Bukti Deduktif Formal Dalam Geometri Dan Implikasinya Dalam Pengajaran
LAMPIRAN
Data Penelitian Nilai Siswa
No
G43
G44
G45
G46
G47
G48
G49
G50
G51
G52
G53
G54
G55
G56
G57
G58
G59
G60
G61
G62
G63
G64
G65
G66
G67
G68
G69
G70
G71
G72
G73
G74
G75
G76
G77
G78
G79
G80
G81
G82
G83
G84
G85
G86
G87
G88
G89
Parameter Satuan
67
44
67
43
68
37
71
41
61
33
66
39
67
44
75
51
43
32
50
35
46
30
57
34
68
43
58
39
53
32
87
47
77
42
55
36
78
45
49
47
68
45
68
44
69
38
72
42
62
34
67
40
68
45
76
52
44
33
51
36
47
31
58
35
69
44
59
40
54
33
88
48
78
43
56
37
74
41
45
43
64
41
64
40
65
34
68
38
58
30
63
36
64
41
Baku mutu Metode analisis
53
51
39
39
45
52
41
53
45
52
41
53
40
42
38
39
47
39
38
45
54
39
43
43
36
49
46
45
40
39
26
44
41
39
54
32
42
37
48
60
54
52
40
40
46
53
42
54
46
53
42
54
41
43
39
40
48
40
39
46
55
40
44
44
37
50
47
46
41
40
27
45
42
40
55
33
38
33
44
56
50
48
36
36
42
49
38
50
42
49
38
50
37
39
61
Universitas Sumatera Utara
62
Sambungan
No
G90
G91
G92
G93
G94
G95
G96
G97
G98
G99
G100
G101
G102
G103
G104
G105
G106
G107
G108
G109
G110
G111
G112
G113
G114
G115
G116
G117
G118
G119
G120
G121
G122
G123
G124
G125
G126
G127
G128
G129
G130
G131
G132
G133
G134
G135
G136
G137
G138
G139
G140
G141
G142
G143
G144
G145
G146
Parameter Satuan
72
48
40
29
47
32
43
27
54
31
65
40
55
36
50
29
84
44
74
39
52
33
73
40
44
42
63
40
63
39
64
33
67
37
57
29
62
35
63
40
71
47
39
28
46
31
42
26
53
30
64
39
54
35
49
28
83
43
73
38
51
32
72
39
43
41
62
39
62
38
63
32
66
36
56
28
61
34
62
39
70
46
38
27
45
30
41
25
52
29
63
38
53
34
48
27
82
42
72
37
50
31
79
46
50
48
69
46
69
45
70
39
73
43
Baku mutu
35
44
35
51
40
33
43
37
23
38
51
37
43
49
35
41
37
41
37
36
34
43
34
50
39
32
42
36
22
37
50
36
42
48
34
40
36
40
36
35
33
42
33
49
38
31
41
35
21
36
49
43
49
55
41
47
43
Metode analisis
36
36
42
36
40
46
42
36
41
36
29
32
55
47
35
48
49
48
49
38
35
35
41
35
39
45
41
35
40
35
28
31
54
46
34
47
48
47
48
37
34
34
40
34
38
44
40
34
39
34
27
38
61
53
41
54
55
Universitas Sumatera Utara
Sambungan
No
Parameter Satuan Baku mutu
Metode analisis
G147
63
35
47
54
G148
68
41
43
55
G149
69
46
42
44
G150
77
53
40
41
G151
37
26
41
33
G152
44
29
32
39
G153
40
24
48
33
G154
51
28
37
37
G155
62
37
30
43
G156
52
33
40
39
G157
47
26
34
33
G158
81
41
20
38
G159
71
36
35
33
G160
49
30
48
26
G161
60
37
46
46
G162
71
46
39
52
G163
61
42
49
48
G164
56
35
43
42
G165
80
40
19
37
G166
70
35
34
32
Sumber: Nilai Siswa SMP Negeri 1 Medan Kelsa 8 Tahun Pelajaran 2012/2013
63
Universitas Sumatera Utara
64
Soal Geometri
1. Pada Gambar dibawah, segi-4-nya adalah persegi dengan panjang sisi 1 satuan dan garis lengkungnya masing-masing adalah busur seperempat lingkaran.
Hitunglah luas daerah yang diarsir.
Gambar 4.2 Segi 4
2. Dalam ∆ABC, titik-titik P, Q, dan R berturut-turut terletak pada sisi
AB, BC dan AC. AP : P B = BQ : QC = CR : RA = 1 : 3. Hitunglah
perbandingan luas ∆P QR: luas ∆ABC.
Gambar 4.3 Segitiga siku-siku
Dalam ∆ABC, AB = 15, BC = 14 dan AC = 13, AD garis tinggi dan garis
bagi sudut B memotong , AD di titik E, Hitunglah panjang, DE .
3. Buktikanlah bahwa dalam setiap jajargenjang, jumlah kuadrat panjang diagonalnya sama dengan dua kali jumlah kuadrat panjang sisi-sisinya.
Universitas Sumatera Utara
65
Pembahasan
1. Dicari lebih dahulu separo gambar yang dimaksud, sehingga diperoleh pada
gambar dibawan. Luas yang diarsir adalah setengah dari luas seperempat
lingkaran berjari-jari 1, dipotong luas setengah persegi, yaitu 14 π × 12 − 12 =
1
π − 12 . Luas seluruhnya yang diarsir =2 × 41 π − 12 − 21 π − 1 Altenatif 2
4
Gambar 4.4 Segitiga siku-siku
Pengalamn menunjukkan bahwa alternatif 1 adalah yang paling sering digunakan. Namun ada penyelesaian unik yang pernah dikemukakan siswa
tetapi jarang ditemukan yaitu menggunakan pendekatan komplementer sebagai berikut:
Yang dicari pertama adalah separo daerah tak terasir, misal daerah tak
d pada gambar 4.5 yang diperoleh dari luas daerah persegi dikuterasir ABC
rangi dengan luas seperempat lingkaran berpusat D. Hasilnya adalah 1− 41 π.
Berarti luas dua bagian yang tak terasir adalah 2 × 1 − 41 π = 2 − 21 π
Luas daerah yang diasir adalah komplemenya, yaitu luas persegi dikurangi
yang tidak diasir = 1 − 2 − 12 π = 12 π − 1
Altenatif 3
Seorang siswa yang tajam penglihatannya menemukan bahwa jika dihitung
luas seperempat lingkarannya yaitu = 2 × 21 π = 21 π, bagian II terhitung
dua kali. Karena itu jika dikurangi dengan daerah tak terasir, harus dikuran-
gi lagi dengan daerah II (yang terasir) yang tadi dihitung dua kali. Hal itu
sama saja dengan mengurangi dengan luas dua buah seperampat lingkaran
1
π dikurangi luas persegi = 12 π − 1
2
Universitas Sumatera Utara
66
Gambar 4.5 Setengah lingkaran
2. Tarik RD⊥BC dan AE⊥BC. Dengan demikian maka RDkAE.
Dalam ∆CAE, RDkAE dan CR : CA = 1 : 4
→ RD : AE = CR : CA = 1 : (1 + 3) = 1 : 4
1
CQ × RD
3 1
3
CQ RD
Luas∆RQC
×
= × =
=
= 21
Luas∆ABC
CB AE
4 4
16
CD × AE
2
Luas∆P BQ
Luas∆AP R
3
3
dan
=
=
Luas∆ABC
16
Luas∆ABC
16
3
7
× Luas ∆ABC = 16
Luas ∆ABC
Jadi luas yang ∆P QR = 1 − 3 × 16
Analog:
Atau: L∆P QR : L∆ABC = 7 : 16.
Catatan:
(a) Untuk yang telah memahami bahwa:
Jika dua segitiga mempunyai sebuah sudut sama besar maka perbandingan luasnya sebanding dengan perbandingan hasil kali panjang sisisisibyang mengampit sudut tersebut, maka pemecahan masalah di atas
lebih dipermudah.
Misal: ∆AP R dan ∆ABC bersudut sama yaitu sudut A, karena itu
maka
Luas∆RQC
Luas∆ABC
=
AP ×AR
AB×AC
=
AP
× AR
AB
AC
= 14 × 34 =
3
.
16
Hal yang sama dapat
dikenakan terhadap segitiga-segitiga lainnya di luar ∆P QR didalam
∆ABC.
Universitas Sumatera Utara
67
(b) Akibat langsung dari hubungan diatas adalah jika dua buah segitiga sebangun maka pewrbandingan luasnya sebanding dengan perbandingan
kuadrat panjang sebuah sisi seletak.
(c) Perbandingan luas tersebut dapat diperluas untuk setiap dua poligon
sebangun. Perbandingan luas dua poligon sebangun sebanding kuadrat
sebuah sisi seletaknya.
3. Diketahui: ∆ABC; a = 14, b = 13, c = 15.
AD⊥BC.
Besar ∠ABE = ∠DBE.
Hitung: DE
Jawab: s = (14 + 13 + 15)/2 = 21
2p
s (s − a) (s − b) (s − c)
AD = ta =
a
2p
21 (21 − 14) (21 − 13) (21 − 15)
=
14
1√
21 × 7 × 8 × 6
=
7
1
= × 3 × 7 × 22
7
= 12
Gambar 4.6 Segitiga sama siku
Universitas Sumatera Utara
68
Pada ∆ABD yang siku-siku di D : BD2 = AB 2 − AD2 = 225 − 144 = 81 ⇒
BD = 9
Pada ∆ABD, BE merupakan garis bagi sudut B, sehingga DE : EA =
BD : BA = 9 : 15 = 3 : 5
Jika DE = x, maka EA = 12 − x ⇒ x : (12 − x) = 3 : 5
5x = 36 − 3x ⇔ 8x = 36 ⇔ x = 4, 5
Jadi DE = 4, 5
4. Buktikanlah bahwa dalam setiap jajarangenjang jumlah kuadrat panjang
diagonalnya sama dengan dua kali jumlah panjang sisi-sisinya.
Buktikan: (AC)2 + (BD)2 = 2((AB)2 + (AD)2 )
Gambar 4.7 Jajarangenjang
Bukti cara I
(Pemikiran awal: jumlah kuadrat panjang sisi terkait dengan teorema Pythagoras. Karena itu maka masalahnya dipaksa dibawa ke segitiga siku-siku.
Jadi perlu bantuan garis sehingga terjadi segitiga siku-siku).
Tarik DE dan CF tegak lurus AB (lihat gambar). Misalkan AE − BF − X
dan DE − CF − T . Dalam segitiga siku-siku BDE : (BD)2 − t2 + (AB −
x)2 − t2 + (AB)2 − 2x(AB) + x2 , dan pada segitiga siku-siku ADEt2 + x2 −
(AD)2 . Dari kedua hubungan diatas didapat (BD)2 − (AD)2 + (AB)2 −
2X(AB)
(∗). Pada segitiga siku-siku ACF : (AC)2 − t2 + (AB + x)2 −
t2 + (AB)2 + 2x(AB) + x2, melalui substitusi t2 + x2 − (AD)2 didapat:
(AC)2(AD)2 + (AB)2 + 2x(AB) (∗∗).
Dari perjumlahan kesamaan (∗) dan (∗∗) didapatkan:
(AC)2 + (BD)2 − 2((AB)2 + (AD)2 )terbukti
Universitas Sumatera Utara
69
Bukti: Cara II
Jajargenjang ABCD diletakkan dalam sistem koordinat Kartesius. Jika
koordinat A, B dan D berturut-turut (0, 0), (a, 0), dan (b, c) maka koordinat
C adalah (b + a, c)
Gambar 4.8 Jajarangenjang
Karena bentuk kuadrat ruas garis terkait dengan rumus jarak antara dua
titik, maka hubungan yang diperoleh adalah:
(AC)2 = (xC − xA )2 + (yC − yA )2
= (b + a − 0)2 + (c − 0)2 = b2 + 2ab + a2 + c2
(BD)2 = (xD − xB )2 + (yD − yB )2
= (b − a)2 + (c − 0)2 = b2 − 2ab + a2 + c2
(AC)2 + (BD)2 = 2 a2 + b2 + c2 (∧)
AB = a, sehingga (AB)2 = a2
(BD)2 = (xD − xB )2 + (yD − yB )2
2
2
= (b + a − a) + (c − c) = b2 + c2
Jika nilai (AB)2 dan (BD)2 digantika pada (∧) diperoleh:
(AC)2 + (BD)2 = 2 (AC)2 + (BD)2 (terbukti)
Universitas Sumatera Utara
Data Penelitian Nilai Siswa
No
G43
G44
G45
G46
G47
G48
G49
G50
G51
G52
G53
G54
G55
G56
G57
G58
G59
G60
G61
G62
G63
G64
G65
G66
G67
G68
G69
G70
G71
G72
G73
G74
G75
G76
G77
G78
G79
G80
G81
G82
G83
G84
G85
G86
G87
G88
G89
Parameter Satuan
67
44
67
43
68
37
71
41
61
33
66
39
67
44
75
51
43
32
50
35
46
30
57
34
68
43
58
39
53
32
87
47
77
42
55
36
78
45
49
47
68
45
68
44
69
38
72
42
62
34
67
40
68
45
76
52
44
33
51
36
47
31
58
35
69
44
59
40
54
33
88
48
78
43
56
37
74
41
45
43
64
41
64
40
65
34
68
38
58
30
63
36
64
41
Baku mutu Metode analisis
53
51
39
39
45
52
41
53
45
52
41
53
40
42
38
39
47
39
38
45
54
39
43
43
36
49
46
45
40
39
26
44
41
39
54
32
42
37
48
60
54
52
40
40
46
53
42
54
46
53
42
54
41
43
39
40
48
40
39
46
55
40
44
44
37
50
47
46
41
40
27
45
42
40
55
33
38
33
44
56
50
48
36
36
42
49
38
50
42
49
38
50
37
39
61
Universitas Sumatera Utara
62
Sambungan
No
G90
G91
G92
G93
G94
G95
G96
G97
G98
G99
G100
G101
G102
G103
G104
G105
G106
G107
G108
G109
G110
G111
G112
G113
G114
G115
G116
G117
G118
G119
G120
G121
G122
G123
G124
G125
G126
G127
G128
G129
G130
G131
G132
G133
G134
G135
G136
G137
G138
G139
G140
G141
G142
G143
G144
G145
G146
Parameter Satuan
72
48
40
29
47
32
43
27
54
31
65
40
55
36
50
29
84
44
74
39
52
33
73
40
44
42
63
40
63
39
64
33
67
37
57
29
62
35
63
40
71
47
39
28
46
31
42
26
53
30
64
39
54
35
49
28
83
43
73
38
51
32
72
39
43
41
62
39
62
38
63
32
66
36
56
28
61
34
62
39
70
46
38
27
45
30
41
25
52
29
63
38
53
34
48
27
82
42
72
37
50
31
79
46
50
48
69
46
69
45
70
39
73
43
Baku mutu
35
44
35
51
40
33
43
37
23
38
51
37
43
49
35
41
37
41
37
36
34
43
34
50
39
32
42
36
22
37
50
36
42
48
34
40
36
40
36
35
33
42
33
49
38
31
41
35
21
36
49
43
49
55
41
47
43
Metode analisis
36
36
42
36
40
46
42
36
41
36
29
32
55
47
35
48
49
48
49
38
35
35
41
35
39
45
41
35
40
35
28
31
54
46
34
47
48
47
48
37
34
34
40
34
38
44
40
34
39
34
27
38
61
53
41
54
55
Universitas Sumatera Utara
Sambungan
No
Parameter Satuan Baku mutu
Metode analisis
G147
63
35
47
54
G148
68
41
43
55
G149
69
46
42
44
G150
77
53
40
41
G151
37
26
41
33
G152
44
29
32
39
G153
40
24
48
33
G154
51
28
37
37
G155
62
37
30
43
G156
52
33
40
39
G157
47
26
34
33
G158
81
41
20
38
G159
71
36
35
33
G160
49
30
48
26
G161
60
37
46
46
G162
71
46
39
52
G163
61
42
49
48
G164
56
35
43
42
G165
80
40
19
37
G166
70
35
34
32
Sumber: Nilai Siswa SMP Negeri 1 Medan Kelsa 8 Tahun Pelajaran 2012/2013
63
Universitas Sumatera Utara
64
Soal Geometri
1. Pada Gambar dibawah, segi-4-nya adalah persegi dengan panjang sisi 1 satuan dan garis lengkungnya masing-masing adalah busur seperempat lingkaran.
Hitunglah luas daerah yang diarsir.
Gambar 4.2 Segi 4
2. Dalam ∆ABC, titik-titik P, Q, dan R berturut-turut terletak pada sisi
AB, BC dan AC. AP : P B = BQ : QC = CR : RA = 1 : 3. Hitunglah
perbandingan luas ∆P QR: luas ∆ABC.
Gambar 4.3 Segitiga siku-siku
Dalam ∆ABC, AB = 15, BC = 14 dan AC = 13, AD garis tinggi dan garis
bagi sudut B memotong , AD di titik E, Hitunglah panjang, DE .
3. Buktikanlah bahwa dalam setiap jajargenjang, jumlah kuadrat panjang diagonalnya sama dengan dua kali jumlah kuadrat panjang sisi-sisinya.
Universitas Sumatera Utara
65
Pembahasan
1. Dicari lebih dahulu separo gambar yang dimaksud, sehingga diperoleh pada
gambar dibawan. Luas yang diarsir adalah setengah dari luas seperempat
lingkaran berjari-jari 1, dipotong luas setengah persegi, yaitu 14 π × 12 − 12 =
1
π − 12 . Luas seluruhnya yang diarsir =2 × 41 π − 12 − 21 π − 1 Altenatif 2
4
Gambar 4.4 Segitiga siku-siku
Pengalamn menunjukkan bahwa alternatif 1 adalah yang paling sering digunakan. Namun ada penyelesaian unik yang pernah dikemukakan siswa
tetapi jarang ditemukan yaitu menggunakan pendekatan komplementer sebagai berikut:
Yang dicari pertama adalah separo daerah tak terasir, misal daerah tak
d pada gambar 4.5 yang diperoleh dari luas daerah persegi dikuterasir ABC
rangi dengan luas seperempat lingkaran berpusat D. Hasilnya adalah 1− 41 π.
Berarti luas dua bagian yang tak terasir adalah 2 × 1 − 41 π = 2 − 21 π
Luas daerah yang diasir adalah komplemenya, yaitu luas persegi dikurangi
yang tidak diasir = 1 − 2 − 12 π = 12 π − 1
Altenatif 3
Seorang siswa yang tajam penglihatannya menemukan bahwa jika dihitung
luas seperempat lingkarannya yaitu = 2 × 21 π = 21 π, bagian II terhitung
dua kali. Karena itu jika dikurangi dengan daerah tak terasir, harus dikuran-
gi lagi dengan daerah II (yang terasir) yang tadi dihitung dua kali. Hal itu
sama saja dengan mengurangi dengan luas dua buah seperampat lingkaran
1
π dikurangi luas persegi = 12 π − 1
2
Universitas Sumatera Utara
66
Gambar 4.5 Setengah lingkaran
2. Tarik RD⊥BC dan AE⊥BC. Dengan demikian maka RDkAE.
Dalam ∆CAE, RDkAE dan CR : CA = 1 : 4
→ RD : AE = CR : CA = 1 : (1 + 3) = 1 : 4
1
CQ × RD
3 1
3
CQ RD
Luas∆RQC
×
= × =
=
= 21
Luas∆ABC
CB AE
4 4
16
CD × AE
2
Luas∆P BQ
Luas∆AP R
3
3
dan
=
=
Luas∆ABC
16
Luas∆ABC
16
3
7
× Luas ∆ABC = 16
Luas ∆ABC
Jadi luas yang ∆P QR = 1 − 3 × 16
Analog:
Atau: L∆P QR : L∆ABC = 7 : 16.
Catatan:
(a) Untuk yang telah memahami bahwa:
Jika dua segitiga mempunyai sebuah sudut sama besar maka perbandingan luasnya sebanding dengan perbandingan hasil kali panjang sisisisibyang mengampit sudut tersebut, maka pemecahan masalah di atas
lebih dipermudah.
Misal: ∆AP R dan ∆ABC bersudut sama yaitu sudut A, karena itu
maka
Luas∆RQC
Luas∆ABC
=
AP ×AR
AB×AC
=
AP
× AR
AB
AC
= 14 × 34 =
3
.
16
Hal yang sama dapat
dikenakan terhadap segitiga-segitiga lainnya di luar ∆P QR didalam
∆ABC.
Universitas Sumatera Utara
67
(b) Akibat langsung dari hubungan diatas adalah jika dua buah segitiga sebangun maka pewrbandingan luasnya sebanding dengan perbandingan
kuadrat panjang sebuah sisi seletak.
(c) Perbandingan luas tersebut dapat diperluas untuk setiap dua poligon
sebangun. Perbandingan luas dua poligon sebangun sebanding kuadrat
sebuah sisi seletaknya.
3. Diketahui: ∆ABC; a = 14, b = 13, c = 15.
AD⊥BC.
Besar ∠ABE = ∠DBE.
Hitung: DE
Jawab: s = (14 + 13 + 15)/2 = 21
2p
s (s − a) (s − b) (s − c)
AD = ta =
a
2p
21 (21 − 14) (21 − 13) (21 − 15)
=
14
1√
21 × 7 × 8 × 6
=
7
1
= × 3 × 7 × 22
7
= 12
Gambar 4.6 Segitiga sama siku
Universitas Sumatera Utara
68
Pada ∆ABD yang siku-siku di D : BD2 = AB 2 − AD2 = 225 − 144 = 81 ⇒
BD = 9
Pada ∆ABD, BE merupakan garis bagi sudut B, sehingga DE : EA =
BD : BA = 9 : 15 = 3 : 5
Jika DE = x, maka EA = 12 − x ⇒ x : (12 − x) = 3 : 5
5x = 36 − 3x ⇔ 8x = 36 ⇔ x = 4, 5
Jadi DE = 4, 5
4. Buktikanlah bahwa dalam setiap jajarangenjang jumlah kuadrat panjang
diagonalnya sama dengan dua kali jumlah panjang sisi-sisinya.
Buktikan: (AC)2 + (BD)2 = 2((AB)2 + (AD)2 )
Gambar 4.7 Jajarangenjang
Bukti cara I
(Pemikiran awal: jumlah kuadrat panjang sisi terkait dengan teorema Pythagoras. Karena itu maka masalahnya dipaksa dibawa ke segitiga siku-siku.
Jadi perlu bantuan garis sehingga terjadi segitiga siku-siku).
Tarik DE dan CF tegak lurus AB (lihat gambar). Misalkan AE − BF − X
dan DE − CF − T . Dalam segitiga siku-siku BDE : (BD)2 − t2 + (AB −
x)2 − t2 + (AB)2 − 2x(AB) + x2 , dan pada segitiga siku-siku ADEt2 + x2 −
(AD)2 . Dari kedua hubungan diatas didapat (BD)2 − (AD)2 + (AB)2 −
2X(AB)
(∗). Pada segitiga siku-siku ACF : (AC)2 − t2 + (AB + x)2 −
t2 + (AB)2 + 2x(AB) + x2, melalui substitusi t2 + x2 − (AD)2 didapat:
(AC)2(AD)2 + (AB)2 + 2x(AB) (∗∗).
Dari perjumlahan kesamaan (∗) dan (∗∗) didapatkan:
(AC)2 + (BD)2 − 2((AB)2 + (AD)2 )terbukti
Universitas Sumatera Utara
69
Bukti: Cara II
Jajargenjang ABCD diletakkan dalam sistem koordinat Kartesius. Jika
koordinat A, B dan D berturut-turut (0, 0), (a, 0), dan (b, c) maka koordinat
C adalah (b + a, c)
Gambar 4.8 Jajarangenjang
Karena bentuk kuadrat ruas garis terkait dengan rumus jarak antara dua
titik, maka hubungan yang diperoleh adalah:
(AC)2 = (xC − xA )2 + (yC − yA )2
= (b + a − 0)2 + (c − 0)2 = b2 + 2ab + a2 + c2
(BD)2 = (xD − xB )2 + (yD − yB )2
= (b − a)2 + (c − 0)2 = b2 − 2ab + a2 + c2
(AC)2 + (BD)2 = 2 a2 + b2 + c2 (∧)
AB = a, sehingga (AB)2 = a2
(BD)2 = (xD − xB )2 + (yD − yB )2
2
2
= (b + a − a) + (c − c) = b2 + c2
Jika nilai (AB)2 dan (BD)2 digantika pada (∧) diperoleh:
(AC)2 + (BD)2 = 2 (AC)2 + (BD)2 (terbukti)
Universitas Sumatera Utara