BAB 11 Suku Banyak fixs (1)

BAB 11
SUKU BANYAK
Pada bab ini akan dipelajari tentang algoritma pembagian suku
banyak, teorema sisa, dan teorema faktor, serta akar – akar
rasional.
A. ALGORITMA PEMBAGIAN SUKU BANYAK
1. Pengertian suku banyak
Suku banyak (polinomial) adalah sebuah ungkapan
aljabar yang variabel (peubahnya) berpangkat bilangan
bulat non negatif.
Bentuk umum :
y = F(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an
Dengan n Є bilangan bulat , an ≠ 0
Pengertian-pengertian :
a0, a1, a2 ,…, an-1 , an
Disebut
koefisien
masing-masing
bilangan
real
(walaupun boleh juga bilangan kompleks).

2. Derajat suku banyak
Derajat Suku Banyak adalah pangkat tertinggi dari
pangkat-pangkat pada tiap-tiap suku, disebut n. Untuk
suku banyak nol dikatakan tidak memiliki derajat.
Suku : a0xn , a1xn-1 , a2xn-2 , … , an-1x , an
Masing-masing merupakan suku dari suku banyak
Suku Tetap (konstanta)
A0 adalah suku tetap atau konstanta, tidak mengandung
variabel/peubah.
Sedangkan
anxn
adalah
suku
berderajat tinggi.
3. Nilai suku banyak
Basic concept :
Jika f(x) = axn + bxn – 1+ cxn – 2+…+ f maka nilai suku
banyak dapat dicari dengan cara subtitusi dan
skematik.
Contoh :

Diketahui fungsi polinom f(x) = 2x5+ 3x4 – 5x2+ x – 7
Maka nilai fungsi tersebut untuk x= – 2 adalah…
Jawab :
f(x) = 2x5+ 3x4 – 5x2+ x – 7
Cara 1: (subtitusi): x = -2
f(-2)= 2(-2)5+3(-2)4+5(-2)2+(-2) – 7 = – 45
Cara 2 : (skematik) atau Horner

126

f(x) = 2x5+ 3x4 – 5x2+ x – 7 dan pembagianya x= – 2
Ambil koefisiennya:
-2 2
3
0
-5
-4
2
-4
2

-1
2
-9
Jadi nilai suku banyaknya – 45

1
18
19

-7
-38
-45

+

4. Pembagian pada suku banyak
Pembagian sukubanyak P(x) oleh (x – a) dapat ditulis
dengan
P(x) = (x – a)H(x) + S
Keterangan:

P(x) suku banyak yang dibagi,
(x – a) adalah pembagi,
H(x) adalah hasil pembagian,
dan S adalah sisa pembagian
B. TEOREMA SISA DAN TEOREMA FAKTOR
1. Penggunaan teorema sisa
Basic concept :
Jika sukubanyak P(x) dibagi (x – a), sisanya P(a) dibagi
 b
p 
(x + a) sisanya P(– a) dibagi (ax – b) sisanya  a  .
Contoh :
Tentukan sisa dan hasil baginya jika P(x) = x3 + 4x2 – 5x
– 8 dibagi x –2
Jawab:
Dengan teorema sisa, dengan mudah kita dapatkan
sisanya,
yaitu P(2) = 23 + 4(2)2 – 5(2) – 8 = 8 + 16 – 10 – 8 = 6
Untuk menentukan hasil baginya kita gunakan:
Pembagian Horner:

dengan menggunakan bagan seperti berikut :
x3 + 4x2 – 5x – 8 dibagi x – 2 ( x = 2)

127

21 4  5  8
2 12 14 
1 6 7
6  sisa
1 4 2 43
hasil bagi

makadiperoleh:
hasilbaginya: x2  6x  7
sisabagi: 6
2. Pembagian bentuk (x – a)(x – b)
Bentuk pembagiannya dapat ditulis sebagai
P(x) = (x – a)(x – b)H(x) + S(x)
berarti: untuk x = a , P(a) = S(a) dan untuk x = b, P(b)
= S(b)

Catatan: S(x) berderajat 1, misal px + q
Contoh :
Suatu suku banyak bila dibagi oleh x + 2 bersisa -13,
dibagi oleh x – 3 sisanya 7.
Suku banyak tersebut bila dibagi oleh x2 – x - 6
bersisa….
Jawab:
Misal sisanya : S(x) = ax + b,
P(x): (x + 2) Þ S(-2) = -13  -2a + b = -13
P(x): (x – 3) Þ S(3) = 7 
3a + b = 7
_
-5a
= -20
a=4
a = 4 maka b = - 5
Jadi sisanya adalah: ax + b = 4x – 5
3. Penggunaan teorema faktor
Basic concept :
Jika f(x) adalah sukubanyak; (x – k) merupakan faktor

dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0
Artinya : Jika (x – k) merupakan faktor, maka nilai f(k) =
0 sebaliknya, jika f(k) = 0 maka (x – k) merupakan
faktor
Contoh :
Tentukan faktor-faktor dari P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6
Jawab:
Misalkan faktornya (x – k), maka nilai k yang mungkin
adalah pembagi bulat dari 6, yaitu pembagi bulat dari 6

128

ada 8 yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6. Nilai-nilai k itu kita
substitusikan ke P(x), misalnya k = 1 diperoleh:
P(1) = 2.13 – 1.12 – 7.1 + 6
=2–1–7+6=0
Oleh karena P(1) = 0, maka (x – 1) adalah salah satu
faktor dari P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6
Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan hasil bagi
P(x) oleh (x – 1) dengan pembagian horner:

Koefisien suku banyak P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6 adalah 2
-1 -7
12 1 7 6
2
1 6 
2 1  6 0  sisa
14243
hasil bagi

makadiperoleh:
hasilbaginya: 2x2  x  6
sisabagi: 6
Karena hasil baginya adalah H(x) = 2x2 + x – 6 = (2x –
3)(x + 2) dengan demikian 2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x 2
+ x – 6) = (x – 1)(2x – 3)(x + 2)
Jadi faktor-faktornya liniernya adalah (x – 1), (2x – 3 )
dan (x + 2)
C. AKAR – AKAR RASIONAL
Basic concept :
Jika P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + ao dan (x – k)

merupakan faktor dari P(x) maka K merupakan akar dari
P(x).
1. Menentukan akar rasional
Metode supertrik :
Mencari akar rasional dengan melihat koefisien pangkat
tertinggi dan konstanta !
2. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Suku
banyak
Basic concept :
Jika akar – akar persamaan Suku banyak: ax3 + bx2 + cx
+ d = 0 adalah x1, x2, dan x3 maka berlaku :
x1 + x2 + x3 =



b
a

129

c
x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = a
d

x1.x2.x3 = a
PAKET SOAL DAN PEMBAHASAN
1. UN 2010
3
2
Suku banyak 2x  ax  bx  2 dibagi (x+1) sisanya 6, dan
dibagi (x-2) sisanya 24. Nilai 2a – b = . . .
A. 0
D. 6
B. 2
E. 9
C. 3
Pembahasan :
 x 1 artinyax  1, subtitusike
3
2

 2 1  a 1  b 1  2  6
 a  b  6...1)
 x 2 artinyax  2, subtitusike
3
2
 2 2  a 2  b 2  2  24
 2a b 3...2)
eliminasi1)dan2)diperoleh:
2a b 3
a b 6 
3a 9
a  3 maka b   3
 2a  b 9
Jawaban:E
2. UN 2011
Suku banyak 2x3 + ax2 + bx + 2 dibagi (x + 1) bersisa 6,
dan jika dibagi (x – 2) sisanya 24. Nilai 2a – b = …
A. 0
D. 6
B. 2
E. 9
C. 3
Pembahasan :

130

 x 1 artinyax  1, subtitusike
3
2
 2 1  a 1  b 1  2  6
 a  b  6...1)

 x 2 artinyax  2, subtitusike
3
2
 2 2  a 2  b 2  2  24

 2a b 3...2)
eliminasi1)dan2)diperoleh:
2a b 3
a b 6 
3a 9
a  3 makab   3
 2a  b 9

Jawaban:E
3. UN 2011
Diketahui (x – 2) dan (x – 1) adalah faktor-faktor suku
P x  x3  ax2  13x  b
banyak
. Jika akar-akar persamaan
suku
banyak
tersebut
adalah
x1 ,x2 , danx3 ,untuk x1  x2  x3 ,makanilai x1  x2  x3 = . . .

A. 8
D. 2
B. 6
E. -4
C. 3
Pembahasan :
untuk  x 2 berlaku:
3
2
  2  a 2  13 2  b 0 sisa
 4a b 18...1)
untuk  x1 berlaku:
3
2
  1  a 1  13 1  b 0 sisa
 a b 12...2)
eliminasi 1)dan2)diperoleh:
4a b 18
a b 12 
3a  6
a  2 makab 10
Jika ketemu soal seperti ini, langsung lihat konstantanya
saja !
P x  x3  2x2  13x  10









 x  2 x 1 x  5
makax1  2,x2  1,x3   5
nilai x1  x2  x3  2 1 5  6

Jawaban:B

131

4. UN 2012
Suku banyak berderajat 3, dibagi dengan x 2 – x – 6 bersisa
(5x – 2). Jika dibagi x2 – 2x – 3 bersisa (3x + 4). Suku
banyak tersebut adalah….
A. x3 – 2x2 + x + 4
B. x3 – 2x2 – x + 4
C. x3 – 2x2 – x – 4
D. x3 – 2x2 + 4
E. x3 + 2x2 – 4
Pembahasan :
Metode supertrik :
sisa
x2  x  6 
 5x 2
 x 3  x 2
sisa
x 3 
 5 3  2  13
sisa
x 2  5 2  2   12
sisa
x2  2x  3 
 3x 4
 x 3  x 1
sisa
x 3 
 3 3  4  13
sisa
x 1 
 3 1  4  1
Pilih yang paling ribet, yaitu x = – 2, cek ke pilihan
jawaban, yang bersisa – 12 itulah hasilnya.
Jawaban:D
5. UN 2012
Jika F(x) dibagi (x2 – 2x) dan (x2 – 3x) masing – masing
bersisa (4x + 1) dan (3x + 1). Jika F(x) dibagi (x 2 – 5x +
6) maka sisanya adalah…
A. x + 4
D. x + 7
B. x + 5
E. x + 8
C. x + 6
Pembahasan :
Metode supertrik :
bersisa
x2  2x
 4x 1
x x 2
sisa
x 0 
 4.0 1 1
sisa
x 2  4.2 1 9
bersisa
x2  3x
 3x 1
x x 3
sisa
x 0 
 3.0 1 1
sisa
x 3  3.3 1 10

132

Pilih x yang paling ribet, yaitu x = 3, kemudian subtitusi
ke pilihan, dicari yang hasilnya 7.
Pilihan A = x + 4 = 3 + 4 = 7 (benar)
Jawaban:D
6. UN 2012
x2  2x  3
Suku banyak berderajat 3, jika dibagi
bersisa
2
x  x 2
(3x – 4), jika dibagi
bersisa (2x + 3). Suku
banyak tersebut adalah….
x3  x2  2x  1
A.
x3  x2  2x  1
B.
x3  x2  2x  1
C.
x3  2x2  x  1
D.
x3  2x2  x  1
E.
Pembahasan :
f(x)dibagi  x  3  x  1 bersisa  3x  4





















artinya: f  3  3 3  4  13
f  1  3 1  4  1
f  x dibagi  x  1  x  2 bersisa  2x  3
artinya: f  1  2 1  3  1
f  3  2 3  3  9
misal kitapilihsatu fungsi saja, f  1  1
Jadi,pilihdiantara jawaban yang jikadisubstitusikan
x  1makahasilnyaadalah  1.
Jawaban:B
7. Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi (x + 1) bersisa 8
dan dibagi (x – 3) bersisa 4. Suku banyak g(x) jika dibagi
(x + 1) bersisa – 9 dan jika dibagi (x – 3) bersisa 15. Jika
h(x) = f(x).g(x), maka sisa pembagian h(x) dengan (x 2 –
2x – 3) adalah…
A. 33x – 36
D. 33x – 39
B. 33x - 20
E. – 33x – 39
C. 20x – 33

133

Pembahasan :
Metode supertrik :
Pilih x yang ribet antara (x + 1) dan (x – 3) maka kita
pilih yang (x + 1) artinya x = – 1
f  1  8 dang 1   9
h 1  f  1  g 1  8.  9 72
Ganti x = – 1, cek ke pilihan yang hasilnya – 72, itulah
jawabannya.
Jawaban:D
PAKET SOAL LATIHAN
1. Suatu suku banyak 4x4 + 4x3 + 5x2 + 4x – 6 jika dibagi
dengan 2x2 + x – 1 bersisa…
A. 3x – 3
D. 3x + 2
B. 2x + 3
E. 3x – 2
C. 2x – 3
2. Hasil bagi dan sisa dari suku banyak 3x3 + 10x2 – 8x + 3
dibagi oleh x2 + 3x – 1, berturut – turut adalah…
A. 3x + 1 dan – 2x + 2
D. 3x + 19 dan – 56x + 21
B. 3x + 1 dan – 8x + 4
E. 3x + 19 dan 51x + 16
C. 3x – 1 dan 8x + 2
3. Diketahui suku banyak 2x3 + ax2 – bx + 3 dibagi oleh x 2 – 4
bersisa x + 23. Nilai a + b =…
A. 12
D. – 1
B. 9
E. – 2
C. 2
4. Suku banyak P (x) = x 3 – ax2 + bx – 2 mempunyai faktor (x
– 1). Jika P (x) dibagi oleh (x + 2) bersisa 36. Nilai a – b = …
A. – 15
D. 2
B. – 1
E. 15
C. 1
5. Suku banyak P (x) = 3x3 – 4x2 – 6x + k habis dibagi oleh x –
2. Sisa pembagian P(x) oleh x2 + 2x + 2 adalah…
A. 20x + 24
D. 8x + 24
B. 20x – 16
E. – 32x – 16
C. 32x + 24
6. Suku banyak P (x) jika dibagi oleh x – 1 bersisa 33, dan jika
dibagi oleh x2 + 3x + 2 sisanya 2x – 5. Sisa pembagian
suku banyak oleh x2 – 4 adalah…

134

21
x  12
D. 2

A. 10x + 11
19
x  14
B. 2
E. 11x + 10
C. 6x + 21
7. Suku banyak f(x) dibagi x + 5 memberikan sisa 2x – 1, dan
dibagi oleh x – 3 memberikan sisa 7. Sisa pembagian f(x)
oleh x2 + 2x – 15 adalah…
9
3
x
4
A. 3x – 2
D. 4
9
1
x
4
B. 3x + 1
E. 4
C. 9x + 1
8. Suku banyak P (x) dibagi oleh (4x 2 – 1) bersisa (3x – 4) dan
jika dibagi oleh (x + 1) sisanya – 16. Sisa pembagian suku
banyak oleh (2x2 + x – 1) adalah…
A. 9x – 7
D. 21x + 5
B. 12x – 4
E. 27x + 11
C. 13x + 3
9. Diketahui suku banyak F(x) jika dibagi oleh (x – 2)
mempunyai sisa 6 dan jika dibagi oleh (x + 3) mempunyai
sisa – 9. Sisa pembagian F(x) oleh x2 + x – 6 adalah…
A. 3x
D. 3x – 12
B. 4x
E. 12 – 3x
C. 3x + 12
10. Persamaan polynomial 3x3 + (p + 2)x2 – 16x – 12 = 0
mempunyai akar x = 2. Jumlah ketiga akar persamaan itu
adalah…
A. – 4
D. 3
5

3
B.
E. 4
C. 1
11. Suku banyak P(x) jika dibagi oleh 2x – 1 dan dibagi oleh 3x
+ 2 berturut – turut bersisa 2 dan – 3. Suku banyak F(x)
dibagi oleh 2x – 1 dan 3x + 2 berturut – turut bersisa – 2
dan 6. Sisa pembagian H(x) = P(x). F(x) oleh (2x – 1) (3x +
2) adalah…
A. 12x + 10
D. 5x – 5
B. 12x – 10
E. 12x – 6

135

C. 6x + 5
12. Salah satu faktor dari 2x3 – 5x2 – px + 3 adalah x + 1.
Faktor linear yang lain dari suku banyak tersebut adalah…
A. 2x + 1 dan x – 1
D. x – 2 dan x – 3
B. 2x – 1 dan x + 2
E. x + 2 dan x + 3
C. 2x – 1 dan x – 3
13. Akar – akar persamaan suku banyak x 3 – x2 + ax + 72 = 0
adalah x1, x2, dan x3. Jika salah satu akarnya adalah 3, dan
x1 < x2 < x3, maka nilai x3 – x2 – x1 = …
A. 7
D. – 7
B. 5
E. – 13
C. – 5
14. Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi (x + 1) bersisa 8 dan
dibagi (x – 3) bersisa 4. Suku banyak g(x) jika dibagi (x + 1)
bersisa – 9 dan jika dibagi (x – 3) bersisa 15. Jika h(x) =
f(x).g(x), maka sisa pembagian h(x) dengan (x2 – 2x – 3)
adalah…
A. 33x – 36
D. 33x – 39
B. 33x – 16
E. – 3x – 39
C. 20x – 33
15. Suku banyak berderajat 3, dibagi dengan x 2 – x – 6 bersisa
(5x – 2). Jika dibagi x2 – 2x – 3 bersisa (3x + 4). Suku
banyak tersebut adalah…
A. x3 – 2x2 + x + 4
B. x3 – 2x2 – x + 4
C. x3 – 2x2 – x – 4
D. x3 – 2x2 + 4
E. x3 + 2x2 – 4

136