Logika Matematika Logika Matematika Logika Matematika

1
LOGIKA MATEMATIKA
I

PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA SERTA INGKARANNYA
A. Pengertian Pernyataan
Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak
sekaligus benar dan salah.

Contoh
Pernyataan
1. 2 bilangan prima ( benar )
2. Parabola y = x2 + 1 ,
terbuka
ke
bawah
( salah )

Bukan pernyataan
1. apakah 2 bilangan prima ?
2. selamat , kamu lulus

B. Kalimat terbuka, peubah / variabel , Konstanta dan Penyelesaian Kalimat
Terbuka.
Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang memuat peubah / variabel
sehingga belum dapat ditentukan benar atau salahnya.
Contoh
Kalimat terbuka x2 – x – 2 = 0 , x R
X disebut variabel
- 2 disebut konstanta
kalimat terbuka di atas benar untuk nilai x = ....
x2 – x – 2 = 0
( x – 2 )( x + 1 ) = 0
x = 2 atau x = - 1
jadi kalimat di atas benar untuk x = 2 atau x = - 1
x = 2 dan x = - 1 disebut penyelesaian kalimat terbuka x2 – x – 2 = 0, x R
C. Himpunan Penyelesaian suatu kalimat terbuka
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka x2 – 3x – 10 = 0 , x R
Jawab
X2 – 3x – 10 = 0

(x–5)(x+2)=0
x = 5 atau x = - 2
jadi himpunan penyelesaian   2,5
D. Negasi atau Ingkaran suatu pernyataan.
Diketahui suatu pernyataan ” p ” maka negasinya disimbolkan ” p ” atau ”
~p” dibaca ” non p ” atau ” bukan p ” atau ” tidak benar bahwa p ”
Untuk : jika p : 2 adalah bilangan prima maka p : 2 adalah bukan bilangan
prima atau tidak benar bahwa 2 adalah bilangan prima.
Jiak p bernilai benar maka p bernilai salah atau sebaliknya.

II KONJUNGSI , DISJUNGSI , IMPLIKASI DAN BIIMPLIKASI.
A. Konjungsi.
Kongjungsi adalah operasi dalam logika dengan tanda hubung ” DAN ” yang
disimbulkan ”  ”

Tabel kebenaran untuk konjungsi dua pernyataan
p
Q
B
B

B
S
S
B
S
S
Cara mengingat
Jika salah satu pernyataan bernilai salah maka konjungsi
itu bernilai salah

pq
B
S
S
S
dari dua pernyataan

Logika Matematika

2

B. Disjungsi.
Disjungsi adalah operasi dalam logika dengan tanda hubung ” atau ” yang
disimbolkan ”  ”

Tabel kebenaran untuk konjungsi dua pernyataan
p
Q
pq
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S

S
Cara mengingat
Jika salah satu pernyataan bernilai benar maka disjungsi dari dua pernyataan
itu bernilai benar.
Menentukan nilai x agar kalimat ” p(x)  q ” dan ” p(x)  q ” bernilai ” benar
atau salah ”
Contoh
1. tentukan nilai y agar pernyataan berikut bernilai benar : ” dua bukan
bilangan prima atau 2log y = 3 ”
jawab
Agar bernilai benar 2log y = 3 harus benar , 2log y = 3 benar untuk
y = 23 = 8
2. Tentukan nilai y agar pernyataan berikut bernilai salah : ” sin2 + cos2
= 1 dan cos y = 0,5 , y di kuadaran IV ”
Jawab
Agar bernilai salah maka cos y = 0,5 harus bernilai salah , maka cos y
= 0,5 yang benar y = 3000
Jadi agar salah maka y ≠ 3000
C. Implikasi ( pernyataan bersyarat ).
Diketahui dua pernyataan p dan q, implikasi dari p dan q disimbolkan dengan

” p q ”atau ” p  q ” ( p disebut sebab / alasan dan q disebut kesimpulan ).
Simbol / notasi ” p  q ” dibaca
1. jika p maka q
2. q jika p
3. p hanya jika q
4. p syarat cukup bagi q
5. q syarat perlu untuk p
Tabel kebenaran untuk implikasi ” p  q ”
P
Q
pq
B
B
B
B
S
S
S
B
B

S
S
B
Contoh
1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut :
2. Tentukan nilai x yang menyebabkan implikasi ” jika 2x + 1 = x – 2 maka 3x
+ 2 < 2x , x R ” bernilai benar
Jawab
3x + 2 < 2x  3x – 2x < - 2  x < - 2
catatan
jika p dan q masing – masing merupakan himpunan penyelesaian dari
kalimat terbuka p(x) dan q(x) pada himpunan semesta S, maka “ p(x) 
q(x) bernilai benar jika P  Q „
Implikasi Logis
Pada pernyataan majemuk “ p(x)  q(x) ” jika pada setiap pengantian nilai x
yang menjadikan kalimat p(x) benar akan menjadikan kalimat q(x) benar pula,
maka pernyataan majemuk ” p(x)  q(x) ” disebut implikasi logis.
Contoh
Jika x = 2 maka x – 2 = 0
D. Biimplikasi ( Implikasi dwiarah )

Diketahui pernyataan p dan q maka biimplikasi dari p dan q disimbolkan ”
pq ” atau ” pq ” yang dibaca :
Logika Matematika

3

1. p jika dan hanya jika q
2. jika p maka q dan jika q maka p disimbolkan ” (pq) (q  p) ”
3. p syarat perlu dan cukup bagi q
4. q syarat perlu dan cukup bagi p
Tabel kebenaran untuk ” p  q ” adalah
P
Q
pq
B
B
B
B
S
S

S
B
S
S
S
B
Biimplikasi dalam bentuk p(x)  q(x)
Biimplikasi p(x)  q(x) akan bernilai benar jika himpunan kalimat terbuka p(x)
dan q(x) adalah sama.
Contoh
Jika x = 1 maka 3x + 5 = 8 dan jika 3x + 5 = 8 maka x = 1
Biimplikasi logis
Biimplikasi logis p(x)  q(x) disebut biimplikasi logis jika nilai x sehingga p(x)
benar maka q(x) juga benar dan sebaliknya
Contoh
x  3 jika dan hanya jika 2x + 1  7
LEMBAR KEGIATAN SISWA ( PORTOFOLIO ).
Lengkapilah titik – titik berikut!
1. Tentukan nilai x agar pernyataan beikut benar !
a)

3

1
2 2

log x = 4 atau 3 .9
9


b) cos 2 0 dan 2 sin x = 1 , 0 < x < 900

c) jika sec x 

1
maka x 2  x  2 0
cos x

d) 36 kelipatan dari 3 jika dan hanya jika

x 1
0
2x  6

e) sin2x – cos2x = - 1 syarat prlu untuk tan x = 1 , 1800 < x < 2700
jawab

1
2 2

a) karena 3 .9
( salah ), maka 3log x = 4 harus benar. Agar benar
9

x ..... ..... ......

b) Agar benar 2 sin x = 1 ( harus benar ).
Sin x = .....
x = ............
c) Karena sec x 

1
( benar ) maka x2 – x – 2  0 harus benar
cos x

Agar benar x2 – x – 2  0
( x ..........)( x ...........)  0
jadi ......................
d) Karena 36 kelipatan dari 3 benar maka
Agar .................. ,

x 1
0 harus ...........
2x  6

x 1
0
2x  6

Harga nol : x = ............ atau x = ............
Jadi ............
e) Karena sin2x – cos2x = - 1 adalah ........... , tan x = 1 harus ...........
Agar ……………. Tan x = 1 maka x ……………

2. Lengkapilah tabel berikut
a)
p
q
~p

B
B
S
S

B
S
B
S

S
...
...
...

~p  q
...
...
...
...

~p  q
...
...
..
...

Logika Matematika

4

b)

p
B
B
S
S

c)

d)

e)

q
...
...
...
...
p
B
B
S
S

p
B
B
S
S
p
B
B
B
B
S
S
S
S

q
B
S
B
S
q
B
S
B
S

~q

r
…
S
…
…
B
…
…
…

p ~ q
...
...
..
...

~q  p
S
…
…
…

~q
S
…
…
…

~p
S
...
...
...
q
B
…
S
…
…
…
…
…

p ~ q
...
...
...
...

~q
S
...
...
...

~p q

~q

~q  p
…
…
…
…
~p~q

p~q

(~qp)~q
…
…
…
…
(~pq)(~p~q)

qr

(p~q)(qr)

3. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut
a) 2log 8 = 3 atau 3 bilangan komposit
b) jika sin2x + cos2 x = 1 maka sin 2  = - 1
c) 8x – 1 = 4 , x = 5/3 dan 48 4 3
d) log a + log b = log ab jika dan hanya jika ( 2log 3 )( 3log2 ) = 1
e) 5 bilangan prima syarat cukup bagi 5 bilangan ganjil.
Jawab
a) p  q ( B ) jika salah satu benar
p : 2log 8 = 2log 2... = ..... jadi ......
b) p : sin2 x + cos2 x = 1 adalah pernyataan ………..
q : sin 2 = sin ( ….)o = …… pernyataan ………..
jadi p  q adalah …………..

 x  1

c) p : 8 x  1 4  2 3
2....  2....  .... 2....  .... .....  x ..... ( …)
q : 48  (...)(....) ..... ..... ( …. )
jadi pernyataan p  q = ………
d) p : log a + log b = log ab ( ........)
q :( 2log 3 )( 3log 2 ) = ....log ........ = ...........( ..... )
jadi pq ( ......... )
e) p : 5 bilangan prima ( ......)
q : 5 bilangan ganjil ( ...... )
jadi p syarat cukup bagi q ( ...... )
E. Tugas
Logika Matematika

5
1. Buatlah lima contoh kalimat yang merupakan pernyataan dan tiga contoh
kalimat yang bukan pernyataan.
2. Buatlah masing – masing sebuah kalimat majemuk yang menggunakan
operasi kongjungsi , disjungsi, implikasi dan biimplikasi kemudian tentukan
nilai kebenarannya!
UJI MATERI 1
A Berilah tanda silang ( x ) pada huruf a, b , c , d atau e di depan jawaban yang
tepat.
1 Kalimat berikut merupakan pernyataan kecuali ...
a) Matahari terbit dari barat
b) Bunga melati berwarna putih
c) Log 10 = 2
d) Kamu sangat hebat.
e) Ngawi berada di jawa
2 Diketahui pernyataan p,q,r dengan p(B) ,q(S) dan r(B), pernyataan majemuk
berikut benar kecuali ...
a) ( p  q )  r
b) ( ~ p  q )  r
c) ( p  r ) q
d) ( ~ p  q ) r
e) ( ~ r  p ) ~ q
3 diberikan empat pernyataan p, q , r dan s jika pernyataan p q , q  r dan r 
s adalah salah maka pernyataan berikut benar kecuali ...
a) ~s
b) ~p
c) ~p ~ q
d) p  q
e) ~ s  ~ p
4 agar pernyataan berikut bernilai salah ” jika 2log a + 2log b = 2 log ab maka x2
+ 3x – 4 ≤ 0 ” nilai x adalah ...
a) – 4 ≤ x ≤ 1
b) x ≤ - 4 atau x  1
c) x < - 4 atau x > 1
d) – 4 < x < 1
e) x < - 1 atau x > 4
5 jika p(B), ~ q (B) dan ~ r (S) maka pernyataan berikut yang bernilai benar
adalah .
a) ( p  q )  r
b) ( p  ~ q
c) p  ( q  r )
d) p  ( q  r )
e) p  ( ~ q  ~r )
6

p
B
B
S
S

7

q
B
S
B
S

~p

~p  q

Nilai kebenaran dari kolom ke 4 adalah ....
a. BBSB
b. BBBS
c. BSBB
d. SBSB
e. SBBB
Diketahui pernyataan p bernilai benar dan q bernilai salah , maka :
1. ~ p  q
2. ~ p  ~ q
3. q  p
4. ~ q  p
Pernyataan di atas yang benar adalah ...
a) 1,2 dan 3
b) 1 dan 3
Logika Matematika

6
c) 2 dan 4
d) 4 saja
e) semua benar
8 Agar pernyataan berikut bernilai benar ” 2 bilangan komposit atau x 2 – 2x – 3
= 0 ” maka nilai x = ....
a) 3 atau – 2
b) – 3 atau 2
c) 3 atau 2
d) 1 atau – 2
e) 3 atau – 1
9 jika pernyataan p benar, q salah dan s benar, maka pernyataan berikut yang
bernilai benar adalah ...
a) ( p  q )  s
b) (~ p  q )  s
c) ( p  q )  s
d) p  ( q  ~ s )
e) ( q  s )  ~ p
10 Negasi dari pernyataan ” semua siswa SMA tidak suka belajar ” adalah ...
a) semua siswa SMA suka belajar
b) ada siswa SMA tidak suka belajar
c) Tidak semua siswa SMA suka belajar
d) Ada siswa SMA suka belajar
e) Tidak ada siswa SMA suka belajar
11 Jika pernyataan p(B) , q(B) dan r(S) maka pernyataan
(1) ( p  q ) r
(2) ( p  ~q ) ~ r
(3) (r  p ) ~ q
(4) ( q  r )  p
yang bernilai benar adalah ...
a) 1 , 2 dan 3
b) 1 dan 3
c) 2 dan 4
d) 4 saja
e) semua benar
12 jawaban kolom terakhir dari tabel dibawah ini adalah ...

p
B
B
S
S
a)
b)
c)
d)
e)

q
B
S
B
S

p~q

~q

SBSB
SBBS
SBSS
BBBB
SBBB

3
13 Agar pernyataan berikut ” sin 2  1 dan 3log ( x + 5 ) = 2 ” bernilai benar,
nilai x = ...
a) 9
b) 6
c) 4
d) 3
e) 2
14

p
B
B
S
S

q
B
S
B
S

pq

p  (pq)

Nilai kebenaran pada kolom terakhir adalah ....
a) SSBB
b) BSSS
Logika Matematika

7
c) SSBS
d) SBSB
e) SBBB
15 Kalimat untuk kolom terakhir pada tabel di bawah adalah ....

p
B
B
S
S
a)
b)
c)
d)
e)
B

q
B
S
B
S

pq
~p
~p
~q
q~

~p

….
B
B
B
S

q
~q
p
p

. Jawablah soal – soal berikut dengan benar!
1 Diketahui pernyataan p(B), ~q(B) dan r(S) tentukan nilai kebenaran dari
pernyataan majemuk berikut :
a) ( p  q ) ~ r
b) ~ p ( q  r )
c) ~r ( p  q )
d) ( q  r )  p
e) ( ~ q  p )( r  q )
f) ( p  ~ q )  r
2 Diketahui ketiga pernyataan berikut bernilai benar p  ~ q , q  r dan r  s.
Jika p bernilai benar, maka tentukan nilai kebenaran dari
a) q
b) r
c) s
d) ~ r  s
3 Tentukan nilai x agar pernyataan berikut benar !
a) 2log 8 = 3 dan xlog 5 = 1
b) jika 25 bilangan kuadrat maka 2x2 – x – 1 = 0
c) 6 adalah faktor dari 86 atau 2 sin x = 1 , 0 ≤ x ≤ 

4


d) sin 2 0 jika dan hanya jika 2log 32 = x
e) jika log 100 = 2 maka 2log 2log x = 2
Lengkapilah tabel berikut :
a)
p
q
~p

b)

c)

B
B
S
S

...
...
...
...

...
...
...
...

p
B
B
S
S

q
...
...
...
...

~q

p
B
B
B
B
S
S
S
S

q
...
...
...
...
...
...
...
...

r
...
...
...
...
...
...
....
....

...
...
...

~pq
...
...
...
...

(~pq)p
...
...
..
...

p ~ q
...
...
...
...

q ( p ~ q )
...
...
..
...

qr
...
...
...
...

p ( q r )
...
...
..
...
...
...
...
....

Logika Matematika

8

d)

e)

5

p
B
B
B
B
S
S
S
S

q
B
B
S
S
B
B
S
S

p
B
B
S
S

q

r
B
S
B
S
B
S
B
S

~p

qr
...
...
...
...

~q

p ( q  r )
...
...
..
...

q~p

p~q

(q~p)(p~q)

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut !
a) Sin  = 0 atau sin2 x – cos2 x = 1
b) Jika 5 bilangan komposit maka 5 bilangan ganjil
c) 15 kelipatan 5 jika dan hanya jika 15 bilangan prima

d) cos 1 dan log 10 = 1
2

e) jika log 1 = 0 maka log 0,1
III PERNYATAAN MAJEMUK.
A. Pengertian
Pernyataan majemuk adalah yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal
( komponen ) yang dipakai dengan menggunakan kata hubung logika.
Contoh
~pq
(pq)r
B. Pernyataan majemuk yang ekuivalen.
Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika untuk semua kemungkinan
nilai kebenaran komponen – komponen selalu mempunyai nilai kebenaran
yang sama.
Contoh

Perhatikan tabel berikut !
p
B
B
S
S

q
B
S
B
S

~p
S
S
B
B

~pq
B
S
B
B

pq
B
S
B
B

Kolom 3 dan 4 bernilai sama sehingga ( ~ p  q ) ekuivalen dengan p  q
yang ditulis ( ~ p  q )  p  q
Sifat – sifat operasi dalam logika
1. Komutatif
:pqqp
pqqp
2. Assosiatif
:p(qr)(pq)r
p ( q  r )  ( p  q )  r
Logika Matematika

9
:p(qr)(pq)(pr)
p ( q  r )  ( p  q )  ( p  r )
4. De Morgan
:~(pq)~p~q
~(pq)~p~q
5. Ingkaran rangkap
:~(~p)p
6. Idempoten
:ppp
ppp
7. Identitas
:pBB
pSp
pBp
pSS
8. Kesetaraan
:(~pq)pq
p  q  ( p  q )( q  p )
9. Komplemen
:p~pB
p~pS
10. Tautologi
Sebuah kalimat majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua
kemungkinan nilai kebenaran
Contoh
( p  q )  p selalu bernilai B
11. Kontradiksi
Sebuah kalimat yang benilai salah untuk semua kemungkinan nilai
kebenaran misalnya ~ p  ~ ( p  q )
C. Ingkaran / negasi Konjungsi , Disjungsi , Implikasi dan Biimplikasi.
1. ~ ( p  q )  ~ p  ~ q
2. ~ ( p  q )  ~ p  ~ q
3. ~ ( p  q ) p  ~ q
4. ~ ( p q )  ( p  ~ q )( q  ~ p )
3.

Distributif

IV HUBUNGAN KONVERS , INVERS DAN KONTRAPOSISI.
Jika diketahui implikasi p  q maka :
1. Konvers
:qp
2. Invers
:~p~q
3. Kontraposisi : ~ q  ~ p
p
q
p q
qp
~p~q
~q~p
B
B
B
B
B
B
B
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
S
B
B
B
B
Dari di atas disimpulkan bahwa
pq~q~p
~p~qqp
contoh
1. tentukan negasi dari invers implikasi ” jika ibu pergi ke pasar maka adik
menangis”
jawab
invers ” Jika ibu tidak pergi ke pasar maka adik menangis ”
Negasinya ” Ibu tidak pergi ke pasar dan adik tidak menangis ”
2. Tentukan kontraposisi dari konvers implikasi ” p ( q  ~ r ) ”
Jawab
Konvers ( q  ~ r ) p
Kontraposisi dari konversnya ~ p  ( ~ q  r )
Ternyata kontraposisi dari konvers implikasi sama dengan invers dari implikasi
tersebut

V PERNYATAAN BERKUANTOR.
A. Kuantor universal ( umum )
Logika Matematika

10
Kata yang digunakan : semua , setiap , seluruhnya
Simbol yang dipakai ” Ax ” atau ” x ” dibaca ” setiap x ”
Contoh semua siswa SMA berseragam OSIS
B. Kuantor eksistensial ( khusus )
Kata yang digunakan : ada , beberapa , sebagian , terdapat
Simbol yang dipakai ” Ex “ atau “ x “ dibaca “ ada x “
Contoh ada bilangan prima yang genap
C. Negasi pernyataan berkuantor.
1. Diketahui pernyataan p : ” x P(x) ” dibaca ” setiap x berlaku sifat P(x) ”
maka ~ p : Ex ~P(x) dibaca ” ada x yang tidak berlaku sifat P(x) ”
2. Diketahui pernyataan q : ”Ex Q(x) ” dibaca ” ada x berlaku sifat Q(x) ”
maka ~ q : ” Ax ~Q(x) ” dibaca ” setiap x berlaku sifat bukan Q(x) ”
Contoh
p : semua warga menginginkan pemimpin yang tidak korupsi
~ p : ada warga yang menginginkan pemimpin yang korupsi
q : Beberapa bilangan ganjil habis dibagi 3
~ q : semua bilangan ganjil tidak habis dibagi 3
LEMBAR PORTOPOLIO
1. Tentukan konvers , invers dan kontraposisi dari implikasi
a) Jika bulan bersinar terang maka langit cerah sekali
b) ( p  q ) r
c)

cos 3 0,5 atau nilai maksimum y = cos ax adalah 1
2

d) ~ p  q
jawab
a) konvers
invers
kontraposisi
b) konvers r ( p  q )
invers
kontraposisi
3
c) diubah dulu menjadi : jika cos 2 0,5 maka ......
konvers
invers
kontraposisi
d) diubah dulu menjadi : ~ p  q  .... .......
konvers
invers
kontraposisi
2. Tentukan nilai dari pernyataan majemuk berikut !
a) q  ~ p
b) ~ q  ( ~ q  p )
c) ( p  q )  ~ p
d) ( p  ~ r )  q
jawab
a) karena ada 2 pernyataan maka tabelnya terdiri 4 baris
p
q
~p
q~p
B
B
B
S
S
B
S
S

b)

c)

p
B
B
p
B

q

~qp

~q(~qp)

B
S
q

~qp

~q(~qp)

S

Logika Matematika

11

d) Karena ada 3 pernyataan maka tabelnya terdiri 8 baris

p
B
B
B
B
S
S
S
S

q
B
B
...
..
B
..
..
S

r
B
S
..
..
..
..
..
..

3. Tunjukkan pernyataan majemuk berikut, apakah merupakan tautologi ,
kontradiksi atau bukan keduanya.
a) q  ( p  q )
b) (( p  q )  ~ p ) q
c) ( p  q ) p
d) ( p  q ) ( ~ p  q )
jawab
a) q  ( p  q )
cara 1
dengan sifat – sifat operasi logika
q(pq)~p(pq)
 ( ~ p  p )  ...
 B  ...
 ....
cara 2
dengan tabel kebenaran

p
B
B
S
S

q

pq

q(pq)

Karena kolom terakhir bernilai ........... semua maka tautologi
b) (( p  q )  ~ p ) q
dengan tabel kebenaran

p
B
B
S
S

q

~p

pq

(p  q ) ~ p

c) ( p  q ) p
dengan tabel kebenaran

p
B
B
S
S

p q

q

(( p  q )  ~ p ) q

( p  q ) p

d) ( p  q ) ( ~ p  q )
dengan tabel kebenaran

p
B
B
S
S

q

(~pq)

( p  q ) ( ~ p  q )
Logika Matematika

12

4. Tentukan negasi dari pernyataan
a) Jika semua bilangan prima ganjil maka 2 bukan bilangan prima
b) Gajah tidak punya taring dan kucing mengeong
c) Bulan bersinar di malam hari atau 4 faktor dari 24
d) ( ~ p  q ) r
e) p  q
jawab
a) Negasi dari p  q adalah ...
Jadi negasi pernyataan di atas adalah ....
b) ~ ( p  q ) = ....
jadi negasinya ...
c) ~ ( p  q )  ...
jadi negasinya
d) ~ (( ~ p  q ) r ) = ......
e) ~ (p  q ) = .....
UJI MATERI 2
A. Berilah tanda silang pada huruf a , b , c , d atau e pada jawaban yang benar !
1. Negasi dari pernyataan p  ~ q adalah ..
a) p  q
b) ~ p  ~ q
c) ~ p  q
d) p  ~q
e) p  q
2. Ingkaran dari pernyataan ” semua siswa SMA 1 teladan tidak suka membolos
”
a) Tidak ada siswa SMA 1 teladan suka membolos
b) Ada siswa SMA 1 teladan tidak suka membolos
c) Semua siswa SMA 1 teladan suka membolos
d) Ada siswa SMA 1 teladan suka membolos
e) Semua siswa SMA 1 teladan rajin belajar
3. invers dari konvers implikasi ( ~ p  q )  r adalah ...
a) ( p ~q ) ~ r
b) r  ( ~ p  q )
c) ~ r  ( ~ p  ~ q )
d) ~ r  ( p  ~ q )
e) ~ r  ( ~ p  ~ q )
4. Bentuk p ( q ~ p ) ekuivalen dengan :
1. ( ~ q  p )  ~ p
2. ~ p  ( q  ~ p )
3. ~ p  q
4. ~ p  ( ~ q  p )
pernyataan yang benar adalah ...
a) 1 , 2 dan 3
b) 1 dan 3
c) 2 dan 4
d) 4
e) semua salah
5. Negasi kontraposisi implikasi : jika rina sakit maka semua orang susah
adalah ...
a) Jika rina tidak sakit maka semua orang tidak susah
b) Jika rina sakit maka ada orang tidak susah
c) Ada orang susah dan rina tidak sakit
d) Ada orang tidak susah dan rina sakit
e) Semua orang tidak susah atau rina sakit
6. konvers dari implikasi ” ( ~ p  q ) ~q ” adalah ..
a) ( p `~ q )  q
Logika Matematika

13
b) ( p `~ q )  ~ q
c) ~(~ p  q )  q
d) ~ p  q
e) p  q
7. pernyataan berikut yang bernilai salah adalah ...
a) ~ ( p  ~q )  ~ p  q
b) ~( p  ~ q )p  ~ q
c) ( p q) ~ q  p  ~ q
d) ( p  ~ q )  p  p  ( p  ~ q)
e) ~p  q  p  q
8. pernyataan majemuk berikut yang merupakan kontradiksi adalah ...
a) ( p  q ) ( p  q )
b) p  ( ~ p  q )
c) ( p  q )  p
d) q  ( p  ~ q )
e) ( p  ~ q )  p
9. negasi dari invers implikasi ” ~ p  q ” adalah ...
a) ~ p  ~ q
b) ~ p  q
c) ~ p  q
d) p  q
e) p  q
10.Negasi dari pernyataan “ jika Nafila tidak rajin belajar maka semua temannya
tidak senang “ adalah ....
a) Jika nafila belajar maka semua temannya senang
b) Jika nafila tidak rajin belajar maka ada temannya senang
c) Nafila rajin belajar dan ada temannya senang
d) Nafila tidak rajin belajar dan ada temannya senang
e) Nafila tidak rajin belajar atau ada temannya senang
11.pernyataan ( p  q )  ( ~ q  p ) memiliki nilai kebenaran yang sama
dengan ...
a) BBSS
b) BBBS
c) SSBB
d) Tautologi
e) Kontradiksi
12.invers dari ” ( p  ~ q )  ~ p ” adalah ...
a) ( p  ~ q )  p
b) ( p  ~ q )  p
c) ~ p  q
d) p  ~ q
e) p  ~ q
13.negasi dari ~ p  ( ~ q  r ) adalah ...
a) p  ( q  ~ r )
b) p  ( q  ~ r )
c) ~ p  ( q  ~ r )
d) ~ p  ( q  ~ r )
e) p  ( ~ q  r )
14.diketahui tiga pernyataan berikut bernilai benar p  q , q  ~ r dan ~ r  s.
Jika nilai kebenaran p benar, maka pernyataan berikut yang bernilai benar
adalah ...
a) r  s
b) p  r
c) r  p
d) r  ~ q
e) q  r
15.konvers dari pernyaaan p  q adalah ...
a) ~ p  q
b) p  q
c) ~ p  q
Logika Matematika

14
d) q  ~ p
e) ~ q  ~ p
16.pernyataan berikut bernilai benar kecuali ...
a) ~ ( p  q )  ~ p  ~ q
b) ( p  q )  ~ q  p  ~ q
c) ~ ( p  ~ q )  ~ p  ~ q
d) ~ ( p  q )  p  ~ q
e) ~ ( p  ~ q )  p  q
17.jika pernyataan p(B ) dan p  ~ q ( S ) maka pernyataan berikut :
1. p  q
2. ~ p  ~q
3. ~ p  ~ q
4. ( p  q )  ~ p
yang benar adalah ...
a) 1 , 2 , 3
b) 1 , 3
c) 2 , 4
d) 4
e) semua benar
18.Pernyataan p  ( ~ p  q ) ekuivalen dengan ...
a) ~ p  ( ~ p  q )
b) p  ( p  ~ q )
c) ~ p ( ~ p  q)
d) ~ p  ( ~ p  q )
e) p  ( ~ p  q )
19.Pernytaan berikut selalu bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran kecuali ...
a) P  ~ p
b) ~ ( p  ~ p )
c) ( p  q )  p
d) ~ p  ~ ( p  q )
e) ( p  ~ q )  ~ q
20.Negasi dari pernyataan ” jika Khurin pandai menyanyi maka semua orang
senang” adalah ...
a) Jika khurin tidak pandai menyanyi maka semua orang tidak senang
b) Jika khurin tidak pandai menyanyi maka ada orang yang senang
c) Jika semua orang tidak senang maka khusin pandai menyanyi
d) Khurin pandai menyanyi dan ada orang tidak senang
e) Khurin tidak pandai menyanyi dan semua orang senang
B. Jawablah soal berikut dengan benar !
1. Tentukan konvers , invers dan kontraposisi dari
a) ( p  q )  ~ r
b) ~ p  q
c) jika semua siswa naik kelas maka ada guru yang tidak senang
d) Harminingsih suka menyanyi atau semua orang senang
2. Manakah yang merupakan tautologi, kontradiksi atau bukan keduanya dari
kalimat majemuk berikut ?
a) ( ~ p  q )  ~ p
b) ( p  q )  ( ~ p  q )
c) ( p  ~ q )  q
d) p  ( ~ q  p )
e) ( p  q )  ~ q
f) ( p  ~ q )  ( q  ~ p )
g) ~ p  ~ ( p  q )
3. Tentukan negasi dari invers implikasi berikut :
a) Jika 4 + 3 > 5 maka semua bilangan prima adalah ganjil
b) ( p  ~ q )  ~ p
c) Taufik menang lomba jika ia bersemangat tinggi
4. Buktikan ekuivalen berikut !
a) ( p  q )  r  ( p  r )  ( q  r )
b) p  ( q  r )  ( p  q )  r
Logika Matematika

15
c) ( p  q )  ( p  r )  p  ( ~ q r )
d) ( p  ~ q )  ~ p  p  q
e) p  ~ q  ( p  ~ q )  ( q  p )
5. tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut :
a) ( ~ p  q )  ( p  q )
b) p  ( ~ q  p )
c) ( ~ p  q )  r
d) ( p  ~ q )  ( ~ r  q )
VI PENARIKAN KESIMPULAN.
Penarikan kesimpulan dai suatu argumen didasarkan dari beberapa pernyataan
yang benar ( disebut premis ) sehingga didapatkan suatu kesimpulan ( konklusi )
yang benar.
Suatu argumen dikatakan sah ( valid ) jika dapat dibuktikan konjungsi dari premis
–premisnya adalah benar atau merupakan sebuah tautologi.
Cara sederhana untuk membukikan suatu argumen itu sah ( valid ) atau tidak
adalah dengan bantuan tabel kebenaran
Contoh
Selidiki apakah penarikan kesimpulan berikut valid
Luthfi tidak rajin belajar atau ia naik kelas
Luthfi rajin belajar
Kesimpulan luthfi naik kelas
Jawab
Misal
p = luthfi rajin belajar
q = luthfi naik kelas
sehingga kalimat di atas dapat disimbolkan
premis 1 : ~ p  q
(B)
premis 2 : p
(B)
konklusi : q
(B)
Perhatikan tabel kebenaran ( ( ~ p  q )  p )  q berikut !
p
q
~p
(~pq)
(~pq)p
((~pq)p)q
B
B
S
B
B
B
B
S
S
S
S
B
S
B
B
B
S
B
S
S
B
B
S
B
Dari tabel terlihat bahwa ( (~ p  q ) p ) q merupakan tautologi
kesimpulan dari di atas valid
Berbagai pola penarikan kesimpulan
A Modus ponen
Premis 1
:pq
(B)
Premis 2
:p
(B)
Konklusi
:q
(B)
B Modus tollens.
Premis 1
:pq
(B)
Premis 2
:~q
(B)
Konklusi
:~p
(B)
C Silogisma.
Premis 1
:pq
(B)
Premis 2
:qr
(B)
Konklusi
:pr
(B)
D Silogisme disjungtif
Premis 1
:pq
(B)
Premis 2
:~q
(B)
Konklusi
:p
(B)
E Kombinasi dua argumen modus ponens ( dilema konstruktif ).
Premis 1
: (pq)(rs)( B )
Premis 2
:pr
(B)
Konklusi
:qs
(B)
F Kombinasi dua argumen modus tollens ( dilema destruktif ).
Premis 1
: (pq)(rs)( B )

jadi

Logika Matematika

16
Premis 2
Konklusi
G

:~q~s
:~p~r

Konjungsi.
Premis 1
:p
Premis 2
:q
Konklusi
:pq
Addition ( penambahan )
Premis 1
:p
Konklusi
:pq

H

(B)
(B)

(B)
(B)
(B)
(B)
(B)

Catatan
Untuk membuktikan suatu argumen dari beberapa premis, bentuklah ke polapola penarikan kesimpulan diatas, jika ternyata sulit gunakan tabel kebenaran
Contoh
Apakah penarikan kesimpulan berikut valid ?
Premis 1 : ~ p  q
(B)
Premis 2 : p  q
(B)
Konklusi : q
(B)
Bukti dengan tabel

p
B
B
S
S

q
B
S
B
S

~p
S
S
B
B

~p  q
S
S
B
S

p q
B
S
B
B

q
B
S
B
S

((~pq)(pq))q
B
B
B
B

Pada tabel diatas pada kolom terakhir menunjukkan tautologi karena nilai
kebenaran B semua sehingga argumen valid
VII BUKTI LANGSUNG DAN TAK LANGSUNG.
Sebuah rumus / dalil / teorema dapat dibuktikan kebenarannya dengan
mengambil kesimpulan yang didasarkan pada pernyataan – pernyataan yang
benar ( misalnya definisi , aksioma atau sifat ) dan dari dalil – dalil lain yang telah
dibuktikan benar.
A Bukti langsung.
Cara penarikan kesimpulan dengan silogisma , modus ponen , modus tollen
dan lain – lain seperti di atas merupakan contoh – contoh bukti langsung
Contoh
Buktikan bahwa untuk semua a dan b  R maka berlaku ( a – b ) 2 = a2 – 2ab +
b2
Jawab
( a – b )2 = ( a – b )( a – b )
( definisi perpangkatan )
= a(a - b) – b( a – b )
( distributif perkalian )
= a2 – ab – ba + b2
( distributif perkalian )
= a2 – ab – ab + b2
( komutatif pekalian )
= a2 – 2ab + b2
( definisi penjumlahan )
B Bukti tak langsung.
Jika akan membuktikan kebenaran sebuah pernyataan tunggal p maka
dilakukan dengan cara kontradiksi yaitu dengan membuktikan ~ p salah.
Karena ~ p salah maka p haruslah benar.
Contoh
Dengan bukti tak langsung buktikan kebenarannya :
1.
3 adalah bilangan irrasional
jawab
misal p : 3 adalah bilangan irasional
~ p: 3 bukan bilangan irasional
~ p bernilai salah jadi pastilah p benar
2. jika n genap maka n2 genap n  bilangan bulat.
Jawab
Misal p : n genap
q : n2 genap
jadi p  q ( implikasi )
Logika Matematika

17
akan dibuktikan kontraposisinya ~ q  ~ p benar
yaitu jika n2 bukan bilangan genap maka n bukan bilangan genap
jelas bahwa ~ q  ~ p benar jadi p  q benar
VIII

BUKTI DALAM MATEMATIKA DENGAN INDUKSI MATEMATIKA
1. pengertian induksi matematika.
Induksi matematika adalah proses pembuktian teorema / pernyataan dari
kasus-kasus khusus yang harus berlaku untuk setiap bilangan asli.
2. Langkah – langkah pembuktian dengan induksi matematika
a) Dibuktikan apakah benar teorema tersebut berlaku untuk n = 1 ( bilangan
asli terkecil ) pada kasus tertentu pengambilan n tidak harus 1
b) Dianggap teorema tersebut benar untuk n = k , k  A
c) Dibuktikan apakah teorema tersebut benar untuk n =k+ 1 jika benar maka
disimpulkan teorema tersebut berlaku untuk semua nilai n.
Contoh
Dengan induksi matematika buktikan bahwa untuk nA berlaku 2 + 4 + 6 + ..
+ 2n = n2 + n
Jawab
 untuk n = 1
ruas kiri 2n = 2.1 = 2
ruas kanan n2 + n = 1 + 1 = 2 jadi benar
 untuk n = k dianggap benar, sehingga berlaku 2 + 4 + 6 + ...+ 2k = k 2 +k
 akan dibuktikan apakah benar untuk n = k + 1
2 + 4 + 6 + ....+ 2k + 2 ( k + 1 )
= k2 + k + 2 ( k + 1 )
2
= k + k + 2k + 2
= k2 + 3k + 2
= k2 + 2k + 1 + k + 1
= ( k + 1 )2 + ( k + 1 )
jadi terbukti benar untuk 2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 ( k+1 ) = ( k + 1) 2 +
( k+ 1 )

LEMBAR PORTOFOLIO
A isilah titik – titik di bawah dengan jawaban yang benar!
1 Dari premis-premis berikut, tentukan kesimpulannya
a) p ~ q
(B)
q
(B)
.....
b) ~ p  q
 ..........
kesimpulan ................
~ r  ~ q  ..........
................
p
p
...............................
................
c) ( p  q )  r  ..........
~ s  ~ r  ..........
s t
 ..........
2

kesimpulan ............
............
.............

dengan induksi matematika buktikan bahwa yang berikut berlaku untuk
semua x bilangan asli
a) 3 + 6 + 9 + 12 + .........+ 3n = ½ n (3 + 3n )
b) 34n – 1 habis dibagi 80
c) 2n > n
jawab
a) 3 + 6 + 9 + ....+ 3n = ½ n ( 3 + 3n )
* untuk n = 1
ruas kiri 3n = 3 . 1 = 3
ruas kanan ½ n ( 3 + 3n ) = ½ ( 3 + ........) = ........
jadi benar
* dianggap benar untuk n = k
jadi 3 + 6 + 9 + ..........+ ........= ½ k ( ........... )
* apakah benar untuk n = k + 1
3 + 6 + 9 + ..........+ 3k + 3( k+1 ) = ½ ( k + 1 )( ....... + .........)
ruas kiri
3 + 6 + 9 + ..........+ 3k + 3( k+1 )
Logika Matematika

18
½ k ( .......... + ...........) + 3 ( k+1 )
...................................................
...................................................
................................................... = ruas kanan
b) 34n




c) 2n





3

– 1 habis dibagi 80
untuk n = 1 maka 34 – 1 = 80 habis dibagi 80
dianggap benar untuk n = k jadi 34k – 1 habis ...............
akan ditunjukkan apakah benar untuk n = k + 1
34( k + 1 ) – 1 apakah habis dibagi 80 ?
3 ..... – 1
= ( 3 ...... - 1 ) - ...........
...................... = ............................
jadi ................
>n
untuk n = 1 
dianggap benar untuk n = k jadi 2k > k
apakah benar untuk n = k + 1  2 k + 1 > ..........
bukti 2k + 1 = 2 .... 2..... > 2k karena 2k > k
2.... 2.... > k + k  k + 1 karena k  1
jadi ................

Buktikan sah atau tidak penarikan kesimpulan berikut :
a) ~ q  ~ p
(B)
b) p  q ( B )
c) p  q ( B )
~qr
(B)
q
(B)
~p
(B)
p  r
(B)
p
(B)
 ~q
(B)
jawab
a. ~ q  ~ p  p  ..... silogisme
~qr
 .... .....
sehingga
p r (B)
b. dengan tabel
p
q
pq
( p  q )  q
p q  p
B
B
B
B
S
S
b) p  q ( B )
~p
(B)
~q (B)
akan dibuktikan apakah ( p  q ) ( ~ p ) ~ q merupakan tautologi
( p  q )  ~ p  ~q
( p  ~ p )  ( q  ...... )  ~ q
...............  ( q  ........ )  ~ q
..............................  ~ q
~ ( ....................... )  ~ q
.............................  ~ q
..........................................
jadi .............................

UJI MATERI 3
A Berilah tanda silang ( x ) pada huruf a , b , c , d atau e di depan jawaban yang
benar!
1 Diketahui 3 premis seperti berikut
1) p  q ( B )
2) ~ q  r ( B )
3) ~ r
(B)
kesipulan dari 3 premis di atas adalah ...
a) p
b) p  ~ r
c) q
d) ~ p
e) ~ q
Logika Matematika

19
2

3

4

5

6

7

Diketahui premis – premis ” jika amerika marah maka dunia geger, ternyata
amerika marah ” maka kesimpulan yang dapat diambil adalah ..
a) Dunia marah
b) Dunia tidak geger
c) Jika dunia geger maka amerika marah
d) Dunia geger
e) Dunia tidak marah
Argumen berikut yang tidak sah adalah ...
a) p  q
p
q
b) ~ p  q
~p
~p
c) p  q
q
p
d) p  q
q~r
p~r
e) p  q
qr
~pr
jika premis 1 : ( p  q )  ( r s ) ( B )
jika premis 2 : p  r
(B)
maka konklusinya adalah ....
a) p  q
b) p  r
c) q  s
d) q  s
e) q  r
Diketahui premis 1 : ~ p  q ( B )
Premis 2 : ~ p  r ( B )
Premis 3 : ~ ( ~ s  r ) ( B )
Konklusinya adalah …
a) ~ s
b) ~ q  ~ s
c) q  s
d) q  ~ s
e) ~ q  s
diketahui premis – premis berikut :
premis 1
:(pq)(rs) (B)
premis 2
: pr
(B)
premis 3
: ~q
(B)
kesimpulan dari ketiga premis di atas adalah ...
a) p  q
b) ~ p
c) ~ s
d) s
e) p  ~ s
diketahui penarikan kesimpulan :
premis 1
:~p(qr)
premis 2
:q~r
konklusi
: p
akan benar jika , jika
1. q diganti ~ q pada premis 2
2. ~ r diganti r pada premis 2
3. p diganti ~ p pada konklusi
4. ~ diganti p pada premis 1
jawaban yang tepat adalah ...
a. 1 , 2 , 3
Logika Matematika

20

B

b. 1 , 3
c. 2 , 4
d. 4
e. semua
8 Ali jago tinju atau ia jago gulat, ternyata ali tidak jago tinju. Kesimpulan dari
pernyataan di atas adalah ...
a) Ali tidak jago tinju
b) Ali jago tinju
c) Ali tidak jago gulat
d) Ali jago gulat
e) Ali jago tinju dan gulat
9 Diketahui beberapa premis berikut :
(1) Jika ifah terlambat masuk sekolah maka pak guru marah
(2) Pak guru tidak marah atau semua siswa takut
(3) Ada siswa tidak takut
Kesimpulan dari premis (1 ) , ( 2 ) dan ( 3 ) adalah ...
a. ifah terlambat masuk sekolah
b. jika ifah terlambat masuk sekolah maka semua siswa takut
c. pak guru marah
d. ifah tidak terlambat masuk sekolah
e. ifah tidak takut
10 diketahui p dan q adalah suatu pernyataan dari penarikan kesimpulan
berikut :
1 pq
2 pq
3 pq
~q
pr
p
~p
qr
q
yang sah adalah ...
a) 1 saja
b) 1 dan 2
c) 1 dan 3
d) 2 dan 3
e) 1 , 2 dan 3
Jawablah soal – soal di bawah ini dengan singkat dan benar !
1 Buktikan sah atau tidak penarikan kesimpulan berikut
a) p  q
(B)
~q
(B)
p
(B)
b) p  q
(B)
q
(B)
p
(B)
c) p  q
(B)
~qr
(B)
~r
(B)
~p
(B)
d) q  ~ p ( B )
q
(B)
p
(B)
e) ~ p  q
(B)
r~q
(B)
r~s
(B)
p~s (B)
f) p  q
(B)
qr
(B)
pr
(B)
2 dengan induksi matematika buktikan pernyataan berikut !
a) 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + .....+ n . ( n + 1 ) = 1/3 n ( n + 1 )(n + 2 ) n  A
n

b)

 4 k  1  13 (4 n  1), n  A

k 1
n

c)

 (n  1).2 n  1 n.2 n , n  A

k 1

d) k2 + 1 habis dibagi 2 , k  bilangan ganjil
Logika Matematika

21
e) n ( n + 1 ) habis dibagi 2 . n  A
f)

1.2.3 + 2 .3 . 4 + 3.4.5 + ...+ n (n+1)(n+2)= 1
n ( n+1 )( n + 2 )( n + 3 )
4
n

g)

 2n  1 n 2  2n

k 1

3

4

5

dengan menggunakan bukti langsung, buktikan kebenaran tiap pernyataan
berikut:
a) untuk semua a dan b  R maka ( a – b )2 = a2 – 2ab + b2
b) jika 3x – 2 = 1 maka x2 + 4x – 5 = 0 , x R
c) untuk semua sudut x maka a + cos x > 0
Tentukan kesimpulan dari premis – premis berikut
a) p  ~ q
(B)
q
(B)
b) p ~ q
(B)
pr
(B)
~r
(B)
c) ( q  ~ r )  p
(B)
~p
(B)
d) p  ~ q ( B )
qr
(B)
s~r
(B)
dengan menggunakan bukti tak langsung atau langsung , buktikan tiap
pernyataan berikut !
a) ( cos x + sin x ) 2 = 1 + 2 sin x cos x
b) jika n2 bilangan bulat genap maka n bilangan genap
c) buktikan bahwa 2 adalah irrasional
d) jika x2 + 3x – 4 < 0 maka – 4 < x < 1

Logika Matematika