva A.

  16 B.

  12 C.

  8 D.

  4 E.

  2

  12. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dengan ....

  y _{2 2} A. ( 3 x  x ) dx  _{2 2 2}

  4 B. x  dx  x dx

  ( 3 )  

  3 _{1 2 2}

  x

  C. ( x 

  3 ) dx  x dx  

  1

  2 _{1 2 2 2} D. ( x 

  3  x ) dx  x dx ₁  

₂

_{1 2 2} E. x   x dx   x dx kunci ( 3 ) ( 4 )

    _{2 1} 13. y 

  4 x  x , y   2  x 8 , dan sumbu y adalah .... satuan Luas daerah yang dibatasi oleh parabola luas.

  2 A.

  4

  3

  2 B. 6 kunci

  3

  2 C.

  12

  3

  2 D.

  20

  3

  2 E.

  30

  3 ₂ 14. y  x  x 

  2 dengan garis y  x  1 pada interval  x 

  3 Luas daerah yang dibatasi oleh parabola adalah .... satuan luas.

  A.

  5 B.

  7 C. 9 kunci

  1 D.

  10

  3

  2 E.

  10

  3 15.

  Perhatikan gambar yang diarsir berikut!

  y

  Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu y , maka volume benda putar yang terjadi adalah .... satuan volume.

  2 y  x  A.

  6

  2

  5 B.

  8

  

  2 x C. 13 

  3

  1 D. 15 

  3

  3 E. 25  kunci

  5 ₂

  16. y  4 x  , sumbu x , sumbu y , dan garis x 

  1 . Volume benda

  Daerah yang dibatasi oleh kurva putar yang terjadi, jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu x adalah .... satuan volume.

  8 A. 12 

  15

  8 B. 12 

  12

  8  C. 13 kunci

  15

  8  D.

  13

  12 E. 14  ₂ 17. y  x  

  9 , sumbu X, dan garis x  di kuadran I Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva _o diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 adalah .... satuan volume.

  3 129  A.

  5

  3

   B.

  81

  5

  2 72  C.

  5

  3

   D.

  48

  5 E. 

  18 ₂ y x x y x 18.

   2  dan  2  Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva _o diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360 adalah .... satuan volume.

  1 A. kunci

  

  5

  2 B.

  

  5

  3 C.

  

  5

  4 D.

  

  5 E.

  