Studi Transformasi Bentuk Fuzzy Linear Programming Ke Bentuk Linear Programming
PROGRAMMING
KE BENTUK
LINEAR PROGRAMMING
SKRIPSI
JOSEPHINE
050803006
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011
(2)
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
JOSEPHINE
050803006
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011
(3)
PERSETUJUAN
Judul
: STUDI TRANSFORMASI BENTUK
FUZZY LINEAR
PROGRAMMING KE BENTUK
LINEAR
PROGRAMMING
Kategori
: SKRIPSI
Nama
: JOSEPHINE
Nomor Induk Mahasiswa
: 050803006
Program Studi
: SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
: MATEMATIKA
Fakultas
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA
Diluluskan di
Medan, Juni 2011
Komisi
Pembimbing
:
Pembimbing II,
Pembimbing I,
Prof. Dr. Iryanto, M.Si. Prof. Dr. Herman Mawengkang
NIP. 19460404 197107 1 001 NIP. 19461128 197403 1 001
Diketahui/ Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si.
(4)
PERNYATAAN
STUDI TRANSFORMASI BENTUK
FUZZY LINEAR PROGRAMMING KE BENTUK
LINEAR PROGRAMMING
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan
dan ringkasan yang masing – masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juni 2011
JOSEPHINE
050803006
(5)
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha
Penyayang, dengan limpah karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini
guna melengkapi syarat memperoleh gelar sarjana Matematika pada Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam di Universitas Sumatera Utara.
Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Prof. Dr. Herman Mawengkang
selaku Dosen Pembimbing I dan Prof. Dr. Iryanto, M.Si. selaku Dosen Pembimbing II
dan juga kepada Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si dan Drs. Henri Rani Sitepu, M.Si. selaku
dosen penguji pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan, pengarahan,
banyak meluangkan waktu, dan penuh kepercayaan kepada saya dalam menyempurnakan
skripsi ini. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen
Matematika Prof. Dr. Tulus, M.Si. dan Dra. Mardiningsih, M.Si., Dekan dan Pembantu
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara,
semua dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU, dan
rekan – rekan kuliah yang tidak dapat ditulis satu per satu yang terus memberikan
semangat dan turut membantu sehingga selesainya skripsi ini. Akhirnya, tidak terlupakan
ucapan terima kasih yang sedalam – dalamnya kepada kedua orang tua saya dan kakak
saya yang telah memberikan banyak doa, bimbingan, dan dorongan serta bantuan, baik
material maupun non material dan juga kepada semua ahli keluarga yang selama ini
memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan. Semoga Tuhan Yang Maha Kuasa
memberikan balasan atas budi baik yang telah diberikan kepada penulis. Amin.
(6)
ABSTRAK
Sejak munculnya
Fuzzy Linear Programming di tahun 1940-an, asumsi kepastian tentang
nilai-nilai parameter pada masalah pengambilan keputusan yang dimodelkan dengan
program linier, dalam praktek kenyataan sering sulit dipenuhi, bahkan sering banyak
terdapat ketidaktepatan. Untuk memecahkan dan mengakomodasi ketidakpastian tersebut,
penyelesaian dengan menggunakan
Fuzzy Linear Programming memegang peranan yang
penting, yang mana dapat mengformulasikan ketidakpastian dalam praktek kenyataan.
Kajian ini bertujuan untuk mempermudah di dalam menyelesaikan masalah
Fuzzy Linear
Programming dengan cara terlebih dahulu mengtransformasikan bentuk
Fuzzy Linear
Programming ke bentuk
Linear Programming biasa yang lebih familiar cara
penyelesaiannya.
(7)
THE STUDY OF TRANSFORMATION FROM FUZZY LINEAR
PROGRAMMING TO LINEAR PROGRAMMING
ABSTRACT
Since the emergence of Fuzzy Linear Programming in the 1940s, the assumption of
certainty about the values of the parameters in the decision-making problem which is
modeled with linear programming in real-world systems are too complex to be defined
and imprecision is often involved. Then to resolve and accommodate this uncertainty, the
using of Fuzzy Linear Programming has an essential role which can formulate the
uncertainty in the real-world problems. This study aims to simplify in solving Fuzzy
Linear Programming problems by first transforming the form of Fuzzy Linear
Programming to the classic Linear Programming form which the solution has been more
familiar.
(8)
DAFTAR ISI
Halaman
Persetujuan
ii
Pernyataan
iii
Penghargaan iv
Abstrak
v
Abstract
vi
Daftar Isi
vii
Bab 1 Pendahuluan
1.1 Latar Belakang
1
1.1.1 Linear Programming
2
1.1.2 Fuzzy Linear Programming
2
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Pembatasan Masalah
3
1.4 Tujuan Penulisan
3
1.5 Manfaat Penulisan
3
1.6 Metodologi Penulisan
4
1.7 Tinjauan Pustaka
4
Bab 2 Landasan Teori
2.1
Himpunan
Fuzzy
6
2.2 Fungsi Keanggotaan
pada Himpunan Fuzzy
6
2.3
Bilangan
Fuzzy
8
2.4 Aritmatika pada Bilangan Fuzzy Triangular
10
2.5 Matriks Non Negatif dan Vektor Fuzzy Non Negatif
11
2.6 Sistem Persamaan Linear Fuzzy
11
2.7 Metode Penyelesaian Program Linear
20
Bab 3 Pembahasan
23
Bab 4 Kesimpulan dan Saran
4.1
Kesimpulan
29
4.2
Saran
29
(9)
ABSTRAK
Sejak munculnya
Fuzzy Linear Programming di tahun 1940-an, asumsi kepastian tentang
nilai-nilai parameter pada masalah pengambilan keputusan yang dimodelkan dengan
program linier, dalam praktek kenyataan sering sulit dipenuhi, bahkan sering banyak
terdapat ketidaktepatan. Untuk memecahkan dan mengakomodasi ketidakpastian tersebut,
penyelesaian dengan menggunakan
Fuzzy Linear Programming memegang peranan yang
penting, yang mana dapat mengformulasikan ketidakpastian dalam praktek kenyataan.
Kajian ini bertujuan untuk mempermudah di dalam menyelesaikan masalah
Fuzzy Linear
Programming dengan cara terlebih dahulu mengtransformasikan bentuk
Fuzzy Linear
Programming ke bentuk
Linear Programming biasa yang lebih familiar cara
penyelesaiannya.
(10)
THE STUDY OF TRANSFORMATION FROM FUZZY LINEAR
PROGRAMMING TO LINEAR PROGRAMMING
ABSTRACT
Since the emergence of Fuzzy Linear Programming in the 1940s, the assumption of
certainty about the values of the parameters in the decision-making problem which is
modeled with linear programming in real-world systems are too complex to be defined
and imprecision is often involved. Then to resolve and accommodate this uncertainty, the
using of Fuzzy Linear Programming has an essential role which can formulate the
uncertainty in the real-world problems. This study aims to simplify in solving Fuzzy
Linear Programming problems by first transforming the form of Fuzzy Linear
Programming to the classic Linear Programming form which the solution has been more
familiar.
(11)
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori himpunan fuzzy banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu seperti teori kontrol dan manajemen sains, pemodelan matematika dan berbagai aplikasi dalam
bidang perindustrian. Karena dalam praktek kenyataanasumsi kepastian tentang
nilai-nilai parameter pada masalah pengambilan keputusan yang dimodelkan dengan program linear sering sulit dipenuhi, maka sering terjadi kekurangakuratan dalam
masalah pengambilan keputusan. Untuk memecahkan dan mengakomodasi
ketidakpastian tersebut, akan didekati dengan teori himpunan fuzzy. Fuzzy Linear Programming memiliki peranan penting dalam pemodelan fuzzy yang dapat merumuskan ketidakpastian ke dalam lingkungan nyata.
Banyak jenis permasalahan Fuzzy Linear Programming yang pernah
dikemukakan oleh para ahli dan juga telah diusulkan beberapa pendekatan untuk memecahkan masalah ini. Secara khusus, metode yang paling sesuai adalah
didasarkan pada konsep perbandingan bilangan fuzzy dengan menggunakanranking
function. Biasanya dalam metode tersebut, didefinisikan sebuah crisp model yang
disetarakan dengan masalahFuzzy Linear Programming dan kemudian menggunakan
solusi yang optimal dari model tersebut sebagai solusi yang optimal dariFuzzy Linear
Programming. Selain itu, dengan menggunakan ranking function linear umum,
diperkenalkan algoritma dual simplex untuk menyelesaikan masalah pemograman
linear dengan variabel fuzzy dandualnya.
Asumsikan bahwa dalam sebuah permasalahan program linear terdapat beberapa parameter yang merupakan bilangan fuzzy, inilah yang disebut sebagai
(12)
masalah Fuzzy Linear Programming. Mungkin saja beberapa koefisien dari permasalahan tersebut, misalnya pada fungsi tujuan, koefisien teknis, koefisien ruas kanan ataupun variabel pengambilan keputusan itu merupakan bilangan fuzzy.
1.1.1 Linear Programming
Untuk mendefinisikan masalah Fuzzy Linear Programming, sebelumnya
diperkenalkan permasalahan program linear. Program linear adalah sebuah metode matematika yang digunakan untuk mencari hasil paling optimal (seperti keuntungan maksimal atau biaya terendah) dalam suatu model matematika dengan beberapa daftar kendala yang direpresentasikan dalam persamaan linier. Sebuah permasalahan program linear dapat didefinisikan sebagai berikut:
Maks : z = cx
s.t : Ax b
x ≥0 di mana :
x =(x1, , xn)T, c = (c1, , cn),b = (b1, , bm)T, danA = [aij]m×n
cj, bi, dan aij merupakan bilangan – bilangan crisp. Tetapi bagaimanapun, dalam
masalah pengambilan keputusan di dunia nyata, adalah hal biasa jika estimasi
koefisienLinear Programming yang digunakan itu tidak tepat. Selain itu, pengambil
keputusan juga mungkin mengizinkan beberapa pelanggaran dalam pencapaian
kendala. Dalam kasus ini,Fuzzy Linear Programming memberikan fleksibilitas.
1.1.2 Fuzzy Linear Programming
Pandang masalahLinear Programming berikut:
Maks : ~z = c x~
s.t :
≥ =
0 ~
~ ~
x b x A
di mana matriks koefisienA = [aij]m×n dan vektor c = (c1, , cn) adalah matrikscrisp
(13)
non negatif sehingga ~xj,b~i ∈F(R) untuk semua 1≤ j≤ n , 1≤i ≤ m , disebut
sebagai masalahFuzzy Linear Programming.
Dalam tulisan ini akan dijelaskan cara menyelesaikan Fuzzy Linear
Programming dengan mentransformasikan bentuk Fuzzy Linear Programming ke
bentukLinear Programmingterlebih dahulu.
1.2 Perumusan Masalah
Masalah yang akan dibahas adalah bagaimana cara mentransformasikan bentukFuzzy
Linear Programming menjadi permasalahan program linear klasik yang penyelesaiannya lebih familiar dan sederhana.
1.3 Pembatasan Masalah
Dalam tulisan ini, masalah yang dibahas adalah penyelesaian persoalan Fuzzy Linear
Programming dengan bilangan fuzzy triangular. Sebuah bilangan fuzzy
triangular A~ sebarang ditunjukkan oleh A~=(mA,αA,βA) dengan F(R) adalah
himpunan dari bilangan fuzzy triangular.
1.4 Tujuan Penulisan
Tujuan yang ingin dicapai adalah untuk mengetahui cara menyelesaikan masalah
Fuzzy Linear Programming dengan bilangan fuzzy triangular dengan
mentransformasikannya terlebih dahulu ke bentuk masalahLinear Programming.
1.5 Manfaat Penulisan
Penulisan ini dapat dimanfaatkan untuk mempermudah di dalam menyelesaikan
permasalahan Fuzzy Linear Programming dan berguna di dalam studi/ pembelajaran
(14)
1.6 Metodologi Penulisan
Metodologi penulisan ini bersifat literatur atau kepustakaan dengan langkah - langkah sebagai berikut :
1. Memaparkan beberapa definisi serta teorema yang mendukung dalam memperoleh hasil utama penulisan ini.
2. Memaparkan langkah – langkah penyelesaian permasalahan Fuzzy Linear
Programming dengan tahapan sebagai berikut:
a. Memaparkan tentang bilangan fuzzy, yaitu dalam hal ini dengan menjelaskan tentang bilangan fuzzy triangular dan aritmatika pada bilangan fuzzy triangular.
b. Memaparkan tentang metode yang digunakan untuk menyelesaikan
masalahFuzzy Linear Programming dan disertai dengan ilustrasi.
1.7 Tinjauan Pustaka
L.A. Zadeh (1965, hal: 338) menyatakan bahwa suatu himpunan fuzzy merupakan sebuah kelas dari objek – objek dengan suatu rangkaian kesatuan dari nilai keanggotaan. Demikian sebuah himpunan digolongkan oleh sebuah fungsi (karakteristik) keanggotaan yang memberikan setiap objek sebuah nilai keanggotaan yang berkisar antara 0 dan 1.
H.J. Zimmermann (1975, hal: 209) menyatakan bahwa pada Fuzzy Linear
Programming, fungsi objektif dan kendala – kendalanya ditunjukkan dengan fungsi keanggotaannya. Zimmermann mendefinisikan fungsi keanggotaan untuk fungsi
objektif dan untuk kendala – kendala pada permasalahanFuzzy Linear Programming.
Sri Kusumadewi dan Hari Purnomo (2004, hal: 376) menyatakan bahwa pada
Fuzzy Linear Programming, akan dicari suatu nilaiz yang merupakan fungsi objektif yang akan dioptimasikan sehingga memenuhi batasan – batasan yang dimodelkan dengan menggunakan himpunan fuzzy. Mereka mereprentasikan tiap batasan dengan
(15)
sebuah himpunan fuzzy dan menentukan fungsi keanggotaan untuk himpunan fuzzy tersebut.
S.H. Nasseri (2008, hal: 2473) menyatakan bahwaFuzzy Linear Programming
adalah sebuah aplikasi dari teori himpunan fuzzy pada masalah proses pengambilan keputusan linear, di mana sebagian besar dari masalah tersebut terkait dengan permasalahan program linear dengan variabel fuzzy.
(16)
LANDASAN TEORI
2.1 Himpunan Fuzzy
Tidak semua himpunan yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari terdefinisi secara jelas, misalnya himpunan orang miskin, himpunan orang pandai, himpunan orang tinggi, dan sebagainya. Misalnya, pada himpunan orang tinggi, tidak dapat ditentukan secara tegas apakah seseorang adalah tinggi atau tidak tinggi. Anggap bahwa definisi “orang tinggi” adalah orang yang tingginya lebih besar atau sama dengan 1.75 meter, maka orang yang tingginya 1.74 meter menurut definisi tersebut termasuk orang yang tidak tinggi. Sulit diterima bahwa orang yang tingginya 1.74 meter itu tidak termasuk orang tinggi. Hal ini menunjukkan bahwa batas antara kelompok orang tinggi dan kelompok orang yang tidak tinggi tidak dapat ditentukan secara tegas.
Untuk mengatasi permasalahan himpunan dengan batas yang tidak tegas itu,
L.A. Zadeh mengaitkan himpunan tersebut dengan suatu fungsi yang menyatakan nilai keanggotaan pada suatu himpunan tak kosong sebarang dengan mengaitkan pada interval [0,1]. Himpunan tersebut disebut himpunan fuzzy dan fungsi ini disebut
fungsi keanggotaan (membership function) dan nilai fungsi itu disebut derajat
keanggotaan.
2.2 Fungsi Keanggotaan pada Himpunan Fuzzy
KetikaA adalah sebuah himpunan tegas (crisp), fungsi keanggotaannya hanya terdapat
2 nilai kemungkinan, yaitu 0 dan 1, dengan fA(x) = 1 atau 0 tergantung pada x
(17)
menjadi anggota dalam suatu himpunan. Nol (0) berarti suatu item tidak menjadi anggota dalam suatu himpunan.
Sebuah himpunan fuzzy A pada X ditandai oleh fungsi keanggotaan fA(x)
yang berhubungan dengan setiap titik di X, sebuah bilangan real pada interval
[ ]
0,1dengan nilai dari fA(x) pada x mewakili derajat keanggotaan x pada A. Maka,
semakin dekat nilai fA(x) ke semesta pembicaraan, semakin tinggi derajat
keanggotaanx padaA.
Semesta pembicaraan adalah keseluruhan nilai yang diperbolehkan untuk dioperasikan dalam suatu variabel fuzzy. Semesta pembicaraan merupakan himpunan
bilanganreal yang senantiasa naik (bertambah) secara monoton dari kiri ke kanan dan
nilai semesta pembicaraan dapat berupa bilangan positif atau negatif.
Domain himpunan fuzzy adalah keseluruhan nilai yang diizinkan dalam semesta pembicaraan dan boleh dioperasikan dalam suatu himpunan fuzzy. Fungsi
keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan
titik – titik input data ke dalam nilai keanggotaan yang mempunyai interval antara 0 sampai 1.
(18)
Keterangan gambar:
Classical (crisp) set A= himpunan tegasA Fuzzy set A~ = himpunan fuzzy A~
membership function = fungsi keanggotaan µ(x)
Definisi 2.1: X adalah sebuah himpunan tak kosong. Sebuah himpunan fuzzy A
padaX ditandai oleh fungsi keanggotaannya:
[ ]
0,1:X →
A
danA(x) diinterpretasikan sebagai derajat keanggotaan dari elemenx
pada himpunan fuzzyA untuk setiap x∈X .
Nilai 0 digunakan untuk mewakili bukan anggota, nilai 1 digunakan untuk mewakili keanggotaan penuh, dan nilai – nilai di antaranya digunakan untuk mewakili
derajat keanggotaan menengah. PemetaanA juga disebut sebagai fungsi keanggotaan
dari himpunan fuzzyA.
Definisi 2.2: Sebuah himpunan fuzzy adalah kosong jika dan hanya jika fungsi
keanggotaannya sama dengan 0 padaX.
Definisi 2.3: Dua himpunan fuzzy A dan B adalah sama, ditulis A = B, jika dan
hanya jika fA(x)= fB(x)untuk semuax padaX.
2.3 Bilangan Fuzzy
Sebuah bilangan fuzzy merupakan perluasan dari bilangan biasa, dalam arti bahwa hal itu tidak mengacu pada suatu nilai tunggal melainkan pada suatu himpunan nilai – nilai yang mungkin berhubungan, dimana setiap nilai kemungkinan memiliki bobot sendiri antara 0 dan 1. Bobot ini disebut sebagai fungsi keanggotaan. Dengan demikian, sebuah bilangan fuzzy adalah sebuah kasus khusus dari himpunan fuzzy konveks. Sama seperti Logika Fuzzy yang merupakan perluasan dari Logika Boolean (di mana hanya menggunakan ”ya” dan ”tidak” dan tidak ada di antaranya), bilangan
(19)
fuzzy merupakan perluasan dari bilangan real. Perhitungan dengan menggunakan bilangan fuzzy memungkinkan penggabungan ketidakpastian parameter, sifat, geometri, kondisi awal, dan sebagainya.
Sebelum menjelaskan tentang bilangan fuzzy, berikut beberapa hal dan definisi yang penting dalam teori himpunan fuzzy: (Hadi Nasseri, 2008, hal: 1778)
1. Sebuah himpunan fuzzyA padaR (barisan bilanganreal) didefinisikan sebagai
himpunan pasangan terurut A=
{
(x,µA(x))|x∈R}
, di mana ~(x)A
µ disebut
sebagai fungsi keanggotaan untuk himpunan fuzzy.
2. Sebuah himpunan fuzzyA disebut normal jika terdapat paling sedikit satu titik
R
x∈ dengan ~(x)=1
A
µ .
3. Sebuah himpunan fuzzy A pada R adalah konveks jika untuk setiap x,y∈R
setiap λ∈[0,1] sehingga µA(λx+(1−λ)y≥min
{
µA(x),µA(y)}
.4. Sebuah bilangan fuzzy adalah sebuah himpunan fuzzy pada barisan bilangan
real yang memenuhi kondisi normalitas dan konveksitas.
Definisi 2.4: Bilangan fuzzyA~ adalah sebuah normalisasi himpunan fuzzy konveks
pada barisan bilanganRsehingga:
1. Terdapat paling sedikit satu xo∈R dengan ~(x0)=1
A
µ .
2. ~(x)
A
µ setidaknya kontinu sebagian.
Diasumsikan fungsi keanggotaan dari sebarang bilangan fuzzy A~ adalah
sebagai berikut:
+ ≤ ≤ −
−
≤ ≤ − −
− =
lainnya yang
untuk m x m m x
m x m
x m
x A A A A
A
A A
A A A
A
, 0
, 1
, 1
) (
~ β
β
α α
µ
di mana mA adalah nilai rata – rata dari A~ dan αAdan βA adalah penyebaran kiri
(20)
bilangan fuzzy triangular ditunjukkan dengan A~=(mA,αA,βA) dan F(R) adalah himpunan dari bilangan fuzzy triangular.
Definisi 2.5: Sebuah bilangan fuzzy A~=
{
(
x,µ~A(x))
x∈R}
adalah non negatif jikadan hanya jika ~(x)=0
A
µ untuk semua x<0. Jadi sebuah bilangan
fuzzy triangular A~=(mA,αA,βA) adalah non negatif jika
0
≥ − A A
m α .
Definisi 2.6: Dua buah bilangan fuzzy triangular A~=(mA,αA,βA) dan
) , , (
~ B B B
m
B= α β dikatakan sama jika dan hanya jika mA =mB ,
B A α
α = , dan β =A βB.
Definisi 2.7: Sebuah bilangan fuzzy A~=(mA,αA,βA) dikatakan simetris jika
A A β α = .
2.4 Aritmatika pada Bilangan Fuzzy Triangular
Asumsikan A~=(mA,αA,βA)dan B~=(mB,αB,βB)adalah dua buah bilangan fuzzy
triangular, aritmatika pada pada kedua bilangan fuzzy tersebut adalah sebagai berikut: (S.H. Nasseri, 2008, hal: 2475)
a. Penjumlahan : A~+B~ = (mA+mB,αA+αB,βA +βB) b. Perkalian skalar: λA~ =
≤ ≥ =
0 ),
, , (
0 ),
, , ( ) , , (
λ λα
λβ λ
λ λβ
λα λ β
α λ
jika m
jika m
m A A A
A A A A
A A
(21)
2.5 Matriks Non Negatif dan Vektor Fuzzy Non Negatif
Definisi 2.8: Sebuah matriksA disebut non negatif dan dinotasikanA≥0 jika setiap
elemen dariA adalah bilangan non negatif.
Definisi 2.9: Sebuah vektor fuzzy b~=(b~i)m×1 disebut non negatif dan dinotasikan
0 ~
≥
b jika setiap elemen dari b~adalah fuzzy non negatif, dengan kata
lain b~i ≥0.
2.6 Sistem Persamaan Linear Fuzzy
Sistem persamaan linearn variabel dann persamaan ditulis dalam bentuk matriks:
y
Ax= (1)
denganA matriks persegi yang entri-entrinya merupakan bilangan real danx, y adalah
vektor – vektor di dalam Rn.
Diberikan u1,u2,L ,un,v1,v2,L ,vn∈F dan a R j
i, ∈ untuk1≤i, j≤n, maka
sistem persamaan linear fuzzy:
n n n n n n n n n n v u a u a u a v u a u a u a v u a u a u a = + + + = + + + = + + + , 2 2 , 1 1 , 2 , 2 2 2 , 2 1 1 , 2 1 , 1 2 2 , 1 1 1 , 1 L M M M M L L (2)
Sistem persamaan (2) dapat ditulis dalam bentuk matriks AU =V dengan
= n n n n n n a a a a a a a a a A , 2 , 1 , , 2 2 , 2 1 , 2 , 1 2 , 1 1 , 1 L M O M M L L
, 2 ,
1 = n u u u U
M dan
= n v v v V M 2 1
(22)
Model sistem persamaan linear (2) mempunyai solusi fuzzy jika terdapat vektor = n x x x X M 2 1
di dalam Fn sedemikian hingga jk j j
n k v x a =
∑
=1 ,
dan jk j j
n k v x a =
∑
=1 ,
,
untuk setiap j=1,2,L ,n.
MengingatDefinisi 2.6 dan aritmatika pada bilangan fuzzy, fungsi-fungsi vj
dan vj dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari xj dan xj. Sistem persamaan (2)
diubah ke bentuk 2 variabel dann 2 persamaan menjadi:n
∗ ∗ =V
BX (3)
dengan = n n n n n n b b b b b b b b b B 2 , 2 2 , 2 1 , 2 2 , 2 2 , 2 1 , 2 2 , 1 2 , 1 1 , 1 L M O M M L L
, X∗ =
[
x1,L ,xn,−x1,L ,−xn]
T dan[
]
Tn n v v
v v
V∗ = 1,L , ,− 1,L ,− .
Entri-entri bi,j ditentukan sebagai berikut:
1. jika ai,j ≥ 0, maka bi,j = ai,j danbi+n,j+n =ai,j
2. jika ai,j < 0, maka bi,j+n =−ai,j dan bi+n,j =−ai,j
3. bi,j = 0, untuk yang lainnya.
Persamaan (3) bukan sistem persamaan linear fuzzy. Persamaan (3) merupakan persamaan linear biasa yang nilai variabelnya berada dalam ruang fungsi. Dengan menggunakan persamaan (3), dimungkinkan sistem persamaan linear fuzzy dapat diselesaikan melalui penyelesaian sistem persamaan linear biasa. Lebih lanjut, matriks
B pada persamaan (3) dapat ditulis dalam bentuk matriks blok
= 1 2 2 1 B B B B B ,
(23)
Contoh 1:
Diberikan sistem persamaan linear fuzzy:
2 2 1 1 2 1 v x x v x x = + = −
Matriks A seperti dalam persamaan (2) adalah
− 1 1 1 1
. Oleh karena itu, diperoleh
matriksB dengan persamaan (3) adalah
= 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 B .
Contoh 2 :
Diberikan sistem persamaan linear fuzzy:
2 2 1 1 2 1
3x v
x v x x = + = −
Jika sistem persamaan ini diubah menjadi persamaan (3), maka:
2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 ) ( 3 ) ( ) ( 3 ) ( v x x v x x v x x v x x − = − + − − = − + = + = − +
Teorema 2.1:Diberikan
= 1 2 2 1 B B B B
B adalah matriks koefesien pada persamaan (3).
Matriks B non singular jika dan hanya jika matriks-matriks A=B1−B2
dan B1+B2 keduanya non singular.
Bukti :
(⇒) Dengan menggunakan operasi elementer baris/ kolom pada matriks
= 1 2 2 1 B B B B
B , didapat matriks
+ + = 1 2 2 1 2 1 B B B B B B
C . Jika matriks C dikenai
operasi elementer jumlahan dua kolom, didapat
− + = 2 1 2 2 1 0 B B B B B
(24)
adalah matriks yang dihasilkan dari operasi elementer jumlahan dua baris/ kolom dari
matriks B. Sedangkan matriks D adalah matriks yang dihasilkan dari operasi
elementer jumlahan dua baris/ kolom dari matriksC.
Hal ini berakibat:
det(B) = det(C) = det(D), sehingga det(B) = det(D)
= det(B1 + B2) · det(B1 B2)
KarenaB non singular maka det(B)≠ 0 dan det(B1 + B2) · det(B1 B2) = det(B)≠ 0.
Hal ini mengakibatkan det(B1 + B2)≠ 0 dan det (B1 B2)≠ 0. Jadi matriks A=B1−B2
dan B1+B2 keduanya non singular.
(⇐) Diketahui matriks A=B1−B2 dan B1+B2 keduanya non singular. Jadi det(B1 + B2)≠ 0 dan det(B1 B2)≠ 0.
Dengan cara yang sama seperti pada bagian sebelumnya, didapat: det(B) = det(C) = det(D)
dengan
+ +
=
1 2
2 1 2 1
B B
B B B B
C dan
− +
=
2 1 2
2
1 0
B B B
B B
D .
Hal ini berakibat: det(B)= det(D)
= det(B1 + B2) · det(B1 B2)≠ 0
Karena nilai det(B1 + B2)≠ 0 dan nilai det(B1 B2)≠ 0. SehinggaBadalah matriks non
singular.
Teorema 2.2:Diberikan
=
1 2
2 1
B B
B B
B adalah matriks koefisien pada persamaan (3).
Jika invers matriksB ada, maka inversnya berbentuk
=
−
M N
N M B 1
. Bukti :
Misalkan bi,j dan b∗i,j berturut-turut menyatakan entri matriksB dan B−1 pada baris
ke-i dan kolom ke-j. Karena ( )
) det(
1
1 adj B
B
(25)
j i
b∗, =
) det( ) det( ) 1 ( , B Bji
j i+ −
(4)
dengan Bj,i sub matriks yang diperoleh dengan cara mengeliminasi baris ke-j dan
kolom ke-i dari matriks B.
Perhatikan sub matriks Bj+n,i dan Bj,i+n . Matriks Bj+n,i dapat diperoleh
melalui operasi elementer pertukaran baris dan kolom dari Bj,i+n sebanyak p kali,
denganp bilangan genap. Oleh karenanya, det(Bj+n,i) = (-1)p det(Bj,i+n) = det(Bj,i+n).
Dari persamaan (4) dan mengingat det(Bj+n,i) = det(Bj,i+n), maka:
j n i
b∗+ , =
) det( ) det( ) 1 ( , B Bji n
j n i + + + − = ) det( ) det( ) 1 ( , B Bj ni
j n i + + + −
= b∗i,j+n
untuk setiap1≤i,j≤n. Sampai di sini, didapat
∗ ∗ = − N N B 1
Perhatikan juga sub matriks Bj,i dan Bj+n,i+n , untuk 1≤i,j≤n . Karena
= 1 2 2 1 B B B B
B maka Bj+n,i+n dapat diperoleh menggunakan operasi elementer
pertukaran baris dan kolom dari Bj,i sebanyakq kali, denganq bilangan genap. Oleh karenanya,
det(Bj,i) = (-1)q det(Bj+n,i+n)
= det(Bj+n,i+n). Hal ini berakibat:
j i b∗, =
) det( ) det( ) 1 ( , B Bji
j i+ − = ) det( ) det( ) 1 ( ) 1
( 2 ,
B
Bj ni n
n j i + + + − −
(26)
= ) det( ) det( ) 1 ( ( ) ( ) , B
Bj ni n
n j n i + + + + + −
= b∗i+n,j+n
untuk setiap1≤i,j≤n.
Terbukti bahwa
= − M N N M
B 1 .
Persamaan (3) merupakan perubahan bentuk dari sistem persamaan linear fuzzy. Walaupun persamaan (3) mempunyai solusi tunggal, tidak berarti sistem
persamaan linear fuzzy langsung diperoleh solusinya. JikaB dalam (3) non singular,
tidak ada jaminan bahwa X =B−1V∈F, untuk setiapV∈F.
Contoh berikut memperlihatkan bahwa persamaan (3) mempunyai solusi tunggal tetapi permasalahan sistem persamaan linear fuzzy tidak mempunyai solusi tunggal.
Contoh 3:
Diberikan permasalahan sistem persamaan linear fuzzy: ) 2 , ( 3 2
1 x x r r
x + − = −
) 3 , 2 (
2 2 3
1 x x r
x − + = +
) 1 , 2 ( 3
2x1+x2+ x3 = − − −r
Jika diubah dalam bentuk persamaan (3), maka diperoleh matriks-matriks :
= 3 1 2 0 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 3 1 2 0 2 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 A , + − − − + = r r r r X 1 3 2 2 2 , dan
(27)
=
3 1 2 0 0 0
1 0 1 0 2 0
0 1 1 1 0 0
0 0 0 3 1 2
0 2 0 1 0 1
1 0 0 0 1 1
B mempunyai invers, sehingga solusi persamaan (3) adalah:
T r r
r r
r r
X =[−2.31+3.62 ,−0.62−0.77 ,1.08−2.15 ,−4.69+3.38 ,1.62−0.32 ,2.92−1.85 ] Misalkan: x1=
[
−2.31+3.62r,4.69−3.38r]
T,[
]
Tr r
x2 = −0.62−0.77 ,−1.62+0.23
[
]
3 1.08 2.15 , 2.92 1.85
T
x = − r − + r
Vektor
(
x1,x2,x3)
bukan solusi sistem persamaan linear fuzzy ini, karena x1 dan x2bukan bilangan fuzzy.
Teorema berikut memperlihatkan syarat cukup dan syarat perlu agar solusi persamaan (3) juga menjadi solusi untuk sistem persamaan linear fuzzy semula. Sebelumnya, didefinisikan pengertian sifat non negatif yang dimiliki suatu matriks.
Matriks Q=
[ ]
qi,j dikatakan non negatif jika untuk setiapi dan setiapj berlaku 0,j ≥ i
q . Sebagai contoh, matriks koefisien pada persamaan (3) di atas adalah matriks
non negatif.
Teorema 2.3:Diberikan sistem persamaan linear fuzzy AU =V dengan n variabel
dan n persamaan. Persamaan BX∗ =V∗ seperti persamaan (3), dengan
B non singular. Solusi BX∗ =V∗ menjadi solusi sistem persamaan
linear fuzzy AU =V jika dan hanya jika matriks B−1 non negatif. Bukti :
(⇒) Misalkan −1
B = [b∗i,j] dan
[
]
T n n x x x
x
X∗ = 1,L , ,− 1,L ,− . Karena X∗ =B−1V∗, maka diperoleh:
(28)
− = ∗
=
∑
ij in
j
i b v
x , 1 i n j i n j v b∗ + =
∑
, 1 (5) − = − ∗+ =∑
i nj in
j
i b v
x , 1 i n j n i n j v b∗+ + =
∑
,1
(6) untuk1≤i,j≤n.
Selanjutnya karena
= − M N N M
B 1 maka persamaan (6) menjadi:
− =
− ∗ +
=
∑
ij n in
j
i b v
x , 1 i j i n j v b , 1 ∗ =
∑
, sehingga xi = ij in j v b , 1 ∗ =
∑
ij n in
j
v b∗ + =
∑
− , 1
(7)
Jika persamaan (7) dikurangi dengan persamaan (5), maka diperoleh:
= − i i x
x ( ij i n j v b , 1 ∗ =
∑
ij n in
j
v b∗ + =
∑
− , 1 )− ( ∗ − =∑
ij in j v b , 1 i n j i n j v b∗ + =
∑
,1
)
= ( ij i
n j v b , 1 ∗ =
∑
− ∗ − =∑
ij in
j
v b , 1
) + ( ij n i
n
j
v b∗ + =
∑
, 1 i n j i n j v b∗ + =∑
− , 1 ) = ( , ( ) 1 i i j i n j v vb∗ −
=
∑
+ , ( ) 1 i i n j i n j v v b∗ + − =∑
) (8) Diketahui V∈Fn maka v v1, 2,L ,vn∈F , sehingga ( )i i v
v − ≥ 0 untuk setiap
n i≤ ≤
1 .
Diketahui pula bahwa xi −xi ≥ 0. Hal ini berakibat b∗i,j≥ 0 untuk setiapi dan
j. Dengan kata lain matriks B−1 = [b∗i,j] non negatif.
(⇐) Misalkan B−1 = [
j i
b∗, ] matriks non negatif. Jadi b∗i,j≥ 0 untuk setiap i dan j.
Dengan cara yang sama seperti pada bagian sebelumnya, didapat persamaan (8):
= − i i x
x ( , ( )
1 i i j i n j v v
b∗ −
=
∑
+ , ( ) 1 i i n j i n j v v b∗ + − =∑
).Selain itu, diketahui pula V∗ =
[
v1,L ,vn,−v1,L ,−vn]
T solusi persamaan (3)dan v v1, 2,L ,vn∈F, maka ( )
i i v
(29)
= − i i x
x ( , ( )
1
i i j i n
j
v v
b∗ −
=
∑
+ , ( )1
i i n j i n
j
v v b∗ + − =
∑
) ≥ 0, untuk 1≤i≤n sehingga1, 2, , n
x x L x ∈F atau
1 2
[ ,x x ,L ,xn]∈Fn. Dengan demikian, solusi ini menjadi solusi
sistem persamaan linear fuzzy.
Dalam Contoh 3, matriks B adalah matriks non negatif. Tetapi invers matriks B,
yakni B−1 adalah:
2.7692 -0.8462 -0.4615 2.2308 -1.1538 -0.5385
-0.4615 0.3077 0.0769 -0.5385 0.6923 -0.0769
-1.6923 0.4615 0.6154 -1.3077 0.5385 0.3846
2.2308 -1.1538 -0.5385 2.7692 -0.8462 -0.4615
-0.5385 0.6923 -0.0769 -0.4615 0.3077 0.0769
-1.3077 0.5385 0.3846 -1.6923 0.4615 0.6154
jelas bukan matriks non-negatif. Sebab terdapat entri matriks B−1 yang bernilai negatif.
Mengingat Teorema 2.3, solusi persamaan linearnya tidak langsung menjadi solusi
persamaan linear fuzzy.
Sebuah sistem persamaan linear fuzzy dapat diubah menjadi bentuk sistem persamaan
linear biasa. Dari sistem n variabel dan n persamaan diubah menjadi sistem 2n
variabel dan 2n persamaan. Solusi sistem persamaan baru tidak secara langsung
menjadi solusi sistem persamaan semula. Contoh 3 memperlihatkan bahwa solusi
sistem persamaan baru tidak menjadi sistem persamaan semula. Jika matriks koefisien dari sistem persamaan bersifat non negatif, maka solusinya menjadi sistem persamaan
semula. Hal ini ditulis dalamTeorema 2.2.
Definisi 2.10:Tinjau sistem persamaan linear m×n sebagai berikut:
b x
A~= ~ (9)
di mana A adalah sebuah matriks crisp non negatif dan ~x =(~xj), )
~ ( ~
i
b
b = adalah vektor – vektor fuzzy non negatif dan ~xj,b~i∈F(R)
untuk semua 1≤ j≤n , 1≤i≤m , disebut sebagai sebuah sistem
(30)
Definisi 2.11:Sebuah vektor fuzzy non negatif x~ merupakan solusi dari Ax~=b~ jika
x
~ memenuhi sistem persamaan tersebut, di manaA dan b~ seperti yang didefinisikan pada (9).
Adapun karena ~x∈Fn(R) dan b~∈Fm(R) , dapat diasumsikan
) , , (
~ x xα xβ
x = m dan b~=(bm,bα,bβ) di mana xm,xα,xβ ∈Rn dan bm,bα,bβ ∈Rm. Maka, sistem Ax~=b~ dapat ditulis sebagai berikut:
0 ),
, , ( ) , ,
(x xα xβ = b bα bβ x −xα ≥
A m m m (10)
Di samping itu, b~ dan x~ adalah dua buah vektor fuzzy non negatif, maka dengan
menggunakanDefinisi 2.6dan aritmatika pada bilangan fuzzy triangular non negatif,
dapat diselesaikan sistemcrisp berikut:
m m
b
Ax = , Axα =bα, Axβ =bβ (11)
Ingat bahwa jika menggunakan bilangan fuzzy triangular yang simetris (Definisi 2.7),
maka sistem Axβ =bβ tidak perlu diselesaikan karena sama dengan sistem Axα =bα.
2.7 Metode Penyelesaian Program Linear
Dalam tulisan ini, setelah permasalahan dalam bentuk Fuzzy Linear Programming
ditransformasi ke bentuk Linear Programming, akan dicari solusi yang optimal dari
model tersebut dan solusi itu juga digunakan sebagai solusi yang optimal dari Fuzzy
Linear Programming.
Linear Programming adalah sebuah metode matematika yang digunakan untuk mencari hasil paling optimal (seperti keuntungan maksimal atau biaya terendah) dalam suatu model matematika dengan beberapa daftar kendala yang
direpresentasikan dalam persamaan linear. Sebuah permasalahanLinear Programming
dapat didefinisikan sebagai berikut:
Maks : z = cx
s.t : Ax b
(31)
di mana :
x =(x1, , xn)T, c = (c1, , cn),b = (b1, , bm)T, danA = [aij]m×n.
Ada beberapa cara untuk menyelesaikan persoalan Linear Programming,
diantaranya dengan menggunakan metode grafik dan metode simplex. Metode grafik
tidak dapat digunakan menyelesaikan persoalan program linear yang memiliki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua, jadi untuk menyelesaikannya
digunakan metodesimplex.
Langkah – langkah penyelesaian program linear dengan metode grafik: 1. Bentuk model matematika dari persoalan untuk:
a. Fungsi tujuan (objective function) b. Fungsi kendala (constraint)
2. Ubah bentuk pertidaksamaan pada kendala menjadi persamaan. 3. Gambarkan grafik pada langkah ke -2 dan tentukan daerah layak.
4. Uji titik – titik ekstrim yang diperoleh dengan mensubstitusikan nilai titik ke fungsi tujuan.
Langkah – langkah penyelesaian program linear dengan metodesimplex:
1. Formulasikan dan standarisasikan persoalan ke model linear.
2. Tambahkan variabelslack pada masing – masing constraint (pembatas) untuk
memperoleh bentuk standar. Model ini digunakan untuk identifikasi solusi
feasible awal dari pembatas bernilai lebih kecil atau sama dengan. 3. Buat tabelsimplex awal.
4. Pilih kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai (cj-zj) yang paling positif
untuk kasus maksimasi atau yang memiliki nilai (cj - zj) yang paling negatif
untuk kasus minimasi.
5. Pilih baris kunci yang memiliki nilai indeks terkecil. Nilai indeks adalah perbandingan nilai kanan dengan kolom kunci.
6. Menentukan nilai elemencell, yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dan
baris kunci.
7. Lakukan iterasi dengan menentukan baris kunci baru, baris z baru, dan baris
(32)
a. Baris kunci baru ditentukan dengan membagi baris kunci lama dengan elemencell.
b. Baris z baru dan baris – baris lainnya ditentukan dengan cara:
Baris lama – (nilai kolom kunci baris yang sesuai × baris kunci baru) c. Letakkan nilai – nilai baris yang baru diperoleh ke dalam tabel
8. Lakukan uji optimalitas. Jika semua koefisien pada baris (cj - zj) sudah tidak
ada lagi yang bernilai positif (untuk kasus maksimasi) atau sudah tidak ada lagi bernilai negatif (untuk kasus minimasi) berarti sudah optimal. Jika kriteria belum terpenuhi, diulangi dari langkah ke - 4.
(33)
PEMBAHASAN
Adapun yang menjadi pembahasan adalah cara mentransformasikan persoalan dalam
bentukFuzzy Linear Programmingdengan bilangan fuzzy triangular ke bentukLinear
Programming dan kemudian akan dicari solusi yang optimal. Dalam kasus ini, akan
didefinisikan sebuah model crisp yang disetarakan dengan masalah Fuzzy Linear
Programming dan kemudian menggunakan solusi yang optimal dari model tersebut
sebagai solusi yang optimal dariFuzzy Linear Programming.
Berikut beberapa definisi penting yang digunakan dalam menyelesaikan permasalahan: (S.H. Nasseri, 2008, hal 2476 – 2477)
Definisi 3.1: Pandang masalahLinear Programming berikut:
Maks : ~z = c x~
s.t :
≥ =
0 ~
~ ~
x b x A
(1)
di mana matriks koefisien A = [aij]m×n dan vektor c = (c1, , cn)
adalah matriks crisp non negatif dan vektor berturut – turut dan
) ~ ( ~
j
x
x = , b~ =(b~i) adalah vektor fuzzy non negatif sehingga
) ( ~ ,
~ b F R
xj i ∈ untuk semua 1≤ j≤ n , 1≤i ≤m , disebut sebagai
masalahFuzzy Linear Programming.
Definisi 3.2: Sebuah vektor fuzzy ~ adalah solusi yang layak (x feasible) dari
b x
A~=~, ~x ≥0di mana A dan b~ seperti yang didefinisikan pada (1), jika ~ memenuhi sistem.x
(34)
Adapun karena ~x∈Fn(R) dan b~∈Fm(R) , dapat diasumsikan )
, , (
~ x xα xβ
x = m dan b~=(bm,bα,bβ) di mana xm,xα,xβ ∈Rn dan bm,bα,bβ ∈Rm.
Maka, sistem A~x=b~ dapat ditulis sebagai berikut: ) , , ( ) , ,
(x xα xβ b bα bβ
A m = m (2)
Di samping itu, b~ dan x~ adalah dua buah vektor fuzzy non negatif, maka
dengan menggunakan Definisi 2.6 dan aritmatika pada bilangan fuzzy triangular non
negatif, itu adalah setara dengan sistemcrisp berikut:
m m
b
Ax = , Axα =bα, Axβ =bβ , xm−xα ≥0 (3)
Sekarang ditetapkan operator ”max” atau maksimum untuk sebuah fungsi
linear fuzzy yang didefinisikan sebagai berikut:
n n n j j j
n c x cx c x x
x f
z (~, ~ ) ~ ~ ~ ~
1 1 1
1 = = ⊕ ⊕
=
∑
=
K
K ,
di mana cj, j=1,K ,n merupakan bilanganreal dan x F R j n
j ( ), 1, ,
~ ∈ = K .
Definisi 3.3: Anggap x~=(~x1,K ,~xn)T dan T
m
b b
b~=(~1,K ~ ) adalah dua buah vektor fuzzy non negatif, di mana ~xj =(xj,xj,xj)dan b~j =(bi,bi,bi)∈F(R).
Sebuah vektor fuzzy x~ memaksimumkan fungsi linear
) ~ , , ~ ( ~
1 xn
x f
z = K sehingga:
0 ~ ~ ~ ≥ = x b x A
, (4)
di mana x~j =(xj,xj,xj), j=1,K ,n dan
j j j x x
x , , , j=1,K ,n adalah
bilangan real non negatif jika dan hanya jika
n n n
n x x R
x x x x x x x x 3 2 2 2 1 1
1, , , , , , , , , )
( ∈
= K memaksimumkan fungsi
real berikut:
∑
∑
< > − + + − + = 0 0 )) ( 2 1 ( )) ( 2 1 ( j j c j j j j j j c jj x x x c x x x
c
(35)
Sehingga: 0 , , , 0 , , , = = − ≥ ≥
=b Ax b Ax b x x x x x
Ax (6)
Contoh:
Sebuah perusahaan membuat 2 produk, yaitu P1 dan P2. Laba per unit P1 adalah Rp 4.000,00 dan P2 adalah Rp 3000,00. Setiap unit P1 memerlukan waktu kerja 2 kali lebih banyak dari pada P2. Total waktu kerja yang ada sekurang-kurangnya 500 jam per hari dan dapat berubah karena bekerja lembur. Persediaan bahan baku mencapai hampir 400 unit untuk kedua produk, P1 dan P2 per hari, tetapi berdasarkan pengalaman masa lalu, bahan baku masih bisa ditambah lagi. Berapa unit P1 dan P2 yang dapat diproduksi per hari untuk memaksimumkan laba total ? (S.H. Nasseri, 2008, hal: 2477)
Solusi:
Misalkan ~x1 dan ~x2 menyatakan jumlah produk P1 dan P2 yang diproduksi per hari, maka persoalan di atas dapat dirumuskan seperti program linear berikut dengan menggunakan variabel – variabel fuzzy triangular.
Maks: ~z =4.000~x1⊕3.000~x2
Kendala: ≥ ≤ ⊕ ≤ ⊕ 0 ~ , ~ 500 ~ ~ 2 400 ~ ~ 2 1 2 1 2 1 x x x x x x (7)
Bahan baku yang tersedia adalah mendekati 400 unit dan lama waktu kerja adalah mendekati 500 jam, maka dapat dimodelkan menjadi (400,5,5) dan (500,7,7) berturut
– turut. Saat ini, model fuzzy linear programming dapat ditulis dalam bentuk standar
seperti berikut ini:
Maks: ~z =4.000~x1⊕3.000~x2
Kendala: ≥ = ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ 0 ~ , ~ , ~ , ~ ) 7 , 7 , 500 ( ~ ~ ~ 2 ) 5 , 5 , 400 ( ~ ~ ~ 4 3 2 1 4 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x x (8)
(36)
di mana ~x3 dan ~x4 merupakan dua buah variabelslack.
Maka, persoalan Fuzzy Linear Programming tersebut ekivalen dengan:
Maks: ~z =4.000(x1,x1,x1)⊕3.000(x2,x2,x2)
Kendala: ≥ = ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ 0 ) , , ( ), , , ( ), , , ( ), , , ( ) 7 , 7 , 500 ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( 2 ) 5 , 5 , 400 ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 4 4 4 2 2 2 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
Karena bilangan – bilangan fuzzy tersebut simetris, maka cukup untuk menyelesaikan
persoalanfuzzy linear programming berikut:
Maks: z=4.000x1⊕3.000x2
Kendala: ≥ = ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ 0 ) , , ( ), , , ( ), , , ( ), , , ( ) 7 , 7 , 500 ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( 2 ) 5 , 5 , 400 ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 4 4 4 2 2 2 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
Sekarang kita dapat memperoleh solusi optimal untuk persoalan fuzzy (7) dengan menyelesaikan program linear berikut:
Maks: z=4.000x1+3.000x2
Kendala: = ≥ ≥ ≥ − = + + = + + = + + = + + 4 , 1 , 0 , 0 , 0 7 2 5 500 2 400 4 2 1 3 2 1 4 2 1 3 2 1 K i x x x x x x x x x x x x x x x x i i i i
Program linear tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode simplex
(37)
I. Maks: z=4.000x1+3.000x2 Kendala: = ≥ = + + = + + 4 , 1 , 0 500 2 400 4 2 1 3 2 1 K i x x x x x x x i
Tabelsimplex awal:
Iterasi 1:
Iterasi 2:
II. Maks: z=4.000x1+3.000x2
Kendala: = ≥ = + + = + + 4 , 1 , 0 7 2 5 4 2 1 3 2 1 K i x x x x x x x i
cj 4.000 3.000 0 0
k
Variabel
Dasar z q
x1 x2 x3 x4
x3 0 400 1 1 1 0
x4 0 500 2 1 0 1
zj 0 0 0 0 0
(cj-zj) 4.000 3.000 0 0
cj 4.000 3.000 0 0
k
Variabel
Dasar z q
x1 x2 x3 x4
x3 0 150 0 2
1 1
-2 1
x1 4000 250 1 2
1
0 2
1
zj 1.000.000 4.000 2000 0 0
(cj-zj) 0 1.000 0 0
cj 4.000 3.000 0 0
k
Variabel
Dasar z q
x1 x2 x3 x4
x2 3000 300 0 1 2 -1
x1 4000 100 1 0 -1 1
zj 1.300.000 4.000 3.000 2.000 1.000
(38)
Tabelsimplex awal:
Iterasi 1:
Iterasi 2:
Solusi yang optimal untuk persoalanLinear Programming di atas adalah:
0 , 0 , 3 , 2 , 0 , 0 , 300 ,
100 2 3 4 1 2 3 4
1 = x = x = x = x = x = x = x =
x .
Sehingga diperoleh solusi fuzzy yang optimal untuk persoalan (7) adalah: ) 0 , 0 , 0 ( ~ ), 0 , 0 , 0 ( ~ ), 3 , 3 , 300 ( ~ ), 2 , 2 , 100 ( ~ 4 3 2
1 = = = =
∗ ∗ ∗ ∗ x x x x .
Sedangkan solusi fuzzy yang optimal untuk fungsi tujuan adalah: 000 . 0 ~ 30 . 1 ) 000 . 17 , 000 . 17 , 000 . 300 . 1 ( ~ 000 . 3 ~ 000 . 4 ~ 2
1 ⊕ = =
= ∗ ∗
∗ x x
z
cj 4.000 3.000 0 0
k
Variabel
Dasar z q
1
x x2 x3 x4
3
x 0 5 1 1 1 0
4
x 0 7 2 1 0 1
zj 0 0 0 0 0
(cj-zj) 4.000 3.000 0 0
cj 4.000 3.000 0 0
k
Variabel
Dasar z q
1
x x2 x3 x4
3
x 0 1.5 0 2
1 1
-2 1
1
x 4000 3.5 1 21 0
2 1
zj 14.000 4.000 2000 0 0
(cj-zj) 0 1.000 0 0
cj 4.000 3.000 0 0
k
Variabel
Dasar z q
1
x x2 x3 x4
2
x 3000 3 0 1 2 -1
1
x 4000 2 1 0 -1 1
zj 17.000 4.000 3.000 2.000 1.000
(39)
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Dalam tulisan ini, diusulkan sebuah metode penyelesaian permasalahan Fuzzy Linear
Programming dengan cara mentransformasikan bentuk Fuzzy Linear Programming
dengan bilangan fuzzy triangular ke bentuk Linear Programming terlebih dahulu.
Perlakuan terhadap fungsi tujuan yang ditransformasi adalah sama dengan perlakuan
terhadap kendala-kendala, yaitu dengan mendefinisikan sebuah sistem crisp yang
disetarakan dengan masalah Fuzzy Linear Programming dan kemudian dicari solusi
yang optimal. Solusi yang optimal dari sistem tersebut digunakan sebagai solusi yang
optimal dariFuzzy Linear Programming.
4.2 Saran
Saran dalam penelitian ini adalah untuk tidak membatasi persoalan hanya dengan menggunakan bilangan fuzzy triangular. Penulis berharap ada penelitian lebih
lanjut tentang cara menyelesaikan permasalahan Fuzzy Linear Programming yang
(40)
Henrik, L.L. 15 Januari 2011.Fuzzy Number Arithmetic. http://aaue.dk/~legind /FL_E2006/FL-14/FL14b%20fuzzy%20arithmetics.pdf.
Kusumadewi, Sri dan Hari Purnomo. 2004. Aplikasi Logika Fuzzy Untuk
Pendukung Keputusan. Yogyakarta : Graha Ilmu.
Nasseri, Hadi. 2008. ”Fuzzy Numbers: Positive and Nonnegative”.
International Mathematical Forum 3(36): hal. 1.777 – 1780.
Nasseri, S.H. 2008. “A New Method for Solving Fuzzy Linear Programming
by Solving Linear Programming”. Journal of Applied Mathematical Sciences 2(50):
hal. 2473 – 2480.
Zadeh, L.A. 1965. “Fuzzy Sets”.Information and Control 8: hal. 338 – 353
Zimmermann, H.J. 1975. “Description and Optimization of Fuzzy Systems”.
(1)
Sehingga:
0
,
,
,
0
,
,
,
=
=
−
≥
≥
=
b
A
x
b
A
x
b
x
x
x
x
x
Ax
(6)
Contoh:
Sebuah perusahaan membuat 2 produk, yaitu P1 dan P2. Laba per unit P1 adalah Rp
4.000,00 dan P2 adalah Rp 3000,00. Setiap unit P1 memerlukan waktu kerja 2 kali
lebih banyak dari pada P2. Total waktu kerja yang ada sekurang-kurangnya 500 jam
per hari dan dapat berubah karena bekerja lembur. Persediaan bahan baku mencapai
hampir 400 unit untuk kedua produk, P1 dan P2 per hari, tetapi berdasarkan
pengalaman masa lalu, bahan baku masih bisa ditambah lagi. Berapa unit P1 dan P2
yang dapat diproduksi per hari untuk memaksimumkan laba total ? (S.H. Nasseri,
2008, hal: 2477)
Solusi:
Misalkan
~
x
1dan
~
x
2menyatakan jumlah produk P1 dan P2 yang diproduksi per hari,
maka persoalan di atas dapat dirumuskan seperti program linear berikut dengan
menggunakan variabel – variabel fuzzy triangular.
Maks:
~
z
=
4
.
000
~
x
1⊕
3
.
000
~
x
2Kendala:
≥
≤
⊕
≤
⊕
0
~
,
~
500
~
~
2
400
~
~
2 1
2 1
2 1
x
x
x
x
x
x
(7)
Bahan baku yang tersedia adalah mendekati 400 unit dan lama waktu kerja adalah
mendekati 500 jam, maka dapat dimodelkan menjadi (400,5,5) dan (500,7,7) berturut
– turut. Saat ini, model
fuzzy linear programming
dapat ditulis dalam bentuk standar
seperti berikut ini:
Maks:
~
z
=
4
.
000
~
x
1⊕
3
.
000
~
x
2Kendala:
≥
=
⊕
⊕
=
⊕
⊕
0
~
,
~
,
~
,
~
)
7
,
7
,
500
(
~
~
~
2
)
5
,
5
,
400
(
~
~
~
4 3 2 1
4 2 1
3 2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(2)
26
di mana
~
x
3dan
~
x
4merupakan dua buah variabel
slack
.
Maka, persoalan Fuzzy Linear Programming tersebut ekivalen dengan:
Maks:
~
z
=
4
.
000
(
x
1,
x
1,
x
1)
⊕
3
.
000
(
x
2,
x
2,
x
2)
Kendala:
≥
=
⊕
⊕
=
⊕
⊕
0
)
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
)
7
,
7
,
500
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
2
)
5
,
5
,
400
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 4 4 4 2 2 2 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Karena bilangan – bilangan fuzzy tersebut simetris, maka cukup untuk menyelesaikan
persoalan
fuzzy linear programming
berikut:
Maks:
z
=
4
.
000
x
1⊕
3
.
000
x
2Kendala:
≥
=
⊕
⊕
=
⊕
⊕
0
)
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
)
7
,
7
,
500
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
2
)
5
,
5
,
400
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 4 4 4 2 2 2 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Sekarang kita dapat memperoleh solusi optimal untuk persoalan fuzzy (7) dengan
menyelesaikan program linear berikut:
Maks:
z
=
4
.
000
x
1+
3
.
000
x
2Kendala:
=
≥
≥
≥
−
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
4
,
1
,
0
,
0
,
0
7
2
5
500
2
400
4 2 1 3 2 1 4 2 1 3 2 1K
i
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
i i i iProgram linear tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode
simplex
(3)
I. Maks:
z
=
4
.
000
x
1+
3
.
000
x
2Kendala:
=
≥
=
+
+
=
+
+
4
,
1
,
0
500
2
400
4 2 13 2 1
K
i
x
x
x
x
x
x
x
i
Tabel
simplex
awal:
Iterasi 1:
Iterasi 2:
II. Maks:
z
=
4
.
000
x
1+
3
.
000
x
2Kendala:
=
+
+
=
+
+
7
2
5
4 2 13 2 1
x
x
x
x
x
x
cj
4.000
3.000 0 0
k
Variabel
Dasar
z
q
x1
x2
x3
x4
x3
0 400
1 1 1 0
x4
0
500
2
1
0
1
zj
0
0 0 0 0
(
c
j-
z
j)
4.000
3.000 0 0
cj
4.000
3.000 0 0
k
Variabel
Dasar
z
q
x1
x2
x3
x4
x
30
150
0
21
1
-2 1
x1
4000
250 1
21
0
21
zj
1.000.000 4.000
2000 0 0
(
cj
-
zj
)
0
1.000 0 0
cj
4.000
3.000 0 0
k
Variabel
Dasar
z
q
x1
x2
x3
x4
x2
3000
300 0 1 2 -1
x1
4000
100 1 0 -1 1
zj
1.300.000 4.000 3.000 2.000 1.000
(
cj
-
zj
) 0 0 -2.000
-1.000
(4)
28
Tabel
simplex
awal:
Iterasi 1:
Iterasi 2:
Solusi yang optimal untuk persoalan
Linear Programming
di atas adalah:
0
,
0
,
3
,
2
,
0
,
0
,
300
,
100
2 3 4 1 2 3 41
=
x
=
x
=
x
=
x
=
x
=
x
=
x
=
x
.
Sehingga diperoleh solusi fuzzy yang optimal untuk persoalan (7) adalah:
)
0
,
0
,
0
(
~
),
0
,
0
,
0
(
~
),
3
,
3
,
300
(
~
),
2
,
2
,
100
(
~
4 3
2
1
=
=
=
=
∗ ∗
∗ ∗
x
x
x
x
.
Sedangkan solusi fuzzy yang optimal untuk fungsi tujuan adalah:
000
.
0
~
30
.
1
)
000
.
17
,
000
.
17
,
000
.
300
.
1
(
~
000
.
3
~
000
.
4
~
2
1
⊕
=
=
=
∗ ∗∗
x
x
z
cj
4.000
3.000 0 0
k
Variabel
Dasar
z
q
1
x
x
2x
3x
43
x
0
5
1 1 1 0
4
x
0
7
2
1
0
1
zj
0
0 0 0 0
(
cj
-
zj
)
4.000
3.000 0 0
cj
4.000
3.000 0 0
k
Variabel
Dasar
z
q
1
x
x
2x
3x
43
x
0
1.5
0
21
1
-2 1 1
x
4000
3.5 1
210
2 1
zj
14.000 4.000
2000 0 0
(
cj
-
zj
)
0
1.000 0 0
cj
4.000
3.000 0 0
k
Variabel
Dasar
z
q
1
x
x
2x
3x
42
x
3000
3 0 1 2 -1
1
x
4000
2 1 0 -1 1
zj
17.000 4.000 3.000 2.000 1.000
(
cj
-
zj
) 0 0 -2.000
-1.000
(5)
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Dalam tulisan ini, diusulkan sebuah metode penyelesaian permasalahan
Fuzzy Linear
Programming
dengan cara mentransformasikan bentuk
Fuzzy Linear Programming
dengan bilangan fuzzy triangular ke bentuk
Linear Programming
terlebih dahulu.
Perlakuan terhadap fungsi tujuan yang ditransformasi adalah sama dengan perlakuan
terhadap kendala-kendala, yaitu dengan mendefinisikan sebuah sistem
crisp
yang
disetarakan dengan masalah
Fuzzy Linear Programming
dan kemudian dicari solusi
yang optimal. Solusi yang optimal dari sistem tersebut digunakan sebagai solusi yang
optimal dari
Fuzzy Linear Programming
.
4.2 Saran
Saran dalam penelitian ini adalah untuk tidak membatasi persoalan hanya
dengan menggunakan bilangan fuzzy triangular. Penulis berharap ada penelitian lebih
lanjut tentang cara menyelesaikan permasalahan
Fuzzy Linear Programming
yang
lebih praktis dan mudah dimengerti.
(6)