Materi Matematika Diskrit Himpunan oleh

Materi Matematika Diskrit : Himpunan  oleh Saluky. S.Si, M.Kom  
Dosen Komputer IAIN Syekh Nurjati Cirebon 
 

Bab 2
Himpunan
A. Tujuan Praktikum
1. Mahasiswa memahami tentang konsep himpunan secara aplikatif
2. Mahasiswa dapat membuat database berdasarkan konsep sifat himpunan
3. Mahasiswa dapat membuat query berdasarkan konsep operasi himpunan

B. Landasan Teori
1. Notasi Himpunan
Himpunan adalah koleksi objek yang terdefinisi dengan jelas; artinya, kita selalu
dapat menentukan apakah sebuah objek termasuk dalam koleksi atau tidak.
Nama himpunan ditulis dengan menggunakan huruf besar
A,B,H, S, U
sedangkan anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil
a, b, h, s, u

Contoh 2.1. Beberapa contoh himpunan.

1. A adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari 100.
2. B adalah himpunan huruf vokal dalam abjad bahasa Indonesia.
3. C adalah himpunan kuadrat bilangan asli.
4. K adalah himpunan mahasiswa yang memiliki IPK lebih dari 3.
5. M adalah himpunan mahasiswa Tadris Matematika IAIN Syekh Nurjati.
2. Keanggotaan Himpunan
Untuk menyatakan bahwa sebuah objek a adalah anggota sebuah himpunan
A kita menggunakan notasi

a∈A

Sedangkan notasi a ∈ A berarti a bukan anggota himpunan A.
Contoh 2.2. Jika A dan B adalah himpunan-himpunan pada Contoh 2.1, maka :
a ∈ A, 101 ∈ A, i ∈ A

Himpunan dari semua objek pembicaraan disebut himpunan semesta dan biasanya
dilambangkan dengan U. Sedangkan himpunan yang tidak mempunyai anggota
disebut himpunan kosong dengan notasi {} atau 0
1 
 

Materi Matematika Diskrit : Himpunan  oleh Saluky. S.Si, M.Kom  
Dosen Komputer IAIN Syekh Nurjati Cirebon 
 

Contoh 2.3. U = N, himpunan semua bilangan asli.
Contoh 2.4. Himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi dua adalah himpunan
kosong.
Ada dua cara untuk menuliskan anggota sebuah himpunan.
Pertama : menuliskan atau mendaftarkan semua anggota himpunan itu.
Contoh 2.5. Himpunan A, B, dan C pada Contoh 2.1 dapat ditulis sebagai
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}
B = {a, i, u, e, o}
C = {1, 4, 9, …}
Perhatikan bahwa pada penulisan ini anggota himpunan dipisahkan oleh koma dan
diapit oleh kurung kurawal. Tiga titik dalam himpunan A dan C boleh dibaca dan
seterusnya, yang berarti masih banyak anggota lain. Kesulitan akan timbul bila
anggota himpunan sangat banyak, seperti himpunan M pada Contoh 2.1.
Kedua : menggunakan notasi pembangun himpunan, yaitu membuat diskripsi
mengenai sifat-sifat anggota himpunan yang bersangkutan.

A = { x | x < 100, x ∈N }

B = { x | x adalah huruf vokal dalam bahasa indonesia}

Dalam bahasa Inggris tanda "|" dibaca "where". Dalam bahasa Indonesia tanda ini
bisa dibaca "di mana" walaupun menurut kaidah bahasa Indonesia hal ini kurang
tepat.

3. Diagram Venn
Himpunan dapat digambarkan dengan diagram Venn. Dalam diagram ini himpunan
semesta digambarkan sebagai empat persegi panjang sedangkan himpunan-himpunan
di dalamnya digambarkan sebagai lingkaran atau bentuk geometri lain. Anggota
himpunan biasanya dinyatakan sebagai titik.

2 
 

Materi Matematika Diskrit : Himpunan  oleh Saluky. S.Si, M.Kom  
Dosen Komputer IAIN Syekh Nurjati Cirebon 
 

Gambar 2.1 menyajikan beberapa contoh diagram Venn.

Gambar 2.1: Contoh Diagram Venn

4. Kesamaan Dua Himpunan
Dua himpunan A dan himpuan B dikatakan sama, yaitu
A=B
bila kedua himpunan itu memiliki anggota yang persis sama. Dengan kata lain, setiap
anggota A adalah anggota B dan setiap anggota B adalah juga anggota A.
Contoh 2.7. Misalkan S = {1, 3, 5} dan T = {5; 1; 3}. Meskipun anggota
himpunan S dan T ditulis dalam urutan yang berbeda, S = T.
akan tetapi jika hanya jumlahnya yang sama tetapi isinya berbeda maka dinamakan
himpunan ekivalen

5. Himpunan Berhingga dan Kardinalitas
Himpunan dengan anggota yang banyaknya berhingga seperti himpunan A dan B
pada Contoh 2.5 disebut himpunan berhingga. Banyak anggota sebuah himpunan
berhingga disebut kardinalitas. Notasi n(A) atau jAj digunakan untuk menyatakan
kardinalitas himpunan A. Pada Contoh 2.5, n(A) = 9 dan n(B) = 5. Sedangkan

himpunan dengan anggota yang banyaknya tak hingga seperti himpunan C pada
Contoh 2.5 disebut himpunan tak hingga.

3 
 

Materi Matematika Diskrit : Himpunan  oleh Saluky. S.Si, M.Kom  
Dosen Komputer IAIN Syekh Nurjati Cirebon 
 

6. Himpunan bagian dan Himpunan Kuasa
Jika setiap anggota himpunan A adalah juga anggota himpunan B, maka A
disebut himpunan bagian dari B, ditulis
A ⊆ B atau B ⊇ A

Notasi terakhir dibaca "B memuat A." Secara matematis, himpunan bagian
didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.1 : A ⊆ B jika dan hanya jika x ∈ A berarti x ∈ B.

Bila A ⊆ B dan A ≠ B, maka A dinamakan himpunan bagian sejati dari B dan ditulis

dengan notasi A ⊂ B atau B ⊃ A.

Definisi 2.2 : (Kesamaan Dua Himpunan).

A = B jika dan hanya jika A ⊂ B dan B ⊂ A
Koleksi dari semua himpunan bagian sebuah himpunan A disebut himpunan kuasa,
dan ditulis dengan notasi 2A.
Contoh 2.8 Misalkan A={a, b, c} maka himpunan kuasa dari A adalah :
2S = 8 = {{},{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}

Perhatikan bahwa himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari semua
himpunan. Untuk membuktikan hal ini kita memerlukan pemahaman tentang
implikasi, lihat Contoh 4.10. Perhatikan pula pada contoh ini bahwa himpunan kuasa
2S memiliki kardinalitas 8. Secara umum, kita mempunyai teorema berikut:

Teorema 2.1 (Kardinalitas Himpunan Kuasa).
Untuk sembarang himpunan A, n(2A) = 2n(A).

4 
 

Materi Matematika Diskrit : Himpunan  oleh Saluky. S.Si, M.Kom  
Dosen Komputer IAIN Syekh Nurjati Cirebon 
 

7. Operasi Himpunan
Seperti bilangan, sebuah himpunan juga dapat dioperasikan dengan himpunan lain.
Kalau dalam bilangan kita mengenal operasi kali, bagi, tambah, dan kurang, maka
dalam himpunan kita mengenal operasi-operasi berikut:
1. Gabungan
A dan B adalah semua elemen yang ada dalam A atau dalam B atau dalam
kedua-duanya, yaitu

A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}

Gambar 2.2 : A ∪ B

Contoh 2.9 :

S={ x|x