Contoh Makalah Matematika Program Linear
Contoh Makalah Matematika Program Linear
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Di dalam matematika mulai dari SD, SMP, SMA, dan Perguruan Tinggi terdapat
berbagai cabang pembahasan yang ada yang dipelajari siswa dalam kegiatan
belajar mengajar di sekolah maupun perguruan tinggi. Cabang pelajaran yang ada
antara lain: logika matematika, aljabar, ruang dimensi tiga, trigonometri, kalkulus,
peluang, dan statistika, Seorang siswa harus memahami setiap pelajaran yang
diajarkan oleh gurunya agar ia tidak ketinggalan pelajaran dan bisa mengerti
maksud atau kegunaan dari pelajaran tersebut. Selain itu, ia juga harus bisa
mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan pelajaran tersebut supaya
mendapat nilai yang bagus.
Salah satu bab dalam matematika adalah program linear. Dalam program linear
terdapat persamaan suatu bilangan karena masih masuk dalam aljabar. Dan
mempunyai kegunaan yang penting terutama berhubungan dengan kehidupan
sehari-hari.
Pelajaran ini membahas beberapa hal atau bagian yang dibatasi oleh syarat-syarat
tertentu. Syarat-syarat itu adalah susunan pertidaksaman linear dan tentu di
dalamnya masih ada hal-hal lainnya yang saling berkaitan(berkaitan erat).
1.2 Rumusan Masalah
Dengan berpijak atas latar belakang tersebut dapatlah dikemukakan berbagai topik
bahasan atau masalah yang akan dikaji dalam penulisan makalah ini. Adapun
berbagai topik bahasan dalam makalah ini dapat dirumuskan dalam bentuk-betuk
pertanyaan berikut ini:
1.
Apa pengertian dari program linear?
2.
Apa kegunaan program linear yang berhubungan dengan kehidupan seharihari?
3.
Apa saja hal-hal yang dibahas dalam program linear?
1.3 Tujuan
Dari rumusan masalah di atas dapat disusun tujuan penulisan makalah, yaitu:
1.
Untuk mengetahui pengertian program linear
2.
Untuk mengetahui kegunaan program linear yang berhubungan dengan
kehidupan sehari-hari
3.
Untuk mengetahui apa saja hal-hal yang dibahas dalam program linear
PEMBAHASAN
2.1 Pengertian Program Linear
Program Linear adalah suatu cara untuk penyelesaian masalah dengan
menggunakan persamaan atau pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak
penyelesaian, dengan memperhatikan syarat-syarat agar diperoleh hasil yang
maksimum/minimum (penyelesaian optimum).
Program linear merupakan suatu model umum yang dapat digunakan dalam
pemecahan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Masalah
tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan
tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukan, dimana masing-masing kegiatan
membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas (Handy A.Taha,
1987).
Program linear berasal dari kata pemrograman dan linear. Pemrograman artinya
perencanaan dan linear berarti bahwa fungsi-fungsi yang digunakan merupakan
fungsi linear. Jadi, program linear adalah suatu teknik perencanaan yang bersifat
analitis yang analisisnya memakai model matematika, dengan tujuan menemukan
beberapa kombinasi alternatif pemecahan masalah. Kemudian dipilih yang terbaik
diantaranya dalam rangka menyusun langkah-langkah kebijaksanaan lebih lanjut
tentang alokasi sumber daya dan dana yang terbatas. Kegunaannya adalah
mencapai tujuan dan sasaran yang diinginkan secara optimal (Media Anugerah Ayu,
2006).
Program linear merupakan salah satu teknik penelitian operasional yang digunakan
paling luas dan diketahui dengan baik, serta berupa metode matematik, yang
berfungsi mengalokasikan sumber daya yang langka untuk mencapai tujuan
tunggal seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Program
linear banyak diterapkan dalam membantu menyelesaikan masalah ekonomi,
industri, militer, dan sosial. Program linier berkaitan dengan penjelasan suatu dunia
nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri atas sebuah fungsi tujuan dan
sistem kendala linier (Sri Mulyono, 2002).
2.2 Kegunaan program linear
Program linear digunakan untuk memecahkan masalah pengoptimalan
(memaksimalkan atau meminimalkan suatu tujuan). Dari sini program linear dapat
digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah manusia. Dalam kehidupan
sehari-hari tentu banyak masalah yang berkaitan dengan perhitungan, seperti
dalam berdagang. Dalam berdagang seorang pedagang pasti ingin mendapat
keuntungan atau laba yang besar/maksimum, maka program linear dapat
digunakan untuk menghitung maksimum laba yang bisa diperoleh seorang
pedagang.
2.3 Hal-hal yang Dibahas dalam Program Linear
a.
Program Linear dan Model Matenatika
Program linear adalah salah satu bagian dari matematika terapan yang digunakan
untuk memecahkan masalah pengoptimalan (memaksimalkan atau meminimalkan
suatu tujuan), seperti mencari keuntungan maksimum dari penjualan suatu produk.
Dalam memecahkan masalah pengoptimalan dengan program linear terdapat
kendala-kendala atau batasan-batasan yang harus diterjemahkan ke dalam suatu
sistem pertidaksamaan linear, yang disebut pemodelan matematika dan sistem
pertidaksamaan yang terbentuk disebut model matematika.
Model matematika adalah sistem persamaan atau pertidaksamaan yang
mengungkapkan semua syarat yang harus dipenuhi oleh x dan y.
Model matematika ini merupakan cara sederhana untuk memandang suatu masalah
dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan matematika.
b.
Sistem Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari
variabelnya satu, gabungan dua atau lebih pertidaksamaan linear disebut sistem
pertidaksamaan linear.
Bentuk umum pertidaksamaan linear dua variabel: ax+by≥c atau ax+by≤c ,dengan
a,b, dan c anggota himpunan bilangan real.
Himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan linear dua variabel merupakan
pasangan bilangan (x,y) yang memenuhi pertidaksamaan linear tersebut. Himpunan
penyelesaian pertidaksamaan itu dapat ditentukan dengan menggunakan metode
grafik dan titik uji.
Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear ax+by≥c
dengan menggunakan metode grafik dan titik uji, langkah-langkahnya adalah
sebagai berikut:
1.
Menggambar garis ax+by=c
2.
Melakukan uji titik, yaitu mengambil sebarang titik (x,y) yang tidak terletak
pada garis ax+by=c, kemudian mensubstitusikan ke dalam pertidaksamaan
ax+by≥c
·
Jika pertidaksamaan bernilai benar, maka himpunan penyelesaiannya adalah
daerah yang memuat titik tersebut dengan batas garis ax+by=c.
·
Jika pertidaksamaan bernilai salah, maka himpunan penyelesaiannya adalah
daerah yang tidak memuat titik tersebut dengan batas garis ax+by=c.
3.
Tanpa melakukan uji titik, daerah himpunan penyelesaian suatu
pertidaksamaan linear dapat dilakukan sebagai berikut:
·
Pertidaksamaan ax+by≥c, jika b>0, maka daerah HP berada di kanan/di atas
garis ax+by=c, jika b0, maka daerah HP berada di kiri/di bawah
garis ax+by=c, jika b
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Di dalam matematika mulai dari SD, SMP, SMA, dan Perguruan Tinggi terdapat
berbagai cabang pembahasan yang ada yang dipelajari siswa dalam kegiatan
belajar mengajar di sekolah maupun perguruan tinggi. Cabang pelajaran yang ada
antara lain: logika matematika, aljabar, ruang dimensi tiga, trigonometri, kalkulus,
peluang, dan statistika, Seorang siswa harus memahami setiap pelajaran yang
diajarkan oleh gurunya agar ia tidak ketinggalan pelajaran dan bisa mengerti
maksud atau kegunaan dari pelajaran tersebut. Selain itu, ia juga harus bisa
mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan pelajaran tersebut supaya
mendapat nilai yang bagus.
Salah satu bab dalam matematika adalah program linear. Dalam program linear
terdapat persamaan suatu bilangan karena masih masuk dalam aljabar. Dan
mempunyai kegunaan yang penting terutama berhubungan dengan kehidupan
sehari-hari.
Pelajaran ini membahas beberapa hal atau bagian yang dibatasi oleh syarat-syarat
tertentu. Syarat-syarat itu adalah susunan pertidaksaman linear dan tentu di
dalamnya masih ada hal-hal lainnya yang saling berkaitan(berkaitan erat).
1.2 Rumusan Masalah
Dengan berpijak atas latar belakang tersebut dapatlah dikemukakan berbagai topik
bahasan atau masalah yang akan dikaji dalam penulisan makalah ini. Adapun
berbagai topik bahasan dalam makalah ini dapat dirumuskan dalam bentuk-betuk
pertanyaan berikut ini:
1.
Apa pengertian dari program linear?
2.
Apa kegunaan program linear yang berhubungan dengan kehidupan seharihari?
3.
Apa saja hal-hal yang dibahas dalam program linear?
1.3 Tujuan
Dari rumusan masalah di atas dapat disusun tujuan penulisan makalah, yaitu:
1.
Untuk mengetahui pengertian program linear
2.
Untuk mengetahui kegunaan program linear yang berhubungan dengan
kehidupan sehari-hari
3.
Untuk mengetahui apa saja hal-hal yang dibahas dalam program linear
PEMBAHASAN
2.1 Pengertian Program Linear
Program Linear adalah suatu cara untuk penyelesaian masalah dengan
menggunakan persamaan atau pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak
penyelesaian, dengan memperhatikan syarat-syarat agar diperoleh hasil yang
maksimum/minimum (penyelesaian optimum).
Program linear merupakan suatu model umum yang dapat digunakan dalam
pemecahan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Masalah
tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan
tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukan, dimana masing-masing kegiatan
membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas (Handy A.Taha,
1987).
Program linear berasal dari kata pemrograman dan linear. Pemrograman artinya
perencanaan dan linear berarti bahwa fungsi-fungsi yang digunakan merupakan
fungsi linear. Jadi, program linear adalah suatu teknik perencanaan yang bersifat
analitis yang analisisnya memakai model matematika, dengan tujuan menemukan
beberapa kombinasi alternatif pemecahan masalah. Kemudian dipilih yang terbaik
diantaranya dalam rangka menyusun langkah-langkah kebijaksanaan lebih lanjut
tentang alokasi sumber daya dan dana yang terbatas. Kegunaannya adalah
mencapai tujuan dan sasaran yang diinginkan secara optimal (Media Anugerah Ayu,
2006).
Program linear merupakan salah satu teknik penelitian operasional yang digunakan
paling luas dan diketahui dengan baik, serta berupa metode matematik, yang
berfungsi mengalokasikan sumber daya yang langka untuk mencapai tujuan
tunggal seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Program
linear banyak diterapkan dalam membantu menyelesaikan masalah ekonomi,
industri, militer, dan sosial. Program linier berkaitan dengan penjelasan suatu dunia
nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri atas sebuah fungsi tujuan dan
sistem kendala linier (Sri Mulyono, 2002).
2.2 Kegunaan program linear
Program linear digunakan untuk memecahkan masalah pengoptimalan
(memaksimalkan atau meminimalkan suatu tujuan). Dari sini program linear dapat
digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah manusia. Dalam kehidupan
sehari-hari tentu banyak masalah yang berkaitan dengan perhitungan, seperti
dalam berdagang. Dalam berdagang seorang pedagang pasti ingin mendapat
keuntungan atau laba yang besar/maksimum, maka program linear dapat
digunakan untuk menghitung maksimum laba yang bisa diperoleh seorang
pedagang.
2.3 Hal-hal yang Dibahas dalam Program Linear
a.
Program Linear dan Model Matenatika
Program linear adalah salah satu bagian dari matematika terapan yang digunakan
untuk memecahkan masalah pengoptimalan (memaksimalkan atau meminimalkan
suatu tujuan), seperti mencari keuntungan maksimum dari penjualan suatu produk.
Dalam memecahkan masalah pengoptimalan dengan program linear terdapat
kendala-kendala atau batasan-batasan yang harus diterjemahkan ke dalam suatu
sistem pertidaksamaan linear, yang disebut pemodelan matematika dan sistem
pertidaksamaan yang terbentuk disebut model matematika.
Model matematika adalah sistem persamaan atau pertidaksamaan yang
mengungkapkan semua syarat yang harus dipenuhi oleh x dan y.
Model matematika ini merupakan cara sederhana untuk memandang suatu masalah
dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan matematika.
b.
Sistem Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari
variabelnya satu, gabungan dua atau lebih pertidaksamaan linear disebut sistem
pertidaksamaan linear.
Bentuk umum pertidaksamaan linear dua variabel: ax+by≥c atau ax+by≤c ,dengan
a,b, dan c anggota himpunan bilangan real.
Himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan linear dua variabel merupakan
pasangan bilangan (x,y) yang memenuhi pertidaksamaan linear tersebut. Himpunan
penyelesaian pertidaksamaan itu dapat ditentukan dengan menggunakan metode
grafik dan titik uji.
Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear ax+by≥c
dengan menggunakan metode grafik dan titik uji, langkah-langkahnya adalah
sebagai berikut:
1.
Menggambar garis ax+by=c
2.
Melakukan uji titik, yaitu mengambil sebarang titik (x,y) yang tidak terletak
pada garis ax+by=c, kemudian mensubstitusikan ke dalam pertidaksamaan
ax+by≥c
·
Jika pertidaksamaan bernilai benar, maka himpunan penyelesaiannya adalah
daerah yang memuat titik tersebut dengan batas garis ax+by=c.
·
Jika pertidaksamaan bernilai salah, maka himpunan penyelesaiannya adalah
daerah yang tidak memuat titik tersebut dengan batas garis ax+by=c.
3.
Tanpa melakukan uji titik, daerah himpunan penyelesaian suatu
pertidaksamaan linear dapat dilakukan sebagai berikut:
·
Pertidaksamaan ax+by≥c, jika b>0, maka daerah HP berada di kanan/di atas
garis ax+by=c, jika b0, maka daerah HP berada di kiri/di bawah
garis ax+by=c, jika b