Pemodelan Arus Terobosan Langsung pada M
Seminar Nasional Material 2013 | Fisika – Institut Teknologi Bandung
Pemodelan Arus Terobosan Langsung pada MOS Dioda
dengan Metode Transfer Hamiltonian dan Teknik Integrasi
Gauss-Legendre
Christoforus Bimo* dan Khairurrijal#
Institut Teknologi Bandung
*Email: [email protected]
#
Email: [email protected]
Abstrak. Dalam paper ini arus terobosan pada gate MOSFET n+ poly-Si/SiO2/p-Si(100) diturunkan dengan
menggunakan model potensial barier berbentuk trapesium dengan metode transfer hamiltonian. Persamaan arus
terobosan yang bergantung pada tegangan dan tebal oxida hasil dari pemodelan kemudian kami hitung secara numerik
dengan menggunakan teknik pengintegrasian Gauss-Legendre. Hasil karakteristik kurva arus-tegangan yang kami hitung
kemudian kami bandingkan dengan hasil eksperimen.
Kata kunci: Pemodelan, Arus Terobosan, Gate MOSFET.
persamaan umum untuk arus terobosan dan dilakukan
pencarian grafik plot antara tegangan oxide terhadap
arus terobosan pada gate untuk beberapa ketebalan
oxida yang sebelumnya telah disusun dan
dieksperimenkan oleh Khairurrijal. Kami juga telah
menghitung hasil pemodelan dengan teknik integrasi
Gauss-Legendre yang dilakukan dengan memasukkan
nilai parameter yang ada pada paper sebelumnya
termasuk hasil fitting nilai massa efektif pada oxide
yang berbeda pada tiap ketebalan oxida.
PENDAHULUAN
Miniaturisasi divais elektronika terus dilakukan
dan dikembangkan untuk memaksimalkan kecepatan,
biaya pembuatan, dan konsumsi daya perfungsi.
Kendala dari miniaturisasi ini salah satunya adalah
arus bocor yang mulai signifikan nilainya ketika
ukuran divais mulai memasuki skala nanometer.
Terdapat beberapa titik kebocoran arus yang mungkin
terjadi pada MOSFET dan salah satunya adalah
kebocoran pada MOS diode pada gate transistor yang
tersusun dari n+ poly-Si/SiO2/p-Si(100) yang akan
terjadi jika kita terus mempertipis tebal oxide yang
dipakai. Sedangkan mempertipis tebal oksida penting
dilakukan untuk mengatur nilai kapasitansi oksida
yang perlu diperbesar juga nilainya untuk
memaksimalkan arus on agar divais bekerja cepat dan
efektif. Oksida juga perlu dipertipis untuk mengatur
nilai tegangan threshold agar tidak terlalu kecil ketika
kita ingin memperpendek channel transistor. Oleh
sebab itu dibutuhkan pemodelan yang akurat tentang
arus terobosan pada gate okside untuk mendesain
transistor MOSFET yang berukuran kecil.
Arus terobosan ini dapat diturunkan dari solusi
persamaan Schrodinger yang diselesaikan dengan
syarat batas menggunakan metode transfer hamiltonian
pada barier berbentuk trapesium dan memasukannya
ke dalam persamaan umum untuk arus terobosan yang
sudah diturunkan oleh Khairurrijal [1]. Dari hasil
perumusan tersebut, dapat kita cari dan plot grafiknya
dengan menggunakan teknik integrasi numerik GaussLegendre. Dalam paper ini akan diturunkan kembali
MODEL TEORI
Model potensial barier yang menggambarkan struktur
MOS dioda pada gate n+ poly-Si/SiO2/p-Si(100) saat
flat-band dan saat diberi tegangan bias negatif
ditunjukan pada gambar 1 [2]. Rapat arus terobosan
total dari elektron melalui potensial barier merupakan
selisih antara arus total elektron dari daerah a ke b
dengan b ke a.
(1)
Rapat arus total elektron terobosan dari keadaan a ke
) dapat dituliskan sebagai
keadaan b (
(2)
87
Seminar Nasional Material 2013 | Fisika – Institut Teknologi Bandung
adalah probabilitas per waktu terjadinya
Dimana
transisi elektron dari keadaan a ke keadaan b yang
dapat dituliskan sebagai
(5)
(3)
Matriks elemen transisi dapat kita kaji dengan melihat
lagi bentuk potensial barier yang dapat kita bagi
menjadi 3 daerah potensial yaitu
(6)
Yang dengan menggunakan metode hamiltonian
menghasilkan solusi persamaan gelombang
Untuk daerah 1 :
(7)
Daerah 2 :
(8)
dan
+
GAMBAR 1. Model potensial barier dari n poly-Si/SiO2/pSi(100)
(9)
Daerah 3 :
(10)
Dengan
adalah matriks elemen transisi dari
keadaan a ke b,
,
,
,
masing-masing
adalah rapat keadaan di a, di b, dan fungsi distribusi
fermi-dirac
di
a
dan
di
b
yaitu
dan
dimana
adalah momentum
elektron pada daerah 1 dan 3, sedangkan
adalah
dan
momentum elektron pada daerah 2,
. Untuk rapat arus
total dari keadaan b ke a sama seperti pada persamaan
2 dan 3 dengan membalikkan subskrip a menjadi b dan
b menjadi a. Matriks elemen yang kita dapat dari
kedua
jenis
arus
sama
besarnya
yaitu
. Dengan demikian persamaan 1 dapat
kita tuliskan menjadi
, dan
.
Dengan menerapkan syarat batas
kontinyu di
dan
dan
kita
dan
sehingga rapat arus
bisa mendapatkan nilai
dapat diturunkan dengan memasukkan nilai-nilai
dan
masing-masing ke
dan
solusi dari
dalam rumus rapat arus dari keadaan a ke b
menurut metode hamiltonian
(4)
bagian integral ke-2 dari persamaan 4 diatas dapat
disederhanakan lagi dengan kalkulus dasar sehingga
persamaan 4 menjadi
88
Seminar Nasional Material 2013 | Fisika – Institut Teknologi Bandung
(11)
(16)
Dimana
Dari persamaan rapat arus 25, dapat kita hasilkan
matriks elemen transisi yang hanya merupakan
perkalian arus dengan
. Dengan memasukkan
nilai rapat keadaan di a dan b sebagai
(17)
Dan
dan
(18)
kita bisa dapatkan
ternyata
Dan karena pada daerah
bersar
bergantung pada ketebalan oksida
maka
(19)
(12)
Persamaan diatas dapat diintegrasikan dengan
batas energi elektron
pada semua kemungkinan
energi yaitu 0 hingga
. Namun karena pada daerah
sudah bukan daerah tunneling, maka daerah
tersebut kita eliminasi. Dan karena pada daerah
bukan merupakan daerah direct
tunneling melainkan Fowler-Nordheim maka daerah
tersebut juga kita eliminasi. Sehingga hanya perlu
diintegrasi pada daerah
dari 0 sampai
.
Kita menggunakan matode Gauss-Legendre
untuk menghitung integralnya. Formula umum integral
Gauss-Legendre adalah
Persamaan 32 dapat kita sederhanakan lagi dengan
mendefinisikan momentum rata-rata di dalam oxida
dengan
sehingga
nilai-nilai
,
, dan
dalam persamaan
32 dapat diganti dengan
menjadi
(13)
Dengan
(20)
Karena yang diperlukan adalah integrasi variabel
(14)
dengan
batas
dari
sampai
maka kita dapat lakukan dengan
mengubah variabel
Sehingga persamaan 3 dapat diubah menjadi
(21)
(15)
Turunkan sekali
dan
Karena pada daerah
massa elektron yang mungkin maka rapat arus
persamaan itu dimodifikasi menjadi
ada 2
pada
(22)
89
Seminar Nasional Material 2013 | Fisika – Institut Teknologi Bandung
sehingga untuk batas integrasi dari
menjadi
Tabel 2. Massa efektif elektron yang digunakan dalam
perhitungan pada tiap nilai tebal oxida yang berbeda
Tebal oxide (nm) Massa efektif elektron
1.65
0.70
2.17
0.55
2.51
0.53
2.80
0.5
3.50
0.4
3.90
0.4
sampai
(23)
dan
adalah weight dan node dari
Dengan
pendekatan integral gauss kuadratur secara umum
untuk 10 point yang dapat dilihat pada tabel 1.
Sedangkan
Massa efektif elektron pada daerah 1 dan 3 yaitu
pada n+ poly-Si dan p-Si(100) yang digunakan dalam
perhitungan ini dapat dilihat dalam tabel 3.
Tabel 3. Degenerasi, massa normal, dan density of
state mass elektron parameter kristal p-Si(100)
Lembah
Lower (1) Higher (2)
2
4
Degenerasi
Massa normal
0.910*
0.190*
Density of state mass 0.190*
0.417*
dan
adalah penyederhanaan
biasa.
Untuk mendapatkan plot grafik hubungan antara
pengaruh tegangan yang diberikan pada oxide
terhadap rapat arus
maka kita hitung integral
fungsi
pada persamaan itu untuk setiap titik
. Dan untuk
dari angkan mendekati 0 hingga 2,5
melihat bagaimana pengaruh tebal barrier oxide
Hasil perhitungan yang menghasilkan plot
tegangan oxide dengan rapat arus terobosan pada gate
oxide MOS yang dilakukan dengan metode integrasi
Gauss-Legendre dibandingkan dengan hasil plot paper
Khairurrijal. Plot hasil perhitungan kami dapat dilihat
pada grafik 1 sedangkan untuk melihat grafik
perhitungan pada tegangan rendah dapat dilihat pada
grafik 2.
untuk
dari mendekati 0 hingga 2,5 V
kita plot
untuk 6 nilai-nilai
yang berbeda yaitu 1.65, 2.17,
2.51, 2.80, 3.50, dan 3.90 nm.
Tabel 1. Node dan Weight
integrasi Gauss-Legendre
Node
0.973906528517172
0.865063366688985
0.679409568299024
0.433395394129247
0.148874338981631
-0.148874338981631
-0.433395394129247
-0.679409568299024
-0.865063366688985
-0.973906528517172
yang digunakan dalam
Weight
0.0666713443086880
0.149451349150581
0.219086362515982
0.269266719309996
0.295524224714753
0.295524224714753
0.269266719309996
0.219086362515982
0.149451349150581
0.0666713443086880
HASIL DAN DISKUSI
GAMBAR 1. Hasil plot rapat arus terobosan terhadap
tegangan oxida pada beberapa ketebalan oxida yang berbeda
Dalam perhitungan ini digunakan massa efektif
pada oxida sesuai dengan
elektron searah sumbu
hasil fitting paper Khairurrijal [1] yang dapat dilihat
dalam tabel 2.
90
Seminar Nasional Material 2013 | Fisika – Institut Teknologi Bandung
GRAFIK 2. Hasil plot arus terobosan pada tegangan kecil
REFERENSI
1. Khairurrijal, W. Mizubayashi, S. Miyazaki, and M.
Hirose, J.Appl. Phys. 87, 3000 (2000).
2. F. A. Noor, M. Abdullah, Sukirno, and Khairurrijal,
Brazilian Journal of Physics, vol. 40, no 4 (2010).
91
Pemodelan Arus Terobosan Langsung pada MOS Dioda
dengan Metode Transfer Hamiltonian dan Teknik Integrasi
Gauss-Legendre
Christoforus Bimo* dan Khairurrijal#
Institut Teknologi Bandung
*Email: [email protected]
#
Email: [email protected]
Abstrak. Dalam paper ini arus terobosan pada gate MOSFET n+ poly-Si/SiO2/p-Si(100) diturunkan dengan
menggunakan model potensial barier berbentuk trapesium dengan metode transfer hamiltonian. Persamaan arus
terobosan yang bergantung pada tegangan dan tebal oxida hasil dari pemodelan kemudian kami hitung secara numerik
dengan menggunakan teknik pengintegrasian Gauss-Legendre. Hasil karakteristik kurva arus-tegangan yang kami hitung
kemudian kami bandingkan dengan hasil eksperimen.
Kata kunci: Pemodelan, Arus Terobosan, Gate MOSFET.
persamaan umum untuk arus terobosan dan dilakukan
pencarian grafik plot antara tegangan oxide terhadap
arus terobosan pada gate untuk beberapa ketebalan
oxida yang sebelumnya telah disusun dan
dieksperimenkan oleh Khairurrijal. Kami juga telah
menghitung hasil pemodelan dengan teknik integrasi
Gauss-Legendre yang dilakukan dengan memasukkan
nilai parameter yang ada pada paper sebelumnya
termasuk hasil fitting nilai massa efektif pada oxide
yang berbeda pada tiap ketebalan oxida.
PENDAHULUAN
Miniaturisasi divais elektronika terus dilakukan
dan dikembangkan untuk memaksimalkan kecepatan,
biaya pembuatan, dan konsumsi daya perfungsi.
Kendala dari miniaturisasi ini salah satunya adalah
arus bocor yang mulai signifikan nilainya ketika
ukuran divais mulai memasuki skala nanometer.
Terdapat beberapa titik kebocoran arus yang mungkin
terjadi pada MOSFET dan salah satunya adalah
kebocoran pada MOS diode pada gate transistor yang
tersusun dari n+ poly-Si/SiO2/p-Si(100) yang akan
terjadi jika kita terus mempertipis tebal oxide yang
dipakai. Sedangkan mempertipis tebal oksida penting
dilakukan untuk mengatur nilai kapasitansi oksida
yang perlu diperbesar juga nilainya untuk
memaksimalkan arus on agar divais bekerja cepat dan
efektif. Oksida juga perlu dipertipis untuk mengatur
nilai tegangan threshold agar tidak terlalu kecil ketika
kita ingin memperpendek channel transistor. Oleh
sebab itu dibutuhkan pemodelan yang akurat tentang
arus terobosan pada gate okside untuk mendesain
transistor MOSFET yang berukuran kecil.
Arus terobosan ini dapat diturunkan dari solusi
persamaan Schrodinger yang diselesaikan dengan
syarat batas menggunakan metode transfer hamiltonian
pada barier berbentuk trapesium dan memasukannya
ke dalam persamaan umum untuk arus terobosan yang
sudah diturunkan oleh Khairurrijal [1]. Dari hasil
perumusan tersebut, dapat kita cari dan plot grafiknya
dengan menggunakan teknik integrasi numerik GaussLegendre. Dalam paper ini akan diturunkan kembali
MODEL TEORI
Model potensial barier yang menggambarkan struktur
MOS dioda pada gate n+ poly-Si/SiO2/p-Si(100) saat
flat-band dan saat diberi tegangan bias negatif
ditunjukan pada gambar 1 [2]. Rapat arus terobosan
total dari elektron melalui potensial barier merupakan
selisih antara arus total elektron dari daerah a ke b
dengan b ke a.
(1)
Rapat arus total elektron terobosan dari keadaan a ke
) dapat dituliskan sebagai
keadaan b (
(2)
87
Seminar Nasional Material 2013 | Fisika – Institut Teknologi Bandung
adalah probabilitas per waktu terjadinya
Dimana
transisi elektron dari keadaan a ke keadaan b yang
dapat dituliskan sebagai
(5)
(3)
Matriks elemen transisi dapat kita kaji dengan melihat
lagi bentuk potensial barier yang dapat kita bagi
menjadi 3 daerah potensial yaitu
(6)
Yang dengan menggunakan metode hamiltonian
menghasilkan solusi persamaan gelombang
Untuk daerah 1 :
(7)
Daerah 2 :
(8)
dan
+
GAMBAR 1. Model potensial barier dari n poly-Si/SiO2/pSi(100)
(9)
Daerah 3 :
(10)
Dengan
adalah matriks elemen transisi dari
keadaan a ke b,
,
,
,
masing-masing
adalah rapat keadaan di a, di b, dan fungsi distribusi
fermi-dirac
di
a
dan
di
b
yaitu
dan
dimana
adalah momentum
elektron pada daerah 1 dan 3, sedangkan
adalah
dan
momentum elektron pada daerah 2,
. Untuk rapat arus
total dari keadaan b ke a sama seperti pada persamaan
2 dan 3 dengan membalikkan subskrip a menjadi b dan
b menjadi a. Matriks elemen yang kita dapat dari
kedua
jenis
arus
sama
besarnya
yaitu
. Dengan demikian persamaan 1 dapat
kita tuliskan menjadi
, dan
.
Dengan menerapkan syarat batas
kontinyu di
dan
dan
kita
dan
sehingga rapat arus
bisa mendapatkan nilai
dapat diturunkan dengan memasukkan nilai-nilai
dan
masing-masing ke
dan
solusi dari
dalam rumus rapat arus dari keadaan a ke b
menurut metode hamiltonian
(4)
bagian integral ke-2 dari persamaan 4 diatas dapat
disederhanakan lagi dengan kalkulus dasar sehingga
persamaan 4 menjadi
88
Seminar Nasional Material 2013 | Fisika – Institut Teknologi Bandung
(11)
(16)
Dimana
Dari persamaan rapat arus 25, dapat kita hasilkan
matriks elemen transisi yang hanya merupakan
perkalian arus dengan
. Dengan memasukkan
nilai rapat keadaan di a dan b sebagai
(17)
Dan
dan
(18)
kita bisa dapatkan
ternyata
Dan karena pada daerah
bersar
bergantung pada ketebalan oksida
maka
(19)
(12)
Persamaan diatas dapat diintegrasikan dengan
batas energi elektron
pada semua kemungkinan
energi yaitu 0 hingga
. Namun karena pada daerah
sudah bukan daerah tunneling, maka daerah
tersebut kita eliminasi. Dan karena pada daerah
bukan merupakan daerah direct
tunneling melainkan Fowler-Nordheim maka daerah
tersebut juga kita eliminasi. Sehingga hanya perlu
diintegrasi pada daerah
dari 0 sampai
.
Kita menggunakan matode Gauss-Legendre
untuk menghitung integralnya. Formula umum integral
Gauss-Legendre adalah
Persamaan 32 dapat kita sederhanakan lagi dengan
mendefinisikan momentum rata-rata di dalam oxida
dengan
sehingga
nilai-nilai
,
, dan
dalam persamaan
32 dapat diganti dengan
menjadi
(13)
Dengan
(20)
Karena yang diperlukan adalah integrasi variabel
(14)
dengan
batas
dari
sampai
maka kita dapat lakukan dengan
mengubah variabel
Sehingga persamaan 3 dapat diubah menjadi
(21)
(15)
Turunkan sekali
dan
Karena pada daerah
massa elektron yang mungkin maka rapat arus
persamaan itu dimodifikasi menjadi
ada 2
pada
(22)
89
Seminar Nasional Material 2013 | Fisika – Institut Teknologi Bandung
sehingga untuk batas integrasi dari
menjadi
Tabel 2. Massa efektif elektron yang digunakan dalam
perhitungan pada tiap nilai tebal oxida yang berbeda
Tebal oxide (nm) Massa efektif elektron
1.65
0.70
2.17
0.55
2.51
0.53
2.80
0.5
3.50
0.4
3.90
0.4
sampai
(23)
dan
adalah weight dan node dari
Dengan
pendekatan integral gauss kuadratur secara umum
untuk 10 point yang dapat dilihat pada tabel 1.
Sedangkan
Massa efektif elektron pada daerah 1 dan 3 yaitu
pada n+ poly-Si dan p-Si(100) yang digunakan dalam
perhitungan ini dapat dilihat dalam tabel 3.
Tabel 3. Degenerasi, massa normal, dan density of
state mass elektron parameter kristal p-Si(100)
Lembah
Lower (1) Higher (2)
2
4
Degenerasi
Massa normal
0.910*
0.190*
Density of state mass 0.190*
0.417*
dan
adalah penyederhanaan
biasa.
Untuk mendapatkan plot grafik hubungan antara
pengaruh tegangan yang diberikan pada oxide
terhadap rapat arus
maka kita hitung integral
fungsi
pada persamaan itu untuk setiap titik
. Dan untuk
dari angkan mendekati 0 hingga 2,5
melihat bagaimana pengaruh tebal barrier oxide
Hasil perhitungan yang menghasilkan plot
tegangan oxide dengan rapat arus terobosan pada gate
oxide MOS yang dilakukan dengan metode integrasi
Gauss-Legendre dibandingkan dengan hasil plot paper
Khairurrijal. Plot hasil perhitungan kami dapat dilihat
pada grafik 1 sedangkan untuk melihat grafik
perhitungan pada tegangan rendah dapat dilihat pada
grafik 2.
untuk
dari mendekati 0 hingga 2,5 V
kita plot
untuk 6 nilai-nilai
yang berbeda yaitu 1.65, 2.17,
2.51, 2.80, 3.50, dan 3.90 nm.
Tabel 1. Node dan Weight
integrasi Gauss-Legendre
Node
0.973906528517172
0.865063366688985
0.679409568299024
0.433395394129247
0.148874338981631
-0.148874338981631
-0.433395394129247
-0.679409568299024
-0.865063366688985
-0.973906528517172
yang digunakan dalam
Weight
0.0666713443086880
0.149451349150581
0.219086362515982
0.269266719309996
0.295524224714753
0.295524224714753
0.269266719309996
0.219086362515982
0.149451349150581
0.0666713443086880
HASIL DAN DISKUSI
GAMBAR 1. Hasil plot rapat arus terobosan terhadap
tegangan oxida pada beberapa ketebalan oxida yang berbeda
Dalam perhitungan ini digunakan massa efektif
pada oxida sesuai dengan
elektron searah sumbu
hasil fitting paper Khairurrijal [1] yang dapat dilihat
dalam tabel 2.
90
Seminar Nasional Material 2013 | Fisika – Institut Teknologi Bandung
GRAFIK 2. Hasil plot arus terobosan pada tegangan kecil
REFERENSI
1. Khairurrijal, W. Mizubayashi, S. Miyazaki, and M.
Hirose, J.Appl. Phys. 87, 3000 (2000).
2. F. A. Noor, M. Abdullah, Sukirno, and Khairurrijal,
Brazilian Journal of Physics, vol. 40, no 4 (2010).
91