Hakekat Matematika Matematika Matematika Matematika
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberikan
rahmat dan hidayah-Nya sehingga kami mampu menyelesaikan makalah dengan
judul “Hakekat Matematika”. Seta shalawat dan salam selalu dilimpahkan kepada
Nabi Muhammad SAW.
Makalah ini disusun untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah
Strategi Pembelajaran Matemtika. Pada masa kini, kebanyakan masyarakat
bahkan hampir semua kalangan masyarakat menganggap bahwa matematika
adalah salah satu mata pelajaran yang sangat sulit. Untuk menghilangkan
paradigma tersebut, maka kami menyusun makalah ini yang membahas tentang
Hakekat Matematika.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr.Risnawati, M.Pd
selaku dosen pengampu mata kuliah Strategi Pembelajaran Matematika, kepada
keluarga serta teman-teman yang banyak membantu dalam penyusunan makalah
ini.
Kami menyadari bahwa dalam proses penulisan makalah ini banyak
mendapatkan bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, kami
mengucapkan terima kasih. Akhir kata, semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi
kami khususnya dan pembaca umumnya. Kami menyadari bahwa makalah ini
jauh dari kesempurnaan, karena kesempurnaan hanyalah milik Allah SWT. Oleh
karena itu, saran dan kritik yang membangun tetap kami nantikan demi kemajuan
penulisan makalah berikutnya.
Pekanbaru, Maret 2014
Penulis
1
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR .......................................................................................
i
DAFTAR ISI .....................................................................................................
ii
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang ...............................................................................
1
B. Permasalahan ..................................................................................
2
C. Tujuan .............................................................................................
2
BAB II. PEMBAHASAN ................................................................................
3
1. Hakikat Matematika ......................................................................
3
a. Perkembangan Matematika dan Contohnya...........................
4
b. Tahapan dalam Matematika....................................................
5
c. Fakta Pembelajaran Matematika.............................................
7
2. Karakteristik Matematika..............................................................
9
a.
Matematika Memiliki Objek Kajian yang Abstrak................. 10
b.
Matematika Bertumpu pada Kesepakatan ............................. 11
c.
Matematika Berpola Pikir Deduktif ....................................... 11
d.
Simbol dalam Matematika Kosong dari Arti.......................... 13
e.
Matematika Memperhatikan Semesta Pembicaraan............... 14
f.
Matematika Konsisten dalam Sistemnya ............................... 14
BAB III. PENUTUP
A. Kesimpulan ................................................................................... 15
B. Saran ............................................................................................. 16
DAFTAR PUSTAKA......................................................................................... 17
2
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Apakah matematika itu? hingga saat ini belum ada kesepakatan yang
bulat di antara para matematikawan tentang apa yang disebut matematika itu.
Untuk mendiskripsikan definisi kata matematika para matematikawan belum
pernah mencapai satu titik “puncak” kesepakatan yang “sempurna”.
Banyaknya definisi dan beragamnya deskripsi yang berbeda dikemukakan oleh
para ahli, mungkin disebabkan oleh ilmu matematika itu sendiri, dimana
matematika termasuk salah satu disiplin ilmu yang memiliki kajian sangat luas
sehingga masing-masing ahli bebas mengemukakan pendapatnya tentang
matematika berdasarkan sudut pandang, kemampuan, pemahaman, dan
pengalaman masing-masing. Oleh sebab itu matematika tidak akan pernah
selesai untuk didiskusikan, dibahas, maupun diperdebatkan. Penjelasan
mengenai apa dan bagaimana sebenarnya matematika itu, akan terus
mengalami perkembangan seiring dengan pengetahuan dan kebutuhan manusia
serta laju perubahan zaman.
Perkembangan Ilmu Pengetahuan dan Teknologi sangat pesat terutama
dalam bidang informasi begitu cepat, sehingga informasi yang terjadi di dunia
dapat kita ketahui dengan segera yang mengakibatkan batas Negara dan waktu
sudah tidak ada perbedaan lagi. Akibat globalisasi, dalam era globalisasi ini
diperlukan sumber daya manusia yang handal dan mampu berkompetisi secara
global, sehingga diperlukan sumber daya manusia yang kreatif berfikir
sistematis logis, dan konsisten, dapat bekerja sama serta tidak cepat putus asa.
Untuk memperoleh sifat yang demikian perlu diberikan pendidikan yang
berkualitas dengan berbagai macam pelajaran. Salah satu mata pelajaran yang
merefleksikan sifat di atas adalah mata pelajaran Matematika, karena
matematika merupakan ilmu dasar dan melayani hampir setiap ilmu. Sehingga
ada ungkapan bahwa matematika itu adalah ratu dan pelayan ilmu. Matematika
juga merupakan ilmu yang deduktif dan ilmu yang terstruktur. Berdasrkan hal3
hal yang dikemukakan di atas, maka kami menyusun makalah tentang
“HAKEKAT MATEMATIKA”.
B. Rumusan Masalah
1. Apa pengertian matematika?
2. Apa yang dimaksud dengan hakekat matematika?
3. Bagaimana perkembangan matematika dan apa saja contohnya?
4. Apa saja tahapan dalam belajar matematika?
5. Bagaimana fakta pembelajaran matematika?
6. Apa saja karakteristik matematika?
C. Tujuan
Adapun tujuan dari disusunnya makalah ini adalah:
1. Untuk mengetahui pengertian dari matematika
2. Untuk mengetahui pengertian hakekat matematika
3. Untuk mengetahui perkembangan matematika beserta contohnya
4. Untuk mengetahui tahapan-tahapan dalam matematika
5. Untuk mengetahui fakta pembelajaran matematika
6. Untuk mengetahui apa saja karakteristik matematika
4
BAB II
PEMBAHASAN
1. Hakikat Matematika
Secara etimologi, matematika berasal dari bahasa latin manthanein
atau mathemata yang berarti belajar atau hal yang dipelajari. Dalam Bahasa
Belanda disebut wiskunde atau ilmu pasti yang kesemuanya berkaitan dengan
penalaran.1
Pendefinisian matematika sampai saat ini belum ada kesepakatan yang
bulat, namun demikian dapat dikenal melalui karakteristiknya. Ada yang
mengatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang bilangan dan ruang,
matematika merupakan bahasa simbol, matematika adalah bahasa numerik,
matematika adalah ilmu yang abstrak dan deduktif, matematika adalah metode
berpikir logis, matematika adalah ilmu yang mempelajari hubungan pola,
bentuk dan struktur, matematika adalah ratunya ilmu dan juga menjadi pelayan
ilmu yang lain. Matematika adalah salah satu pengetahuan tertua yang
terbentuk dari penelitian bilangan dan ruang. Matematika adalah suatu disiplin
ilmu yang berdiri sendiri dan tidak merupakan cabang dari ilmu pengetahuan
alam.
Matematika merupakan ilmu yang tidak jauh dari realitas kehidupan
manusia. Seperti halnya dalam membedakan antara banyak dan sedikit, lebih
dengan kurang, orang perlu berhitung. Misalnya, seorang pengembala akan
menghitung apakah kambing yang akan masuk ke kandang pada sore hari
sudah lengkap atau belum, maka pengembala tersebut menggunakan tumpukan
batu yang jumlahnya sama dengan jumlah kambing. Setiap satu kambing yang
masuk ke kandang, maka tumpukan batu akan dipindah satu. Apabila ada
tumpukan batu yang tersisa berarti ada kambing yang belum masuk ke kandang
dan dengan demikian jumlah kambing yang masuk ke kandang kurang dari
jumlah semua. Praktik seperti ini adalah permulaan dari orang belajar
berhitung, yang merupakan salah satu dari cabang ilmu matematika. Akan
1 Catur Supatmono, Matematika asyik, Jakarta: PT Grasindo, 2009, hlm.5
5
tetapi, hakikat matematika bukanlah sekedar berhitung melainkan suatu
bangunan pengetahuan yang terus berubah dan berkembang. Di samping itu,
matematika adalah sebuah bahasa yang dapat menemukan dan mempelajari
pola serta hubungan-hubungannya sehingga terbentuklah suatu kegiatan
pembangkitan masalah dan pemecahan masalah. Itulah sebabnya matematika
bermanfaat bagi semua orang.
a. Perkembangan Matematika dan Contohnya
1) Perkembangan Masa Yunani Kuno
Perkembangan matematika pada masa Yunani Kuno diprakarsai
oleh para filsuf. Berbagai rumus matemtikan merupakan hasil dari
serangkaian pemikiran filsafatis. Sekitar tahun 300 SM, Euklides
menerbitkan sebuah buku Elemen Euklides. Di dalam buku tersebut
terdapat penjabaran algoritma euklidean. Hingga kini algoritma eukliden
merupakan algoritma numerik yang masih digunakan.
Ahli-ahli matematika selain Euklides antara lain, Phytagoras,
Apollonius dari Perga, dan Archimedes. Phytagoras menciptakan sebuah
teori tentang bilangan segitiga. Teori ini sering disebut sebagai Teorema
Phytagoras. Teorema Phytagoras merupakan hasil pemikiran filsafat
tentang bilangan-bilangan yang disusun menjadi bentuk segitiga.
2) Perkembangan Zaman Islam
Sekitar abad 8 M, hidup seorang ahli matematika yang berasal
dari Khiva (sekarang termasuk dalam Uzbekistan). Namanya adalah Abu
Abdullah Muhammad Ibn Musa Al Khawarismi. Selain sebagai
matematikawan, ia juga seorang astronom dan juga ahli geografi.
Kontribusi Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa Al Khawarismi bagi
perkembangan matematika adalah rumusan aljabar. Aljabar merupakan
generalisasi bentuk dari aritmatika.
3) Perkembangan Zaman Modern
Memasuki zaman pemikiran modern, beberapa ahli memberikan
kontribusi cukup berarti bagi perkembangan matematika. Rene Descartes
6
memperkenalkan sistem koordinat Cartesius. Sistem koordinat Cartesius
merupakan suatu terobosan untuk menotasi suatu titik, garis dan ruang.
Sistem koordinat Cartesius semula memakai dua sumbu x dan y, untuk
menotasi dua dimensi. Sumbu z kemudian diperkenalkan untuk menotasi
letak titik, garis dan ruang tiga dimensi. Koordinat Cartesius saat ini
digunakan secara luas dalam bidang desain dan perancangan struktur dan
bangunan.
Isac Newton dan Albert Einstein, merupakan ahli fisika yang
mempunyai kontribusi bagi perkembangan maematika. Isac Newton
dikenal dengan teori tentang gaya (hukum Newton), disamping itu juga
mengembangkan kalkulus integral dan kalkulus differensial. Sedangkan
Einstein memperkenalkan teori realitivitas.2
b. Tahapan Dalam Matematika
Matematika adalah ilmu pasti karena pada suatu pertanyaan hanya
satu dan tidak ambigu. Kalaupun terjadi, pertanyaannya yang memiliki
ambiguitas. Oleh karena itu, pelajaran matematika lebih ditekankan pada
kecepatan, kecepatan dan logika matematika yang bertujuan untuk melatih
kemampuan berpikir. Namun demikian, belajar matematika tidak dapat
dipaksakan, harus bertahap. Karena setiap anak didik memiliki bakat lahir
yang berbeda dan lingkungan yang mempengaruhi tumbuh kembang anak
tersebut. Untuk itu dibutuhkan tahapan pembelajaran yang sesuai dengan
pemikiran siswa dan akan memudahkan guru untuk mendorong siswa
berpikir tingkat tinggi. Tahapan-tahapannya adalah sebagai berikut:
1) Menggali informasi yang dibutuhkan
Masalah yang dirumuskan sedemikian rupa akan menuntut
siswa untuk melakukan investigasi konteks, sebab tidak semua
informasi diberikan secara eksplisit. Dalam melakukan investigasi,
2 http://www.bimbingan.org/sejarah-perkembangan-matematika.htm
7
siswa pelu melakukan pengandaian yang masuk akal dan dapat
mempertahankan nilai logis matematisnya maupun nilai realitaskontekstualnya.
2) Mengajukan dugaan
Pada tahap ini biasanya siswa mengajukan dugaan penyelesaian
masalah dengan mencari struktur dan pola. Tahap ini sama juga dengan
tahap mengajukan rencana penyelesaian. Biasanya siswa mulai mencari
tahu rumus mana yang akan digunakan dalam masalah ini,
memperhatikan apa yang akan ditanya, dan mendapatkan hasil dan
metode yang digunakan, baik dengan hasil yang benar maupun yang
salah.
3) Melakukan inkuiri
Dalam
melakukan
inkuiri,
biasanya
siswa
mengajukan
pertanyaan dan mencari informasi yang cukup dengan mangkaji dan
menganalisa informasi untuk menjawab pertanyaan yang muncul.
4) Membuat konjektur
Suatu pernyataan matematika yang benar dihasilkan berdasarkan
pengamatan dan eksplorasi, percobaan. Namun semua itu belum
dibuktikan secara formal ketika suatu pernyataan ini dibuktikan secara
matematika, maka konjektur tadi berubah namanya menjadi suatu
teorema. Dalam hal ini berarti induktif telah berperan.
5) Mencari alternatif
Mencari alternatif pemecahan soal tiap-tiap siswa tentu berbeda,
tergantung keluasan konsep pelajaran yang dipahami siswa. Misalnya
dalam melakukan penjumlahan berulang-ulang, ada siswa yang
menjumlahkannya secara keseluruhan atau teknik penjumlahan dua-dua
dan ada juga siswa yang mengunakan teknik perkalian dengan bilangan
yang lebih kecil.
6) Menarik kesimpulan
8
Kegiatan terakhir ini biasanya siswa melihat kembali persoalan
yang harus diselesaikan dengan menarik kesimpulan dari proses yang
telah diselesaikan sebelumnya. Dalam proses ini tampak bahwa bukan
selesainya yang menjadi tujuan utama melainkan bagaimana siswa
melakukan proses-proses seperti:
a) Mengambil keputusan setelah melakukan investigasi matematika
b) Membuat argument-argumen metematis dan kontekstual
c) Mengkomunikasikan dan mempertahankan prosedur yang mereka
lakukan.3
c. Fakta Pembelajaran Matematika
Kondisi pembelajaran matematika di Indonesia masih belum
maksimal. Akibat dari rendahnya penguasaan teknologi dan kemampuan
sumber daya manusia Indonesia untuk berkompetisi secara global.
Kebanyakan
orang
menganggap
matematika
adalah
ilmu
hitung-
menghitung. Tetapi ahli matematika memandang perhitungan hanyalah alat
dalam matematika yang melibatkan pemecahan soal matematika agar
memahami pemahaman struktur dan pola dalam matematika.
Pada dasarnya pembelajaran adalah
aktifitas atau proses
penambahan informasi dan kemampuan baru. Sekarang ini, terjadi
perubahan paradigm pembelajaran dari yang berpusat kepada guru menjadi
berpusat kepada siswa dengan tujuan agar siswa dituntut lebih aktif dan
kreatif dalam belajar. Namun, pada kenyataannya sistem tersebut belum
sesuai dengan yang diharapkan. Pembelajaran yang diterapkan cenderung
text book oriented dan kurang terkait dengan kehidupan sehari-hari siswa.
Sementara itu, kebanyakan guru dalam mengajar masih kurang
memperhatikan kemampuan berpikir siswa. Seperti metode belajar kurang
bervariasi atau pola belajar cenderung menghafal dan mekanistis. Sehingga
siswa sering mendengarkan ceramah tanpa mempedulikan siswa lain yang
3 http://pulungnanang.multiply.com/journal/item/8/Tahapan-Belajar-Matematika?
&show_interstitial=I&u=%2Fjournal%2Fitem 16/02/2013 (16:17)
9
pemahamannya kurang atau sulit menangkap penjelasan dari guru.
Ditambah lagi dengan siswa kurang diberi kesempatan dalam mengungkap
ide-idenya dan alasan jawaban mereka. Akibatnya motivasi belajar siswa
menjadi sulit untuk ditumbuhkan.
Faktor-faktor yang menyebabkan rendahnya minat siswa dalam
pelajaran matematika, yaitu:
a) Faktor budaya
Dalam masyarakat Indonesia cenderung kurang senang dengan
budaya kerja keras sehingga budaya semacam ini mengajarkan kepada
anak-anak proses pencapaian yang serba “instan” dan mengabaikan
proses kerja keras.
b) Faktor sistem pendidikan
Pada sistem ini siswa dianggap sebagai objek belajar yang harus
menuruti aturan yang telah ditentukan guru atau sekolah. Masalah lain
adalah kurikulum yang padat materi tetapi dengan alokasi waktu yang
terbatas, tidak kontekstual, mempunyai tingkatan kesulitan yang tidak
sesuai dengan ukuran perkembangan siswa dan sistematika yang tidak
selalu tepat. Kondisi ini menyebabkan siswa merasa sulit mempelajari
matematika sesuai tuntutan kurikulum.
c) Faktor sistem penilaian
Sistem penilaian di sekolah cenderung hanya menilai hasil akhir
pekerjaan siswa dan bukan menilai proses pekerjaan mereka. Akibatnya
siswa yang sudah bekerja keraspun jika hasilnya salah, maka akan
memperoleh nilai yang jelek dalam pelajaran matematika.
d) Faktor orangtua dan keluarga
Banyak orangtua kurang memahami beratnya beban siswa dalam
belajar di sekolah, sehingga banyak orangtua yang tidak sportif terhadap
anak-anaknya. Jika ada orangtua yang memiliki waktu lebih untuk
memperhatikan perkembangan belajar siswa, masalah muncul karena
banyak orangtua yang tidak menguasai materi matematika dan cara
10
mengajarnya sehingga kebingungan ketika anak mempunyai masalah
terkait dengan materi pelajaran mereka.
e) Faktor sifat bidang studi
Matematika memiliki karakteristik yang sangat khas, berbeda
dengan disiplin ilmu yang lain. Sifat-sifat khas ini membuat kebanyakan
siswa tidak mudah untuk secara langsung menaruh minat terhadap
matematika.
f) Faktor guru
Dibanding dengan guru-guru bidang studi lain, guru matematika
cenderung mudah terkena godaan untuk ‘mudah marah’ terhadap siswa.
Hal ini disebabkan pada satu sisi ada tuntutan untuk memenuhi
kurikulum, target kelulusan lewat ujian nasional dan lain-lain. Sedangkan
pada sisi lain banyak siswa cenderung lamban dalam mempelajari
matematika atau lemah dalam penyelesaian soal-soal matematika. Atau
metode yang digunakan guru dalam mengajar kurang sesuai dengan cara
berpikir siswa.
Kondisi tersebut menunjukkan perlu adanya perubahan dan
perbaikan dalam usaha meningkatkan hasil belajar siswa yaitu dengan
meningkatkan kualitas pembelajaran untuk meningkatkan hasil belajar
matematika.
2. Karakteristik Matematika
Matematika memiliki karakteristik khas yang membedakannya dengan
ilmu-ilmu lainnya. Matematika dapat dipandang sebagai pelayan dan ratu dari
ilmu-ilmu lain. Sebagai pelayan, matematika adalah ilmu dasar yang mendasari
dan melayani berbagai ilmu pengetahuan yang lain. Seperti matematika muncul
di ilmu kimia, fisika, biologi, astronomi, psikologi dan masih banyak yang
lainnya. Sebagai ratu, perkembangan ilmu matematika tidak tergantung pada
11
ilmu-ilmu lain. Khususnya pada ilmu matematika murni yang kemudian hari
bisa diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan tekhnologi.4
Karakteristik matematika tersebut antara lain:
a. Matematika memiliki objek kajian yang abstrak
Di dalam matematika objek dasar yang dipelajari adalah abstrak,
sering juga disebut sebagai objek mental. Di mana objek-objek tersebut
merupakan objek pikiran yang meliputi fakta, konsep, operasi ataupun
relasi, dan prinsip. Dari objek-objek dasar tersebut disusun suatu pola
struktur matematika. Adapun objek-objek tersebut dapat dijelaskan sebagai
berikut:
a) Fakta (abstrak) berupa konvensi-konvensi yang diungkap dengan simbol
tertentu. Contoh simbol bilangan “3” sudah di pahami sebagai bilangan
“tiga”. Jika di sajikan angka “3” maka sudah dipahami bahwa yang
dimaksud adalah “tiga”, dan sebalikya. Fakta lain dapat terdiri dari
rangkaian simbol misalnya “3+4” sudah di pahami
bahwa yang
dimaksud adalah “tiga di tambah empat”.
b) Konsep (abstrak) adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk
menggolongkan atau mengklasifikasikan sekumpulan objek. Apakah
objek tertentu merupakan suatu konsep atau bukan. ”segitiga” adalah
nama suatu konsep abstrak, “Bilangan asli” adalah nama suatu konsep
yang lebih komplek, konsep lain dalam matematika yang sifatnya lebih
kompleks misalnya “matriks”, “vektor”, “group” dan ruang metrik”.
Konsep berhubungan erat dengan definisi. Definisi adalah ungkapan
yang membatasi suatu konsep. Dengan adanya definisi ini orang dapat
membuat ilustrasi atau gambar atau lambang dari konsep yang
didefinisikan. Sehingga menjadi semakin jelas apa yang dimaksud
dengan konsep tertentu.
4 Sumardyono. 2004. Karakteristik Matematika dan Implikasinya Terhadap
Pembelajaran Matematika. Yogyakarta: Departemen Pendidikan Nasional
12
c) Operasi (abstrak) adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar dan
pengerjaan
matematika
yang
lain.
Sebagai
contoh
misalnya
“penjumlahan”, “perkalian”, “gabungan”, “irisan”. Unsur-unsur yang
dioperasikan juga abstrak. Pada dasarnya operasi dalam matematika
adalah suatu fungsi yaitu relasi khusus, karena operasi adalah aturan
untuk memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang
diketahui.
d) Prinsip (abstrak) adalah objek matematika yang komplek. Prinsip dapat
terdiri atas beberapa fakta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu
relasi ataupun operasi. Secara sederhana dapatlah dikatakan bahwa
prinsip adalah hubungan antara berbagai
objek dasar matematika.
Prinsip dapat berupa “aksioma”, “teorema”, “sifat” dan sebagainya.
b. Matematika bertumpu pada kesepakatan
Kesepakatan dalam Matematika merupakan ikatan yang mengikat
untuk menghindari pembuktian yang berputar-putar baik dalam pembuktian
maupun dalam pendefinisian. Kesepakatan yang mendasar adalah aksioma
dan konsep primitive. Aksioma yang disebut juga postulat merupakan
pernyataan yang tidak perlu dibuktikan, sedangkan konsep primitive
bertujuan
memberikan
pengertian
pangkal
yang
tidak
seharusnya
didefinisikan. Fakta matematika meliputi istilah, symbol, notasi atau
lambang, dengan adanya kesepakatan ini menjadikan pembahasan
matematika mudah dikomunikasikan.
c. Matematika berpola pikir deduktif
Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif. Ini berarti proses
pengerjaan matematika harus bersifat deduktif. Matematika tidak menerima
generalisasi berdasarkan pengamatan (induktif), tetapi harus berdasarkan
pembuktian deduktif. Dasar pembuktian deduktif yang berperan besar dalam
matematika adalah kebenaran, suatu pernyataan haruslah didasarkan pada
kebenaran pernyataan-pernyataan sebelumnya. Penarikan kesimpulan yang
13
demikian ini sangat berbeda dengan penarikan kesimpulan pada penalaran
induktif yang dipaparkan pada hasil pengamatan atau eksperimen terbatas.
Dalam penalaran deduktif, kebenaran dalam setiap pernyataannya
harus didasarkan pada kebenaran pernyataan sebelumnya. Mungkin timbul
pertanyaan bagaimana menyatakan kebenaran dari pernyataan yang paling
awal? Untuk mengatasi hal tersebut, dalam penalaran deduktif diperlukan
beberapa pernyataan awal atau pangkal sebagai “kesepakatan” yang
diterima kebenarannya tanpa pembuktian. Pernyataan awal atau pernyataan
pangkal dalam matematika dikenal dengan istilah aksioma atau postulat.
Dalam matematika, suatu generalisasi, sifat, teori atau dalil belum
dapat diterima kebenarannya sebelum dapat dibuktikan secara deduktif.
Sebagai contoh dalam Ilmu Pengetahuna Alam (IPA), bila seseorang
melakukan percobaan memanaskan sebatang logam, ternyata logam yang
dipanaskan tersebut akan memuai. Kemudian sebatang logam lainnya
dipanaskan ternyata memuai juga, dan seterusnya mengambil beberapa
contoh jenis-jenis logam lainnya dan ternyata selalu memuai jika
dipanaskan. Dari percobaan ini dapat dibuat kesimpulan atau generalisasi
bahwa setiap logam yang dipanaskan itu memuai. Kesimpulan atau
generalisasi seperti ini merupakan hasil penalaran secara induktif.
Generalisasi seperti ini dalam IPA dibenarkan.
Contoh dalam IPA seperti tersebut di atas, secara matematika belum
dapat dianggap sebagai generalisasi. Dalam matematika, contoh-contoh
seperti itu baru dapat dianggap sebagai generalisasi bila kebenarannya dapat
dibuktikan secara deduktif.
Sekarang kita akan mengambil beberapa contoh generalisasi yang
dibenarkan dan yang tidak dibenarkan dalam matematika. Generalisasi yang
dibenarkan dalam matematika adalah generalisasi yang telah dapat
dibuktikan secara deduktif.
14
Pernyataan: jumlah dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap
+
1
7
9
1
2
8
10
3
4
10
12
5
6
12
14
Perhatikan hasil penjumlahan pada tabel. Apa yang bisa Anda
katakan? Tentunya Anda akan mengatakan bahwa setiap dua bilangan ganjil
jika dijumlahkan hasilnya selalu genap.
Dalam matematika tidak dibenarkan membuat generalisasi atau
membuktikan dengan cara demikian. Walaupun Anda menunjukkan sifat itu
dengan mengambil beberapa contoh yang lebih banyak lagi. Matematika
tetap tidak membenarkan membuat generalisasi yang mengatakan bahwa
jumlah dua bilangan ganjil adalah genap, sebelum membuktikannya secara
deduktif.
Bukti deduktif:
Misalkan m dan n sebarang dua bilangan bulat, maka 2m + 1 dan 2n +
1 masing-masing merupakan bilangan ganjil. Jika kita jumlahkan: (2m + 1)
+ (2n + 1) = 2(m + n + 1). Karena m dan n bilangan bulat, maka (m + n + 1)
bilangan bulat, sehingga 2(m + n + 1) adalah bilangan genap Jadi jumlah
dua bilangan ganjil selalu genap.
d. Simbol dalam matematika kosong dari arti
Matematika memiliki banyak simbol, baik huruf maupun bilangan.
Model matematika x + y = z, belum tentu bermakna atau berarti. Tidak
selalu x, y, z berarti bilangan. Bilangan-bilangan yang digunakan dalam
pembelajaran pun bebas dari arti atau makna real. Makna huruf dan operasi
tergantung
permasalahan
yang
mengakibatkan
terbentuknya
model
matematika. Bahkan tanda “+” tidak selalu berarti operasi tambah untuk dua
bilangan, tetapi bisa jadi operasi untuk vector, matriks dan lain-lain. Secara
umum, x + y = z masih kosong dari arti, tergantung permasalahannya. Jadi,
15
model atau symbol matematika sesungguhnya kosong dari arti. Ia akan
bermakna sesuatu bila kita mengaitkannya dengan konteks tertentu. Secara
umum, hal ini pula yang membedakan symbol matematika dengan symbol
bukan matematika. Kosongnya arti dari model-model matematika itu
merupakan “kekuatan” matematika, yang dengan sifat tersebut ia bisa
masuk pada berbagai macam bidang kehidupan.
e. Matematika memperhatikan semesta pembicaraan
Matematika
memperhatikan
semesta
pembicaraan
artinya
penyelesaian dalam matematika harus disesuaikan dengan semesta
pembicaraan.
Simbol-simbol
akan
bermakna
jika
ruang
lingkup
pembicaraanya jelas. Jika ruang lingkupnya bilangan, maka dsimbol-simbol
tersebut diartikan bilangan. Contoh : Penyelesaian persamaan diselesaikan
dengan memperhatikan semesta pembicaraan. Jika semesta pembicaraannya
tentang bilangan-bilangan, maka symbol-simbol tersebut menunjukkan
bilangan-bilangan pula. Begitu juga bila kita bicara tentang transformasi
geometris (seperti translasu, rotasi, dilatasi dan lain-lain), maka symbolsimbol matematikanya menunjukkan suatu transformasi pula.
f. Matematika konsisten dalam sistemnya
Matematika kosisten dalam sistemnya artinya dalam matematika
banyak sistem yang saling berkaitan satu sama lainnya dan ada juga yang
tidak saling berkaitan. Didalam masing-masing sistem berlaku konsistensi
atau ketaatazasan, artinya bahwa dalam system tidak boleh terdapat
kontradiksi. Suatu teorema ataupun definisi harus menggunakan istilah atau
konsep yang diterapkan terlebih dahulu. Konsistensi itu baik dalam makna
maupun dalam hal nilai kebenaran. Misalnya, bila kita mendefinisikan
konsep trapezium sebagai segiempat yang tepat sepasang sisinya sejajar,
maka kita tidak boleh mengatakan bahwa jajaran genjang trapezium, karena
jajaran genjang mempunyai dua pasang sisi sejajar.
BAB III
16
PENUTUP
A. Kesimpulan
1. Hakikat matematika bukanlah sekedar berhitung melainkan suatu bangunan
pengetahuan yang terus berubah dan berkembang. Di samping itu,
matematika adalah sebuah bahasa yang dapat menemukan dan mempelajari
pola serta hubungan-hubungannya sehingga terbentuklah suatu kegiatan
pembangkitan
masalah
dan
pemecahan
masalah.
Itulah
sebabnya
matematika bermanfaat bagi semua orang.
2. Ilmu matematika selalu terus berkembang. Perkembangan matematika
tersebut
dimulai
dari
perkembangan
pada
zaman Yunani
Kuno,
perkembangan zaman Islam dan perkembangan zaman modern.
3. Ada enam tahapan yang harus dilalui siswa agar dapat berpikir tingkat
tinggi, yaitu menggali informasi yang dibutuhkan, mengajukan dugaan,
melakukan inkuiri, membuat konjektur, mencari alternative, dan menarik
kesimpulan.
4. Banyak siswa yang tidak menyukai pelajaran matematika. Faktor penyabab
rendahnya minat siswa dalam pelajaran matematika adalah faktor budaya,
faktor sistem pendidikan, faktor sistem penilaian, faktor orang tua dan
keluarga, faktor sifat bidang study, faktor guru.
5. Matematika memiliki karakteristik khas yang membedakan dengan ilmuilmu lainnya, di antaranya:
a. Matematika memiliki objek kajian yang abstrak
b. Matematika bertumpu pada kesepakatan
c. Matematika berpola pikir deduktif
d. Symbol dalam matematika kosong dari arti
e. Matematika memperhatikan semesta pembicaraan
f. Matematika konsisten dalam sistemnya.
17
B. Saran
Sebagai seorang guru matematika yang professional hendaknya
memahami bagaimana hakikat dan karekteristik matematika yang sebenarnya
agar dapat meminimalisir berbagai persoalan yang terjadi, serta mengetahui
cara pengajaran yang dibutuhkan oleh siswa-siswanya agar matematika tidak
dianggap sulit dan disenangi oleh semua peserta didik. Ilmu matematika sangat
diperlukan untuk memecahkan persoalan-persoalan dalam kehidupan seharihari. Untuk itu seorang guru harus memberikan asupan ilmu matematika yang
sesuai dan bermanfaat seiring dengan kemajuan zaman sekarang ini kepada
siswa sebagai penerus generasi bangsa.
18
DAFTAR PUSTAKA
Supatmono,Catur. 2009. Matematika asyik. Jakarta: PT Grasindo
Saiful Hamdani, dkk. 2008. Matematika 1. Surabaya: Learning Assistance
Program for Islamic Sch
Sumardyono. 2004. Karakteristik Matematika dan Implikasinya Terhadap
Pembelajaran Matematika. Yogyakarta: Departemen Pendidikan Nasional
http://www.bimbingan.org/sejarah-perkembangan-matematika.htm
http://pulungnanang.multiply.com/journal/item/8/Tahapan-BelajarMatematika&show_interstitial=I&u=%2Fjournal%2Fitem
19
Puji syukur kami panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberikan
rahmat dan hidayah-Nya sehingga kami mampu menyelesaikan makalah dengan
judul “Hakekat Matematika”. Seta shalawat dan salam selalu dilimpahkan kepada
Nabi Muhammad SAW.
Makalah ini disusun untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah
Strategi Pembelajaran Matemtika. Pada masa kini, kebanyakan masyarakat
bahkan hampir semua kalangan masyarakat menganggap bahwa matematika
adalah salah satu mata pelajaran yang sangat sulit. Untuk menghilangkan
paradigma tersebut, maka kami menyusun makalah ini yang membahas tentang
Hakekat Matematika.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr.Risnawati, M.Pd
selaku dosen pengampu mata kuliah Strategi Pembelajaran Matematika, kepada
keluarga serta teman-teman yang banyak membantu dalam penyusunan makalah
ini.
Kami menyadari bahwa dalam proses penulisan makalah ini banyak
mendapatkan bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, kami
mengucapkan terima kasih. Akhir kata, semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi
kami khususnya dan pembaca umumnya. Kami menyadari bahwa makalah ini
jauh dari kesempurnaan, karena kesempurnaan hanyalah milik Allah SWT. Oleh
karena itu, saran dan kritik yang membangun tetap kami nantikan demi kemajuan
penulisan makalah berikutnya.
Pekanbaru, Maret 2014
Penulis
1
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR .......................................................................................
i
DAFTAR ISI .....................................................................................................
ii
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang ...............................................................................
1
B. Permasalahan ..................................................................................
2
C. Tujuan .............................................................................................
2
BAB II. PEMBAHASAN ................................................................................
3
1. Hakikat Matematika ......................................................................
3
a. Perkembangan Matematika dan Contohnya...........................
4
b. Tahapan dalam Matematika....................................................
5
c. Fakta Pembelajaran Matematika.............................................
7
2. Karakteristik Matematika..............................................................
9
a.
Matematika Memiliki Objek Kajian yang Abstrak................. 10
b.
Matematika Bertumpu pada Kesepakatan ............................. 11
c.
Matematika Berpola Pikir Deduktif ....................................... 11
d.
Simbol dalam Matematika Kosong dari Arti.......................... 13
e.
Matematika Memperhatikan Semesta Pembicaraan............... 14
f.
Matematika Konsisten dalam Sistemnya ............................... 14
BAB III. PENUTUP
A. Kesimpulan ................................................................................... 15
B. Saran ............................................................................................. 16
DAFTAR PUSTAKA......................................................................................... 17
2
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Apakah matematika itu? hingga saat ini belum ada kesepakatan yang
bulat di antara para matematikawan tentang apa yang disebut matematika itu.
Untuk mendiskripsikan definisi kata matematika para matematikawan belum
pernah mencapai satu titik “puncak” kesepakatan yang “sempurna”.
Banyaknya definisi dan beragamnya deskripsi yang berbeda dikemukakan oleh
para ahli, mungkin disebabkan oleh ilmu matematika itu sendiri, dimana
matematika termasuk salah satu disiplin ilmu yang memiliki kajian sangat luas
sehingga masing-masing ahli bebas mengemukakan pendapatnya tentang
matematika berdasarkan sudut pandang, kemampuan, pemahaman, dan
pengalaman masing-masing. Oleh sebab itu matematika tidak akan pernah
selesai untuk didiskusikan, dibahas, maupun diperdebatkan. Penjelasan
mengenai apa dan bagaimana sebenarnya matematika itu, akan terus
mengalami perkembangan seiring dengan pengetahuan dan kebutuhan manusia
serta laju perubahan zaman.
Perkembangan Ilmu Pengetahuan dan Teknologi sangat pesat terutama
dalam bidang informasi begitu cepat, sehingga informasi yang terjadi di dunia
dapat kita ketahui dengan segera yang mengakibatkan batas Negara dan waktu
sudah tidak ada perbedaan lagi. Akibat globalisasi, dalam era globalisasi ini
diperlukan sumber daya manusia yang handal dan mampu berkompetisi secara
global, sehingga diperlukan sumber daya manusia yang kreatif berfikir
sistematis logis, dan konsisten, dapat bekerja sama serta tidak cepat putus asa.
Untuk memperoleh sifat yang demikian perlu diberikan pendidikan yang
berkualitas dengan berbagai macam pelajaran. Salah satu mata pelajaran yang
merefleksikan sifat di atas adalah mata pelajaran Matematika, karena
matematika merupakan ilmu dasar dan melayani hampir setiap ilmu. Sehingga
ada ungkapan bahwa matematika itu adalah ratu dan pelayan ilmu. Matematika
juga merupakan ilmu yang deduktif dan ilmu yang terstruktur. Berdasrkan hal3
hal yang dikemukakan di atas, maka kami menyusun makalah tentang
“HAKEKAT MATEMATIKA”.
B. Rumusan Masalah
1. Apa pengertian matematika?
2. Apa yang dimaksud dengan hakekat matematika?
3. Bagaimana perkembangan matematika dan apa saja contohnya?
4. Apa saja tahapan dalam belajar matematika?
5. Bagaimana fakta pembelajaran matematika?
6. Apa saja karakteristik matematika?
C. Tujuan
Adapun tujuan dari disusunnya makalah ini adalah:
1. Untuk mengetahui pengertian dari matematika
2. Untuk mengetahui pengertian hakekat matematika
3. Untuk mengetahui perkembangan matematika beserta contohnya
4. Untuk mengetahui tahapan-tahapan dalam matematika
5. Untuk mengetahui fakta pembelajaran matematika
6. Untuk mengetahui apa saja karakteristik matematika
4
BAB II
PEMBAHASAN
1. Hakikat Matematika
Secara etimologi, matematika berasal dari bahasa latin manthanein
atau mathemata yang berarti belajar atau hal yang dipelajari. Dalam Bahasa
Belanda disebut wiskunde atau ilmu pasti yang kesemuanya berkaitan dengan
penalaran.1
Pendefinisian matematika sampai saat ini belum ada kesepakatan yang
bulat, namun demikian dapat dikenal melalui karakteristiknya. Ada yang
mengatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang bilangan dan ruang,
matematika merupakan bahasa simbol, matematika adalah bahasa numerik,
matematika adalah ilmu yang abstrak dan deduktif, matematika adalah metode
berpikir logis, matematika adalah ilmu yang mempelajari hubungan pola,
bentuk dan struktur, matematika adalah ratunya ilmu dan juga menjadi pelayan
ilmu yang lain. Matematika adalah salah satu pengetahuan tertua yang
terbentuk dari penelitian bilangan dan ruang. Matematika adalah suatu disiplin
ilmu yang berdiri sendiri dan tidak merupakan cabang dari ilmu pengetahuan
alam.
Matematika merupakan ilmu yang tidak jauh dari realitas kehidupan
manusia. Seperti halnya dalam membedakan antara banyak dan sedikit, lebih
dengan kurang, orang perlu berhitung. Misalnya, seorang pengembala akan
menghitung apakah kambing yang akan masuk ke kandang pada sore hari
sudah lengkap atau belum, maka pengembala tersebut menggunakan tumpukan
batu yang jumlahnya sama dengan jumlah kambing. Setiap satu kambing yang
masuk ke kandang, maka tumpukan batu akan dipindah satu. Apabila ada
tumpukan batu yang tersisa berarti ada kambing yang belum masuk ke kandang
dan dengan demikian jumlah kambing yang masuk ke kandang kurang dari
jumlah semua. Praktik seperti ini adalah permulaan dari orang belajar
berhitung, yang merupakan salah satu dari cabang ilmu matematika. Akan
1 Catur Supatmono, Matematika asyik, Jakarta: PT Grasindo, 2009, hlm.5
5
tetapi, hakikat matematika bukanlah sekedar berhitung melainkan suatu
bangunan pengetahuan yang terus berubah dan berkembang. Di samping itu,
matematika adalah sebuah bahasa yang dapat menemukan dan mempelajari
pola serta hubungan-hubungannya sehingga terbentuklah suatu kegiatan
pembangkitan masalah dan pemecahan masalah. Itulah sebabnya matematika
bermanfaat bagi semua orang.
a. Perkembangan Matematika dan Contohnya
1) Perkembangan Masa Yunani Kuno
Perkembangan matematika pada masa Yunani Kuno diprakarsai
oleh para filsuf. Berbagai rumus matemtikan merupakan hasil dari
serangkaian pemikiran filsafatis. Sekitar tahun 300 SM, Euklides
menerbitkan sebuah buku Elemen Euklides. Di dalam buku tersebut
terdapat penjabaran algoritma euklidean. Hingga kini algoritma eukliden
merupakan algoritma numerik yang masih digunakan.
Ahli-ahli matematika selain Euklides antara lain, Phytagoras,
Apollonius dari Perga, dan Archimedes. Phytagoras menciptakan sebuah
teori tentang bilangan segitiga. Teori ini sering disebut sebagai Teorema
Phytagoras. Teorema Phytagoras merupakan hasil pemikiran filsafat
tentang bilangan-bilangan yang disusun menjadi bentuk segitiga.
2) Perkembangan Zaman Islam
Sekitar abad 8 M, hidup seorang ahli matematika yang berasal
dari Khiva (sekarang termasuk dalam Uzbekistan). Namanya adalah Abu
Abdullah Muhammad Ibn Musa Al Khawarismi. Selain sebagai
matematikawan, ia juga seorang astronom dan juga ahli geografi.
Kontribusi Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa Al Khawarismi bagi
perkembangan matematika adalah rumusan aljabar. Aljabar merupakan
generalisasi bentuk dari aritmatika.
3) Perkembangan Zaman Modern
Memasuki zaman pemikiran modern, beberapa ahli memberikan
kontribusi cukup berarti bagi perkembangan matematika. Rene Descartes
6
memperkenalkan sistem koordinat Cartesius. Sistem koordinat Cartesius
merupakan suatu terobosan untuk menotasi suatu titik, garis dan ruang.
Sistem koordinat Cartesius semula memakai dua sumbu x dan y, untuk
menotasi dua dimensi. Sumbu z kemudian diperkenalkan untuk menotasi
letak titik, garis dan ruang tiga dimensi. Koordinat Cartesius saat ini
digunakan secara luas dalam bidang desain dan perancangan struktur dan
bangunan.
Isac Newton dan Albert Einstein, merupakan ahli fisika yang
mempunyai kontribusi bagi perkembangan maematika. Isac Newton
dikenal dengan teori tentang gaya (hukum Newton), disamping itu juga
mengembangkan kalkulus integral dan kalkulus differensial. Sedangkan
Einstein memperkenalkan teori realitivitas.2
b. Tahapan Dalam Matematika
Matematika adalah ilmu pasti karena pada suatu pertanyaan hanya
satu dan tidak ambigu. Kalaupun terjadi, pertanyaannya yang memiliki
ambiguitas. Oleh karena itu, pelajaran matematika lebih ditekankan pada
kecepatan, kecepatan dan logika matematika yang bertujuan untuk melatih
kemampuan berpikir. Namun demikian, belajar matematika tidak dapat
dipaksakan, harus bertahap. Karena setiap anak didik memiliki bakat lahir
yang berbeda dan lingkungan yang mempengaruhi tumbuh kembang anak
tersebut. Untuk itu dibutuhkan tahapan pembelajaran yang sesuai dengan
pemikiran siswa dan akan memudahkan guru untuk mendorong siswa
berpikir tingkat tinggi. Tahapan-tahapannya adalah sebagai berikut:
1) Menggali informasi yang dibutuhkan
Masalah yang dirumuskan sedemikian rupa akan menuntut
siswa untuk melakukan investigasi konteks, sebab tidak semua
informasi diberikan secara eksplisit. Dalam melakukan investigasi,
2 http://www.bimbingan.org/sejarah-perkembangan-matematika.htm
7
siswa pelu melakukan pengandaian yang masuk akal dan dapat
mempertahankan nilai logis matematisnya maupun nilai realitaskontekstualnya.
2) Mengajukan dugaan
Pada tahap ini biasanya siswa mengajukan dugaan penyelesaian
masalah dengan mencari struktur dan pola. Tahap ini sama juga dengan
tahap mengajukan rencana penyelesaian. Biasanya siswa mulai mencari
tahu rumus mana yang akan digunakan dalam masalah ini,
memperhatikan apa yang akan ditanya, dan mendapatkan hasil dan
metode yang digunakan, baik dengan hasil yang benar maupun yang
salah.
3) Melakukan inkuiri
Dalam
melakukan
inkuiri,
biasanya
siswa
mengajukan
pertanyaan dan mencari informasi yang cukup dengan mangkaji dan
menganalisa informasi untuk menjawab pertanyaan yang muncul.
4) Membuat konjektur
Suatu pernyataan matematika yang benar dihasilkan berdasarkan
pengamatan dan eksplorasi, percobaan. Namun semua itu belum
dibuktikan secara formal ketika suatu pernyataan ini dibuktikan secara
matematika, maka konjektur tadi berubah namanya menjadi suatu
teorema. Dalam hal ini berarti induktif telah berperan.
5) Mencari alternatif
Mencari alternatif pemecahan soal tiap-tiap siswa tentu berbeda,
tergantung keluasan konsep pelajaran yang dipahami siswa. Misalnya
dalam melakukan penjumlahan berulang-ulang, ada siswa yang
menjumlahkannya secara keseluruhan atau teknik penjumlahan dua-dua
dan ada juga siswa yang mengunakan teknik perkalian dengan bilangan
yang lebih kecil.
6) Menarik kesimpulan
8
Kegiatan terakhir ini biasanya siswa melihat kembali persoalan
yang harus diselesaikan dengan menarik kesimpulan dari proses yang
telah diselesaikan sebelumnya. Dalam proses ini tampak bahwa bukan
selesainya yang menjadi tujuan utama melainkan bagaimana siswa
melakukan proses-proses seperti:
a) Mengambil keputusan setelah melakukan investigasi matematika
b) Membuat argument-argumen metematis dan kontekstual
c) Mengkomunikasikan dan mempertahankan prosedur yang mereka
lakukan.3
c. Fakta Pembelajaran Matematika
Kondisi pembelajaran matematika di Indonesia masih belum
maksimal. Akibat dari rendahnya penguasaan teknologi dan kemampuan
sumber daya manusia Indonesia untuk berkompetisi secara global.
Kebanyakan
orang
menganggap
matematika
adalah
ilmu
hitung-
menghitung. Tetapi ahli matematika memandang perhitungan hanyalah alat
dalam matematika yang melibatkan pemecahan soal matematika agar
memahami pemahaman struktur dan pola dalam matematika.
Pada dasarnya pembelajaran adalah
aktifitas atau proses
penambahan informasi dan kemampuan baru. Sekarang ini, terjadi
perubahan paradigm pembelajaran dari yang berpusat kepada guru menjadi
berpusat kepada siswa dengan tujuan agar siswa dituntut lebih aktif dan
kreatif dalam belajar. Namun, pada kenyataannya sistem tersebut belum
sesuai dengan yang diharapkan. Pembelajaran yang diterapkan cenderung
text book oriented dan kurang terkait dengan kehidupan sehari-hari siswa.
Sementara itu, kebanyakan guru dalam mengajar masih kurang
memperhatikan kemampuan berpikir siswa. Seperti metode belajar kurang
bervariasi atau pola belajar cenderung menghafal dan mekanistis. Sehingga
siswa sering mendengarkan ceramah tanpa mempedulikan siswa lain yang
3 http://pulungnanang.multiply.com/journal/item/8/Tahapan-Belajar-Matematika?
&show_interstitial=I&u=%2Fjournal%2Fitem 16/02/2013 (16:17)
9
pemahamannya kurang atau sulit menangkap penjelasan dari guru.
Ditambah lagi dengan siswa kurang diberi kesempatan dalam mengungkap
ide-idenya dan alasan jawaban mereka. Akibatnya motivasi belajar siswa
menjadi sulit untuk ditumbuhkan.
Faktor-faktor yang menyebabkan rendahnya minat siswa dalam
pelajaran matematika, yaitu:
a) Faktor budaya
Dalam masyarakat Indonesia cenderung kurang senang dengan
budaya kerja keras sehingga budaya semacam ini mengajarkan kepada
anak-anak proses pencapaian yang serba “instan” dan mengabaikan
proses kerja keras.
b) Faktor sistem pendidikan
Pada sistem ini siswa dianggap sebagai objek belajar yang harus
menuruti aturan yang telah ditentukan guru atau sekolah. Masalah lain
adalah kurikulum yang padat materi tetapi dengan alokasi waktu yang
terbatas, tidak kontekstual, mempunyai tingkatan kesulitan yang tidak
sesuai dengan ukuran perkembangan siswa dan sistematika yang tidak
selalu tepat. Kondisi ini menyebabkan siswa merasa sulit mempelajari
matematika sesuai tuntutan kurikulum.
c) Faktor sistem penilaian
Sistem penilaian di sekolah cenderung hanya menilai hasil akhir
pekerjaan siswa dan bukan menilai proses pekerjaan mereka. Akibatnya
siswa yang sudah bekerja keraspun jika hasilnya salah, maka akan
memperoleh nilai yang jelek dalam pelajaran matematika.
d) Faktor orangtua dan keluarga
Banyak orangtua kurang memahami beratnya beban siswa dalam
belajar di sekolah, sehingga banyak orangtua yang tidak sportif terhadap
anak-anaknya. Jika ada orangtua yang memiliki waktu lebih untuk
memperhatikan perkembangan belajar siswa, masalah muncul karena
banyak orangtua yang tidak menguasai materi matematika dan cara
10
mengajarnya sehingga kebingungan ketika anak mempunyai masalah
terkait dengan materi pelajaran mereka.
e) Faktor sifat bidang studi
Matematika memiliki karakteristik yang sangat khas, berbeda
dengan disiplin ilmu yang lain. Sifat-sifat khas ini membuat kebanyakan
siswa tidak mudah untuk secara langsung menaruh minat terhadap
matematika.
f) Faktor guru
Dibanding dengan guru-guru bidang studi lain, guru matematika
cenderung mudah terkena godaan untuk ‘mudah marah’ terhadap siswa.
Hal ini disebabkan pada satu sisi ada tuntutan untuk memenuhi
kurikulum, target kelulusan lewat ujian nasional dan lain-lain. Sedangkan
pada sisi lain banyak siswa cenderung lamban dalam mempelajari
matematika atau lemah dalam penyelesaian soal-soal matematika. Atau
metode yang digunakan guru dalam mengajar kurang sesuai dengan cara
berpikir siswa.
Kondisi tersebut menunjukkan perlu adanya perubahan dan
perbaikan dalam usaha meningkatkan hasil belajar siswa yaitu dengan
meningkatkan kualitas pembelajaran untuk meningkatkan hasil belajar
matematika.
2. Karakteristik Matematika
Matematika memiliki karakteristik khas yang membedakannya dengan
ilmu-ilmu lainnya. Matematika dapat dipandang sebagai pelayan dan ratu dari
ilmu-ilmu lain. Sebagai pelayan, matematika adalah ilmu dasar yang mendasari
dan melayani berbagai ilmu pengetahuan yang lain. Seperti matematika muncul
di ilmu kimia, fisika, biologi, astronomi, psikologi dan masih banyak yang
lainnya. Sebagai ratu, perkembangan ilmu matematika tidak tergantung pada
11
ilmu-ilmu lain. Khususnya pada ilmu matematika murni yang kemudian hari
bisa diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan tekhnologi.4
Karakteristik matematika tersebut antara lain:
a. Matematika memiliki objek kajian yang abstrak
Di dalam matematika objek dasar yang dipelajari adalah abstrak,
sering juga disebut sebagai objek mental. Di mana objek-objek tersebut
merupakan objek pikiran yang meliputi fakta, konsep, operasi ataupun
relasi, dan prinsip. Dari objek-objek dasar tersebut disusun suatu pola
struktur matematika. Adapun objek-objek tersebut dapat dijelaskan sebagai
berikut:
a) Fakta (abstrak) berupa konvensi-konvensi yang diungkap dengan simbol
tertentu. Contoh simbol bilangan “3” sudah di pahami sebagai bilangan
“tiga”. Jika di sajikan angka “3” maka sudah dipahami bahwa yang
dimaksud adalah “tiga”, dan sebalikya. Fakta lain dapat terdiri dari
rangkaian simbol misalnya “3+4” sudah di pahami
bahwa yang
dimaksud adalah “tiga di tambah empat”.
b) Konsep (abstrak) adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk
menggolongkan atau mengklasifikasikan sekumpulan objek. Apakah
objek tertentu merupakan suatu konsep atau bukan. ”segitiga” adalah
nama suatu konsep abstrak, “Bilangan asli” adalah nama suatu konsep
yang lebih komplek, konsep lain dalam matematika yang sifatnya lebih
kompleks misalnya “matriks”, “vektor”, “group” dan ruang metrik”.
Konsep berhubungan erat dengan definisi. Definisi adalah ungkapan
yang membatasi suatu konsep. Dengan adanya definisi ini orang dapat
membuat ilustrasi atau gambar atau lambang dari konsep yang
didefinisikan. Sehingga menjadi semakin jelas apa yang dimaksud
dengan konsep tertentu.
4 Sumardyono. 2004. Karakteristik Matematika dan Implikasinya Terhadap
Pembelajaran Matematika. Yogyakarta: Departemen Pendidikan Nasional
12
c) Operasi (abstrak) adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar dan
pengerjaan
matematika
yang
lain.
Sebagai
contoh
misalnya
“penjumlahan”, “perkalian”, “gabungan”, “irisan”. Unsur-unsur yang
dioperasikan juga abstrak. Pada dasarnya operasi dalam matematika
adalah suatu fungsi yaitu relasi khusus, karena operasi adalah aturan
untuk memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang
diketahui.
d) Prinsip (abstrak) adalah objek matematika yang komplek. Prinsip dapat
terdiri atas beberapa fakta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu
relasi ataupun operasi. Secara sederhana dapatlah dikatakan bahwa
prinsip adalah hubungan antara berbagai
objek dasar matematika.
Prinsip dapat berupa “aksioma”, “teorema”, “sifat” dan sebagainya.
b. Matematika bertumpu pada kesepakatan
Kesepakatan dalam Matematika merupakan ikatan yang mengikat
untuk menghindari pembuktian yang berputar-putar baik dalam pembuktian
maupun dalam pendefinisian. Kesepakatan yang mendasar adalah aksioma
dan konsep primitive. Aksioma yang disebut juga postulat merupakan
pernyataan yang tidak perlu dibuktikan, sedangkan konsep primitive
bertujuan
memberikan
pengertian
pangkal
yang
tidak
seharusnya
didefinisikan. Fakta matematika meliputi istilah, symbol, notasi atau
lambang, dengan adanya kesepakatan ini menjadikan pembahasan
matematika mudah dikomunikasikan.
c. Matematika berpola pikir deduktif
Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif. Ini berarti proses
pengerjaan matematika harus bersifat deduktif. Matematika tidak menerima
generalisasi berdasarkan pengamatan (induktif), tetapi harus berdasarkan
pembuktian deduktif. Dasar pembuktian deduktif yang berperan besar dalam
matematika adalah kebenaran, suatu pernyataan haruslah didasarkan pada
kebenaran pernyataan-pernyataan sebelumnya. Penarikan kesimpulan yang
13
demikian ini sangat berbeda dengan penarikan kesimpulan pada penalaran
induktif yang dipaparkan pada hasil pengamatan atau eksperimen terbatas.
Dalam penalaran deduktif, kebenaran dalam setiap pernyataannya
harus didasarkan pada kebenaran pernyataan sebelumnya. Mungkin timbul
pertanyaan bagaimana menyatakan kebenaran dari pernyataan yang paling
awal? Untuk mengatasi hal tersebut, dalam penalaran deduktif diperlukan
beberapa pernyataan awal atau pangkal sebagai “kesepakatan” yang
diterima kebenarannya tanpa pembuktian. Pernyataan awal atau pernyataan
pangkal dalam matematika dikenal dengan istilah aksioma atau postulat.
Dalam matematika, suatu generalisasi, sifat, teori atau dalil belum
dapat diterima kebenarannya sebelum dapat dibuktikan secara deduktif.
Sebagai contoh dalam Ilmu Pengetahuna Alam (IPA), bila seseorang
melakukan percobaan memanaskan sebatang logam, ternyata logam yang
dipanaskan tersebut akan memuai. Kemudian sebatang logam lainnya
dipanaskan ternyata memuai juga, dan seterusnya mengambil beberapa
contoh jenis-jenis logam lainnya dan ternyata selalu memuai jika
dipanaskan. Dari percobaan ini dapat dibuat kesimpulan atau generalisasi
bahwa setiap logam yang dipanaskan itu memuai. Kesimpulan atau
generalisasi seperti ini merupakan hasil penalaran secara induktif.
Generalisasi seperti ini dalam IPA dibenarkan.
Contoh dalam IPA seperti tersebut di atas, secara matematika belum
dapat dianggap sebagai generalisasi. Dalam matematika, contoh-contoh
seperti itu baru dapat dianggap sebagai generalisasi bila kebenarannya dapat
dibuktikan secara deduktif.
Sekarang kita akan mengambil beberapa contoh generalisasi yang
dibenarkan dan yang tidak dibenarkan dalam matematika. Generalisasi yang
dibenarkan dalam matematika adalah generalisasi yang telah dapat
dibuktikan secara deduktif.
14
Pernyataan: jumlah dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap
+
1
7
9
1
2
8
10
3
4
10
12
5
6
12
14
Perhatikan hasil penjumlahan pada tabel. Apa yang bisa Anda
katakan? Tentunya Anda akan mengatakan bahwa setiap dua bilangan ganjil
jika dijumlahkan hasilnya selalu genap.
Dalam matematika tidak dibenarkan membuat generalisasi atau
membuktikan dengan cara demikian. Walaupun Anda menunjukkan sifat itu
dengan mengambil beberapa contoh yang lebih banyak lagi. Matematika
tetap tidak membenarkan membuat generalisasi yang mengatakan bahwa
jumlah dua bilangan ganjil adalah genap, sebelum membuktikannya secara
deduktif.
Bukti deduktif:
Misalkan m dan n sebarang dua bilangan bulat, maka 2m + 1 dan 2n +
1 masing-masing merupakan bilangan ganjil. Jika kita jumlahkan: (2m + 1)
+ (2n + 1) = 2(m + n + 1). Karena m dan n bilangan bulat, maka (m + n + 1)
bilangan bulat, sehingga 2(m + n + 1) adalah bilangan genap Jadi jumlah
dua bilangan ganjil selalu genap.
d. Simbol dalam matematika kosong dari arti
Matematika memiliki banyak simbol, baik huruf maupun bilangan.
Model matematika x + y = z, belum tentu bermakna atau berarti. Tidak
selalu x, y, z berarti bilangan. Bilangan-bilangan yang digunakan dalam
pembelajaran pun bebas dari arti atau makna real. Makna huruf dan operasi
tergantung
permasalahan
yang
mengakibatkan
terbentuknya
model
matematika. Bahkan tanda “+” tidak selalu berarti operasi tambah untuk dua
bilangan, tetapi bisa jadi operasi untuk vector, matriks dan lain-lain. Secara
umum, x + y = z masih kosong dari arti, tergantung permasalahannya. Jadi,
15
model atau symbol matematika sesungguhnya kosong dari arti. Ia akan
bermakna sesuatu bila kita mengaitkannya dengan konteks tertentu. Secara
umum, hal ini pula yang membedakan symbol matematika dengan symbol
bukan matematika. Kosongnya arti dari model-model matematika itu
merupakan “kekuatan” matematika, yang dengan sifat tersebut ia bisa
masuk pada berbagai macam bidang kehidupan.
e. Matematika memperhatikan semesta pembicaraan
Matematika
memperhatikan
semesta
pembicaraan
artinya
penyelesaian dalam matematika harus disesuaikan dengan semesta
pembicaraan.
Simbol-simbol
akan
bermakna
jika
ruang
lingkup
pembicaraanya jelas. Jika ruang lingkupnya bilangan, maka dsimbol-simbol
tersebut diartikan bilangan. Contoh : Penyelesaian persamaan diselesaikan
dengan memperhatikan semesta pembicaraan. Jika semesta pembicaraannya
tentang bilangan-bilangan, maka symbol-simbol tersebut menunjukkan
bilangan-bilangan pula. Begitu juga bila kita bicara tentang transformasi
geometris (seperti translasu, rotasi, dilatasi dan lain-lain), maka symbolsimbol matematikanya menunjukkan suatu transformasi pula.
f. Matematika konsisten dalam sistemnya
Matematika kosisten dalam sistemnya artinya dalam matematika
banyak sistem yang saling berkaitan satu sama lainnya dan ada juga yang
tidak saling berkaitan. Didalam masing-masing sistem berlaku konsistensi
atau ketaatazasan, artinya bahwa dalam system tidak boleh terdapat
kontradiksi. Suatu teorema ataupun definisi harus menggunakan istilah atau
konsep yang diterapkan terlebih dahulu. Konsistensi itu baik dalam makna
maupun dalam hal nilai kebenaran. Misalnya, bila kita mendefinisikan
konsep trapezium sebagai segiempat yang tepat sepasang sisinya sejajar,
maka kita tidak boleh mengatakan bahwa jajaran genjang trapezium, karena
jajaran genjang mempunyai dua pasang sisi sejajar.
BAB III
16
PENUTUP
A. Kesimpulan
1. Hakikat matematika bukanlah sekedar berhitung melainkan suatu bangunan
pengetahuan yang terus berubah dan berkembang. Di samping itu,
matematika adalah sebuah bahasa yang dapat menemukan dan mempelajari
pola serta hubungan-hubungannya sehingga terbentuklah suatu kegiatan
pembangkitan
masalah
dan
pemecahan
masalah.
Itulah
sebabnya
matematika bermanfaat bagi semua orang.
2. Ilmu matematika selalu terus berkembang. Perkembangan matematika
tersebut
dimulai
dari
perkembangan
pada
zaman Yunani
Kuno,
perkembangan zaman Islam dan perkembangan zaman modern.
3. Ada enam tahapan yang harus dilalui siswa agar dapat berpikir tingkat
tinggi, yaitu menggali informasi yang dibutuhkan, mengajukan dugaan,
melakukan inkuiri, membuat konjektur, mencari alternative, dan menarik
kesimpulan.
4. Banyak siswa yang tidak menyukai pelajaran matematika. Faktor penyabab
rendahnya minat siswa dalam pelajaran matematika adalah faktor budaya,
faktor sistem pendidikan, faktor sistem penilaian, faktor orang tua dan
keluarga, faktor sifat bidang study, faktor guru.
5. Matematika memiliki karakteristik khas yang membedakan dengan ilmuilmu lainnya, di antaranya:
a. Matematika memiliki objek kajian yang abstrak
b. Matematika bertumpu pada kesepakatan
c. Matematika berpola pikir deduktif
d. Symbol dalam matematika kosong dari arti
e. Matematika memperhatikan semesta pembicaraan
f. Matematika konsisten dalam sistemnya.
17
B. Saran
Sebagai seorang guru matematika yang professional hendaknya
memahami bagaimana hakikat dan karekteristik matematika yang sebenarnya
agar dapat meminimalisir berbagai persoalan yang terjadi, serta mengetahui
cara pengajaran yang dibutuhkan oleh siswa-siswanya agar matematika tidak
dianggap sulit dan disenangi oleh semua peserta didik. Ilmu matematika sangat
diperlukan untuk memecahkan persoalan-persoalan dalam kehidupan seharihari. Untuk itu seorang guru harus memberikan asupan ilmu matematika yang
sesuai dan bermanfaat seiring dengan kemajuan zaman sekarang ini kepada
siswa sebagai penerus generasi bangsa.
18
DAFTAR PUSTAKA
Supatmono,Catur. 2009. Matematika asyik. Jakarta: PT Grasindo
Saiful Hamdani, dkk. 2008. Matematika 1. Surabaya: Learning Assistance
Program for Islamic Sch
Sumardyono. 2004. Karakteristik Matematika dan Implikasinya Terhadap
Pembelajaran Matematika. Yogyakarta: Departemen Pendidikan Nasional
http://www.bimbingan.org/sejarah-perkembangan-matematika.htm
http://pulungnanang.multiply.com/journal/item/8/Tahapan-BelajarMatematika&show_interstitial=I&u=%2Fjournal%2Fitem
19