Linear Programming - Repository UNIKOM

  LINEAR

PROGRAMMING

METODE GRAFIK Penjelasan secara sempit : Ditinjau dari kata-katanya Linear Programming berarti pembuatan program atau rencana yang mendasarkan pada asumsi-asumsi linear.

  Penjelasan secara luas : Suatu cara alokasi sumber daya yang terbatas jumlahnya secara optimal untuk melaksanakan beberapa macam aktivitas yang semuanya memerlukan sumber-sumber daya tadi. PEMECAHAN MASALAH

DENGAN METODE GRAFIK

CONTOH :

Pt. KEMBANGARUM menghasilkan dua macam barang.

  

Setiap unit barang pertama memerlukan bahan baku

A 2 kg dan bahan baku B 2 kg. setiap unit produk

kedua memerlukan bahan baku A 1 kg dan bahan baku

B 3 kg. jumlah bahan baku A yang bisa disediakan

perusahaan sebanyak 6.000 kg dan bahan baku B

9.000 kg. sumbangan terhadap laba dan biaya tetap

(yang dihitung dengan harga jual per satuan dikurangi

biaya variabel per satuan) setiap unit produk pertama

sebesar Rp. 3,- dan setiap unit produk kedua Rp. 4,- Buat alokasi yang optimal dengan metode grafik !

  

Agar masalah dapat jelas kita pahami, maka kita susun

ke dalam tabel sebagai berikut : Produk Bahan baku Kebutuhan bahan baku/unit Kapasitas max

  Produk 1 Produk 2 A

  2 1 6.000 B

  2 3 9.000 Sumbangan terhadap laba

  (dalam Rp).

  3

  4 Untuk membuat formulasi masalah, marilah kita ikuti langkah-langkah berikut : a. Fungsi Tujuan :

  Fungsi ini menunjukkan tujuan yang akan dioptimalkan, bisa max dan bisa min.

  Nilai tujuan di beri simbol “ Z “

  Max : Z = 3X + 4X

  1

  2 b. Batasan fungsional : Batasan ini menunjukkan alokasi sumber yang tersedia.

  Pada contoh, kita memiliki dua batasan, yaitu bahan baku A dan bahan baku B. Bahan baku A dibutuhkan oleh setiap unit produk pertama sebanyak 2 kg dan oleh setiap unit produk kedua sebesar 2 kg. Jadi banyaknya kebutuhan setiap unit produk pertama akan bahan baku A (2 kg) ini dikalikan dengan jumlah produk pertama yang dihasilkan (X ) ditambah dengan kebutuhan produk kedua ₁ akan bahan baku A ( 1 kg) dikalikan dengan jumlah produk kedua yang dihasilkan (X ) merupakan kebutuhan bahan baku A untuk ₂ berproduksi, ini tidak boleh melebihi 6.000 kg. Sehingga formulasi batasan bahan baku A ini sebagai berikut :

  2X + X ≤ 6.000

  1

2 Demikian pula untuk bahan

  baku B, dengan logika yang

  2X + 3X ≤ 9.000

  1

  2

  sama dapat disusun sbb : c. Batasan Non-negatif : Batasan non negatif mengharuskan hasil aktivitas itu (X1 dan x2) tidak boleh negatid, harus positif atau paling kecil sebesar 0. Hal itu dapat dinyatakan sebagai berikut :

  

X1 ≥ 0 ; X2 ≥ 0

  

Secara keseluruhan dapat kita cantumkan formulasi masalah

diatas ke dalam fungsi-fungsi sebagai berikut : Fungsi tujuan : Max : Z = 3X + 4X

  1

  2 Batasan – batasan : 1. 2X + X ≤ 6.000

  1

  2 2. 2X + 3X ≤ 9.000

  1

  2

3. X1 ≥ 0 ; X2 ≥ 0

  PEMECAHAN MASALAH DENGAN METODE GRAFIK : Di dalam menggambar grafik hanya mungkin dilakukan dengan baik kalau dilakukan dengan dua sumbu, yaitu sumbu vertikal dan sumbu horisontal.

  X ₂ X ₁ Menggambarkan semua batasan fungsional : Semua batasan kita tambahkan pada gambar diatas.

  Pada contoh di atas hanya ada dua batasan fungsional, yaitu bahan baku A dan bahan baku B. Batasan bahan baku A adalah :

  

2X + X ≤ 6.000

  1

2 Karena maksimum jumlah bahan baku A yang tersedia 6.000 kg,

  berarti penggunaan tidak lebih lebih dari 6.000 kg. yang mula-mula bisa kita gambarkan adalah penggunaan maksimumnya, baru kemudian daerah yang bisa dicapai. Maksimum penggunaan kapasitas bahan baku A ditunjukkan oleh garis :

  

2X + X = 6.000

  1

  2

  

Untuk menggambarkannya mula-mula harus kita cari titik

potongnya dengan sumbu X , yaitu pada nilai X = 0, sehingga nilai

  2

  1 X = 6.000.

  2 Kemudian kita peroleh nilai X = 3.000.

  1 Dari kedua titik itu bisa kita gambar maksimum penggunaan bahan baku A.

  

Tetapi garis ini menunjukkan keadaan andaikata bahan baku A

yang ada dimanfaatkan sepenuhnya, padahal sebenarnya hanya

maksimumnya saja yang terletak pda garis itu.

Oleh karena itu untuk menunjukkan daerah feasible (yang bisa

dicapai) menurut batasan ini, kita beri tanda anak panah ke kiri

bawah dari garis itu.

Untuk batasan kedua (bahan baku B) juga kita gambarkan dulu

garis maksimumnya dengan cara seperti pada batasan pertama

diatas, sehingga titik potong pada sumbu X pada titik X = 0 dan

  1

  2 X = 4.500.

1 Titik potong dengan sumbu X terletak pada titik dimana nilai X =

  1 0 dan nilai X = 3.000.

2 Setelah bisa digambarkan garis maksimumnya maka kita beri

  

tanda anak panah ke kiri bawah untuk menunjukkan bahwa

  Menggambarkan batasan non negatif : Batasan non negatif adalah batasan yang tidak mengizinkan nilai sesuatu variabel itu negatif, berarti nilai X maupun X harus paling _{1 2} kecil sebesar 0, atau dengan simbol X ≥ 0 dan X ≥ 0. _{1 2} Untuk menggambarkan batasan X ≥ 0 cukup dengan memberi anak ₁ panah ke kanan pada sumbu X , karena pada sumbu itu nilai X = 0. _{2 1} Demikian pula untuk menggambarkan batasan X ≥ 0 kita gambarkan ₂ anak panah ke atas pada sumbu X , karena pada sumbu itu nilainya X = _{1 2} 0.

  2X ₁

• X
₂ = 6 .0

  00

  2X ₁

• 3X
₂ = 9.

  000

  B C A D

  X ₂

  X ₁ 4.500

  3.000 3.000

  6.000 Mencari titik optimal dengan menghitung nilai Z tiap-tiap titik-titik sudut.

  Mula-mula kita cari dulu nilai-nilai Z dari tiap-tiap titik sebagai berikut : Titik O : X = 0, ₁ X = 0 ₂ nilai Z = 0

  Titik A : X = 3.000, X = 0, _{1 2} nilai Z = 3 (3.000) + 4 (0) = 9.000 Titik C : X = 0, ₁ X = 3.000, ₂ nilai Z = 3 (0) + 4 (3.000) = 12.000

  Titik B : terletak pada perpotongan antara garis batasan bahan baku A dan batasan bahan baku B. oleh karena itu kita cari dulu titik potongnya dengan menggunakan kedua persamaan batasan itu : ₁ +

  2X X = 6.000 ₂

  2X + 3X = 9.000

• ¹
²

  2X = 3.000 jadi X = 1.500 _{2 2} Nilai X dimasukkan pada salah satu persamaan itu :

  2X + 1.500 = 6.000 ₁ jadi X = (6.000 – 1.500) : 2 = 2.250 ₁ Z = 3 (2.250) + 4 (1.500) = 12.750 Ternyata diantara titik-titik sudut itu yang terbesar nilai Z-nya adalah titik B.

  Sehingga titik B lah yang kita pilih sebagai titik optimal dalam pemecahan masalah ini, dengan nilai X = 2.250 dan nilai X = 1.500 _{1 2} serta nilai Z = 12.750.

  Jadi kesimpulannya sebagai berikut : Produk pertama dihasilkan 2.250 unit Produk kedua dihasilkan 1.500 unit Sumbangan terhadap laba seluruhnya = Rp. 12.750,- LATIHAN 1: Suatu perusahaan menghasilkan dua macam produk, yaitu produk I dan produk II. Setiap unit produk pertama memerlukan bahan baku 2 kg, memerlukan bahan pembantu 1 kg, memerlukan 2 jam kerja buruh langsung dan dikerjakan dalam mesin selama 2 jam kerja mesin. Untuk setiap unit produk kedua memerlukan bahan baku 5 kg, bahan pembantu 4 kg, memerlukan 2,5 jam kerja buruh langsung dan dikerjakan dengan mesin selama 1,5 jam. Pada minggu ini jumlah maksimum yang tersedia untuk berproduksi sebagai berikut : Bahan baku sebanyak 1.000 kg Bahan pembantu 600 kg Jam kerja buruh langsung 500 jam Kapasitas mesin sebanyak 450 jam kerja mesin. Harga jual setiap unit untuk produk pertama sebesar Rp. 500,- dan produk kedua Rp. 700,- Biaya variabel untuk setiap unit produk pertama Rp. 350,- dan untuk produk kedua Rp. 480,- Hitunglah banyaknya produk pertama dan produk kedua yang sebaiknya dihasilkan agar diperoleh laba maksimum !

  LATIHAN 2 :

PT. Dimensi adalah sebuah perusahaan furnitur

produsen meja dan kursi yang harus diproses melalui

perakitan dan pemolesan. Fungsi proses perakitan

memiliki 60 jam kerja dan fungsi proses pemolesan

memiliki 48 jam kerja. Untuk menghasilkan satu meja

dibutuhkan masing-masing 4 jam dan 2 jam untuk

perakitan dan pemolesan, sedang satu kursi

membutuhkan masing-masing 2 jam dan 4 jam untuk

perakitan dan pemolesan. Laba untuk tiap meja $ 8

dan tiap kursi $ 6. tentukan kombinasi terbaik dari

jumlah meja dan kursi yang harus diproduksi, agar menghasilkan laba maksimal. LATIHAN 3 :

Sebuah industri ekramik membuat dua jenis produk

unggulan A dan B. untuk menghasilkan satu buah jenis

A diperlukan waktu pengerjaan 1 jam dan bahan baku

4 kg, sedangkan jenis B membutuhkan 2 jam dan bahan

baku 3 kg. waktu dan bahan baku yang tersedia

masing-masing 40 jam dan 120 kg. keuntungan tiap

unit A dan B masing-masing $ 40 dan $ 50. tentukan

metode grafik berapa jumlah yang harus diproduksi

untuk masing-masing jenis produk, sehingga

keuntungan mencapai maksimum !

  LATIHAN 4 : Sebuah toko yang menjual keperluan pertanian menyediakan dua merek pupuk kimia, yaitu super dan top. Setiap jenis mengandung campuran bahan nitrogen dan fosfat dalam jumlah tertentu.

  Kandungan bahan kimia Jenis

  Nitrogen (Kg/sak) Fosfat (kg/sak) Super

  2

  4 Top

  4

  3 Seorang petani membutuhkan paling sedikit 16 kg nitrogen dan 24 kg fosfat untuk lahan pertaniannya. Harga pupuk super dan top masing- masing $ 6 dan $ 3. petani tersebut ingin mengetahui berapa sak masing-masing jenis pupuk harus dibeli agar total harga pupuk mencapai minimum dan kebutuhan pupuk untuk lahannya terpenuhi. Selesaikan dengan metode grafik ! LATIHAN 5 :

Sebuah industri kerajinan kulit membuat tas yang

terdiri dari jenis A dan B. keuntungan masing-masing

jenis tas adalah $ 400 dan $ 200 dolar per unit.

  

Industri mendapat pesanan dari sebuah toko sebesar

30 (A dan B) buah per bulan. Suplai bahan kulit paling

sedikit 80 lembar per bulan, dan industri kerajinan ini

harus memesan paling tidak 80 lembar per bulan.

  

Setiap barang A memerlukan 2 lembar kulit sedangkan

barang B membutuhkan 8 lembar. Dari pengalaman

sebelumnya industri ini tidak bisa membuat barang

jenis A lebih dari 20 buah per bulan. Mereka ingin

mengetahui berapa jumlah masing-masing jenis A dan

B yang harus dibuat supaya keuntungan yang didapat

maksimum. Tentukan model program liniernya dan

selesaikan persoalan dengan metode grafik.!