Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI
1
BAB I MODEL PEMBELAJARAN MATEMATIKA
2
PROBLEM SOLVING
2
PAIKEM
5
KONSTRUKTIVISME
6
BAB II TEORI BELAJAR
10
BRUNER
11
DIENES
14
PIAGET
17
BAB III PEMBELAJARAN REALISTIK
24
METODE HORIZONTAL
25
METODE MATHMAGIC
35
METODE VEDIC
48
METODE TULANG NAPIER
51
METODE PETANI RUSIA
51
BAB IV KARAKTERISTIK PROBLEM SOLVING
DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA
54
KPK
55
FPB
56
BAB V KRITERIA PROBLEM SOLVING
61
BANGUN DATAR
65
BANGUN RUANG
72
BAB VI LANGKAH-LANGKAH POLYA
PENGUKURAN
BAB VII STRATEGI PEMECAHAN PROBLEM SOLVING
74
75
77
DISKUSI METODE JIGSAW
78
DISKUSI PEMBELAJARAN Numbered Head Together (NHT)
80
DISKUSI PEMBELAJARAN STAD
82
STATISTIK
86
1
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
BAB I
MODEL PEMBELAJARAN
a. Problem Solving
Pengertian
Sebelum memberikan pengertian tentang pengertian problem solving atau
pemecahan masalah, terlebih dahulu membahas tentang masalah atau
problem. Suatu pertanyaan akan merupakan suatu masalah jika seseorang
tidak mempunyai aturan tertentu yang segera dapat dipergunakan untuk
menemukan jawaban pertanyaan tersebut.
Munurut Polya (dalam Hudojo, 2003:150), terdapat dua macam masalah :
(1) Masalah untuk menemukan, dapat teoritis atau praktis, abstrak atau
konkret, termasuk teka-teki. Kita harus mencari variabel masalah tersebut,
kemudian
mencoba
untuk
mendapatkan,
menghasilkan
atau
mengkonstruksi semua jenis objek yang dapat dipergunakan untuk
menyelesaikan masalah tersebut. Bagian utama dari masalah adalah
sebagai berikut.
(a) Apakah yang dicari?
(b) Bagaimana data yang diketahui?
(c) Bagaimana syaratnya?
(2) Masalah untuk membuktikan adalah untuk menunjukkan bahwa suatu
pertanyaan itu benar atau salah atau tidak kedua-duanya.Kita harus
menjawab pertanyaan : ”Apakah pernyataan itu benar atau salah ?”.
Bagian utama dari masalah jenis ini adalah hipotesis dan konklusi dari
suatu teorema yang harus dibuktikan kebenarannya.
Penyelesaian masalah merupakan proses dari menerima tantangan dan
usaha-usaha untuk menyelesaikannya sampai memperoleh penyelesaian.
Sedangkan pengajaran penyelesaian masalah merupakan tindakan guru
dalam mendorong siswa agar menerima tantangan dari pertanyaan bersifat
menantang, dan mengarahkan siswa agar dapat menyelesaikan pertanyaan
tersebut (sukoriyanto, 2001:103).
Pembelajaran pemecahan masalah adalah suatu kegiatan yang didesain oleh
guru dalam rangka memberi tantangan kepada siswa melalui penugasan atau
2
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
pertanyaan matematika (Tim PPPG Matematika, 2005:93). Fungsi guru
dalam kegiatan itu adalah memotivasi siswa agar mau menerima tantangan
dan membimbing siswa dalam proses pemecahannya. Masalah yang
diberikan harus masalah yang pemecahannya terjangkau oleh kemampuan
siswa. Masalah yang diluar jangkauan kemampuan siswa dapat menurunkan
motivasi mereka.
Tujuan Pembelajaran Problem Solving
Berhasil tidaknya suatu pengajaran bergantung kepada suatu tujuan yang
hendak dicapai. Tujuan dari pembelajaran problem solving adalah seperti apa
yang dikemukakan oleh Hudojo (2003:155), yaitu sebagai berikut.
(1) Siswa menjadi terampil menyeleksi informasi yang relevan kemudian
menganalisisnya dan akhirnya meneliti kembali hasilnya.
(2) Kepuasan intelektual akan timbul dari dalam sebagai hadiah intrinsik bagi
siswa.
(3) Potensi intelektual siswa meningkat.
(4) Siswa belajar bagaimana melakukan penemuan dengan melalui proses
melakukan penemuan.
Langkah-langkah Pembelajaran Problem Solving
Adapun langkah-langkah yang harus diperhatikan oleh guru di dalam
memberikan pembelajaran problem solving yaitu sebagai berikut.
(1) Menyajikan masalah dalam bentuk umum.
(2) Menyajikan kembali masalah dalam bentuk operasional.
(3) Menentukan strategi penyelesaian.
(4) Menyelesaikan masalah.
Sedangkan menurut Hudojo dan Sutawijaya (dalam Hudojo, 2003:162),
menjelaskan bahwa langkah-langkah yang diikuti dalam penyelesaian
problem solving yaitu sebagai berikut.
(1) Pemahaman terhadap masalah.
(2) Perencanaan penyelesaian masalah.
(3) Melaksanakan perencanaan.
(4) Melihat kembali penyelesaian.
3
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
Strategi belajar mengajar penyelesaian masalah adalah bagian dari strategi
belajar mengajar inkuiri. Penyelesaian masalah menurut J. Dewey (dalam
Hudojo, 2003:163), ada enam tahap:
(1) Merumuskan masalah: mengetahui dan menemukan masalah secara
jelas.
(2) Menelaah masalah: menggunakan pengetahuan untuk memperinci,
menganalisis masalah dari berbagai sudut.
(3) Merumuskan hipotesis: berimajinasi dan menghayati ruang lingkup, sebab
akibat dan alternatif penyelesaian.
(4) Mengumpulkan dan mengelompokkan data sebagai bahan pembuktian
hipotesis: kecakapan mencari dan menyusun data, menyajikan data
dalam bentuk diagram, gambar.
(5) Pembuktian hipotesis: cakap menelaah dan membahas data, menghitung
dan menghubungkan, keterampilan mengambil keputusan dan
kesimpulan.
(6) Menentukan pilihan penyelesaian: kecakapan membuat alternatif
penyelesaian kecakapan menilai pilihan dengan memperhitungkan akibat
yang akan terjadi pada setiap langkah.
Kelebihan dan kelemahan pembelajaran problem solving
Kelebihan pembelajaran problem solving antara lain sebagai berikut.
(1) Mendidik siswa untuk berpikir secara sistematis.
(2) Mampu mencari berbagai jalan keluar dari suatu kesulitan yang dihadapi.
(3) Belajar menganalisis suatu masalah dari berbagai aspek.
(4) Mendidik siswa percaya diri sendiri.
Kelemahan pembelajaran problem solving antara lain sebagai berikut.
(1) Memerlukan waktu yang cukup banyak.
(2) Kalau di dalam kelompok itu kemampuan anggotanya heterogen, maka
siswa yang pandai akan mendominasi dalam diskusi sedang siswa yang
kurang pandai menjadi pasif sebagai pendengar saja.
4
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
b. PAIKEM
5
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
c. Konstruktivisme
Alternative
pendekatan
menempatkan
reformasi
pembelajaran
sebagai
di
wacana
Indonesia
kehidupan
yang
sedang
berbangsa
dan
bernegara, bukan hanya di bidang pendidikan, melainkan juga di segala
bidang. Selama ini, wacana kita adalah behavioristik yang berorientasi
pada penyeragaman yang pada akhirnya membentuk manusia Indonesia
yang sangat sulit menghargai perbedaan. Perilaku yang berbeda lebih dilihat
sebagai kesalahan yang harus dihukum. Perilaku manusia Indonesia selama
ini sudah terjangkit virus kesamaan, virus keteraturan, dan lebih jauh virus
inilah yang mengendalikan perilaku kita dalam berbangsa dan bernegara.
Longworth (1999) meringkas fenomena ini dengan menyatakan: ‘Kita perlu
mengubah fokus kita dan apa yang perlu dipelajari menjadi bagaimana
caranya untuk mempelajari. Perubahan yang harus terjadi adalah
perubahan dari isi menjadi proses. Belajar bagaimana cara belajar untuk
mempelajari sesuatu menjadi suatu hal yang lebih penting daripada faktafakta dan konsep-konsep yang dipelajari itu sendiri’.
Oleh karena itu, pendidikan harus mempersiapkan para individu untuk siap
hidup dalam sebuah dunia di mana masalah-masalah muncul jauh lebih
cepat daripada jawaban dari masalah tersebut, di mana ketidakpastian
perubahan dapat dihadapi secara terbuka, di mana para individu memiliki
keterampilan-keterampilan yang diperlukannya untuk secara berkelanjutan
menyesuaikan hubungan mereka dengan sebuah dunia yang terus berubah,
dan di mana tiap-tiap dan kita menjadi pemberi arti dari keberadaan kita.
Beare & Slaughter (1993) menagaskan, ‘Hal ini tidak hanya berarti teknikteknik baru dalam pendidikan, tetapi juga tujuan baru. Tujuan pendidikan
haruslah unutk mengembangkan suatu masyarakat di mana orang-orang
dapat hidup secara lebih nyaman dengan adanya perubahan daripada
dengan adanya kepastian. Dalam dunia yang akan datang, kemampuan
6
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
untuk menghadapi hal-hal baru secara tepat lebih penting daripada
kemampuan untuk mengetahui dang mengulangi hal-hal lama.
Kebutuhan akan orientasi baru dalam pendidikan ini terasa begitu kuat dan
nyata dalam berbagai bidang studi, baik dalam bidang studi eksakta maupun
ilmu-ilmu social. Para pendidik, praktisi pendidikan dan kita semua, mau tidak
mau harus merespon perubahan yang terjadi dengan mengubah paradigma
pendidikan. Untuk menjawab dan mengatasi perubahan yang terjadi secara
terus-menerus, alternative yang dapat digunakan adalah paradigmna
konstruktivistik.
a. Hakikat Pembelajaran Behavioristik
Thornike, salah seorang penganut paham behavioristik, menyatakan bahwa
belajar merupakan peristiwa terbentuknya asosiasi-asosiasi antara peristiwaperistiwa yang disebut stimulus (S) dengan respon (R) yang diberikan atas
stimulus
tersebut.
Pernyataan
Thorndike
ini
didasarkan
pada
hasil
eksperimennya di laboratorium yang menggunakan beberapa jenis hewan
seperti kucing, anjing, monyet, dan ayam. Menurutnya, dari berbagai situasi
yang diberikan seekor hewan akan memberikan sejumlah respon, dan
tindakan yang dapat terbentuk bergantung pada kekuatan keneksi atau
ikatan-ikatan antara situasi dan respon tertentu. Kemudian ia menyimpulkan
bahwa semua tingkah laku manusia baik pikiran maupun tindakan dapat
dianalisis dalam bagian-bagian dari dua struktur yang sederhana, yaitu
stimulus dan respon. Dengan demikian, menurut pandangan ini dasar
terjadinya belajar adalah pembentukan asosiasi antara stimulus dan respon.
Oleh karena itu, menurut Hudojo (1990:14) teori Thondike ini disebut teori
asosiasi.
Selanjutnya, Thorndike (dalam Orton, 1991:39-40; Resnick, 1981:13)
mengemukakan bahwa terjadinya asosiasi antara stimulus dan respon ini
mengikuti hukum-hukum berikut: (1) Hukum latihan (law of exercise), yaitu
7
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
apabila asosiasi antara stimulus dan respon serting terjadi, maka asosiasi itu
akan terbentuk semakin kuat. Interpretasi dari hokum ini adalah semakin
sering suatu pengetahuan – yang telah terbentuk akibat tejadinya asosiasi
antara stimulus dan respon – dilatih (digunakan), maka asosiasi tersebut
akan semakin kuat; (2) Hukum akibat (law of effect), yaitu apabila asosiasi
yang terbentuk antara stimulus dan respon diikuti oleh suatu kepuasan maka
asosiasi akan semakin meningkat. Hal ini berarti (idealnya), jika suatu respon
yang diberikan oleh seseorang terhadap suatu stimulus adalah benar dan ia
mengetahuinya, maka kepuasan akan tercapai dan asosiasi akan diperkuat.
Penganut paham psikologi behavior yang lain yaitu Skinner, berpendapat
hamper senada dengan hokum akibat dari Thorndike. Ia mengemukakan
bahwa unsur terpenting dalam belajar adalah penguatan (reinforcement).
Maksudnya adalah pengetahuan yang terbentuk melalui ikatan stimulus –
respon akan semakin kuat bila diberi penguatan. Skinner membagi
penguatan ini menjadi dua, yaitu penguatan positif dan penguatan negative.
Penguatan positif sebagai stimulus, apabila representasinya mengiringi suatu
tingkah laku yang cenderung dapat meningkatkan terjadinya pengulangan
tingkah laku itu. Sedangkan penguatan negative adalah stimulus yang
dihilangkan/dihapuskan karena cenderung menguatkan tingkah laku (Bell,
1981:151).
b. Hakikat pembelajaran Konstruktivisme
Pembentukan pengetahuan menurut konstruktivistik memandang subyek aktif
menciptakan struktur-struktur kognitif dalam interaksinya dengan lingkungan.
Dengan bantuan struktur kognitifnya ini, subyek menyusun pengertian
realitasnya. Interaksi kognitif akan terjadi sejauh realitas tersebut disusun
melalui struktur kognitif yang diciptakan oleh subyek itu sendiri. Struktur
kognitif senantiasa harus diubah dan disesuaikan berdasarkan tuntutan
lingkungan dan organisme yang sedang berubah. Proses penyesuaian diri
terjadi secara terus menerus melalui proses rekonstruksi.
8
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
Yang terpenting dalam teori konstruktivisme adalah bahwa dalam proses
pembelajaran, si belajarlah yang harus mendapatkan penekanan. Merekalah
yang harus aktif mengembangkan pengetahuan mereka, bukan pembelajar
atau orang lain. Mereka yang harus bertanggung jawab terhadap hasil
belajarnya. Penekanan belajar siswa secara aktif ini perlu dikembangkan.
Kreativitas dan keaktifan siswa akan membantu mereka untuk berdiri sendiri
dalam kehidupan kognitif siswa.
Belajar lebih diarahkan pada experimental learning yaitu merupakan adaptasi
kemanusiaan berdasarkan pengalaman konkrit di laboratorium, diskusi
dengan teman sekelas, yang kemudian dikontemplasikan dan dijadikan ide
dan pengembangan konsep baru. Karenanya aksentuasi dari mendidik dan
mengajar tidak terfokus pada si pendidik melainkan pada pebelajar.
Beberapa hal yang mendapat perhatian pembelajaran konstruktivistik, yaitu:
(1) mengutamakan pembelajaran yang bersifat nyata dalam kontek yang
relevan, (2) mengutamakan proses, (3) menanamkan pembelajaran dalam
konteks pengalaman social, (4) pembelajaran dilakukan dalam upaya
mengkonstruksi pengalaman (Pranata).
Hakikat pembelajaran konstruktivistik oleh Brooks & Brooks dalam Degeng
mengatakan bahwa pengetahuan adalah non-objective, bersifat temporer,
selalu berubah, dan tidak menentu. Belajar dilihat sebagai penyusunan
pengetahuan dari pengalaman konkrit, aktivitas kolaboratif, dan refleksi serta
interpretasi. Mengajar berarti menata lingkungan agar si belajar termotivasi
dalam menggali makna serta menghargai ketidakmenentuan. Atas dasar ini
maka si belajar akan memiliki pemahaman yang berbeda terhadap
pengetahuan tergentung pada pengalamannya, dan perspektif yang dipakai
dalam menginterpretasikannya.
9
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
BAB II
TEORI BELAJAR
Pada prinsipnya proses belajar yang dialami manusia berlangsung sepanjang
hayat, artinya belajar adalah proses yang terus-menerus, yang tidak pernah
berhenti dan terbatas pada dinding kelas. Hal ini didasari pada asumsi bahwa di
sepanjang kehidupannya, manusia akan selalu dihadapkan pada masalahmasalah, rintangan-rintangan dalam mencapai tujuan yang ingin dicapai dalam
kehidupan ini. Prinsip belajar sepanjang hayat ini sejalan dengan empat pilar
pendidikan universal seperti yang dirumuskan UNESCO, yaitu: (1) learning to
know, yang berarti juga learning to learn; (2) learning to do; (3) learning to be,
dan (4) learning to live together.
Learning to know atau learning to learn mengandung pengertian bahwa belajar
itu pada dasarnya tidak hanya berorientasi kepada produk atau hasil belajar,
akan tetapi juga harus berorientasi kepada proses belajar. Dengan proses
belajar, siswa bukan hanya sadar akan apa yang harus dipelajari, akan tetapi
juga memiliki kesadaran dan kemampuan bagaimana cara mempelajari yang
harus dipelajari itu.
Learning to do mengandung pengertian bahwa belajar itu bukan hanya sekedar
mendengar dan melihat dengan tujuan akumulasi pengetahuan, tetapi belajar
untuk berbuat dengan tujuan akhir penguasaan kompetensi yang sangat
diperlukan dalam era persaingan global.
Learning to be mengandung pengertian bahwa belajar adalah membentuk
manusia yang “menjadi dirinya sendiri”. Dengan kata lain, belajar untuk
mengaktualisasikan dirinya sendiri sebagai individu dengan kepribadian yang
memiliki tanggung jawab sebagai manusia.
10
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
Learning to live together adalah belajar untuk bekerjasama. Hal ini sangat
diperlukan sesuai dengan tuntunan kebutuhan dalam masyarakat global dimana
manusia baik secara individual maupun secara kelompok tak mungkin bisa hidup
sendiri atau mengasingkan diri bersama kelompoknya.
Proses pembelajaran yang akan disiapkan oleh seorang guru hendaknya terlebih
dahulu harus memperhatikan teori-teori yang melandasinya. Ada beberapa teori
belajar yang mendukung pembelajaran dengan pendekatan inkuiri diantaranya:
a. Bruner
Jerome Brunner menyatakan bahwa belajar matematika akan lebih berhasil
jika proses pengajaran anak diarahkan pada konsep-konsep dan strukturstruktur yang termuat dalam pokok bahasan yang diajarkan, disamping
hubungan yang terkait antara konsep-konsep dan struktur-struktur tersebut.
Bruner menyarankan keaktif anak dalam proses belajar secara penuh agar
anak dapat mengenal konsep dan struktur yang tercakup dalam bahan yang
sedang dibicarakan, sehingga anak akan memahami materi yang harus
dikuasainya itu.
Dalam proses pembelajaran hendaknya siswa diberi kesempatan untuk
memanipulasi benda-benda dengan menggunakan media pembelajaran
matematika. Melalui penggunaan media pembelajaran matematika yang ada,
siswa akan melihat langsung keteraturan dan pola strukur yang terdapat
dalam penggunaan media pembelajaran matematika yang diperhatikannya.
Tiga tahap pembelajaran yang akan dilewati oleh siswa adalah sebagai
berikut:
11
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
•
Tahapenaktif
Dalam tahap ini penyajian yang dilakukan melalui tindakan anak secara
langsung terlibat dalam memanipulasi (mengotak-atik) objek. Pada tahap
ini anak belajar sesuatu pengetahuan di mana pengetahuan itu dipelajari
secara
aktif,
dengan
menggunakan
benda-benda
konkret
atau
menggunakan situasi yang nyata, pada penyajian ini anak tanpa
menggunakan imajinasinya atau kata-kata. Ia akan memahami sesuatu
dari berbuat atau melakukan sesuatu.
•
Tahapikonik
Tahap ikonik, yaitu suatu tahap pembelajaran sesuatu pengetahuan di
mana pengetahuan itu direpresentasikan (diwujudkan) dalam bentuk
bayangan visual (visual imaginery), gambar, atau diagram, yang
menggambarkan kegiatan kongkret atau situasi kongkret yang terdapat
pada tahap enaktif tersebut di atas (butir a).
•
Tahapsimbolik
Dalam tahap ini bahasa adalah pola dasar simbolik, anak memanipulasi
simbul-simbul atau lambang-lambang objek tertentu. Anak tidak lagi
terikat dengan objek-objek seperti pada tahap sebelumnya. Anak pada
tahap ini sudah mampu menggunakan notasi tanpa ketergantungan
terhadap
objek
direpresentasikan
riil.
Pada
dalam
tahap
bentuk
simbolik
ini,
simbol-simbol
pembelajaran
abstrak
(abstract
symbols), yaitu simbol-simbol arbiter yang dipakai berdasarkan
kesepakatan orang-orang dalam bidang yang bersangkutan, baik
simbol-simbol verbal (misalnya huruf-huruf, kata-kata, kalimat-kalimat),
lambang-lambang matematika, maupun lambang-lambang abstrak yang
lain.
Sebagai contoh, dalam mempelajari penjumlahan dua bilangan cacah,
pembelajaran
akan
terjadi
secara
optimal
jika
mula-mula
siswa
12
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
mempelajari hal itu dengan menggunakan benda-benda konkret (misalnya
menggabungkan
3
kelereng
dengan
2
kelereng,
dan
kemudian
menghitung banyaknya kelereng semuanya ini merupakan tahap enaktif).
Kemudian, kegiatan belajar dilanjutkan dengan menggunakan gambar
atau diagram yang mewakili 3 kelereng dan 2 kelereng yang digabungkan
tersebut (dan kemudian dihitung banyaknya kelereng semuanya, dengan
menggunakan gambar atau diagram tersebut/ tahap yang kedua ikonik,
siswa
bisa
melakukan
penjumlahan
itu
dengan
menggunakan
pembayangan visual (visual imagenary) dari kelereng tersebut. Pada
tahap berikutnya yaitu tahap simbolis, siswa melakukan penjumlahan
kedua bilangan itu dengan menggunakan lambang-lambang bialngan,
yaitu : 3 + 2 = 5.
Dalil-dalil yang didapatkan Bruner setelah mengadakan pengamatan ke
sekolah-sekolah:
•
Dalil Penyusunan (construction theorem)
Dalil ini menyatakan bahwa jika anak ingin mempunyai kemampuan
menguasai konsep, teorema, definisi dan semacamnya, anak harus dilatih
untuk melakukan penyusunan representasinya. Ini berarti, jika anak aktif
dan terlibat dalam kegiatan mempelajari konsep yang dilakukan dengan
jalan memperlihatkan representasi tersebut, maka anak akan lebih
memahaminya.
•
Dalil Notasi (notation theorem)
Notasi memiliki peranan penting dalam penyajian konsep. Penggunaan
notasi dalam menyatakan sebuah konsep tertentu harus disesuaikan
dengan tahap perkembangan mental anak. Penyajiannya dilakukan
dengan pendekatan spiral, dimana setiap ide-ide matematika disajikan
secara sistematis dengan menggunakan notasi-notasi yang bertingkat.
13
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
•
Dalil Kekontrasan dan Keanekaragaman (contras and variation
theorem)
Pengontrasan dan keanekaragaman sangat penting dalam melakukan
pengubahan konsep difahami dengan mendalam, diperlukan contohcontoh yang banyak, sehingga anak mampu mengetahui karakteristik
konsep tersebut.
•
Dalil Pengaitan (connectivity theorem)
Dalam matematika itu satu konsep dengan konsep lainnya terdapat
hubungn erat, bukan saja dari segi isi, namun juga dari segi rumus-rumus
yang digunakan. Materi yang satu merupakan prasyarat bagi yang lainnya
atau konsep yang satu diperlukan untuk menjelaskan konsep lainya.
b. Dienes
ZoltanP.Dienes
adalah
seorang
matematikawan
yang
memfokuskan
perhatiannya pada cara pengajaran. Dienes menekankan bahwa dalam
pembelajaran sebaiknya dikembangkan suatu proses pembelajaran yang
menarik sehingga bias meningkatkan minat siswa terhadap pelajaranma
tematika.
Dienes mengungkapkan bahwa dalam proses pembelajaran sangatlah
penting untuk menyajikan konsep-konsep atau prinsip-prinsip matematika
dalam bentuk yang konkrit. Hal ini dilakukan agar konsep dan prinsip tersebut
dapat dipahami dengan baik oleh siswa. Ini mengandung arti bahwa bendabenda atau obyek-obyek dalam bentuk permainan akan sangat berperan bila
dimanipulasi dengan baik dalam pengajaran matematika.
Dienes membagi tahap-tahap belajar menjadi tahap, yaitu
1.
Permainan Bebas (Free Play)
Dalam setiap tahap belajar, tahap yan paling awal dari pengembangan
konsep bermula dari permainan bebas. Permainan bebas merupakan
14
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
tahap belajar konsep yang aktifitasnya tidak berstruktur dan tidak
diarahkan. Anak didik diberi kebebasan untuk mengatur benda. Selama
permainan pengetahuan anak muncul. Dalam tahap ini anak mulai
membentuk struktur mental dan struktur sikap dalam mempersiapkan
diri untuk memahami konsep yang sedang dipelajari. Misalnya dengan
diberi permainan block logic, anak didik mulai mempelajari konsepkonsep abstrak tentang warna, tebal tipisnya benda yang merupakan
ciri/sifat dari benda yang dimanipulasi.
2.
Permainan yang Menggunakan Aturan (Games)
Dalam permainan yang disertai aturan siswa sudah mulai meneliti polapola dan keteraturan yang terdapat dalam konsep tertentu. Keteraturan
ini mungkin terdapat dalam konsep tertentu tapi tidak terdapat dalam
konsep yang lainnya. Menurut Dienes, untuk membuat konsep abstrak,
anak
didik
memerlukan
suatu
kegiatan
untuk
mengumpulkan
bermacam-macam pengalaman, dan kegiatan untuk yang tidak relevan
dengan pengalaman itu. Contoh dengan permainan block logic, anak
diberi kegiatan untuk membentuk kelompok bangun yang tipis, atau
yang berwarna
berbentuk
merah, kemudian
segitiga,
atau
yang
membentuk kelompok benda
tebal,
dan
sebagainya.
Dalam
membentuk kelompok bangun yang tipis, atau yang merah, timbul
pengalaman terhadap konsep tipis dan merah, serta timbul penolakan
terhadap bangun yang tipis (tebal), atau tidak merah (biru, hijau,
kuning).
3. Permainan Kesamaan Sifat (Searching for communalities)
Dalam mencari kesamaan sifat siswa mulai diarahkan dalam kegiatan
menemukan sifat-sifat kesamaan dalam permainan yang sedang diikuti.
Untuk melatih dalam mencari kesamaan sifat-sifat ini, guru perlu
mengarahkan mereka dengan menstranslasikan kesamaan struktur dari
bentuk permainan lain. Translasi ini tentu tidak boleh mengubah sifat15
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
sifat abstrak yang ada dalam permainan semula. Contoh kegiatan yang
diberikan dengan permainan block logic, anak dihadapkan pada
kelompok persegi dan persegi panjang yang tebal, anak diminta
mengidentifikasi
sifat-sifat
yang
sama
dari
benda-benda dalam
kelompok tersebut (anggota kelompok).
4. Permainan Representasi (Representation)
Representasi adalah tahap pengambilan sifat dari beberapa situasi yang
sejenis.Para siswa menentukan representasi dari konsep-konsep tertentu.
Setelah mereka berhasil menyimpulkan kesamaan sifat yang terdapat
dalam situasi-situasi yang dihadapinya itu. Representasi yang diperoleh
ini bersifat abstrak, Dengan demikian telah mengarah pada pengertian
struktur matematika yang sifatnya abstrak yang terdapat dalam konsep
yang sedang dipelajari. Contoh kegiatan anak untuk menemukan
banyaknya diagonal poligon (misal segi dua puluh tiga) dengan
pendekatan induktif seperti berikut ini.
5. Permainan dengan Simbolisasi (Symbolization)
Simbolisasi termasuk tahap belajar konsep yang membutuhkan
kemampuan merumuskan representasi dari setiap konsep-konsep
dengan menggunakan simbol matematika atau melalui perumusan
verbal. Sebagai contoh, dari kegiatan mencari banyaknya diagonal
dengan pendekatan induktif tersebut, kegiatan berikutnya menentukan
rumus banyaknya diagonal suatu poligon yang digeneralisasikan dari
pola yang didapat anak.
6. Permainan dengan Formalisasi (Formalization)
Formalisasi merupakan tahap belajar konsep yang terakhir. Dalam
tahap ini siswa-siswa dituntut untuk mengurutkan sifat-sifat konsep dan
kemudian merumuskan sifat-sifat baru konsep tersebut, sebagai contoh
siswa yang telah mengenal dasar-dasar dalam struktur matematika
seperti aksioma, harus mampu merumuskan teorema dalam arti
membuktikan teorema tersebut. Contohnya, anak didik telah mengenal
16
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
dasar-dasar dalam struktur matematika seperti aksioma, harus mampu
merumuskan
suatu
teorema
berdasarkan
aksioma,
dalam
arti
membuktikan teorema tersebut Misalnya bilangan bulat dengan operasi
penjumlahan peserta sifat-sifat tertutup, komutatif, asosiatif, adanya
elemen identitas, an mempunyai elemen invers, membentuk sebuah
sistem matematika.
c. Piaget
Jean Piaget menyebutkan bahwa struktur kognitif sebagai Skemata
(Schemas), yaitu kumpulan dari skema-skema. Seorang individu dapat
mengikat, memahami, dan memberikan respon terhadap stimulus disebabkan
karena bekerjanya schemata ini.
Skemata ini berkembang secara kronologis, sebagai hasil interaksi individu
dengan lingkungannya, sehingga individu yang lebih dewasa memliki struktur
kognitif yang lebih lengkap daripada ketika ia masih kecil.
Perkembangan schemata ini terus-menerus melalui adaptasi dengan
lingkungannya. Skemata tersebut membentuk suatu pola penalaran tertentu
dalam pikiran anak. Makin baik kualitas skema ini, makin baik pulalah pola
penalaran anak tersebut. Untuk memahami proses-proses penataan dan
adaptasi terdapat empat konsep dasar, yaitu sebagai berikut :
1. Skema
istilah skema atau skemata yang diberikan oleh Piaget untuk dapat
menjelaskan mengapa seseorang memberikan respon terhadap suatu
stimulus dan untuk menjelaskan banyak hal yang berhubungan dengan
ingatan.
Skema adalah struktur kognitif yang digunakan oleh manusia untuk
mengadaptasi diri terhadap lingkungan dan menata lingkungan ini secara
intelektual.
17
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
Adaptasi terdiri atas proses yang saling mengisi antara asimilasi dan
akomodasi
2. Asimilasi
asimilasi
itu
suatu
proses
kognitif,
dengan
asimilasi
seseorang
mengintegrasikan bahan-bahan persepsi atau stimulus ke dalam skema
yan ada atau tingkah laku yang ada. Asimilasi berlangsung setiap saat.
Seseorang tidak hanya memperoses satu stimulis saja, melainkan
memproses banyak stimulus. Secara teoritis, asimilasi tidak menghasilkan
perubahan skemata, tetapi asimilasi mempnagruhi pertumbuhan skemata.
Dengan demikian asimilasi adalah bagian dari proses kognitif, denga
proses itu individu secara kognitif megadaptsi diri terhadap lingkungan dan
menata lingkungan itu.
3. Akomodasi
Akomodasi dapat diartikan sebagai penciptaan skemata baru atau
pengubahan skemata lama. Asimilasi dan akomodasi terjadi sama-sama
saling mengisi pada setiap individu yang menyesuaikan diri dengan
lingkungannya. Proses ini perlu untuk pertumbuhan dan perkembangann
kognitif. Antara asimilasi dan akomodasi harus ada keserasian dan disebut
oleh Piaget adalah keseimbangan.
Tahap perkembangan kognitif:
•
Tahap Sensori Motor (Sensory Motoric Stage) (sejak lahir sampai
dengan 2 tahun)
Bagi anak yang beradap ada tahap ini, pengalaman diperoleh melalui
perbuatan fisik (gerakan anggota tubuh) dan sensori (koordinasi alat
indra).
Pada mulanya pengalaman itu bersatu dengan dirinya, ini berarti bahwa
suatu objek itu ada bila ada pada penglihatannya. Perkembangan
18
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
selanjutnya ia mulai berusaha untuk mencari objek yang asalnya terlihat
kemudian menghiang dari pandangannya, asal perpindahanya terlihat.
Akhir dari tahap ini ia mulai mencari objek yang hilang bila benda tersebut
tidak terlihat perpindahannya. Objek mulai terpisah dari dirinya dan
bersamaan dengan itu konsep objek dalam struktur kognitifnya pun mulai
dikatakan matang. Ia mulai mampu untuk melambungkan objek fisik ke
dalam symbol-simbol, misalnya mulai bisa berbicara meniru suara
kendaraan, suara binatang, dll.
Kesimpulan pada tahap ini adalah : Bayi lahir dengan refleks bawaan,
skema dimodifikasi dan digabungkan untuk membentuk tingkah laku yang
lebih kompleks. Pada masa kanak-kanak ini, anak beum mempunyai
konsepsi tentang objek yang tetap. Ia hanya dapat mengetahui hal-hal
yang ditangkap dengan indranya.
•
Tahap Pra Operasi ( Pre Operational Stage) (2 tahun sampai
dengan 7 tahun)
Tahap ini adalah tahap persiapan untuk pengorganisasian operasi konkrit.
Istilah operasi yang digunakan oleh Piaget di sini adalah berupa tindakantindakan
kognitif,
objek (classifying),
seperti
menata
letak
mengklasifikasikan
benda-benda
sekelompok
menurut
urutan
tertentu (seriation), dan membilang (counting), (mairer, 1978 :24). Pada
tahap ini pemikiran anak lebih banyak berdasarkan pada pengalaman
konkrit daripada pemikiran logis, sehingga jika ia melihat objek-ojek yang
kelihatannya berbeda, maka ia mengatakanya berbeda pula. Pada tahap
ini anak masih berada pada tahap pra operasional belum memahami
konsep kekekalan (conservation), yaitu kekekalan panjang, kekekalan
materi, luas, dll. Selain dari itu, cirri-ciri anak pada tahap ini belum
memahami dan belum dapat memikirkan dua aspek atau lebih secara
bersamaan.
19
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
Kesimpulan pada tahap ini adalah : Anak mulai timbul pertumbuhan
kognitifnya, tetapi masih terbatas pada hal-hal yang dapat dijumpai
(dilihat) di dalam lingkungannya saja.
•
Tahap Operasi Konkrit (Concrete Operational Stage) (7 tahun
sampai dengan 11 tahun)
Anak-anak yang berada pada tahap ini umumnya sudah berada di
Sekolah Dasar, dan pada umumnya anak-anak pada tahap ini telah
memahami
Kemampuan
operasi
ini
logis
terwujud
dengan
bantuan
benda-benda
dalam
memahami
konsep
konkrit.
kekekalan,
kemampuan untuk mengklasifikasikan dan serasi, mampu memandang
suatu objek dari sudut pandang yang berbeda secara objek
Anak pada tahap ini sudah cukup matang untuk menggunakan pemikiran
logika, tetapi hanya objek fisik yang ada saat ini (karena itu disebut tahap
operasional konkrit). Namun, tanpa objek fisik di hadapan mereka, anakanak
pada
tahap
ini
masih
mengalami
kesulitan
besar
dalam
menyelesaikan tugas-tugas logika.
Smith (1998) memberikan contoh. Anak-anak diberi tiga boneka dengan
warna rambut yang berlainan (Edith, Suzan, dan Lily), tidak mengalami
kesulitan untuk mengidentifikasi boneka yang berambut paling gelap.
Namun, ketika diberi peranyaan, “Rambut Edith lebih terang daripada
rambut Lily. Rambut siapakah yang paling gelap?” , anak-anak pada
tahap operasional konkret mengalami kesulitan karena mereka belum
mampu berpikir hanya dengan menggunakan lambang-lambang.
Kesimpulan pada tahap ini adalah : Anak telah dapat mengetahui
symbol-simbol matematis, tetapi belum dapatt menghadapi hal-hal yang
abstrak (tak berwujud).
20
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
•
Tahap Operasi Formal (Formal Operation Stage) (11 tahun dan
seterusnya)
Tahap operasi formal ini adalah tahap akhir dari perkembangan konitif
secara kualitatif. Anak pada tahap ini sudah mampu melakukan penalaran
dengan menggunakan hal-hal yang abtrak dan menggunakan logika.
Penggunaan benda-benda konkret tidak diperlukan lagi. Anak mampu
bernalar tanpa harus berhadapan dengan dengan objek atau peristiwanya
berlangsung. Penalaran terjadi dalam struktur kognitifnya telah mampu
hanya dengan menggunakan simbol-simbol, ide-ide, astraksi dan
generalisasi. Ia telah memiliki kemampuan-kemampuan untuk melakukan
operasi-operasi yang menyatakan hubungan di antara hubunganhubungan, memahami konsep promosi.
Sebagai contoh eksperimen Piaget berikut ini :
Seorang anak pada tahap ini dihadapkan pada gambar “pak Pendek” dan
untaian klip (penjepit kertas) untuk mengukur tinggi “Pak Pendek” itu.
Kemudian ditambahkan penjelasan dalam bentuk verbal bahwa “Pak
Pendek” itu mempunyai teman “Pak Tinggi”. Lebih lanjut dikatakan
bahwa apabila diukur dengan batang korek api tinggi “Pak Pendek”empat
batang sedangkan tinggi “Pak Tinggi” enam batang korek api.
Berapakah
tinggi
“Pak
Tinggi”
bila
diukur
dengan
klip? Dalam
memecahkan masalah diatas, anak harus memerlukan operasi terhadap
operasi.
Karakteristik dari anak pada tahap ini adalah telah memiliki kekampuan
untuk melakukan penalaran hipotek-deduktif, yaitu kemampuan untuk
menyusun serangkaian hipotesis dan mengujinya (child, 1977 : 127)
21
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
Kesimpulan pada tahap ini adalah :
Pada tahap operasional formal, anak-anak sudah mampu memahami
bentuk argumen dan tidak dibingungkan oleh isi argument (karena itu
disebut operasional formal).
Tahap ini mengartikan bahwa anak-anak telah memasuki tahap baru
dalam logika orang dewasa, yaitu mampu melakukan penalaran abstrak.
Sama halnya dengan penalaran abstrak sistematis, operasi-operasi formal
memungkinkan berkembangnya system nilai dan ideal, serta pemahaman
untuk masalah-masalah filosofis.
Piaget mengeukakan bahwa ada 4 aspek yang besar yang ada hubungnnya
dengan perkembangan kognitif :
a. Pendewasaaan/kematangan, merupakan pengembangan dari susunan
syaraf.
b. Pengalaman fisis/kingkungan, anak harus mempunyai pengalaman
dengan benda-benda dan stimulus-stimulus dalam lingkungan tempat ia
beraksi terhadap benda-benda itu.
c. Interaksi social (transmisi social), adalah pertukaran ide antara individu
dengan individu
d. Keseimbangan (equilibrium), adalah suatu system pengaturan sendiri
yang bekerja untuk menyelesaikan peranan pendewasaan, penglaman
fisis, dan interksi social.
Kaitan antara teori belajar Piaget dengan penggunaan media pembelajaran
matematika ini adalah pada tahap operasi konkrit dimana siswa tidak akan
bisa memahami konsep tanpa benda-benda konkrit. Selain itu, pada tahap ini
Piaget mengidentifikasi adanya enam jenis konsep yang berkembang selama
anak berada pada tahap operasi konkrit, yaitu:
•
Kekekalan banyak (6 –7 tahun)
•
Kekekalan materi (7 –8 tahun)
22
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
•
Kekekalan panjang (7 –8 tahun)
•
Kekekalan luas (8 –9 tahun)
•
Kekekalan berat (9 –10 tahun)
•
Kekekalan volume (11 –12 tahun)
23
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
BAB III
PEMBELAJARAN REALISTIK
(Model Pembelajaran Realistik (RME, Realistic Mathematics Education))
dikembangkan oleh Freud di Belanda pada tahun 1970-an dengan pola guided
reinvention
dalam
mengkontruksi
konsep-aturan
melalui
process of
mathematization, yaitu matematika horizontal (tools, fakta, konsep, prinsip,
algoritma, aturan untuk digunakan dalam menyelesaikan persoalan, proses
dunia empirik) dan vertikal (reoorganisasi matematik melalui proses dalam dunia
rasio, pengembangan matematika).
Terdapat lima prinsip dasar dalam RME yang harus diimplementasikan dalam
pembelajaran matematika, yaitu:
1. Siswa harus melakukan aktivitas matematika melalui permasalahan yang
diberikan
2. Dalam kegiatan belajar siswa mengkonstruksi matematika melalui model,
situasi, skema, diagram, atau simbol
3. Siswa mengkonstruksi dan memproduksi sendiri matematika sesuai dengan
kemampuan berpikirnya
4. Proses pembelajaran interaktif, dan
5. Terjadi jalinan antarkonsep atau antartopik.
Idealnya kelima prinsip di atas muncul dalam setiap proses pembelajaran
matematika realistic. Keunggulan dari pendekatan pembelajaran realistik ini
diantaranya dapat menuntun siswa untuk memahami matematika secara
mendalam, berawal dari situasi nyata atau dari apa yang terjangkau pikiran
siswa melalui proses matematisasi horizontal (matematika informal) menuju
matematika formal, melalui permasalahan realistik.
Prinsip RME adalah aktivitas (doing) konstruksivisme, realitas (kebermaknaan
proses-aplikasi), pemahaman (menemukan-informal dalam konteks melalui
24
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
refleksi, informal ke formal), inter-twinment (keterkaitan-intekoneksi antar
konsep), interaksi (pembelajaran sebagai aktivitas sosial, sharing), dan
bimbingan (dari guru dalam penemuan).
a. Metode Horizontal (TaKuKaBaPaAk)
Tambah
Perhitungan Mental adalah cara menghitung dengan hanya menggunakan
Otak manusia, tanpa dengan bantuan peralatan yang lain. Dalam
penelitian didapatkan kesimpulan bahwa perhitungan mental ini dapat
meningkatkan kepercayaan diri, kecepatan merespon, ingatan dan daya
konsentrasi pada para praktisinya.
Kunci utama dalam Penambahan secara mental adalah Ingatan (memori)
dalam menjumlahkan dari 0 (nol) s.d 9 (sembilan) yang sudah diluar
kepala. Serta Visualisasi (visualization) dari proses manipulasi operasi
penambahan.
Visualisasi Langsung (Direct Visualization)
Di sini konsep Metode Horisontal mulai berperan secara dominan.
Pengenalan Konsep Asosiasi Posisi dengan menggunakan Notasi Pagar
adalah esensial untuk menggunakan visualisasi secara langsung ini. Kata
‘langsung’ di sini artinya adalah kita langsung bermain dengan konsep
abstrak dari Angka tanpa menggunakan peralatan bantuan.
Mula-mula siswa diajarkan menghitung pertambahan dengan metode
horisontal dengan Notasi Pagarnya secara tertulis, selanjutnya mereka
dilatih untuk membayangkan (memvisualisasi) proses manipulasi yang
telah dilakukannya.
Contoh:
a. Cara mengajarkan Penambahan Mental Puluhan (sebagai contoh
84+35)
Mula-mula diajarkan bagaimana Notasi Pagar bekerja pada setiap
25
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
bilangan yang terlibat sehingga didapat 84 = 8 | 4 dan 35 = 3 | 5.
Selanjutnya didapat
(8 | 4) + (3 | 5) = (8 +3) | (4+5).
Di sini Ingatan harus bertindak dengan menghitung setiap kolom
dalam pagar sebagai berikut :
(8 +3) | (4+5) = 11 | 9 sehingga didapatkan hasil 119
Jadi disini terdapat tahap-tahap manipulasi sebagai berikut:
Pertama menambahkan digit satuan (4 + 5 = 9).
Selanjutnya menambahkan digit puluhan (8 + 3 = 11).
Sehingga jawabannya adalah 119
KETERANGAN : Perhatikan pola perhitungan yang tetap konsisten
untuk setiap soal yang ada yaitu jumlahkan semua
digit yang sesuai mulai dari Kanan ke Kiri
b. Cara mengajarkan Penambahan Mental Puluhan (sebagai contoh
94+67) dengan ‘carry digit’
Mula-mula diajarkan bagaimana Notasi Pagar bekerja pada setiap
bilangan yang terlibat sehingga didapat 94 = 9 | 4 dan 67 = 6 | 7.
Selanjutnya didapat
(9 | 4) + (6 | 7) = (9 +6) | (4+7).
Di sini Ingatan harus bertindak dengan menghitung setiap kolom
dalam pagar sebagai berikut :
(9 +6) | (4+7) = 15 | 11
Karena Kolom disebelah KANAN Notasi Pagar harus berisi SATU digit
bilangan maka sisa digit yaitu Angka 1 harus digeser ke kiri, sehingga:
15 | 11 = 15+1 | 1 = 16 | 1
sehingga didapatkan hasil 161
26
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
Jadi disini terdapat tahap-tahap manipulasi sebagai berikut:
Pertama menambahkan digit satuan (4 + 7 = 11).
Selanjutnya menambahkan digit puluhan (9 + 6 = 15).
Menggeser Angka Puluhan yaitu 1 dari Digit satuan (11 - 10 = 1) dan
ditambahkan ke Digit Puluhan 15 + 1 = 16)
Sehingga jawabannya adalah 161
KETERANGAN: Perhatikan pola perhitungan yang tetap konsisten
untuk setiap soal yang ada yaitu jumlahkan semua
digit yang sesuai mulai dari Kanan ke Kiri dengan
memperhatikan Jumlah Digit di sebelah KANAN
Notasi Pagar.
Cara ini kemudian diulang-ulang untuk berbagai variasi soal yang ada
sampai dapat menghitung tanpa harus mencorat-coret pada kertas.
Kemudian kita masuk ke dalam digit bilangan yang lebih tinggi misalnya
ratusan, ribuan dan seterusnya.
Kurang
Perhitungan Mental adalah cara menghitung dengan hanya menggunakan
Otak manusia, tanpa dengan bantuan peralatan yang lain. Dalam
penelitian didapatkan kesimpulan bahwa perhitungan mental ini dapat
meningkatkan kepercayaan diri, kecepatan merespon, ingatan dan daya
konsentrasi pada para praktisinya.
Kunci utama dalam Pengurangan secara mental adalah Ingatan (memori)
dalam mengurangkan dari 0 (nol) s.d 9 (sembilan) yang sudah diluar
kepala. Serta Visualisasi (visualization) dari proses manipulasi operasi
Pengurangan.
Visualisasi Langsung (Direct Visualization)
Di sini konsep Metode Horisontal mulai berperan secara dominan.
27
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
Pengenalan Konsep Asosiasi Posisi dengan menggunakan Notasi Pagar
adalah esensial untuk menggunakan visualisasi secara langsung ini. Kata
‘langsung’ di sini artinya adalah kita langsung bermain dengan konsep
abstrak dari Angka tanpa menggunakan peralatan bantuan.
Mula-mula siswa diajarkan menghitung pengurangan dengan metode
horisontal dengan Notasi Pagarnya secara tertulis, selanjutnya mereka
dilatih untuk membayangkan (memvisualisasi) proses manipulasi yang
telah dilakukannya.
Contoh:
a. Cara mengajarkan Pengurangan Mental Puluhan ( sebagai contoh 53 21)
Mula-mula diajarkan bagaimana Notasi Pagar bekerja pada setiap
bilangan yang terlibat sehingga didapat 53 = 5 | 3 dan 21 = 2 | 1.
Selanjutnya didapat
(5 | 3) - (2 | 1) = (5 - 2) | (3 - 1).
Di sini Ingatan harus bertindak dengan menghitung setiap kolom dalam
pagar sebagai berikut :
(5 - 2) | (3 - 1) = 3 | 2 sehingga didapatkan hasil 32
Jadi disini terdapat tahap-tahap manipulasi sebagai berikut:
Pertama mengurangkan digit satuan (3 - 1 = 2).
Selanjutnya mengurangkan digit puluhan (5 - 2 = 3).
Sehingga jawabannya adalah 32
KETERANGAN: Perhatikan pola perhitungan yang tetap konsisten
untuk setiap soal yang ada yaitu kurangkan semua
digit yang sesuai mulai dari Kanan ke Kiri
b. Cara mengajarkan Pengurangan Mental Puluhan (sebagai contoh 53 26) dengan ‘carry digit’
28
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
Mula-mula diajarkan bagaimana Notasi Pagar bekerja pada setiap
bilangan yang terlibat sehingga didapat 53 = 5 | 3 dan 26 = 2 | 6.
Selanjutnya didapat
(5 | 3) - (2 | 6) = (5 - 2) | (3 - 6).
Di sini Ingatan harus bertindak dengan menghitung setiap kolom dalam
pagar sebagai berikut :
(5 - 2) | (3 - 6). = 3 | -3
Karena Kolom terakhir bernilai NEGATIF maka Kolom disebelah kirinya
dikurangi 1 (Satu) kemudian Kolom yang mempunyai nilai negatif
tersebut ditambah dengan 10 (Sepuluh), sehingga:
3 | -3 = 2 | 10 - 3 = 2 | 7
sehingga didapatkan hasil 27
Jadi disini terdapat tahap-tahap manipulasi sebagai berikut:
Pertama mengurangkan digit satuan (3 – 6 = -3).
Selanjutnya mengurangkan digit puluhan (5 – 2 = 3)
Membuat Kolom yang bernilai NEGATIF menjadi bernilai positif dengan
cara Kolom disebelah kirinya dikurangi 1 (Satu) sehingga menjadi 3 - 1
= 2 kemudian Kolom yang mempunyai nilai negatif tersebut ditambah
dengan 10 (Sepuluh) sehingga 10 – 3 = 7.
Sehingga jawabannya adalah 27
KETERANGAN: Perhatikan pola perhitungan yang tetap konsisten
untuk setiap soal yang ada yaitu kurangkan semua
digit yang sesuai mulai dari Kanan ke Kiri. Kemudian
ubah kolom yang mempunyai nilai negatif menjadi
positif dengan mengurangi 1 (satu) kolom di sebelah
kirinya dan menambah 10 (sepuluh) di kolom
tersebut..
29
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
Cara ini kemudian diulang-ulang untuk berbagai variasi soal yang ada
sampai dapat menghitung tanpa harus mencorat-coret pada kertas.
Kemudian kita masuk ke dalam digit bilangan yang lebih tinggi misalnya
ratusan, ribuan dan seterusnya.
Kali
Perhitungan Mental adalah cara menghitung dengan hanya menggunakan
Otak manusia, tanpa dengan bantuan peralatan yang lain. Dalam
penelitian didapatkan kesimpulan bahwa perhitungan mental ini dapat
meningkatkan kepercayaan diri, kecepatan merespon, ingatan dan daya
konsentrasi pada para praktisinya.
Kunci utama dalam Perkalian secara mental adalah Ingatan (memori)
dalam menjumlahkan dari 0 (nol) s.d 9 (sembilan) yang sudah diluar
kepala. Serta Visualisasi (visualization) dari proses manipulasi operasi
perkalian.
Visualisasi Langsung (Direct Visualization)
Di sini konsep Metode Horisontal mulai berperan secara dominan.
Pengenalan Konsep Asosiasi Posisi dengan menggunakan Notasi Pagar
adalah esensial untuk menggunakan visualisasi secara langsung ini. Kata
‘langsung’ di sini artinya adalah kita langsung bermain dengan konsep
abstrak dari Angka tanpa menggunakan peralatan bantuan.
Mula-mula siswa diajarkan menghitung perkalian dengan metode
horisontal dengan Notasi Pagarnya secara tertulis, selanjutnya mereka
dilatih untuk membayangkan (memvisualisasi) proses manipulasi yang
telah dilakukannya.
Contoh:
a. Cara mengajarkan Perkalian Mental Puluhan dengan Satuan (sebagai
contoh 84*6)
Mula-mula diajarkan pola horisontal dari operasi perkalian ab*c = a*c |
30
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
b*c. Selanjutnya didapat:
(8 | 4) * (6) = (8*6) | (4*6)
Di sini Ingatan harus bertindak dengan menghitung setiap kolom dalam
pagar sebagai berikut :
(8*6) | (4*6) = 48 | 24
Selanjutnya dilakukan perggeseran agar jumlah digit pada kolom sesuai
dengan jumlah Notasi Pagarnya, sebagai berikut:
48 | 24 = 48+2 | 4 = 50 | 4
Sehingga hasilnya adalah 504
Jadi disini terdapat tahap-tahap manipulasi sebagai berikut:
1. Mengalikan Bilangan sesuai Pola Horisontal untuk Perkalian
a*b | a*c = 48 | 24
2. Menggeser agar jumlah digit pada kolom sesuai dengan jumlah
Notasi Pagarnya
48 | 24 = 50 | 4
3. Sehingga jawabannya adalah 504
KETERANGAN: Perhatikan pola perhitungan yang tetap konsisten
untuk setiap soal yang ada yaitu mulai dari Kanan ke
Kiri
b. Cara mengajarkan Perkalian Mental Puluhan (sebagai contoh 84*35)
Mula-mula diajarkan pola horisontal dari operasi perkalian ab*cd = a*c |
a*d + b*c | b*d, selanjutnya diajarkan bagaimana Notasi Pagar bekerja
pada setiap bilangan yang terlibat sehingga didapat 84 = 8 | 4 dan 35 =
3 | 5. Selanjutnya didapat
(8 | 4) * (3 | 5) = (8*3) | (8*5 + 4*3) | (4*5)
Di sini Ingatan harus bertindak dengan menghitung setiap kolom dalam
31
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
pagar sebagai berikut :
(8*3) | (8*5 + 4*3) | (4*5) = 24 | 40+12 | 20 = 24 | 52 | 20
Selanjutnya dilakukan perggeseran agar jumlah digit pada kolom sesuai
dengan jumlah Notasi Pagarnya, sebagai berikut:
24 | 52 | 20 = 24 | 52+2 | 0 = 24 | 54 | 0
Kemudian,
24 | 54 | 0 = 24+5 | 4 | 0 = 29 | 4 | 0
Sehingga hasilnya adalah 2940
Jadi disini terdapat tahap-tahap manipulasi sebagai berikut:
1. Mengalikan Bilangan sesuai Pola Horisontal untuk Perkalian
a*c | a*d + b*c | b*d = (24 | 52 | 20)
2. Menggeser agar jumlah digit pada kolom sesuai dengan jumlah
Notasi Pagarnya
(24 | 52 | 20) = (24 | 54 | 0 ) = (29 | 4 | 0)
3. Sehingga jawabannya adalah 2940
KETERANGAN: Perhatikan pola perhitungan yang tetap konsisten
untuk setiap soal yang ada yaitu mulai dari Kanan ke
Kiri
Cara ini kemudian di ulang-ulang untuk berbagai variasi soal yang ada
sampai dapat menghitung tanpa harus mencorat-coret pada kertas.
Kemudian kita masuk ke dalam digit bilangan yang lebih tinggi misalnya
ratusan, ribuan dan seterusnya.
Bagi
Perhitungan Mental adalah cara menghitung dengan hanya menggunakan
Otak manusia, tanpa dengan bantuan peralatan yang lain. Dalam
penelitian didapatkan kesimpulan bahwa perhitungan mental ini dapat
32
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
meningkatkan kepercayaan diri, kecepatan merespon, ingatan dan daya
konsentrasi pada para praktisinya.
Kunci utama dalam Pembagian secara mental adalah Ingatan (memori)
dalam melakukan Perkalian Mental yang sudah diluar kepala. Serta
Visualisasi (visualization) dari proses manipulasi operasi pembagian.
Visualisasi Langsung (Direct Visualization)
Di sini konsep Metode Horisontal mulai berperan secara dominan.
Pengenalan Konsep Asosiasi Posisi dengan menggunakan Notasi Pagar
adalah esensial untuk menggunakan visualisasi secara langsung ini. Kata
‘langsung’ di sini artinya adalah kita langsung bermain dengan konsep
abstrak dari Angka tanpa menggunakan peralatan bantuan.
Mula-mula siswa diajarkan menghitung pembagian dengan metode
horisontal dengan Notasi Pagarnya secara tertulis, selanjutnya mereka
dilatih untuk membayangkan (memvisualisasi) proses manipulasi yang
telah dilakukannya. Perlu diperhatikan bahwa Operasi Pembagian
merupakan operasi yang paling sukar dibandingkan ketiga operasi dasar
aritmatika yang lain (pertambahan, pengurangan dan perkalian). Hal ini
dikarenakan dalam proses pembagian terdapat langkah Pendugaan
(guessing), sehingga untuk melakukan proses pembagian yang efektif
tidak hanya sekedar menguasai prosedur pembagian saja tetapi siswa
harus dapat melihat POLA yang dapat memudahkan proses pembagian
tersebut. Hal ini dapat diajarkan melalui pelatihan yang intens dan
berulang-ulang.
Contoh:
a. Cara mengajarkan Pembagian Mental yang Umum (sebagai contoh 837
÷ 3)
Untuk melakukan proses pembagian secara efektif dibutuhkan
kemampuan
untuk
menghitung
perkalian
dengan
cepat,
yaitu
mengalikan Pembagi (3) dengan bilangan dari 1 s.d 9. [Perhatikan ini
33
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
hanya merupakan penambahan yang berurutan, jadi jika perhitungan
mental telah dikuasai akan cepat dikerjakan]
Selanjutnya diajarkan bagaimana Notasi Pagar bekerja pada bilangan
yang Dibagi (837), perhatikanlah bilangan tersebut, mulai dari bilangan
paling ki
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI
1
BAB I MODEL PEMBELAJARAN MATEMATIKA
2
PROBLEM SOLVING
2
PAIKEM
5
KONSTRUKTIVISME
6
BAB II TEORI BELAJAR
10
BRUNER
11
DIENES
14
PIAGET
17
BAB III PEMBELAJARAN REALISTIK
24
METODE HORIZONTAL
25
METODE MATHMAGIC
35
METODE VEDIC
48
METODE TULANG NAPIER
51
METODE PETANI RUSIA
51
BAB IV KARAKTERISTIK PROBLEM SOLVING
DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA
54
KPK
55
FPB
56
BAB V KRITERIA PROBLEM SOLVING
61
BANGUN DATAR
65
BANGUN RUANG
72
BAB VI LANGKAH-LANGKAH POLYA
PENGUKURAN
BAB VII STRATEGI PEMECAHAN PROBLEM SOLVING
74
75
77
DISKUSI METODE JIGSAW
78
DISKUSI PEMBELAJARAN Numbered Head Together (NHT)
80
DISKUSI PEMBELAJARAN STAD
82
STATISTIK
86
1
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
BAB I
MODEL PEMBELAJARAN
a. Problem Solving
Pengertian
Sebelum memberikan pengertian tentang pengertian problem solving atau
pemecahan masalah, terlebih dahulu membahas tentang masalah atau
problem. Suatu pertanyaan akan merupakan suatu masalah jika seseorang
tidak mempunyai aturan tertentu yang segera dapat dipergunakan untuk
menemukan jawaban pertanyaan tersebut.
Munurut Polya (dalam Hudojo, 2003:150), terdapat dua macam masalah :
(1) Masalah untuk menemukan, dapat teoritis atau praktis, abstrak atau
konkret, termasuk teka-teki. Kita harus mencari variabel masalah tersebut,
kemudian
mencoba
untuk
mendapatkan,
menghasilkan
atau
mengkonstruksi semua jenis objek yang dapat dipergunakan untuk
menyelesaikan masalah tersebut. Bagian utama dari masalah adalah
sebagai berikut.
(a) Apakah yang dicari?
(b) Bagaimana data yang diketahui?
(c) Bagaimana syaratnya?
(2) Masalah untuk membuktikan adalah untuk menunjukkan bahwa suatu
pertanyaan itu benar atau salah atau tidak kedua-duanya.Kita harus
menjawab pertanyaan : ”Apakah pernyataan itu benar atau salah ?”.
Bagian utama dari masalah jenis ini adalah hipotesis dan konklusi dari
suatu teorema yang harus dibuktikan kebenarannya.
Penyelesaian masalah merupakan proses dari menerima tantangan dan
usaha-usaha untuk menyelesaikannya sampai memperoleh penyelesaian.
Sedangkan pengajaran penyelesaian masalah merupakan tindakan guru
dalam mendorong siswa agar menerima tantangan dari pertanyaan bersifat
menantang, dan mengarahkan siswa agar dapat menyelesaikan pertanyaan
tersebut (sukoriyanto, 2001:103).
Pembelajaran pemecahan masalah adalah suatu kegiatan yang didesain oleh
guru dalam rangka memberi tantangan kepada siswa melalui penugasan atau
2
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
pertanyaan matematika (Tim PPPG Matematika, 2005:93). Fungsi guru
dalam kegiatan itu adalah memotivasi siswa agar mau menerima tantangan
dan membimbing siswa dalam proses pemecahannya. Masalah yang
diberikan harus masalah yang pemecahannya terjangkau oleh kemampuan
siswa. Masalah yang diluar jangkauan kemampuan siswa dapat menurunkan
motivasi mereka.
Tujuan Pembelajaran Problem Solving
Berhasil tidaknya suatu pengajaran bergantung kepada suatu tujuan yang
hendak dicapai. Tujuan dari pembelajaran problem solving adalah seperti apa
yang dikemukakan oleh Hudojo (2003:155), yaitu sebagai berikut.
(1) Siswa menjadi terampil menyeleksi informasi yang relevan kemudian
menganalisisnya dan akhirnya meneliti kembali hasilnya.
(2) Kepuasan intelektual akan timbul dari dalam sebagai hadiah intrinsik bagi
siswa.
(3) Potensi intelektual siswa meningkat.
(4) Siswa belajar bagaimana melakukan penemuan dengan melalui proses
melakukan penemuan.
Langkah-langkah Pembelajaran Problem Solving
Adapun langkah-langkah yang harus diperhatikan oleh guru di dalam
memberikan pembelajaran problem solving yaitu sebagai berikut.
(1) Menyajikan masalah dalam bentuk umum.
(2) Menyajikan kembali masalah dalam bentuk operasional.
(3) Menentukan strategi penyelesaian.
(4) Menyelesaikan masalah.
Sedangkan menurut Hudojo dan Sutawijaya (dalam Hudojo, 2003:162),
menjelaskan bahwa langkah-langkah yang diikuti dalam penyelesaian
problem solving yaitu sebagai berikut.
(1) Pemahaman terhadap masalah.
(2) Perencanaan penyelesaian masalah.
(3) Melaksanakan perencanaan.
(4) Melihat kembali penyelesaian.
3
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
Strategi belajar mengajar penyelesaian masalah adalah bagian dari strategi
belajar mengajar inkuiri. Penyelesaian masalah menurut J. Dewey (dalam
Hudojo, 2003:163), ada enam tahap:
(1) Merumuskan masalah: mengetahui dan menemukan masalah secara
jelas.
(2) Menelaah masalah: menggunakan pengetahuan untuk memperinci,
menganalisis masalah dari berbagai sudut.
(3) Merumuskan hipotesis: berimajinasi dan menghayati ruang lingkup, sebab
akibat dan alternatif penyelesaian.
(4) Mengumpulkan dan mengelompokkan data sebagai bahan pembuktian
hipotesis: kecakapan mencari dan menyusun data, menyajikan data
dalam bentuk diagram, gambar.
(5) Pembuktian hipotesis: cakap menelaah dan membahas data, menghitung
dan menghubungkan, keterampilan mengambil keputusan dan
kesimpulan.
(6) Menentukan pilihan penyelesaian: kecakapan membuat alternatif
penyelesaian kecakapan menilai pilihan dengan memperhitungkan akibat
yang akan terjadi pada setiap langkah.
Kelebihan dan kelemahan pembelajaran problem solving
Kelebihan pembelajaran problem solving antara lain sebagai berikut.
(1) Mendidik siswa untuk berpikir secara sistematis.
(2) Mampu mencari berbagai jalan keluar dari suatu kesulitan yang dihadapi.
(3) Belajar menganalisis suatu masalah dari berbagai aspek.
(4) Mendidik siswa percaya diri sendiri.
Kelemahan pembelajaran problem solving antara lain sebagai berikut.
(1) Memerlukan waktu yang cukup banyak.
(2) Kalau di dalam kelompok itu kemampuan anggotanya heterogen, maka
siswa yang pandai akan mendominasi dalam diskusi sedang siswa yang
kurang pandai menjadi pasif sebagai pendengar saja.
4
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
b. PAIKEM
5
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
c. Konstruktivisme
Alternative
pendekatan
menempatkan
reformasi
pembelajaran
sebagai
di
wacana
Indonesia
kehidupan
yang
sedang
berbangsa
dan
bernegara, bukan hanya di bidang pendidikan, melainkan juga di segala
bidang. Selama ini, wacana kita adalah behavioristik yang berorientasi
pada penyeragaman yang pada akhirnya membentuk manusia Indonesia
yang sangat sulit menghargai perbedaan. Perilaku yang berbeda lebih dilihat
sebagai kesalahan yang harus dihukum. Perilaku manusia Indonesia selama
ini sudah terjangkit virus kesamaan, virus keteraturan, dan lebih jauh virus
inilah yang mengendalikan perilaku kita dalam berbangsa dan bernegara.
Longworth (1999) meringkas fenomena ini dengan menyatakan: ‘Kita perlu
mengubah fokus kita dan apa yang perlu dipelajari menjadi bagaimana
caranya untuk mempelajari. Perubahan yang harus terjadi adalah
perubahan dari isi menjadi proses. Belajar bagaimana cara belajar untuk
mempelajari sesuatu menjadi suatu hal yang lebih penting daripada faktafakta dan konsep-konsep yang dipelajari itu sendiri’.
Oleh karena itu, pendidikan harus mempersiapkan para individu untuk siap
hidup dalam sebuah dunia di mana masalah-masalah muncul jauh lebih
cepat daripada jawaban dari masalah tersebut, di mana ketidakpastian
perubahan dapat dihadapi secara terbuka, di mana para individu memiliki
keterampilan-keterampilan yang diperlukannya untuk secara berkelanjutan
menyesuaikan hubungan mereka dengan sebuah dunia yang terus berubah,
dan di mana tiap-tiap dan kita menjadi pemberi arti dari keberadaan kita.
Beare & Slaughter (1993) menagaskan, ‘Hal ini tidak hanya berarti teknikteknik baru dalam pendidikan, tetapi juga tujuan baru. Tujuan pendidikan
haruslah unutk mengembangkan suatu masyarakat di mana orang-orang
dapat hidup secara lebih nyaman dengan adanya perubahan daripada
dengan adanya kepastian. Dalam dunia yang akan datang, kemampuan
6
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
untuk menghadapi hal-hal baru secara tepat lebih penting daripada
kemampuan untuk mengetahui dang mengulangi hal-hal lama.
Kebutuhan akan orientasi baru dalam pendidikan ini terasa begitu kuat dan
nyata dalam berbagai bidang studi, baik dalam bidang studi eksakta maupun
ilmu-ilmu social. Para pendidik, praktisi pendidikan dan kita semua, mau tidak
mau harus merespon perubahan yang terjadi dengan mengubah paradigma
pendidikan. Untuk menjawab dan mengatasi perubahan yang terjadi secara
terus-menerus, alternative yang dapat digunakan adalah paradigmna
konstruktivistik.
a. Hakikat Pembelajaran Behavioristik
Thornike, salah seorang penganut paham behavioristik, menyatakan bahwa
belajar merupakan peristiwa terbentuknya asosiasi-asosiasi antara peristiwaperistiwa yang disebut stimulus (S) dengan respon (R) yang diberikan atas
stimulus
tersebut.
Pernyataan
Thorndike
ini
didasarkan
pada
hasil
eksperimennya di laboratorium yang menggunakan beberapa jenis hewan
seperti kucing, anjing, monyet, dan ayam. Menurutnya, dari berbagai situasi
yang diberikan seekor hewan akan memberikan sejumlah respon, dan
tindakan yang dapat terbentuk bergantung pada kekuatan keneksi atau
ikatan-ikatan antara situasi dan respon tertentu. Kemudian ia menyimpulkan
bahwa semua tingkah laku manusia baik pikiran maupun tindakan dapat
dianalisis dalam bagian-bagian dari dua struktur yang sederhana, yaitu
stimulus dan respon. Dengan demikian, menurut pandangan ini dasar
terjadinya belajar adalah pembentukan asosiasi antara stimulus dan respon.
Oleh karena itu, menurut Hudojo (1990:14) teori Thondike ini disebut teori
asosiasi.
Selanjutnya, Thorndike (dalam Orton, 1991:39-40; Resnick, 1981:13)
mengemukakan bahwa terjadinya asosiasi antara stimulus dan respon ini
mengikuti hukum-hukum berikut: (1) Hukum latihan (law of exercise), yaitu
7
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
apabila asosiasi antara stimulus dan respon serting terjadi, maka asosiasi itu
akan terbentuk semakin kuat. Interpretasi dari hokum ini adalah semakin
sering suatu pengetahuan – yang telah terbentuk akibat tejadinya asosiasi
antara stimulus dan respon – dilatih (digunakan), maka asosiasi tersebut
akan semakin kuat; (2) Hukum akibat (law of effect), yaitu apabila asosiasi
yang terbentuk antara stimulus dan respon diikuti oleh suatu kepuasan maka
asosiasi akan semakin meningkat. Hal ini berarti (idealnya), jika suatu respon
yang diberikan oleh seseorang terhadap suatu stimulus adalah benar dan ia
mengetahuinya, maka kepuasan akan tercapai dan asosiasi akan diperkuat.
Penganut paham psikologi behavior yang lain yaitu Skinner, berpendapat
hamper senada dengan hokum akibat dari Thorndike. Ia mengemukakan
bahwa unsur terpenting dalam belajar adalah penguatan (reinforcement).
Maksudnya adalah pengetahuan yang terbentuk melalui ikatan stimulus –
respon akan semakin kuat bila diberi penguatan. Skinner membagi
penguatan ini menjadi dua, yaitu penguatan positif dan penguatan negative.
Penguatan positif sebagai stimulus, apabila representasinya mengiringi suatu
tingkah laku yang cenderung dapat meningkatkan terjadinya pengulangan
tingkah laku itu. Sedangkan penguatan negative adalah stimulus yang
dihilangkan/dihapuskan karena cenderung menguatkan tingkah laku (Bell,
1981:151).
b. Hakikat pembelajaran Konstruktivisme
Pembentukan pengetahuan menurut konstruktivistik memandang subyek aktif
menciptakan struktur-struktur kognitif dalam interaksinya dengan lingkungan.
Dengan bantuan struktur kognitifnya ini, subyek menyusun pengertian
realitasnya. Interaksi kognitif akan terjadi sejauh realitas tersebut disusun
melalui struktur kognitif yang diciptakan oleh subyek itu sendiri. Struktur
kognitif senantiasa harus diubah dan disesuaikan berdasarkan tuntutan
lingkungan dan organisme yang sedang berubah. Proses penyesuaian diri
terjadi secara terus menerus melalui proses rekonstruksi.
8
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
Yang terpenting dalam teori konstruktivisme adalah bahwa dalam proses
pembelajaran, si belajarlah yang harus mendapatkan penekanan. Merekalah
yang harus aktif mengembangkan pengetahuan mereka, bukan pembelajar
atau orang lain. Mereka yang harus bertanggung jawab terhadap hasil
belajarnya. Penekanan belajar siswa secara aktif ini perlu dikembangkan.
Kreativitas dan keaktifan siswa akan membantu mereka untuk berdiri sendiri
dalam kehidupan kognitif siswa.
Belajar lebih diarahkan pada experimental learning yaitu merupakan adaptasi
kemanusiaan berdasarkan pengalaman konkrit di laboratorium, diskusi
dengan teman sekelas, yang kemudian dikontemplasikan dan dijadikan ide
dan pengembangan konsep baru. Karenanya aksentuasi dari mendidik dan
mengajar tidak terfokus pada si pendidik melainkan pada pebelajar.
Beberapa hal yang mendapat perhatian pembelajaran konstruktivistik, yaitu:
(1) mengutamakan pembelajaran yang bersifat nyata dalam kontek yang
relevan, (2) mengutamakan proses, (3) menanamkan pembelajaran dalam
konteks pengalaman social, (4) pembelajaran dilakukan dalam upaya
mengkonstruksi pengalaman (Pranata).
Hakikat pembelajaran konstruktivistik oleh Brooks & Brooks dalam Degeng
mengatakan bahwa pengetahuan adalah non-objective, bersifat temporer,
selalu berubah, dan tidak menentu. Belajar dilihat sebagai penyusunan
pengetahuan dari pengalaman konkrit, aktivitas kolaboratif, dan refleksi serta
interpretasi. Mengajar berarti menata lingkungan agar si belajar termotivasi
dalam menggali makna serta menghargai ketidakmenentuan. Atas dasar ini
maka si belajar akan memiliki pemahaman yang berbeda terhadap
pengetahuan tergentung pada pengalamannya, dan perspektif yang dipakai
dalam menginterpretasikannya.
9
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
BAB II
TEORI BELAJAR
Pada prinsipnya proses belajar yang dialami manusia berlangsung sepanjang
hayat, artinya belajar adalah proses yang terus-menerus, yang tidak pernah
berhenti dan terbatas pada dinding kelas. Hal ini didasari pada asumsi bahwa di
sepanjang kehidupannya, manusia akan selalu dihadapkan pada masalahmasalah, rintangan-rintangan dalam mencapai tujuan yang ingin dicapai dalam
kehidupan ini. Prinsip belajar sepanjang hayat ini sejalan dengan empat pilar
pendidikan universal seperti yang dirumuskan UNESCO, yaitu: (1) learning to
know, yang berarti juga learning to learn; (2) learning to do; (3) learning to be,
dan (4) learning to live together.
Learning to know atau learning to learn mengandung pengertian bahwa belajar
itu pada dasarnya tidak hanya berorientasi kepada produk atau hasil belajar,
akan tetapi juga harus berorientasi kepada proses belajar. Dengan proses
belajar, siswa bukan hanya sadar akan apa yang harus dipelajari, akan tetapi
juga memiliki kesadaran dan kemampuan bagaimana cara mempelajari yang
harus dipelajari itu.
Learning to do mengandung pengertian bahwa belajar itu bukan hanya sekedar
mendengar dan melihat dengan tujuan akumulasi pengetahuan, tetapi belajar
untuk berbuat dengan tujuan akhir penguasaan kompetensi yang sangat
diperlukan dalam era persaingan global.
Learning to be mengandung pengertian bahwa belajar adalah membentuk
manusia yang “menjadi dirinya sendiri”. Dengan kata lain, belajar untuk
mengaktualisasikan dirinya sendiri sebagai individu dengan kepribadian yang
memiliki tanggung jawab sebagai manusia.
10
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
Learning to live together adalah belajar untuk bekerjasama. Hal ini sangat
diperlukan sesuai dengan tuntunan kebutuhan dalam masyarakat global dimana
manusia baik secara individual maupun secara kelompok tak mungkin bisa hidup
sendiri atau mengasingkan diri bersama kelompoknya.
Proses pembelajaran yang akan disiapkan oleh seorang guru hendaknya terlebih
dahulu harus memperhatikan teori-teori yang melandasinya. Ada beberapa teori
belajar yang mendukung pembelajaran dengan pendekatan inkuiri diantaranya:
a. Bruner
Jerome Brunner menyatakan bahwa belajar matematika akan lebih berhasil
jika proses pengajaran anak diarahkan pada konsep-konsep dan strukturstruktur yang termuat dalam pokok bahasan yang diajarkan, disamping
hubungan yang terkait antara konsep-konsep dan struktur-struktur tersebut.
Bruner menyarankan keaktif anak dalam proses belajar secara penuh agar
anak dapat mengenal konsep dan struktur yang tercakup dalam bahan yang
sedang dibicarakan, sehingga anak akan memahami materi yang harus
dikuasainya itu.
Dalam proses pembelajaran hendaknya siswa diberi kesempatan untuk
memanipulasi benda-benda dengan menggunakan media pembelajaran
matematika. Melalui penggunaan media pembelajaran matematika yang ada,
siswa akan melihat langsung keteraturan dan pola strukur yang terdapat
dalam penggunaan media pembelajaran matematika yang diperhatikannya.
Tiga tahap pembelajaran yang akan dilewati oleh siswa adalah sebagai
berikut:
11
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
•
Tahapenaktif
Dalam tahap ini penyajian yang dilakukan melalui tindakan anak secara
langsung terlibat dalam memanipulasi (mengotak-atik) objek. Pada tahap
ini anak belajar sesuatu pengetahuan di mana pengetahuan itu dipelajari
secara
aktif,
dengan
menggunakan
benda-benda
konkret
atau
menggunakan situasi yang nyata, pada penyajian ini anak tanpa
menggunakan imajinasinya atau kata-kata. Ia akan memahami sesuatu
dari berbuat atau melakukan sesuatu.
•
Tahapikonik
Tahap ikonik, yaitu suatu tahap pembelajaran sesuatu pengetahuan di
mana pengetahuan itu direpresentasikan (diwujudkan) dalam bentuk
bayangan visual (visual imaginery), gambar, atau diagram, yang
menggambarkan kegiatan kongkret atau situasi kongkret yang terdapat
pada tahap enaktif tersebut di atas (butir a).
•
Tahapsimbolik
Dalam tahap ini bahasa adalah pola dasar simbolik, anak memanipulasi
simbul-simbul atau lambang-lambang objek tertentu. Anak tidak lagi
terikat dengan objek-objek seperti pada tahap sebelumnya. Anak pada
tahap ini sudah mampu menggunakan notasi tanpa ketergantungan
terhadap
objek
direpresentasikan
riil.
Pada
dalam
tahap
bentuk
simbolik
ini,
simbol-simbol
pembelajaran
abstrak
(abstract
symbols), yaitu simbol-simbol arbiter yang dipakai berdasarkan
kesepakatan orang-orang dalam bidang yang bersangkutan, baik
simbol-simbol verbal (misalnya huruf-huruf, kata-kata, kalimat-kalimat),
lambang-lambang matematika, maupun lambang-lambang abstrak yang
lain.
Sebagai contoh, dalam mempelajari penjumlahan dua bilangan cacah,
pembelajaran
akan
terjadi
secara
optimal
jika
mula-mula
siswa
12
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
mempelajari hal itu dengan menggunakan benda-benda konkret (misalnya
menggabungkan
3
kelereng
dengan
2
kelereng,
dan
kemudian
menghitung banyaknya kelereng semuanya ini merupakan tahap enaktif).
Kemudian, kegiatan belajar dilanjutkan dengan menggunakan gambar
atau diagram yang mewakili 3 kelereng dan 2 kelereng yang digabungkan
tersebut (dan kemudian dihitung banyaknya kelereng semuanya, dengan
menggunakan gambar atau diagram tersebut/ tahap yang kedua ikonik,
siswa
bisa
melakukan
penjumlahan
itu
dengan
menggunakan
pembayangan visual (visual imagenary) dari kelereng tersebut. Pada
tahap berikutnya yaitu tahap simbolis, siswa melakukan penjumlahan
kedua bilangan itu dengan menggunakan lambang-lambang bialngan,
yaitu : 3 + 2 = 5.
Dalil-dalil yang didapatkan Bruner setelah mengadakan pengamatan ke
sekolah-sekolah:
•
Dalil Penyusunan (construction theorem)
Dalil ini menyatakan bahwa jika anak ingin mempunyai kemampuan
menguasai konsep, teorema, definisi dan semacamnya, anak harus dilatih
untuk melakukan penyusunan representasinya. Ini berarti, jika anak aktif
dan terlibat dalam kegiatan mempelajari konsep yang dilakukan dengan
jalan memperlihatkan representasi tersebut, maka anak akan lebih
memahaminya.
•
Dalil Notasi (notation theorem)
Notasi memiliki peranan penting dalam penyajian konsep. Penggunaan
notasi dalam menyatakan sebuah konsep tertentu harus disesuaikan
dengan tahap perkembangan mental anak. Penyajiannya dilakukan
dengan pendekatan spiral, dimana setiap ide-ide matematika disajikan
secara sistematis dengan menggunakan notasi-notasi yang bertingkat.
13
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
•
Dalil Kekontrasan dan Keanekaragaman (contras and variation
theorem)
Pengontrasan dan keanekaragaman sangat penting dalam melakukan
pengubahan konsep difahami dengan mendalam, diperlukan contohcontoh yang banyak, sehingga anak mampu mengetahui karakteristik
konsep tersebut.
•
Dalil Pengaitan (connectivity theorem)
Dalam matematika itu satu konsep dengan konsep lainnya terdapat
hubungn erat, bukan saja dari segi isi, namun juga dari segi rumus-rumus
yang digunakan. Materi yang satu merupakan prasyarat bagi yang lainnya
atau konsep yang satu diperlukan untuk menjelaskan konsep lainya.
b. Dienes
ZoltanP.Dienes
adalah
seorang
matematikawan
yang
memfokuskan
perhatiannya pada cara pengajaran. Dienes menekankan bahwa dalam
pembelajaran sebaiknya dikembangkan suatu proses pembelajaran yang
menarik sehingga bias meningkatkan minat siswa terhadap pelajaranma
tematika.
Dienes mengungkapkan bahwa dalam proses pembelajaran sangatlah
penting untuk menyajikan konsep-konsep atau prinsip-prinsip matematika
dalam bentuk yang konkrit. Hal ini dilakukan agar konsep dan prinsip tersebut
dapat dipahami dengan baik oleh siswa. Ini mengandung arti bahwa bendabenda atau obyek-obyek dalam bentuk permainan akan sangat berperan bila
dimanipulasi dengan baik dalam pengajaran matematika.
Dienes membagi tahap-tahap belajar menjadi tahap, yaitu
1.
Permainan Bebas (Free Play)
Dalam setiap tahap belajar, tahap yan paling awal dari pengembangan
konsep bermula dari permainan bebas. Permainan bebas merupakan
14
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
tahap belajar konsep yang aktifitasnya tidak berstruktur dan tidak
diarahkan. Anak didik diberi kebebasan untuk mengatur benda. Selama
permainan pengetahuan anak muncul. Dalam tahap ini anak mulai
membentuk struktur mental dan struktur sikap dalam mempersiapkan
diri untuk memahami konsep yang sedang dipelajari. Misalnya dengan
diberi permainan block logic, anak didik mulai mempelajari konsepkonsep abstrak tentang warna, tebal tipisnya benda yang merupakan
ciri/sifat dari benda yang dimanipulasi.
2.
Permainan yang Menggunakan Aturan (Games)
Dalam permainan yang disertai aturan siswa sudah mulai meneliti polapola dan keteraturan yang terdapat dalam konsep tertentu. Keteraturan
ini mungkin terdapat dalam konsep tertentu tapi tidak terdapat dalam
konsep yang lainnya. Menurut Dienes, untuk membuat konsep abstrak,
anak
didik
memerlukan
suatu
kegiatan
untuk
mengumpulkan
bermacam-macam pengalaman, dan kegiatan untuk yang tidak relevan
dengan pengalaman itu. Contoh dengan permainan block logic, anak
diberi kegiatan untuk membentuk kelompok bangun yang tipis, atau
yang berwarna
berbentuk
merah, kemudian
segitiga,
atau
yang
membentuk kelompok benda
tebal,
dan
sebagainya.
Dalam
membentuk kelompok bangun yang tipis, atau yang merah, timbul
pengalaman terhadap konsep tipis dan merah, serta timbul penolakan
terhadap bangun yang tipis (tebal), atau tidak merah (biru, hijau,
kuning).
3. Permainan Kesamaan Sifat (Searching for communalities)
Dalam mencari kesamaan sifat siswa mulai diarahkan dalam kegiatan
menemukan sifat-sifat kesamaan dalam permainan yang sedang diikuti.
Untuk melatih dalam mencari kesamaan sifat-sifat ini, guru perlu
mengarahkan mereka dengan menstranslasikan kesamaan struktur dari
bentuk permainan lain. Translasi ini tentu tidak boleh mengubah sifat15
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
sifat abstrak yang ada dalam permainan semula. Contoh kegiatan yang
diberikan dengan permainan block logic, anak dihadapkan pada
kelompok persegi dan persegi panjang yang tebal, anak diminta
mengidentifikasi
sifat-sifat
yang
sama
dari
benda-benda dalam
kelompok tersebut (anggota kelompok).
4. Permainan Representasi (Representation)
Representasi adalah tahap pengambilan sifat dari beberapa situasi yang
sejenis.Para siswa menentukan representasi dari konsep-konsep tertentu.
Setelah mereka berhasil menyimpulkan kesamaan sifat yang terdapat
dalam situasi-situasi yang dihadapinya itu. Representasi yang diperoleh
ini bersifat abstrak, Dengan demikian telah mengarah pada pengertian
struktur matematika yang sifatnya abstrak yang terdapat dalam konsep
yang sedang dipelajari. Contoh kegiatan anak untuk menemukan
banyaknya diagonal poligon (misal segi dua puluh tiga) dengan
pendekatan induktif seperti berikut ini.
5. Permainan dengan Simbolisasi (Symbolization)
Simbolisasi termasuk tahap belajar konsep yang membutuhkan
kemampuan merumuskan representasi dari setiap konsep-konsep
dengan menggunakan simbol matematika atau melalui perumusan
verbal. Sebagai contoh, dari kegiatan mencari banyaknya diagonal
dengan pendekatan induktif tersebut, kegiatan berikutnya menentukan
rumus banyaknya diagonal suatu poligon yang digeneralisasikan dari
pola yang didapat anak.
6. Permainan dengan Formalisasi (Formalization)
Formalisasi merupakan tahap belajar konsep yang terakhir. Dalam
tahap ini siswa-siswa dituntut untuk mengurutkan sifat-sifat konsep dan
kemudian merumuskan sifat-sifat baru konsep tersebut, sebagai contoh
siswa yang telah mengenal dasar-dasar dalam struktur matematika
seperti aksioma, harus mampu merumuskan teorema dalam arti
membuktikan teorema tersebut. Contohnya, anak didik telah mengenal
16
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
dasar-dasar dalam struktur matematika seperti aksioma, harus mampu
merumuskan
suatu
teorema
berdasarkan
aksioma,
dalam
arti
membuktikan teorema tersebut Misalnya bilangan bulat dengan operasi
penjumlahan peserta sifat-sifat tertutup, komutatif, asosiatif, adanya
elemen identitas, an mempunyai elemen invers, membentuk sebuah
sistem matematika.
c. Piaget
Jean Piaget menyebutkan bahwa struktur kognitif sebagai Skemata
(Schemas), yaitu kumpulan dari skema-skema. Seorang individu dapat
mengikat, memahami, dan memberikan respon terhadap stimulus disebabkan
karena bekerjanya schemata ini.
Skemata ini berkembang secara kronologis, sebagai hasil interaksi individu
dengan lingkungannya, sehingga individu yang lebih dewasa memliki struktur
kognitif yang lebih lengkap daripada ketika ia masih kecil.
Perkembangan schemata ini terus-menerus melalui adaptasi dengan
lingkungannya. Skemata tersebut membentuk suatu pola penalaran tertentu
dalam pikiran anak. Makin baik kualitas skema ini, makin baik pulalah pola
penalaran anak tersebut. Untuk memahami proses-proses penataan dan
adaptasi terdapat empat konsep dasar, yaitu sebagai berikut :
1. Skema
istilah skema atau skemata yang diberikan oleh Piaget untuk dapat
menjelaskan mengapa seseorang memberikan respon terhadap suatu
stimulus dan untuk menjelaskan banyak hal yang berhubungan dengan
ingatan.
Skema adalah struktur kognitif yang digunakan oleh manusia untuk
mengadaptasi diri terhadap lingkungan dan menata lingkungan ini secara
intelektual.
17
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
Adaptasi terdiri atas proses yang saling mengisi antara asimilasi dan
akomodasi
2. Asimilasi
asimilasi
itu
suatu
proses
kognitif,
dengan
asimilasi
seseorang
mengintegrasikan bahan-bahan persepsi atau stimulus ke dalam skema
yan ada atau tingkah laku yang ada. Asimilasi berlangsung setiap saat.
Seseorang tidak hanya memperoses satu stimulis saja, melainkan
memproses banyak stimulus. Secara teoritis, asimilasi tidak menghasilkan
perubahan skemata, tetapi asimilasi mempnagruhi pertumbuhan skemata.
Dengan demikian asimilasi adalah bagian dari proses kognitif, denga
proses itu individu secara kognitif megadaptsi diri terhadap lingkungan dan
menata lingkungan itu.
3. Akomodasi
Akomodasi dapat diartikan sebagai penciptaan skemata baru atau
pengubahan skemata lama. Asimilasi dan akomodasi terjadi sama-sama
saling mengisi pada setiap individu yang menyesuaikan diri dengan
lingkungannya. Proses ini perlu untuk pertumbuhan dan perkembangann
kognitif. Antara asimilasi dan akomodasi harus ada keserasian dan disebut
oleh Piaget adalah keseimbangan.
Tahap perkembangan kognitif:
•
Tahap Sensori Motor (Sensory Motoric Stage) (sejak lahir sampai
dengan 2 tahun)
Bagi anak yang beradap ada tahap ini, pengalaman diperoleh melalui
perbuatan fisik (gerakan anggota tubuh) dan sensori (koordinasi alat
indra).
Pada mulanya pengalaman itu bersatu dengan dirinya, ini berarti bahwa
suatu objek itu ada bila ada pada penglihatannya. Perkembangan
18
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
selanjutnya ia mulai berusaha untuk mencari objek yang asalnya terlihat
kemudian menghiang dari pandangannya, asal perpindahanya terlihat.
Akhir dari tahap ini ia mulai mencari objek yang hilang bila benda tersebut
tidak terlihat perpindahannya. Objek mulai terpisah dari dirinya dan
bersamaan dengan itu konsep objek dalam struktur kognitifnya pun mulai
dikatakan matang. Ia mulai mampu untuk melambungkan objek fisik ke
dalam symbol-simbol, misalnya mulai bisa berbicara meniru suara
kendaraan, suara binatang, dll.
Kesimpulan pada tahap ini adalah : Bayi lahir dengan refleks bawaan,
skema dimodifikasi dan digabungkan untuk membentuk tingkah laku yang
lebih kompleks. Pada masa kanak-kanak ini, anak beum mempunyai
konsepsi tentang objek yang tetap. Ia hanya dapat mengetahui hal-hal
yang ditangkap dengan indranya.
•
Tahap Pra Operasi ( Pre Operational Stage) (2 tahun sampai
dengan 7 tahun)
Tahap ini adalah tahap persiapan untuk pengorganisasian operasi konkrit.
Istilah operasi yang digunakan oleh Piaget di sini adalah berupa tindakantindakan
kognitif,
objek (classifying),
seperti
menata
letak
mengklasifikasikan
benda-benda
sekelompok
menurut
urutan
tertentu (seriation), dan membilang (counting), (mairer, 1978 :24). Pada
tahap ini pemikiran anak lebih banyak berdasarkan pada pengalaman
konkrit daripada pemikiran logis, sehingga jika ia melihat objek-ojek yang
kelihatannya berbeda, maka ia mengatakanya berbeda pula. Pada tahap
ini anak masih berada pada tahap pra operasional belum memahami
konsep kekekalan (conservation), yaitu kekekalan panjang, kekekalan
materi, luas, dll. Selain dari itu, cirri-ciri anak pada tahap ini belum
memahami dan belum dapat memikirkan dua aspek atau lebih secara
bersamaan.
19
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
Kesimpulan pada tahap ini adalah : Anak mulai timbul pertumbuhan
kognitifnya, tetapi masih terbatas pada hal-hal yang dapat dijumpai
(dilihat) di dalam lingkungannya saja.
•
Tahap Operasi Konkrit (Concrete Operational Stage) (7 tahun
sampai dengan 11 tahun)
Anak-anak yang berada pada tahap ini umumnya sudah berada di
Sekolah Dasar, dan pada umumnya anak-anak pada tahap ini telah
memahami
Kemampuan
operasi
ini
logis
terwujud
dengan
bantuan
benda-benda
dalam
memahami
konsep
konkrit.
kekekalan,
kemampuan untuk mengklasifikasikan dan serasi, mampu memandang
suatu objek dari sudut pandang yang berbeda secara objek
Anak pada tahap ini sudah cukup matang untuk menggunakan pemikiran
logika, tetapi hanya objek fisik yang ada saat ini (karena itu disebut tahap
operasional konkrit). Namun, tanpa objek fisik di hadapan mereka, anakanak
pada
tahap
ini
masih
mengalami
kesulitan
besar
dalam
menyelesaikan tugas-tugas logika.
Smith (1998) memberikan contoh. Anak-anak diberi tiga boneka dengan
warna rambut yang berlainan (Edith, Suzan, dan Lily), tidak mengalami
kesulitan untuk mengidentifikasi boneka yang berambut paling gelap.
Namun, ketika diberi peranyaan, “Rambut Edith lebih terang daripada
rambut Lily. Rambut siapakah yang paling gelap?” , anak-anak pada
tahap operasional konkret mengalami kesulitan karena mereka belum
mampu berpikir hanya dengan menggunakan lambang-lambang.
Kesimpulan pada tahap ini adalah : Anak telah dapat mengetahui
symbol-simbol matematis, tetapi belum dapatt menghadapi hal-hal yang
abstrak (tak berwujud).
20
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
•
Tahap Operasi Formal (Formal Operation Stage) (11 tahun dan
seterusnya)
Tahap operasi formal ini adalah tahap akhir dari perkembangan konitif
secara kualitatif. Anak pada tahap ini sudah mampu melakukan penalaran
dengan menggunakan hal-hal yang abtrak dan menggunakan logika.
Penggunaan benda-benda konkret tidak diperlukan lagi. Anak mampu
bernalar tanpa harus berhadapan dengan dengan objek atau peristiwanya
berlangsung. Penalaran terjadi dalam struktur kognitifnya telah mampu
hanya dengan menggunakan simbol-simbol, ide-ide, astraksi dan
generalisasi. Ia telah memiliki kemampuan-kemampuan untuk melakukan
operasi-operasi yang menyatakan hubungan di antara hubunganhubungan, memahami konsep promosi.
Sebagai contoh eksperimen Piaget berikut ini :
Seorang anak pada tahap ini dihadapkan pada gambar “pak Pendek” dan
untaian klip (penjepit kertas) untuk mengukur tinggi “Pak Pendek” itu.
Kemudian ditambahkan penjelasan dalam bentuk verbal bahwa “Pak
Pendek” itu mempunyai teman “Pak Tinggi”. Lebih lanjut dikatakan
bahwa apabila diukur dengan batang korek api tinggi “Pak Pendek”empat
batang sedangkan tinggi “Pak Tinggi” enam batang korek api.
Berapakah
tinggi
“Pak
Tinggi”
bila
diukur
dengan
klip? Dalam
memecahkan masalah diatas, anak harus memerlukan operasi terhadap
operasi.
Karakteristik dari anak pada tahap ini adalah telah memiliki kekampuan
untuk melakukan penalaran hipotek-deduktif, yaitu kemampuan untuk
menyusun serangkaian hipotesis dan mengujinya (child, 1977 : 127)
21
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
Kesimpulan pada tahap ini adalah :
Pada tahap operasional formal, anak-anak sudah mampu memahami
bentuk argumen dan tidak dibingungkan oleh isi argument (karena itu
disebut operasional formal).
Tahap ini mengartikan bahwa anak-anak telah memasuki tahap baru
dalam logika orang dewasa, yaitu mampu melakukan penalaran abstrak.
Sama halnya dengan penalaran abstrak sistematis, operasi-operasi formal
memungkinkan berkembangnya system nilai dan ideal, serta pemahaman
untuk masalah-masalah filosofis.
Piaget mengeukakan bahwa ada 4 aspek yang besar yang ada hubungnnya
dengan perkembangan kognitif :
a. Pendewasaaan/kematangan, merupakan pengembangan dari susunan
syaraf.
b. Pengalaman fisis/kingkungan, anak harus mempunyai pengalaman
dengan benda-benda dan stimulus-stimulus dalam lingkungan tempat ia
beraksi terhadap benda-benda itu.
c. Interaksi social (transmisi social), adalah pertukaran ide antara individu
dengan individu
d. Keseimbangan (equilibrium), adalah suatu system pengaturan sendiri
yang bekerja untuk menyelesaikan peranan pendewasaan, penglaman
fisis, dan interksi social.
Kaitan antara teori belajar Piaget dengan penggunaan media pembelajaran
matematika ini adalah pada tahap operasi konkrit dimana siswa tidak akan
bisa memahami konsep tanpa benda-benda konkrit. Selain itu, pada tahap ini
Piaget mengidentifikasi adanya enam jenis konsep yang berkembang selama
anak berada pada tahap operasi konkrit, yaitu:
•
Kekekalan banyak (6 –7 tahun)
•
Kekekalan materi (7 –8 tahun)
22
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
•
Kekekalan panjang (7 –8 tahun)
•
Kekekalan luas (8 –9 tahun)
•
Kekekalan berat (9 –10 tahun)
•
Kekekalan volume (11 –12 tahun)
23
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
BAB III
PEMBELAJARAN REALISTIK
(Model Pembelajaran Realistik (RME, Realistic Mathematics Education))
dikembangkan oleh Freud di Belanda pada tahun 1970-an dengan pola guided
reinvention
dalam
mengkontruksi
konsep-aturan
melalui
process of
mathematization, yaitu matematika horizontal (tools, fakta, konsep, prinsip,
algoritma, aturan untuk digunakan dalam menyelesaikan persoalan, proses
dunia empirik) dan vertikal (reoorganisasi matematik melalui proses dalam dunia
rasio, pengembangan matematika).
Terdapat lima prinsip dasar dalam RME yang harus diimplementasikan dalam
pembelajaran matematika, yaitu:
1. Siswa harus melakukan aktivitas matematika melalui permasalahan yang
diberikan
2. Dalam kegiatan belajar siswa mengkonstruksi matematika melalui model,
situasi, skema, diagram, atau simbol
3. Siswa mengkonstruksi dan memproduksi sendiri matematika sesuai dengan
kemampuan berpikirnya
4. Proses pembelajaran interaktif, dan
5. Terjadi jalinan antarkonsep atau antartopik.
Idealnya kelima prinsip di atas muncul dalam setiap proses pembelajaran
matematika realistic. Keunggulan dari pendekatan pembelajaran realistik ini
diantaranya dapat menuntun siswa untuk memahami matematika secara
mendalam, berawal dari situasi nyata atau dari apa yang terjangkau pikiran
siswa melalui proses matematisasi horizontal (matematika informal) menuju
matematika formal, melalui permasalahan realistik.
Prinsip RME adalah aktivitas (doing) konstruksivisme, realitas (kebermaknaan
proses-aplikasi), pemahaman (menemukan-informal dalam konteks melalui
24
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
refleksi, informal ke formal), inter-twinment (keterkaitan-intekoneksi antar
konsep), interaksi (pembelajaran sebagai aktivitas sosial, sharing), dan
bimbingan (dari guru dalam penemuan).
a. Metode Horizontal (TaKuKaBaPaAk)
Tambah
Perhitungan Mental adalah cara menghitung dengan hanya menggunakan
Otak manusia, tanpa dengan bantuan peralatan yang lain. Dalam
penelitian didapatkan kesimpulan bahwa perhitungan mental ini dapat
meningkatkan kepercayaan diri, kecepatan merespon, ingatan dan daya
konsentrasi pada para praktisinya.
Kunci utama dalam Penambahan secara mental adalah Ingatan (memori)
dalam menjumlahkan dari 0 (nol) s.d 9 (sembilan) yang sudah diluar
kepala. Serta Visualisasi (visualization) dari proses manipulasi operasi
penambahan.
Visualisasi Langsung (Direct Visualization)
Di sini konsep Metode Horisontal mulai berperan secara dominan.
Pengenalan Konsep Asosiasi Posisi dengan menggunakan Notasi Pagar
adalah esensial untuk menggunakan visualisasi secara langsung ini. Kata
‘langsung’ di sini artinya adalah kita langsung bermain dengan konsep
abstrak dari Angka tanpa menggunakan peralatan bantuan.
Mula-mula siswa diajarkan menghitung pertambahan dengan metode
horisontal dengan Notasi Pagarnya secara tertulis, selanjutnya mereka
dilatih untuk membayangkan (memvisualisasi) proses manipulasi yang
telah dilakukannya.
Contoh:
a. Cara mengajarkan Penambahan Mental Puluhan (sebagai contoh
84+35)
Mula-mula diajarkan bagaimana Notasi Pagar bekerja pada setiap
25
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
bilangan yang terlibat sehingga didapat 84 = 8 | 4 dan 35 = 3 | 5.
Selanjutnya didapat
(8 | 4) + (3 | 5) = (8 +3) | (4+5).
Di sini Ingatan harus bertindak dengan menghitung setiap kolom
dalam pagar sebagai berikut :
(8 +3) | (4+5) = 11 | 9 sehingga didapatkan hasil 119
Jadi disini terdapat tahap-tahap manipulasi sebagai berikut:
Pertama menambahkan digit satuan (4 + 5 = 9).
Selanjutnya menambahkan digit puluhan (8 + 3 = 11).
Sehingga jawabannya adalah 119
KETERANGAN : Perhatikan pola perhitungan yang tetap konsisten
untuk setiap soal yang ada yaitu jumlahkan semua
digit yang sesuai mulai dari Kanan ke Kiri
b. Cara mengajarkan Penambahan Mental Puluhan (sebagai contoh
94+67) dengan ‘carry digit’
Mula-mula diajarkan bagaimana Notasi Pagar bekerja pada setiap
bilangan yang terlibat sehingga didapat 94 = 9 | 4 dan 67 = 6 | 7.
Selanjutnya didapat
(9 | 4) + (6 | 7) = (9 +6) | (4+7).
Di sini Ingatan harus bertindak dengan menghitung setiap kolom
dalam pagar sebagai berikut :
(9 +6) | (4+7) = 15 | 11
Karena Kolom disebelah KANAN Notasi Pagar harus berisi SATU digit
bilangan maka sisa digit yaitu Angka 1 harus digeser ke kiri, sehingga:
15 | 11 = 15+1 | 1 = 16 | 1
sehingga didapatkan hasil 161
26
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
Jadi disini terdapat tahap-tahap manipulasi sebagai berikut:
Pertama menambahkan digit satuan (4 + 7 = 11).
Selanjutnya menambahkan digit puluhan (9 + 6 = 15).
Menggeser Angka Puluhan yaitu 1 dari Digit satuan (11 - 10 = 1) dan
ditambahkan ke Digit Puluhan 15 + 1 = 16)
Sehingga jawabannya adalah 161
KETERANGAN: Perhatikan pola perhitungan yang tetap konsisten
untuk setiap soal yang ada yaitu jumlahkan semua
digit yang sesuai mulai dari Kanan ke Kiri dengan
memperhatikan Jumlah Digit di sebelah KANAN
Notasi Pagar.
Cara ini kemudian diulang-ulang untuk berbagai variasi soal yang ada
sampai dapat menghitung tanpa harus mencorat-coret pada kertas.
Kemudian kita masuk ke dalam digit bilangan yang lebih tinggi misalnya
ratusan, ribuan dan seterusnya.
Kurang
Perhitungan Mental adalah cara menghitung dengan hanya menggunakan
Otak manusia, tanpa dengan bantuan peralatan yang lain. Dalam
penelitian didapatkan kesimpulan bahwa perhitungan mental ini dapat
meningkatkan kepercayaan diri, kecepatan merespon, ingatan dan daya
konsentrasi pada para praktisinya.
Kunci utama dalam Pengurangan secara mental adalah Ingatan (memori)
dalam mengurangkan dari 0 (nol) s.d 9 (sembilan) yang sudah diluar
kepala. Serta Visualisasi (visualization) dari proses manipulasi operasi
Pengurangan.
Visualisasi Langsung (Direct Visualization)
Di sini konsep Metode Horisontal mulai berperan secara dominan.
27
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
Pengenalan Konsep Asosiasi Posisi dengan menggunakan Notasi Pagar
adalah esensial untuk menggunakan visualisasi secara langsung ini. Kata
‘langsung’ di sini artinya adalah kita langsung bermain dengan konsep
abstrak dari Angka tanpa menggunakan peralatan bantuan.
Mula-mula siswa diajarkan menghitung pengurangan dengan metode
horisontal dengan Notasi Pagarnya secara tertulis, selanjutnya mereka
dilatih untuk membayangkan (memvisualisasi) proses manipulasi yang
telah dilakukannya.
Contoh:
a. Cara mengajarkan Pengurangan Mental Puluhan ( sebagai contoh 53 21)
Mula-mula diajarkan bagaimana Notasi Pagar bekerja pada setiap
bilangan yang terlibat sehingga didapat 53 = 5 | 3 dan 21 = 2 | 1.
Selanjutnya didapat
(5 | 3) - (2 | 1) = (5 - 2) | (3 - 1).
Di sini Ingatan harus bertindak dengan menghitung setiap kolom dalam
pagar sebagai berikut :
(5 - 2) | (3 - 1) = 3 | 2 sehingga didapatkan hasil 32
Jadi disini terdapat tahap-tahap manipulasi sebagai berikut:
Pertama mengurangkan digit satuan (3 - 1 = 2).
Selanjutnya mengurangkan digit puluhan (5 - 2 = 3).
Sehingga jawabannya adalah 32
KETERANGAN: Perhatikan pola perhitungan yang tetap konsisten
untuk setiap soal yang ada yaitu kurangkan semua
digit yang sesuai mulai dari Kanan ke Kiri
b. Cara mengajarkan Pengurangan Mental Puluhan (sebagai contoh 53 26) dengan ‘carry digit’
28
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
Mula-mula diajarkan bagaimana Notasi Pagar bekerja pada setiap
bilangan yang terlibat sehingga didapat 53 = 5 | 3 dan 26 = 2 | 6.
Selanjutnya didapat
(5 | 3) - (2 | 6) = (5 - 2) | (3 - 6).
Di sini Ingatan harus bertindak dengan menghitung setiap kolom dalam
pagar sebagai berikut :
(5 - 2) | (3 - 6). = 3 | -3
Karena Kolom terakhir bernilai NEGATIF maka Kolom disebelah kirinya
dikurangi 1 (Satu) kemudian Kolom yang mempunyai nilai negatif
tersebut ditambah dengan 10 (Sepuluh), sehingga:
3 | -3 = 2 | 10 - 3 = 2 | 7
sehingga didapatkan hasil 27
Jadi disini terdapat tahap-tahap manipulasi sebagai berikut:
Pertama mengurangkan digit satuan (3 – 6 = -3).
Selanjutnya mengurangkan digit puluhan (5 – 2 = 3)
Membuat Kolom yang bernilai NEGATIF menjadi bernilai positif dengan
cara Kolom disebelah kirinya dikurangi 1 (Satu) sehingga menjadi 3 - 1
= 2 kemudian Kolom yang mempunyai nilai negatif tersebut ditambah
dengan 10 (Sepuluh) sehingga 10 – 3 = 7.
Sehingga jawabannya adalah 27
KETERANGAN: Perhatikan pola perhitungan yang tetap konsisten
untuk setiap soal yang ada yaitu kurangkan semua
digit yang sesuai mulai dari Kanan ke Kiri. Kemudian
ubah kolom yang mempunyai nilai negatif menjadi
positif dengan mengurangi 1 (satu) kolom di sebelah
kirinya dan menambah 10 (sepuluh) di kolom
tersebut..
29
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
Cara ini kemudian diulang-ulang untuk berbagai variasi soal yang ada
sampai dapat menghitung tanpa harus mencorat-coret pada kertas.
Kemudian kita masuk ke dalam digit bilangan yang lebih tinggi misalnya
ratusan, ribuan dan seterusnya.
Kali
Perhitungan Mental adalah cara menghitung dengan hanya menggunakan
Otak manusia, tanpa dengan bantuan peralatan yang lain. Dalam
penelitian didapatkan kesimpulan bahwa perhitungan mental ini dapat
meningkatkan kepercayaan diri, kecepatan merespon, ingatan dan daya
konsentrasi pada para praktisinya.
Kunci utama dalam Perkalian secara mental adalah Ingatan (memori)
dalam menjumlahkan dari 0 (nol) s.d 9 (sembilan) yang sudah diluar
kepala. Serta Visualisasi (visualization) dari proses manipulasi operasi
perkalian.
Visualisasi Langsung (Direct Visualization)
Di sini konsep Metode Horisontal mulai berperan secara dominan.
Pengenalan Konsep Asosiasi Posisi dengan menggunakan Notasi Pagar
adalah esensial untuk menggunakan visualisasi secara langsung ini. Kata
‘langsung’ di sini artinya adalah kita langsung bermain dengan konsep
abstrak dari Angka tanpa menggunakan peralatan bantuan.
Mula-mula siswa diajarkan menghitung perkalian dengan metode
horisontal dengan Notasi Pagarnya secara tertulis, selanjutnya mereka
dilatih untuk membayangkan (memvisualisasi) proses manipulasi yang
telah dilakukannya.
Contoh:
a. Cara mengajarkan Perkalian Mental Puluhan dengan Satuan (sebagai
contoh 84*6)
Mula-mula diajarkan pola horisontal dari operasi perkalian ab*c = a*c |
30
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
b*c. Selanjutnya didapat:
(8 | 4) * (6) = (8*6) | (4*6)
Di sini Ingatan harus bertindak dengan menghitung setiap kolom dalam
pagar sebagai berikut :
(8*6) | (4*6) = 48 | 24
Selanjutnya dilakukan perggeseran agar jumlah digit pada kolom sesuai
dengan jumlah Notasi Pagarnya, sebagai berikut:
48 | 24 = 48+2 | 4 = 50 | 4
Sehingga hasilnya adalah 504
Jadi disini terdapat tahap-tahap manipulasi sebagai berikut:
1. Mengalikan Bilangan sesuai Pola Horisontal untuk Perkalian
a*b | a*c = 48 | 24
2. Menggeser agar jumlah digit pada kolom sesuai dengan jumlah
Notasi Pagarnya
48 | 24 = 50 | 4
3. Sehingga jawabannya adalah 504
KETERANGAN: Perhatikan pola perhitungan yang tetap konsisten
untuk setiap soal yang ada yaitu mulai dari Kanan ke
Kiri
b. Cara mengajarkan Perkalian Mental Puluhan (sebagai contoh 84*35)
Mula-mula diajarkan pola horisontal dari operasi perkalian ab*cd = a*c |
a*d + b*c | b*d, selanjutnya diajarkan bagaimana Notasi Pagar bekerja
pada setiap bilangan yang terlibat sehingga didapat 84 = 8 | 4 dan 35 =
3 | 5. Selanjutnya didapat
(8 | 4) * (3 | 5) = (8*3) | (8*5 + 4*3) | (4*5)
Di sini Ingatan harus bertindak dengan menghitung setiap kolom dalam
31
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
pagar sebagai berikut :
(8*3) | (8*5 + 4*3) | (4*5) = 24 | 40+12 | 20 = 24 | 52 | 20
Selanjutnya dilakukan perggeseran agar jumlah digit pada kolom sesuai
dengan jumlah Notasi Pagarnya, sebagai berikut:
24 | 52 | 20 = 24 | 52+2 | 0 = 24 | 54 | 0
Kemudian,
24 | 54 | 0 = 24+5 | 4 | 0 = 29 | 4 | 0
Sehingga hasilnya adalah 2940
Jadi disini terdapat tahap-tahap manipulasi sebagai berikut:
1. Mengalikan Bilangan sesuai Pola Horisontal untuk Perkalian
a*c | a*d + b*c | b*d = (24 | 52 | 20)
2. Menggeser agar jumlah digit pada kolom sesuai dengan jumlah
Notasi Pagarnya
(24 | 52 | 20) = (24 | 54 | 0 ) = (29 | 4 | 0)
3. Sehingga jawabannya adalah 2940
KETERANGAN: Perhatikan pola perhitungan yang tetap konsisten
untuk setiap soal yang ada yaitu mulai dari Kanan ke
Kiri
Cara ini kemudian di ulang-ulang untuk berbagai variasi soal yang ada
sampai dapat menghitung tanpa harus mencorat-coret pada kertas.
Kemudian kita masuk ke dalam digit bilangan yang lebih tinggi misalnya
ratusan, ribuan dan seterusnya.
Bagi
Perhitungan Mental adalah cara menghitung dengan hanya menggunakan
Otak manusia, tanpa dengan bantuan peralatan yang lain. Dalam
penelitian didapatkan kesimpulan bahwa perhitungan mental ini dapat
32
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
meningkatkan kepercayaan diri, kecepatan merespon, ingatan dan daya
konsentrasi pada para praktisinya.
Kunci utama dalam Pembagian secara mental adalah Ingatan (memori)
dalam melakukan Perkalian Mental yang sudah diluar kepala. Serta
Visualisasi (visualization) dari proses manipulasi operasi pembagian.
Visualisasi Langsung (Direct Visualization)
Di sini konsep Metode Horisontal mulai berperan secara dominan.
Pengenalan Konsep Asosiasi Posisi dengan menggunakan Notasi Pagar
adalah esensial untuk menggunakan visualisasi secara langsung ini. Kata
‘langsung’ di sini artinya adalah kita langsung bermain dengan konsep
abstrak dari Angka tanpa menggunakan peralatan bantuan.
Mula-mula siswa diajarkan menghitung pembagian dengan metode
horisontal dengan Notasi Pagarnya secara tertulis, selanjutnya mereka
dilatih untuk membayangkan (memvisualisasi) proses manipulasi yang
telah dilakukannya. Perlu diperhatikan bahwa Operasi Pembagian
merupakan operasi yang paling sukar dibandingkan ketiga operasi dasar
aritmatika yang lain (pertambahan, pengurangan dan perkalian). Hal ini
dikarenakan dalam proses pembagian terdapat langkah Pendugaan
(guessing), sehingga untuk melakukan proses pembagian yang efektif
tidak hanya sekedar menguasai prosedur pembagian saja tetapi siswa
harus dapat melihat POLA yang dapat memudahkan proses pembagian
tersebut. Hal ini dapat diajarkan melalui pelatihan yang intens dan
berulang-ulang.
Contoh:
a. Cara mengajarkan Pembagian Mental yang Umum (sebagai contoh 837
÷ 3)
Untuk melakukan proses pembagian secara efektif dibutuhkan
kemampuan
untuk
menghitung
perkalian
dengan
cepat,
yaitu
mengalikan Pembagi (3) dengan bilangan dari 1 s.d 9. [Perhatikan ini
33
Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT
hanya merupakan penambahan yang berurutan, jadi jika perhitungan
mental telah dikuasai akan cepat dikerjakan]
Selanjutnya diajarkan bagaimana Notasi Pagar bekerja pada bilangan
yang Dibagi (837), perhatikanlah bilangan tersebut, mulai dari bilangan
paling ki