bab 1 3 skripsi rahmi FDTD.docx

BAB I
PENDAHULUAN
I.1 Latar Belakang
Aplikasi dari gelombang elektromagnetik telah banyak dimanfaatkan
dalam bidang optik maupun optoelektronik dengan memanfaatkan perambatan
gelombang pada suatu material

[1-4]

. Gelombang elektromagnetik merupakan

fenomena perambatan gelombang antara medan listrik dan medan magnet. Teori
elektromagnetik diperoleh bahwa medan listrik dapat menimbulkan medan
magnet, sebaliknya medan magnet dapat menimbulkan medan listrik yang
berubah terhadap waktu. Fenomena perambatan gelombang elektromagnetik dapat
dijabarkan melalui perumusan persamaan Maxwell.
Pada persamaan Maxwell terdapat persamaan yang saling berhubungan
antara medan listrik dan medan magnet, dimana pada satu persamaan terdapat dua
variabel yang tidak diketahui. Sehingga perlu menggunakan metode analisa
gelombang elektromagnetik.
Secara teori, persamaan Maxwell dapat digunakan untuk menentukan

medan listrik dan medan magnet yang tersebar dari struktur geometri. Namun,
dalam penentuan medan listrik dan medan magnet terdapat beberapa contoh
struktur yang sulit dipecahkan, seperti sumber gelombang, berupa pulsa kotak.
Hal ini disebabkan keadaan bahwa untuk memecahkan sebuah persamaan
Maxwell harus menyelesaikan masalah nilai batas elektromagnetik. Akibatnya,
untuk satu geometri yang kompleks memerlukan teknik numerik, atau metode
elektromagnetik komputasi. Metode elektromagnetik komputasi yang biasa

1

digunakan untuk analisis hantaran gelombang yaitu, finite element method, finite
difference dan Finite difference time domain [3] .
Finite Difference Time Domain merupakan salah satu metode yang banyak
digunakan untuk mensimulasikan perilaku gelombang elektromagnetik [7]. Metode
FDTD pada dasarnya merupakan metoda analisis wilayah tertutup, oleh karena itu
untuk diaplikasikan pada persoalan analisis wilayah terbuka agar tidak timbul
pantulan gelombang pada dinding wilayah analisis, maka perlu dipasang batas serap
(absorbing boundary) secara khayal [4].

Berdasarkan pemaparan di atas, penelitian yang dilakukan adalah

menganalisis energi gelombang elektromagnetik yang terdistribusi dari beberapa
jenis pulsa dengan variasi jarak dan waktu serta pengaruhnya dengan media yang
semakin meningkat dengan menggunakan persamaan Maxwell.
I.2 Ruang Lingkup
Ruang lingkup penelitian ini dibatasi pada analisis energi gelombang
elektromagnetik, berdasarkan intensitas medan elektromagnetik dari domain material satu
dimensi pada ruang hampa dan media kaca menggunakan metode Finite difference time
domain (FDTD).

I.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah :
1. Mensimulasikan persamaan Maxwell dengan menggunakan Finite
difference time domain (FDTD) dengan variasi nilai x (posisi) dan t
(waktu).
2. Menganalisis energi yang terdistribusi dalam ruang hampa dan media
kaca.
2

BAB II
TINJAUAN PUSTAKA

II.1 Persamaan Maxwell
Persamaan Maxwell merupakan himpunan empat persamaan yang
menghubungkan sifat-sifat medan listrik dan medan magnet serta

hubungan

dengan sumbernya. Persamaan-persamaan tersebut adalah dasar dari teori
keelektromagnetan yang dikenal dengan persamaan Maxwell. Persamaan
Maxwell adalah [6]:
ρ
⃗
∇∙ ⃗
E= ε

(II.1)

⃗
∇∙ ⃗
B=0

(II.2)

0

−∂ ⃗
B
⃗
∇×⃗
E= ∂ t
∂E
⃗
∇×⃗
B =μ+ ε
∂t

(II.3)

(II.4)

dimana :

⃗
E = medan listrik (Volt/meter)
⃗
B=¿ kerapatan medan magnet (Wb/m2)

ε 0=¿permitivitas listrik ruang hampa (8.85 ×10−12 C2 /¿ N.m2)
μ0 =¿ permeabilitas magnetik ruang hampa (44 π × 10−7 Wb/ A)

3

⃗J =¿rapat arus listrik
ρ=¿ rapat muatan listrik
Keempat persamaan Maxwell ini merupakan hukum dasar tentang
kelistrikan dan kemagnetan dalam bentuk differensialnya. Persamaan (II.1) atau
Hukum Gauss menyatakan bahwa jumlah garis gaya listrik yang menembus suatu
permukaan tertutup sebanding dengan jumlah muatan yang berada pada
permukaan tersebut.

∮ ⃗E ∙ da=¿ Qε0 ¿
(II.5)

❑

Q=∫ ρ∙ dV

(II.6)

v

dQ
dimana ρ merupakan rapat muatan; ρ= dV
E ∙ da=∫ ¿¿ ¿, sehingga:
melalui teorema divergensi: ∮ ⃗
1

∫ ¿ ¿)dV = ε 0 ∫ ρdV
ρ
⃗
∇∙ ⃗
E= ε

0

(II.7)

(II.8)

(II.9)

Pada ruang hampa karena tidak ada sumber muatan, maka ρ=0,
Sehingga

⃗
∇∙ ⃗
E =0

(II.10)

4

Persamaan (II.2) merupakan bentuk differensial yang menyatakan bahwa

fluks magnetik bernilai nol. Hal ini akibat dari jumlah garis-garis medan magnet
yang masuk sama dengan jumlah garis-garis medan magnet yang keluar pada
suatu permukaan tertutup.
B . n dA=∫ ∇ . ⃗
B dV = 0
Berdasarkan teorema Gauss: ∮ ⃗

(II.11)
(II.12)

∇∙ ⃗
B=0

Persamaan (II.3) merupakan bentuk differensial dari persamaan hukum
Faraday tentang induksi magnetik, yang menggambarkan pembentukan medan
listrik induksi rotasi akibat adanya perubahan fluks magnetik terhadap waktu
sehingga menyebabkan gaya gerak listrik (ggl).
ε =¿ -

∂Ф B

∂t

(II.13)

Ф=⃗
B.a

(II.14)

d Ф= ⃗
B . da

(II.15)

E ∙ dl=∫ (∇ × ⃗
E) ∙ d a
menurut teorema Stokes ∮ ⃗
(⃗
B . da)
∫ ( ∇ × ⃗E ) ∙ da=−∂

∂t ∫

∫ (∇ × ⃗E )∙ da=−∫ ∂∂Bt . da
⃗

∇x⃗
E=¿ -

∂⃗
B
∂t

(II.16)
(II.17)
(II.18)

Persamaan (II.4) merupakan bentuk differensial dari hukum Ampere yang
menyatakan bahwa timbulnya rotasi dari medan magnet ⃗
B yang disebabkan oleh
adanya arus (perpindahan muatan) yang melewati suatu bahan. Berdasarkan

hukum Ampere:

5

∮ ⃗B ∙ d l=μI

(II.19)

∮ ⃗B ∙ d l=μ0 I

(II.20)

Untuk media ruang hampa berlaku:

dQ
dimana I = dt =∫ ⃗J ∙d a
berdasarkan teorema Stokes :

(II.21)

∮ ⃗B ∙ d l= ∫ (∇ × ⃗B )∙ d a

(II.22)

∫ ( ∇ × ⃗B ) ∙ d a=∫ μ0 J ∙d a   

(II.23)

⃗
∇×⃗
B =μ0 ⃗J

(II.24)

II.1.2 Hubungan Konstitutif dan Sifat Material
Persamaan Maxwell membentuk suatu persamaan differensial parsial yang
saling berhubungan melalui keempat kuantitas medan ⃗
E,⃗
B,⃗
D,⃗
H . oleh karena itu,
dibutuhkan persamaan konstitutif yang di dalamnya berlaku persamaan Maxwell,
persamaan ini disebut dengan hubungan material, di media linier dan isotropik
berlaku persamaan berikut [7]:
⃗
D=ε ⃗
E

(II.25)

⃗
B=μ ⃗
H

(II.26)

dimana :
⃗
D = medan perpindahan listrik (C/m2)
ε = permitivitas
⃗
E = medan listrk (V/m)
⃗
B = kerapatan medan magnet (Wb/m2)
⃗
H = medan magnet (A/m)
μ=¿permeabilitas

6

II.1.3 Permitivitas (konstanta dielektrik)
Permitivitas merupakan ukuran kemampuan bahan untuk menyimpan
energi listrik

. Permitivitas dalam material disebut dengan ε , (dalam ruang

[8]

hampa dimana tidak ada media untuk terpolarisasi (tidak ada polarisasi pada ruang
hampa), maka suseptibilitas =0, dan ε 0 disebut permitivitas ruang hampa dengan
nilai permitivitas = 8.85 ×10−12 C2 /¿ N.m2) sedangkan ε r disebut dengan
permitivitas relatif (konstanta dielektrik)

[6]

, sehingga hubungan konstitutif dalam

material diperoleh:

ε =ε r ∙ ε 0

(II.27)

Tabel II.1 Konstanta Dielektrik [ε r] [6]
Material
Hampa
Helium
Neon
Nitrogen

εr
1
1,000065
1,00013
1,00055

Material
Benzena
Intan
Garam
Air

εr
2,28
5,7
5,9
80,1

II.1.4 Permeabilitas dan Suseptibilitas Magnetik

Permeabilitas adalah besaran yang menunjukkan kemampuan yang bersifat
dapat menembus medan magnet pada suatu material. Sifat bahan magnetik yang
paling umum dan dapat diukur disebut suseptibilitas.

7

Suseptibilitas magnetik mewakili sifat suatu material untuk menjadi bahan
magnetik dalam pengaruh medan magnet luar [6]. Persamaan suseptibilitas magnet
dapat diperoleh dari persamaan :
1
⃗
M= μ χm ∙ ⃗
B

(II.28)

0

atau
(II.29)

⃗
M= χm ∙ ⃗
H
Keterangan:
⃗
M = Magnetisasi induksi (A/m2)
χ m = Suseptibilitas magnetic
⃗
H = medan magnet (A/m)

Persamaan (II.27) dan (II.28) menyatakan bahwa magnetisasi induksi M
sebanding dengan nilai suseptibilitas magnetik χ m dan

kuat medan magnet.

Dalam media linier kuat medan magnet dapat dinyatakan:

⃗
B=μ 0 ( ⃗
H +⃗
M )=μ 0 (1+ X m ) ⃗
H

(II.30)

Untuk media linier ⃗
B sebanding dengan ⃗
H , maka dapat dirumuskan:
⃗
B=μ ⃗
H

(II.31)

dimana
μ ≡ μ0 ( 1+ X m )

(II.32)

Keterangan:
μ=¿permeabilitas

μ0 =¿permeabilitas ruang hampa

8

Tabel II.2 Suseptibilitas Magnetik ( χ m)[6]
Material

χm

Diamagnetik
Bismuth
Emas
Air
Co2

-1,6.10-4
-3,4.10-5
-9,0.10-6
-1,2.10-8

Material
Paramagnetik
Oksigen
Aluminium
Sodium
Platinum

χm
1,9.10-6
2,1.10-5
8,5.10-6
2,810-4

II.2.2 Energi Gelombang Elektromagnetik
Gelombang elektromagnetik membawa energi dari satu tempat di dalam
ruang ke tempat lain. Energi ini berhubungan dengan medan magnet dan listrik
1
E2. u
yang bergerak. Energi yang tersimpan pada medan listrik ⃗
E adalah u= 2 ε 0 ⃗
merupakan energi per satuan volume. Energi yang tersimpan pada medan magnet
1 2μ
⃗
B sebesar u= 2 ⃗
B / 0 . Jadi energi total yang tersimpan per satuan volume dalam
ruang yang terdapat gelombang elektromagnetik dapat dinyatakan sebagai [5]:
1
1 2 μ
u=uE + uB = ε 0 ⃗
E2 + ⃗
2
2B / 0

(II.33)

Persamaan ⃗
E dan ⃗
B menunjukkan kuat medan listrik dan medan magnet
pada gelombang elektromagnetik pada setiap saat di suatu daerah kecil pada
ruang[5].

II.3 FDTD (Finite Difference Time Domain)

9

Finite Difference Time Domain adalah salah satu metode yang banyak
digunakan untuk mensimulasikan perilaku gelombang elektromagnetik [7]. Metode
FDTD pada dasarnya merupakan metoda analisis wilayah tertutup, oleh karena itu
untuk diaplikasikan pada persoalan analisa wilayah terbuka agar tidak timbul
pantulan gelombang pada dinding wilayah analisa, maka perlu dipasang batas serap
(absorbing boundary) secara khayal [4].

II.3.1 FDTD 1 Dimensi
Algoritma FDTD 1 dimensi dapat diselesaikan dengan membatasi nilai
pada medan elektromagnetik pada sistem dengan tidak ada variasi dalam dua
dimensi, sehingga hanya menurunkan dan terpolarisasi terhadap unsur y dan z dan
nilai terhadap arah sumbu x adalah konstan. Saat tidak ada sumber magnet dan
listrik maka konduktivitas (�)=0, dengan menganggap media ruang hampa, maka
ρ=0, J=0, dan � dan � konstan serta tidak bergantung pada posisi untuk medium
homogen dan isotropik. Sehingga persamaan Maxwell (II.3) dan (II.4) dapat
disederhanakan menjadi [7]:
∂ Ex
∂ t =0

∂Hx
∂t =0

∂ E y −1 ∂ H z
∂t = ε ∂ x
∂ H y 1 ∂ Ez
∂t = μ ∂x
∂ Ez 1 ∂ H y
∂t = ε ∂x

∂ H z −1 ∂ E y
∂t = μ ∂ x

(II.34)

Persamaan (II.46) merupakan persamaan Maxwell untuk kasus satu
dimensi pada algoritma FDTD. Medan elektromagnetik diturunkan terhadap
10

waktu dimana turunan terhadap sumbu x adalah konstan. sehingga diperoleh
persamaan berikut:
1 D TM

1 D TE

∂ H y 1 ∂ Ez
∂t = μ ∂x

(II.35a)

∂ Ez 1 ∂ H y
∂t = ε ∂x

(II.35b)

∂ E y −1 ∂ H z
∂t = ε ∂ x

(II.36a)

∂ H z −1 ∂ E y
∂t = μ ∂ x

(II.36b)

Persamaan (II.35) dan (II.36) merupakan turunan waktu dan ruang
terhadap medan elektromagnetik. Pembatasan masalah seperti ini berfungsi untuk
mengamati medan elektromagnetik sebagai kombinasi linier dari transverse
magnetik (TM) dan transverse electric (TE).
Medan listrik merupakan unsur pada sumbu z sedangkan medan magnet
mempunyai unsur pada sumbu y, sehingga disebut modus TM. Sebaliknya untuk
medan magnet merupakan unsur pada sumbu z dan medan listrik hanya
mempunyai unsur pada sumbu y, sehingga disebut dengan modus TE.
Penempatan dari vektor medan listrik dan medan magnet pada kotak satu
dimensi ditunjukkan pada Gambar II.1 untuk kedua modus TM dan modus TE,
komponen ⃗
E terletak di titik-titik grid dalam nilai x, dan titik grid dalam waktu t;
komponen ⃗
H terletak di titik setengah grid.

11

Gambar II.1 Penempatan medan listrik ⃗
E dan medan magnet ⃗
H untuk persamaan
Maxwell (a. TM dan b. TE ) [7]
Berdasarkan persamaan dari TM dan TE maka didapatkan nilai ⃗
E dan ⃗
H pada
modus TE adalah:
E

n +1
y (

1
1
n+
n+
∆t
1
2
i ) =E i ) − ε ∆ x [H z i+ 2 −H z 2 (i−1/ 2)]

n+

( )

n
y(

1

n−

H z 2 ( i+1 /2 ) ¿ H z

1
2

∆t

n

(II.37a)

n

(II.37b)

( i+1/2 ) − μ ∆ x [ E y ( i+1 ) −E y ( i ) ]

nilai E dan H pada modus TM adalah:
1
1
n+
n−
∆t
H y 2 ( i+1 /2 ) ¿ H y 2 ( i+1/2 ) + μ ∆ x [E nz ( i+1 )−E nz ( i ) ]

(II.38a)

1
1
n+
n+
∆t
1
Enz +1 ( i ) =Enz ( i ) + ε ∆ x [ H y 2 i + 2 −H y 2 (i−1/2)]

(II.38b)

( )

Grid

interval

waktu

medan

listrik

menunjukkaan

t

=

…(n-1)

∆ t , n ∆ t , ( n+1 ) ∆ t , dengan cara yang sama waktu turunan terhadap medan
magnet, karena grid interval waktu dimana medan magnet berada adalah
t=… ( n−1/2 ) ∆ t , ( n+1 /2 ) ∆ t ,maka dituliskan t=n ∆ t . Nilai i menunjukkan jarak,

12

sehingga x = ∆ x ∙i . Pada dasarnya medan listrik dan medan magnet diletakkan
pada setiap pojok grid dan medan magnet diletakkan dipusat permukaan secara
tegak lurus, maka dapat digambarkan peletakkan waktu medan elektromagnetik
dibawah ini:

Gambar II.2 Peletakkan Waktu Medan Elektromagnetik [4]

13

BAB III
METODOLOGI PENELITIAN

III.1 Prosedur Penelitian
Penelitian ini menggunakan metode FDTD. Metode ini digunakan untuk
mensimulasikan

rambatan

distribusi

elektromagnetik.

Algoritma

FDTD

diselesaikan dengan membatasi nilai pada medan elektromagnetik pada sistem 1
dimensi berdasarkan variasi syarat awal dan syarat batas.
III.1.1 Program Simulasi Persamaan Maxwell
Program simulasi dilakukan dengan memodelan FDTD menggunakan 3
jenis pulsa sebagai sumber gelombang elektromagnetik yakni pulsa Diskrit, pulsa
Kotak, dan pulsa Gauss pada ruang hampa dan media kaca.
Prosedur program simulasi yang digunakan pada penelitian ini mengikuti
langkah-langkah sebagai berikut:
1. Menentukan titik diskritisasi, waktu iterasi

pada ruang hampa dan

parameter yang digunakan : μ=1, ε=1.
2. Menentukan syarat fungsi pulsa sebagai pemodelan sumber gelombang
elektromagnetik.

3. Menentukan H dan E dengan syarat awal ( t )={0, 25,50, 75 }
4. Menentukan H dan E dengan syarat batas ( x ) ={0, 25,50, 75 }

14

5. Menghitung E dan H
6. Menghitung energi EM
7. Menganalisis EM
a. Melakukan analisis dengan membandingkan hubungan E dan H
terhadap jenis pulsa awal.
b. Analisis hubungan antara energi EM terhadap waktu dari gambar
yang didapatkan.
8.

Menentukan titik diskritisasi, waktu iterasi

pada media kaca dan

parameter yang digunakan : μ=106,ε =4,7 .
9. Mengulangi langkah 2 sampai 7.

15

III.2 Bagan Alur Penelitian
Mulai

Studi literatur

Membuat
Program Simulasi

Menentukan syarat
awal, dan syarat
batas

FDTD

E dan H pada modus TE
dan TM

Energi EM

Visualisasi
Simulasi

Analisis Hasil Penelitian

Selesai
16