Bumbung gelombang atau waveguide adalah saluran transmisi yang berupa
Modul 6
EE2323 Elektromagnetika Telekomunikasi
Bumbung Gelombang
Oleh :
Nachwan Mufti Adriansyah, ST
Organisasi Organisasi Modul 5
Bumbung Gelombang
page 3
- A. Pendahuluan
page 9
- B. Penurunan Persamaan Medan
- C. Bumbung Gelombang Rektangular page 15
- D. Bumbung Gelombang Sirkular
page 17
page 19
- E. Cavity Resonator
page 20
- F. Serat Optik
A. Pendahuluan atau waveguide adalah saluran transmisi yang berupa
Bumbung gelombang pipa berongga yang terbuat dari konduktor yang baik. Rongga diisi dengan bahan dielektrik tak merugi yang umumnya adalah udara kering.
Bumbung gelombang umumnya digunakan untuk saluran transmisi frekuensi gelombang mikro ( orde GHz ) , sebagai saluran dari antena parabola menuju ke transmitter atau receiver, atau sebagai feed element. Saluran transmisi lain untuk orde GHz (kecuali serat optik) akan memiliki redaman yang cukup besar, disamping itu akan terjadi absorbsi, radiasi, dan skin effect. Penampang bumbung gelombang bisa berupa persegi panjang (rectangular), bujursangkar, lingkaran (sirkular), atau bisa juga ellips. ellips rectangular sirkular
B. Bumbung Gelombang Rektangular
x = x = a
, = 0 y y = b
2
2 Bahan di dalam waveguide bisa berupa udara atau gas kering
E E yang merupakan dielektrik sempurna, sehingga dapat
dinyatakan dalam persamaan gelombang Helmholtz
2
2 H H
disamping : Karena gelombang merambat dalam arah sumbu z saja, maka dinyatakan sbb :
z z z z ˆ ˆ
ˆ ˆ H ( x , y , z ) H ( x , y ) e H ( x , y ) e
E ( x , y , z ) E ( x , y ) e E ( x , y ) e x x x x x x
z z z z
ˆ ˆ ˆ ˆ
H ( x , y , z ) H ( x , y ) e H ( x , y ) e E ( x , y , z ) E ( x , y ) e E ( x , y ) e y y y y y y
z z z z
ˆ ˆ ˆ ˆ
H ( x , y , z ) H ( x , y ) e H ( x , y ) e E ( x , y , z ) E ( x , y ) e E ( x , y ) e z z z z z z
Bumbung Gelombang Rektangular , ditinjau untuk arah z positif saja, dengan
Untuk mempermudah pembahasan anggapan bahwa analisis untuk arah z negatif sama dengan untuk arah z positif, sehingga :
z z
ˆ ˆ
didapat .... E ( x , y , z ) E ( x , y ) e
H ( x , y , z ) H ( x , y ) e x x x x
z z
ˆ ˆ
pers (1)
E ( x , y , z ) E ( x , y ) e H ( x , y , z ) H ( x , y ) e y y y y
z z
ˆ ˆ
E ( x , y , z ) E ( x , y ) e H ( x , y , z ) H ( x , y ) e z z z z
Untuk melihat struktur medan dalam persamaan diatas dimasukkan dalam waveguide, persamaan gelombang Helmholtz.... Asumsi : medan sinusoidal, dielektrik sempurna dalam WG
2
2 E E
2
2 H H
Bumbung Gelombang Rektangular
2
2
2
2 E E
H H
2
2
2
2 x x x x
E E H H x x x x
2
2
2
2 x y
x y
2
2
2
2 E E
H H y y y y
2
2
2
2 E E H H y y y y
2
2
2
2 x y
x y
2
2
2
2 H H
E E
2
2
2 2 z z z z H H
E E z z z z
2
2
2
2 x y
x y
Dengan mendefinisikan LAPLACIAN TRANSVERSAL terhadap sumbu z,
2
2
2 a a
ˆ ˆ T x y
dengan
T
2
2 x y
x y
Persamaan diatas dapat dituliskan dengan sederhana sebagai berikut :
2
2
2
2
2
2 dan
E E H H
T
T
Bumbung Gelombang Rektangular tentang hukum Faraday
Sedangkan menurut persamaan Maxwell I dan II dan hukum Ampere, dinyatakan sbb :
E j H H j E Substutusikan persamaan dibawah ke persamaan Maxwell di atas ...
z z
ˆ ˆ
E ( x , y , z ) E ( x , y ) e H ( x , y , z ) H ( x , y ) e
x x x x
z z
ˆ ˆ
E ( x , y , z ) E ( x , y ) e H ( x , y , z ) H ( x , y ) e y y y y
z z
ˆ ˆ
E ( x , y , z ) E ( x , y ) e H ( x , y , z ) H ( x , y ) e z z z z
E H z z
E j H H j E y x y x
y y
E H z z
E j H H j E x y x y
x x
E H
E H y y x x
j H j E z z
Bumbung Gelombang Rektangular
T y x a
ˆ y a
ˆ x
Ingat kembali operator transversal H j E a ˆ
E T z
H j E a ˆ E
T z
Persamaan di atas dapat ditulis sbb :
Karena medan E maupun H adalah fungsi terhadap z maka komponen- komponen itu dapat dinyatakan dalam E z dan H z
, sehingga dengan menghitung komponen di arah z, komponen di arah lainnya akan dapat dihitung juga !!
Bumbung Gelombang Rektangular Lihat kembali
E H z z
persamaan di
E j H H j E y x y x
y y
samping yang sudah kita
E H z z
dapatkan !! E j H H j E
x y x y x
x E
H E
H y y x x
j H j E z z
x y x y
1 E 1 H substitusikan !! z z
E j H H j E y x x y
y x
1 H E z z
2
2
E j ω γ y
x y γ ω με
Bumbung Gelombang Rektangular Kemudian ...
E H z z
E j H H j E y x y x
y y
E H z z
E j H H j E x y x y
x x
E H
E H y y x x
j H j E z z
x y x y
1 E 1 H substitusikan !! z z
E j H H j E x y y x
y x
1 H E z z E j x
2
2
y x
Bumbung Gelombang Rektangular Lalu untuk
H E z z
medan magnet
H j E E j H y x y x
y y
diperoleh dengan cara yang sama
H E z z
sbb ... H j E E j H
x y x y x
x H
E H
E y y x x
j E j H z z
x y x y
1 H 1 E substitusikan !! z z
H j E E j H y x x y
y x
1 E H z z H j y
2
2
x y
Bumbung Gelombang Rektangular
Dan ...
x H
z y x
y E
1 H j E z x y
substitusikan !!
z x y y z x x y z
x H y E j
z z
2
2 x
H j y E x
E H j x
E E H j E y
E
z x y y z x x y z
E j y H x
H E j x
H H E j H y
H
1 E j H
1 H
Bumbung Gelombang Rektangular
1 E
1 E
1 H
z z
, dan diketahui ...maka komponen-komponen lainnya dapat dihitung !!
, H z
Didapatkan 4 buah persamaan umum WG rektangular yang jika E z
2 x Jadi ...
2
z z
x H y E j
2 y
2
y H x E j
2 y
y E
γ x H j
ωω με ω γ
z z
2
x E y H j
z z
2
2 x
1 H
Bumbung Gelombang Rektangular Karakterisasi E dan H z z Lihat kembali penurunan dari persamaan gelombang Helmholtz pada slide 5-6 :
2
2
2
2 E E
H H
2
2
2
2 x x x x
E E H H x x x x
2
2
2
2 x y
x y
2
2
2
2 E E
H H y y y y
2
2
2
2 E E H H y y y y
2
2
2
2 x y
x y
2
2
2
2 H H
E E
2
2
2 2 z z z z H H
E E z z z z
2
2
2
2 x y
x y
2
2
2
2 E E
H H
2
2
2
2 z z z z
E H
z z
2
2
2
2 x y
x y Dicari solusi dari kedua persamaan di atas, untuk mencari E dan H z z
Bumbung Gelombang Rektangular
2
2
2
2 E E
H H
2
2
2
2 z z z z
E H
z z
2
2
2
2 x y
x y Misalkan E merupakan fungsi satu variabel yang saling
z
terpisah atau independen z
E x , y , z X ( x ) Y ( y ) e z
2
2 X ( x ) Y ( y )
z z
2 2 z Y ( y ) e X ( x ) e X ( x ) Y ( y ) e
2
2 x y
Jika kedua ruas persamaan diatas dibagi dengan z
- X(x)Y(y) e
2
2 1 X ( x ) 1 Y ( y )
2
2
2
2 X ( x ) x Y ( y ) y
Bumbung Gelombang Rektangular
2
2 1 X ( x ) 1 Y ( y )
2
2
2
2 X ( x ) x Y ( y ) y
Karena ruas kanan adalah konstanta, maka hasil dari ruas kiri juga pasti konstanta, sehingga dapat dituliskan :
2
1 X(x)
2 M
2 X(x) x
2 1 Y(y)
2 N
2 Y(y) y
Sehingga,
2
2
2
2 M N
γ ω με
Konstanta propagasi
2
2
2 M N
γ ω με
Bumbung Gelombang Rektangular Diketahui dari pemisalan terdahulu , z
E x , y , z X ( x ) Y ( y ) e z
2
2
X(x)
1 X(x)
2
2 M M X(x)
2
2 X(x) x x
2
2
2
1 Y(y) Y(y)
2 N N Y(y)
2
2 Y(y) y y
Persamaan diferensial orde 2 yang solusinya adalah : X(x) X sin Mx X cos Mx
1
2 Y(y) Y sin Ny Y cos Ny
1
2 z
E x , y , z X sin Mx X cos Mx Y sin Ny Y cos Ny e
z
1
2
1
2 Dengan cara yang sama didapat, z
H x , y , z X ' sin Mx X ' cos Mx Y ' sin Ny Y ' cos Ny e
z
1
2
1
2 tidak nol
d
z
dan menyebabkan semua komponen arus harus nol, padahal I
H
I I L d H
d c
= 0, maka semua komponen medan yang lain juga akan = 0
dan H
Bumbung Gelombang Rektangular Mode Gelombang Dalam Waveguide Terdapat 2 kemungkinan konfigurasi medan dalam waveguide : (1) Transverse Electric ( mode TE )
z
Mode Transverse Electromagnetic ( mode TEM ) TIDAK MUNGKIN ADA pada
waveguide karena :E H Medan magnet transversal terhadap sumbu bumbung gelombang
(2) Transverse Magnetic ( mode TM ) , z z
H E Medan listrik transversal terhadap sumbu bumbung gelombang
, z z
- Jika E
- Disamping itu, mode TEM tak mungkin ada pada waveguide karena medan magnet pada bidang X-Y (z konstan) harus merupakan loop tertutup,
Bumbung Gelombang Rektangular Mode TM (Transverse Magnetic)
M b n N
0,1,2,...d st n π, Nb a m
...dst 0,1,2, m , m π Ma
Ma sin Nb sin
Dari syarat batas (2) dan (4)
1 Dari syarat batas (1) dan (3)
1 Y
dimana, C = X
Ny e sin Mx sin C E
Syarat batas : z z
E b y pada (4) a x pada E (2) E y pada (3) x pada E (1) z z z z
z
, z z
H
, = 0 =
y = b x = a x y
X E
X Mx sin
Ny e cos Y Ny sin Y Mx cos
2 1 z
1
2
E H z
dan
- Terjadi perambatan energi untuk,
2 b n a m
2
2
2 mn b n a m j j
2
2
2
2
2 mn b n a m
dan Sehingga konstanta propagasi didapat ...
Bumbung Gelombang Rektangular με ω N M
γ
2
2
2 a m
M
b n N
με ω b n π a m
2 b n a m
π γ
2
2
2
2
2
- Tidak terjadi perambatan energi untuk,
Bumbung Gelombang Rektangular Pada suatu bumbung gelombang rektangular yang memiliki dimensi tertentu (a dan b tertentu), serta m dan n tertentu pula, maka akan memiliki parameter yang disebut sebagai “
Jadi, ketika ….
2 v f
2 , mn CO b a
2
1 v Maka,
Tidak terjadi perambatan energi, “mode evanescent” Jika,
, mn CO ops f f
Terjadi perambatan energi, gelombang berjalan dalam waveguide
, mn CO ops f f
Frekuensi Cut Off “
2 b n a m
2
2
Frekuensi Cut Off terjadi ketika,
1 f
2
2 , mn CO b n a m
2
Bumbung Gelombang Rektangular Jadi, untuk mode propagasi TM ...
- Konstanta fasa didalam WG,
mn
2
2
2 f
CO , mn m n
2 2 f 1 mn
j j
mn f
a b
2 f
CO , mn
1 mn
f
:
- Kecepatan fasa didalam WG, v
mn Kecepatan fasa diarah z adalah kecepatan muka gelombang di dalam WG, dinyatakan : soperposisi gelombang datar uniform dalam WG
2 f v mn
2 v mn f
CO , mn v mn
2 f 1
2 f f
CO , mn
1
f
- Kecepatan group didalam WG, v
- Panjang gelombang didalam WG, v
1
H Z E , x mn T M y
Z , y mn T M x
i
Z 1 Z
, i mn T M f f
2 , mn CO
g,mn
:
2 , mn CO mn f f
2
mn mn
g,mn
:
1 v v
, mn g f f
2 , mn CO
mn , mn g d d v
g,mn : Bumbung Gelombang Rektangular Adalah kecepatan perambatan energi di dalam WG
- Impedansi intrinsik didalam WG, v
H Z E
Bumbung Gelombang Rektangular Persamaan-persamaan medan di dalam waveguide ... Untuk mode TM • Dari 4 buah persamaan umum yang sudah kita dapatkan untuk WG rektangular ...
1 H E
1 H E
z z
z z
E j
E j ωμ γ
x
y
2
2
2
2
y x
x y γ ω με
1 E H 1 E H
z z z z
H j H j y x
2
2
2
2
x y
y x
- Substitusikan untuk mode TM !
H z
z E C sin Mx sin Ny e z
Bumbung Gelombang Rektangular
j M j N
j z j z
mn mn
m n m n
E C cos Mx sin Ny e E C sin Mx cos Ny e
x y
2
2
2
2 M N M N
j N j N
j z j z
m n m n
H C sin Mx cos Ny e H C sin Mx cos Ny e
x y
2
2
2
2 M N M N
j t
persamaan dengan e dan mengambil Dengan mengalikan realnya, akan didapat persamaan bentuk waktu
m x n y
2
E C sin cos cos t z
z
a b mn
C real , dan
m m x n y
2 mn
2
2
2 E C cos sin sin t z
x
h = M + N
2 h a a b mn
Bumbung Gelombang Rektangular
n m x n y
2 mn
C real , dan
E C sin cos sin t z y
2
2
2
2
h b a b mn h = M + N
Sedangkan untuk medan magnetnya ...
H z
n m x n y
2
H C sin cos sin t z
x
2 h b a b mn
m m x n y 2 H C cos sin sin t z y
2 h a a b
mn
2 T
2
t sin
mn11 , medan digambar biasanya dengan mengambil untuk t dan z tertentu, sehingga :
y x a a
C h H mn
ˆ b y n cos a x m sin b n
2 t sin ˆ b y n sin a x m cos a m
z
Bumbung Gelombang Rektangular Menggambar konfigurasi medan dalam WG ... Untuk mode TM
Bentuk medan dapat digambarkan pada bidang transversal arah perambatan, dengan menulis persamaan medan untuk bidang transversal, T y x
E E E
z
2 t sin ˆ b y n cos a x m sin b n
ˆ b y n sin a x m cos a m
C h E mn
2 mn T
y x a a
- Untuk mode TM terendah, TM
- Dengan cara yang sama dapat digambar konfigurasi medan arah longitudinal 1 z
2 a , x dan
2 b , y a ,
terjadi pada : , b
11
Untuk TM
y , sehingga terjadi medan maksimum dan minimum.
, dan H
x
, H
y
, E
x
2 t sin mn
Bumbung Gelombang Rektangular Cara menggambar ...
1 z
y x a a
2 mn T
C h E mn
ˆ b y n sin a x m cos a m
2 t sin ˆ b y n cos a x m sin b n
z
- Pilih t dan z sehingga :
- Gambar medan E
Bumbung Gelombang Rektangular
- Untuk menggambar medan pada bidang yz, pilih pada harga fungsi maksimumnya.
Untuk TM pada bidang yz :
11
a x dimana E E x y
2 Sehingga hanya tergambar E , E ,
z y
dan H saja
z
Untuk t tertentu, seperti t = 0 , persamaan komponen medan sebagai berikut : Terlihat medan berubah sebagai
x y 2 fungsi jarak dalam , sehingga
E t , x C sin cos z z
a b titik-titik yang harus digambar
11 pada arah z adalah :
x y2
11 3
E t , x C cos sin z
11
11
11 y
2
z , , , , 11 a h b b
11
4
2
4 Untuk arah y,
x y2 H t , x C cos sin z x
2
b a h b b Bumbung Gelombang Rektangular x Mode TE (Transverse Electric)
= x = a
H , E z z
, = 0 y
E
z y = b
z
H X ' sin Mx X ' cos Mx Y ' sin Ny Y ' cos Ny e
z
1
2
1
2 Dan dari persamaan umum medan listrik untuk WG rektangular,
1 H E 1 H E z z
z z
E j
E j ωω γ
x
y
2
2
2
2
y x
x y γ ω με
Masukkan syarat batas : (1) E pada y (3) E pada x x y
(2) E pada y b (4) E pada x a (5) E x y Z
Bumbung Gelombang Rektangular Didapat persamaan-persamaan syarat :
H H z z untuk y = 0 untuk x = 0
y
x H
H z z untuk y = b untuk x = a
y
x Jika didiferensiasi terhadap x dan y, dan syarat-syarat diatas dimasukkan, didapat :
H z
j z m n
H C cos Mx cos Ny e E z z
(mode TE) Masukkan 2 persamaan di atas pada 4 persamaan umum medan pada WG rektangular untuk mencari komponen medan pada arah x dan y !!
Bumbung Gelombang Rektangular Persamaan-persamaan medan di dalam waveguide ... Untuk mode TE • Dari 4 buah persamaan umum yang sudah kita dapatkan untuk WG rektangular ...
1 H E
1 H E
z z
z z
E j E j
ωμ γ
x
y
2
2
2
2
y x x y
γ ω με
1 E H 1 E H
z z z z
H j H j y x
2
2
2
2
x y
y x
- Substitusikan untuk mode TE !
j z m n
H C cos Mx cos Ny e z
E z mode TE berbeda dengan impedansi intinsik mode TM !
f cut off , v mn , mn sama seperti pada mode TM !!
m n
Ny e cos Mx sin C N M
M j E
z j
2
2 mn y
Ny e sin Mx cos C N M
2 y
N j H
mn sama seperti pada mode TM !!
persamaan dengan e
j t
dan mengambil realnya, akan didapat persamaan bentuk waktu
. Silakan dicari sendiri !!
m n
2
Bumbung Gelombang Rektangular
z j
2
2 x
m n
Ny e sin Mx cos C N M
N j E
z j
z j
2
2 mn x
m n
Ny e cos Mx sin C N M
M j H
- M, N, dan
- Dengan mengalikan
- Parameter-parameter sekunder yang lain :
- Tetapi impedansi intrinsik
Bumbung Gelombang Rektangular Untuk mode TE,
2 , mn CO i
, x mn T E y H Z E
, y mn T E x H Z E
1 Z Z
, mn T E f f
H Z E
2 , mn CO
H Z E , x mn T M y
Z , y mn T M x
i
Z 1 Z
, i mn T M f f
Bandingkan dengan mode TM, Grafik impedansi intrinsik untuk mode TE dan TM
Bumbung Gelombang Rektangular
- Pada umumnya, waveguide direncanakan untuk mendukung mode terendah dan mode lainnya yang lebih tinggi dihindarkan
- Untuk bumbung gelombang rektangular, mode terendah adalah mode TE atau TE tergantung dari dimensi
10
01 bumbung gelombang. Hal ini karena mode-mode tersebut kemungkinan memiliki frekuensi cutoff terendah.
2
2 1 m n
f
CO , mn a b
2
, sedangkan
- Jika a > b , mode terendah adalah TE
10 jika a < b , mode terendah adalah TE
01 a
, karena
- Untuk mode TM, mode terendah adalah TM
11 b jika salah satu m atau n sama dengan 0, maka semua komponen medan yang lain juga = 0
z j
m n
Ny e sin Mx cos C N M
N j H
z j z
10
e a x
C cos H
E z
E x
10 x
2
10
e a x
C sin a j H
z j y
10
e a x
C sin a j E
H y
2 mn y
z j
Bumbung Gelombang Rektangular Persamaan medan untuk mode TE
2 mn x
10 ,
z j
2
2 x
m n
Ny e sin Mx cos C N M
N j E
z j
2
m n
Ny e cos Mx sin C N M
M j H
z j
2
2 y
m n
Ny e cos Mx sin C N M
M j E
- m = 1 dan n = 0
- av
berikut !
e a x
10
ada pada arah sumbu x dan z Lihat konfigurasi medan untuk mode TE
ada pada arah sumbu y
H y
C sin a j E
e a x
10
z j y
C sin a j H
10
C. Konsiderasi Daya Daya rata-rata yang menembus bidang z konstan...
z j z
Perambatan gelombang dihitung dari vektor rapat daya rata-rata,
H E Re
2
1 P
Contoh : Dicari vektor rapat daya rata-rata untuk TE
10 :
10
10 x
e a x
C cos H
E z
E x
z j
- E
- H
- x y y
- z x
- x y z
- z y z
- a ˆ a x cos a x C sin a j a ˆ a x C sin
- av
2 y 2 x mn z mn
2
10 a ˆ
Z
E2
1 a ˆ a x C sin a
2
1
Jadi, rumus umum untuk vektor rapat daya rata-rata dapat diturunkan ...
z
2 y 2 x
2
a ˆ H H
2 Z a ˆ Z
E E
2
1 H E Re
2
1 P
2
2
H E a ˆ H E a ˆ
Konsiderasi Daya Sehingga,
x Im ajiner
2 z Re al
2
2
2
2
10 x
a a ˆ
H a ˆ H a ˆ
2 y z
E H E
H E Re
2
1 P z T E 10 ,
- av
Konsiderasi Daya yang menembus bidang z konstan (kearah z)
Sedangkan daya total rata-rata adalah :
2
2 b a b a
E E
1 x y
W P a dxdy a ˆ ˆ av av z z
y x y x
2 Z mn
Contoh : Kerjakan soal berikut ! Diketahui bumbung gelombang persegi dengan dimensi a = 2,29 cm dan b = 1,02 cm terisi udara kering Ditanyakan : frekuensi cutoff untuk mode terendah (mode dominan), dan carilah untuk frekuensi operasi 7 GHz : , , v , Z , serta W jika amplitudo medan 1000 V/m
mn mn mn mn av
Konsiderasi Daya Rugi-rugi pada bumbung gelombang ...
dan 0 terjadi
- Rugi-rugi terjadi pada bumbung gelombang untuk kasus
c
disebabkan : (1) redaman pada dielektrik pengisi waveguide, dan juga karena
adanya (2) gelombang EM yang merambat pada konduktor waveguide.- Redaman pada dielektrik pengisi bumbung gelombang dapat dihitung dengan mengganti ...
1 j tan
- Sehingga persamaan untuk konstanta propagasi dapat dituliskan :
2
2 Dalam persamaan di atas, tan
m n
2 π π
adalah loss tangent untuk bahan
1 j tan
γ a b
dielektrik
f > f
- Akibat redaman oleh dinding, maka gelombang akan diredam sekalipun
ops co
- Daya yang merambat sepanjang bumbung gelombang :