Buku Pintar Pelajaran Ringkasan Materi D

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Bentuk Pangkat
Pangkat disebut juga dengan eksponen. Bilangan berpangkat
meliputi bilangan berpangkat bulat positif, negatif dan nol.
Secara umum bilangan berpangkat ditentukan sebagai berikut :
+¿
a ∈ R dan n ∈ B¿ maka an =a × a× a ×… × a

Jika

sebanyak n faktor
a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat .
1
−n
+¿
Jika a ≠ 0 , a ∈ R dan n ∈ B¿ maka a = n
a
Bilangan berpangkat negatif disebut bilangan berpangkat tak
sebenarnya.
Jika a ≠ 0 , a ∈ R dan n=0 maka a0 =1
+¿

Jika a=0 , a ∈ R dan n=B¿ maka 0n=0
−¿
Jika a=0 , a ∈ R dan n=0 dan n=B¿ maka 0n tidak terdefenisi
Sifat – sifat bilangan berpangkat :
a.
b.
c.
d.
e.

am . an =am +n
m
a
=a m−n
n
a
a
n
mn
(¿¿ m) =a

¿
m
m
n
(ab) =a . a
a am
= n
b
a

()
m

f.

n

a n =√ am

Contoh :

1. ( 5 a 4 b−5 )( 2 a−3 b 7 )=…
2.

3 12+a .9 2 a−7
=…
35 a

3 a6 b5
3.
9 2
81 a b
Jawab :

(

1573

−1

)

=…

1.
4 −5

¿ ( 5 ×2 ) ( a4 . a−3 ) ( b−5 . b 7 )
¿ ( 10 ) ( a 4+ (−3 ) ) (b−5+7 )
2
¿ 10 a b

7

( 5 a b )( 2 a b )
−3

3
(¿¿
2)2 a−7
312+a .

35 a
¿¿
3 12 .3 a .3 4 a .3−14
¿
35 a
3 12+(−14) . 3a+ 4 a
¿
35 a
−2
5a
3 .3
¿
5a
3
−2
¿3
1 1
¿ 2=
3 9

2.
12+a
2 a−7
3
.9
5a
3

3.

(

6

5

3a b
9 2
81 a b

¿

−1

)

1

3 a6 b5
81 a9 b2
81a 9 b 2
¿
3 a6b5
3 4 a9 b2
¿ 6 5
3a b
¿ ( 34 :3 ) ( a9−6 ) (b 2−5)
¿(3 3 a 3 b−3)
3
3a

¿
b

(

)

( )

Bentuk Pangkat
1) Definisi
Jika

a∈R

a)

a n =√ a

b)

1

m
n

dan

+¿
m ,n ∈ B¿ , maka berlaku:

n

n

a =√ am

2) Operasi Aljabar
Untuk setiap
hubungan;

1573

a , b dan c ,

+¿
n ∈ B¿

bilangan positif maka berlaku

n

a)
b)

n

n

a √ c ± b √ c=(a ± b) √ c

√n a × √n b=√n ab
n
√
a na
c) n =
√b b
d) √ a ± √ b=√ ( a+b ) ± 2 √ ab

√

3) Rasionalisasikan Penyebut
a
a
b a b
= ×√ = √
a)
√b √ b √b b
c
c
a ∓ √ b c (a∓ √b)
=
×
=
b)
2
a ±√b a ± √b a ∓ √b
a −b
c
c
a ∓ √b c( √ a∓ √b)
=
×√
=
c)
a−b
√a ± √ b √ a ± √b √ a ∓ √b
Contoh :
1. Bentuk sederhana dari
2.
3.

√
3

3

√ 80 a4 b 3

adalah …

3

4 x
=…
−6
y

5

√ a √ √ =…
4

3

2 a a

Jawab :
1. √ 80 a4 b 3=4 a2 b3 √5 b
2.

√

3.

√ a √ √ = √a (

3

43 x3
=4 x y 2
−6
y

5

4

3

2 a a

5.4.3

( 8+1) 3 )+1

60

15

¿ √ a 28 = √ a7

Bentuk Logaritma
Definisi
a=g

x

jika dan hanya jika

Sifat – sifat logaritma :
a.

g
❑

g

g

log ( ab )=❑log a+ ❑log b

1573

g

x=❑log a

dengan

+¿ , g ≠ 1
¿
g∈R

g

a g
g
log =❑log a−❑log b
b
❑
g
c. ❑log a n=n ❑glog a
i. ❑glog g=1
ii. ❑glog gn=n
iii. ❑glog 1=0

b.

g

m

n g
log a
m❑
❑
g
p
log a
log a= ❑p
d.
❑
❑ log g
g
1
log a= a
i.
❑
❑ log g
g
a
g
ii.
❑log a . ❑log b=❑ log b
e. g log a=a
iv.

log an=

g
❑

Contoh :
6
36
+ log
−log 4 +5−log 54=…
1. log
100
100
a2
b2
c2
+ log
+ log
=…
bc
ac
ab
3. Jika log 2 x =1 maka 25
❑ log x sama dengan …
Jawab :
6
36
¿ log 6−log 100+log 36
+ log
−log 4 +5−log54
1. log
−log 100−log 4 +5−log 54
100
100
2
2
¿ log 6−log 10 + log 6
2
2
2
−log 10 −log 2 + 5−log 3 .6
¿ log 6−2+ 2 log6−2−2 log2
+5−2 log 3−log 6
6+1−2 log2−¿ 2 log3
¿ 2 log¿
¿ 2 log2+2 log3+1−2 log2
−2 log 3
¿1
2.

log

( ) ( ) ( )

2.
2

log

3.

2

2

( bca )+ log ( acb )+ log ( abc )
log 2 x =1
2 x =10
x=5

1573

1

a2 b2 c 2
. .
bc ac ab
¿ log 1
¿0
¿ log

(

)

25
❑

5

2

log 5= log 5=
❑

15
1
❑ log5 =
2
2

SOAL KOMPETENSI
1. Bentuk paling sederhana dari
9

a.

2
13
2
10
2

b.

d,

( a3 . b−2 ) ( a−2 . b3 )

2. Hasil dari

−3

83 × 4 5
adalah …
16 2
c. 211
2

e.

12

adalah …
9

3.

a.

(ab)9

b.

a
b

c.

9

()

1
2

−3

−1

−3
2

( )
a .b

a .b

d.

(ab)11

b.

()

2
3

=…
c.

ab

d.

a √b

−7

4. Bentuk sederhana dari
a2−2 a+1
2
a +2 a+1

a.
b.

5.

{ ( ) }( )
(p

2
3

.q

1
2

)

q

p

a.
b.

1573

a
11
b

11

a
b

b
a
b√a
a
b

a.

e.

−1 −1
2
−2
3

1
pq
2
√ pq

:

p
p

1
a−1
1−a
1+ a
2
c. a −1
d. 1−a 2

−6

e.

1
1+ a

5

( )( )( )

adalah …
e.

a2

−1
3
−1
2

=…

c.

pq

d.

p √q

e.

√ q √3 p

2 −3

16 x y
−4 −7
6. Bentuk sederhana dari 2 x y
adalah …
a.

2x

−6

b.

2 x y

3

6

1

3

−10

2 7
c. 2 x y

4

d. 2 x

y



1
2

1

8. Bentuk sederhana dari
a. (3
b. 3(

ab
ab

(

)2

c. 9(

)2

d.

3
7

3

y7

7 x 3 y −4 z−6
−7 −1 −4
7. Bentuk sederhana dari 84 x y z
=…
10 10
3 2
x z
y z
3
4
a. 12 y
c. 12 x
z2
x10
4 3
3 2
b. 12x y
d. 12 y z
27 a−5 b−3
35 a−7 b−5

−

2
e. 2 x y

10

x y
2
e. 12 z

5

−1

)

adalah …

ab

)2

3
(ab )2

e.

9
(ab )2

2

36 x 2 y 2 5 b(ab )
⋅ 3 2
9. Bentuk sederhana dari 15 ab 24 x y
adalah …
5a
ay
a. 2 x
c. 2 x
3b
2x
ab
ab 2
b. 2 x
d. 2 y

e.

3 −4 −3

10.

(2 x y )
4 x−4 y 2

Bentuk

dapat disederhanakan menjadi …

2 5

a.

( )
( 2xy )
y
2x

2 5

b.
1573

c.

1
2

y2
x

5

( )
10

y
5
d. 32x

14

e.

y
2 x5

11.

Hasil dari
a10 b
c
a.
b
2
b. a c

4

2 a2 b
⋅ 2 : 8 a6 c 3
−1
c
a

( )

=…
2a 8 b
c
c.

2

13.

Bentuk

e.

d. 2

( )(
a

12.

10

b

−3
−

1
3

2
3

¿ a ¿b

1 2
2

):

bc

1

()
a2
1

b3

senilai dengan …
6

a.

ab

b.

a √b

2 a bc

c. b √ ab
6 5
a
b
√
d.

1

4

1

3 2
e. a b

a−1 +b−1
ab
Bentuk
dapat dinyatakan dengan bentuk …
1
a+b
2 2
ab
a.
c. a b
e. a + b
a+b
1
2 2
b. a b
d. a+b

x −1 − y−1
14.

1
2

x +y

Dalam bentuk pangkat positif dan bentuk akar

√ x− √ y
xy

a.

c.

xy ( √ x+ √ y )

d.

xy ( √ x− √ y )

1
2

=…

e.

√ x+ √ y
b.

15.

xy
√ y−√ x
xy

Diketahui p =

3
2

1
2

1
3

−

1
3

( x + x )( x −x ) dan

q

=

1
2

−

1
2

1
3

( x + x )(x −x ) ,

p
maka q = …
a.
1573

3

√x

c.

x

e.

3 2

x√x

b.

3

√ x2

d.

3

x√ x

√ a √ a √a
√a √a
3 4 3

16.

Bentuk sederhana dari

3

adalah …

1
a.
b.

17.

√a 5
6

√a

b.

c.

5

Bentuk
a.

18.

6

5

a √a
1

(

)

6

√a

6

√a

d.

x−1+ y−1
xy

e.

1
2

senilai dengan ....

√ x+ y
√ x+ √ y

c.

xy √ x+ y

e.

xy
√x + y

√ x+ y
d.

xy

Bentuk berikut yang merupakan bentuk akar adalah …
a.
b.

√

1
4
5
√ 243
√1

c.

√2

d.

√3 8

e.

6
=
√18 …

19.

a.

√2

b.

√3

c.

2 √3
d.

e.

√6

2 √6

4 48  5 12  6 27  .........

20.

a.
b.
21.

−24 √ 3
24 √ 3

c. 12 √3
d. −12 √ 3

e. 0

1

3

√ 0, 125+ 5 +( 0,5 ) 2 =
√ 32
a. 0,25

1573

c. 0,75

e. 1,25

b. 0,50

d. 1,00

√8 × √6 × √ 2 =
4 √3

22.

…

a. 1
b. √ 2

c.

e.

√3

23. Dengan merasionalkan penyebut pecahan
sederhananya adalah…
23  6 10
23
a.

13  6 10
23
c.

13  6 10
23
b.

23  6 10
13
d.

√ 5+2 √6=

24.

a.
b.

23  6 10
13
e.

…

√ 3+√ 2
√ 3−√ 2

d.

√ 2−√ 3
√ 6+√ 5

c.

3
2
√ 10− √ 15
5
5

c.

a.

…
2
3
− √5− √5
5
5

b.

2
3
√15− √ 10
5
5
1
32

44
=
√28−10 √3 …
a. 10+2 √3
b.

1573

d.

e.

√ 6− √5

e.

3
2
√ 10+ √15
5
5

10−2 √ 3

−

2
3
√5+ √5
5
5

2− x

( )

√3 8x +2=

Jika
a. 7
b. 12

27.

6  10
6  10 , bentuk

√6 =
√15−√10

25.

26.

√6

d. 2

maka nilai dari

2

8 x−x =…

c. 15
d. 16

e. 33

c.

2 √3−10

d. 4

e. -4

√ √√9 =

4 3

28.

29.

12

…

a.

1
9

c. 1

b.

1
3

d. 3
5
❑

log 3+ ❑5 log 4−❑5 log2−❑5log 6
c. 2
d. 3

Nilai dari bentuk
a. 0
b. 1

e. 9

adalah …
e. 4

a
❑

log b × ❑b log c × ❑c log a=…

30.

1
e. abc

1 – abc

31.

a.
b. 1+abc
Jika log a=p
a. p3 +q2
b. 3 p+ 2 q

dan

d. -1
e. 1
log b=q maka log a3 + log b 2=…
c. p3 +2 q
e. ( p+q)3+ 2
d. 3 p+ q2

3
5
4
32. Jika log 5  p dan log 4  Q, maka log15  ...
p.q
p 1
a. 1  p
c. q  1

pq
b. pq

33.

p 1
e. pq

pq
d. 1  p

2
2
2
2
Jika log a  log b  12 dan log a  log b  4 maka a + b = …
a. 144
c. 1024
e. 528
b. 272
d. 1040

9
34. Jika log 8  m, maka
3

a. 2m

b.
35.



Jika

2

2m
c. 3
3
d. 2m

3
4m
a

log 3  ...

log b  4, c log a  2 dan a , b , c bilangan positif,
1

 a log(b.c) 4  2
nilai dari 
adalah…
1573

e.



2
3m

a 1, c 1

maka

36.

37.

38.

a. 2 6

c. 36

b. 3 2

d. 64

x
❑

Jika

b.

Jika

a=0,6666 …

a.

dan

e.

d. 6

b=0,4444 …

maka

log a
=…
log b

1
2

e. 3

d. 2
9

log 4=

−3
2a

maka

0,25
❑

log 27=…

a
2
−a

c.

d.

log 3=a

dan

log 2=b

3a
2

e.

−a
2
maka

3
log 3 =…
8

a.

3( a−b)

c.

3(a+ b)

b.

3(b−a)

d.

3 ab

1573

−2

21

7
2

c.

b. a

Jika

e.

c.

1
4
1
3

❑

40.

x=…
c. 21
d. 21−1

log 8 √ 3+ log 9 √2+ log 3
=…
log6
3
a.
2
2
3
5
b.
2

a.

39.

maka

log 21=−0,5
a. 213
b. 212

e. 16

e.

3a
b