Penerapan Turunan pada Bidang Fisika
BAB I
PENDAHULUAN
1.
Latar Belakang
Diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari
bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya.
Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu
fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk
fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan
kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu
fungsi pada sebuah titik menentukan berdasarkan ilmu turunan.
Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan . teorema dasar kalkulus menyatakan
bahwa pendiferensalan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan.
Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif.Turunan sangat berguna
dalam bidang fisika. Seperti para penemu-penemu rumus-rumus baru menemukan rumus
baru tersebut juga banyak seperti Newton yang menemukan hukum gerak kedua Newton
dengan menggunakan Turunan.
Di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan
turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton
menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan
kepada benda.
Banyak proses fisika yang dapat dideskripsikan dengan turunan, disebut sebagai
persamaan diferensial. Fisika secara spesifik mempelajari perubahan kuantitas terhadap
waktu, dan konsep "turunan waktu"laju perubahan terhadap perubahan waktu, sangatlah
penting sebagai definisi yang tepat pada beberapa konsep penting.
• kecepatan adalah turunan posisi benda terhadap waktu.
• percepatan adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun turunan kedua
posisi benda terhadap waktu.
Matematika merupakan ilmu dasar dari segala ilmu yang lain,sekarng ini
matematika digunakan sebagai alat penting di berbagai bidang ilmu pengetahuan,salah
satunya dalam bidang pengetahuan fisika dengan menghubungkan fungsi suatu turunan
parsial dalam bidang tersebut.
Sebelum diperjelas apa saja hubungan diatas kita harus tahu dulu definisi dari turunan parsial
itu sendiri. Turunan parsial itu adalah suatu proses melakukan differensial dari suatu fungsi
yang hanya melibatkan satu macam variabel dari keseluruhan variabel yang berkontribusi
terhadap perubahan fungsi tersebut.
Berikut ini adalah contoh turunan parsial yang menggunakan 3 variabel. Dalam bidang fisika
saya mengambil contoh rumus jarak yang ditempuh oleh benda yaitu: y = ½gx2+v0x+y0
dimana y0 menyatakan jarak awal dari titik 0. Apabila rumus ini diturunkan menjadi turunan
yang pertama y’ = dy/dx maka akan menjadi y= gx+v0, dimana v0 menyatakan kecepatan
awal. Rumus ini masih bisa diturunkan menjadi turunan yang kedua yaitu d2y/dx2, menjadi
y=g(konstan), sehingga menjadi rumus percepatan, dimana jika suatu benda dijatuhkan dari
ketinggian tertentu di atas permukaan bumi.
1
Sehingga kita dapat mengetahui bahwa dengan turunan parsial, kita dapat membuktikan
rumus-rumus dari turunan sebelumnya. Seperti rumus diatas dari rumus jarak,hingga dapat
rumus percepatan. Rumus-rumus itu didapat hanya dari satu rumus saja.
Dengan demikian turunan parsial dibilang sebagai hubungan yang mengaitkan suatu fungsi
dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud.
Banyak proses fisika yang dapat dideskripsikan dengan turunan, disebut sebagai persamaan
diferensial. Fisika secara spesifik mempelajari perubahan kuantitas terhadap waktu, dan
konsep "turunan waktu"—laju perubahan terhadap perubahan waktu— sangatlah penting
sebagai definisi yang tepat pada beberapa konsep penting. Sebagai contohnya, turunan waktu
terhadap posisi benda sangat penting dalam fisika Newtonan:
kecepatan adalah turunan posisi benda terhadap waktu.
percepatan adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun
turunan kedua posisi benda terhadap waktu.
Turunan Parsial adalah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi yang memiliki
lebih dari satu variable ke turunan parsialnya. Persamaan diferensial muncul secara alami
dalam sains fisik, model matematika, dan dalam matematika itu sendiri. Sebagai contoh,
Hukum kedua Newton yang menggambarkan hubungan antara percepatan dengan posisi
dapat dimulai dengan persamaan diferensial biasa: F (t) = m
Persamaan kalor di variable satu ruang yang menggambarkan bagaimana kalor dapat
berdifusi melalui satu tongkat yang lurus adalah persamaan diferensial parsia = ∂2 α
Di sini u(x, t) adalah temperatur tongkat pada posisi x dan waktu t dan α adalah sebuah
tetapan yang bergantung pada seberapa cepat kalor tersebut berdifusi.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa Turunan Parsial dapat diterapkan dalam fenomena fisika
yang luas seperti: gerak berputar benda, gerak benda dalam cairan, projektil, gerak dalam
bidang miring, gerak pendulum, pasang-surut, bahkan orbit bulan dan dengan demikian,
walaupan terkadang kita tidak menyadarinya, Turunan Parsial telah kita kenal dalam
kehidupan sehari - hari seperti gerak ban mobil, bandul, dan lain – lain.
2.
Rumusan Masalah
Penerapan turunan dalam bidang fisika yaitu pada matei GLB yang meliputi kecepatan
sesaat, percepatan sesaat, torsi benda tegar.
3.
Tujuan Penulisan
1) Mengetahui aplikasi turunan dalam bidang fisika
2) Mengetahui apa-apa saja materi dalam fisika yang menggunakan konsep turunan.
2
4. Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan makalah ini pembaca diharapkan mengetahui bahwa turunan
dalam matematika berlaku juga dalam bidang fisika, dan dapat menambah
wawasannya tentang turunan.
3
BAB II
TINJAUAN TEORITIS
Persamaan diferensial adalah hubungan antara sekelompok fungsi dengan turunanturunannya. Persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan diferensial yang
menghubungkan fungsi dengan sebuah variabel ke turunannya terhadap variabel itu sendiri.
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi
yang memiliki lebih dari satu variable ke turunan parsialnya. Persamaan diferensial muncul
secara alami dalam sains fisik, model matematika, dan dalam matematika itu sendiri. Sebagai
contoh, Hukum kedua newton yang menggambarkan hubungan antara percepatan dengan
posisi dapat dimulai dengan persamaan diferensial biasa
Fisika secara spesifik mempelajari perubahan kuantitas terhadap waktu, dan konsep
"turunan waktu"—laju perubahan terhadap perubahan waktu— sangatlah penting sebagai
definisi yang tepat pada beberapa konsep penting. Sebagai contohnya, turunan waktu
terhadap posisi benda sangat penting dalam fisika Newtonan:
• kecepatan adalah turunan posisi benda terhadap waktu.
• percepatan adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun turunan kedua
posisi benda terhadap waktu.
Pada sebuah kajian mengenai torsi benda tegar pendiferensialan menjadi salah satu cara
untuk menemukan rumusnya. Dari rumus mencari jarak rotasi benda (s) jika diturunkan maka
akan diperoleh rumus Usaha yang dilakukan gaya F untuk gerak rotasi dW = F . ds ,jika
diturunkan lagi maka akan diperoleh daya dW/dt = t dq/dt. Mencari momentum sudut benda
tegar juga merupakan hasil dari pendeferensialan dW/dt = dK/dt .
4
BAB III
PEMBAHASAN
1. Aplikasi Turunan dalam fisika
Dalam bidang fisika dibahas mengenai gerak lurus berubah beraturan, yang berarti bahwa
kecepatan benda selama bergerak tidaklah tetap. Misalnya benda bergerak menempuh jarak s
dalam waktu t. Kecepatan rata-rata dapat ditentukan dengan :
perubahan jarak ∆ s
Kecepatan rata-rata : perubahan waktu = ∆ t
Jika kecepatan pada saat t dinotasikan dengan v(t) maka kecepatan dirumuskan dengan :
ds
V(t) = dt
Jika fungsi kecepatan terhadap waktu v(t) diturunkan lagi maka akan diperoleh percepatan
dv
a(t) = dt
Dengan kata lain, percepatan pada waktu t adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan.
Percepatan juga diartikan sebagai turunan kedua dari fungsi jaraknya yaitu
dv
d ds
d2 s
a(t) = dt = = dt ( dt ) = dt 2 = s”t
Aplikasi turunan dalam bidang fisika digunakan untuk menurunkan suatu rumus
Berikut contoh penerapan turunan dalam fisika :
1.1 Momentum Sudut
Didefinisikan l = r x p (p = mv). Besarnya momentum sudut : l = r p sin q.
Rumusan ini dapat diubah menjadi : l = r (p sinq) = r p^ atau l = p (r sinq) = p r^ .
Dari definisi momentum sudut l = r x p, bila dideferensialkan diperoleh :
dl/dt = d (r x p)/dt
dl/dt = (r x dp/dt) + (dr/dt x p)
dl/dt = (r x F) + (v x mv)
dl/dt = t
dp/dt = F
1.2 Torsi
Sebuah benda berotasi dengan sumbu putar adalah sumbu z. Sebuah gaya F bekerja
pada salah satu partikel di titik P pada benda tersebut. Torsi yang bekerja pada partikel
tersebut adalah :
t=rxF
Arah torsi t searah dengan sumbu z. Setelah selang waktu dt partikel telah
berputar menempuh sudut dq dan jarak yang ditempuh partikel ds, dimana ds = r dq. Usaha
yang dilakukan gaya F untuk gerak rotasi ini
dW = F . ds
dW = F cos f ds
dW = (F cos f) (r dq)
dW = t dq
dW = F . ds
5
Laju usaha yang dilakukan (daya) adalah :
dW/dt = t dq/dt
P=tw
P=Fv
Untuk benda yang benar-benar tegar, tidak ada disipasi tenaga, sehingga laju
dilakukannya usaha pada benda tegar tersebut sama dengan laju pertambahan tenaga kinetik
rotasinya.
dW/dt = dK/dt
dW/dt = d(1/2 I w2)/dt
t w = 1/2 I dw2/dt
t w = Iw dw/dt
t w = Iw a
t =Ia
F=ma
2. Contoh Soal dan Pembahasannya
Posisi partikel ditunjukkan oleh persamaan s=f(t)=t3-6t2+9t (t dalam detik dan s dalam
meter). Tentukan :
a. Kecepatan pada waktu t?
b. Kecepatan setelah 2 detik?
c. Kapan partikel berhenti?
d. Kapan partikel bergerak maju ?
Jawab :
a. Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi.
s=f(t)=t3-6t2+9t
v(t)= =3t2-12t+9
b. Kecepatan setelah 2 detik bermakna sebagai kecepatan sesaat pada t=2
v(t)= =3t2-12t+9
v(2)= 3(2)2-12(2)+9=-3m/dt
c. Partikel berhenti jika v(t)=0
v(t)= 3t2-12t+9=0
ó3t2-12t+9
ó3(t2-4t+3)
ó3(t-1)(t-3)=0
ó t1=1 dan t2=3 Partikel berhenti setelah t=1 atau t=3
d. Partikel bergerak maju (dalam arah positif) jika v(t)>0
3t2-12t+9=3(t-1)(t-3)>0
® Partikel bergerak maju jika
t3 (dari mana ?)
® Partikel bergerak mundur jika
1
PENDAHULUAN
1.
Latar Belakang
Diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari
bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya.
Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu
fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk
fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan
kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu
fungsi pada sebuah titik menentukan berdasarkan ilmu turunan.
Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan . teorema dasar kalkulus menyatakan
bahwa pendiferensalan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan.
Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif.Turunan sangat berguna
dalam bidang fisika. Seperti para penemu-penemu rumus-rumus baru menemukan rumus
baru tersebut juga banyak seperti Newton yang menemukan hukum gerak kedua Newton
dengan menggunakan Turunan.
Di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan
turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton
menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan
kepada benda.
Banyak proses fisika yang dapat dideskripsikan dengan turunan, disebut sebagai
persamaan diferensial. Fisika secara spesifik mempelajari perubahan kuantitas terhadap
waktu, dan konsep "turunan waktu"laju perubahan terhadap perubahan waktu, sangatlah
penting sebagai definisi yang tepat pada beberapa konsep penting.
• kecepatan adalah turunan posisi benda terhadap waktu.
• percepatan adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun turunan kedua
posisi benda terhadap waktu.
Matematika merupakan ilmu dasar dari segala ilmu yang lain,sekarng ini
matematika digunakan sebagai alat penting di berbagai bidang ilmu pengetahuan,salah
satunya dalam bidang pengetahuan fisika dengan menghubungkan fungsi suatu turunan
parsial dalam bidang tersebut.
Sebelum diperjelas apa saja hubungan diatas kita harus tahu dulu definisi dari turunan parsial
itu sendiri. Turunan parsial itu adalah suatu proses melakukan differensial dari suatu fungsi
yang hanya melibatkan satu macam variabel dari keseluruhan variabel yang berkontribusi
terhadap perubahan fungsi tersebut.
Berikut ini adalah contoh turunan parsial yang menggunakan 3 variabel. Dalam bidang fisika
saya mengambil contoh rumus jarak yang ditempuh oleh benda yaitu: y = ½gx2+v0x+y0
dimana y0 menyatakan jarak awal dari titik 0. Apabila rumus ini diturunkan menjadi turunan
yang pertama y’ = dy/dx maka akan menjadi y= gx+v0, dimana v0 menyatakan kecepatan
awal. Rumus ini masih bisa diturunkan menjadi turunan yang kedua yaitu d2y/dx2, menjadi
y=g(konstan), sehingga menjadi rumus percepatan, dimana jika suatu benda dijatuhkan dari
ketinggian tertentu di atas permukaan bumi.
1
Sehingga kita dapat mengetahui bahwa dengan turunan parsial, kita dapat membuktikan
rumus-rumus dari turunan sebelumnya. Seperti rumus diatas dari rumus jarak,hingga dapat
rumus percepatan. Rumus-rumus itu didapat hanya dari satu rumus saja.
Dengan demikian turunan parsial dibilang sebagai hubungan yang mengaitkan suatu fungsi
dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud.
Banyak proses fisika yang dapat dideskripsikan dengan turunan, disebut sebagai persamaan
diferensial. Fisika secara spesifik mempelajari perubahan kuantitas terhadap waktu, dan
konsep "turunan waktu"—laju perubahan terhadap perubahan waktu— sangatlah penting
sebagai definisi yang tepat pada beberapa konsep penting. Sebagai contohnya, turunan waktu
terhadap posisi benda sangat penting dalam fisika Newtonan:
kecepatan adalah turunan posisi benda terhadap waktu.
percepatan adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun
turunan kedua posisi benda terhadap waktu.
Turunan Parsial adalah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi yang memiliki
lebih dari satu variable ke turunan parsialnya. Persamaan diferensial muncul secara alami
dalam sains fisik, model matematika, dan dalam matematika itu sendiri. Sebagai contoh,
Hukum kedua Newton yang menggambarkan hubungan antara percepatan dengan posisi
dapat dimulai dengan persamaan diferensial biasa: F (t) = m
Persamaan kalor di variable satu ruang yang menggambarkan bagaimana kalor dapat
berdifusi melalui satu tongkat yang lurus adalah persamaan diferensial parsia = ∂2 α
Di sini u(x, t) adalah temperatur tongkat pada posisi x dan waktu t dan α adalah sebuah
tetapan yang bergantung pada seberapa cepat kalor tersebut berdifusi.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa Turunan Parsial dapat diterapkan dalam fenomena fisika
yang luas seperti: gerak berputar benda, gerak benda dalam cairan, projektil, gerak dalam
bidang miring, gerak pendulum, pasang-surut, bahkan orbit bulan dan dengan demikian,
walaupan terkadang kita tidak menyadarinya, Turunan Parsial telah kita kenal dalam
kehidupan sehari - hari seperti gerak ban mobil, bandul, dan lain – lain.
2.
Rumusan Masalah
Penerapan turunan dalam bidang fisika yaitu pada matei GLB yang meliputi kecepatan
sesaat, percepatan sesaat, torsi benda tegar.
3.
Tujuan Penulisan
1) Mengetahui aplikasi turunan dalam bidang fisika
2) Mengetahui apa-apa saja materi dalam fisika yang menggunakan konsep turunan.
2
4. Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan makalah ini pembaca diharapkan mengetahui bahwa turunan
dalam matematika berlaku juga dalam bidang fisika, dan dapat menambah
wawasannya tentang turunan.
3
BAB II
TINJAUAN TEORITIS
Persamaan diferensial adalah hubungan antara sekelompok fungsi dengan turunanturunannya. Persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan diferensial yang
menghubungkan fungsi dengan sebuah variabel ke turunannya terhadap variabel itu sendiri.
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi
yang memiliki lebih dari satu variable ke turunan parsialnya. Persamaan diferensial muncul
secara alami dalam sains fisik, model matematika, dan dalam matematika itu sendiri. Sebagai
contoh, Hukum kedua newton yang menggambarkan hubungan antara percepatan dengan
posisi dapat dimulai dengan persamaan diferensial biasa
Fisika secara spesifik mempelajari perubahan kuantitas terhadap waktu, dan konsep
"turunan waktu"—laju perubahan terhadap perubahan waktu— sangatlah penting sebagai
definisi yang tepat pada beberapa konsep penting. Sebagai contohnya, turunan waktu
terhadap posisi benda sangat penting dalam fisika Newtonan:
• kecepatan adalah turunan posisi benda terhadap waktu.
• percepatan adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun turunan kedua
posisi benda terhadap waktu.
Pada sebuah kajian mengenai torsi benda tegar pendiferensialan menjadi salah satu cara
untuk menemukan rumusnya. Dari rumus mencari jarak rotasi benda (s) jika diturunkan maka
akan diperoleh rumus Usaha yang dilakukan gaya F untuk gerak rotasi dW = F . ds ,jika
diturunkan lagi maka akan diperoleh daya dW/dt = t dq/dt. Mencari momentum sudut benda
tegar juga merupakan hasil dari pendeferensialan dW/dt = dK/dt .
4
BAB III
PEMBAHASAN
1. Aplikasi Turunan dalam fisika
Dalam bidang fisika dibahas mengenai gerak lurus berubah beraturan, yang berarti bahwa
kecepatan benda selama bergerak tidaklah tetap. Misalnya benda bergerak menempuh jarak s
dalam waktu t. Kecepatan rata-rata dapat ditentukan dengan :
perubahan jarak ∆ s
Kecepatan rata-rata : perubahan waktu = ∆ t
Jika kecepatan pada saat t dinotasikan dengan v(t) maka kecepatan dirumuskan dengan :
ds
V(t) = dt
Jika fungsi kecepatan terhadap waktu v(t) diturunkan lagi maka akan diperoleh percepatan
dv
a(t) = dt
Dengan kata lain, percepatan pada waktu t adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan.
Percepatan juga diartikan sebagai turunan kedua dari fungsi jaraknya yaitu
dv
d ds
d2 s
a(t) = dt = = dt ( dt ) = dt 2 = s”t
Aplikasi turunan dalam bidang fisika digunakan untuk menurunkan suatu rumus
Berikut contoh penerapan turunan dalam fisika :
1.1 Momentum Sudut
Didefinisikan l = r x p (p = mv). Besarnya momentum sudut : l = r p sin q.
Rumusan ini dapat diubah menjadi : l = r (p sinq) = r p^ atau l = p (r sinq) = p r^ .
Dari definisi momentum sudut l = r x p, bila dideferensialkan diperoleh :
dl/dt = d (r x p)/dt
dl/dt = (r x dp/dt) + (dr/dt x p)
dl/dt = (r x F) + (v x mv)
dl/dt = t
dp/dt = F
1.2 Torsi
Sebuah benda berotasi dengan sumbu putar adalah sumbu z. Sebuah gaya F bekerja
pada salah satu partikel di titik P pada benda tersebut. Torsi yang bekerja pada partikel
tersebut adalah :
t=rxF
Arah torsi t searah dengan sumbu z. Setelah selang waktu dt partikel telah
berputar menempuh sudut dq dan jarak yang ditempuh partikel ds, dimana ds = r dq. Usaha
yang dilakukan gaya F untuk gerak rotasi ini
dW = F . ds
dW = F cos f ds
dW = (F cos f) (r dq)
dW = t dq
dW = F . ds
5
Laju usaha yang dilakukan (daya) adalah :
dW/dt = t dq/dt
P=tw
P=Fv
Untuk benda yang benar-benar tegar, tidak ada disipasi tenaga, sehingga laju
dilakukannya usaha pada benda tegar tersebut sama dengan laju pertambahan tenaga kinetik
rotasinya.
dW/dt = dK/dt
dW/dt = d(1/2 I w2)/dt
t w = 1/2 I dw2/dt
t w = Iw dw/dt
t w = Iw a
t =Ia
F=ma
2. Contoh Soal dan Pembahasannya
Posisi partikel ditunjukkan oleh persamaan s=f(t)=t3-6t2+9t (t dalam detik dan s dalam
meter). Tentukan :
a. Kecepatan pada waktu t?
b. Kecepatan setelah 2 detik?
c. Kapan partikel berhenti?
d. Kapan partikel bergerak maju ?
Jawab :
a. Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi.
s=f(t)=t3-6t2+9t
v(t)= =3t2-12t+9
b. Kecepatan setelah 2 detik bermakna sebagai kecepatan sesaat pada t=2
v(t)= =3t2-12t+9
v(2)= 3(2)2-12(2)+9=-3m/dt
c. Partikel berhenti jika v(t)=0
v(t)= 3t2-12t+9=0
ó3t2-12t+9
ó3(t2-4t+3)
ó3(t-1)(t-3)=0
ó t1=1 dan t2=3 Partikel berhenti setelah t=1 atau t=3
d. Partikel bergerak maju (dalam arah positif) jika v(t)>0
3t2-12t+9=3(t-1)(t-3)>0
® Partikel bergerak maju jika
t3 (dari mana ?)
® Partikel bergerak mundur jika
1